34. (Marzo 2012) Minimalismo y matemáticas: Clapping Music
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Viernes 09 de Marzo de 2012

1. Introducción

La historia de la música es con frecuencia la historia de las reacciones humanas a la música misma1. Un buen ejemplo de ello se puede observar en el minimalismo. Desde la Segunda Guerra Mundial, el panorama en la música clásica estuvo dominado principalmente por compositores como Boulez, Berio, Cage, Ligete y Stockhausen, entre otros. Estos compositores representan el modernismo de posguerra. Tal modernismo se puede entender bien como postserialismo, siendo Boulez una de sus figuras más prominentes, o bien como el indeterminismo, donde Cage se convierte en una de sus figuras más notables. Aunque el término minimalismo se usó en principio en las artes visuales, más tarde se aplicó a un estilo de música caracterizado por un vocabulario rítmico, melódico y armónico simplificado (véase [15]). En efecto, Timothy Johnson sostiene que el término minimalismo se puede definir de modo más fructífero si se concibe como una técnica en lugar de una estética o un estilo [7]. Los principales representantes del minimalismo son LaMonte Young, Philip Glass, Terry Riley y Steve Reich. Su música e ideas se convirtieron en la mayor reacción al modernismo personificado por los compositores antes mencionados. En efecto, allí donde el modernismo es resueltamente atonal, el minimalismo es claramente modal o tonal; allí donde el modernismo se muestra aperiódico, fragmentario, el minimalismo se caracteriza por una gran regularidad rítmica; y allí donde el modernismo se presenta con una gran complejidad de estructura y de textura, el minimalismo es simplemente transparente.

El minimalismo tiene diferentes materializaciones dependiendo del compositor, pero las obras minimalistas comparten una preocupación por la tonalidad no funcional y repetición de frases musicales, frecuentemente pequeños motivos o células que evolucionan gradualmente. Por ejemplo, Young usa notas bordón, al estilo de las isocrátimas, sostenidas durante largos periodos de tiempo, Glass selecciona arpegios de un acorde que se repiten recurrentemente, y Riley y Reich incorporan melodías que se repiten con armonías de pulso rápido. No menos significante es el hecho de que la música minimalista no posea casi ninguna de las características de la música occidental (al menos desde el periodo romántico), esto es, movimiento armónico, modulación tonal, desarrollo temático, texturas complejas o formas musicales con estructuras diseñadas cuidadosamente. Por el contrario, esta música evita cualquier sentido o consciencia de clímax o desarrollo, y parece ignorar la dialéctica de tensión y reposo, al menos tal cual se manifiesta en la música clásica occidental. En palabras de Roger Sutherland [19]2 :

“(...) al oyente se le invita, no a seguir un argumento musical complejo, sino a concentrarse en el sonido que cambia lentamente y a centrarse con consciencia microscópica en diferentes aspectos del mismo”.

Es probablemente Reich el compositor minimalista que más abiertamente repudio la tradición clásica occidental. Reich se opone a la vez al serialismo europeo y al indeterminismo americano porque en estos dos estilos los procesos por los cuales se construye la música no se pueden oír y discernir claramente por el oyente. Antes que él, el crítico musical Pousseur [13], así como Xenakis [24], había señalado ya que “donde las más abstractas construcciones se emplean... uno tiene la impresión de encontrarse en presencia de las consecuencias de un libre juego aleatorio”. Este rechazo, formulado no solo por Reich, sino por otros compositores minimalistas, bien puede ser la razón por la que la música minimalista ha sido tan incomprensiblemente ignorada por críticos y estudiosos. Algunos estudios hay, más bien recientes; véase [1381912] y, evidentemente, los ensayos de Reich [1617].

En su ensayo Music as a Gradual Process, incluido en [16], Reich establece sus principios como sigue: “Estoy interesado en los procesos perceptibles. Quiero ser capaz de oír el proceso en desarrollo según suena la música”. Para que tales procesos sean accesibles al oyente, estos tienen que fluir de manera extremadamente gradual. El proceso mismo tiene que estar relacionado con la idea de cambio de fase. Primero, dos o tres intérpretes tocan una melodía y después de un tiempo uno de ellos cambia de fase. Al principio del cambio de fase se produce una especie de ondulación en forma de acorde arpegiado; más tarde, según el proceso de cambio de fase continúa, la segunda melodía se encuentra a una distancia de corchea y una nueva melodía entrelazada surge. El proceso continúa hasta que las dos melodías están en fase, en unísono, otra vez.

Estas ideas se realizan en muchas de las obras de Reich compuestas entre 1965 y 1973  [11]. Toda esta experimentación empieza con It’s Gonna Rain y Come out (ambas compuestas en 1966), donde usa el cambio de fase con música en cinta; continúa con Piano Phase (1967) y Violin Phase (1967), donde experimenta dentro de un contexto acústico, sin instrumentos eléctricos; y finalmente Reich alcanza el punto de máximo desarrollo con Drumming (1970-71), Clapping Music (1972) y Music for Mallet Instruments, Voices and Organ (1973), donde incorpora cambios graduales de timbre y aumentación rítmica, entre otros recursos musicales. A finales de 1972, abandona los cambios graduales de fase, porque “ya era la hora de algo nuevo” [16].

En la columna de este mes vamos a analizar una pieza emblemática de esta época de Steve Reich: Clapping Music. En [2], Colaninno y sus coautores contemplan la hipótesis de que esta pieza le fuese inspirada a Reich en África. En efecto, en el verano de 1970 Reich viajó a Ghana, donde estudió percusión africana [9]. Aprendió gahu, agdabza y otros estilos musicales, los cuales sin duda influyeron en su música (más tarde llegó a estudiar gamelán). La influencia de la música africana se puede percibir en obras tales como Drumming y Clapping Music, donde el cambio de fase es discreto, pero esa influencia es incluso perceptible en piezas de cambio de fase continuo, como en Phase Patterns, Violin Phase y New York Counterpoint. Sin embargo, en un vídeo reciente, de 2011, Reich explica que la inspiración para la pieza le vino de la música flamenca; en particular, de un espectáculo que vio en un tablao flamenco en Bruselas. El vídeo se puede ver en la siguiente sección.

2. Clapping Music

Clapping Music es una pieza de cambio de fase para dos intérpretes que tocan únicamente las palmas. Cada uno de ellos toca el mismo patrón a lo largo de toda la pieza. El cambio de fase es discreto, con un intérprete que empieza el patrón desde un punto distinto, el cual va avanzando después de unas cuantas repeticiones del patrón. El otro intérprete permanece imperturbable tocando el patrón sin cambio alguno.

En la figura 7 se ha reproducido la partitura de Clapping Music. Las variaciones que se producen en cada cambio de fase se han numerado en orden ascendente {V0,V1,...,V11,V12}, donde V0 = V12 indica que los dos intérpretes tocan al unísono.

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Figura 1: La partitura de Clapping Music.

Para mejor apreciar y comprender Clapping Music, vamos a comentar unos cuantos vídeos de la obra. En primer lugar, tenemos un vídeo de Steve Reich en la época en que compuso Clapping Music; él mismo es uno de los intérpretes.

A continuación, tenemos un vídeo de Reich, más moderno, en que explica los principios compositivos de la obra. Aquí revela el origen de la inspiración, como mencionamos más arriba.

El siguiente vídeo muestra una animación gráfica de Clapping Music, que por su excelente visualización hemos querido incluir aquí.

Seguimos con otra versión de Clapping Music, esta vez con un solo intérprete sobre dos cajas. Toca cada patrón en una mano y supone un delicado ejercicio de coordinación.

Y por último, traemos una original coreografía de Anne Teresa De Keersmaeker sobre la música de Clapping Music bailada por la coreógrafa misma y Michèle Anne De Mey. Es muy interesante ver los movimientos elegidos para recrear el patrón de Clapping Music y cómo el patrón corporal sufre también los cambios de fase.

Esta pieza, a pesar de su aparente simplicidad, no esta desposeída de interés musical. En primer lugar, Clapping Music consiste en una síntesis y estilización de las ideas de Reich a través de una pieza con unos pocos elementos muy bien combinados. En segundo lugar, Clapping Music muestra una profunda ambigüedad métrica -algo muy común en las piezas de Reich- así como una gran cantidad de ritmos entrelazados. En el análisis siguiente profundizaremos en estas ideas.

3. Análisis de Clapping Music

Cuando uno oye Clapping Music, la pregunta que surge de manera natural es cómo llegó Reich a elegir este patrón. Según el patrón rota, cambia de fase, una serie de ritmos entrelazados emergen, creando una gran variedad rítmica. Aún más, en la pieza hay un gran sentido del equilibrio entre las variaciones resultantes. Una vez que el patrón se define, sin embargo, las reglas aplicadas a esta composición no permiten cambiarlo. Por tanto, el patrón tiene que elegirse con extremo cuidado. A continuación, vamos a analizar unos cuantos aspectos musicales de Clapping Music para entender cómo funciona esta música proceso (música en que el proceso se oye claramente, música en que la elección de un patrón y unas reglas de juego ya determinan la composición entera).

3.1 Análisis musical de Clapping Music

Usaremos las etiquetas dadas en la figura 7 para referirnos a las variaciones V0,V1,...,V11,V12 = V0. Clapping Music tiene una estructura global muy definida. En cierto sentido que vamos a explicar enseguida, se tiene que la variación Vi es igual a la variación V12-i, para cualquier i = 0,1,...,12. Véamos por qué.

  • V0 = V12. Esto es trivial por cómo está construida la pieza.
  • V1 = V11. En principio, mirando la partitura al menos, vemos que la variación V1 no es igual a la V11. Sin embargo, cuando se tocan unas cuantas veces seguidas, las percibimos como iguales. Estas dos variaciones no tienen ningún silencio común; están constituidas, por tanto, por un patrón continuo, sin roturas por silencios. Esa falta de reposo, esa ausencia de silencios, confiere una extraordinaria energía y agitación a la variación. Además, la variación V1 es igual a la variación V11, salvo que los intérpretes están intercambiados. Si los dos intérpretes pudieran sacar exactamente el mismo sonido de las palmas, ambas variaciones serían virtualmente indistinguibles. Reich juega de modo fundamental con el timbre en esta pieza como elemento que genera variedad ante otros elementos ausentes (armonía o melodía) u otros que son muy estables (el patrón de la primera voz).
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    Figura 2: Las variaciones V1 y V11.
  • V2 = V10. En la variación V2 encontramos una posición con un silencio común, en la séptima posición. Cuando se oyen las primeras repeticiones de la variación, el oído no comprende la estructura de la variación. Después, percibe el silencio como el final de la variación y en realidad concibe la variación empezando en la posición 8; véase la figura más abajo. Esta variación está formada por una única célula que acaba en un silencio. Las variaciones V2 y V10 son iguales, salvo que las partes de los intérpretes están intercambiadas; de nuevo, el juego del timbre. Además, si miramos la variación desde la posición 8, que es el principio perceptual de la variación, encontramos que la sucesión de notas para la primera voz es 1 - 2 - 3 - 2 y para la segunda 2 - 3 - 2 - 1, esto es, una es la otra leída en sentido contrario. De nuevo, la variación V10 es simétrica de la V2.
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    Figura 3: Las variaciones V2 y V10.
  • V3 = V9. En la variación V3 encontramos dos posiciones con silencios en común, lo que da lugar a dos frases. La variación tiene, pues, una estructura de pregunta-respuesta. La pregunta estaría formada desde la posición 10 hasta la 3 y la respuesta, de la 5 a la 8. La simetría es muy fuerte en esta variación. La primera voz de la pregunta tiene como sucesión de notas a 2 - 3 y la voz de abajo, 3 - 2. La respuesta tiene sucesión 1-2 y 2-1. La variación es V9 es simétrica de V3.
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    Figura 4: Las variaciones V3 y V9.
  • V4 = V8. La variación V4 está constituida por una única frase con un solo silencio en la última posición, en la 12. De nuevo, se produce la simetría en la sucesión de notas: 3 - 2 - 1 - 2 en la voz primera y 2 - 1 - 2 - 3 en la segunda. La variación V8 es la correspondiente simétrica.
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    Figura 5: Las variaciones V4 y V8.
  • V5 = V7. La variación V5 tiene otra vez estructura de pregunta-respuesta. La pregunta empieza en la posición 8 y se extiende hasta la posición 3; la respuesta está compuesta por dos corcheas seguidas que empiezan en la posición 5. Una vez más, tenemos la simetría en la sucesión de notas en la pregunta, 1 - 2 - 3 para la primera voz y 3 - 2 - 1 para la segunda. La respuesta es un unísono de dos corcheas en ambas voces. La variación V7 es la simétrica de V5.
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    Figura 6: Las variaciones V5 y V7.
  • La variación central V6. La variación V6 es muy interesante. Estamos en la mitad exacta de la pieza. Han pasado 6 rotaciones del patrón en la segunda voz. El patrón global resultante es continuo, es decir, no hay ningún silencio que corte este tren rítmico. Existe una simetría en las voces. La primera mitad de la variación es igual a la segunda pero con las voces intercambiadas; véase la figura de abajo.
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    Figura 7: La variación V6.

3.2 Análisis con grafos filogenéticos

Los grafos filogenéticos, originalmente una herramienta de la Bioinformática, se han usado para analizar ritmos. En [20] se usaron para estudiar las claves binarias de Brasil, Cuba y África. Una clave es un patrón rítmico que se repite a lo largo de una pieza y que sirve como referencia temporal [1023]. También se han empleado para el análisis de los ritmos flamencos [3]. Estos grafos se usan en biología para determinar la proximidad y evolución entre especies. Los biólogos miden el grado de proximidad entre dos especies comparando sus genes. En nuestro contexto, los ritmos desempeñarán el papel de los genes, y emplearemos medidas especialmente diseñadas para ritmos. La cuestión de cómo definir esas medidas ha sido estudiada en varios trabajos [2021223]. Entre las distancias existentes la más satisfactoria resulta ser la distancia de permutación dirigida [3].

La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones:

  1. Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos.
  2. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2.
  3. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2.
  4. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1.
  5. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio.

Por ejemplo, la distancia de permutación dirigida (DPD) entre la primera voz y la segunda en la variación V1 es 4 puesto que hay que realizar cuatro permutaciones en la primera voz en las posiciones 3,6,8 y 11 para convertirla en la voz segunda; véase la figura 8. Así, tendríamos d(V0,V1) = 4. Observando el ejemplo de la figura, tendríamos que d(V0,V2) = 8 y d(V0,V3) = 12

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Figura 8: La distancia de permutación dirigida.

La matriz de distancias correspondiente a todas las variaciones de Clapping Music se puede ver en la figura 9. Se ha usado notación de caja para las variaciones.

Variations V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11
V0=xxx.xx.x.xx. 0










V1=xx.xx.x.xx.x 4 0









V2=x.xx.x.xx.xx 8 4 0








V3=.xx.x.xx.xxx 12 8 4 0







V4=xx.x.xx.xxx. 4 2 4 8 0






V5=x.x.xx.xxx.x 8 4 2 4 4 0





V6=.x.xx.xxx.xx 12 8 4 2 8 4 0




V7=x.xx.xxx.xx. 4 4 4 8 2 4 8 0



V8=.xx.xxx.xx.x 8 4 4 4 4 2 4 4 0


V9=xx.xxx.xx.x. 2 4 8 12 4 8 12 4 8 0

V10=x.xxx.xx.x.x 4 2 4 8 4 4 8 2 4 4 0
V11=.xxx.xx.x.xx 8 4 2 4 4 4 4 4 2 8 4 0


74

48

48

74

48

48

74

48

48

74

48

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Figura 9: La matriz de distancias para las variaciones de Clapping Music.

En la figura 10 se muestra el grafo filogenético asociado a la matriz de arriba. En este grafo la distancia entre nodos se corresponde exactamente con la distancia en la matriz. Esto permite visualizar más fácilmente propiedades de la distancia -en particular, agrupamientos- que de otro modo en la matriz de distancias no se perciben; véase [6] para obtener más información sobre grafos filogenéticos. En la figura los puntos negros pertenecen a las variaciones.

 

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Figura 10: El grafo filogenético de Clapping Music pattern.

El grafo filogenético tiene cuatro grupos distinguibles a simple vista en la figura 10, a saber, C1, C2, C3 y C4. Si los disponemos en orden de aparición en la pieza, resulta la tabla 11:

Clusters C1 C2 C3 C4

V0 V1 V2 V3


V4 V5 V6


V7 V8

V9 V10 V11

V12



Figura 11: Agrupación en Clapping Music.

A partir de esta sucesión de grupos podemos observar la evolución de las variaciones a través del tiempo según la DPD. Hay una primera sección formada por las variaciones V0 a V3; aquí las variaciones se alejan lo más posible de V0. En la segunda sección, que va de V4 a V6, las variaciones están todavía alejadas de V0. En la tercera sección, las variaciones V7 y V8 se quedan alrededor del centro del grafo, lo que representa un punto de retorno a partir del cual las siguientes variaciones volverán a V0. Las variaciones de la sección cuatro, consistentes en V9, V10 y V11, tienden a V0. Por último, Clapping Music se cierra volviendo al patrón del principio (V0 = V12).

4. Para saber más

  • Richard Cohn [1] fue pionero en el análisis de la música de Reich desde el punto de vista rítmico; véase también [14] para otros enfoques formalistas.
  • Colaninno y sus coautores [2] estudiaron Clapping Music desde el punto de vista de la tensión rítmica y también en comparación con claves africanas.
  • En los trabajos [41520] se pueden encontrar análisis de la música de Reich desde un punto de vista maemático.

 

Notas

1 Esta introducción está inspirada en el artículo [2], del que es coautor este mismo columnista.

2 Todas las traducciones de citas de este artículo son del autor.

 

Referencias

[1] Cohn, R. Transpositional Combination of Beat-Class Sets in Steve Reich’s Phase-Shifting Music. Perspectives of New Music, 30:2:146-176, 1992.

[2] Colannino, J., Gómez, F., and Toussaint, G.T. Analysis of Emergent Beat-Class Sets in Steve Reich’s Clapping Music and the Yoruba Bell Timeline. Perspectives of New Music, 47:1:111–134, 2009.

[3] Díaz-Báñez, J. M.; Farigu, G.; Gómez, F.; Rappaport, D.; Toussaint, G. T. El Compás Flamenco: A Phylogenetic Analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Winfield, Kansas, 61-70, July, 2004.

[4] Haack, J. K. Clapping Music – a Combinatorial Problem. The College Mathematical Journal, 22:224-227, May, 1991.

[5] Haack, J. K.; ”Mathematics of Steve Reich’s Clapping Music. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 87-92, Winfield, Kansas, 1998.

[6] Huson, D. H. SplitsTree: Analyzing and visualizing evolutionary data. Bioinformatics, 14:68-73, 1998.

[7] Johnson, T.A. Minimalism: Aesthetic, Style or Technique? The Music Quarterly, 78:4:742-773, Winter 1994.

[8] Mertens, W. American Minimal Music. Kahn and Averill, London, 1983.

[9] Nyman, M. Steve Reich. The Musical Times, 112:1537:229–231, March, 1971.

[10] Ortiz, F. La Clave. Editorial Letras Cubanas. La Habana, Cuba, 1995.

[11] Potter, K. Steve Reich: Thoughts for his 50th-Birthday Year. The Musical Times, 127:1715:13–17, January, 1986.

[12] Potter, K. Four Musical Minimalists: LaMonte Young, Terry Riley, Steve Reich and Philip Glass. Cambridge University Press, 2000.

[13] Pousseur, H. The Question of Order in the New Music. Perspectives in New Music, volumen 1, 1966.

[14] Quinn, I. Minimal Challenges: Process Music and the Uses of Formalist Analysis. Contemporary Music Review, 9:2:283–294, June, 2006.

[15] Randel, D. (editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, 1986.

[16] Reich, S. Writings about Music. The Press of the Nova Scotia College of Art and Design, New York, 1974.

[17] Reich, S.; Writings about Music 1965-2000, Oxford University Press, 2002.

[18] Roeder, J. Beat-Class Modulation in Steve Reich’s Music. Music Theory Spectrum, 25:2:275–304, Autumn 2003.

[19] Sutherland, R. New Perspectives in Music. Sun Tavern Fields, 1994. The quotation cited in the paper also can be found on an on-line paper at http://media.hyperreal.org/zines/est/articles/reich.html

[20] Toussaint, G. T. A Mathematical Analysis of African, Brazilian, and Cuban Clave Rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 157-168, Towson University, Towson, MD, 2002.

[21] Toussaint, G. T. Classification and Phylogenetic Analysis of African Ternary Rhythm Timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 25-36, Universidad de Granada, Granada, 2003.

[22] Toussaint, G.T. A Comparison of Rhythmic Similarity Measures. In Proceedings of the Fifth International Conference on Music Information Retrieval, pages 10-14, Barcelona, Spain, October, 2004.

[23] Uribe, E. The Essence of Afro-Cuban Percussion and Drum Set. Warner Bros., Miami, 1996.

[24] Xenakis, I. The Crisis in Serial Music. Gravesaner Blatter, No. 1, 1965.

 
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