93. (Octubre 2018) La geometría de la música (I)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Miércoles 17 de Octubre de 2018

1. Geometría y Música

Este año de 2018 inaugura una serie de artículos sobre la geometría y la música, o más exactamente sobre métodos y modelos geométricos de la música. De manera natural, la estructura geométrica aparece en multitud de contextos musicales, sencillamente como reflejo visual de la propia estructura musical. Pensemos sin ir más lejos en el círculo de quintas, en las representaciones circulares de los ritmos de clave [DGMM+08], en el tonnetz de Euler, en las representaciones en forma de árbol de la teoría generativa de la música [LJ83], la representación interna de la música mediante cadenas de Markov [Góm18], o la nomenclatura de acordes de Forte [For77], entre otras muchas. En esta serie hablaremos principalmente de la modelización geométrica en la armonía. Para ello, sin duda alguna, Dimitri Tymoczko [Tym18] es una de los autores más originales y profundos que ha tratado esta cuestión. Este compositor y teórico de la música de la Universidad de Princeton ha sido el primer autor en publicar en la prestigiosísima revista científica Science el primer artículo [CQT08] sobre teoría de la música en la historia de la revista, lo cual constituye un logro en sí mismo. También es muy conocido Tymoczko por su libro A Geometry of Music [Tym11], donde estudia modelos geométricos en relación a la armonía clásica y moderna, incluyendo escalas, conducción de voces y armonía funcional. Esta serie de artículos consistirán en una recensión del libro de Tymoczko (véase la portada en la figura de abajo).

La geometría de la música

Figura 1: A Geometry of Music [Tym11]

En esta primera entrega de la serie cubriremos fundamentalmente conceptos musicales, que luego nos servirán de base para el resto de los artículos. El artículo del mes que viene será más matemático y el resto consistirá en una combinación de conceptos musicales y métodos geométricos. El libro de Tymoczko es extenso y profundo, organizado en 10 capítulos con 450 páginas en total y cubriendo temas que van desde la tonalidad clásica hasta la práctica común extendida pasando por el jazz. Glosarlo exhaustivamente no es el objetivo de esta columna; daremos los ejemplos más representativos de cómo usar métodos geométricos para el análisis de la música.

2. Los cinco componentes de la tonalidad

En el capítulo uno, Tymoczko empieza con una discusión del término tonalidad. Se puede entender tonalidad en un sentido restrictivo como la música occidental de los siglos XVIII y XIX principalmente. Así, la música de Arvo Pärt, Varèse o Xenakis se pueden concebir como música post-tonal (o como humorísticamente lo pone el autor asaltos sonoros organizados). Sin embargo, el término tonalidad se puede emplear en un sentido más amplio y entonces comprende músicas tales como el impresionismo, rock, el folk, el minimalismo y por supuesto el jazz. El propósito del libro de Tymoczko es “proporcionar al lector categorías generales para discutir música que no es ni clásica ni completamente atonal”[Tym11, p. 3 y 4]. Y, en efecto, el libro tiene un nivel de abstracción que lo hace enriquecedor y atractivo; esto no obsta para que encontremos múltiples ejemplos que ilustran dichos conceptos abstractos.

En primer lugar, Tymoczko define lo que él llama los cinco componentes de la tonalidad. Estos son:

1. Movimiento melódico por grados conjuntos. Esta característica aparece en muchas culturas, no solo en la occidental. Varios autores han analizado la estructura de lo que se consideran buenas melodías y han concluido que el uso de grados conjuntos es una de sus características; véase [RB06] y las referencias allí mencionadas. Las otras características de las buenas melodías son la repetición y el sentido de finalidad.

La geometría de la música

Figura 2: Movimiento por grados conjuntos

En la melodía de la izquierda de la figura anterior vemos una melodía por grados conjuntos que acaba en un do final. En la melodía de la derecha, en cambio, la melodía presenta saltos de más de una octava; esto hace que el oído perciba dos melodías entrelazadas, una la del registro superior, mi-fa-fa-sol, y otra en el el registro inferior, re-mi-fa-sol. El primer tipo de melodía se prefiere al segundo en la mayor parte de las culturas musicales.

2. Consonancia acústica. Aquí se refiere el autor a los intervalos considerados consonantes, tales como la octava, la quinta o la cuarta. Muchos estilos musicales muestran una clara preferencia por este tipo de intervalos de tal modo que se les asigna funciones melódicas y armónicas de más importancia que a otros intervalos. Izumi [Izu00] llevó a cabo un interesante estudio en que prueba que los monos pueden distinguir intervalos consonantes y disonantes. Parece que la consonancia acústica podría ser un candidato a universal musical más allá del ser humano.

3. Consistencia armónica. Esta es una característica ligeramente más general que la anterior. Alude al uso de sonoridades que se parecen unas a otras. Siguiendo el ejemplo que Tymoczko da en la página 6 y que se puede ver en la figura de abajo, vemos tres sucesiones de acordes. La sucesión (a) consiste en una serie de acordes mayores y menores que auditivamente son similares. La sucesión (b) también presenta acordes con un cierto grado de similitud a pesar de las disonancias presentes. Por último, la sucesión (c) muestra acordes que son distintos entre sí y que apelan a sonoridades dispares.

La geometría de la música

Figura 3: Consistencia armónica (figura tomada de [Tym11])

4. Macroarmonía limitada. Este término apunta al hecho ampliamente constatado que en la mayor parte de las culturas musicales se usa un número relativamente pequeño de notas. En el caso de la música occidental, las escalas más frecuentes son la pentatónica, la diatónica y la cromática. Con esas notas se construyen las armonías y las melodías. El juego musical consiste en muchos casos en afirmar la escala dada y salir de esta para la creación de tensión. A veces ni siquiera esto y salir de la escala no está en el estilo musical; la tensión se crea con mecanismos confinados a la propia escala.

5. Centralidad. La centralidad alude a la presencia de ciertos tonos que son más importantes o centrales que otros. Estos tonos sirven como puntos de apoyo o como notas finales en las melodías y progresiones armónicas. Cuando un tono es central una melodía tiene una interpretación diferente a cuando otro tono es el central. Una melodía como do-re-mi-fa se interpreta de distinta manera si do es el tono estable a si lo es fa, por ejemplo. Cuando lo es do, esa melodía pide una continuación. Si el tono estable es fa, entonces la oímos más como un final de melodía.

El componente más cultural es, sin duda, la consistencia armónica. La idea de que la música tiene una estructura subyacente de acordes que cambian relativamente rápido es bastante occidental. En otras culturas, en cambio, esta idea no existe o si hay cambios de acordes, estos ocurren con una frecuencia mucho menor que en la música occidental.

En la página 7 de su libro Tymoczko hace una interesante descarga de responsabilidad. Afirma que, aunque un oyente típico crecido en la cultura occidental prefiere música que presente estas cinco cualidades, el autor no declara que la música occidental sea intrínsecamente mejor que otras músicas que no posean tales cualidades. En efecto, es claro que, independientemente de la enculturación que hayamos recibido, lo tonal no es sinónimo de bueno en música. Por cierto, que tampoco lo popular es bueno. De hecho, la pregunta de qué es buena música permanece sin respuesta en la bibliografía de la investigación. Para más información sobre la pregunta cercana de qué es un buen músico, véase la tesis de Pablo Romero [Rom18].

3. Cuatro afirmaciones fundamentales

A Geometry of Music se desarrolla en base a cuatro principios fundamentales, que son los que desarrollamos a continuación. Los tres primeros son aseveraciones musicales bastante razonables, que se pueden considerar como plausiblemente verdaderas en la música occidental y en otras tradiciones, y la última es, en cambio, una idea no tanto novedosa como una idea ya conocida pero llevada hasta proporciones inesperadas y aplicada con métodos bastante modernos. Dicha idea es la de que la música tiene estructura geométrica y que, por tanto, se puede analizar con métodos geométricos. En esta afirmación subyace la impresión de que Tymoczko considera que los métodos clásicos de análisis musical no dan cuenta de ese territorio que linda entre la música tonal y la práctica común extendida. Los métodos geométricos que propone el autor consiguen un análisis más amplio y unificado que otros métodos más clásicos.

3.1. La armonía y el contrapunto se restringen mutuamente

Esta afirmación es conocida de sobra por compositores desde hace tiempo. Tymoczko la establece aquí como premisa de trabajo y adoptando un tono pedagógico claro y ameno la ilustra. Para los lectores menos familiarizados con la música, reproducimos algunos de sus ejemplos. Si tomamos como acorde base el de do mayor, en un primer momento y buscando la máxima consonancia podríamos escoger entre dos opciones, ilustradas en la figura de abajo. En la opción (a), todas las notas pertenecen al acorde. Esto podría dar una melodía relativamente restringida y algo monótona. En la opción (b), se usan notas de paso y las notas del acorde, entonces, quedan en las partes fuertes. Estas notas de paso unen por grados conjuntos las notas del acorde. Esto da lugar a melodías más variadas.

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Figura 4: Armonizaciones simples de melodías (figura tomada de [Tym11])

El mecanismo de las notas de paso es válido para acordes ”sencillos”, como es el mayor. En el siguiente ejemplo, en cambio, ya vemos que no funciona.

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Figura 5: Armonizaciones de melodías con acordes complejos (figura tomada de [Tym11])

En la parte (b) de la figura se ve como hay que introducir muchas notas de paso para ligar las notas del acorde, lo cual descuadra la melodía.

Los ejemplos anteriores sirven de soporte a la afirmación de que la armonía y la melodía se restringen mutuamente.

Tymoczko presenta un concepto más, el de conducción de voces eficiente, que será primordial en el resto del libro. Siguiendo su ejemplo, supongamos que queremos unir dos acordes, do mayor y fa mayor, mediante tres melodías independientes pero con la restricción de que se muevan lo más posible por grados conjuntos. Esto es posible porque do mayor y fa mayor tienen la propiedad de que cada nota de un acorde está cerca de otra nota del otro acorde; véase la figura 6 (a). En la parte (b) de la figura vemos una posible realización de esa conducción de voces.

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Figura 6: Conducciones de voces (figura tomada de [Tym11])

Dado que el movimiento entre las voces es lo más pequeño posible (grados conjuntos) estamos ante una conducción de voces eficiente. Esta visión melódica de la armonía es el contrapunto.

3.2. La escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes

Para Tymoczko, una escala es una medida de distancia musical. Si hablamos de la escala pentatónica do-re-mi-sol-la, do y re está a distancia uno. En la escala cromática estarían a distancia dos. Y si una escala musical es una regla de medir distancias, entonces la macroarmonía es el número total de notas usadas en un periodo acotado de tiempo musical. En principio, y a falta de mayor perspicacia, ambas parecen estar muy interrelacionadas. Sin embargo, es posible separar ambos fenómenos. Es factible tal cosa en pasajes politonales (y no olvidemos que Tymoczko busca explicar música más allá de la práctica común). En un ejemplo que da y que se puede ver en la figura siguiente, vemos una voz, la superior, que se mueve en la escala diatónica de do mientras que la voz inferior se mueve en la pentatónica de sol bemol. El pasaje de abajo usa una escala pentatónica y una diatónica para crear una armonía cromática. El concepto de escala nos permite describir la estructura de cada voz y la macroarmonía, la estructura global.

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Figura 7: Pasaje politonal (figura tomada de [Tym11])

3.3. Toda modulación implica conducción de voces

Según Tymoczko, la música tonal usa las mismas técnicas de conducción de voces en dos niveles temporales. En el primero, el de las progresiones de acordes, se usan las conducciones eficientes de voces para ligar acordes que son estructuralmente similares. En el segundo, las modulaciones, se usan esas conducciones eficientes para ligar escalas estructuralmente similares. Como se puede apreciar, el punto de vista de este autor es que las progresiones de acordes ligan escalas en lugar de triadas.

3.4. La música puede entenderse desde un punto de vista geométrico

Esta afirmación de Tymoczko es la tesis más contundente de su libro y la razón de ser de su trabajo. Las estructuras geométricas ya se habían usado en la música en el pasado, y es quizás el círculo de quintas con su estructura de grupo la más conocida. Pero Tymoczko quiere ampliar el rango de aplicaciones y busca explicar teorías armónicas más complejas que la música tonal. Para ello, tiene que emplear modelos más complejos, topológicos, en tres dimensiones, que cuenten con propiedades profundas capaces de reflejar la riqueza de la estructura de la música. En la figura de abajo se puede ver un grafo tridimensional que representa todas las conducciones de voces a distancia de semitono entre las triadas mayor, menor, aumentada y disminuida. En las siguientes entregas de esta serie estudiaremos a fondo este tipo de modelos.

La geometría de la música

Figura 8: Modelos tridimensionales de conducciones de voces (figura tomada de [Tym11])

4. Conclusiones

Tras esta primera exposición de las ideas de Tymoczko, advertimos que el libro de este autor esta dirigido a un compositor ideal, esto es, la intención es describir estructuras conceptuales que puedan servir para crear música más que una investigación histórica de cómo han compuesto música compositores del pasado. También notamos que no tiene mucho interés en la parte perceptual (aunque claramente no la ignora por completo). Tymocko insiste a propósito de este extremo que “no debería suponerse que las estructuras cognitivas que hallan presentes cuando se hace música son las mismas que cuando se percibe esta”.

 

Bibliografía

[CQT08] Clifton Callender, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. The distance geometry of music. Science, 320:346–348, 2008.

[DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008.

[For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977.

[Góm18] Paco Gómez. Cadenas de markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz, consultado en septiembre de 2018.

[Izu00] A. Izumi. Japanese monkeys perceive sensory consonance of chords. Journal of the Acoustical Society of America, 108:3073–3078, 2000.

[LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983.

[RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006.

[Rom18] Pablo Romero. El buen músico: una definición por consenso en los acervos clásico y flamenco, consultado en septiembre de 2018.

[Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011.

[Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en septiembre de 2018.

 
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