83. (Mayo 2017) Música fractal (II)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Miércoles 03 de Mayo de 2017

1. Introducción

En la anterior columna [Góm17] empezamos por el estudio de los fractales desde un punto de vista matemático. Esbozamos una breve historia, que, como vimos, no empezaba en Mandelbrot, sino mucho antes, y proporcionamos al lector los ejemplos más notables de conjuntos fractales, el triángulo de Serpienski, el conjunto de Cantor, la curva de Koch y el conjunto de Julia. Ofrecimos, asimismo, una clasificación general de los fractales (por reglas recursivas, iteraciones de funciones, atractores, sistemas L y fractales aleatorios). Por último, definimos formalmente los fractales y calculamos la dimensión de Haussdorf para los ejemplos tratados anteriormente. En esta columna vamos a ver las aplicaciones a la música de los fractales. Nos centraremos primero en ejemplos musicales en que la autosemejanza, la característica más sobresaliente de los fractales, se usa como mecanismo compositivo. A continuación, examinaremos un programa para transformar las estructuras fractales en material musical. También discutiremos el papel que juegan los fractales en la composición musical y cuál es el papel del compositor.

2. Autosemejanza musical

Como vimos en la anterior columna, los fractales se caracterizan por la autosemejanza a cualquier escala. Se ha denominado música fractal a aquella que exhibe un cierto grado de autosemejanza. La autosemejanza infinita, tal cual ocurre en los objetos matemáticos, no es posible en el dominio de la música. Nuestros sistema perceptual tiene unos límites para detectar altura de notas y duraciones. Sin embargo, si hay presencia de autosemejanza a varios niveles, el cerebro es capaz de percibirla. Déjenos el lector darle un ejemplo de este tipo de música fractal, ejemplos que se pueden encontrar no solo en compositores modernos o de vanguardia sino en compositores netamente clásicos. Harlan J. Brothers, en un artículo publicado en la revista Fractals [Bro09] analiza las seis suites para violonchelo solo y encuentra que hay estructuras fractales en ella (de nuevo a ciertos niveles, no en todos los niveles). Para ilustrar el ejemplo, vamos a seguir la presentación Ivars Peterson [Pet17], autor del blog de divulgación The mathematical tourist. Si examinamos los primeros compases de la bourrée de la suite número 3, se observa una fuerte autosemejanza. La figura 1 muestra la partitura de esos compases.

Música fractal (II)

Figura 1: primeros compases de la bourrée de la suite número 3 para violonchelo solo, de Johan Sebastian Bach (figura tomada de [Pet17])

Se han anotado los motivos que componen las frases de la pieza (m1,m2,m3 y sus variaciones). El primer motivo m1 está formado por dos corcheas y una negra; el segundo, también, pero las dos primeras corcheas están en legato. El tercer motivo lo componen dos negras, dos corcheas y una negra. El motivo m3 es el doble de largo que los dos primeros. Los tres motivos forman una frase, s1. A su vez los siguientes motivos forman una frase s2, que es seguida por una frase más larga, s3, que dura el doble que las anteriores. El patrón que se revela es AAB, donde B tiene el doble de longitud que A. Si se analiza la bourrée entera (descartando las repeticiones), entonces la estructura que se percibe es igual a la de los cuatro primeros niveles del conjunto de Cantor; esos cuatro niveles se muestran en la figura 2.

Música fractal (II)

Figura 2: Los cuatro primeros niveles del conjunto de Cantor (figura tomada de [Pet17])

Otras obras de Bach muestran esta autosemejanza, como por ejemplo la coral del final de El arte de la fuga BWV 1080. Véase el vídeo de youtube https://www.youtube.com/watch?v=XXQY2dS1Srk, a partir del minuto 1:23:05 para una versión con partitura, y en la que se puede observar cómo los motivos aparecen repetidos y transformados varias veces con cierta estructura fractal.

Aunque Bach es un compositor en cuya obra se pueden encontrar estructuras fractales, compositores anteriores a él ya habían usado la idea de la autosemejanza como técnica compositivo. Steynberg, en su tesis de maestría [Ste14], estudia y analiza críticamente varios ejemplos de compositores que usaron estructuras fractales. En la figura 3 tenemos los primeros compases del Kyrie de la Missa Prolationum, de Johannes Ockeghem, para cuatro voces, soprano, contratenor, tenor y bajo. La voz soprano y contratenor tienen la misma melodía, pero el tenor la canta con duraciones de notas más largas. El bajo y el tenor tienen líneas melódicas diferentes, donde el bajo tiene notas más largas que el tenor. Sin embargo, cuando el bajo canta la palabra eleison vuelve a la figuración rítmica del tenor. Todas estas relaciones entre las duraciones producen una autosimilitud rítmica que se puede calificar de fractal.

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Figura 3: Kyrie de la Missa Prolationum, de Johannes Ockeghem (figura tomada de [Ste14])

Tom Johson, a quien dedicamos la serie Otras armonías son posibles [Góm15] por su libro Other harmonies are possible [Joh14], ha usa la autosemejanza en el dominio rítmico. En su serie Counting Duets tiene una pieza 1 2 3 en que los cantantes tienen que contar en voz alta. Las entradas de cada voz están pensadas de tal manera que se producen efectos de autosimilitud rítmica; véase la partitura en la figura 4 abajo.

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Figura 4: 1 2 3, de la serie Counting duets, de Tom Johnson (figura tomada de [Ste14])

En la tesis de Steynberg se pueden encontrar más ejemplos de compositores que han usado estructuras fractales y análisis detallados de las mismas. Steynberg analiza entre otras la música de Beethoven, Ligeti, Josquin de Prez y Arvo Pärt.

3. Composiciones fractales más avanzadas

Quitando la idea de la autosemejanza, en general la música fractal está compuesta tomando como idea compositiva principal una o varias características de los fractales. Por ello, es difícil dar unas técnicas generales de composición fractal. La verdadera imaginación musical surge de encontrar la inspiración en los fractales. FracMus [DJ01] es un programa para generar material musical de tipo fractal escrito por el pianista Gustavo Díaz-Jérez. Decimos material musical de tipo fractal porque, acertada y lúcidamente, en la página web del programa, el propio Gustavo Díaz-Jérez, advierte que el programa es una herramienta y que nunca podrá sustituir al compositor y su inspiración musical. En sus palabras:

A word of caution: YOU are the composer, FractMus will create no masterpiece for you, nor was it designed for that. Think of it as a tool that gives you raw material that you can later use in your compositions.

Para ilustrar cómo se pueden aplicar las características de los fractales a la composición vamos a examinar unos cuantos algoritmos de FractMus. El primer algoritmo de FractMus es la sucesión de Morse-Thue. Es una sucesión binaria infinita con una fuerte autosemejanza. Para generarla, primero se toma el 0; a continuación, se duplica la longitud de la sucesión anterior y se rellena con su complementario (tomar el complementario es intercambiar ceros por unos y viceversa). Así pues, el siguiente término sería 01, el siguiente 0110. Los primeros términos de esta sucesión son:

0,01,0110,01101001,0110100110010110, 01101001100101101001011001101001, ...

Esta sucesión es claramente aperiódica y, sin embargo, es autosemejante. Si se eliminan los términos pares de cada término de la sucesión, se obtiene la sucesión original:

/0,0/1,0/11/0,0/11/01/00/1,0/11/01/00/11/00/10/11/0,...=  0,01,0110,01101001,...

¿Cómo se pasa esta sucesión, que solo toma dos valores, 0 y 1, a una melodía que toma valores en la escala cromática de 12 notas? Y es aquí donde reside el ingenio del compositor para transformar el material dado, en bruto y sin pulir, en una idea musical. Díaz-Jérez propone un método que sigue los siguientes pasos (llamemos an a la sucesión de Morse-Thue):

  1. Se elige un número c llamado el multiplicador. Cada término an se multiplica por c.
  2. Se elige una base d y se calcula la expresión de c ⋅ an en dicha base.
  3. A continuación se suman los dígitos de esa expresión en base 10. Este último número es el número de semitonos desde la nota anterior.

Típicamente se elige una nota inicial y se procede con el algoritmo anterior para generar el resto de las notas. Se puede aplicar un procedimiento similar para obtener los valores de otros parámetros musicales como las duraciones, las articulaciones o la textura. También es habitual introducir algún tipo de regla para que la melodía suba y baje; de lo contrario, si los términos se tomaran siempre positivos, tendríamos melodías siempre ascendentes. Díaz-Jérez compuso un canon usando la sucesión de Morse-Thue; se puede ver la partitura en la figura 5 más abajo. En el vídeo https://www.youtube.com/watch?v=6VZq7EurckI se puede escuchar otra sonificación de la sucesión de Morse-Thue compuesta por Steven Gilliland (a partir del minuto 1:37). La sonificación (la transformación de objetos en sonido) ya había sido empleada antes de la invención de los fractales, y en particular en matemáticas. Xenakis, en su libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition [Xen01], desarrolla toda una teoría al respecto y da múltiples ejemplos a partir de sus propias obras; nosotros dedicamos una serie al análisis de ese libro [Góm10].

Como apunta Díaz-Jérez, algunas combinaciones de multiplicadores y bases dan melodías terriblemente aburridas, mientras que otras proporcionan melodías interesantes. El trabajo del compositor es entonces seleccionar esas melodías acorde a su criterio artístico. Las melodías fractales generadas por estos algoritmos, en general, carecerán de las características habituales de las melodías tonales. Habrá ausencia de propincuidad (alta frecuencia de tonos conjuntos), repetición y finalidad (intención melódica de ir a ciertos grados y en particular la finalización de la melodía); véase el libro de Radocy y Boyle [RB06] para profundizar en la definición de melodía. Sin embargo, en la partitura de abajo sí vemos algunas características formales de las melodías. Es obvio que Díaz-Jérez tomó el material proporcionado por su programa e inspirándose en él construyó su canon acorde a ciertas convenciones estilísticas, y en última instancia poniendo ese material al servicio de su concepto artístico.

Música fractal (II)

Figura 5: Canon basado en la sucesión Morse-Thue compuesto por Gustavo Díaz-Jérez

Aquellos lectores interesados en profundizar en la música compuesta a través de fractales pueden consultar el libro Fractals in Music: Introductory Mathematics for Musical Analysis [Mad07]. Este libro requiere un cierto nivel técnico tanto matemático como musical.

Bibliografía

[Bro09] H. J. Brothers. Intervallic scaling in the bach cello suites. Fractals, 17(4):537–545, 2009.

[DJ01] Gustavo Díaz-Jérez. Fractmus, 2001.

[Góm10] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis I, octubre de 2010.

[Góm15] P. Gómez. Otras armonías son posibles, febrero de 2015.

[Góm17] P. Gómez. Música fractal (I), marzo de 2017.

[Joh14] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014.

[Mad07] Charles Madden. Fractals in Music: Introductory Mathematics for Musical Analysis. High Art Press, 2007.

[Pet17] Ivars Peterson. A fractal in bach’s cello suite, abril de 2017.

[RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006.

[Ste14] Ilse Steynberg. The applications of fractal geometry and self-similarity to art music. Master’s thesis, University of Praetoria, New Zealand, 2014.

[Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001.

 
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