71. (Noviembre 2015) Música y probabilidad (I)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Lunes 02 de Noviembre de 2015

1. ¿Por qué estudiar Probabilidad en Música?

El ser humano ha convivido desde siempre con la incertidumbre. Estamos tan acostumbrados a aceptar hechos que conocemos de manera fragmentaria, a razonar a partir de premisas incompletas, a tomar decisiones basadas en creencias subjetivas, que la presencia de la incertidumbre nos resulta natural. Si salimos a la calle, lo más probable es que, antes de decidir qué ropa ponernos, consideremos las posibilidades de lluvia, quizás sólo observando el trozo de cielo que nos deja ver la ventana, quizás recordando la estación del año y el tiempo que hizo en los últimos días. En todo caso, lo único que hemos hecho es decidir en base a un razonamiento aproximado y cargado de incertidumbre. La causa de esa presencia ubicua de la incertidumbre es la extraordinaria complejidad de la realidad, la multitud de causas que se esconden detrás de hechos simples y que nos resulta difícil de comprender. Sin embargo, sobrevivimos en medio de esa sopa de incertidumbre que nos rodea: tomamos decisiones, creamos modelos para explicar la realidad, nos esforzamos por comprender esa aleatoriedad, por tratarla y sacar provecho de ella, razonamos en su presencia e incluso acumulamos conocimiento a su pesar.

Hay muchos fenómenos físicos gobernados por la incertidumbre, como por ejemplo los fenómenos microscópicos. Pensemos en el comportamiento de los gases, formados por muchísimas partículas cuyo comportamiento se describe teniendo en cuenta las interacciones aleatorias entre ellas. A pesar de esto, hay una teoría de los gases que predice con bastante exactitud el comportamiento macroscópico, lo cual no deja de sorprendernos. Sin duda, donde reina la incertidumbre por sus fueros es en la Mecánica Cuántica, entronizada por el principio de Heisenberg enunciado en el año 1927. Este principio afirma que cuanto más precisa es la medida de la posición de un electrón, más imprecisa es la medida de su velocidad, de modo que no es posible conocer ambos con precisión absoluta. ¿Hay una afirmación más rotunda de la incertidumbre? Las consecuencias de este principio son profundísimas y alcanzan a la ciencia y la técnica de nuestros días, pues termina con una manera determinista de concebir el conocimiento.

No sólo en los fenómenos cuánticos aparece la incertidumbre; quizás en este campo es más patente a causa del principio de incertidumbre, pero a medida que el progreso científico exigió un conocimiento en profundidad de los fenómenos, con más capacidad de predicción, la incertidumbre empieza a aparecer de modo natural. Antes del desarrollo de la probabilidad y la estadística los análisis de los problemas eran deterministas, y sus conclusiones, limitadas. La incertidumbre, entre otros muchos campos, aparece en:

  • Economía y Ciencias Sociales: comportamiento de mercados, índices bursátiles, tendencias sociales, resultados de elecciones, etc.
  • Ingeniería: procesos de fabricación, control de calidad, planificación de tareas, mediciones de características, etc.
  • Informática y Computación: tráfico en redes de comunicaciones, tiempo de ejecución de programas, accesos a páginas web, comportamiento de estructuras de datos, gestión de recursos, etc.

Esa incertidumbre es consecuencia de que los fenómenos que estudiamos vienen dados por un alto número de causas, muchas de ellas de pequeño efecto, interdependientes de un modo desconocido, y de comportamiento difícil de explicar o modelizar. De esto se sigue la necesidad de incorporar la incertidumbre al razonamiento, a la deducción, en suma, al método científico. Si pretendemos tener modelos que expliquen la realidad, entonces no podemos ignorar ese aspecto. La Teoría de la Probabilidad es la rama de las Matemáticas que materializa tal incorporación. Podríamos decir que la probabilidad es la lógica de la incertidumbre.

Feller (1906 - 1970), uno de los grandes probabilistas del siglo XX, resaltaba de la probabilidad tres características, que a su juicio, le proporcionan su utilidad y belleza [Fel63]:

  • Intuición. La probabilidad es intuitiva porque la usamos en el razonamiento cotidiano. Nos sirve para cuantificar el conocimiento subjetivo que tenemos de un hecho y tomar decisiones.
  • Formalismo lógico. La probabilidad es de suma importancia para el método científico. A partir de Kolmogorov, que introduce la definición axiomática de probabilidad, esta se une con la lógica, esto es, con las leyes del pensamiento. Esto permitió que la probabilidad, ahora con el soporte de la lógica, se desarrollase como una rama del conocimiento plenamente independiente. Esta unión de la lógica y la intuición parece que es lo que desconcierta al estudiante en un primer momento.
  • Aplicaciones. Son muchas y en los ámbitos más diversos. Nombrar todas sus aplicaciones sería largo, pero, dado que este material está dirigido a alumnos de estudios musicales, merece la pena nombrar algunas de las más relevantes. Sin embargo, dejamos al alumno que las busque él por su cuenta.

Esta introducción que está en cursiva corresponde a la introducción de mis notas de estadística que doy a mis alumnos de informática. Sin embargo, cambié el título y algo tramposamente en su lugar puse ¿Por qué estudiar Probabilidad en Música? ¿No es esta introducción igualmente válida si se tratase de alumnos del conservatorio? Pensamos que sí, que lo sería, que las diferencias serían pocas. Esta introducción es general y sirve para cualquier disciplina. Sin embargo, como no nos hemos cansado de señalar, los estudios científicos —ya ni siquiera las matemáticas— están casi ausentes por completo en los planes de estudio de los conservatorios españoles (la excepción es la asignatura de acústica, por supuesto).

Pero ¿por qué debería estudiar un músico una materia como probabilidad? Daría dos razones rápidas en este momento, a falta de más desarrollo. La primera es porque le enseña a pensar de un modo que es fundamental en cualquier persona que tenga una educación superior (de secundaria en adelante, digamos). La segunda razón es que en especialidades como musicología y composición estos conocimientos son importantes, sobre todo a la luz del desarrollo moderno de ambos campos (musicología sistemática y computacional y música de los siglos XX y XXI).

Mis notas siguen con una definición de la disciplina de Informática dada por la ACM, la prestigiosa asociación de informática estadounidense; dicha definición está contenida en un informe periódico sobre el estado de la informática, el informe The Joint Task Force for Computing Curricula; véase [Cur05]. Reproduzco aquí, por completitud, la definición que establecen los autores de dicho informe (nuestra traducción):

De modo general, podemos dar el significado de computación a toda actividad que específicamente requiera ordenadores, se beneficie de ellos o los cree. Así pues, la computación incluye: el diseño de sistemas hardware y software para un amplio rango de objetivos; procesamiento, estructuración y gestión de varios tipos de información; la realización de estudios científicos; hacer que los ordenadores se comporten inteligentemente; crear y usar comunicaciones y entretenimiento multimedia; buscar y recopilar información relevante para cualquier objetivo particular, entre otros. La lista es virtualmente interminable y las posibilidades son infinitas. Computación tiene otros significados que son más específicos, basados en el contexto en que se usa el término. Por ejemplo, un especialista en sistemas de información verá el término computación de modo diferente al de un ingeniero de software. Con independencia del contexto, hacer computación de calidad puede ser complicada difícil y complicado. Porque la sociedad necesita gente que haga computación de calidad, concebimos la computación no solamente como una profesión sino como una disciplina científica.

Trasladando lo anterior a nuestro objeto de interés, la música, nos preguntamos ¿qué es la música? ¿De qué definición de música disponemos? Quizás estamos profundamente equivocados y la definición de música no deja resquicio alguno para la necesidad del estudio de las matemáticas en la música y aun menos de la probabilidad. Una definición de la música es una empresa mucho más arriesgada que la definición de la actividad informática. En torno a la definición de la música no hay consenso en absoluto, tal es su complejidad fenomenológica, cultural, social, semiótica, funcional, cognitiva y perceptual. Como ejemplo de la disparidad de definiciones de música que podemos encontrar, aquí está la de Xenakis, tomada de su libro Formalized music [Xen01] (la dejamos en inglés por ser lo suficientemente clara y por respeto al original):

  1. It[Music] is a sort of comportment necessary for whoever thinks it and makes it.
  2. It is an individual pleroma, a realization.
  3. It is a fixing in sound of imagined virtualities (cosmological, philosophical,…, arguments)
  4. It is normative, that is, unconsciously it is a model for being or for doing by sympathetic drive.
  5. It is catalytic: its mere presence permits internal psychic or mental transformations in the same way as the crystal ball of the hypnotist.
  6. It is the gratuitous play of a child.
  7. It is a mystical (but atheistic) asceticism. Consequently, expressions of sadness, joy, love and dramatic situations are only very limited particular instances.

Es una definición que combina elementos poéticos (gratuitous play of a child) con elementos cognitivos (mental transformations) y con elementos espirituales (asceticism). En una aparente paradoja, parece que esta definición deja poca oportunidad al estudio de la probabilidad en la música. Sin embargo, ¡Xenakis compuso música con métodos probabilísticos! (véanse los artículos de esta columna de finales de 2010 [Góm10cGóm10bGóm10a] para análisis de la música de Xenakis, en particular de la música que usa probabilidad).

Otra definición de música muy citada por su versatilidad es la que dio Edgard Varèse: música es sonido organizado. Varèse hacía referencia a su propia estética musical como compositor modernista que era, pero a la vez resume elegantemente múltiples aspectos de la definición de música. ¿Quién organiza la música o decide qué organizaciones del sonido son válidas? La cultura y la sociedad. Pero eso, aunque no está en su definición, aparece sutilmente implícito.

Otras escuelas de pensamiento hablan de la música como constructo social y afirman que la música es un acto totalmente social. Su definición y tratamiento dependen esencialmente de su consideración como fenómeno social. Otros autores consideran la música como un lenguaje enmarcado dentro de un contexto cultural y llegan a estudiar la música como un fenómeno semiótico. Aun otros autores ligan la definición de música a la capacidad del sonido de producir emociones en el oyente (la visión psicológica).

En el libro Psychological Foundations of Musical Behavior [RB06], Radocy y Boyle llevan a cabo un análisis exhaustivo de varios aspectos fundamentales de la música. Empiezan con la biomusicología, en particular, con la musicología evolutiva, que intenta explicar los orígenes evolutivos de la música, y con la neuromusicología, que se ocupa del estudio de los procesos neuronales y cognitivos que subyacen en la actividad musical. La música es un universal humano, pues todas las sociedades humanas conocidas tienen música vocal y prácticamente todas tienen alguna forma instrumental. Continúan con la perspectiva antropológica de la música. Porque la música es creada por el ser humano, aquella ha de servir a un fin y entonces hablamos de las funciones de la música (hay muchas: desde el entretenimiento hasta el ritual religioso). Estos autores prosiguen examinando la interesante perspectiva de la música como canalizador de la actividad motora, en especial su relación con el baile, y de ahí a la música como refuerzo de la conformidad con las normas sociales o como elemento integrador en el contexto social.

Sin embargo, sea cual sea la definición de música que intentemos establecer, hay un aspecto innegable en la música: se trata de un fenómeno. Nos puede interesar sus efectos emocionales en nosotros, o su raíces sociales y culturales, o sus aspectos organizativos, pero siempre permanecerá el hecho de que se puede estudiar como fenómeno. En este sentido, es lícito y necesario usar métodos científicos para su estudio. Obviamente, no abogamos aquí porque el estudio de la música se haga exclusivamente con esos métodos. Si la música es tal fenómeno multidimensional y complejo, los métodos de su estudio tendrán que tener esos atributos, y entre ellos se contará el método científico. Cualquier fenómeno lo suficientemente complejo—y la música ciertamente lo es — necesitará el razonamiento y el análisis en presencia de la incertidumbre del que hablaba en la introducción más arriba.

En los siguientes cuatro artículos de esta columna estudiaremos varios ejemplos de análisis musical por vía de la probabilidad. En 2010 David Temperley publicó un excelente libro [Tem10], Music and Probability, cuyo título no puede ser más elocuente; véase la portada del libro en la figura abajo. Aprovecharemos este recorrido por la música de la mano de la probabilidad para analizar el libro.

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Figura 1: Music and probability, de David Temperley

Ciertamente, el libro de Temperley no se podría considerar como un texto posible para un curso de probabilidad para músicos (o al menos para musicólogos), especialmente el capítulo 2. Cubre demasiado rápido y de una manera algo superficial el material básico de probabilidad (apenas siete páginas). Por el contrario, tiene el mérito de que sus ejemplos y explicaciones intuitivas son muy efectivos y originales. En verdad, la verdadera valía del libro reside en las aplicaciones que presenta. Para que el lector se haga una idea precisa de su contenido, en la figura 2 de abajo se encuentra el índice de contenidos.

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Figura 2: Índice de contenidos de Music and probability

¿Cuál sería, pues, una buena introducción a la probabilidad para músicos? Eso, claro es, depende del nivel previo de conocimiento que traigan esos músicos. Para fijar ideas, pensaremos en un alumno medio que estudia música con intención de llegar a ser profesional y que hizo el bachillerato, uno de letras (como mucho el de ciencias sociales). Con frecuencia, la última vez que estudió matemáticas fue en 4o de la ESO. El programa de este curso, de 4o de la ESO, tomado de [BOC15] (páginas 104–105), consiste en lo siguiente:

Contenidos de matemáticas de 4o de la ESO:

  1. Aritmética: números reales y radicales.
  2. Álgebra: polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones y sistemas no lineales.
  3. Geometría y trigonometría: razones trigonométricas, triángulos rectángulos, distancias, vectores en el plano, ecuaciones de la recta en el plano.
  4. Funciones: conceptos básicos, representación gráfica de parábolas e hipérbolas, representación de raíces, exponenciales y funciones definidas a trozos.
  5. Estadística, combinatoria y probabilidad: estudio de una variable estadística, distribuciones bidimensionales, recta de regresión, combinatoria y técnicas de recuento, conceptos básicos de probabilidad.

Como se puede apreciar, los contenidos son los habituales, nada fuera de lo esperado. Este es, sin embargo, el problema. Son los contenidos habituales. Esto significa, en el contexto de España, enseñanza tradicional, donde el alumno es un sujeto pasivo, donde hay más énfasis en la enseñanza del profesor que en el aprendizaje del alumno, donde el profesor ejerce una autoridad que no favorece el aprendizaje, donde el conocimiento se le da al alumno construido externamente y donde los contenidos se centran en los aspectos calculísticos y operativos en lugar de en las ideas y los conceptos, que es la verdadera riqueza y goce de las matemáticas. Para una crítica certera y feroz de la enseñanza actual de las matemáticas, urgimos encarecidamente al lector que lea el legendario artículo El lamento de un matemático de Paul Lockhart [Loc08]. Y por más paradójico que pueda sonar, el propio BOCM propone, a continuación de los contenidos, objetivos de aprendizaje de tipo conceptual e incluso emocional (“Confianza en las propias capacidades”). He aquí esa paradójica lista de objetivos de aprendizaje:

Procesos, métodos y actitudes en matemáticas:

1. Resolución de problemas.
  • Planificación del proceso de resolución de problemas.
  • Estrategias y procedimientos puestos en práctica: uso del lenguaje apropiado: (gráfico, numérico, algebraico, etc.), reformulación del problema, resolver subproblemas, recuento exhaustivo, empezar por casos particulares sencillos, buscar regularidades y leyes, etc.
  • Reflexión sobre los resultados: revisión de las operaciones utilizadas, asignación de unidades a los resultados, comprobación e interpretación de las soluciones en el contexto de la situación, búsqueda de otras formas de resolución, etc.
2. Investigaciones matemáticas.
  • Planteamiento de investigaciones matemáticas escolares en contextos numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos.
  • Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos.
  • Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico.
3. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:
(a) la recogida ordenada y la organización de datos.
(b) la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos.
(c) facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico.
(d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas.
(e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidos.
(f) comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas.

Las razones por las que calificamos esta lista de paradójica son que, en la realidad —en la triste realidad diríamos— esto no se enseña o se mal enseña. Por un lado, los profesores persisten en la enseñanza tradicional de las matemáticas, a pesar de su fracaso evidente. Por otro lado, los alumnos adoptan una actitud de vómito (memorizar la materia, sin comprenderla, con frecuencia el día anterior, y vomitarla el día del examen para después olvidarlo todo y así fomentar la ignorancia). A esto se añade el mal funcionamiento del sistema educativo (¿existe la inspección educativa en este país?), que permite lo anterior, junto una confusión pedagógica notable (¿quién enseña pedagogía a los profesores de instituto y universidad?, ¿cómo es posible que no conozcan nada sobre la psicología de los alumnos, su primordial material de trabajo?, ¿cómo es posible que algunos presuman de esta ignorancia y otros muchos nunca se decidan a cubrir esa laguna?).

Si de verdad queremos enseñar probabilidad a los músicos, debe ser desde el aprendizaje auténtico y significativo y no desde la enseñanza tradicional. En realidad, el capítulo 2 del libro de Temperley abunda en esa enseñanza tradicional. Se apresura por cubrir los rudimentos porque quiere llegar a las fascinantes y emocionantes aplicaciones. Pero este enfoque es un error porque los lectores se rendirán mucho antes si no entienden el capítulos de los fundamentos de la probabilidad.

2. Aprendizaje de la Probabilidad para músicos

En esta sección vamos a explicar brevemente cómo enfocaríamos la enseñanza de la probabilidad a músicos. La probabilidad, como dijimos antes, es razonamiento en presencia de la incertidumbre y se rinda a la evidencia de que los modos deterministas de razonamiento no funcionan en muchos contextos. Por tanto, la única manera de que alguien, músico o no, aprenda probabilidad es que se enfrente a problemas de probabilidad. De modo que empezaríamos proponiendo algunos problemas, por ejemplo, el clásico problema de Monty Hall. Helo aquí.

Problema 2.1 El nombre de la paradoja viene por el nombre del presentador del concurso Let’s make a deal. En el concurso se presenta al concursante tres puertas; detrás de una ellas hay un coche y detrás de cada una de las otras dos una cabra. El concursante elige una puerta y entonces Monty Hall, el presentador, abre otra puerta que siempre corresponde a la de una cabra. En este momento el presentador ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Supone alguna diferencia?

Este problema lo resolverían los alumnos en clase, no importa cuánto tarden, no importa cuántos errores cometan, no importan cuánto se resistan a razonar (muchos traerán baja autoestima matemática). Con este problema evaluaría su capacidad de argumentación, su rigor intelectual, su lenguaje, la precisión de su vocabulario, su autoestima matemática, su empatía, entre otras variables de importancia para el aprendizaje individual y colectivo.

Tras unas pocas sesiones de problemas de probabilidad, entraríamos en un mínimo de formalización y de terminología. En las discusiones habría aparecido la necesidad de dicha terminología y formalización. Habríamos de dar los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral, espacio de sucesos, sucesos elementales y compuestos, sucesos incompatibles. Dado que nuestros alumnos tendrían muy lejos los conjuntos, se haría necesario un repaso de este material, siempre en forma de problemas y discusiones, y dejando que ellos mismos se expliquen la materia entre sí.

De ahí entraríamos a la definición de espacio de probabilidad, que sería la definición axiomática de Kolmogorov. Esta definición, si se presenta adecuadamente, la puede comprender un alumno de primero de grado superior, por ejemplo. Tras esta definición vendrían la prueba de propiedades y, de nuevo, la resolución de problemas. Como ejemplo de propiedades, podríamos poner las siguientes:

Teorema 2.2 Sea (E,℘,P) un espacio de probabilidad.

(a) Si A,B son dos sucesos cualesquiera y A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B).
(b) La probabilidad es un número entre 0 y 1.
(c) Para todo A ∈ ℘, se tiene que P(A) = 1 - P(A).
(d) Si A,B son dos sucesos cualesquiera, entonces
P(A ∪ B ) = P (A) + P(B )- P (A ∩ B )

Tras este primer bloque de contacto con la probabilidad, entraríamos en la probabilidad condicionada. Con mis alumnos de informática, suelo emplear cerca de una hora en discutir cuál es el concepto que está detrás de la probabilidad condicionada y por qué llegamos a la fórmula

Profundizando en este contexto, aprenderían el teorema de la probabilidad total y el concepto de independencia. Este aprendizaje tiene que venir reforzado por problemas y discusiones. No aprenderán todo este aparato conceptual sin el crecimiento intelectual que supone resolver problemas y explicarle la solución a sus compañeros.

Y, por fin, iríamos al grandioso teorema de Bayes. Aquí es muy importante que entiendan este teorema en el contexto epistemológico, esto es, como mejora de los modelos de conocimiento. Los problemas deben elegirse cuidadosamente. En particular, y esto vale para todo lo anterior, los problemas que se propongan a los alumnos deben suponerles dificultades de lectura comprensiva y deben ser problemas que contengan una fuerte carga de interpretación (no deben ser problemas de respuesta cerrada).

En [Góm15bGóm15c] se pueden encontrar las notas de probabilidad en la asignatura que damos para ingenieros informáticos. Sobre mis métodos de aprendizaje, que son una combinación del método Moore (aprendizaje por indagación) y del aprendizaje colaborativo, se puede consultar [Góm15a]. Sobre la aplicación de dichos métodos al aprendizaje de la música, véase [TG15] (escrito en colaboración con Manuel Tizón).

 

Bibliografía

[BOC15] BOCM. Decreto 48/2015. http://www.bocm.es/boletin/CM_Orden_BOCM/2015/05/20/BOCM-20150520-1.PDF, mayo de 2015.

[Cur05] ACM Computing Curricula. The joint task force for computing curricula 2005. http://www.acm.org/education/curricvols/CC2005-March06Final.pdf, 2005.

[Fel63] W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley, 1963.

[Góm10a] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis III. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=11648&directory=67, diciembre de 2010.

[Góm10b] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=11510&directory=67, noviembre de 2010.

[Góm10c] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=11360&directory=67, octubre de 2010.

[Góm15a] P. Gómez. El método Moore o el aprendizaje por indagación. http://webpgomez.com/social/educacion/408-metodo-moore, consultado en septiembre de 2015.

[Góm15b] P. Gómez. Probabilidad (I) (notas de la asignatura de estadística). http://www.ma.eui.upm.es/usuarios/Fmartin/Docencia/Estadistica-15/Guion-Estad-15-16-tema-2-(I).pdf, septiembre de 2015.

[Góm15c] P. Gómez. Probabilidad (II) (notas de la asignatura de estadística). http://www.ma.eui.upm.es/usuarios/Fmartin/Docencia/Estadistica-15/Guion-Estad-15-16-tema-2-%28II%29.pdf, septiembre de 2015.

[Loc08] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. La gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 11(4):737–766, 2008. Documento accesible en http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824.

[RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006.

[Tem10] D. Temperley. Music and Probability. MIT Press Ltd, 2010.

[TG15] M. Tizón and P. Gómez. El aprendizaje por indagación II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14957&directory=67, consultado en septiembre de 2015.

[Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001.

 
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