81. (Febrero 2017) Una recensión subjetiva de libros sobre matemáticas y música

Por circunstancias puramente casuales he recibido en las últimas semanas peticiones de varios lectores preguntando por referencias de libros y artículos sobre matemáticas y música. En vista de ello y para satisfacer su deseo, vamos a dedicar el artículo de este mes a hacer una recensión de algunos libros sobre matemáticas y música. Ya avisamos que, como toda recensión, tendrá un cierto grado de subjetividad y que algunos lectores encontrarán que faltan cierta referencia mientras que otros en cambio pensarán que sobran tal otra referencia. Intentaré cubrir el mayor número de aspectos del campo, lo que no es fácil, y con una profundidad razonable, lo cual sigue sin ser fácil. La lista que viene a continuación cubre desde textos de divulgación hasta textos que se pueden encontrar en cursos avanzados en la universidad.

Hemos dividido en tres secciones las referencias. Primero están los libros de divulgación, que pueden leer los lectores interesados en las relaciones entre las matemáticas y la música. Son textos que son esencialmente divulgativos y que con unos mínimos conocimientos en ambos campos son posibles de seguir y disfrutar. La segunda colección de referencias ya son libros más avanzados, tanto en extensión como en profundidad. Algunos son textos universitarios que requieren matemáticas avanzadas y teoría de la música también avanzada. Comentaremos las características más sobresalientes de cada uno. Por último, hay unas pocas referencias de libros avanzados, dirigidos a musicólogos sistemáticos y computacionales, o lectores que tengan un nivel muy alto en ambas disciplinas.

Un reciente número de la revista National Geographic consistía en un monográfico de título La armonía es numérica [AM16] redactado por Javier Arbonés y Pablo Milrud. Está deliciosamente escrito y maquetado y está compuesto de cinco capítulos. En el primero los autores explican la teoría de la afinación pitágorica con un sentido exquisito de la exposición. El segundo capítulo es una teoría del ritmo, que revisan desde una perspectiva histórica. Es muy adecuado para aquellos que quieran entender los fundamentos matemáticos del ritmo en la música occidental (que es de carácter esencialmente divisivo frente a otras músicas que son aditivas). El capítulo 3 es una revisión de la fructífera relación que hay entre geometría y composición. Los autores muestran de una manera atractiva cómo se pueden usar transformaciones geométricas para generar variación en el material musical. Se habla, pues, de traslaciones, rotaciones, inversiones y de sus equivalencias musicales. Todo ello está profusamente ilustrado con ejemplos musicales tomados de los grandes compositores, desde Bach a Messian. El cuarto capítulo está dedicado a estudiar la digitalización del sonido; es el capítulo más técnico, más informático si queréis, y es enormemente instructivo. El último capítulo se titula Matemática para componer y versa sobre las matemáticas para la composición y es básicamente una excelente exposición de la teoría dodecafónica.

Harkleroad escribió un delicioso libro, no demasiado largo, de 130 páginas, titulado The math behind the music [Har06]. El autor toca varios temas, siempre con una prosa cristalina, con abundantes ejemplos musicales y con una férrea voluntad de claridad conceptual. El libro empieza con una defensa de la existencia de la relación entre las matemáticas y la música y termina con un capítulo cuyo título es Cómo no mezclar matemáticas y música, donde previene al lector sobre las relaciones forzadas o triviales entre ambos campos. En el resto de los capítulos Harkleroad estudia varios temas: la altura del sonido, en primer lugar; la teoría de la afinación; las transformaciones matemáticas del material musical (como hacían arriba Arbonés y Milrud); la teoría de grupos aplicada al tañido de campanas; la teoría de la probabilidad; y el estudio de los patrones melódicos.

Espero que el lector pueda perdonar a este humilde autor la necesidad de tener que citarse. He puesto todo mi esfuerzo y honestidad por hacer de esta columna una fuente de divulgación para las matemáticas y la música. Como puede ver el lector, en la columna de este mes casi todas las referencias están en inglés. En castellano no parece haber una tradición de estudio de estas dos disciplinas, matemáticas y música, como una unidad. Una de mis preocupaciones con esta columna ha sido la de proporcionar al lector en castellano de material de calidad para adentrarse en esa disciplina.

En las columnas de Divulgamat sobre matemáticas y música el lector puede encontrar artículos sobre los siguientes temas:

Nuestro primer libro es Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals [FFW03], editado por John Fauvel, Raymond Flood y Robin Wilson y tienen entre sus autores a primeras plumas como Ian Stewart, por ejemplo, entre otros. El libro está dividido en cuatro partes. La primera se llama música y matemáticas a través de la historia y proporciona una visión sucinta pero suficientemente rica del asunto, todo ello con ilustraciones históricas de calidad. Se centra en dos aspectos principalmente, la afinación y el temperamento, explicados soberbiamente, y la cosmología musical, donde presenta la teoría de Kepler.

El segundo capítulo revisa la teoría matemática del sonido (el capítulo se llama las matemáticas del sonido musical). Los autores pasan revista a los principios fundamentales de la producción del sonido en tres excelentes artículos. Quizás el más llamativo es de Ian Stewart, con su estilo divertido e incisivo, heredero directo de Martin Gardner, quien explica por qué no se puede construir un fagot con trastes. El último artículo describe la teoría de la combinación de tonos y consonancia de Helmholtz y está redactado por David Fowler.

El tercer capítulo es el estudio de la estructura en música. Empieza con un capítulo sobre la geometría en la música, donde se describen las operaciones geométricas más importantes aplicadas a la música. Se analizan varios pasajes musicales en este contexto. El siguiente capítulo versa sobre el tañido de campanas con cuerdas. Como se sabe, este tipo de toque es altamente susceptible de un estudio combinatorio y la teoría de grupos tiene mucho que decir aquí. El análisis que hacen en el texto es bastante profundo y claro. El tercer capítulo es un recorrido por técnicas matemáticas de composición, donde se hace un especial énfasis en obras de Schoenberg, Boulez y Xenakis.

El último capítulo, The composer speaks, tiene más nivel conceptual. Se estudia la relación entre los microtonos y los planos proyectivos y sigue para terminar el libro la composición fractal.

Music: a Mathematical Offering, escrito por David Benson, es uno de los mejores libros que hay disponibles ahora mismo para adentrarse a un nivel alto en esta disciplina. El libro está tan bien escrito que es posible adaptarlo desde el nivel de bachillerato hasta los últimos años de la carrera de matemáticas. Hay muchas cosas que me gustan de este libro. Como ya he dicho su escritura, en un inglés conciso pero no conceptista; con una clarísima voluntad pedagógica; con una notación matemática mínima y potente a la vez; con una visión del campo profunda y rica; y hasta diría que con un sentido del juego y del humor que hacen que su lectura sea una auténtico placer.

El libro está compuesto por nueve capítulos. En el primero Benson estudia las ondas y los armónicos. Me gusta de este capítulo que entra de lleno en los mecanismos de audición humana y esto va a ser muy útil para explicar la percepción musical más tarde. El segundo capítulo se llama teoría de Fourier y es una exposición soberbia en que alterna conceptos matemáticos fuertes (funciones de Bessel, el teorema de Fejer, las convoluciones, los coeficientes cepstrum, entre otras) con implicaciones musicales profundas. Mantiene al mínimo imprescindible las pruebas y los detalles técnicos y se centra con acierto en iluminar las relaciones entre esas matemáticas y la música.

El tercer capítulo es una guía matemática de la orquesta. Benson explica con un estilo muy ágil e ilustrativo la física y las matemáticas de los instrumentos de cuerda, los instrumentos de viento y los de percusión. No se limita únicamente a los instrumentos de la tradición occidental y, por ejemplo, estudia la mbira, un tipo de arpa de pulgar de África.

En el cuarto capítulo el autor examina la teoría de la consonancia en base a fenómenos psico-acústicos. Incluye explicaciones históricas de la consonancia y, como siempre, puesto en contexto musical. Llega a adentrarse en temas tan apasionantes como los espectros artificiales.

El quinto capítulo es uno de nuestros favoritos: las escalas y el temperamento. Y lo es por el estilo con que está escrito y por la profundidad que alcanza. Benson empieza, como era de esperar, con la teoría pitagórica de la afinación y, haciendo un recorrido histórico, pasa por la entonación justa y después por todos los temperamentos posteriores. Justifica muy bien el nacimiento del temperamento igual. En el siguiente capítulo se va a los temperamentos modernos e investiga las escalas de Harry Partch y otras escalas similares, escalas con más de 12 notas o con afinaciones especiales, como las escalas de 31 tonos, las escalas de Wendy Carlos o de Bohlen-Pierce.

El capítulo ocho es un exhaustivo estudio de la síntesis del sonido. Incluye todo lo que se debe saber para estar a un básico en este campo, desde envolventes y LFO hasta polinomios de Chebychev.

El último capítulo es otro gozo intelectual y emocional. Trata sobre al simetría en música. Benson usa teoría de grupos y aritmética modular para analizar y estudiar todo tipo de ejemplos musicales, desde los patrones en el arpa de Nzara, el tañido de campanas, la modulación por quintas, el dodecafonismo, entre otros.

Un libro imprescindible para los lectores con ansia de profundización es A Generative Theory of Tonal Music, de Lerdahl y Jackendoff [LJ83]. Este libro está inspirado a su vez en la teoría generativa de la lingüística de Noam Chomsky. Estos autores se preguntaron si era posible construir una gramática musical que explicase el fenómeno de la escucha musical tal y como había hecho Chomsky con el lenguaje.

Lerdahl y Jackendoff estudiaron la música desde un punto de vista de la cognición musical (tienen en cuenta muchos principios de esta disciplina) y con un afán de encontrar elementos estructurales en la música (ellos solo estudiaron la música tonal occidental). En la columna de julio de 2014 y siguientes [Góm14b], estudiamos en profundidad este libro. Allí decíamos que estos autores propone una estructura jerárquica compuesta por cuatro partes y que forma la base sobre la cual proporcionarán una descripción estructural de una pieza musical. Esas cuatro jerarquías son:

La lectura de este libro requiere un buen conocimiento del repertorio de la música clásica occidental, pues el libro está trufado por doquier de ejemplos musicales muy detallados.

Este libro de dos volúmenes está escrito por el músico, compositor, ingeniero de sistemas y multimedia Gareth Loy. Su libro, Musimathics [Loy11], está en la estela del libro de Benson. El libro de Loy contiene 10 capítulos, escritos con intensidad y profundidad. Empieza con un primer capítulo en que presenta conceptos musicales básicos, desde tono hasta timbre pasando por ritmo o escala. Tras esto entra directamente en la teoría de la afinación y cubre desde la afinación pitagórica hasta el temperamento igual y algunas afinaciones no tradicionales. El tercer y cuarto capítulo son una revisión bastante completa de la física del sonido. En el quinto, Loy estudia los fundamentos psicoacústicos del sonido. Los capítulos siete y ocho son más técnicos y en ellos se estudia acústica avanzada. Como se puede apreciar, está describiendo el fenómeno musical desde distintos puntos de vista antes de entrar en los capítulos finales, donde hace uso de todo lo anterior. El capítulo nueve versa sobre composición y métodos matemáticos. Se pasan revista principalmente a métodos estocásticos de composición, sobre todo a cadenas de Markov, pero también se tocan otros temas interesantes, como la teoría de la información y la representación del conocimiento musical. El volumen dos está dedicado principalmente a teoría de la señal y tiene menos interés para nosotros.

Michael Keith es un experto en combinatoria, ingeniero de software y además un escritor especializado en la escritura con restricciones al estilo de Oulipo y otros. En el año 91 se autopublicó el libro From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics [Kei91], que es una delicia en que explora las relaciones entre la combinatoria y la música. En este libro aparecen conceptos como los coeficientes binomiales, el triángulo de Pascal, la sucesión de Fibonacci y el teorema de enumeración de Pólya, con las cuales Keith procede a la enumeración de acordes, escalas y ritmos así como a la clasificación de todas ellas. Este texto se podría usar para motivar el estudio de la combinatoria desde alumnos de bachillerato hasta músicos con ciertos conocimientos matemáticos. En todo el texto se siente la presencia de la idea de la relevancia de la enumeración exhaustiva de elementos musicales. Aparte de la clasificación y enumeración, Keith propone medidas matemáticas de fenómenos musicales. En el libro encontramos, por ejemplo, una definición de síncopa, que fue analizada en esta columna en octubre de 2011, en el artículo de título Medidas matemáticas de síncopa [Góm11d], así como también una medida que cuantifica la bondad de una escala.

La mejor manera de describir el propósito de este libro, The Cognition of Basic Musical Structures es citar las palabras de su prefacio (nuestra traducción):

Escrito por David Temperley [Tem04], este libro es una continuación y una extensión de las ideas generativas de la música de Lerdahl y Jackendoff [LJ83]. Uno de los conceptos principales de la obra es la regla de preferencia. Temperley establece una serie de reglas de preferencia para varios parámetros musicales (métrica, melodía, armonía) y ante el análisis de una pieza escoge la interpretación que mejor satisface esas reglas de preferencia. Dichas reglas tienen un carácter computacional bastante marcado (entiéndase computacional como modelo computacional antes que como programación).

Otra virtud que tiene el libro de Temperley es que las reglas de preferencia están fuertemente basadas en la investigación en cognición musical. Así, por ejemplo, su algoritmo para determinar la tonalidad sigue los hallazgos de Krumhansl y Schmuckler sobre los perfiles de tonalidad. En el libro, en los capítulos 9 y 10, encontramos felizmente análisis de música no clásica, en particular, de rock y música africana.

El libro, aparte de la teoría que propone, plantea un buen número de preguntas que invitan a la reflexión y a la investigación. Por ejemplo, en la sección 11.3 se pregunta si existe música que no sea métrica. En resumen, es un libro que todo lector interesado en los modelos computacionales de la música debería leer, más aun si hablamos de musicólogos sistemáticos.

En este excelente libro de Tom Johnson, Other Harmony [Joh14], se examina desde un punto divulgativo pero riguroso, varios sistemas de armonía musical, algunos de los cuales tienen principios matemáticos. El autor no se limita solo a la armonía tonal, sino que explora la armonía atonal y lo que provocativamente llama Otras Armonías (sí, con esta ortografía). El mayor mérito de este libro, aparte de su escritura transparente y sencilla, es la exploración de lo heterodoxo, una exploración que siempre es necesaria y que hay que practicar con cierta regularidad, siquiera sea para adquirir una perspectiva más amplia. En la serie de artículos que empezaron en febrero de 2014 analizamos profundamente este libro y entonces de este libro dijimos lo siguiente:

Godfried Toussaint, que fue mi director de tesis, fue profesor en McGill University durante tres décadas y ahora enseña en la Universidad de New York en Abu Dhabi. Es el autor del libro The geometry of musical rhythm, un libro donde se explora profundamente las relaciones entre ritmo y matemáticas, sobre todo geometría. A lo largo de 38 capítulos, Toussaint expone varias modelos del ritmo y estudia múltiples propiedades suyos. El núcleo principal del libro es el examen de las propiedades que caracterizan a los “buenos” ritmos (también hay una discusión de que es un “buen” ritmo) y su descripción matemática.

El libro presenta un primer bloque de seis capítulos donde Toussaint define la terminología que usará en el resto del texto: ritmo, métrica, claves, ostinatos, y otros. Después procede al estudio de seis claves binarias que son muy usadas en las músicas del mundo (en tradiciones no occidentales diversas). Los siguientes capítulos tratan los ritmos binarios y ternarios y las operaciones que transforman unos en otros (este tema se trato en una columna de esta sección [Góm12d]). Otro tema que toca el libro son las medidas de complejidad rítmica y en particular las medidas de síncopa. Toussaint pasa revista a las medidas más comunes y las compara entre sí.

Del capítulo 19 al 31 Toussaint investiga familias importantes de ritmos. Empieza por los famosos ritmos euclídeos, aquellos que tienen sus notas distribuidas entre los pulsos lo más regularmente posible, y sigue con los ritmos cuasi-regulares, los ritmos complementarios, los ritmos profundos, los ritmos en cáscara (diferentes de las cáscaras de la música afro-cubana), ritmos simétricos, entre otros. En los siguientes capítulos se estudia la combinatoria de los ritmos y la filogénesis de los ritmos (la reconstrucción de ritmos por vía de algoritmos filogenéticos tomados de la Bioinformática). Por último, Toussaint dedica el capítulo 37 a hacer una defensa del ritmo de la clave son como el mejor ritmo pues, según el autor, posee muchas de las cualidades buenas que se han ido estudiando a lo largo del libro.

Este libro es digno de mencionar porque es uno de los intentos más acertados y sinceros por enseñar música a través de la matemática sin que esto sea un ejercicio de voluntad sino una necesidad intelectual. En su Foundations of diatonic theory [Joh08], el autor, Timothy Johnson, explica la teoría de escalas diatónicas a través de principios básicos de divisibilidad y aritmética modular. En realidad, aunque no lo usa, está hablando todo el tiempo de ritmos euclídeos. También llama la atención cómo ha organizado el material, de una excelencia pedagógica poco común, y el exquisito equilibrio entre música y matemáticas, estas últimas siempre al servicio de las primeras. Hicimos en su momento una serie entera, Enseñanza de música por vía de las matemáticas, dedicada a este libro; véase [Góm12c].

Consideramos que el libro de Jan Beran [Ber04], Statistics for Musicologists, es de obligada lectura y asimilación para cualquier músico profesional y en especial para los musicólogos. En su momento dedicamos dos columnas [Góm12e] a glosar el contenido del libro. En la primera columna, nos hacíamos eco de la definición de Richard Parncutt [Par07], que volvemos a recordar:

A estas alturas, negar que la música tiene fenómenos que son cuantificables y modelizables computacionalmente parece algo miope intelectualmente. Y dentro de los aspectos cuantificables de la música, la estadística es una herramienta muy potente. El libro de Beran tiene once capítulos y en cada uno estudia una técnica estadística distinta, la cual aplica al análisis musical. Una virtud de este libro es el gran número y calidad de los ejemplos musicales. Empieza con un capítulo general, de terminología, y continúa con un segundo que versa sobre minería de datos. Algo tan aparentemente simple como son las técnicas de estadística descriptiva se muestran en acción para extraer conclusiones sobre varios corpus bajo estudio. En el capítulo 3 se estudian las medidas globales de estructura. En el cuarto, se presentan las series temporales y sus aplicaciones en el análisis musical. El capítulo 5 trata de los métodos jerárquicos y su aplicación al estudio de la forma musical. En el capítulo 6 se estudian los modelos Markov y muchas de sus variadas aplicaciones al análisis musical. El resto de los capítulos tratan del análisis de componentes principales, el análisis de grupos y el escalado multidimensional. Hay que advertir que el nivel matemático del libro es bastante alto.

4.2. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice

El libro A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice [Tym11] debería ser otro libro de obligada lectura a todo alumno de música que tenga aspiraciones profesionales y aun más en el caso particular de los compositores. La explicación de la música tonal expuesta por Tymoczko en su libro es de una gran versatilidad y exhaustividad. Además, la abstracción y potencia conceptual de su enfoque permite que se explique con igual facilidad la música pop y el romanticismo, por poner un ejemplo. Las herramientas analíticas que propone Tymoczko, basadas en principios geométricos, consisten en ver las progresiones armónicas y el contrapunto como puntos de un cierto espacio geométrico y caracterizar esos movimientos armónicos a través de ciertas propiedades matemáticas. Este modelo, como prueba su autor, tiene una gran potencia explicatoria de una gran cantidad de música de la práctica común y de la práctica común extendida. La escritura de Tymoczko es digna de mención. A pesar de la envergadura conceptual, es seria cuando es pertinente serlo y humana y divertida en el resto del tiempo.

Si hay una obra monumental sobre matemáticas y música esa esa es el The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance [MG02] de Guerino Mazzola, músico de jazz y matemático, disciplinas ambas en que ejerce profesionalmente. Su libro es una obra titánica de abstracción en que usa teoría de categorías y otras artillería pesada matemática para explicar la música. Aviso desde este instante al estimado lector que este libro solo puede ser entendido por personas con una fuerte formación en ambas disciplinas.

Glosaremos brevemente algunas partes del libro, casi el índice, diríamos, dado que dicho contenido está muy por encima del nivel divulgativo de esta columna. El libro empieza con un capítulo llamado Topography, donde Mazzola describe la terminología que usará a lo largo de su extensa obra. Los conceptos son extremadamente abstractos y las teorías que los alimentan, igual. Se habla de estética, psicología, semiótica, filosofía de la música, entre otras. Sigue otro capítulo que directamente se llama ontología musical y que versa exactamente sobre la ontología musical. En el capítulo cuarto Mazzola reflexiona sobre la Musicología y sus métodos. Tras este capítulo el libro contiene con varias grandes secciones, y en cada una se recoge unidades independientes de su teoría. En la primera sección, llamada navegación y espacios de conceptos, se presentan los espacios de conceptos y los denotadores, elementos básicos de la teoría musical de Mazzola. En la siguiente sección se desarrolla la teoría local, que se ocupa de los parámetros musicales de medio nivel (melodía, ritmo, armonía, etc.). En la siguiente sección, Mazzola aborda la teoría global, que analiza los elementos más abstractos y globales de la música. El resto de las secciones contienen una teoría matemática de la semántica, una teoría matemática de la interpretación y métodos estadísticos de análisis musical.

La divulgación en matemáticas y música es difícil en nuestro entorno y en los tiempos que vivimos.

[AM16] Javier Arbonés and Pablo Milrud. La armonía es numérica. National Geographic, 2016.

[Ber04] Jan Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004.

[FFW03] John Fauvel, Raymond Flood, and Robin Wilson. Music and Mathematics from Pythagoras to Fractals. Oxford University Press, Oxford, England, 2003.

[GGMDB14] P. Gómez, E. Gómez, J. Mora, and J.M. Díaz-Báñez. Cofla: la música flamenca y su estudio computacional, abril de 2014.

[Góm10a] P. Gómez. El teorema del hexacordo, mayo de 2010.

[Góm10b] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis, octubre de 2010.

[Góm11a] P. Gómez. La liga de los compositores de música automática, septiembre de 2011.

[Góm11b] P. Gómez. Similitud rítmica en el flamenco, marzo de 2011.

[Góm11c] P. Gómez. Distancia y similitud musical, mayo de 2011.

[Góm11d] P. Gómez. Medidas matemáticas de síncopa, octubre de 2011.

[Góm12a] P. Gómez. Polígonos regulares y percusión, abril de 2012.

[Góm12b] P. Gómez. Rotaciones de ritmos, mayo de 2012.

[Góm12c] P. Gómez. Enseñanza de música por vía de las matemáticas, diciembre de 2012.

[Góm12d] P. Gómez. Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones, agosto de 2013.

[Góm12e] P. Gómez. Estadística en la musicología, julio de 2012.

[Góm12f] P. Gómez. Minimalismo y matemáticas: Clapping music, marzo de 2012.

[Góm14a] P. Gómez. Otras armonías son posibles, febrero de 2015.

[Góm14b] P. Gómez. Teoría generativa de la música, junio de 2014.

[Góm14c] P. Gómez. Paradojas matemáticas y musicales, noviembre de 2014.

[Góm15] P. Gómez. Fractales y percusión, septiembre de 2015.

[Góm16a] P. Gómez. Música y probabilidad, noviembre de 2015.

[Góm16b] P. Gómez. Cadenas de markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz, mayo de 2016.

[Góm16c] P. Gómez. Composición algorítmica, junio de 2016.

[Har06] Leon Harkleroad. The Math Behind the Music. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[Joh08] T.A. Johnson. Foundations of Diatonic Theory: A Mathematically Based Approach to Music Fundamentals. Mathematics Across the Curriculum. Scarecrow Press, 2008.

[Joh14] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014.

[Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991.

[LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983.

[Loy11] Gareth Loy. Musimathicsrds. MIT Press, 2011.

[MG02] G. Mazzola and S. Göller. The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Number v. 1 in The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser Basel, 2002.

[Par07] Richard Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007.

[Rap10] David Rappaport. Conjuntos de área máxima y la armonía, septiembre de 2010.

[SG12] Ricardo Sanz and Paco Gómez. Amalgamas, aksaks y métricas euclídeas, noviembre de 2012.

[Tem04] D. Temperley. The Cognition of Basic Musical Structures. MIT Press, 2004.

[Tym11] Dmitri Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. OUP USA, 2011.