1. (2004-2005) Afinación
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Escrito por Vicente Liem   
Jueves 01 de Enero de 2004

1. Introducción

2. Afinaciones y Temperamentos

3. Conceptos básicos

4. Sistemas de afinación

4.1. Afinación pitagórica
4.2. Justa entonación
4.3. Temperamentos cíclicos regulares

5. Bibliografía


1. Introducción

Para estudiar un sonido hay, al menos, tres cualidades que debemos tener en cuenta:

  1. La intensidad que es la medida de lo fuertes o débiles que son los sonidos. Por extraño que parezca es difícilmente apreciable por el oído si no están en el mismo tono.
  2. El tono determina la altura de un sonido, es decir lo grave o agudo que es.
  3. El timbre es la cualidad que nos permite distinguir sonidos idénticos emitidos por instrumentos distintos.

En esta sección, como vamos a estudiar la afinación, sólo estamos interesados en el tono, y por tanto vamos a identificar cada sonido con la frecuencia que nos da el tono.

Los archivos sonoros, salvo que se advierta de lo contrario, están generados con el programa MATHEMATICA®

Como muestra intuitiva de la importancia que tiene en la música la “forma de afinar”, a continuación analizamos dos fragmentos en los que se puede observar y escuchar dos tipos de música de estilos muy diferentes. Sin embargo, obviando las grandes diferencias técnicas (la primera es una grabación del año 2002 hecha en Estambul y la segunda una grabación del año 1929 extraída de un disco de pizarra), ambos fragmentos comparten muchas características fundamentales.

La primera es obra de un compositor contemporáneo turco y la segunda de una interpretación de de “cançò d’estil” de Paterna -Valencia. En ellas, aunque se desconozca su origen, y con independencia de la cultura musical de cada uno, cualquiera puede apreciar que se trata de música popular. Las razones que nos permiten situarlas dentro de la música folclórica son, básicamente las siguientes:

1. Los ritmos, tipo instrumentación, etc. no son los de la música sinfónica
2. Aparecen notas diferentes a las que se escuchan en otros tipos de música

En estos momentos, a nosotros nos interesa especialmente el segundo aspecto: Se utilizan muchas más notas que en la música occidental sinfónica. ¿Significa esto que hemos escuchado notas que están desafinadas?. Sin duda, la respuesta es no. Lo que ocurre es que no están afinadas en el sistema temperado al que está habituado nuestro oído.

Analicemos más detenidamente los dos primeros compases del primer pentagrama:


2. Afinaciones y Temperamentos

Si los interpretamos en el sistema temperado de 12 notas (el más extendido en la música occidental actual) y en el sistema de afinación pitagórico comprobamos que hay diferencias claramente perceptibles:

Escuchemos, por ejemplo, la cuarta nota (Si b) en cada uno de los sistemas y luego juntas para apreciar la diferencia

El objetivo de esta sección es entender situaciones como ésta e intentar responder con argumentos matemáticos a preguntas como las siguientes:

  • ¿Qué es afinar?
  • ¿Ha sido siempre así?
  • ¿Por qué en la música occidental se utilizan 7 o 12 notas por octava y no otras cantidades?
  • ¿Se puede afinar una orquesta sinfónica?
  • ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la afinación?

El esquema que seguiremos será el siguiente:

Sistemas de afinación

A lo largo de la Historia han aparecido centenares de afinaciones de las que sólo se siguen utilizando alrededor de media docena. La razón por la que trataremos estas cuatro formas de afinar es que éstas son las cuatro afinaciones que conviven en la orquesta clásica actual.


3. Conceptos básicos

Una afinación o un sistema de afinación es el conjunto de los sonidos que utiliza la Música. En el conjunto de las frecuencias de todos los sonidos, R+ tenemos que elegir aquellos que sirven para hacer música y descartar el resto. Los sonidos admitidos por el sistema de afinación se denominarán sonidos afinados o notas musicales. Según sea la naturaleza de los números elegidos se tiene dos tipos de sistemas de afinación: las afinaciones y los temperamentos. En las primeras todos los números son racionales mientras que en los temperamentos algunos (o todos) son irracionales. Ahora bien, a pesar de que esta clasificación cada día se usa más en los tratados de música lo cierto es que tanto histórica como conceptualmente los temperamentos han surgido como aproximaciones a las afinaciones sin que, normalmente, se tuviese en cuenta el tipo de números utilizados.

Una vez introducido, aunque sea grosso modo, el concepto de afinación, cabe preguntarse si éste puede ser todavía un tema de interés para alguien que no se dedique al estudio de la Historia. La aparición esporádica de artículos en revistas de física o matemáticas tratando temas de música podrían dar una contestación a esta pregunta. Sin embargo, las necesidades de músicos y musicólogos proporcionan un respuesta mucho más convincente.

Éstos han establecido dos campos de actuación:

• la búsqueda de nuevas afinaciones que aumenten las posibilidades en la creación musical

• la recuperación de la fidelidad a partituras antiguas.
En este último sentido, M. Bernal asegura que

"uno de los principales problemas que se presentan en la praxis de la música antigua para tecla es el de la elección del temperamento adecuado"

Revista de Musicología, 22 (1999)

Entendiendo por adecuado aquel temperamento para el que fue concebida. De hecho, incluso la expresión "buen temperamento", empleada al menos a partir de la obra Clave bien temperado (Das wohltemperierte Klavier I, 1721) de J. S. Bach, resulta imprecisa. Como aclara J. J. Goldáraz buen temperamento no designa una única forma de afinar y continúa siendo un tema de discusión conocer si se trataba realmente del sistema de afinación de 12 notas por octava o se tratataba de otro temperamento de los que en la época se utilizaban en Alemania.

La octava

En todos los sistemas de afinación aparece el concepto de octava. Un sonido de frecuencia f1 se dice que es una octava más grave que otro f2 si f2 = 2·f1. Hasta tal punto es intuitiva esta idea, que se usa de forma natural aunque no se tenga formación musical. Piénsese, por ejemplo, cuando cantan juntos un hombre y una mujer. El hombre suele cantar una octava más grave y sin embargo cualquiera reconoce que están interpretando las mismas notas.

A partir del concepto de octava, lo que se hace es partir el intervalo de frecuencias audibles por octavas:

… [f, 2f], [2f, 4f], [4f, 8f], …

e identifican las notas que están a diferente octava. Es decir, hablaremos de un Do sin importarnos la octava en la que se encuentra. Por tanto, es mucho más cómodo suponer que las notas están en el intervalo [1,2].

Afinar es elegir una cantidad finita de puntos del intervalo [1, 2]

Siete notas

Al menos desde el primer milenio antes de Cristo, los caldeos relacionaron muy estrechamente la música con la astrología y las matemáticas. De hecho, el destino de los hombres y la armonía del Universo se explicaba usando especulaciones matemáticas a las que atribuían multitud de propiedades. Parece ser que esto dio lugar a que numerosos fenómenos cósmicos fuesen representados por la comparación entre las longitudes de cuerdas tirantes. De este modo aparecieron cuatro relaciones asociadas con las cuatro estaciones del año que, por su importancia, tomaron nombres propios:

1/1

unísono
3/2

quinta
4/3

cuarta
2/1

octava

Entre los números cuyas propiedades eran especialmente útiles en la predicción de sucesos destacaban el 4 y el 7. De hecho, probablemente la antigua escala caldea era de siete notas.

En occidente, a partir de los caldeos y sobre todo de los pitagóricos (siglo VI. a. C.) se ha considerado que las notas fundamentales eran 7 y que el resto eran alteraciones de estas notas. A las alteraciones se les llama sostenidos ( # ) si aumentan la frecuencia y bemoles ( b ) si la disminuyen. Pero no precisaremos más en la definición de las alteraciones porque, como se verá más adelante, dependiendo del sistema de afinación significarán una cosa u otra.

Tonos y semitonos

Se trata de intervalos que en la práctica se emplean más que los dados anteriormente. Dadas dos notas f1, f2 se tienen las siguientes relaciones:

Tono ( T ): Decimos que f2 es un tono más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo dos quintas y bajando una octava.

Semitono cromático ( Sc ): Decimos que f2 es un semitono cromático más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo siete quintas y bajando cuatro octavas.

Semitono diatónico ( Sd ) Decimos que f2 es un semitono diatónico más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo cinco quintas y bajando dos octavas.

Hay sistemas de afinación en los que aparecen varios tipos de quinta, por tanto la distancia de tonos y semitonos dependerá del sistema. Algunas de estas afinaciones verifican:

T=Sc+Sd

e incluso se da

Sc=Sd.

Sin embargo, en general, no tienen por qué darse estas condiciones.


4.1. Afinación pitagórica

Es muy probable que Pitágoras de Samos (580 –500 a. de C.), tras un largo periodo de estudio en las escuelas mesopotámicas, llevase las teorías de la música y los principios de la afinación a Grecia. Tal y como hacían los caldeos, estableció que el sonido musical producido por una cuerda vibrante varía en razón inversa a su longitud, esto es:

"cuanto más corta sea la cuerda, más aguda será la nota producida".

Afinación Pitagórica

Además, estableció cuatro intervalos, o relaciones entre las longitudes de las cuerdas que producían las únicas consonancias admitidas:

Para producir todos los sonidos afinados (notas musicales) sólo se dispone de estos cuatro intervalos y sus combinaciones.

Expresado de forma axiomática, el sistema de afinación pitagórico se obtiene de la forma siguiente:

P1. La música se basa en 7 notas.

P2.
La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 3 cualquier número de veces.

P3.
La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 2 cualquier número de veces.

En lugar de manejar la longitud de las cuerdas estudiaremos las frecuencias producidas por éstas.

El axioma P2 sube quintas cuando se multiplica por 3 y las baja cuando se divide y el axioma P3 sube o baja octavas cuando se multiplica o divide por 2.

El sistema de afinación que se obtiene con los axiomas anteriores es relativo porque dada una cuerda L de cualquier longitud, aplicando P1, P2 y P3 se obtienen notas que suenan afinadas con la producida por L. Para que este sistema de afinación sea absoluto, y por tanto aplicable, necesitamos imponer que una nota, a la que denominaremos nota patrón o diapasón, forme parte de las notas afinadas:

Notas afinadas:

Consideramos una frecuencia patrón f0. Dado un sonido f diremos que está afinado en el sistema pitagórico si existen n y m números enteros de manera que:

3n 2m f0 = f

Ya estamos en condiciones de obtener de forma práctica las notas de la afinación pitagórica.

Todas las notas de la afinación pitagórica se obtienen aumentado o disminuyendo quintas, es decir, dada una frecuencia f multiplicamos o dividimos por 3/2 cualquier número de veces.
Ahora bien, como hemos dicho que una afinación consiste en elegir puntos de [1,2], debemos dividir o multiplicar por una potencia de 2 adecuada de manera que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2].

Ejemplo
Supongamos que el sonido f lo subimos dos quintas. La nota que se obtendría es:

Para llevar esta nota a la misma octava que f (hacer que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2] debemos dividir por 2. Es decir que la nueva nota afinada será:

Método para obtener las notas

1.- Asociamos cada una de las notas con un número, es decir

0 = Do, 1 = Re, 2 = Mi, 3 = Fa, 4 = Sol, 5 = La, 6 = Si

2.- Escribimos tablas de 7 columnas y 4 filas:

0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6

En la primera fila marcamos la nota central (3)

0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6

A partir de la nota 3 marcamos las notas que se obtienen contando 5 casillas (OJO porque la casilla de partida también se cuenta)

0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6

Cada vez que hemos marcado una casilla nueva hemos aumentado una quinta, y repitiendo el proceso siete veces obtenemos las notas naturales en el orden siguiente:

Fa – Do – Sol – Re - La - Mi - Si

Para obtener más notas ampliamos el número de matrices o tablas. Con ellas aparecerán, en un sentido, las notas con un sostenido, con dos, etc y en el sentido contrario las notas con 1 bemol, 2 bemoles, etc.

Cada vez que vamos de una nota marcada a otra bajando en la tabla multiplicamos por 3/2 tantas veces como notas marcadas haya. Y en el sentido contrario lo que haremos es dividir por 3/2 .

Ejemplo: A partir de un Do (natural), ¿cómo se obtiene un Fa# y un Mib?

a) Desde el Do (natural) al Fa# hay que subir 6 quintas (hemos contado 6 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:

Para que el Do (natural) y el Fa# estén en la misma octava debemos dividir por una potencia de 2 , en concreto 2 3, es decir:

b) Desde el Do (natural) al Mib hay que bajar 3 quintas (hemos contado 3 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:

Para que el Do (natural) y el Mib estén en la misma octava debemos multiplicar por una potencia de 2 , en concreto 2 2, es decir :

Las fracciones para obtener las notas más frecuentes son las siguientes:

Tabla de las fracciones para obtener las notas

Para el sistema pitagórico, por ejemplo un Lab y un Sol# son dos notas diferentes:

 

¿Cuántas notas deben aparecer dentro de una octava?

Con el método que hemos descrito podríamos generar una cantidad infinita de notas dentro de una misma octava, por tanto debemos añadir algún criterio que permita detenernos cuando se tiene una cantidad razonable de ellas. Sería lógico pensar que un buen momento para parar es cuando empiecen a repetirse los sonidos. Sin embargo, como se puede demostrar que esto no va a ocurrir nunca, deberemos conformarnos con aceptar como iguales sonidos que sean “muy parecidos”.

En la gráfica siguiente hemos representado las 70 primeras notas de la afinación pitagórica. En el eje de abcisas se representa el orden en el que aparecen y en el de ordenadas la fracción con la que se obtiene. Por ejemplo, la primera nota es el punto (0,1). Cuando obtengamos una nota cuya ordenada esté muy próxima al 1 nos detendremos.

representación de las 70 primeras notas de la afinación  pitagórica

La primera vez que nos acercamos al sonido inicial es cuando tenemos 12 notas, y ésta es la razón por la que la inmensa mayoría de la música que se escucha en la actualidad está hecha para el Temperamento Igual de 12 notas del que más tarde hablaremos. Si queremos mayor precisión necesitamos 53 notas, y si continuásemos 665 notas, etc., pero sin duda estas cantidades resultarían poco prácticas.

Como se ve, el hecho de fijar 7, 12 u otro número de notas por octava no es una cuestión trivial y depende de la precisión que se exija en el parecido con la nota de partida. De hecho, esta elección no siempre se ha hecho con éxito. Por ejemplo, Robert Smith, en Harmonics, or the Philosophy of Musical Sounds (1749), propone 21 divisiones por octava para el temperamento de 5/18 de coma zarliniana y, como se apreciaría más tarde desde el punto de vista práctico, esto no tenía sentido.


4.2. Justa entonación

Con el nombre de afinación justa o de los físicos se conocen varios sistemas de afinación que añaden el intervalo 5/4 a la afinación pitagórica para representar la tercera. La forma de incorporarlo es ajustando algunas notas de la afinación pitagórica, por tanto deben considerarse correcciones a la afinación pitagórica.

intervalos
sonido  quinta
sonido quinta
sonido cuarta
sonido tercera

En la afinación pitagórica, la tercera no se considera un intervalo consonante, sino que aparece subiendo cuatro quintas.

Tercera pitagórica
Tercera justa
Do->Mi
Do-Mi pitagórico
Do->Mi
Do-Mi justo sonido tercera justa

Oyéndolas juntas se percibe bien la diferencia: sonido de tercera pitagórica y tercera justa

De todos los intentos por incorporar el intervalo de tercera a la afinación pitagórica, el que se utiliza en la práctica es el de Aristóxeno-Zarlino. No obstante, a continuación citamos otras propuestas bastante conocidas.

Modificaciones de Arquitas

Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) es un discípulo de Pitágoras que dedicó gran parte de su investigación a la afinación. Advirtió que los intervalos pitagóricos 2/1, 3/2 y 4/3 son de la forma

fórmula matemática


Teniendo en cuenta esto, propuso dividir la cuarta en tres intervalos que verifiquen esta relación, para lo cual propuso añadir tres nuevas proporciones:

fracciones

Así aparecen los valores siguientes:

fracciones y notas

entre los que, por primera vez, se tiene el intervalo de tercera 5/4 que había estado prohibido por los primeros pitagóricos.

Modificaciones de Tolomeo

Claudio Tolomeo (100-170) parte de los conceptos pitagóricos de afinación y en su obra Harmónicos expone una teoría matemática de los sonidos en las que aparecen dos tipos de escala una fija, tética, y una móvil, dinámica. A pesar de que su sistema de afinación es más complejo que los dos anteriores, en él siempre aparece el intervalo de tercera.

Como ocurría con los pitagóricos, los sonidos que consideran afinados están relacionados con su modelo del Universo.

Modificaciones de Zarlino y Delezenne

Gioseffo Zarlino (1517-1590) justificó los acordes con razones matemáticas que resultaron totalmente premonitorias de los armónicos. Estableció que había una afinidad entre los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6 y comprobó que éstos eran emitidos por cuerdas de longitudes

fracciones

Delezenne (1776-1866) modificó la afinación de Zarlino y de hecho en la actualidad es habitual que en la afinación justa se mezclen notas de Zarlino con las de Delezenne.

Ha habido otras muchas más propuestas, como la de Johannes Kepler (1571-1630)icon que, a pesar de resultar muy ingeniosas, no han supuesto aportaciones considerables a la consolidación de la Justa Entonación.

Afinación de Aristóxeno-Zarlino

Arsitóxeno de Tarento (360-300 a.C.) es un discípulo de Aristóteles que estudió con profundidad las doctrinas pitagóricas. Rechaza asociar las consonancias naturales de quinta, cuarta y tercera con relaciones numéricas y sostiene que basta con el oído para conseguir la afinación.

Tabla con nombres y años

A pesar de que históricamente no se introdujo como se expondrá a continuación, una forma sencilla de presentar la afinación de Aristóxeno-Zarlino es la siguiente: Consideramos una aproximación de la quinta pitagórica (3/2) dada por

fracciones

A partir de aquí (y en todos los tratados de música), como conviene distinguir entre ambos intervalos, se les da nombres diferentes. La quinta dada por 3/2 se llama quinta natural y la quinta dada por 40/27 se llama quinta sintónica.

Una vez fijada esta aproximación, la afinación de Aristógeno-Zarlino es una afinación hecha por quintas naturales (como la de Pitágoras) pero en la que algunas de ellas han sido sustituidas por quintas sintónicas. En la tabla siguiente marcamos sólo las sintónicas y entenderemos que el resto son naturales:

Tabla de la afinación de Aristógeno-Zarlino

Teniendo en cuenta estas correcciones a la afinación pitagórica, las notas más frecuentes se obtendrían con las siguientes fracciones:

Tabla con fracciones

A pesar de la diferencia entre las fracciones que aparecen en la afinación pitagórica y la de Aristóxeno-Zarlino, podéis comprobar que el resultado es parecido:

Escala Pitagórica
Sonido Escala Justa Entonación
Escala Pitagórica
Escala Justa Entonación

En la afinación de Aristóxeno-Zarlino, al aparecer dos tipos de quinta, aparecen dos tipos de tono:

Tono grande: 9/8 Ejemplo: Do-Re
Tono pequeño: 10/9 Ejemplo: Re-Mi

y tres tipos de semitono:

Semitono diatónico grande: 27/25 Ejemplo:Do-Reb
Semitono diatónico pequeño: 16/15 Ejemplo:Mi-Fa
Setinono cromático: 25/24 Ejemplo: Do-Do#

Sin duda, esta circunstancia dificulta enormemente el uso de la justa entonación en la música polifónica.

Comentario

Desde un punto de vista meramente aritmético podemos decir que el sistema pitagórico sólo maneja sonidos que se pueden obtener mediante potencias de 2 y de 3 a partir de una frecuencia dada f0. La justa entonación añade al sistema pitagórico las potencias del 5. Vista esta secuencia lógica, la pregunta es evidente: ¿por qué no seguir con las potencias de 7 y de 9, etc.?

Las razones para detenernos en el 5 son de diversa índole. En primer lugar hay razones estéticas: el intervalo de séptima convive con dificultad con los intervalos de la afinación de Zarlino. Por otro lado, cada vez que se añaden nuevas frecuencias se están incrementando los inconvenientes de los sistemas de afinación. Sirva como resumen de estos razonamientos el fragmento de la carta, fechada el de 3 de mayo de 1760, que Leonhard Euler (1077-1783) escribió a Federica Carlota Ludovica von Brandenburg Schwedt, princesa de Anhalt Dessau (1745 – 1808), para instruirla sobre temas de música (Euler, 1990):

Carta VII: De los doce tonos del clavecín:

“Mi intención era presentar a Vuestra Alteza el verdadero origen de los sonidos empleados en la música, casi totalmente desconocido para los músicos; pues no es la Teoría lo que los ha conducido al conocimiento de los tonos, lo deben más bien a la fuerza oculta de la verdadera Armonía, actuando tan eficazmente en sus oídos que, por así decirlo, los forzó a recibir los tonos actualmente en uso, aunque no estén suficientemente decididos sobre su justa determinación. Ahora bien, los principios de la Armonía se reducen en último término a números, [...] el número 2 produce sólo octavas [...]. Después el número 3 produce los tonos

que difieren de los anteriores en una quinta. Pero introduzcamos también el número 5 y veamos cuál sería el tono que produce 5 vibraciones, mientras que el F no hace más que una. [...] los músicos lo indican con la letra , [...] es llamado una tercera mayor y produce una consonancia muy agradable, estando contenido en una proporción de números bastante pequeña, 4 y 5. [...] (Así ) tendréis las teclas principales del clavecín que según los antiguos, constituye la escala llamada diatónica que deriva del número 2, del número 3 repetido tres veces y del número 5. No admitiendo más que estos tonos, se está en condiciones de componer muy bellas melodías, cuya belleza se fundamenta únicamente en la simplicidad de los números que producen estos tonos. [...]
Si se quisiera también introducir el número 7, el número de tonos de una octava sería mayor, y se llevaría toda la música a un grado más alto. Pero aquí la Matemática abandona la armonía a la Música.”

3 de mayo de 1760

Ventajas e inconvenientes de las afinaciones

Ventajas

En las afinaciones, como los sonidos afinados se obtienen con números racionales, los intervalos que aparecen son naturales, es decir, que las notas musicales se corresponden con armónicos de la serie natural. Por ejemplo, en el sistema pitagórico están afinados todos los armónicos que son múltiplos de 2 y de 3, mientras que en el sistema de Zarlino, están afinados los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Dicho de otro modo, el primer armónico que no está afinado en el sistema de Pitagóras es el quinto, mientras que en el sistema de Zarlino es el séptimo.

Inconvenientes

Para determinar el número de notas por octava hemos supuesto que dos notas son iguales cuando en realidad son muy parecidas. Esto hace que al sonar dos o más instrumentos diferentes simultáneamente las afinaciones resulten poco prácticas. Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Un cantante tiene dificultades para interpretar los tonos graves y prefiere que se suba toda la música una quinta. A esto se le llama transposición.

Transposición:

Consiste en subir (o bajar) una nota o un conjunto de ellas un intervalo p/q. Para ello basta con multiplicar (o dividir) las frecuencias de las notas por p/q.

Si los instrumentos afinaban en el sistema pitagórico con 12 notas:

Mib Sib Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol#

cuando en la partitura aparece un Sol# , al subir una quinta el efecto será

Sol#·(3/2) = (38/212)·(3/2) = 39/213 = Re#

Sin embargo, esta nota no aparece entre las 12 que hemos seleccionado. La más parecida es

Mib = 25 / 33

Así, cuando se interpreta Mib en lugar de Re# el error que se está cometiendo es el que ya habíamos escuchado cuando distinguíamos entre Lab y Sol# :


4.3. Temperamentos cíclicos regulares

Los temperamentos cíclicos surgen en la práctica para evitar, entre otros, los problemas que acabamos de analizar. Lo que se hace es disminuir las quintas “templar” de manera que se repita la primera nota, pero claro está, de manera que el resultado sea aceptable.

A continuación analizaremos los dos temperamentos más utilizados en nuestros días: El temperamento igual de 12 notas, que es un temperamento regular e igual y el temperamento de Holder, que es un temperamento regular mesotónico.

Matemáticamente, la forma de obtener los temperementos cíclicos es muy sencilla. Si queremos obtener un temperamento cíclico de n notas dividimos el intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. Para obtener el extremo inferior del 2º subintervalo multiplicamos por x el extremo inferior del 1º, para obtener el del 3º multiplicamos el del 2º, es decir x2 por el 1, y así sucesivamente hasta obtener el último que sería xn por 1, etc.

segmento dividido en n intervalos

Con este proceso lo que aseguramos es que si multiplicamos el 1 por x n veces debemos obtener el 2, es decir

xn x 1 = 2 => x = raiz enésima de 2

Por tanto, las notas afinadas en un temperamento cíclico de n notas serán:

raices

Temperamento igual de 12 notas

Divide la octava en 12 semitonos iguales. Fue el español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) quien lo sistematizó en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach (1685 - 1750) en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades.

A pesar de su pobreza, debida a que elimina algunas notas naturales que vienen dadas por la escala de armónicos, el temperamento igual de 12 notas es el sistema más empleado por sus ventajas teóricas y prácticas.

Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12 notas resulta totalmente uniforme:

Sistema temperado de 12 notas

Temperamento de Holder

William Holder (1614-1697) utiliza un procedimiento mediante el cual divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4. El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente iguales.

En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7 notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica:

Sistema Temperado de Holder

Ventajas y desventajas de los temperamentos

El Temperamento de 12 notas

Ventajas
Como hemos señalado, en este temperamento cada una de las doce partes es un semitono temperado. Todos los semitonos son iguales, por tanto, las notas enarmónicas coinciden, así La#=Sib, Mi#=Fa, etc. Obviamente, en este sistema sólo existe un tipo de tono y de quinta, lo que le proporciona grandes ventajas:
a) Puede modularse libremente a cualquier tonalidad sin que existan intervalos impracticables.
b) El número de notas resulta muy apropiado para la práctica musical.

Inconvenientes
a) No existen intervalos justos. Al obtener los intervalos mediante números irracionales, éstos no se corresponden exactamente con la serie armónica de ninguna nota.
b) Aunque las quintas son bastante buenas, las terceras mayores están muy desviadas.
Según J. J. Goldáraz (Goldáraz, 1992) la desafinación de las terceras, junto con la igualdad de los semitonos “que empobrecían la expresividad musical, fue lo que hizo que se retrasase su aplicación general al menos dos siglos a partir de las primeras formulaciones del siglo XVI”. Sin embargo, en la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento que el intervalo justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado.
En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades de los temperamentos. En términos generales, es perferible la perfección en las quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992).

El Temperamento de Holder

Desde el trabajo del profesor Robert Dussaut, Explicación de las comas en los distintos sistemas acústicos (Chailley, Challan, 1965), el sistema de Holder se ha considerado como un sistema de afinación idóneo para trabajar con la afinación pitagórica.

Ventajas
Las ventajas de este sistema de afinación aparecen en los estudios teóricos. Las diferencias con el sistema pitagórico son inapreciables, sin embargo el hecho de dividir la octava en 53 comas-holder iguales hace que sea mucho más fácil de manejar.

Inconvenientes
En cuanto a los inconvenientes, posee los de cualquier temperamento: los intervalos que aparecen no se corresponden exactamente con los sonidos de la serie armónica. Pero sin duda, el mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un número excesivamente grande.

Como muestra de las diferencias entre los sistemas que hemos analizado, podemos observar las frecuencias de las notas más habituales en los cuatro sistemas de afinación:

Sistema de Afinación
NOTA:
Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La4 , a 440 Hz.


5. Bibliografía

  1. J. Agulló (Editor), Acústica musical. Ed. Prensa Científica S. A., Barcelona, 1989.
  2. P. Bailache, Travaux en histoire de l'acoustique musicale, http://baihache.humana.univ-nantes.fr/thmusique/
  3. A. Baker, A concise introduction to the theory of numbers. Ed. Cambridge University Press, 1984.
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