18. (Octubre 2010) Las matemáticas en la música de Xenakis I
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Escrito por Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Martes 05 de Octubre de 2010

1. Introducción

Recién acabada la carrera de Matemáticas y con ocho años de estudio de piano tuve la gran suerte de conocer a Andrew Melvin, a la sazón miembro del grupo de música contemporánea Secuencia. Andrew Melvin fue mi profesor de piano y composición durante un tiempo. Al poco de conocernos -yo creo que cuando estuvo seguro de mi sensibilidad musical- me mostró la música de Iannis Xenakis. Su música me fascinó desde el primer momento, me cayó como un chorro de luz corpórea y sin darme tiempo a reaccionar me llevo a hermosos mundos de emociones. Muchos días a última hora de la tarde, aún sin tener clase con él, iba a buscarlo con unos bocadillos, nuestra humilde cena, y nos quedábamos escuchando a Xenakis, sin mediar palabra, absortos en nuestro misticismo musical, solo sonriéndonos mutuamente al terminar alguna pieza. Escuchábamos con fruición sus primeras obras (Metastasis, Pithoprakta, Achorripsis), la música estocástica (la serie de los ST), las obras para solista (Mika, Evryali), las obras con percusión (Pleiades, Aïs, los dos Idmen), todo lo que caía en nuestras manos.

En aquel tiempo yo no era consciente de la importancia conceptual de Xenakis como habilitador de la formalización matemática en la composición musical. Estaba sencillamente deslumbrado por su estética, tan original y revolucionaria. La música de Xenakis, obviamente, superaba el tonalismo, pero también la música de la segunda escuela de Viena (el atonalismo y el dodecafonismo) y también constituía una reacción reflexiva y genuina contra el indeterminismo de Cage. Su música, al contrario que otras músicas modernas, siempre me emocionaba. Años más tarde leí Formalized Music [Xen01] (figura 1) y adquirí consciencia de la importancia teórica de la obra de Xenakis. La gran cantidad de libros, artículos y conferencias que nos dejó revelan su preocupación por aclarar su pensamiento musical.

Formalized Music

Figura 1: Portada del libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Music.

2. Breve biografía de Xenakis

Xenakis nació en 1922 en Rumania, aunque su familia era griega. Su madre era pianista y es la que le introduce en la música desde temprana edad. La madre de Xenakis muere cuando él tiene cinco años de edad, hecho que le traumatiza -"su muerte me dejó profundamente asustado", diría años más tarde. A la edad de 10 años Xenakis vuelve a Grecia y su padre lo envía a un internado. Allí estudia filosofía, literatura europea, matemáticas, ciencias y música. Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano.

Mientras, estalla la Segunda Guerra Mundial y las tropas italianas, y más tarde las alemanas, invaden Grecia. Esto fuerza a Xenakis a interrumpir sus estudios de ingeniería que hace poco ha empezado. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel en varias ocasiones. En 1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946 acaba sus estudios de ingeniería. A causa de su activismo político tiene que pasar a la clandestinidad. Su padre arregla los papeles para que pueda emigrar y en 1947 llega a París. En aquella época Xenakis siente un profundo desencanto hacia la política y las instituciones sociales en general. Siente que su vida debe cambiar de rumbo.

Poco después de su llegada a París entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso arquitecto Le Corbusier. En esa etapa Xenakis participa en varios proyectos importantes tales como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de proporciones.

Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con Honegger y Milhaud, pero los ejercicios de armonía y contrapunto que le proponen no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la composición musical. Xenakis adquiere un buen conocimiento de los modos de Messian, no solo en la altura, sino también en la duración, la dinámica y la articulación. El contacto con Messian le hace consciente del poder de la abstracción en la composición.

En aquellos convulsos años 50 hay una gran polémica sobre la aceptación o rechazo del serialismo. Xenakis rechaza tanto el serialismo europeo como el indeterminismo americano y, como Messian, toma un camino diferente.

A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar sistemáticamente las matemáticas en la composición a través de una formalización de los parámetros y procesos musicales. En su obra podemos encontrar obras cuyos principios compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios geométricos y en otras ramas de las matemáticas.

En 1953 se casa con la periodista y escritora Françoise Xenakis, con quien tiene una hija, Mâkhi.

Más tarde, Xenakis entra en contacto con los fundadores de la música concreta, Pierre Schaeffer y Pierre Henry. También colabora con Edgar Varèse. En 1963 publica la primera versión de Formalized Music (en francés), que luego amplía, reescribe en inglés y revisa en sucesivas ediciones (1971, 1990, con posteriores reediciones). Xenakis es también un pionero de la música electrónica. Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la aplicación de la informática a la música.

A principios de los años Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta 1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga enfermedad.

3. Matematización de los parámetros musicales

Las primeras frases del capítulo de su libro Formalized Music [Xen01] son en sí mismas una declaración de principios:

"El arte, y por encima de todo la música, tienen una función fundamental, y ésta es la de catalizar la sublimación que tiene lugar a través de cualquier medio de expresión".

Xenakis fue, ante todo, un verdadero artista. En el análisis de su obra se ve que la decisión artística, la voluntad de expresividad a ultranza, está por encima de las consideraciones matemáticas y sus posibles constricciones. Las matemáticas, con proporcionar una nueva manera de concebir la composición, siempre estuvieron para Xenakis al servicio del concepto artístico.

Xenakis se sentía ajeno tanto a la estética del serialismo, con su música sobreestructurada, aperiódica, compleja, así como del postserialismo encarnado por Cage, con su música basada en la indeterminación y el azar. De los serialistas rechazaba Xenakis su extraordinaria complejidad y arguía:

"La polifonía lineal se destruye a sí misma a causa de su propia complejidad; lo que se oye no es en realidad más que una masa de notas en diversos registros. Su enorme complejidad impide al oyente seguir el entramado de las líneas, y tiene como efecto macroscópico una dispersión irracional y fortuita de sonidos a lo largo de toda la extensión del espectro. Hay, por tanto, una contradicción entre el sistema polifónico lineal y el resultado percibido, que es de una superficie o masa. Esta contradicción inherente a la polifonía desaparece cuando la independencia del sonido es total".

Xenakis llama polifonía lineal al contrapunto serialista. Aunque consta de varias voces, todas han de percibirse como un todo, como una única voz; y de ahí, el adjetivo lineal. Aquí aparece uno de los principios más importantes en la música de Xenakis, el cual le permite superar la susodicha contradicción: la independencia total del sonido.

Respecto al indeterminismo, Xenakis objeta la falta de un principio causal en la concepción musical. Si las alturas de una pieza se eligen en base a las imperfecciones de un papel (como es el caso de Music for piano, de Cage, por ejemplo), Xenakis duda seriamente de que esa elección transmita algún tipo de significado estético-musical al oyente. Sobre este problema del indeterminismo el crítico Pousseur [Pou66] ya había señalado que "donde se usan las más abstractas construcciones, uno tiene la impresión de encontrarse ante la presencia de las consecuencias de sonidos tocados libre y aleatoriamente".

La respuesta de Xenakis a los problemas estéticos de ambas tendencias proviene de las matemáticas. Por un lado, el sonido ha de tener total independencia y, por otro lado, la música ha de poseer un significado global, derivado éste de la acumulación de los efectos individuales de las partes. Xenakis identificó estas dos condiciones con el enunciado de la ley de los grandes números de Bernouilli (véase [RS00]).

Teorema 1

Para otras versiones más generales del teorema así como para su demostración, véase [RS00] y sus referencias. El significado musical resultante está aquí representado por la media μ común a todas las variables independientes. Es el significado global, macroscópico, que surge de las causas independientes.

Xenakis emprendería un camino de exploración de esas ideas matemáticas en la composición musical. La primera obra en que puso en práctica estas ideas fue Metastasis (1953-54), donde formalizó ciertos parámetros musicales de modo matemático, sobre todo usando geometría y matemática discreta. Fue aún más lejos en otra obra posterior, Pithoprakta (1955-56), donde, siguiendo con su razonamiento, se inspiró en la mecánica estadística para su composición, en particular, en la teoría cinética de los gases de Boltzmann [MF71]. Esta teoría se basa también en la ley de los grandes números. Boltzmann explica el efecto macroscópico de la presión como el efecto de los choques de las moléculas, choques que son independientes, cada uno de ellos de efecto muy pequeño y que ocurren en número muy alto. Xenakis propone en Pithoprakta una representación sonora (una sonificación [vaaat10]) de ese fenómeno.

4. Formalización matemática de los parámetros musicales

Xenakis, como hemos dicho, usó una amplia gama de técnicas matemáticas para formalizar la música. Las que exponemos en esta sección pertenecen a su llamada música estocástica, que debe su nombre al hecho de que la formalización descansa en la teoría de probabilidades. Para su música estocástica Xenakis formalizó los siguientes parámetros musicales: la duración de las notas, la densidad de la nube de alturas, la velocidad del glissando, las dinámicas y la instrumentación.

Duración de las notas. Xenakis usó la distribución exponencial para determinar la longitud de las notas. La función de densidad es:

f(x) = δ · e-δx
(1)

donde δ es la densidad (en lo que sigue usaremos la notación del propio Xenakis). Como se sabe la esperanza o media de esta distribución es E(X) = 1/δ,de modo que la densidad es la inversa de la duración media de la nota. Una densidad alta produce notas cortas y en cambio una densidad baja, notas largas. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función de densidad con los parámetros δ = 1y δ = 2.

Figura 2
Figura 2: Función de densidad que rige la duración de las notas.

La probabilidad P de que la duración de una nota esté entre dos valores l1, l2 está dado por:

probabilidad

Densidad de la nube de notas. Este parámetro está gobernado por otros dos a su vez, la densidad y la altura. La densidad se refiere propiamente al número de notas que suenan en un determinado intervalo de tiempo. La densidad de la nube sigue una distribución de Poisson. Para la composición se establecerá una densidad media de notas μ0 > 0. La función de masa queda como sigue:

función de masa
(2)

La distribución de Poisson es la versión discreta de la distribución exponencial como se puede apreciar en la figura 3 (aparecen dos curvas con valores k=2 y k=5).

Figura 3
Figura 3: Función de masa que rige la densidad de la nube de notas.

En cuanto a las alturas de la nube, se empieza por una altura generada aleatoriamente también y a partir de ella se generan sucesivamente los intervalos aleatorios con la siguiente función de densidad:

función de densidad
(3)

donde a es el máximo intervalo especificado por el compositor. Para decidir la dirección del intervalo se usa una variable discreta de dos valores (intervalo ascendente o descendente), cada uno con probabilidad 1/2. En la figura 4 tenemos la gráfica de Θ(γ) con los valores γ = 5 y γ = 10. Se observa que los intervalos tienden a ser pequeños, aunque no tanto como los generados por la distribución exponencial. El papel del parámetro a es limitar los intervalos poco habituales o que resulten imposibles de tocar en el instrumento.

Figura 4
Figura 4: Función de densidad que rige la altura de las notas.

Velocidad del glissando. El glissando es el paso de una nota a otra de manera continua. En la orquesta solo lo pueden ejecutar los instrumentos de cuerda y el trombón de vara. Ya que Xenakis quería recrear ciertos fenómenos físicos de carácter continuo, necesitaba formalizar este parámetro también. Para ello, utilizó la distribución normal de función de densidad:

función de densidad
(4)

donde b es un parámetro que Xenakis, inspirándose en la teoría cinética de gases, llamó la temperatura resultante (aggregate temperature); véase la figura 5 (las dos gráficas corresponden a los valores b=5 y b=10).

Figura 5
Figura 5: Función de densidad que rige la velocidad del glissando.

Las dinámicas. Xenakis divide el rango dinámico en cuatro zonas, representadas por ppp, p, f y ff, que corresponden respectivamente a muy suave, suave, fuerte y muy fuerte. Suele usar sucesiones de tamaño 3, de modo que hay 64 posibles (43=64). Sin embargo, descarta algunas por motivos musicales y el número total se reduce a 44. Las dinámicas se obtienen mediante una distribución uniforme discreta de probabilidad (cada sucesión 1/44).

La instrumentación. En primer lugar, se separan los instrumentos que poseen un timbre similar. A continuación, según distribución lineal, se determina un porcentaje para cada clase de instrumentos. Este porcentaje marca la proporción de notas totales de la composición que el grupo instrumental tocará.

5. Pithokrapta

En Pithokrapta Xenakis explora las relaciones entre la ley de los grandes números (el sentido global) y la teoría cinética de los gases de Boltzmann (la independencia total del sonido). Para esta obra Xenakis imagina un gas ideal a temperatura constante e identifica las moléculas y sus choques con una orquesta de cuerda. Veamos los compases 53 a 60, uno de los pasajes donde son más evidentes las intenciones del compositor. Para las velocidades de las moléculas Xenakis usa la distribución normal similar a la ecuación (4):

ecuación

donde a es aquí la temperatura del gas y v la velocidad de las moléculas.

Para este pasaje la velocidad de cada molécula se traduce en un glissando tocado en pizzicato (pulsando la cuerda, sin el arco). La pendiente de cada glissando es proporcional a la velocidad de cada partícula. Estos sucesos sonoros, los glissandi, representan la distribución molecular del gas. Xenakis fija 58 intervalos distintos para las velocidades y usando la distribución normal genera 1.148 velocidades distintas de moléculas de un gas a temperatura constante. Como la orquesta no dispone de un número tan alto de voces, Xenakis redujo el número de voces independientes a 46. Cada una de estas voces toca una media de 25 notas en los 18,5 segundos que dura este pasaje.

La manera de trabajar de Xenakis era muy meticulosa, como correspondía a su formación científica. Para esta obra, dibujó en papel milimetrado los glissandi. El eje de abscisas representa el tiempo. Cada marca son 26 MM del metrónomo Mälzel (0,433 segundos por marca). El eje de ordenadas representa la altura del sonido. El intervalo entre dos marcas consecutivas es de medio tono. Xenakis dividió el eje de ordenadas en 15 rangos de una tercer mayor (cuatro semitonos) cada uno. A cada tesitura (rango) se le asignó un cierto número de instrumentistas.

En la figura 6 tenemos la gráfica que dibujó Xenakis para este pasaje.

Figura 6
Figura 6: Grafo de Pithoprakta (imagen tomada de [Zog10]).

En la realidad los choques de las moléculas del gas no son simultáneos. Xenakis refuerza la idea del caos imponiendo divisiones métricas con números de partes que son primos relativos entre sí. Así, por ejemplo, encontramos quintillos, tresillos, negras, pero también subdivisiones de 15 o de 20. La figura 7 muestra la escritura en notación musical convencional del mismo pasaje.

Partitura de Pithoprakta
Figura 7: Partitura final de Pithoprakta.

En la figura 8 se puede apreciar con más detalle los glissandi así como las articulaciones métricas tan peculiares de esta obra.

Detalle de partitura de Pithoprakta
Figura 8: Detalle de Pithoprakta.

Resumiendo, en este pasaje tenemos las siguientes características ([Xen01], página 15):

  • Las duraciones de las notas no varían.
  • Las alturas varían de acuerdo a sus distribuciones de probabilidad.
  • La densidad de sonidos se mantiene constante en todo momento.
  • La dinámica es constante e igual a ff (muy fuerte).
  • El timbre es constante; solo hay instrumentos de cuerda.
  • Las velocidades determinan una "temperatura" sujeta a fluctuaciones locales y que sigue una distribución normal.

Por último, dejo aquí un vídeo con la música de Pithoprakta.


6. Conclusiones

Tal y como había hecho Heisenberg con la mecánica cuántica, Xenakis introduce la probabilidad en el mundo de la composición musical. A pesar de la aparente excesiva formalización del proceso compositivo, Xenakis dota a su obra de expresividad. La influencia que ejerció en los compositores de las generaciones posteriores fue formidable, no solo por el gran salto conceptual que había dado con su música, sino también por su ejemplo incansable de creatividad.

7. Para saber más

  1. Edward Childs disecciona la obra Achorripsis en su artículo [Chi02], que también se basa en teoría de las probabilidades.
  2. Tako Oda tiene un artículo en que compara las teorías estéticas de Xenakis y Cage. Se llama Iannis Xenakis and John Cage:Two Sides of a Tossed Coin y se puede encontrar en [Oda10].
  3. Para un estudio músico-matemático de las últimas obras de Xenakis, véase la tesis de Ronald Squibbs [Squ96].
  4. Robert Strizich [Str10] en un interesante artículo analiza el papel de la textura en varios compositores de la posguerra, incluyendo Xenakis. La textura fue uno de los aspectos que más investigó y experimentó Xenakis. Sin duda, está considerado como un gran inventor de texturas. Recordemos la incorporación de la percusión africana a la orquesta sinfónica, por poner un ejemplo.
  5. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra.
  6. Para profundizar más en la estética de las primeras obras de Xenakis, véase el artículo de Markos Zografos [Zog10].

Referencias

[Chi02] Edward Childs. Achorripsis: a Sonification of Probability Distributions. In International Conference on Auditory Display, Kyoto, julio 2002.

[MF71] A. Marcelo and E. Finn. Física III. Fundamentos cuánticos y estadísticos. Addison Wesley, 1971.

[Oda10] Tako Oda. Iannis xenakis and john cage: Two sides of a tossed coin. http://people.mills.edu/toda/chance/frames.html, accedido en septiembre de 2010.

[Pou66] Henry Pousseur. The question of order in the new music. Perspectives in New Music, 1:93-111, 1966.

[RS00] V. K. Rohatgi and E. Saleh. An Introduction to Probability and Statistics. Wiley-Interscience, 2000.

[Squ96] Ronald Squibbs. An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Studies of Recent Works. Yale University. PhD thesis, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, 1996.

[Str10] Robert Strizich. Texture in post-world war ii music. http://www.ex-tempore.org/strizich91/strizich.htm, accedido en septiembre de 2010.

[vaaat10] Varios autores asociados a International Community for Auditory Display. Sonification report: Status of the field and research agenda. http://www.icad.org/websiteV2.0/References/nsf.html, accedido en septiembre de 2010.

[Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001.

[Xen10] Xenakis.org. Les amis de xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/, accedido en septiembre de 2010.

[Zog10] Markos Zografos. Iannis xenakis: the aesthetics of his early works. http://www.furious.com/perfect/xenakis.html, accedido en septiembre de 2010.

 
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