28. El nudo pentagonal II
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Escrito por José Ángel Iranzo Sanz   
Domingo 01 de Junio de 2008

“Además de embarcaciones hay una papiroflexia más complicada, casi geométrica, matemática. La de hacer pajaritas como aquellas en que entretenía sus ocios el maestro Miguel de Unamuno…”

Miguel de Unamuno

Empiezo este segundo artículo sobre el nudo pentagonal con unas palabras del premio Nóbel de literatura guatemalteco Miguel Ángel Asturias sobre Miguel de Unamuno. Es sabida la relación de Unamuno y la papiroflexia, y como muestra de ello son las figuras que inventó o cuadros como el de la fotografía, donde Unamuno aparece retratado por Zuloaga junto con una de sus figuras, el “avechucho”. Además también escribió sobre papiroflexia, sobre todo en su novela “Amor y pedagogía”(en el apéndice “Apuntes para un tratado de cocotología”). Pero Unamuno aparece en este artículo por el siguiente poema acerca del nudo pentagonal:

Poema

El poema aparece junto con el dibujo del nudo pentagonal que hay sobre él y se describe tanto el nudo pentagonal como la estrella que se forma al hacerlo. Esta estrella es la que aparece al trazar todas las diagonales de un pentágono:

Pentágono

Si tomamos una tira de papel no demasiado gruesa y hacemos un nudo, como explicamos en el artículo anterior, obtenemos un pentágono. Pero si miramos el nudo al trasluz se puede apreciar el contorno de la estrella casi al completo, sólo falta una de las diagonales del pentágono. Basta entrelazar una de las tiras salientes una vez más en el nudo para poder ver la estrella completa:

Estrella de cinco puntas

Esta estrella de cinco puntas, conocida también como pentagrama o pentáculo, tiene mucha leyenda detrás y, como todo lo relacionado con el pentágono, la estrella también tiene una estrecha relación con el número áureo (se puede encontrar información sobre la estrella de cinco puntas en http://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama_(geometría)).

En papiroflexia hay una figura sencilla conocida como “Lucky Star” (estrella de la suerte) que parte del nudo pentagonal para hacer una estrella de cinco puntas en 3D. Veamos cómo se hace:

1º_Cogemos una tira larga de papel y hacemos un nudo en uno de los extremos (pasos 1, 2 y 3). El trozo de tira más pequeño que salga del nudo se dobla como en el paso 4 y se introduce en el bolsillo interior que queda en el nudo.

Pasos 1, 2, 3 y 4

2º_Doblamos una y otra vez el extremo más largo envolviendo al pentágono, de forma que la tira dobla en el borde del pentágono (como en los pasos 5, 6 y 7). Esto debe hacerse siempre en el mismo sentido hasta acabar la tira de papel y sin aplastar excesivamente los dobleces.

Pasos 5, 6 y 7

3º_El trozo de tira sobrante (paso 8) se dobla sobre el borde del pentágono y se introduce en el interior del bolsillo que hay en el mismo. Por último (paso 9), empujamos con cuidado sobre cada lado del pentágono para que la estrella tome forma tridimensional.

Pasos 8 y 9

4º_Estrella terminada:

Estrella terminada

Podéis ver un vídeo de cómo se hace (¡incluso un blog entero sobre ella!) en www.foldastar.com (en inglés). También una bonita galería de fotos con cientos de estrellas de este tipo en: http://divulgamat2.ehu.es/www.flickr.com/photos/creativeliberties/sets/72157600072940760

Vamos ahora con los deberes del artículo anterior. Sabemos cómo se hace un nudo para formar un pentágono, pero ¿es posible hacer un hexágono haciendo un nudo a partir de una tira de papel siguiendo el mismo método?¿y un heptágono?, y en general ¿se podrá hace un polígono de n lados haciendo un nudo con una tira de papel?
Si tomamos una tira e intentamos hacer un hexágono parece imposible, así que desistimos y tratamos de hacer un heptágono. Es mucho más fácil, veamos cómo se hace:

Pasos para hacer un pentágono

¡Ya tenemos el nudo heptagonal! Pero no nos olvidemos que nos hemos saltado uno, el hexágono. Vamos a demostrar que no se puede hacer, para ello veamos unas nociones sobre aritmética modular (también llamada aritmética de reloj).
Si tenemos un reloj analógico, de los de saetas, resulta que nos bastan solo 12 números para representar las 24 horas que tiene el día. Las 16:00 están representadas por el número 4, y las 21:00 por el 9. Si ahora por ejemplo la saeta de las horas apunta al 5 podemos saber dónde apuntará pasadas 100 horas. Cada 12 horas que pasan la saeta da una vuelta completa y por tanto apunta de nuevo al mismo lugar. Tenemos que

100 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 4 = 12x8 + 4

Por tanto, si ahora la saeta apunta al 5, pasadas 100 horas la saeta apuntara al 5+4=9.
De esta manera, cualquier número lo podemos representar con uno de estos relojes, basta dividir el número por 12 y quedarse con el resto.
Supongamos ahora que nuestro reloj tiene solo los números desde el 0 hasta el 7, es decir 8 horas.

Reloj

Funcionará de manera similar. Si son las 5 y pasan 6 horas la saeta pasara a apuntar al 3. y el número 35 = 8 + 8 + 8 + 8 + 3 = 8x4 + 3 estará representado por el 3. En general, para saber a qué hora corresponde un número cualquiera en este reloj basta hallar el resto de la división del número entre 8.
A este conjunto de 8 elementos lo llamaremos Z8

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Y por ejemplo, como el 35 equivale al 3 lo expresaremos como 35 ≡ 3 (mod 8), o si sobreentendemos que estamos trabajando sobre el reloj de 8 horas Z8 podemos escribir simplemente 35 ≡ 3. Podríamos decir que, usando los números de Z8, el 35 y el 3 son el mismo número. Además, si multiplicamos un número por otro, nuestra aritmética de reloj también funciona. Por ejemplo: 10 ≡ 2 (mod 8), si multiplicamos por 3 ambos lados de la igualdad tenemos que 30 ≡ 6 (mod 8), y así es, 30 = 8x4 + 6.
En general, llamaremos Zn = {0, 1,..., n-2, n-1}, que equivaldría a un reloj de n horas.

Pasemos ahora al problema de cómo hacer nudos con una tira de papel para obtener un polígono cualquiera.
Supongamos que queremos hacer un nudo octagonal con una tira de papel. Supondremos que la tira entra a formar el octógono por el lado 0 (Ver imagen inferior). Luego la tira cruza el octógono hasta llegar a algún otro lado, por ejemplo el 3, y en ese lado se pliega. Para que el octógono sea regular este último pliegue ha de ser simétrico, esto es, el nuevo pliegue debe hacer que la tira cruce de nuevo el octógono de la misma manera pero yendo ahora hacia el nodo 3 + 3 = 6. Después de doblar la tira en el lado 6 debemos ir hacia el siguiente sumando de nuevo 3. Pero 6+3=9 y sólo tenemos números de 0 hasta 7. Aquí entra en juego la aritmética modular, ya que 9 ≡ 1 (mod 8). Continuando así tenemos 1 + 3 ≡ 4, 4 + 3 ≡ 7, 7 + 3 ≡ 2, 2 + 3 ≡ 5, 5 + 3 ≡ 0 y ya hemos recorrido los 8 lados del octógono. Por tanto tenemos el nudo octogonal terminado.

Nudo octogonal

La forma de hacer el octógono ha sido la siguiente:

  • Empezamos a hacerlos desde el lado 0.
  • Buscamos un número entre 2 y 6 (notad que no se pueden usar los lados 1 y 7 por ser los contiguos al lado 0) tal que al sumarlo una y otra vez nos genere todos los números de Z8. Esto querrá decir que al ir doblado la tira se formaran todos los lados del octógono.

Si intentamos hacer un nudo hexagonal de forma análoga, trabajando sobre Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, hemos de elegir un número ( 2, 3 ó 4 ) de forma que al sumarlo una y otra vez generemos todos los elementos de Z6. Pero:

Si elegimos el 2
2 + 2 ≡ 4
4 + 2 ≡ 0
0 + 2 ≡ 2
2 + 2 ≡ 4
...
Si elegimos el 3
3 + 3 ≡ 0
0 + 3 ≡ 3
3 + 3 ≡ 0
...
Si elegimos el 4
4 + 4 ≡ 2
2 + 4 ≡ 0
0 + 4 ≡ 4
4 + 4 ≡ 2
...

En los tres casos se repiten una y otra vez los números sin rellenar conseguir todos los de Z6. No existe el número buscado y por tanto es imposible hacer un nudo hexagonal de esta manera.

Hemos visto que se puede hacer un pentágono, un heptágono y un octógono, y que no que no se puede hacer un hexágono. En general, ¿se podrá hacer de esta manera un polígono de n lados? Para ellos nos situamos en Zn = {0, 1,..., n-2, n-1}  y lo que buscamos es un número k entre los números 2, 3, …, n-3, n-2 de manera que cumpla que

{k, k+k, k+k+k,..., k+..(n)..+k} = Zn

Es decir {k, 2k, 3k,..., nk} = Zn.
Por tanto los números k, 2k, 3k,..., nk deben ser distintos entre sí en Zn. Veamos que si k es unidad se cumple que k, 2k, 3k,..., nk son todos distintos en Zn. Diremos que k es una unidad si existe un número h de manera que kh ≡ 1 (mod n).
Por ejemplo en Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} el 3 es unidad porque si lo multiplicamos por 5 tenemos que 3x5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7).
Si probamos que los números k, 2k, 3k,..., nk son distintos, entonces tendremos  n números distintos en Zn y por tanto {k, 2k, 3k,..., nk} = Zn.

Si k es unidad en Zn, los números k, 2k, 3k,..., nk son distintos en Zn.
Demostración:
Supongamos que no es cierto. Entonces habría dos números m1 y m2 distintos en Zn tales que m1km2k. Por ser k unidad existe un número h tal que kh ≡ 1. Entonces, multiplicando m1km2k por h se tiene que m1khm2kh, y como kh ≡ 1,  m1m2, lo que contradice que sean distintos. Por tanto, se cumple la tesis del enunciado.

Con esto, para formar el nudo, sólo es necesario buscar un número k entre los números 2, 3,…, n-3, n-2 que sea unidad.
Existe una función que nos ayudara a buscar estas unidades. Es la función φ de Euler. La función φ(n) proporciona para cada valor de n el número de unidades que hay en Zn. Los números 1 y n-1 siempre son unidades en Zn, pues 1x1 ≡ 1  y (n-1)(n-1) ≡ (-1)(-1) ≡ 1. Por tanto, para n>6  (es decir, si queremos construir un nudo poligonal de más de 6 lados, como es nuestro caso) tenemos que φ(n)≥2, ya que al menos hay dos unidades en Zn.  Además se comprueba fácilmente que el 0 nunca es unidad.
Bastará que la función φ(n) valga 3 o más para que existan 3 unidades al menos, de las cuales, una de ellas la podremos encontrar entre 2, 3,…, n-3, n-2.
En http://es.wikipedia.org/wiki/Función_φ _de_Euler
está la definición de la función de Euler. No es difícil comprobar que si n>6, la función φ(n)≥3.
Por tanto, queda probado que se puede construir cualquier polígono de n lados haciendo un nudo de la misma manera que se hace el nudo pentagonal.

Hay que decir que en la práctica no es sencillo hacer un nudo con un tira de papel que tenga más de 7 lados (incluso el hacer el nudo heptagonal no es sencillo). Pero es posible.

Nudo heptagonal


Fuentes consultadas:
- Obras completas de Miguel de Unamuno, Volumen 5 (se puede consultar desde la Web de de la Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes, aquí)
- Web de la Asociación Española de Papiroflexia, sección de Unamuno
- www.foldastar.com
- www.flickr.com/photos/creativeliberties/sets/72157600072940760
- www.geocities.com/mmukhopadhyay/creation/star.html
- ‘Folding Knots from Strips’ Origami Tanteidan, n. 89. Tom Hull.
- “Matematical Games”, Scientific American, Julio de 1959. Martin Gardner.
- “A note on knots”, American Mathematical Monthly, Vol.31, Mayo de 1924. F.V.Morley

Gracias a David Lister por toda la información y ayuda que me ha proporcionado para escribir este artículo.

 
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