10. (Julio 2020) El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras
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Escrito por Vicente Meavilla Seguí   
Jueves 02 de Julio de 2020

1. Unas palabras introductorias

Se llama poliedro semirregular o arquimediano1 a todo poliedro convexo en el que las caras son regulares, pero no iguales, y los ángulos poliedros son iguales y no regulares. Notemos que en un poliedro arquimediano todas las aristas son iguales.

El primer documento en el que se alude a los poliedros semirrregulares se debe a Pappus de Alejandría (s. IV d. C.) que, en su Colección matemática, se expresa en los siguientes términos:

(…) Es posible, en efecto, imaginar muchas figuras sólidas con superficies de cualquier clase; pero vamos a considerar especialmente aquellas que parecen regulares, las cuales no son solamente las cinco de que habla el divino Platón, a saber: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, sino también las trece2 descubiertas por Arquímedes formadas por polígonos equiláteros y equiángulos, pero no semejantes.

A lo largo de este artículo prestaremos nuestra atención al cuboctaedro, formado por ocho caras triangulares y seis cuadradas, dado que se genera fácilmente a partir de un cubo y está presente en múltiples manifestaciones artísticas y cotidianas.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Cuboctaedro3

Estas razones justifican la introducción del antedicho poliedro arquimediano en las aulas no universitarias para poner de manifiesto la relación entre las Matemáticas, el Arte y el mundo en que vivimos.

2. Algunos textos y dibujos clásicos

[1] Luca Pacioli describe el cuboctaedro en los siguientes términos.

El hexaedro despuntado o absciso plano, igualmente sólido o hueco, tiene veinticuatro líneas que originan en él cuarenta y ocho ángulos superficiales, veinticuatro de los cuales son rectos y los demás agudos; tiene doce ángulos sólidos y está contenido por catorce superficies o bases, seis de las cuales son cuadradas y ocho triangulares (…). Y este cuerpo se origina del cubo mediante el corte uniforme en la mitad de sus lados, como demuestra de modo evidente su propia forma material.

[De Divina Proportione (1509), cap. XLIX]

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Luca Pacioli (ca. 1445 – 1517)

Leonardo da Vinci (1452 – 1519)

Esta descripción se ilustra con dos dibujos de Leonardo da Vinci.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Cuboctaedro

Esqueleto4 del cuboctaedro

[2] Por su parte, el alemán Alberto Durero, en su Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt (1525), ofrece un dibujo en el que se detalla el desarrollo del exacedron abscisus.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Alberto Durero (1471 – 1528)

Desarrollo del cuboctaedro

[3] El holandés Simon Stevin también muestra el desarrollo del poliedro {83,64}5 en sus Problematum geometricorum (1583).

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Simon Stevin (1548 – 1620)

Desarrollo del cuboctaedro

[4] Juan de Arfe y Villafañe, natural de León, orfebre y autor de la Custodia de la Catedral de Sevilla, en De varia commensuracion para la Esculptura, y Architectura (1585) dibuja el arquimediano {83,64} y su desarrollo.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Juan de Arfe y Villafañe. Dibujos y desarrollo del cuboctaedro

3. El cuboctaedro: ficha técnica

El cuboctaedro se obtiene truncando los vértices de un cubo a una distancia igual a  la mitad de la longitud de su arista.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Tiene catorce caras (C = 14), doce vértices (V = 12), y veinticuatro aristas (A = 24). Como cualquier poliedro convexo cumple la fórmula de Euler C + V = A + 2.

Si 2a es la longitud de la arista del cubo generador, entonces a√2 es la longitud de la arista del hexaedro despuntado.

Su volumen V viene dado por la expresión:

V = Vc - 8Vp

siendo Vc el volumen del cubo generador y Vp el volumen de cada una de las pirámides cortadas.

Entonces:

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Su área A viene dada por:

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

4. El exacedron abscisus en el dibujo y la pintura

4.1. Un grabado germano

El grabador alemán Wenzel Jamnitzer en su Perspectiva Corporum Regularium (1568), nos ofrece una bellísima reproducción del poliedro {83,64}.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Wenzel Jamnitzer (1508 – 1585)

Cuboctaedro

4.2. Los dibujos coloreados de Lorenz Stoer (1537 – 1621)

A finales del siglo XX se descubrió una carpeta con dibujos coloreados del  alemán Lorenz Stoer (Geometria et Perspectiva: Corpora regulata et irregulata) que se conserva en la Biblioteca de la Universidad de Múnich.

Ofrecemos dos de ellos en los que el arquimediano {83,64} convive con otros cuerpos geométricos (sólidos platónicos, poliedros arquimedianos, poliedros estrellados   y cuerpos redondos).

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

4.3. Sueño arquimediano

En el siguiente dibujo, hace ya unos años, diseñados una composición imposible en la que intervienen diversos poliedros arquimedianos.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Vicente Meavilla. Sueño arquimediano (2005)

Dejamos que el lector descubra la presencia del cuboctaedro.

4.4. Un cuadro de David Woodcock

El artista y profesor británico David Woodcock (1952) dedica una de sus pinturas al hexaedro despuntado.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

David Woodcock. Cuboctahedron 11,5'' x 11,5''

4.5. Pasión por el cuboctaedro

El norteamericano John Arden Hiigli (1943 – 2017) consagró buena parte de su producción artística al exacedron abscisus. Hemos seleccionado el siguiente grupo de poliedros {83,64}.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

5. El arquimediano  y la marquetería

Fray Giovanni de Verona (1433 – 1515), monje y artista italiano, fue el autor de diversas taraceas repartidas por la península italiana.

En la Iglesia de Santa María in Organo (Verona) se encuentra una en la que, mirando desde arriba hacia abajo aparecen el exacedron elevatus vacuus6, el cuboctaedroy el duodecedron abscisus elevatus vacuus7.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

6. Esculturas hexaédricas despuntadas

El artesano carpintero Miguel Ángel Martín es autor de unas bellas esculturas en madera consagradas a los poliedros. En la figura adjunta reproducimos una dedicada al exacedron abscisus.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Miguel Ángel Martín. Cuboctaedro

Por otro lado, el escultor norteamericano (nacido en Seúl) Laird Hovland también rinde homenaje al poliedro {83,64} en algunas de sus obras.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Laird Hovland

7. Dados arquimedianos

El cuboctaedro también forma parte de la nómina de dados poliédricos. Sirvan como ejemplo los dos siguientes cuyas aristas son curvilíneas.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

8. Rompecabezas cuboctaédricos

Entre los parientes del cubo de Rubik encontramos un puzle en forma de hexaedro despuntado.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

9. Cristales

La Madre Tierra también es capaz de producir bellísimos reproducciones cristalinas del exacedron abscisus.

El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

Cristal cuboctaédrico de galena.
Cortesía de Fabre Minerals

10. Consideraciones didácticas

En los parágrafos precedentes hemos contemplado un poliedro arquimediano, el cuboctaedro, desde distintos puntos de vista: el geométrico, el artístico, el cotidiano y el geológico.

Así, hemos presentado algunos documentos históricos concernientes al exacedron abscisus; hemos efectuado algunos cálculos matemáticos; hemos ofrecido ejemplos concretos de la presencia del poliedro {83,64} en grabados, pinturas, taraceas y esculturas; hemos mostrado objetos cotidianos (dados y rompecabezas) con formas cuboctaédricas y, por último, hemos admirado un bello cristal con la apariencia de hexaedro despuntado.

Por consiguiente, hablando desde una óptica didáctica, podemos decir que en este artículo hemos propuesto un material que, estructurado de forma conveniente, puede ser útil al profesorado de los niveles no universitarios a la hora de diseñar actividades de enseñanza y aprendizaje que pueden involucrar a los departamentos de Matemáticas, Geografía e Historia y Ciencias Naturales.

 

Referencias bibliográficas

  • ARFE y VILLAFAÑE, J. (1585). De varia commensuracion para la Esculptura, y Architectura. Sevilla: Andrea Pescioni y Iuan de Leon.
  • DURERO, A. (1538)  Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt. Nürnberg.
  • JAMNITZER, W. (1568). Perspectiva Corporum Regularium. Nuremberg: Gotlicher Hulff.
  • KEPLER, J. (1619). Harmonices Mundi Libri V. Lincii Austriae: Sumptibus Godofredi Tampachii.
  • MEAVILLA SEGUÍ, V. (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara, S. L.
  • PACIOLI, L. (1991). La divina proporción (Introducción de Antonio M. González. Traducción de Juan Calatrava). Madrid: Ediciones Akal, S. A.
  • STEVIN, S. (1583). Problematum geometricorum. Antwerpen: Johannes Bellerus.
  • VERA, F. (1970). Científicos griegos (dos volúmenes). Madrid: Aguilar, S. A. de Ediciones.

Referencias online



1 En honor al científico griego Arquímedes (s. III a. C.).

2 Pappus describe los trece poliedros siguientes: tetraedro truncado, cuboctaedro, octaedro truncado, cubo truncado, rombicuboctaedro, cuboctaedro truncado, icosidodecaedro, icosaedro truncado, dodecaedro truncado, cubo achatado, rombicosidodecaedro, icosidodecaedro truncado, y dodecaedro achatado. En esta lista no aparecen los prismas de Arquímedes, poliedros semirregulares cuyas bases son dos polígonos regulares del mismo tipo y cuyas caras laterales son cuadrados, y los antiprismas de Arquímedes o prismatoides regulares, poliedros arquimedianos cuyas bases son dos polígonos regulares del mismo tipo y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros.

3 Ilustración contenida en el libro Harmonices mundi (1619. Lib.II, p. 62) de Johannes Kepler (1571 – 1630).

4 Estructura formada por las aristas de un poliedro.

5 El símbolo {83,64} significa que de las catorce caras del poliedro, ocho son triángulos equiláteros y seis son cuadrados.

6 Poliedro estrellado formado por seis pirámides de base cuadrada, cuyas caras laterales son triángulos equiláteros, que se acoplan exactamente a las seis caras de un cubo.

7 El duodecedron abscisus elevatus vacuus [= icosidodecaedro estrellado] es un poliedro estrellado obtenido a partir de un icosidodecaedro acoplando a sus veinte caras triangulares y a sus doce caras pentagonales las correspondientes pirámides triangulares (cuyas caras laterales son triángulos equiláteros) y pentagonales (cuyas caras laterales son triángulos equiláteros).

 
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