160. (Mayo 2018) Los múltiplos de siete
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Martes 01 de Mayo de 2018

Los múltiplos de siete El número siete siempre ha sido el comodín de la numerología porque representa la buena suerte cuando conviene y la mala suerte en el resto de los casos. Para los pitagóricos era el número cósmico, la suma del tres -que representa el cielo-  y el cuatro -que representa la tierra-. No voy a aburrirte enumerando las cualidades místicas y propiedades cabalísticas del siete así como sus numerosas apariciones públicas, ya sea contando los días de la semana, las notas musicales, las distintas artes, las maravillas del mundo antiguo, las vidas de un gato, etc., etc. Me limitaré a recomendar la lectura del fantástico artículo titulado "El siete: un número muy popular", escrito por Raúl Ibáñez para la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Ya no necesitarás saber más sobre el número siete.

O quizá sí quieras saber más. En este rincón, el siete ha sido protagonista en algunos juegos de magia matemática. Por ejemplo, en el titulado «Fibonacci modular» (noviembre de 2012), donde aparece como base de la aritmética modular, o en el dedicado a los números cíclicos (julio de 2006), donde se aprovechan las características de las cifras decimales de la fracción 1/7.

En lo estrictamente aritmético, el siete es un número primo y ha sido el gran relegado en cuanto a las reglas de divisibilidad: es difícil saber si un determinado número es múltiplo de siete. Para los primos anteriores a él, como son el 2, 3 y 5, las reglas de divisibilidad son sencillas, de modo que una rápida inspección permite saber si un número -por grande que sea- es múltiplo de alguno de estos tres números. Pero hay algunas reglas, aunque no tan sencillas, que permiten averiguar si un número es divisible por siete. Aquí van dos de las más comunes:

  1. Un número es múltiplo de siete cuando la diferencia entre el número que resulta al eliminar la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de siete.

    Por ejemplo, para saber si el número 35203 es múltiplo de siete, hacemos la operación:

    3520 - 6 = 3514.

    Como tampoco sabemos si este número es múltiplo de siete, repetimos el proceso:

    351 - 8 = 343.

    Repetimos nuevamente la operación con este otro número:

    34 - 6 = 28 = 7 x 4.

    En definitiva, el número 35203 es múltiplo de siete.

  2. Un número es múltiplo de siete cuando la suma del triple del número que resulta al eliminar la cifra de las unidades más la cifra de las unidades es múltiplo de siete.

    Está claro que este método es más largo que el anterior pues las operaciones se realizan con números más grandes. Mirando el mismo ejemplo anterior, el primer paso de la comprobación sería realizar la operación 3 x 3520 + 3, que no es sencilla.

Una estrategia más elemental es ir restando al número algún múltiplo de siete que esté próximo a dicho número. Por ejemplo, como 35 es múltiplo de 7, también lo es 35000. De modo que, como 35203 - 35000 = 203, si 203 es múltiplo de siete, también lo será 35203. Ahora ya podemos aplicar fácilmente cualquiera de los métodos anteriores (o seguir restando múltiplos de siete, claro).

Los múltiplos de sieteEn esta ocasión vamos a proponer un método mágico para construir a la vez, y con la ayuda de algún espectador, varios números que son múltiplos de siete. El juego, titulado Mentrix (que supongo será una contracción de las palabras Mens y Matrix), es una creación de L. Vosburg Lyons (neuropsiquiatra e ilustrador gráfico), fue publicado en el número 5 (abril de 1956) de la revista Ibidem (cuya portada e imagen del editor se muestra en la figura), editada por P. Howard Lyons e ilustrada por su esposa Pat Patterson Lyons (así que podría perfectamente haberse llamado el juego de los tres leones). Por cierto, esta misma Pat Patterson fue quien diseñó el puzle paradójico titulado "The vanishing leprechaun" que comentamos en el número 25 (febrero de 2006) de este rincón.

Con este juego demostrarás tu habilidad relacionada con los múltiplos de siete así que busca una hoja de papel y/o una calculadora sencilla como la que tienen ahora "todos" los móviles.

  1. Pide a un espectador que elija un número de seis cifras, que no sea múltiplo de siete. Con la excusa de saber si es múltiplo de siete, debe realizar la división y comprobar que no es exacta. Eso te permitirá saber cuál es el resto de dicha división.
    Si da la casualidad de que se trata de un múltiplo de siete, basta que añada o reste una unidad a cualquiera de las cifras. En este caso, también debes conocer el resto de la división por siete.
    Si eres de la generación que has aprendido a dividir, será fácil obtener el resto. Si se lo dejas a la calculadora, no verás el resto sino unos cuantos decimales. Debes recordar entonces las siguientes equivalencias entre las primeras cifras decimales y el resto: .14 → 1; .28 → 2; .42 → 3; .57 → 4; .71 → 5; .85 → 6.

  2. Dibuja a continuación un retículo cuadrado como el de la figura y escribe en cada fila cinco de las cifras del número indicado, dejando en cada fila un hueco correspondiente a una de las cifras.
    A partir de ahora, ilustraremos el método con un ejemplo, así que supongamos que el espectador ha nombrado el número 495283, y has comprobado que el resto de su división por siete es igual a cinco. Luego has escrito los siguientes números de cinco cifras a partir del número elegido por el espectador.

    4 9 5 2 8
    4 9 5 2
    3
    4 9 5
    8 3
    4 9
    2 8 3
    4
    5 2 8 3

    9 5 2 8 3

    Observa que quedan sin rellenar los cuadros de la diagonal secundaria.

  3. Rellena ahora los huecos de la siguiente forma:

    • Resta a la última cifra del número el resto de la división por siete y escribe dicho valor en el hueco de la primera fila. De este modo, el número de la primera fila es el múltiplo de siete más próximo por debajo al elegido por el espectador.
      En el ejemplo, habría que restar 3 - 5 pero es negativo. En este caso, se suma 3 + 2 porque se llega así al múltiplo de siete más próximo por encima. La primera fila tendría el número 495285.

    • Observa ahora las dos últimas cifras del número de la primera fila y calcula cuál es su exceso (o defecto) respecto al múltiplo de siete más próximo.
      En nuestro ejemplo, el 85 tiene un exceso de 1 respecto al 84, que es múltiplo de siete. A continuación, pasa a la segunda fila y busca el número que tenga el mismo exceso respecto al múltiplo de siete de dos cifras que termine en la última cifra. Como debe terminar en tres y tener exceso igual a 1, el múltiplo de siete que buscamos debe terminar en 2. Se trata del 42. Escribe la cifra 4 en el hueco de la segunda fila. Queda entonces el número 495243.

    • Este mismo proceso se repite en las filas sucesivas utilizando el número de dos cifras inmediatamente superior al número de dos cifras cuya decena está sin escribir.
      Seguimos con el ejemplo: las dos penúltimas cifras del número recién anotado son 24, que tiene un exceso de 3 respecto al 21, que es múltiplo de siete. La siguiente fila termina en 8, de modo que se debe encontrar un múltiplo de siete que termine en 8 - 3=5. Se trata del 35=7 x 5. Hay que escribir el número tres en el hueco de la tercera fila.

      De momento, el cuadro tiene la siguiente pinta:

      4 9 5 2 8 5
      4 9 5 2 4 3
      4 9 5 3 8 3
      4 9
      2 8 3
      4
      5 2 8 3

      9 5 2 8 3
    • Para la siguiente fila, hay que fijarse en el 53, que tiene un exceso de 4 respecto al 49. Como no se puede restar cuatro al 2, se hace por defecto: hace falta sumar 53 + 3 para llegar al siguiente múltiplo de siete. Se suma 3 a la cifra inferior, 2 + 3 = 5, y se busca el múltiplo de siete que termine en 5, que es el 35. Se escribe un tres en el hueco de la cuarta fila.

      Para la penúltima fila, hay que fijarse en el 93, que es igual a 91 + 2. Se resta 5 - 2 = 3 y se busca el múltiplo de siete que termina en 3: se trata del 63. Se anota la cifra 6.

      En la última fila, partimos del número 46, que es igual a 42 + 4, es decir que tiene un exceso de 4. Se resta 9 - 4 = 5, se busca el múltiplo de siete que termina en 5, y se encuentra el número 35. Se anota la cifra 3.

      Así quedaría el cuadro final:

    4 9 5 2 8 5
    4 9 5 2 4 3
    4 9 5 3 8 3
    4 9 3 2 8 3
    4 6 5 2 8 3
    3 9 5 2 8 3
  4. Después de terminar el cuadro, haz que el público compruebe que los seis números son todos múltiplos de siete.

La siguiente ilustración de Pat Lyons muestra el ejemplo que aparece en la descripción original del juego. El espectador ha nombrado el número 562346 y el cuadrado de la derecha muestra los seis múltiplos de siete que se han formado:

Los múltiplos de siete

Comentarios finales:

  • Es evidente que el proceso debe ser rápido y fluido para que el juego sea sorprendente y mágico. Será necesario un entrenamiento previo que permita reconocer fácilmente los números de dos cifras que son múltiplos de siete.

  • Como se puede observar, cada múltiplo de siete así obtenido se diferencia del anterior en dos cifras. ¿Se te ocurre cuál es el fundamento matemático que justifica el éxito del juego?

  • Este asunto de los múltiplos de siete me recuerda un acertijo muy simpático:
    El otro día después del partido tres de los alumnos de la clase de aún vestían sus camisetas del equipo de fútbol. Los números que lucían en sus dorsales eran el 1, el 3 y 6. Enseguida se le ocurrió a uno de ellas la siguiente pregunta: ¿en qué orden debemos colocarnos para formar un número que sea múltiplo de siete?

    Los múltiplos de siete

  • Y, hablando de acertijos, el propio L. Vosburg Lyons, creador del juego que hemos descrito, era también aficionado a los problemas de ingenio. Como muestra, vamos a reproducir el que propuso en el número 48 de la revista Phoenix (1943):
    Hacer dos cortes rectos en la figura adjunta de modo que quede dividida en no más de cuatro piezas las cuales puedan recomponerse para formar un cuadrado.

    Los múltiplos de siete

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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