95. (Enero 2019) La geometría de la música (III)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Miércoles 09 de Enero de 2019

1. Introducción

La primera columna de este nuevo año 2019 es la tercera entrega de la serie Geometría y Música. Estamos examinando los modelos geométricos de la música, en especial los de la geometría de los acordes y de la conducción de voces. Todo ello de la mano del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko, cuyo libro A Geometry of Music [Tym18a] nos está sirviendo de guía en esta exploración músico-matemática. La primera entrega [Góm18b] fue esencialmente musical, donde estudiamos las ideas de este autor sobre la música tonal. Según Tymoczko, la música tonal se caracteriza por cinco componentes: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o la elección de las escalas; y (5) la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. Tras la exposición de estos principios, Tymoczko prosigue con una serie de proposiciones sobre estos elementos, lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recordamos aquí brevemente por completitud. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. En la presente entrega se desarrollará a fondo esta última afirmación.

En la segunda serie [Góm18a], más matemática, se sentaron las bases para el estudio geométrico de acordes y conducciones de voces. Se dotaron de estructura matemática a los espacios de frecuencias y de alturas. Se definió una función para medir la distancia entre dos notas. Se identificaron transformaciones que preservan la distancia entre notas (la transposición y la inversión). Se establecieron transformaciones que preservan series ordenadas de tonos (a saber, los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones, cambios de cardinalidad y transposiciones). Este conjunto de operaciones recibe el nombre de OPTIC. Buena parte del artículo anterior consistió en el estudio de las propiedades de las operaciones OPTIC, en especial qué tipos de objetos son invariantes por estas operaciones. También se presentaron conceptos importantes relativos a la conducción de voces, en particular, métodos para comparar dos conducciones de voces.

En esta tercer serie vamos a estudiar los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. Estos modelos trasladan las estructuras musicales a estructuras geométricas y se examinará el significado musical de propiedades geométricas de dichos modelos. Estos modelos son una de las principales contribuciones del trabajo de Tymoczko.

2. Espacio 2D de tonos ordenados

Dado que una melodía tiene, en su forma más básica, dos componentes, altura y duración, es natural que se represente en un espacio 2D tal como el plano euclídeo ℝ2. De hecho, la notación occidental es en el fondo una representación de este tipo. Otra manera de usar el plano euclídeo es considerar dos voces y tratar de representarlas en el plano, ahora prescindiendo de la componente temporal. Consideremos, por fijar ideas, la conducción de dos voces (do4, mi4)-→(mi4, do4), que es una conducción por movimiento contrario. Su representación 2D sería la dada en la figura siguiente.

La geometría de la música (III)

Figura 1: Representación 2D de una conducción de dos voces (figura tomada de [Tym11])

Vemos que la conducción ha dado lugar a un segmento en el plano que conecta ambas voces. Es muy intuitivo darse cuenta de que los movimientos contrarios darán lugar a segmentos que forman un ángulo de -45 grados con el eje OX y que, en cambio, los movimientos paralelos producen segmentos con ángulo +45 grados. Esto lo ilustra muy claramente la figura de abajo, que es una representación de un pasaje de una misa de Josquin des Prés.

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Figura 2: Una conducción de voces en el plano (figura tomada de [Tym11])

Empero, parece algo poco natural e intuitivo ver los movimientos contrarios y paralelos con ángulos de 45 grados. Musicalmente, los movimientos paralelos se entienden como segmentos paralelos al eje horizontal, mientras que los movimientos contrarios se asocian al eje vertical. Por ello, se suele rotar el plano para que la representación de las voces se adecúe a esta perspectiva, tal y como se muestra en la figura 3. Esto no cambia las voces, solo la manera en que se representan.

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Figura 3: Rotación del espacio de tonos (figura tomada de [Tym11])

Ahora la cuestión es cómo representar todas las posibles conducciones de dos voces usando el plano y las ideas anteriores. En la figura 4 encontramos una representación plausible. Si partimos del origen, que está en (F4♯, F4♯) (en notación inglesa y por referirnos a la figura de Tymoczko), entonces vemos que la porción del espacio representada está formada por cuatro teselaciones, que forman cuatro cuadrantes. Cuando nos movemos sobre el eje +OX (flecha negra de la figura) avanzamos en los dos voces por semitonos; análogamente, si vamos en el sentido -OX. Cuando nos movemos verticalmente hacia arriba, la primera voz desciende por semitonos y la segunda asciende por semitonos. Como consecuencia de la construcción de este espacio, las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del primer cuadrante (óvalo del primer cuadrante) mantienen constante la primera voz, mientras que las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante (el otro óvalo) dejan la segunda voz constante. El espacio entero comprende todas las notas en las frecuencias audibles y consiste en repeticiones del subespacio que vemos en la figura de abajo en las direcciones vertical y horizontal (con los cambios de notas pertinentes). Nótese que el cuadrante primero y tercero (NE y SO) son iguales entre sí, así como los cuadrantes segundo y cuarto. Sin embargo, el cuadrante cuatro es una simetría con respecto al cuadrante 1; lo mismo ocurre con los cuadrantes dos y tres, respectivamente.

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Figura 4: El espacio euclídeo 2D de tonos ordenados (figura tomada de [Tym11])

Este espacio se puede generalizar a conducciones de n voces. En ese caso el correspondiente espacio será ℝn. El valor de n puede ser alto si consideramos, por ejemplo, las conducciones de todas las voces de una obra sinfónica, o tan pequeño como 2 en un dueto de dos instrumentos melódicos.

El espacio anterior fue descrito para las conducciones de voces. ¿Qué pasa si consideramos una progresión de acordes en lugar de una conducción de voces? ¿Se podría adaptar el espacio anterior para representar acordes? La respuesta es que sí. Si pasamos de conducciones de voces a progresiones de acordes, entonces se pierde el orden en los vectores; solo cuentan las notas. Prosigamos con el ejemplo de dos voces y consideremos entonces conjuntos de dos tonos (esto es, acordes de dos notas o diadas). Todavía es posible usar el plano euclídeo para representar los acordes. La figura 5 muestra cómo quedaría dicha representación. Observamos que los subíndices que marcaban la octava han desaparecido y que ahora los puntos en el plano son simplemente las notas del acorde. En la parte derecha del espacio se ven los distintos intervalos, que van desde el unísono hasta el tritono.

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Figura 5: El espacio euclídeo 2D de acordes (figura tomada de [Tym11])

Sin embargo, este espacio tiene una estructura mucho más fascinante que la que hemos descrito hasta ahora. Si examinamos los bordes izquierdo y derecho, veremos que son iguales, ambos van desde CC hasta F♯F♯, pero van en sentido contrario (véanse las flechas de la figura). Es natural identificar ambos bordes como uno. Para ello, es necesario retorcer uno de los bordes para pegarlo con el otro. Al hacer esto retorcemos el espacio entero de los acordes. Cuando se hace esta operación matemática de identificar los bordes con la orientación contraria, aparece un bonito objeto matemático llamado la banda de Möebius. Esta banda tiene la propiedad de ser una superficie de una sola cara y no orientable. En la figura 6 se puede ver una banda de Möebius (figura tomada de https://tex.stackexchange.com/questions/118563/moebius-strip-using-tikz).

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Figura 6: La banda de Möebius

Como pasaba en el espacio de las conducciones de voces, las diagonales y sus paralelas dan cuenta de las progresiones en las que la nota de un acorde se queda fija. Por ejemplo, en la diagonal principal, la que biseca el primer cuadrante, la nota F♯ se queda constante. En la otra diagonal, la que biseca el segundo cuadrante, es la nota C la que se queda constante. Cuando nos movemos en vertical por el espacio, lo hacemos por movimiento contrario y cuando nos movemos en horizontal, entonces se produce movimiento paralelo.

3. Progresiones de acordes y conducciones de voces en los espacios de diadas

El uso de los espacios de diadas en el caso de las progresiones de acordes y las conducciones difiere. Una progresión de acordes genera un conjunto de puntos en el espacio de diadas. Cómo se va de un punto a otro no es importante; solo es relevante el punto de llegada en sí mismo, que marca las notas del nuevo acorde. En cambio, con las conducciones de voces, la manera en que se llega de un punto a otro sí es relevante porque el tamaño de la conducción de voces se corresponde con la longitud del camino en el espacio de diadas. Esto será esencial más adelante, pues uno de los objetivos que perseguimos aquí es construir herramientas que permitan comparar conducciones de voces y elegir la más eficiente. Para ver cómo funciona este espacio de diadas, consideremos la conducción (C, E)-→(E♭, G) (en notación inglesa y por seguir la figura de Tymoczko). Como se puede pasar del primer par al segundo moviendo cada voz tres semitonos, el camino que aparece en el espacio es un segmento horizontal; véase la figura 7. Si tomamos la conducción (B, D)-→(A♭, F), en que las voces se mueven por movimiento contrario, ahora el camino que las une es un segmento vertical. Esto es consecuencia de que se pasa de una a otra bajando tres semitonos desde la primera voz y subiendo tres semitones en la segunda voz.

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Figura 7: Caminos entre voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11])

Consideremos ahora el espacio de progresiones de acordes. Como vimos arriba, este espacio tiene estructura de banda de Möebius y eso influye en la manera en que se conectan los acordes entre sí. Tomemos las progresiones {C, D}{D, E} y {E♭,G}{A, F}; en la figura 8 aparecen los caminos que generan estas progresiones en el espacio de diadas.

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Figura 8: Caminos entre acordes en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11])

La primera progresión va primero desde {C, D} hasta {D, D}, cambiando la primera nota del acorde (y pasando por do sostenido), pero al llegar al borde superior, el camino rebota y va hasta el acorde final por un camino paralelo a una diagonal principal (el cual deja constante la nota D). En el caso de la segunda progresión, la situación es más divertida aun. El camino va desde {E♭,G} hasta {E,G♯}, y este último acorde se encuentra en el borde derecho. ¿Cómo continuar? Ese mismo acorde aparece en el borde izquierdo más abajo, como se aprecia en la figura 8. Entonces, el camino está cortado en dos trozos, aunque en realidad no es así. Si representamos el camino en la banda de Möebius, veremos que el camino es de una sola pieza.

En la figura de abajo, se ve un fragmento del Alleluia justus ut palma. En la parte (a) está la pieza en notación occidental. Se trata de un ejemplo temprano de contrapunto a dos voces. En la parte (b) se encuentra la representación en el espacio de diadas de la conducción de voces. Los patrones de la conducción saltan a la vista inmediatamente y su análisis es mucho más sencillo. Se ve primero un triángulo, formado por las aristas 1, 2, 3; y a continuación, otro triángulo, que comparte base con el anterior, formado por las aristas 3, 4 y 5. Por último, hay un segmento, que nos lleva hasta el origen en el acorde (D, G). Este es el tipo de ejemplos que da Tymoczko para apoyar su tesis de que el análisis geométrico de la música es más potente e intuitivo que ciertos métodos tradicionales.

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Figura 9: Una conducción de voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11])

4. Espacios de triadas

El lector estará pensando en este punto en la generalización a espacios de dimensiones superiores, en particular, en cómo se pasa de espacios de diadas a espacios de triadas, ya que las triadas es uno de los acordes fundamentales de la música occidental. El espacio de triadas es un objeto más complicado y se encuentra en ℝ3. Dicho espacio es periódico y tiene forma de azulejos 3D; la figura 10 muestra uno de esos azulejos.

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Figura 10: El espacio que modeliza los acordes de tres notas (figura tomada de [Tym11])

En este espacio, las triadas aumentadas dividen a la octava en tres partes iguales (recuérdese que estamos en el espacio de clases de tonos); en la figura están representadas como cubos de color oscuro. Estos acordes recibirán el nombre de regulares. Cuando más cerca está un acorde de dividir la octava en partes iguales, más cerca está del eje que une las triadas aumentadas. Los acordes más alejados de los regulares son los acordes unísonos, que se encuentran en los bordes del prisma. Aunque en la figura se han representado acordes dentro del temperamento igual, este modelo sirve para acordes microtonales o para acordes en otros sistemas de afinación.

Si ahora consideramos las conducciones de voces, entonces veremos que una conducción equivale a un camino dentro de este espacio. Sin embargo y como pasaba en 2D, los caminos dan saltos dentro del espacio. Si construimos el camino {C, C, C}{G, G, G} que va por movimiento paralelo, comprobaremos que primero subimos desde {C, C, C} hasta {E, E, E} por la arista exterior del prisma que une ambos acordes, y de ahí da un salto al {E, E, E} que está en la cara inferior a la derecha, desde donde sube hasta {G, G, G} por la arista exterior derecha.

En la figura 11 aparecen algunas progresiones de acordes del primer movimiento del cuarteto con piano en do menor opus 60 de Brahms. Se trata de secuencias cromáticas, cada una de las cuales usa una conducción de voces que desciende por semitonos para conectar triadas mayores y menores (véanse las flechas de la figura). En la parte (a) de la figura, en la primera conducción, vemos como se conecta sol mayor a fa♯ menor descendiendo un semitono. En la segunda secuencia, se conecta mi menor con sol menor. En las siguientes conducciones, como indica la figura, se salta una quinta perfecta (de la menor a mi mayor) y de una segunda menor descendente (de fa♭ mayor a mi menor). A primera vista, parece que Brahms está usando secuencias de acordes que no están relacionadas entre sí. Pero si vemos estas secuencias en el espacio de triadas, entonces nos daremos cuenta de que Brahms está moviéndose en dicho espacio de una manera bastante sistemática. Empezando en cualquier triada mayor, hay solo dos movimientos descendentes por semitonos que producen una triada menor, y que en la figura aparecen etiquetados como a y b; en la parte (b) de la figura aparecen donde está el acorde de fa mayor. Esos movimientos consisten en el descenso de o bien la fundamental o la tercera de la triada. Desde este punto, es posible bajar la fundamental un semitono y obtener un acorde aumentado. Brahms suele saltarse el acorde aumentado. Entonces, ahora hay tres posibles caminos desde la triada aumentada para conseguir una triada mayor; en la parte (b) de la figura 11 están etiquetadas como 1, 2 y 3. Cada una corresponde a la posibilidad de bajar una nota un semitono en la triada aumentada. Las nuevas triadas que resultan son de un semitono descendente, un tercera menor ascendente y una quinta perfecta ascendente, que son exactamente las que aparecen en la obra de Brahms.

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Figura 11: Conducción de voces en el cuarteto con piano de Brahms op. 60 (figura tomada de [Tym11])

Combinando las posibilidades por a y b y por 1, 2, 3 mencionadas antes, nos salen seis posibles secuencias para pasar de una triada mayor a una menor. En la parte (c) de la figura 11, se listan esas secuencias. Brahms usa cuatro de ellas y lo que es más interesantes es que  esas secuencias contrapuntísticamente son similares (porque usan conducciones de voces por semitonos) mientras que armónicamente son diferentes.

Para experimentar con los espacios de acordes, Tymoczko programó una aplicación que permite visualizar estos espacios; véase [Tym18b].

 

Bibliografía

[Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018.

[Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018.

[Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011.

[Tym18a] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en diciembre de 2018.

[Tym18b] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, sección Chord Geometries, consultado en diciembre de 2018.

 
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