8. Introducción

En este último artículo vamos a estudiar las propiedades matemáticas de las binarizaciones y ternarizaciones. Avisamos al lector de que el contenido matemático es un poco más alto que el de las dos entregas anteriores. A partir de los fenómenos musicales descritos anteriormente desarrollaremos el estudio de estas transformaciones. El principal resultado que se ve en este artículo es que la aplicación de las reglas de aproximación produce idénticos resultados si se aplican al pie métrico y luego se concatenan los resultados parciales que si se aplican las reglas al patrón rítmico desde el principio.

9. Binarizaciones y ternarizaciones desde un punto de vista matemático

9.1. Preliminares

En este artículo asumiremos que los ritmos son isócronos; Pérez Fernández supone lo mismo en sus libros [Pér86] [Pér79]. Esto implica que ambos ritmos tienen tramos temporales de igual duración. Ya que los patrones ternarios tienen menos pulsos (12 frente a 16), se sigue que sus pulsos durarán más que en el caso de los patrones binarios.

Primero, probaremos un lema que se usará en los resultados que siguen. Sea K un patrón rítmico compuesto por p grupos de k pulsos cada uno y M otro patrón compuesto por p grupos de m pulsos cada uno. Supongamos que k,m > 1. Consideremos la transformación de K a M.

Prueba:

• Para la implicación del si: Ya que 2 divide a k, el punto (k/2)/k = 1/2 es un pulso de K. Como m es impar, se sigue que  . Consideremos los pulsos consecutivos  y de M. Entonces (k/2)/k es equidistante de y . En efecto:

• Para la implicación del y solo si: Sean i,j dos índices tales que i/m y (i+1)/m son equidistantes de j/k. Se tienen las siguientes igualdades:

  

La última igualdad implica que k tiene que ser par y m, impar.

9.2. Reglas de aproximación aplicadas a la concatenación de pies métricos - binarización

Sea T un patrón ternario compuesto de p grupos 3 pulsos cada uno. Sea B el patrón binario formado por p grupos de 4 pulsos cada uno. En el análisis que hemos hecho, p toma bien el valor 2 o bien 4. Consideremos la transformación de T en B bajo las reglas de aproximación (véanse los números de agosto y septiembre de 2013 de esta columna). Los pulsos de T y B (para p ≥ 1) están dados por las siguientes sucesiones:

Por la definición de las reglas de aproximación, los pulsos en T de la forma , para i = 0,…,p- 1, se asignan a  en B. Consideremos los pulsos restantes, a saber, aquellos d ela forma y , para i = 0,…,p- 1. Dado un pulso fijo t_i de T, cuando T y B se ponen uno encima del otro, se sigue del lema de más arriba que la función distancia de t_i a los pulsos de B posee solo un valor mínimo, el cual se alcanza solo por un pulso de B. Nótese que esta afirmación no es cierta si se intercambia T por B.

A continuación probamos un par de pequeños resultados concernientes a los vecinos más cercanos:

• Resultado 1: Los dos vecinos más cercanos de los pulsos en B son y , y el mínimo se alcanza en .
• Resultado 2: Los dos vecinos más cercanos de los pulsos en B son y , y el mínimo se alcanza en .

Para (1), de los tres siguientes cálculos se sigue el resultado:

Distancia de a :	- = =
Distancia de a :	- = =
Distancia de a :	- = =

A partir de estos cálculos se deduce que el vecino más cercano en sentido antihorario de es , y su vecino más lejano en sentido horario es .

Para (2), cálculos análogos establecen el resultado:

Distancia de a :	- = =
Distancia de a :	- = =
Distancia de a :	- = =

El vecino más cercano en sentido horario de es , y su vecino más lejano en sentido antihorario es .

9.3. Concatenación the los pies métricos tras aplicar las reglas de aproximación - binarización

Ahora transformaremos patrones ternarios en patrones binarios (de 4 pulsos) por vía de las reglas de aproximación. Esta vez se concatenarán p grupos. Queremos probar que la concatenación de los patrones transformados al nivel del pie métrico producen los mismos resultados que aplicar las reglas de aproximación al patrón entero. Un patrón ternario de 3 pulsos se describe con la sucesión {0,,}. Un patrón binario de 4 pulsos, con la sucesión {0,,,}. Reproducimos de nuevo la figura que ilustra las reglas de aproximación (la figura está en el segundo artículo de esta serie, en el mes de septiembre)

Resumiendo la información de la figura 1, tenemos:

• Los vecinos más cercano, más lejano, horario y antihorario de 0 es 0.
• Los vecinos más cercano y antihorario de son a distancia , y los vecinos más lejano y horario son a distancia .
• Los vecinos más cercano y horario de son a distancia , y los vecinos más lejano y horario son a distancia .

Cuando los patrones ternarios se concatenan, estos tienen que meterse en un tramo temporal común. Para ello, los patrones ternarios tienen que cambiar de escala en un factor de 1/p. Este cambio de escala no afecta a las distancias relativas entre los pulsos y, por tanto, tampoco afecta a los vecinos de un pulso. Por ejemplo, si p = 4, la sucesión {0,,} se transforma en la sucesión {0,,}, la cual a su vez se transforma en {0,,,…,,,} cuando los cuatro patrones ternarios son concatenados. El vecino más cercano de 1∕12 es ⋅ = .

Cuando se efectúa la división por p y los ritmos se concatenan, se obtiene lo siguiente:

• Los pulsos de la forma , i = 0,…,p - 1 se transforman en bajo todas las reglas de aproximación.
• Para los pulsos de la forma , para i = 0,…,p - 1, tenemos: < < , donde es el vecino más cercano de .
• Para los pulsos de la forma , para i = 0,…,p - 1, tenemos: < < , donde es el vecino más cercano de .

En consecuencia, encontramos que las reglas de aproximación son las mismas que las dedujimos más arriba.

9.4. Reglas de aproximación aplicadas a la concatenación de pies métricos - ternarización

Consideremos la ternarización, esto es, la transformación de B a T. Cálculos similares a los hechos para el caso de la binarización conducen a la siguiente tabla:

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Elemento de B Primer vecino más cercano Distancia Segundo vecino más cercano Distancia Tercer vecino más cercano Distancia 0 NA NA NA NA , Tabla 1: Tabla de distancias para la ternarización.

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Leyenda: El primer vecino más cercano se refiere al vecino más cercano del elemento de B con respecto a los elementos de T; la siguiente columna muestra la distancia entre el pulso de B y su vecino más cercano. A continuación está el segundo vecino más cercano seguido de su distancia. Similar definición se aplica para el tercer vecino más cercano y la distancia. NA significa no aplicable, ya que siempre se proyecta en según todas las reglas de aproximación.

Nótese que para el pulso de B hay dos pulsos, y , a igual distancia. La función todavía alcanza un mínimo, pero lo hace en dos valores. Esta situación ocurre porque B es un ritmo binario y tiene un pulso en el medio de cada intervalo [0,],…,[,]. Por tanto, en este caso el vecino más cercano no es único, así como tampoco el vecino más lejano.

9.5. Concatenación los pies métricos tras aplicar las reglas de aproximación - ternarización

La figura 2 muestra las reglas de aproximación para la ternarización de los pies métricos. La presencia de notas comunes es evidente. Los vecinos más cercano y más lejano no son únicos.

De nuevo, razonando de manera similar al caso de la binarización se puede probar que la concatenación de los pies métricos dan reglas equivalentes a las de aproximación definidas para el tramo temporal entero.

Bibliografía