121. (Febrero 2022) Modelos matemáticos de la función tonal (II)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Lunes 14 de Febrero de 2022

1. La función tonal y el tonnetz

En esta última entrega de la serie sobre modelos matemáticos de la función tonal vamos a estudiar un modelo de naturaleza geométrica: el tonnetz. Es un modelo que se basa en la clasificación clásica de los acordes en tónica, dominante y subdominante y que proporciona una visualización bella y elegante de la función tonal y de las relaciones entre los acordes. Una de sus visualizaciones es en forma de toro, como muestra la figura 1 (esta visualización es su interpretación moderna en términos de teoría neoriemanniana, que veremos más adelante en este artículo).

Figura 1: El tonnetz como un toro geométrico

El tonnetz fue definido por primera vez por Euler en 1739 en su obra Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae [Eul22]. Dado un acorde, Euler se fijó en tres relaciones respecto a ese acorde: el movimiento por quintas, el movimiento por terceras mayores y el movimiento por terceras menores. Fijado un acorde, la organización geométrica del tonnetz es entonces como sigue:

  • Los saltos por quintas a partir de ese acorde se representan en línea horizontales;
  • Los acordes a una tercera menor por arriba está en la diagonal superior derecha y los de tercera menor por abajo en la diagonal superior izquierda;
  • Análogamente, los acordes a distancia de tercera mayor están por debajo; los de tercera mayor ascendente se sitúan en la diagonal derecha y los de tercera mayor descendente en la diagonal izquierda.

Si fijamos el acorde de do, en la figura de abajo vemos los acordes relacionados con este por el modelo tonnetz. En la línea horizontal vemos un trozo del círculo de quintas, do–sol; en la línea inmediatamente superior están las notas que forman el acorde menor con do, la–do–mi, las cuales a su vez forman otro círculo de quintas; y en la línea inferior a do, vemos los notas a distancia de tercera mayor, también ordenadas por quintas ascendentes hacia la derecha. Las triadas en este modelo forman triángulos.

Figura 2: Acordes relacionados entre sí por el modelo tonnetz

Las triadas mayores son los triángulos formados por la nota de la diagonal superior derecha y la inmediatamente a la derecha; en la figura do–mi–sol sería el triángulo con la m mayúscula. Las triadas menores son el reflejo respecto al eje x de dicho triángulo; en la figura el triángulo do–mi♭–sol marcado con una m minúscula.

El modelo inicial de Euler estaba basado en la entonación justa (véanse las columnas de esta sección sobre afinación, [Góm21a], [Góm21b], [Lie04]). Por tanto, las quintas eran justas y el modelo se extendía hasta el infinito. De hecho, todos los intervalos del tonnetz en el modelo de Euler eran puros (las terceras y los demás intervalos también).

Más de un siglo después, el modelo de Euler llama la atención del físico y teórico de la música Arthur von Oettingen. El trabajo de este teórico a su vez llama la atención de Hugo Riemann, quien lo sistematiza y usa en sus análisis de las conducciones de voces y las progresiones armónicas. El cambio que se produce en el uso moderno del tonnetz es que se hace finito al establecer el sistema temperado como sistema de afinación. Esto es, al dividir la octava en 12 partes iguales, el tonnetz pierde su carácter infinito (de ahí la representación finita en forma de toro que vimos más arriba).

A la luz de la teoría neoriemanniana, el tonnetz se usa como modelo matemático de los acordes y las funciones tonales, donde las notas del tonnetz son ahora clases de alturas. En dicha teoría se definen tres tipos de operaciones o transformaciones:

  • La operación P, de paralelo, donde un acorde mayor se transforma en su versión menor y viceversa. Esto ocurre por el movimiento de la tercera bien ascendente o descendente.
  • La transformación R, donde un acorde mayor se transforma en su relativo menor y viceversa. En el acorde mayor la quinta sube un tono y en el acorde menor la fundamental baja medio tono.
  • La operación L (de leading-tone exchange en sus siglas inglesas) transforma un acorde mayor en el acorde menor a distancia de una tercera mayor bajando la fundamental medio tono. Así, por ejemplo, do mayor se transforma en mi menor bajando do a si. A la inversa, un acorde menor, como do menor, se transforma en mi♭ mayor bajando do a si♭.

En el tonnetz, estas operaciones se identifican con cuadrados como se muestra en la figura de abajo.

Figura 3: Versión moderna del modelo del tonnetz (figura tomada de [Wik22])

El tonnetz ha servido para modelizar música de la práctica común extendida y el jazz. Para una ilustración muy clara del uso del tonnetz en la música de jazz, véase [Wel20].

En los vídeos que se muestran a continuación, se muestran explicaciones más detalladas y visuales sobre el tonnetz. En el primero, se explica el tonnetz con ejemplos musicales en el piano.

Figura 4: Tonnetz explicado por Daniel Lewis

En el siguiente vídeo se oye un preludio de Chopin y se visualiza cómo evolucionan los acordes en el tonnetz.

Figura 5: Tonnetz explicado por Daniel Lewis

En el último vídeo se visualiza la Gimnopédie número 1 de Satie en el tonnetz.

Figura 6: Tonnetz explicado por Daniel Lewis

Por ultimo, recomendamos al lector la visita a la página de Imaginary [Ima22], donde puede encontrar una versión interactiva del tonnetz.

 

Bibliografía

[Eul22] Leonard Euler. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae. http://eulerarchive.maa.org/backup/E033.html, Accedido en enero de 2022. Published on Euler archive.

[Góm21a] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (I). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18644&directory=67, accedido el 20 de julio de 2021.

[Góm21b] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (II). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18645&directory=67, accedido en agosto de 2021.

[Ima22] Imaginary.org. Tonnetz. https://www.imaginary.org/es/node/1523, accedido en enero de 2022.

[Lie04] Vicente Liern. Afinación. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=8747&directory=67, enero de 2004.

[Wel20] John Welsh. Using Tonnetz Tone Mesh To Understand Jazz Harmony. https://jazz-library.com/articles/tonnetz/, Abril de 2020.

[Wik22] Wikipedia. Tonnetz. https://en.wikipedia.org/wiki/Tonnetz, accedido en enero de 2022.

 
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