94. (Noviembre 2018) La geometría de la música (II)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Lunes 26 de Noviembre de 2018

1. Introducción

Esta es la segunda entrega de la serie Geometría y Música, serie que versa sobre los modelos geométricos en música y que en su mayor parte será una recensión del libro de Dimitri Tymoczko [Tym18] A Geometry of Music. En la primera entrega [Góm18] examinamos las ideas principales de este autor sobre la música tonal y post-tonal. Vimos que Tymoczko caracteriza la tonalidad por cinco componentes principales: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o el hecho de que para construir la música se escoge un número relativamente pequeño de notas (las escalas); y (5) la centralidad o el hecho de que en la música tonal hay una jerarquía que otorga más importancia a ciertos tonos que a otros. Después de esta caracterización, Tymoczko continúa con lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recogemos de nuevo aquí porque serán importantes en el desarrollo de esta serie. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. Tymoczko aboga por el uso conceptual y práctico de los métodos geométricos para el análisis y la composición de música; se queja —y en muchos casos no le falta razón—de que los métodos tradicionales no proporcionan métodos de análisis suficientemente potentes y comprensivos. A partir de las premisas enumeradas antes, el autor persigue demostrar que los métodos geométricos son más satisfactorios en el análisis musical que los métodos tradicionales.

En las secciones siguientes se presentan los conceptos matemáticos y musicales básicos para entender las ideas principales de los métodos geométricos presentados por Tymoczko.

2. Espacios de tonos

Físicamente, el sonido consiste en vibraciones periódicas del aire. Cuando estás vibraciones son relativamente estables percibimos un sonido, que lleva asociada una frecuencia. Nuestro oído es capaz de percibir esa frecuencia y asociarle un tono o altura. En general, un tono no está dado por una única frecuencia, pero para nuestros propósitos podemos suponer que es así. Por la naturaleza del sonido, las frecuencias funcionan en términos de cocientes y no de sumas. Para ilustrar este hecho, supongamos que tenemos tres sonidos s1,s2,s3 de frecuencias, f,2f y 3f, respectivamente. Si reproducimos los sonidos s1 y s2 y a continuación reproducimos los sonidos s2 y s3, tendremos la sensación de que el salto auditivo entre los dos primeros es mayor que entre los dos últimos. Esto es debido a que nuestro oído detecta los cambios en los cocientes de la frecuencia y no los cambios en su diferencia (en esta caso las diferencias entre los sonidos es siempre f). Como el cociente entre las frecuencias de s1 y s2 es 2 y el cociente entre s2 y s3 es 3∕2, el primer salto se percibe como mayor. Trabajar con las proporciones es farragoso y por eso se pasa a un espacio en que las distancias entre las notas se midan mediante sumas y no mediante cocientes. La fórmula siguiente permite ese paso:

               (    )p = c1 + c2 ⋅log -f--              2  440

donde p es el tono asociado a la frecuencia f. En la ecuación aparece la normalización respecto al la de 440 hercios. Las constantes c1,c2 se toman típicamente como c1 = 69 y c2 = 12. Esta elección permite que cada octava esté dividida en 12 semitonos y que el tono de do4 (la nota de frecuencia 261,6 Hz) tenga como valor 60; véase la figura 1.

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Figura 1: Espacios lineales de tonos (figura tomada de [Tym11])

El espacio de tonos producido por la fórmula de arriba es lineal, esto es, se corresponde con el del conjunto de los enteros que se representan sobre una recta. Pasar de un tono a otro se hace ahora mediante sumas y restas. Por ejemplo, si un tono tiene valor x, el tono en la octava inmediatamente superior es x + 12 y el de la inmediatamente inferior, x - 12.

El oído humano tiende a oír los mismos tonos en distintas octavas como iguales o muy similares. Esto es lo que se llama la equivalencia de la octava. Se sabe que este principio constituye un universal musical (véase [BJ11] para más información sobre universales musicales). Por tal motivo, los músicos, cuando están interesados en la nota en sí misma y no en su posición en una octava determinada, identifican todos los tonos iguales en las octavas. Esto, matemáticamente hablando, es una relación de equivalencia, definida como sigue. Si x,y son dos tonos, entonces se dice que x está relacionado con y, y lo escribimos como x ~ y, si |x - y| = 12. Las clases de equivalencias se llaman clases de tonos o clases de alturas. Las clases de tonos se pueden representar sobre un círculo, que no es sino una visualización de las clases de equivalencia; véase la figura 2.

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Figura 2: Espacios circulares de tonos (figura tomada de [Tym11])

Será útil en el análisis de la música del siglo XX, como veremos en posteriores entregas de esta serie, considerar clases de tonos continuas. En la figura anterior aparece la clase de do más 0,17 cents como ilustración de que el modelo admite tonos con valores reales.

Se define la distancia entre dos clases de tonos como la distancia más corta en el círculo entre dichas clases. Entre dos notas dadas, siempre hay dos caminos que van de una a otra, uno en sentido horario y otro en sentido antihorario. Volviendo a la figura anterior, la distancia entre do y mi es 4 (y no 8 que sería el valor de la otra distancia). Como a veces será necesario especificar una de las dos distancias entre dos clases dadas, usaremos la notación do+-4→mi, que significa que se considera el camino que va de do a mi en sentido positivo (horario). La expresión do- 8-→mi se refiere al otro camino de do a mi. Una ventaja que tiene la representación en el círculo de las clases de tonos es que se puede representar el movimiento melódico como un caminos en el espacio de clases.

3. Transformaciones que preservan las distancias

La distancia entre dos notas o clases es importante en música y por ello los músicos clasifican dichas distancias y dan nombre a todos los intervalos que generan dos notas dadas. Entonces, las transformaciones musicales que preservan las distancias entre notas tienen especial relevancia. Dichas operaciones son la transposición y la inversión. En el lenguaje geométrico, estas operaciones se corresponden con la traslación y la simetría axial, también llamada reflexión.

La transposición consiste en añadir un número constante de semitonos x a un tono dado p. Se designa por Tx(p) y su expresión es Tx(p) = p + x. Dos melodías que estén transpuestas se perciben como iguales o muy similares. La segunda transformación que preserva las distancias es la inversión. Aquí hay que advertir que el término inversión es polisémico. En música, se usa para hablar de las inversiones de un acorde dentro de una octava, como en la primera inversión del acorde do-mi-sol es mi-sol-do; y también para hablar de la inversión referida al espacio de clases de tonos, que es la que estamos tratando ahora. La inversión cambia el contorno melódico y lo que asciende ahora desciende y viceversa; además las distancias entre los intervalos se respetan, aunque no así su dirección. Este tipo de inversión es la que se produce cuando estamos ante el espejo. Para ilustrarlo mejor, consideremos el ejemplo dado por el propio Tymoczko, en la página 34 de su libro y que reproducimos en la figura 3. En la parte (a) tenemos un pasaje de El clave bien temperado, libro II, de J. S. Bach; en la parte (b) tenemos el mismo pasaje al que se le ha aplicado la inversión. El bajo de la parte (b) es una reflexión exacta del bajo de la parte (a). El eje de simetría de la reflexión es el la3 = 57, que es la segunda nota del bajo. La melodía de la mano derecha también ha sufrido una inversión, excepto en la primera y última nota (por razones armónicas). Obsérvese cómo las direcciones de la melodía reflejada ha cambiado respecto a las de la melodía original.

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Figura 3: Inversiones en el El clave bien temperado, libro II, de Bach (figura tomada de [Tym11])

En términos de la geometría, la inversión es una reflexión o simetría axial. Para definir matemáticamente esta operación necesitamos dos puntos x,y en el círculo. El eje de simetría será la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento xy (dicho punto está dado por x+y- 2. En estas condiciones, la reflexión Iyx(p) de un punto p está dada por la expresión

Iyx(p ) = x + y - p

Obsérvese que Iyx(x) = y y que Iyx(y) = x.

En la figura siguiente se pueden ver las equivalencias geométricas de las operaciones de transposición e inversión.

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Figura 4: Transposiciones e inversiones (figura tomada de [Tym11])

4. Transformaciones que preservan la identidad musical

Para Tymoczko, un objeto musical básico es cualquier serie ordenada de tonos o notas. Esta es una definición bastante abstracta. Así, la serie (do4, mi4, sol4) puede representar o bien una melodía o bien un acorde. Esta abstracción, veremos pronto, es necesaria. La idea que se persigue aquí es clasificar los objetos musicales básicos de acuerdo a su contenido de tonos y no respecto a su distribución en la octava. Las tres transformaciones que conservan la identidad armónica de un objeto musical son: los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones y los cambios de cardinalidad. Por cambio de cardinalidad entendemos la duplicación de notas del objeto musical. En la figura siguiente se tiene el objeto (do4, mi4, sol4); en (a) están todas las posibles materializaciones de dicho objeto en la música y en (b) su representación en el espacio de clases de tonos.

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Figura 5: Transformaciones sobre objetos musicales básicos (figura tomada de [Tym11])

Consideremos ahora la categoría tipo de acorde; típicamente en esta categoría encontramos acordes como los mayores, menores, disminuidos, de séptima mayor, aumentados, de séptima de dominante, etc. Las transformaciones que dejan invariante el tipo de acorde son las anteriores, esto es, el cambio de octava, la permutación y el cambio de cardinalidad más una transformación, que son las transposiciones. Dos acordes mayores pertenecen a la misma categoría de tipo de acorde y como se ve en la figura siguiente están todos relacionados entre sí por medio de alguna transposición. De nuevo, en la parte (a) vemos varios acordes mayores y su equivalente en el espacio de clases en la parte (b).

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Figura 6: Transformaciones que dejan invariantes el tipo de acorde (figura tomada de [Tym11])

En este punto Tymoczko presenta la definición de equivalencia en el espacio de clases de tonos. Dos objetos musicales definidos en el espacio de clases se dicen que son equivalentes si uno se puede transformar en el otro por alguna de las siguientes transformaciones: cambio de octava, permutación, transposición, inversión o cambio de cardinalidad. Cogiendo las iniciales de cada una de estas transformaciones, llamaremos a estas transformaciones transformaciones OPTIC. A continuación mostramos una figura del libro de Tymoczko que ilustra claramente cómo funcionan las transformaciones OPTIC.

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Figura 7: Transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11])

En ciertos contextos, especialmente en la práctica común extendida, aparece la necesidad de considerar colecciones no ordenadas de tonos. Para no confundir con las series ordenadas de tonos, los designaremos con corchetes. Así, (do4, mi4, sol4) es la serie ordenada de tonos y {do4, mi4, sol4, do4} es el conjunto de tonos; obsérvese que en realidad es un multiconjunto porque admite repeticiones de los tonos. Otros objetos de interés son los acordes de tonos (que no de clases) y las sucesiones de clases de tonos (usadas estas en el análisis de la música dodecafónica). En la tabla de abajo se listan diversos objetos musicales con las transformaciones que los dejan invariantes.

Tipo de objeto Invariancia
Acorde (clases de tonos) OPC
Tipo de acorde OPTC
Conjuntos de clases OPTIC
Multiconjuntos de clases de tonos OP
Acorde (solo tonos) PC
Sucesión de clases de tonos OC

Tabla 1: Objetos musicales y las tranformaciones que los dejan invariantes

5. Conducciones de voces y progresiones de acordes

Siguiendo el enfoque abstracto de Tymoczko, en esta sección abordamos a continuación las progresiones abstractas. Por progresión aquí quiere decir el autor una progresión de objetos musicales, los cuales pueden ser cualquiera de los objetos listados en la primera columna de la tabla 1. Es evidente que las operaciones OPTIC se pueden aplicar a las progresiones abstractas y que la manera de hacerlo condicionará el resultado. Hay dos maneras de aplicar una operación a una progresión abstracta, bien de modo individual o de modo uniforme. La primera manera consiste en aplicar solo la operación a ciertos elementos de la progresión (y se puede aplicar más de una operación); en la segunda manera la operación en cuestión se aplica a cada elemento de la progresión. Para ilustrar estas definiciones, déjenos el lector considerar la progresión (do4, mi4, sol4)-→(do4, fa4, la4); véase la figura 8 (a). Si aplicamos una permutación de manera uniforme, por ejemplo, rotar el acorde a la izquierda una posición, entonces tendremos la progresión (mi4, sol4,do4)-→(fa4, la4, do4), como se aprecia en la figura 8 (b).

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Figura 8: Maneras de aplicar las transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11])

Si aplicamos distintas permutaciones a cada acorde, entonces las operaciones se habrían aplicado de manera individual. En la figura 8 (c) se ve que el acorde de do mayor ha sido rotado una posición a la derecha y en cambio el de la mayor lo ha sido dos veces.

Una conducción de voces es la descripción de cómo se mueve cada voz de un acorde a otro. Una progresión de acordes es una serie ordenada de acordes. Esta serie no contiene información alguna sobre cómo se mueven las voces para conectar los acordes entre sí. Desde el punto de vista matemático, las conducciones de voces se producen cuando se aplican permutaciones de manera uniforme, mientras que las progresiones de acordes surgen cuando se aplican permutaciones y cambios de cardinalidad de manera individual.

Por último, decir que las conducciones de voces se pueden dar entre tonos o entre clases de tonos. Una conducción de voces se suele denotar por una flecha que une los dos conjuntos de notas. Si nos encontramos con una conducción tal como (sol2, sol3, si3, re4, mi4)-→(do3, sol3, do4, do4, mi4), entonces estamos ante una conducción de voces entre tonos. Cuando abstraemos la octava de cada nota, pasamos a las clases de tonos, pero entonces hay que indicar el número de semitonos entre dichas clases, lo cual se hace poniéndolo encima de la flecha. En el ejemplo anterior sería (sol, sol, si, re, mi)5,0,1-,-→2,-1(do, sol, do, do, mi). Cuando todos los semitonos para pasar de un acorde a otro están en el intervalo [-6,6] se pueden omitir los semitonos de encima de la flecha, ya que en este caso se está usando el camino más corto posible. Como es el caso del ejemplo anterior, podemos escribir (sol, sol, si, re, mi)-→(do, sol, do, do, mi). En el caso del tritono, que es la mitad exacta de la octava, se toma la convención de que siempre ascienden.

Típicamente, una progresión de acordes es simplemente una sucesión de conjuntos de clases de tonos no ordenados. Así, por ejemplo, la sucesión {do, mi, sol♭}⇒{mi, sol♯, si} es una progresión cuyo primer acorde es do7 y cuyo segundo es mi. Para distinguir de las conducciones de voces, usaremos en el resto de la serie la notación ⇒ en lugar de -→. Obsérvese también que se han utilizado llaves en lugar de paréntesis. En la figura siguiente se ilustra esta definición sobre el círculo de tonos.

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Figura 9: La progresión {do, mi, sol♭}=⇒{mi, sol♯, si} (figura tomada de [Tym11])

6. Comparación de conducciones de voces

En este capítulo del libro, Tymoczko define una serie de relaciones que le servirán para comparar conducciones de voces. Aquí usa los conceptos de aplicación uniforme e individual de transformaciones que introdujo anteriormente. Fijemos una conducción de voces A-→B, donde A,B son acordes; dichas relaciones son las siguientes:

  • Conducciones relacionadas por transporte uniforme (TU). En estas conducciones se transforma el acorde A en el acorde B por una aplicación uniforme de una transposición a cada una de las notas de A. Cuando esto ocurra diremos que la conducción de voces es TU.
  • Conducciones relacionadas por transporte individual (TI). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. En la figura siguiente se ilustra estas dos definiciones con dos conducciones de voces.

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    Figura 10: Conducciones TU y TI (figura tomada de [Tym11])

    Obsérvese que en la parte (a) de la figura, la conducción (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(sol, do, mi) son TU porque la translación T7 convierte la una en la otra. En cambio en la parte (b), las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(fa♯, la , re♯) son solo TI ya que hacen falta dos transposiciones diferentes, T7 y T6, para transformar la primera en la segunda. En este caso las conducciones de voces on IU.

  • Conducciones relacionadas por inversión uniforme (IU). En estas conducciones se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación uniforme de una inversión a cada una de las notas de A. Si este es el caso, diremos que la conducción de voces es IU.
  • Conducciones relacionadas por inversión individual (II). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. La figura 11 muestra dos conducciones de voces diferentes, una que es IU (parte (a)) y otra II (parte (b)). Las conducciones IU son (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi)-→(sol, si, re). ¿Cuál es la inversión que transforma el acorde (do, mi, sol) en (sol, do, mi)? Como vimos más arriba, la inversión transformará do en sol y mi en mi♭. El eje de simetría de la inversión será el punto medio entre mi y mi, que denotaremos por mi44 (en la figura aparece como E44). La inversión se ha aplicado a cada nota de la conducción de voces.

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    Figura 11: Conducciones IU e II (figura tomada de [Tym11])

    Si ahora consideramos las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi)-→(sol♯, si, re), veremos que no son IU sino II. En efecto, para pasar del segundo acorde de la primera conducción al segundo acorde de la segunda conducción hace falta una inversión distinta de Imi44mi44 (hace falta Imi 4mi4). Por ello, las conducciones de voces no son IU sino II.

7. El tamaño de una conducción de voces

Para continuar con el trabajo de modelizar geométricamente las conducciones de voces, Tymoczko necesita presentar el concepto de tamaño de una conducción de voces. Intuitivamente, ese tamaño es una medida de cuánto se mueven las voces cuando van de un acorde a otro. Es posible definir varias medidas para el tamaño de una conducción de voces, pero según Tymoczko, que no se decide por ninguna en particular por el momento, lo razonable es que al menos respeten los dos siguientes principios:

  1. La medida del tamaño de la conducción de voces tiene que ser proporcional a cuánto se mueve cada voz individualmente.
  2. Conducciones con cruzamientos de voces deben dar mayores tamaños que las conducciones equivalentes sin el cruzamiento. Esto es lo mismo que decir que es preferible que muchas voces se muevan a poca distancia que pocas voces se muevan a grandes distancias. La figura 12 ilustra este extremo. La conducción en (a) es menos preferible que la conducción en (b); el ejemplo de (c) está tomado de la coral de Bach Nun lob, mein Seel, den Herren.

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Figura 12: El tamaño de una conducción de voces (figura tomada de [Tym11])

8. Más consideraciones sobre armonía y contrapunto

Como sabemos, la armonía se ocupa de lo vertical y el contrapunto de lo horizontal y aquí el problema que estamos estudiando es cómo dada una progresión de acordes (vertical), encontrar una conducción de voces (horizontal) que sea eficiente. En esta sección vamos a estudiar qué acordes permiten conducciones de voces eficientes, esto es, que muevan lo menos posible las voces entre acorde y acorde. El concepto que va a permitir alcanzar esto es el de quasi-simetría. Vamos a estudiar qué acordes permanecen inalterados por las operaciones OPTIC a tal efecto; en realidad, nos basta estudiar las transposiciones, las inversiones y las permutaciones. Estos acordes recibirán el nombre de acordes quasi-simétricos.

¿Qué acordes permanecen inalterados tras la aplicación de una cierta transposición? Se puede probar que dichos acordes pertenecen a una de estas dos categorías: (1) o bien dividen el círculo en partes iguales; (2) o bien esos acordes pueden descomponerse en subconjuntos de igual tamaño que dividen al círculo en partes iguales. Típicos acordes que cumplen (1) son el acorde de notas a distancia de un tritono o el acorde disminuido. Los acordes que cumplen estas propiedades se llaman acordes simétricos de transposición o simplemente acordes ST. En la figura 13 tenemos ejemplos de las condiciones (1) y (2). En la parte (a) tenemos un acorde de dos notas con sus notas a distancia de 6 semitonos. Claramente, la transposición T6(x) deja el acorde inalterado. En la parte (b), tenemos el acorde (do, fa, fa♯, si), el cual se puede descomponer en los tritonos (do, fa♯) y (fa, si); dichos tritonos tienen el mismo tamaño y dividen por igual al círculo. Por tanto, son acordes ST.

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Figura 13: Acordes ST o acordes simétricos de transposición (figura tomada de [Tym11])

Centrémonos ahora en las inversiones. Un acorde para el que existe una inversión que lo deja inalterado se llama un acorde simétrico por inversión o simplemente un acorde SI. La pregunta es qué acordes permanecen inalterados si se les aplica una inversión. Para que esto ocurra deberá existir un eje de simetría, que debe ser un diámetro del círculo, y que debe estar dado por la perpendicular por el punto del segmento que una dos notas del acorde. Por ejemplo, en el acorde (do, re, mi), el eje de simetría está dado por la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento do-mi, el cual, en efecto, pasa por la nota re; véase la figura 14.

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Figura 14: Acordes SI o acordes simétricos por inversión (figura tomada de [Tym11])

Tymoczko en las páginas 57-58 de su libro da un ejemplo real de cómo los acordes SI dan una conducción de voces eficiente. La figura 15 ilustra la conducción de voces entre el acorde (fa, la, do, mi) y (fa, la, do, re). En (a) vemos que el acorde (fa, la, do, mi) está cerca del acorde de séptima disminuida. Invirtiendo esta conducción de voces uniformemente alrededor del eje de simetría dado por la4-si4, tenemos una conducción de voces eficiente entre el acorde mi7 y el acorde disminuido, como se ve en (b). Ahora aplicamos una retrogradación de la conducción de (b) y la pegamos a la de (a), como se aprecia en la parte (c) de la figura. Por último, suprimimos el acorde auxiliar (fa, la, do, re) y conseguimos la conducción eficiente que buscábamos; véase (d).

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Figura 15: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de inversión (figura tomada de [Tym11])

Por último, queda examinar los acordes que permanecen inalterados por la aplicación de permutaciones. Los llamaremos acordes simétricos de permutaciones o acordes SP. Para tratar este tipo de acordes es más conveniente pensar en multiconjuntos. En realidad, los acordes SP son triviales. Tienen que ser de la forma {X,..., X}, donde X es una nota. Sin embargo, los acordes vecinos a estos sí son interesantes. Consideremos el acorde SP {do, do, do} y su acorde cercano (si, do, do); se quiere construir una conducción de voces entre (re♭, do, si) y (si, re, do). El procedimiento es similar al caso anterior de las simetrías de inversión. Primero, se transforma el primer acorde a uno con simetría, en este caso de permutación, que es (do, do, do), como en (a) de la figura; a continuación se aplica una retrogradación y se reordenan las voces y se obtiene una conducción de voces entre (do, do, do) y el acorde final (parte (b) de la figura). Por último, se suprime el acorde auxiliar, el de la simetría y ya tenemos la conducción buscada (parte (c)).

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Figura 16: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de permutación (figura tomada de [Tym11])

Como se puede deducir de los ejemplos anteriores, el procedimiento para construir la conducción de voces es el mismo; solo cambia el tipo de acorde y su simetría que se emplea en cada caso.

 

Bibliografía

[BJ11] S. Brown and J. Jordania. Music evokes vicarious emotions in listeners. Psychology of Music, 41(2):229–248, 2011.

[Góm18] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018.

[Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011.

[Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en septiembre de 2018.

 
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