124. (Mayo 2022) Modelos computacionales de ritmo y métrica (II)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Martes 17 de Mayo de 2022

1. Introducción

En esta segunda columna de la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica, vamos a tratar el recuento y la generación de ritmos con técnicas combinatorias.. En la primera columna [Góm], hicimos una breve recensión de los dos primeros capítulos del libro Computational Models of Rhythm and Meter de Boenn [Boe18]. En el primer capítulo se examinaba la definición de ritmo desde un punto de vista abstracto y filosófico; en el segundo, se definió la notación SNMR.

2. Recuento de listas

Esta sección tendrá un carácter indagatorio y orgánico. Empezamos considerando un entero positivo n > 1. Este entero representará el número total de pulsos de nuestro ritmo. Asociado a todo ritmo, tenemos k, otro entero positivo con 1 ≤ k ≤ n, que representa las notas del ritmo o ataques. Así, el ritmo

PIC

lo representamos por la lista R1 = (2,2,2,3). Marcamos en negrita la palabra lista como definición, la cual quiere decir que el orden de los elementos es importante y distingue entre listas (ritmos). Así, el ritmo R2 = (3,2,2,2) tiene un orden distinto de los elementos y es, por tanto, una lista y un ritmo distintos.

2.1. Permutaciones sin y con repetición

Investiguemos las listas un poco más en abstracto (el lector se lo merece). Tomemos un conjunto A = {a1,a2,…,an} de n elementos donde los elementos son distintos entre sí (esto es, ai≠aj si i≠j). ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Este es un argumento clásico. Para el primer elemento de la lista, tenemos n posibilidades, los n elementos de A. Para el segundo elemento, dado que no podemos usar el elemento de la primera posición, hay n - 1 posibilidades. Razonando así hasta completar la lista entera, llegamos a que hay n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ 2 ⋅ 1. El número anterior se llama factorial de n y se escribe

n! = n⋅ (n - 1)⋅...⋅2 ⋅1

Este argumento se puede ilustrar con el siguiente árbol, donde hemos hecho que A = {a,b,c}:

PIC

El número de listas formadas por un conjunto de n elementos no repetidos se llama permutaciones sin repetición y se designa por Pn. Por lo visto antes, Pn = n!.

¿Qué ocurre si a continuación eliminamos la restricción de la repetición? Supongamos que tenemos un conjunto A de n elementos formado como sigue:

         k1       k2          kmA = {a1,...,a1,a2,...,a2,...am,...,am}

donde n = k1 + k2 + … + km. ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Si hay repetidos, esto quiere decir que las permutaciones entre los elementos repetidos del mismo tipo dará lugar a la misma selección. Las repeticiones se quitan dividiendo por las permutaciones de la repetición. Por tanto, el número de listas ordenadas formadas con elementos de A, donde hay m grupos de elementos repetidos es:

------n!------k1!k2!⋅...⋅km!

Este número se designa por PRnk1,…,km, donde k1,…,km son los elementos repetidos

En el caso del ritmo de arriba R1 = (2,2,2,3), está claro que el conjunto de listas distintas es:

{(2,2,2,3),(2,2,3,2),(2,3,2,2),(3,2,2,2)}

de las cuales hay 4. Si calculamos ese número, obtenemos PR43 = 4!--3! = 4⋅3 ⋅2⋅1--------- 3⋅2 ⋅1 = 4, como era de esperar.

3. Los ritmos aksak

Los ritmos aksak son ritmos que tienen solo dos duraciones posibles en términos de distancias, 2 o 3, y han de contener al menos un 2 y al menos un 3. Este tipo de ritmos aparecen en varias tradiciones musicales, entre ellas la música turca o la música búlgara. Autores como Simha Arom [Aro04], Brăiloiu [Bra51], Cler [Cle94], y en conexión con los ritmos euclídeos Demain y coautores [DGMM+09]. Arom clasificó los ritmos aksak para valores del número de pulsos n entre 5 y 29 y proporcionó una clasificación teórica. En su clasificación de ritmos aksak delinea tres categorías:

  • Un ritmo aksak se dice que es auténtico si n es primo.
  • Cuando n es impar pero no es primo, el ritmo aksak es llamado quasi-aksak.
  • En caso de que n sea par, el ritmo aksak se denomina pseudo-aksak.

A continuación listamos algunos ritmos aksak junto con sus categorizaciones (los representamos con la notación de notas y silencios, la notación de distancias y la notación SNMR):

Ritmos aksak auténticos:

  • [×⋅×⋅ ⋅ ]= (23))=I-, ritmo que se encuentra en la música clásica y en la música de entre otros Grecia, Macedonia, Namibia o Ruanda.
  • [×⋅×⋅×⋅ ] = (223)=II-, ritmo que se encuentra en la música de Bulgaria, Grecia, Sudán y Turquía.
  • [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(3332)=—I, ritmo que puede oír en la música del sur de la India.
  • [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]= (22223), ritmo que se encuentra en Bulgaria, el norte de la India y en Serbia, por nombrar unos pocos ejemplos.
  • Los ritmos [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(32323)=-I-I- y [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(222223)= =IIIII- se encuentran en la música de Macedonia.
  • Otros ritmos aksak auténticos de la tradición búlgara son: (3232322), (22222223), (32232232), o (323232323).

Como ejemplos de ritmos quasi-aksak tenemos:

  • [×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2223)=III-, que se pueden escuchar en la música de Grecia, Macedonia, Turquía o Zaire.
  • El ritmo búlgaro [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2222223)=IIIIII-.

Por último, los siguientes son ritmos pseudo-aksak:

  • [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(332)=–I, ritmo que se encuentra con frecuencia, por ejemplo, en la música de África central, Grecia, India, Latinoamérica, África del oeste o Sudán.
  • [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ]=(32322)=-I-II, que se encuentra en música de Macedonia o Sudáfrica.

Sea R un ritmo aksak de n pulsos con r doses y s tres. El número de ritmos aksak que hay con esos r doses y s treses es:

          n!
P Rrn,s = -----
        r!⋅s!

Además, se cumple la siguiente relación entre n,r y s:

n = 2 ⋅r + 3 ⋅s   (1)

Esta última relación es una ecuación diofántica y se puede usar para generar y contar ritmos aksak. Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma c = ax + by, donde a,b,c son números enteros. El siguiente teorema determina cuándo hay solución y cuando existen cómo se calculan las soluciones. Cuando hay solución, existen infinitas soluciones como vemos en el enunciado del teorema.

Teorema. Resolución de ecuaciones diofánticas. Sean a,b,c tres números enteros, y sea d = mcd(a,b). Se considera la ecuación diofántica c = ax + by. Entonces:

(1) Si d no divide a c, entonces la ecuación diofántica no tiene solución.
(2) Si d divide a c, entonces la ecuación diofántica tiene infinitas soluciones de la forma

x = x0 + bd-m,


y = y0 -a-dm

donde m ∈ y x0,y0 son soluciones particulares de la ecuación diofántica.

Aplicando el teorema a la relación (1) de arriba, vemos que el máximo común de 2 y 3 es 1 (son primos ambos números) y, por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución por el apartado (2) del teorema. La solución particular es, por ejemplo, x0 = -n,y0 = n, ya que 2x0 + 3y0 = -2n + 3n = n. Se sigue que la solución general es:

x = - n + 3m,y = n - 2m,   m ∈ ℤ

Fijado n, basta encontrar los valores de m que dan valores positivos de x,y (recuérdese que un ritmo aksak exige que haya al menos un 2 y un 3). Pongamos el ejemplo de los ritmos aksak de n = 17 pulsos. Según el teorema, las soluciones de x e y son, respectivamente, x = -17 + 3m,y = 17 - 2m. El valor m = 6 es el primer valor para el que x e y son positivos. La taba siguiente muestra los resultados:

m x = -17 + 3m y = 17 - 2m Ritmo SNMR
4 1 5 (233333) I- - - - -
5 4 3 (2222333) I I I I - - -
7 1 2 (22222223) I I I I I I I -

Tabla 1: Ritmos aksak de 17 pulsos

4. Combinaciones sin y con repetición

La diferencia entre una lista y un conjunto es que en la primera el orden importa y en el segundo no. En los conjuntos el orden no importa; de hecho, la definición de conjunto habla de una colección no ordenada de elementos. Sea A = {a1,…,an} un conjunto de n elementos distintos. El número de listas de tamaño n es, como sabemos, Pn = n!. Si ahora queremos contar el número de subconjuntos tenemos que usar argumentos adicionales para contarlos.

En primer lugar, vamos a estudiar cómo contar el número de listas de tamaño k, donde 1 ≤ k ≤ n. Usando el argumento de más arriba, tenemos n posibilidades para la primera posición de la lista, n - 1 para la segunda y, siguiendo este proceso, tendremos n - k + 1 para la posición número k. Por tanto, el número final será n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ (n - k + 1). Este número se llama variaciones sin repetición de n tomados de k en k o más corto V n,k. Este número se puede escribir como:

V   = n ⋅(n-  1)⋅...⋅(n- k + 1) = ---n!---
 n,k                               (n - k)!

Continuemos. Sea L = (ai1,…,aik) una de esas listas. Cuando esta lista se transforma en un subconjunto, cualquier permutación de L da lugar al mismo subconjunto. Hay k! permutaciones de L y, por tanto, el número de subconjuntos de tamaño de k de A, al que llamaremos Cn,k, es:

              --n!----
C   =  Vn,k-= -(n--k)! = -(n---k)!
 n,k    k!      k!      k!(n - k)!

Se llaman combinaciones sin repetición de conjuntos a los subconjuntos de tamaño k formados con los elementos de un conjunto dado, donde se supone que en el conjunto no hay elementos repetidos. Se designarán por Cn,k o por (n k) .

Por último, pedimos al lector que trate de resolver la ecuación

x1 + x2 + ...+ xk = n    (2)

donde n,k son números enteros no negativos.

¿Alguna idea? He aquí una ingeniosa idea para resolverla. Consideremos el conjunto formado por un palote ∣ y un signo +. Queremos formar todas las listas distintas con n palotes y k - 1 signos más. Como los palotes y los signos más son indistinguibles entre sí, las listas difieren en la posición de los palotes y signos más. Cada lista da lugar a la solución de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n sin más que contar los palotes entre dos signos más consecutivos. Y viceversa, una solución de x1 + x2 + … + xk = n da lugar a una lista de palotes y signos más. Vamos a contar esas listas pues. En vista de lo aprendido arriba, hay Pn+k-1 = (n + k - 1)! listas. Como se repiten los palotes, de los que hay nk, y las signos más, de los que hay k - 1, tendremos que dividir por n! y (k - 1)!. Así que el número de las listas es:

--Pn+k--1--  (n-+-k---1)!
n!⋅(k - 1)! = n!⋅(k - 1)! = Cn+k -1,k- 1

que son las combinaciones de n + k - 1 tomadas de k - 1 en k - 1.

5. Particiones de enteros y ritmos

Dado un ritmo de n pulsos, las soluciones positivas de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n nos da todos los ritmos de k notas. La sucesión de distancias de ese ritmo sería sencillamente R = (x1,x2,…,xk). La siguiente tabla muestra cómo se generan ritmos a partir de esta ecuación:

x1 x2 x3 x4 x5 Ritmo SNMR
5



(5) H˜-
4 1


(41) H-
3 2


(32) - I
3 1 1

(311) - . .
2 2 1

(221) I I .
2 1 1 1
(2111) I . . .
1 1 1 1 1 (11111) . . . . .

Tabla 2: Las particiones de 5 y los ritmos asociados

Dado un ritmo R = (x1,x2,…,xk), donde los xi son positivos todos, hay

       k!
----------------
x1!⋅x2!⋅...⋅xk!

ritmos posibles con esa configuración de distancias. Por ejemplo, del cuarto ritmo de la tabla de arriba (3,1,1) hay 3!∕2! = 3 ritmos distintos, que son (3,1,1),(1,3,1),(1,1,3). Obsérvese que aquí k = 3 porque x4 = x5 = 0. Cuando todas las xi son diferentes, el número de ritmos es simplemente k!.

 

6. Notación SNMR

Cuadro con la notación SNMR:

PIC

Figura 1: La codificación SNMR (figura tomada de [Boe18]

 

Bibliografía

[Aro04] Simha Arom. L?aksak: Principes et typologie polyphony and polyrhythm. Cahiers de Musiques Traditionnelles, pages 12–48, 2004.

[Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018.

[Bra51] C. Brailoiu. Le rythme aksak. Revue de Musicologie, pages 71–108, 1951.

[Cle94] J. Cler. Pour une théorie de l?aksak. Revue de Musicologie, pages 181–210, 1994.

[DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009.

[Góm] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (I)

 
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