1. Música tonal

Las escalas son piezas primordiales en la música de todas las culturas. Hay géneros musicales que se caracterizan en buena medida por el tipo de escala que emplean. Una escala es un conjunto de notas normalmente dadas en orden ascendente y que sirven como material principal a una pieza musical. La mayor parte de las escalas sigue el principio de equivalencia de la octava. Dos notas están separadas por una octava si la frecuencia de la nota más aguda es exactamente el doble de la más grave. El principio de la equivalencia de la octava establece que dos notas que están a una distancia de una octava se consideran como la misma nota pero en registros distintos. Una misma escala puede empezar en diferentes notas; la primera nota de la escala suele ser la nota principal de la escala. Por ejemplo, afirmar que una pieza está escrita en la escala de do mayor significa que sus notas principales están tomadas del siguiente conjunto de notas (do-re-mi-fa-sol-la-si):

Figura 1: Escala de do mayor.

La nota principal de la escala anterior es do y el tipo de escala el mayor. El hecho de que aparezca la nota do en ese conjunto implica que se puede usar cualquier do en cualquier octava. En realidad, una escala especifica una clase de alturas que se usan en una pieza dada.

Una pieza musical se puede escribir usando una sola escala, o con alternancia de escalas, o también con desviaciones temporales de la escala principal (normalmente por razones expresivas). Puesto que los ejemplos que vamos a analizar estadísticamente pertenecen a la música clásica occidental, nos centraremos en las escalas tal y como se definen en esa tradición musical. Para definir una escala primero se toma la octava y se divide en 12 semitonos iguales -el temperamento igual-. Después se escogen las notas de la escala entre las notas producidas por la subdivisión en partes iguales. Las escalas más comunes en la música clásica occidental, al menos en el periodo de la práctica común (aproximadamente, entre 1600 y 1900), son la escala mayor y la escala menor. La escala mayor empezando en la nota do está representada en la figura 1; en la figura 2 tenemos la escala menor natural basada en la nota do también.

Figura 2: Escala de do menor natural.

Si designamos por S la distancia de un semitono y por T la de un tono entero entre dos notas consecutivas, entonces la escala mayor tiene como sucesión de distancias entre notas
T - T - S - T - T - T - S, mientras que la escala menor tiene la sucesión T - S - T - T - S - T - T.

Las escalas mayor y menor son igualmente importantes y ubicuas en la música popular (pop, rock, música latina, mucha música folklórica, etc.). ¿Por qué son estas dos escalas tan comunes en la música occidental? A partir de 1600 los músicos fueron sintiendo una necesidad creciente de modular, esto es, de cambiar la tonalidad dentro de una misma pieza. Las escalas mayor y menor permitían la modulación más fácilmente que otras. Veamos brevemente por qué es así. Supongamos que estamos en la tonalidad de do mayor y, por tanto, la escala que rige es la dada en la figura 1. Si queremos modular a otra tonalidad, ¿cuál serían las tonalidades a las que podríamos cambiar de modo que el cambio no le resultase brusco al oído? Aquí hay que hacer un inciso y avisar de que el concepto de brusquedad depende de muchísimos factores: el periodo histórico, la teoría de la consonancia predominante, el estilo musical en particular, el contexto cultural, entre otros. Para el desarrollo que vamos a hacer aquí, el concepto de brusquedad equivale a buscar la tonalidad cuya escala mayor comparta el mayor número de notas. En el caso de do mayor esas tonalidades son sol mayor (sol-la-si-do-re-mi-fa♯) y fa mayor (fa-sol-la-si♭-do-re-mi). Con la primera tonalidad la única nota de diferencia es fa♯ y con la segunda, si♭, como se aprecia en la figura 3.

Figura 3: Modulación desde do mayor.

En la música tonal las notas se clasifican jerárquicamente en función de su relación con la nota principal de la escala (la primera). En este contexto, las notas de la escala reciben el nombre de grados y estos a su vez reciben nombres especiales:

Cuando el séptimo grado está a distancia de medio tono de la tónica se le llama sensible, como en ocurre en la escala mayor. Si está a distancia de un tono, como en la escala menor, se llama subtónica. Los grados que coinciden con las notas en cuyas escalas es más fácil modular son el cuarto y el quinto, la subdominante y la dominante.

Pero no solo son estos grados de la escala importantes por su facilidad de modulación. También permiten una fuerte afirmación de la tonalidad de la escala vía la armonía. Veamos cómo. Los acordes se construyen como triadas, como grupos de tres notas que suenan simultáneamente. En la figura siguiente tenemos los acordes que se forman sobre la escala de do mayor; obsérvese que a cada grado de la escala se le ha añadido dos notas a distancias tres y cinco (en términos de grados y contando el grado de que partimos). Así, por ejemplo, el acorde sobre el grado I está formado por I-III-V, sobre el grado por II-IV-VI, y así sucesivamente.

Figura 4: Triadas asociadas a la escala de do mayor.

Otro hecho a considerar es que en la escala mayor el séptimo grado está a distancia de un semitono. Este grado tiene una gran tendencia a ir hacia la tónica, el primer grado. De entre los dos acordes más próximos al acorde de tónica, el de subdominante y dominante, es este último el que contiene la nota sensible. Por tanto, la secuencia V-I refuerza más a la tónica que la secuencia IV-I. Las secuencias de acordes que crean una sensación de resolución se llaman cadencias. De hecho, la secuencia IV-V-I es llamada cadencia perfecta y es la cadencia más usada para afirmar la tonalidad de una pieza. En el caso de la escala menor, que no tiene sensible, el séptimo grado se modifica, elevándolo medio tono, para que durante la cadencia perfecta aparezca la nota sensible. La siguiente en importancia es la cadencia IV-I, la cadencia plagal. Vemos, pues, que los grados IV, V y I son importantes en la música tonal.

Otro grado importante es el III, la mediante. Si estamos en una escala mayor, el III grado está a dos tonos de distancia; si es una escala menor, a un tono y medio. Esta diferencia es importante musicalmente. Obsérvese que entre las escalas mayor y menor (figuras 1 y 2) los grados IV y V no varían (la construcción de sus correspondientes acordes, sí). El resto de los grados tienen ya menos importancia dentro de la música tonal. Se usan, por ejemplo, como parte de secuencia de acordes, como la famosa secuencia de caída de quintas VI-II-V-I.

A finales del siglo XIX y principios del XX surgieron otros sistemas musicales en los que no se seguían estas relaciones de jerarquía. Se ampliaron los límites de la disonancia, se inventaron nuevos acordes y nuevas formas de resolver las disonancias, poco a poco se fue borrando la dependencia de un centro tonal, hasta que llegamos a la música dodecafónica en que no existe el concepto de tónica, pues todos los grados aparecen por igual en la pieza.

2. Detección de música tonal

Es fácil para un oído mínimamente entrenado saber si una pieza es tonal o no. Aquí planteamos cómo lo haría un ordenador de modo automático. Con un poco de estadística, ello es posible. Si la música es tonal, los grados más importantes, el I, el V y el IV, aparecerán más frecuentemente. Para ilustrar este hecho hemos escogido las siguientes piezas (de nuevo, estos ejemplos están tomados del del libro de Beran [Ber04]):

1. La fuga n^o 1 de El clave bien temperado, libro I, de Bach (1685- 1750).
2. Sonata KV 545, primer movimiento, de Mozart(1756-1791).
3. Escenas de niños, números 2 y 3, de Schumann(1810-1856).
4. Preludios números 2 y 4 de la opus 51, de Scriabin (1872-1915).
5. Preludios números 6 y 7, de F. Martin (1890-1971).

En las figuras 5 y 6 se muestran los primeros compases de la fuga de Bach y del segundo preludio de Scriabin respectivamente. De la observación de las partituras se sigue que Bach es plenamente tonal, mientras que Scriabin y aun más se apartan ya significativamente.

Figura 5: Comienzo de la fuga no. 1, de El clave bien temperado, libro I, de Bach (1685-1750).

Figura 6: Comienzo del preludio no. 2, opus 51, de Scriabin (1872-1915).

Para cada pieza elegida vamos a representar por {x(t₁),x(t₂),…,x(t_n} las notas que aparecen en los tiempos t₁,t₂,…,t_n. Los posibles valores que encontramos en ese conjunto pertenecerán a {0,1,…,11}, por las 12 notas posibles del temperamento igual. Por supuesto, se aplicará el principio de equivalencia de la octava, ya que una nota está asociada a un grado de la escala no importa en qué octava aparezca. Los tiempos t_i están tomados en orden creciente, t₁ ≤ t₂ ≤… ≤ t_n. Con el fin de comparar adecuadamente las piezas, se han normalizado las piezas de modo que todas tenga la misma tonalidad. Una vez hecho esto, calculamos las frecuencias relativas de cada nota del siguiente modo. Se fija un número entero k, en nuestro caso de k = 16, y se cuenta el número de veces que aparece cada nota en intervalo de tiempo 2k + 1. Esas frecuencias, para una nota x, están dadas por la fórmula:

donde la función I_{x(ti)=x} devuelve 1 si x(t_i) = x y 0 en otro caso (la función característica).

En las figuras 7 y 8 se muestran las correspondientes curvas de frecuencias. Cada curva se ha obtenido uniendo las frecuencias p_j(0),p_j(1),…,p_j(11) consecutivamente para un valor j = 4,…,64. Las curvas se han superpuesto en la misma gráfica. Recordamos que, dado que estamos midiendo en semitonos, en el eje de ordenadas el 0 corresponde a la tónica, el 3 al grado III en la escala menor, el 4 al grado III en la escala mayor, el 5 a la cuarta justa, el 7 a la quinta justa, el 8 a la sexta menor, y el 9 a la sexta mayor.

Figura 7: Frecuencias de las notas 0,1,…,11 en intervalos de longitud 16 notas [Ber04].

Figura 8: Frecuencias de las notas 0,1,…,11 en intervalos de longitud 16 notas [Ber04].

En Bach se aprecia claramente que los máximos se encuentran en los grados IV, V y III, seguidos del séptimo grado (a causa de los acordes de séptima de dominante) y de la propia tónica. En Mozart, los máximos están en la tónica y la subdominante; también vemos que los grados II, V y VI son frecuentes. En la escena 2 de Schumann la tónica es la nota más frecuente, seguida de lejos por el III y IV grado. La dominante, en cambio, aparece mucho menos y el sexto grado es más frecuente que el quinto. En la escena 3 de Schumann la música es mucho más tonal, con una predominio claro de los grados tonales I, IV y V.

La situación cambia con Scriabin y Martin. En el preludio número 2 el quinto grado apenas se encuentra y son los grados III, IV y VI los que predominan. El preludio número 4 es menos tonal aún. Los grados más frecuentes son el I, el IV y V♭. Este último grado es cromático en la escala y forma una quinta disminuida con la tónica. El sistema tonal se deslíe y las funciones tonales clásicas quedan desdibujadas. No obstante, todavía vemos que ciertos grados son prominentes, aunque no los que esperábamos. En el caso de Martin, las funciones tonales se disuelven aún más, especialmente en el preludio número 6. Los máximos se alcanzan en la tónica, la mediante, pero también en V♯, el quinto grado aumentado (en el octavo semitono), y en el grado VI menor (en el noveno semitono). Sin embargo, por el número de veces que pasan las curvas por esos grados, nos damos cuenta de que hay una influencia del dodecafonismo, corriente que trata todos los grados por igual en términos de funciones tonales. En efecto, la gráfica del preludio número 6 parece una malla más o menos uniforme en contraste con, por ejemplo, la gráfica de la sonata de Mozart.

Bibliografía