96. (Febrero 2019) La geometría de la música (IV)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Lunes 18 de Febrero de 2019

1. La geometría de las escalas

Esta es la cuarta entrega de la serie Geometría y Música, serie en la que estamos revisando a fondo el libro A Geometry of Music [Tym18] del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. En este libro, Tymoczko hace una defensa sólida y apasionada de los métodos geométricos del análisis musical. En la primera entrega [Góm18c] se caracterizaron cinco componentes de la música tonal, a saber: el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas, la macroarmonía limitada o la elección de las escalas, y la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. En la segunda serie [Góm18a] entramos a describir las bases mátemáticas de los modelos propuestos por Tymoczko. Se definieron los espacios de frecuencias y de alturas, se definieron operaciones relavantes musicalmente, las operaciones OPTIC, y se estudió qué objetos musicales quedan invariantes por estas operaciones. Por último, se examinó la cuestión de la comparación de conducciones de voces. En la tercer serie [Góm18b] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces.

En la entrega presente trataremos la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces. Parte del trabajo ya está hecho en el material de las entregas previas; ahora se trata de cambiar la perspectiva de acordes a la de escalas.

Una escala se puede concebir como una regla que se construye sobre la extensión de una porción fija del espacio de frecuencias. Visto desde un marco abstracto, cualquier colección de notas puede serlo y aunque observamos que muchas escalas tienen distancias pequeñas y que con frecuencia se ajustan a la octava, para su definición formal basta con que la escala determine la distancia entre notas consecutivas. La distancia entre dos notas consecutivas de una escala se llama paso de la escala. Las escalas por octava son escalas que marcan las notas en una octava dada y luego, por transposición, extienden la definición de la escala al resto de octavas. Las escalas mayores y menores de la música occidental son de este tipo. Una escala por octava se puede concebir una selección de clases de alturas, ya que las notas se repiten en todas las octavas; véase la figura 1.

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Figura 1: Escalas por octava (figura tomada de [Tym11])

2. Grados de la escala, transposiciones e inversiones en escalas

Como hemos dicho antes, una escala proporciona una medida de la distancia musical. Si tomamos, por ejemplo, la división en 12 semitonos de la octava, entonces la escala diatónica es una agrupación de las distancias cromáticas en el conjunto (2,2,1,2,2,2,1). Al pensar en términos de escalas, asignamos a cada grado de la escala un número, empezando por la primera nota con el uno y así sucesivamente. La asignación de los grados es arbitraria y en principio la primera nota no es más importante que el resto. Análogamente a las transposiciones e inversiones en el espacio cromático (vistas en la segunda entrega de esta serie [Góm18c]), se pueden definir similares operaciones e investigar las escalas que quedan invariantes por ellas. Transponer una escala es sencillamente sumar a cada grado de la escala una constante. Para invertir una escala, se fija una de sus notas y se giran el resto de las notas alrededor de la misma. La figura siguiente ilustra ambas operaciones.

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Figura 2: Operaciones sobre escalas (figura tomada de [Tym11])

Cuando se refiere a escalas, la situación de las clases de acordes invariantes por las operaciones es ligeramente diferente a cuando se consideran en el espacio cromático. Dos acordes pertenecerán a la misma clases invariante por transposiciones cuando uno sea una transposición del otro. Si estamos en la escala de do menor, los acordes (B, D, F) y (C, E♭, G) se encuentran en la misma clase porque el segundo es igual al primero un más un paso de escala. La figura siguiente muestra todos los acordes que pertenecen a la misma clase. Nótese que cromáticamente (B, D, F) y (C, E♭, G) son distintos, pues el primero es un acorde disminuido y el segundo un acorde menor.

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Figura 3: Transposición de acordes en escalas (figura tomada de [Tym11])

3. Construcción de escalas

Las escalas son la base de la armonía y, por tanto, en la práctica compositiva se busca que haya un equilibrio entre el número de intervalos consonantes y disonantes. Dado que la octava es el intervalo más consonantes las escalas por octava, esto es, las que repiten la misma distribución de notas en cada octava son muy frecuentes. El segundo intervalo más consonante es la quinta pura, es decir, el intervalo en que el cociente entre la frecuencia más aguda y la más grave es igual a 3∕2. Supongamos que queremos construir una escala que contenga el máximo número de quintas puras. Se sabe desde hace mucho tiempo que es imposible construir una escala en que contenga quintas puras arriba y abajo de cada nota; de ahí que pidamos solo el máximo número posible. Si concatenamos cinco quintas perfectas puras seguidas, como se muestra en la figura 4 (a), veremos que no alcanzamos de nuevo una octava. Matemáticamente, esto es debido a que no hay ningún par de números enteros n,m tales que (3) 2n = 2m. La última quinta se queda 0.9 semitonos por debajo de la nota de la octava (el do entre paréntesis en la figura). Otra opción sería concatenar siete quintas perfectas puras (la parte (b) de la figura), pero entonces ahora se sobrepasa en 1.137 semitones, y es aun peor que el caso anterior. Siendo más radical, si concatenamos doce quintas perfectas puras (la parte (c) de la figura), entonces nos quedamos por encima de la nota de la octava en 0.25 semitonos.

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Figura 4: Concatenación de quintas perfectas puras (figura tomada de [Tym11])

Puesto que las quintas perfectas puras no han funcionado, se puede pensar que otros intervalos puros sí podrían dar resultado. Por ejemplo, consideremos las terceras mayores puras, cuya constante de proporcionalidad es 5∕4. Una concatenación de cuatro terceras mayores puras se queda corta en 0.41 semitonos con respecto a la octava; véase la figura 5 (a). Si seguimos apilando terceras, digamos hasta cinco, en ese caso se excede en 0.62 semitonos, como muestra la parte (b) de la figura.

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Figura 5: Concatenación de terceras mayores puras (figura tomada de [Tym11])

Vemos que las quintas y terceras mayores puras no funcionan. Un recurso al que se ha recurrido es el de combinar ciclos generados por estos intervalos para crear las escalas. Por ejemplo, la escala hexatónica, que aparecen en la figura 6 (a), está generada a partir de dos ciclos de tres terceras mayores puras que se encuentran a distancia de una quinta perfecta pura. La escala resultante cumple con el deseo de tener intervalos puros, pero queda en medio de la escala un salto excesivamente grande, de una tercera menor mi-sol. En otras palabras, es también deseable en una escala que divida a la octava regularmente. Esta propiedad de regularidad significa que las notas de la escala se distribuyan lo más regularmente posible dentro de la octava . La escala hexatónica obtenida no cumple tal propiedad. Otra posibilidad es la escala octotónica; está construida a partir de dos ciclos de terceras menores puras, como se aprecia en la parte (b) de la figura. Esta escala sí se acerca más al ideal de la división regular de la octava. Esta escala se ha usado en la música clásica del siglo XX, entre otros por Igor Stravinsky en su Consagración de la primavera y Petroushka. Otro ejemplo de escala regular es la escala de tonos enteros. Se forma tomando dos ciclos de dos terceras mayores puras a distancia de una segunda mayor; véase (c) en la figura de abajo.

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Figura 6: Concatenación de diversas combinaciones de intervalos (figura tomada de [Tym11])

Por último, es posible construir escalas concatenando terceras mayores y menores puras a lo largo de dos octavas. Esto produce cuatro escalas que nos son muy conocidas (véase la figura 7). La escala diatónica ((a) en la figura) está formada por una alternancia de terceras mayores y menores, excepto en la nota re, que de nuevo repite una tercera menor. La escala de la figura (b) es la escala acústica o escala melódica menor ascendente. Se le llama acústica porque sus notas son aproximadamente iguales a las de las siete primeras notas de la serie armónica. La escala en (c) es la armónica menor y la de (d) la armónica mayor, cada una generada con distintas combinaciones de terceras mayores y menores.

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Figura 7: Cuatro escalas muy conocidas (figura tomada de [Tym11])

Las escalas diatónica, de tonos enteros, acústica y octotónica tienen las propiedades de que están formadas por tonos o semitonos y de que sus terceras están compuestas por tres o cuatro semitonos solo.

El temperamento igual soluciona todos los problemas anterior dividiendo la escala en 12 semitonos de igual distancia en frecuencia. Esto es equivalente a decir que el cociente entre dos semitonos consecutivos es igual a 1√2--  2. Esta es la división de la octava más regular posible ya que es la división en partes iguales. Para más información sobre afinaciones y temperamentos, véanse las excelentes referencias [Ben06] y [Bar04]; y en particular, para su fascinante historia recomendamos el libro de Javier Goldáraz [Gol92].

La estructura de una escala determina la conducción de voces y la modulación (esto es, aspectos las macroarmonías; véase la primera entrega de la serie [Góm18c]). Por ejemplo, para modular desde do mayor, cuya escala no tiene ningún sostenido, a sol mayor, que tiene solo el fa sostenido, basta con un único cambio de nota, de fa a fa sostenido. Este hecho ha sido explotado en música intensivamente para la modulación y es el responsable del famoso círculo de quintas. La manera de hacerlo es usando un acorde pivote, esto es, un acorde que está en ambas escalas y que al ser reinterpretado en tonalidad destino permite la modulación. Para más información sobre modulaciones, véase [Pis91].

4. Conducción de voces entre las escalas más comunes

Fijado el temperamento igual, las cuatro escalas de siete notas más regulares son la diatónica, la acústica, la armónica menor y la armónica mayor; véanse las figuras 6 y 7. Como ocurría con los acordes (véase [Góm18a]), se pueden disponer las escalas en un modelo geométrico, mostrado en la figura siguiente, que refleja las conexiones entre escalas. En la figura el clásico círculo de quintas de escalas diatónicas corresponde a la línea gruesa sólida; en cambio, el círculo no diatónico de quintas es la línea a puntos que empieza en el sol acústico situado abajo a la derecha de la figura.

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Figura 8: Modelos geométricos de escalas (figura tomada de [Tym11])

Las conexiones entre las escalas vienen dadas por los cambios que hay que efectuar para transformar una escala en la otra; esta idea sigue el espíritu, por ejemplo, de las distancia del excavador (earth’s mover definida por Typke y sus colaboradores [TGV+03], que es un tipo especial de distancia de edición. La distancia de edición se define como el número mínimo de operaciones que hay que efectuar para transformar un objeto en otro, en este caso una escala en otra, donde las operaciones son tres: borrado, inserción y sustitución. Véase el artículo de esta columna [?] para más información. Para la transformación entre esas cuatro escalas se tienen que mover arriba y abajo ciertas notas, y en el caso de la escala octotónica descomponer y unir ciertos intervalos. La figura siguiente muestra la relación entre las escalas en función de los cambios que hay que hacer para pasar de una escala a otra.

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Figura 9: Transformaciones entre escalas (figura tomada de [Tym11])

 

Bibliografía

[Bar04] J. Murray Barbour. Tuning and Temperament: A Historical Survey. Dover Publications, New York, 2004.

[Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006.

[Gol92] Javier Goldáraz. Afinacion y temperamento en la musica occidental. Alianza, 1992.

[Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018.

[Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en diciembre de 2018.

[Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018.

[Pis91] Walter Piston. Armonía. Editorial Labor (versión española), 1991.

[TGV+03] Rainer Typke, Panos Giannopoulos, Remco C. Veltkamp, Frans Wiering, and René van Oostrum. Using transportation distances for measuring melodic similarity. In Proc. 4th International Conference on Music Information Retrieval, pages 107–114, Baltimore, USA, October 26-30 2003.

[Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011.

[Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.

 
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