117. (Agosto 2021) Afinación y temperamento (II)
Imprimir
Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Domingo 01 de Agosto de 2021

1. Introducción

En el artículo anterior [Góm21], presentamos los conceptos básicos de afinación y temperamento (manejo de frecuencias, división de la octava, cents, la serie armónica) y la afinación pitagórica, cuyos generadores son la octava y la quinta. En este artículo vamos a estudiar los siguientes temas: la afinación justa, en su versión diatónica y cromática junto con algunas afinaciones históricas; hablaremos de los problemas armónicos que se derivan del uso de la afinación justa; continuaremos con los sistemas mesotónicos, de los cuales proporcionaremos los ejemplos más sobresalientes; y, por último, sugeriremos al lector vídeos y referencias para seguir ahondando en ambos; y eso sin olvidar sugerencias de música, por supuesto.

2. Afinación justa

2.1. Escala diatónica justa

Si consideramos las proporciones de la afinación pitagórica, las cuales reproducimos por completitud en la tabla 1, observaremos que ciertas notas tienen proporciones complicadas, como pueden ser las notas mi, la y si. En la afinación justa se persigue simplificar estas proporciones. Después de la octava y la quinta, la siguiente proporción más simple es la cuarta 4:3. Sin embargo, concatenar cuartas y quintas, o viceversa, no produce nuevos intervalos. En efecto, si añadimos una cuarta justa a una quinta justa, entonces tenemos que 3-24-3 = 2 y se genera una octava. Tampoco la concatenación de cuartas a partir de la nota do produce proporciones sencillas para las notas mi, la y si.

Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do
Proporción 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1
Cents 0 203.91 407.82 498.04 701.96 905.87 1109.78 1200

Tabla 1: Afinación pitagórica para la escala diatónica

Una opción es usar la proporción 5:4, que es la proporción asociada al quinto armónico, como muestra la serie armónica de la figura 1 (encima de cada armónico aparece la diferencia en cents con respecto a la división igual de la octava redondeado al entero más cercano).

PIC

Figura 1: Serie armónica (figura adaptada de [Wik21a])

La proporción 5:4 genera una tercera mayor más consonante que la tercera pitagórica, que está dada por la proporción 81:64. Para comprobar esta afirmación, pínchese en el vídeo de más abajo, en que se pueden escuchar dos terceras mayores, la primera pitagórica y la segunda justa.

Figura 2: Diferencia entre las terceras pitagórica y justa

Si tomamos esta nueva proporción como base de la triada mayor, su proporción es 4:5:6, que significa que 5:4 es la proporción para do–mi y 6:4 = 3:2, la del intervalo do–sol. Saltando por quintas hacia arriba a partir de mi, obtenemos la nota si con una proporción de 5-43-2 = 15- 8; y si en cambio saltamos hacia abajo, entonces llegamos a la nota la mediante el siguiente cálculo:

5  2      5--⋅--⋅2 = --4  3      3

Este sistema de generar las notas de la escala diatónica se llama afinación justa o entonación justa. La tabla 2 muestra las proporciones y los valores en cents de la afinación justa, así como las diferencias entre esta y el temperamento igual y la afinación pitagórica. Obsérvese que la diferencia con las notas mi, la y si son grandes.

Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do
Proporción 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1
Cents 0 203.91 386.31 498.04 701.96 884.35 1088.26 1200
Diferencia
con el
temperamento
igual

0

3.91

-13.68

-1.96

1.96

-15.64

-11.73

1200
Diferencia
con la afinación
pitagórica

0

0

-21.51

0

0

-21.51

-21.51

0

Tabla 2: Afinación justa para la escala diatónica

La diferencia entre las quintas justas (que son iguales que las pitagóricas) y las de temperamento igual no es tan pronunciada. Escúchese el vídeo de más abajo para apreciar las diferencias.

Figura 3: Diferencia entre las quintas pitagórica y justa

La triada mayor es un acorde que aparece en muchas culturas musicales; en particular, en la música occidental es un acorde fundamental de su armonía. Las afinaciones justas ya eran conocidas por los griegos. Dídimo primero alrededor del siglo I a.C. y más tarde Ptolomeo en el siglo II d.C. estudiaron y desarrollaron estas afinaciones en que la proporción 5:4 aparecen como generador de la afinación o de la escala.

La tercer pitagórica tiene una proporción de 81:64 y la justa de 5:4. Su diferencia es 81-∕64  5∕4 = 81-80 = 1.0125 y esta recibe varios nombres: coma sintónica, coma de Dídimo, coma ptolemaica o coma ordinaria. Si la palabra coma en esta serie aparece sin ningún adjetivo, nos estaremos refiriendo a la coma sintónica. En el audio de abajo aparecen la diferencia entre un do (frecuencia de 261.63 hercios) y un do más una coma sintónica (frecuencia de 264.900375 hercios).

Figura 4: Diferencia de una coma sintónica entre dos notas

2.2. Escala cromática justa

La afinación justa es en esencia un sistema de afinación en que las triadas mayores siguen la proporción 4:5:6. Las variaciones en las afinaciones justas provienen de cómo generan el resto de las notas hasta conseguir la escala cromática. Con el fin de describir mejor las afinaciones justas cromáticas, vamos a presentar la notación de Eitz; para una buena exposición de su origen y manejo, véanse [Bar51] y [Ben06]. La notación Eitz fue desarrollada por el músico y matemático del mismo nombre en 1891. Se basa en la idea de poner superíndices y subíndices a las notas que indiquen la desviación por comas sintónicas de la quintas puras. Así, la afinación pitagórica se escribe como:

do0 - re0 - mi0 - fa0 - sol0 - la0 - si0 - do0

El superíndice 0 significa que todas las quintas son puras. Una nota que diga, por ejemplo, do-1 es un do obtenido por quintas menos una coma sintónica; análogamente, ocurre si nos encontramos do+1. Las notas que están a una coma por debajo se colocan en la fila de arriba y las que están una coma por encima se abajo. Entonces, la afinación justa de la escala diatónica aparece como sigue:


la-1
mi-1
si-1
fa0
do0
sol0
re0

Figura 5: Afinación justa en la notación de Eitz

La idea de colocar las notas con desviaciones de las quintas puras encima y debajo se debe al teórico de la música y compositor Hugo Riemann (no confundir con el matemático Bernhard Riemann de la hipótesis de Riemann). La notación de Eitz se generalizado en varias direcciones, por ejemplo, poniendo notas con diferentes comas (coma pitagórica, coma septimal, etc.).

Siguiendo el libro de Barbour [Bar51] por su excelente exposición, vamos a describir algunas de las afinaciones justas más importantes descritas por su notación de Eitz. Empezamos con la afinación de Ramis de Pareja presentada en su libro Musica Practica de 1482. En sentido descendente de Pareja afina por quintas justas las sucesión sol-la♭ y luego partiendo de re-1 sube por quintas hasta el do#-1. Los acordes que quedan “bien afinados” son los correspondientes a las tonalidades do mayor, fa mayor y si♭ mayor.






re-1
la-1
mi-1
si-1
fa#-1
do#-1
la♭0
mi♭0
si♭0
fa0
do0
sol0





Figura 6: Afinación justa de Ramis de Pareja

Otra afinación justa interesante es la de Mersenne, publicada en 1637 (figura 7), donde se ven tres sucesiones de notas afinadas por quintas justas donde cada sucesión empieza a distancia respectiva de +1 coma, 0 comas y -1 coma contado desde la línea inferior. En realidad, Mersenne divide el círculo de quintas en tres sectores que afina por quintas justas. Ahora se aprecia que hay más triadas con afinación justa.



re-1
la-1
mi-1
si-1

si♭0
fa♭0
do0
sol0

sol♭+1
re♭+1
la♭+1
mi♭+1


Figura 7: Afinación justa de Ramis de Pareja

Hay muchas otras afinaciones justas, con frecuencia adaptadas al tipo concreto de instrumento (laúd, vihuela, órgano, etc.). De nuevo, recomendamos el libro de Barbour [Bar51] para un tratamiento riguroso e histórico de estas afinaciones.

A modo de resumen, presentamos las principales características de las afinaciones justas:

  • Los semitonos cromáticos son más pequeños que los semitonos diatónicos. Así, por ejemplo, sol# es más grave que la♭. Esto obligaba en los instrumentos de tecla a tener dos teclas diferentes, como se puede ver en la figura 8.

    PIC

    Figura 8: Teclados con teclas para los semitonos cromáticos (figura adaptada de [Wik21b])
  • Como hemos visto más arriba, las terceras mayores justas son más pequeñas que las terceras pitagóricas y que las terceras del temperamento igual. Sin embargo, la situación es la contraria cuando se observan las terceras menores justas, que son más pequeñas que las correspondientes pitagóricas y de igual temperamento.
  • La nota sensible es más grave en la afinación justa que en el caso pitagórico y de temperamento igual.
  • Todos los tonos no tienen el mismo tamaño. Hay tonos grandes, como do–re, fa–sol, la–si, y tonos pequeños, como re–mi y sol–la. Los tonos grandes son mayores que los temperados, pero los tonos pequeños son menores.

3. Problemas armónicos de la afinación justa

Volvamos a la afinación justa presentada más arriba:


la-1
mi-1
si-1
fa0
do0
sol0
re0

Fijemos como tonalidad de referencia do mayor. Las triadas más importantes son las de los grados I, IV y V. En esta afinación esas triadas son do0-mi-1-sol0, sol0-si-1-re0 y fa0-la-1-do0. Las triadas menores vi y iii y vi, en cambio, tienen otra estructura en términos de afinación, a saber la-1-do0-mi-1 y mi-1-sol0-si-1. El problema aparece con la otra triada menor, la de ii, que es re0-fa0-la-1. En realidad, debería ser re-1-fa0-la-1. Si hiciésemos tal cosa, entonces el acorde del quinto grado se convertiría en sol0-si-1-re-1, y no funcionaría como un auténtico acorde de dominante.

Para mayor comprensión de los problemas armónicos de la afinación justa, tomemos una progresión armónica muy común en la música occidental:

I – vi – ii – V – I

Parece razonablemente musicalmente hablando que cuando dos acordes adyacentes compartan una nota, esta no cambie de altura dentro de la afinación. Suponiendo de nuevo que la tonalidad es do mayor, el grado I es do0-mi-1-sol0. Por la regla que acabamos de establecer, el grado vi es la-1-do0-mi-1. Entonces, el grado ii es ahora re-1-fa0-la-1 porque la-1 es una nota en común y para mantener la distancia de quinta entre la primera nota del acorde y la tercera tenemos que establecer el re como re-1. A continuación, estaría el acorde de sol mayor. Como la nota re-1 es común, obtendremos el acorde sol-1- si-2-re-1. Por último, al caer en el primer grado, llegamos al acorde do-1- mi-2-sol-1. Hemos acabado una coma sintónica más bajo que cuando empezó la progresión. Esto en términos musicales no es aceptable. Escúchese de nuevo el audio de la figura 4.

Esta situación se repite en secuencias de acordes tan usuales como I–IV–ii–V–I y I–iii–vi–ii–V–I, entre otras. Por último, recomendamos la lectura el libro de Benson [Ben06], páginas 173–176, para una discusión más profunda sobre los problemas armónicas de la afinación justa.

4. Escalas mesotónicas

En esta sección entramos ya en las escalas mesotónicas. Este tipo de escalas pueden deducirse bien por una afinación, esto es, usando siempre proporciones enteras, o por temperamento, introduciendo números irracionales. Mostraremos ambos casos y empezaremos por los temperamentos. La idea esencial del temperamento mesotónico es la de afinar por terceras mayores puras a partir de la proporción 5:4. La escala mesotónica más común es la llamada escala mesotónica clásica o escala mesotónica de cuarto de tono. Las notas que se encuentran entre las notas afinadas por terceras justas se toman equidistantes con el siguiente procedimiento. Empezamos por la primera tercera mayor do–mi, de proporción 5∕4. La nota equidistante, la nota re, se afina con la proporción ∘ ----  5∕4 = √ --  5∕2. Esto nos deja la secuencia do–re–mi con las proporciones 1:√ --  5∕2:5∕4. Con estas proporciones se afinan las secuencias fa–sol–la y sol–la–si. Sin embargo, antes de hacer afinar esas dos secuencias hay que decidir donde empiezan el fa. Hay dos semitonos que fijar, mi–fa y si–do. Las secuencias do–re–mi, fa–sol–la y sol–la–si suman 5 tonos de proporción √ --  5∕2 cada uno y, por tanto, quedan dos semitonos. Como hay que hacerlos equidistantes, se dividen por la mitad exacta. Eso en términos de proporciones equivale a extraer la raíz cuadrada. El semitono tiene, pues, el valor de:

             ∘ -----∘ ---------      6      3   (√-2-)--=    2---= -25     5∕2 5      55∕2   5 4

En esta cuenta estamos restando de la octava (el 2) los 5 semitonos (el (√ -- )   5∕25) y la raíz cuadrada exterior aparece por la división en dos partes iguales.

Entonces, para calcular la proporción de la nota fa, tenemos 5-4 32--554 = -2--51∕4. Las proporciones finales del temperamento mesotónico clásico son:

Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do
Proporción 1/1 √ --  5∕2 5/4 --2-51∕4 51∕4- 1 53∕4 2 55∕4- 4 2/1
Cents 0 193.15 386.31 503.42 696.57 884.73 1082.89 1200

Tabla 3: Temperamento mesotónico clásico para la escala diatónica

Como se aprecia fácilmente en la tabla, las quintas ya no son puras (500 cents) y las terceras mayores son más pequeñas que en el temperamento igual. La nota sensible es más grave que en el temperamento igual. En cambio el semitono diatónico mi–fa es más grande.

En la página web teoria.com [JRA21] el lector puede escuchar el Preludio en la bemol mayor BWV 862 de J. S. Bach en temperamento mesotónico.

Una afinación mesotónica se puede conseguir a partir de la afinación pitagórica tomando la serie de quintas sucesivas y bajándolas un cuarto de coma sintónica en cada paso. Si empezamos en do, el diagrama de Eitz de una afinación mesotónica es este:


mi-1
si-5∕4




do0
sol-1∕4
re-1∕2
la-3∕4
mi-1





fa+1∕4
do0

En general, una escala cromática se puede completar aplicando los principios anteriores, bien del temperamento o de la afinación. A modo de ejemplo, aquí tenemos la afinación mesotónica de Pietro Aaron del siglo XVI.



mi-1
si-5∕4
fai#-3∕2
do#-7∕4

do0
sol-1∕4
re-1∕2
la-3∕4
mi-1
la♭+1
mi♭+3∕4
si♭+1∕2
fa♭+1∕4
do0

Figura 9: Afinación mesotónica de Pietro Aaron

Se supone que las notas comunes de ambos extremos del diagrama de Eitz son las mismas (el do0 y el mi-1). La quinta del lobo se produce entre do# y la♭.

Haciendo un ejercicio de abstracción, se pueden tomar diferentes divisiones de la coma sintónica. En el ejemplo anterior fue 1∕4, pero en general puede ser un número α ∈ (0,1). Cuando se piensa así, el esquema general de las afinaciones mesotónicas queda como sigue:



mi-4α
si-5α
fa#-6α
do#-7α
sol#-8α

doo
sol
re-2α
la-3α
mi-4α



mi♭+3α
si♭+2α
fa♭α
do0


Figura 10: Afinación mesotónica general

5. Para saber más

El catedrático Luis Nuño, de la Universidad Politécnica de Valencia, y autor invitado de pasadas columnas, ha sacado varios vídeos ilustrando las afinaciones justas y pitagóricas. Dejamos dos de ellos a continuación.

Figura 11: Entonación Justa: Batidos

Figura 12: Entonación Justa: Implementación Práctica

Desde la perspectiva histórica, dejamos otro vídeo de Elam Rotem, este sobre la afinación justa en el Renacimiento:

Figura 13: Afinación justa en el Renacimiento

En este vídeo se puede escuchar las suites y transcripciones para clave de Jean-Henry d'Anglebert, interpretadas por Byron Schenkman en un clave afinado con temperamento mesotónico de cuarto de tono.

Figura 14: Suites y transcripciones para clave de Jean-Henry d'Anglebert, interpretadas por Byron Schenkman

Una opción más sencilla que el programa de Audacity se puede encontrar en esta web: https://onlinetonegenerator.com/binauralbeats.html

 

Bibliografía

[Bar51] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. Dover Publications, Inc., New York, 1951.

[Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006.

[Góm21] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (I), accedido el 20 de julio de 2021.

[JRA21] José José Rodríguez Alvira. 2,500 años de temperamentos musicales, accedido el 20 de julio de 2021.

[Wik21a] Wikipedia. Harmonic serie, accedido el 10 de julio de 2021.

[Wik21b] Wikipedia. Split sharp, accedido el 20 de julio de 2021.

 
Volver