14. (Mayo 2010) El teorema del hexacordo I
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Escrito por Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Miércoles 05 de Mayo de 2010

1. Introducción

Dejadme que os hable del teorema del hexacordo, que no es incordio. Hexacordo significa seis notas, una tras otra. Lo inventó Guido d'Arezzo, para solfear, con salero y aderezo. Mucho más tarde, cuando el tonalismo arde, Schoenberg estudia los hexacordos. Como sabéis, Schoenberg es furioso practicante del dodecafonismo, sistema que basa la composición musical en la elección de una seria serie de 12 notas distintas, alrededor de la cual gira toda la elaboración formal del material musical. Por ejemplo, la seria, digo serie, de abajo aparece al comienzo de su ópera La escalera de Jacob, tocada en ostinato por los violonchelos.

Serie dodecafónica
Figura 1: Serie dodecáfonica perteneciente a La escalera de Jacob.

Schoengerg dividía la serie en dos hexacordos y se afanaba por encontrar en ellos alguna brillante propiedad, con talante y gravedad. Una que le llamaba la atención, le regañaba, era el contenido interválico. Schoenberg contaba, algunas veces incluso cantaba, todos los intervalos entre las notas de un hexacordo. Estaba calculando su contenido interválico. Se asombraba al comprobar que los contenidos interválicos de los dos hexacordos de una serie coincidían. Estaba, en esencia, en presencia del teorema del hexacordo. Lo usó de manera intuitiva, sin duda fruitiva y quizás algo plausiva (Babbit [Bab87] dixit).

Schoenberg se planteaba un erotema (no teman; de eros, nada): "¿Habrá teorema del hexacordo? Acorde a mí, sí (de mi a si, sin acento: una quinta)" -se decía el compositor. Pero no sabía cómo establecerlo.

Veamos qué es el teorema del hexacordo con ayuda de la geometría. Una nota de una serie dodecafónica puede representar una nota de cualquier octava; en la figura 1 las notas de la serie se escribieron en el ámbito de una octava. Las notas de la serie son en realidad clases de alturas. Las 12 notas representaremos como puntos en un círculo; las sentaremos equiespaciadas, donde la distancia entre dos puntos es un semitono. La figura 2 muestra el hexacordo de más arriba.

Representación geométrica

Figura 2: Representación geométrica de un conjunto de notas.

El contenido interválico, como decimos, lo forman todos los intervalos entre los puntos del hexacordo. El intervalo entre dos notas está dado por el camino más corto en el círculo (distancia geodésica). En la figura vemos la filatura de segmentos urdidos de nota a nota. Denota, anota (perdón por el tuteo): el primer hexacordo, a la izquierda; el segundo, en el centro; a la derecha, el histograma común.

Dos hexacordos complementarios

Figura 3: Dos hexacordos complementarios y sus contenidos interválicos.

Es importante avisar aquí que las notas separadas por un diámetro, el llamado tritono o diabolus in musica, cuentan como 2. Más adelante, en la segunda parte de esta serie, se verá el porqué y la utilidad de esta convención.

El contenido interválico depende solo de la distancia entre los puntos del círculo. Así, los movimientos rígidos preservarán el contenido interválico. Esos movimientos son los giros, las simetrías respecto a un diámetro y las simetrías seguidas por giros. Pongamos un ejemplo; consideremos el conjunto A={0, 3, 4, 7, 9}. Si lo giramos 4 posiciones obtenemos T4(A)={1, 4, 7, 8, 11}. Si le aplicamos una simetría S respecto al diámetro que pasa por 0, resulta el conjunto S(A)={0, 3, 5, 8, 9}. Por último, la composición de ambas operaciones da S(T4(A))={0, 1, 4, 7, 9}. Bea se la figura (chica lista).

Transformaciones

Figura 4: Transformaciones de notas mediante movimientos rígidos.

Hablemos con congruidad de congruencia: dos conjuntos de puntos se dicen congruentes si uno se obtiene del otro mediante movimientos rígidos. Hablemos con congruidad de contenido interválico: dos conjuntos de puntos se dicen homométricos si ambos tienen el mismo contenido interválico. La pregunta natural, obligada, casi ahogada, gutural, es: ¿existen, por ventura, conjuntos no congruentes que poseen el mismo contenido interválico? La respuesta es sí, yes, oui. Por ejemplo, A={0, 1, 3, 4, 8} y B={0, 3, 4, 5, 8}. Véase la figura de Bea (la hizo ella).

Dos acordes homométricos no congruentes

Figura 5: Dos acordes homométricos pero no congruentes.

Ahora es hora de describir, reescribir, circunscribir, lo anterior a términos musicales. Un acorde o una escala se puede concebir como un subconjunto de puntos en el círculo. Un giro corresponde a una transposición de un acorde o una escala. La menta hable mente, transposición en música no significa lo mismo que en teoría de grupos1, y eso a veces causa confusión. Aquí usaremos ese término en el sentido mus y cal.

Las transposiciones de un acorde se corresponden con las permutaciones circulares del conjunto de puntos asociado.

Transposición de un acorde

Figura 6: Transposición de un acorde.

Los giros de un conjunto de puntos se corresponden con un cambio de fundamental en el acorde.

Cambio de fundamental

Figura 7: Cambio de fundamental de un acorde vía transposición.

Las simetrías seguidas de giros dan cuenta de diversos cambios de acordes. Permiten, por ejemplo, cambiar de modo. En la figura 8 se ve un cambio de do mayor a do menor.

Cambio de modo

Figura 8: Cambio del modo de un acorde vía la simetría.

O también pasar de un acorde de séptima de dominante a un acorde séptima de sensible:

Cambio de acorde

Figura 9: Transposición de un acorde.

En música los conjuntos homométricos se llaman isómeros o también se dice que tienen la propiedad Z [For77].

2. El teorema del hexacordo y su demostración

Sin pérdida de tiempo, sin dilación, con apuro y premura, con urgencia y diligencia, con... ¡No te alargues más! ¡Enuncia el teorema ya! Me digo entonces: ¡Basta! (No tengo tiempo ni para las comillas). Helo aquí al vuelo: dos hexacordos complementarios son siempre homométricos. ¿Cómo? ¿Olvidé decir qué son los hexacordos complementarios? Tanta prisa no puede ser buena: son aquellos que no tienen notas comunes y cuya unión dan las 12 notas del círculo. Aunque enunciado aquí para 12 notas, en el contexto musical, el aserto es cierto para cualquier número de puntos.

Es el teorema del hexacordo uno de esos resultados que flota en el ambiente de toda una época. Muchos lo intuían y solo unos pocos perseguían su demostración, pero ésta se escurría como pez plateado, como diente de león, como sombra furtiva. La demostración mariposeaba, risueña, burlona, coqueta casi, retando a su cazador. Ocurrió también que en varios campos se conocía el resultado, pero los protagonistas no se cultivaban entre sí ni recogían cosechas ajenas. En Teoría de la Música la primera demostración se debe a Lewin en 1959 [Lew59]. Lewin publicó un artículo que contenía una semilla, un germen, de demostración. Un año más tarde, en un nuevo artículo [Lew60] la germina, la gratina, la refina, la afina, con fino La Ína. Más tarde, en 1974, Regener [Reg74] descubrió una demostración simple que explota propiedades combinatorias de los intervalos. Desde entonces se han publicado otras demostraciones, unas más simples y otras más bien de complejidad enrevesada. Mazzola [Maz03] y Jedrzejewski [Jed06] tienen demostraciones cortas construidas sobre monumentales moles de granito matemático. Amiot [Ami07] publicó una demostración elegante, corta y defatigante, basada en la transformada del cabo fourrier Fourier. Blau [Bla99] en 1999 presentó una demostración muy elemental y perspicaz; estudió una pequeña propiedad, hizo un par de observaciones agudas, de piccolo, y dedujo el teorema sin despeinarse.

Los teóricos de la música ignoraban por completo que en Cristalografía el teorema del hexacordo ya era conocido. En Cristalografía aparece el problema de determinar un conjunto de puntos a partir de sus distancias. En un principio, los cristalógrafos pensaron que podían recuperar las posiciones del conjunto de puntos a partir de sus distancias. Su gozo en un pozo; sus esperanzas, vanas; en fin, sollozo y escorrozo. Pronto dieron ejemplos de conjuntos de puntos distintos que tenían el mismo conjunto de distancias. A estos conjuntos los llamaron ciclotómicos. Retomemos la historia del teorema del hexacordo. Curiosa y ambagiosa situación: Patterson, un cristalógrafo, enunció el teorema, anunció una demostración [Pat44] (en 1944), renunció a publicarla. ¿Por qué? No se sabe. Nadie denunció la falta de la prueba. Solo en 1975 Buerger aportó y reportó una demostración sólida y pulida, nada dadá, nada gagá. Su demostración, no obstante ser triunfante por correcta, era pesante por circunspecta: usaba álgebra muy teórica, una demostración poco intuitiva. ¡Pero con Iglesias hemos topado! Sí, porque Iglesias, Juan Iglesias [Igl81], cristalógrafo, en 1981 dio una demostración simple y muy elegante, usando mera inducción; la reproducimos más adelante. Una demostración muy geométrica es la proporcionada por Senechal [Sen08].

Probablemente, Ballinger y sus coautores [BBOG09] han dado la demostración más sencilla y corta hasta el momento, demostración que generaliza el teorema del hexacordo al caso continuo (¿acordes continuos?). Más adelante, damos la demostración.

El teorema del hexacordo se ha generalizado en varias direcciones, entre ellas, estudiando ritmos de diferentes cardinalidades; véanse las referencias  [Lew76], [Lew87], [Igl81], [Mor90], [Sod95] y [AG00].

3. La demostración de Juan Iglesias

Iglesias probó el teorema del hexacordo con una demostración sencilla, de blanco elegante, con blanco guante. Iglesias consideró un círculo con N puntos equiespaciados y puso sobre el círculo dos conjuntos, complementarios entre sí, uno con n puntos negros y el otro con b puntos blancos. Se dijo: "Observemos todas las distancias entre los dos conjuntos. Hum... las hay de tres tipos claramente: entre puntos negros, las llamaré distancias n-n; entre puntos blancos, serán las b-b; y entre puntos de distinto color, las n-b". Iglesias ve entonces una relación entre esas distancias. "Fijo una distancia d primero" -musita inspiradamente-; "pongamos que d ocurre ann veces entre puntos negros, abb veces entre puntos negros y anb veces entre puntos de distinto color". Continúa así: "Entonces podría escribir la siguiente relación, bella, ella:

Ecuación bella

Iglesias llevó a cabo un pequeño análisis de casos que le condujo a la demostración de esa relación. "¿Qué pasa si cambio un punto negro por un punto blanco?" -se preguntó, juguetón, creativo, curioso- "¿Cómo cambia la relación anterior? ¿Cómo variarán las cantidades ann, abb y anb?" Así.

Cada punto negro tiene solo otros dos puntos, del color que sea, a distancia d exactamente. Con estos puntos tres casos despuntan:

  1. Los dos puntos a distancia d son blancos:

    Caso 1

    Figura 10: Caso 1 de la demostración de Iglesias.

    El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 2 y el de distancias negro-blanco disminuye en 2.

  2. Los dos puntos a distancia d tienen distinto color:

    Caso 2

    Figura 11: Caso 2 de la demostración de Iglesias.

    El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 1 y el de distancias negras disminuye en 1.

  3. Los dos puntos a distancia d son negros:

    Caso 3

    Figura 12: Caso 3 de la demostración de Iglesias.

    El número de distancias entre puntos negros disminuye en 2 y el de distancias negro-blanco aumenta en 2.

"Si la relación es cierta para un conjunto de n puntos negro y su complementario, con b puntos blancos, ¿qué pasa con la relación (1) cuando se cambia un punto negro?" -se preguntó finalmente Iglesias. Nada cambia:

  1. Para el caso (1):
    Ecuación - caso 1


  2. Para el caso (2):
    Ecuación - caso 2


  3. Para el caso (3):
    Ecuación - caso 3

¿Cómo se prueba el teorema del hexacordo a partir de las relaciones que descubrió Juan Iglesias? En un abrir y cerrar de ojos, en un plis plas, en un suspiro. Sea N par el número total de puntos en el círculo. En el caso del teorema del hexacordo los conjuntos tienen N/2 puntos cada uno, es decir, n=b=N/2. Luego:

Conclusión

y así ann = abb. Nótese que esta igualdad, cuando se interpreta en la música, señala precisamente que el contenido interválico es idéntico.

¿Qué más decir? Bella y elegante demostración. Iglesias: amén.

4. Para saber más

Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero.

  • En el análisis de la música atonal, en especial en la dodecafónica, se usa frecuentemente las clases de alturas. Dos notas se dicen equivalentes si están en una misma octava. Esta relación es de equivalencia. Las clases de alturas son las clases de equivalencia dadas por esa relación. El conjunto de las clases de alturas tiene la misma estructura que Z12.

  • Como ejemplo del uso de los hexacordos en Schoenberg, veamos los compases iniciales de La escalera de Jacob (figura 13).

    La escalera de Jacob
    Figura 13: Los hexacordos de La escalera de Jacob.

    La obra comienza con los violonchelos exponiendo el primer hexacordo, [1, 2, 5, 4, 8. 7], en ostinato. Una a una van entrando las notas del hexacordo complementario, [0, 3, 11, 10, 6, 9], en un largo arpegio, hasta que se logra un acorde de 6 notas con un amplio registro. Después de esta exposición los instrumentos entran en un contrapunto (no se muestra ya en la figura) con diferentes órdenes de las notas del primer hexacordo.

  • Desde el punto de vista perceptual, es natural preguntarse si tras la escucha de un hexacordo o un ritmo se puede captar con precisión el contenido interválico y si dicha percepción constituye un factor musical relevante. Varios autores han llevado a cabo experimentos con sujetos para determinar si las estructuras de teoría de conjuntos usadas en la música atonal tienen correlato perceptual. Bruner [Bru84] descubrió en sus experimentos que los juicios de similitud entre acordes, presentados de varias maneras, no se correspondían con las propiedades de los sonidos como conjuntos, sino con otras tales como consonancia, número de notas en común o relaciones armónicas. Gibson realizó varios experimentos para investigar esta cuestión. En [Gib86] Gibson quiso probar las relaciones de similitud expuestas por Forte [For77] en su libro The Structure of Atonal Music. De 39 sujetos, solo 3 calificaron la similitud entre acordes siguiendo las teorías de Forte. En [Gib88] Gibson explora la relevancia perceptual de las clases de alturas y en [Gib93], la de los hexacordos complementarios concretamente. En ambos experimentos el porcentaje de sujetos que juzgaron la similitud entre acordes según las teorías de Forte fue similar al dado por el puro azar.

  • A pesar de lo dicho más arriba sobre la relevancia perceptual de ciertos conceptos matemáticos, las matemáticas constituyen una gran herramienta de análisis, sobre todo de la música contemporánea atonal. Un ejemplo de ello es el libro Foundations of Diatonic Theory, de Johnson [Joh03]. Es un libro para músicos, parte de un proyecto llamado Mathematics Across the Curriculum, que explica muchos conceptos de teoría de la música con conceptos de matemáticas introducidos con total pertinencia.

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Notas a pie de página:

1 Una transposición en teoría de grupos es una biyección entre grupos finitos que deja todos los elementos fijos salvo dos.

 
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