1. Introducción

Este artículo es el tercero y último de la colección Serialismo y matemáticas. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos.

En el primer artículo [7] nos centramos en el dodecafonismo, en sus orígenes y en comentar una de sus obras. En el segundo artículo [6] ampliamos las definiciones dodecafónicas para encontrar el grupo diédrico, y descubrimos la historia de los discípulos de Schoenberg y del serialismo integral.

Esta tercera entrega está destinada al lector más ducho en las matemáticas; se notará en el lenguaje y en la exposición de las ideas. En ella proporcionaremos herramientas matemáticas relacionadas con acciones, órbitas y estabilizadores de Teoría de Grupos (sección 2), para después contar de dos maneras distintas el número de espectros seriales, que son el número de órbitas del grupo de transformaciones sobre las series, que un compositor puede utilizar en sus obras (sección 3); en concreto, con las transformaciones {I, T, R} (3.1) y {S, T, V, C} (3.2). Y de esta manera habremos hecho un recorrido a fondo por el serialismo y habremos explorado sus posibilidades musicales y matemáticas.

2. Acciones, órbitas y estabilizadores

2.1. Acciones de grupos sobre conjuntos

Dado un grupo (G, *) y un conjunto X, una acción de (G, *) sobre X es una función ϕ que asocia un elemento g ∈ G y un elemento x ∈ X – el par (g,x) – a otro elemento g ⋅x que también pertenece a X [1]. ϕ : (g,x) → g ⋅ x

Una acción ϕ, expresada mediante la operación (⋅), debe cumplir dos condiciones:

1. Para todo x ∈ X, e ⋅ x = x, siendo e el elemento neutro del grupo.

2. Para todo x ∈ X y para todo par g,h ∈ G, se debe cumplir que (g * h) ⋅ x = g ⋅ (h ⋅ x). La primera operación (*) es la interna del grupo G, y la segunda operación (⋅) es la acción.

Como ya se ha visto, las funciones {S, T, V, C} forman el grupo diédrico D_n × D_n, siendo n la longitud de la serie. Se podrá definir entonces la acción ϕ de este grupo sobre el conjunto de permutaciones de orden n, tal que ϕ(Ψ, σ) = Ψ ∘ σ = Ψ(σ) = τ, con Ψ ∈ D_n × D_n y σ,τ ∈ S_n.

De igual manera, se puede definir el grupo que forman solamente I y R, que servirá más adelante. Como son dos reflexiones, forman el conocido grupo de Klein —a partir de ahora denotado por Ξ, con elementos Id, I, R e IR.

2.2. Órbitas y estabilizadores

Dada una acción de (G, *) sobre X, la órbita de un determinado elemento x₀ ∈ X es el subconjunto de elementos x de X que pueden ser alcanzados desde x₀ mediante algún g₀ ∈ G. Es decir, todos los x para los que existe un g₀ que al actuar sobre x₀ da x. Trivialmente, x₀ ∈ Orb(x₀) ya que e ⋅ x₀ = x₀.

Orb(x₀) = {x ∈ X : ∃ g₀ ∈ G, g₀ ⋅x₀ = x}

Por ejemplo, dada una permutación σ, todas las permutaciones a las que se llega desde σ mediante algún Ψ ∈ D_n ×D_n conforman la órbita de σ. Por definición, las series a las que se puede llegar desde una serie original constituyen su espectro serial, por lo que la órbita es en realidad el espectro serial.

Para el mismo x₀ se define su estabilizador como el conjunto de elementos g ∈ G que fijan x₀, es decir, que mandan x₀ a sí mismo. Mientras que una órbita es un subconjunto de X, un estabilizador es un subgrupo de G. Trivialmente, e ∈ Stab(x) ∀x ∈ X, porque el elemento identidad fija cualquier otro elemento por definición.

Stab(x₀) = {g ∈ G : g ⋅x₀ = x₀}

Si cada g ∈ G llevara a x₀ a un x distinto, el número de elementos de Orb(x₀) sería igual al número de elementos de G. Sin embargo, si un elemento g₀ ∈ G fija x₀, entonces no dará nuevos elementos en la órbita de x. Por tanto, intuitivamente el tamaño de la órbita disminuye. De hecho, el teorema de órbita–estabilizador dice que el tamaño de una órbita (|Orb(x₀)|) será el tamaño de G (|G|) entre el número de elementos que fijan x₀; es decir, el tamaño de su estabilizador (|Stab(x₀)|). Además, es cierto para todo x ∈ X.

|Orb(x)| = |G| / |Stab(x)|, o lo que es lo mismo, |G| = |Orb (x )||Stab(x)|

Para ver una explicación más detallada y una prueba rigurosa del teorema, consúltese [4]. Este teorema implica que los tamaños de cada órbita y cada estabilizador son divisores del tamaño del grupo. Por ejemplo, como el tamaño del grupo Ξ es 4, cualquier estabilizador y cualquier órbita tendrán tamaño 1, 2 o 4. En concreto, como Id está siempre en el estabilizador, para todo σ será de una de estas formas:

Una serie σ sin simetrías tendrá una serie distinta para cada una de sus transformaciones. Por tanto, su órbita será {σ, R(σ), I(σ), IR(σ)} y su estabilizador será solamente {Id}. Cumple entonces el teorema: 4 ⋅ 1 = 4.

2.3. El lema de Burnside

Las órbitas, que son subconjuntos de X, forman una partición de X. Esto significa que son subconjuntos disjuntos: ningún x puede estar en dos órbitas distintas. Interesa entonces saber cuántos subconjuntos hay; es decir, el número de órbitas (#Orb). El lema de Burnside afirma que se pueden calcular así:

Se prueba de esta forma: por el teorema de órbita–estabilizador, |Stab(x)| = , por lo que la parte derecha se puede expresar así:

Como las órbitas forman una partición de X, la suma sobre todo el conjunto X puede ser dividida en sumas separadas para cada órbita. Además, si por cada elemento de una órbita se suma el inverso del número de elementos de la órbita, esa suma dará uno. Solo queda ahora sumar uno por cada órbita.

Este lema permite calcular el número de posibles espectros seriales distintos, ya que el espectro de una serie es igual al espectro de sus series transformadas. Un compositor serialista debe entonces escoger no una serie original, sino el espectro con el que construir la obra. O, más bien, si escoge una serie original está escogiendo el mismo material que si escogiera otra serie de ese mismo espectro.

Para más aplicaciones de acciones en el ámbito de la teoría musical, véase [2].

3. Conteo de espectros seriales

3.1. Espectros de las funciones {I, T, R}

Es interesante conocer el número de espectros seriales distintos que un compositor puede escoger. Al fin y al cabo, es irrelevante qué serie se escoge como la original dentro de su espectro serial, ya que produce el mismo material compositivo que cualquiera de su mismo espectro.

Para calcular el número de espectros seriales se redefinirán las funciones transformativas para una longitud serial arbitraria, n, que será mayor que 2. Para n = 0, 1 y 2 se realizará el cálculo en el apartado 3.3. Además, como las transposiciones siempre son distintas entre sí, siempre pertenecen al mismo espectro. Se tomarán a partir de ahora todas ellas como equivalentes, de manera que solo se necesita hacer el cálculo para el conjunto de funciones {I, R}.

Al calcular con permutaciones se trabajará siempre módulo n. La retrogradación sigue siendo R(σ(m)) = σ(-1 -m). La inversión será I(σ(m)) = -σ(m), omitiendo la transposición habitual, ya que se toman las series transpuestas como equivalentes. De esta forma -σ(m) + 2σ(0) ≡-σ(m). La retrogradación invertida es, por tanto, la composición de ambas: RI(σ(m)) = I∘R(σ(m)) = I(R (σ(m ))) = -σ(-1 -m).

La retrogradación, la inversión y la composición de ambas cumplen que al aplicarlas dos veces se vuelve a la serie original. En teoría de grupos se dice que tienen orden 2. Entonces {Id, I, R, IR} forma el ya mencionado grupo de Klein (Ξ), donde RI ≡ IR, ya que estamos tomando las series transpuestas como equivalentes.

En general, un grupo de Klein es el formado por cuatro elementos donde cada elemento es inverso de sí mismo. El grupo de Klein, llamado así en honor al matemático alemán Felix Klein, es el grupo ℤ∕(2) × ℤ∕(2), producto directo de dos grupos cíclicos de orden 2.

Por el lema de Burnside:

Es decir, se deben calcular para cada posible serie σ ∈ S_n cuántas funciones transformativas lo dejan igual o equivalente bajo transposición.

Como los estabilizadores son subgrupos, por el teorema de Lagrange su tamaño debe ser divisor del tamaño del grupo total. Entonces se pueden agrupar los estabilizadores por sus tamaños: 1, 2 o 4, y así calcular ∑ |Stab(σ)| agrupando todas las permutaciones con igual tamaño de estabilizador. Si #σ_i es el número de permutaciones cuyos estabilizadores tienen tamaño i:

Primero, se ha de ver que una permutación nunca va a ser igual ni equivalente mediante transposiciones a su inversa.

Así, σ(m) sería constante para todo m ∈ ℤ∕(n), lo cual es imposible. Esto implica que ninguna permutación va a tener a I en su estabilizador, por lo que #σ₄ = 0. Queda entonces calcular cuántas permutaciones son equivalentes a su retrogradación y cuántas a su retrogradación inversa. La suma de ambas dará #σ₂.

3.1.1. Elementos estables mediante R

Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación cumplen, para γ constante:

γ + σ(m) = R(m) = σ(-1 - m)

Aplicándolo a (-1 - m): γ + σ(-1 - m) = σ(m)

De ambas ecuaciones: γ = σ(-1 - m) - σ(m) = σ(m) - σ(-1 - m)

2σ(m) ≡ 2σ(-1 - m)=> 2σ(m) - 2σ(-1 - m) ≡ 0

2σ(m) - 2σ(-1 - m) = n => σ(m) - σ(-1 - m) =

Entonces n debe ser par. Cuando n es impar este tipo de permutaciones no existe. Además, cumplen que sus elementos simétricos se distancian entre sí un intervalo de unidades: son series con simetría par.

-γ = σ(m) - σ(-1 - m) =

En una serie de longitud n, existen intervalos que miden . Como no importa por cuál de ellos comience la serie, ya que las transportaciones son equivalentes, se fija el primero de los intervalos. Quedan los otros - 1 intervalos por escoger, así que el número de series con simetría par cuenta las permutaciones de - 1 intervalos y las dos posibles posiciones de cada intervalo —creciente y decreciente [5]—. Por ello, el número de series con simetría par es de:

Por definición, si n es par n!! = n(n - 2)(n - 4)…4 ⋅ 2 y si n es impar n!! = n(n - 2)(n - 4)…3 ⋅ 1.

3.1.2. Elementos estables mediante RI

Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación inversa cumplen, para un γ constante:

σ(m) = RI(σ(m)) + γ = - σ(-1-m) +  γ

γ = σ(m) + σ(-1-m)

Sus elementos simétricos suman una cantidad constante: son series con simetría impar. Tal y como se ha hecho en el apartado anterior, se puede fijar una de las notas, ya que las transportaciones son equivalentes. Si n es impar, la nota central es σ(), que es igual a σ(-1 -). Por tanto, γ = 2 ⋅ σ(). Si se escoge esta nota para ser fijada a 0, entonces γ = 2 ⋅ 0 = 0. Es decir, γ puede ser fijada en 0 sin pérdida de generalidad.

Para el resto de notas, σ(m) = -σ(-1 -m). Ya escogida la nota central, permite n-1 posibilidades para σ(0). Ya escogidas la nota central, la primera y su simétrica, permiten n-3 posibilidades para σ(1), y así sucesivamente hasta llegar a la nota anterior a la central, que es . Por ello, para n impar, el número de series con simetría impar es de:

= (n - 1)(n - 3)...(n - (n- 5) - 1)(n - (n - 3) - 1) =

=  (n - 1)(n - 3)...4⋅2 = (n - 1)!!

Si n es par, σ(m) ≠ σ(-1-m) ∀m ∈ ℤ∕(n), ya que no hay elemento central. Sea ahora γ = 2k un número par. Como 2k ≤ n y las permutaciones son suprayectivas, para algún m se cumple que σ(m) = k. Se tiene entonces k + σ(-1 -m) = 2k, lo cual a su vez implica que σ(-1 -m) = k = σ(m). Como esto es una contradicción, γ debe ser impar.

Fijando, por ejemplo, σ(0) = 0, se tienen posibilidades para σ(-1 - m), es decir, solamente las posibilidades para las que γ es impar. Para σ(1) hay (n- 2) posibilidades, y ahora su simétrico ya viene determinado por el γ escogido. Para σ(2) hay (n-4), y así sucesivamente [5]. Por tanto, para n par, el número de series con simetría impar es de:

= (n - 2)(n - 4) ...(n - (n - 4))(n - (n - 2)) =  2

=  (n - 2)(n - 4)...4⋅2 = (n - 2)!!

Suma completa

Como ya se ha podido observar, el número de espectros seriales varía según la paridad de la longitud de las series.

Una vez se tiene #σ₂, solo falta calcular #σ₁. Como las permutaciones contadas #σ son todas las de S_n exceptuando las transportaciones, #σ = = = (n - 1)!. Por otro lado, #σ₁ + #σ₂ = #σ. Entonces #σ₁ = (n - 1)! - #σ₂.

Recuperando la fórmula del apartado 3.1:

Para n impar:

Para n par:

Para n = 12, es decir, para el dodecafonismo, la última fórmula proporciona el dato de 9985920 espectros seriales a escoger por el compositor.

Como ejemplo perteneciente al serialismo integral, podemos numerar las dinámicas del 0 al 6:

{ppp, pp, p, mf, f, ff, fff} ≡ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = ℤ∕(7)

Así, con la fórmula para n impar, se obtiene que hay 192 espectros seriales con series de longitud 7.

3.2. Espectros del grupo D_n × D_n

Este apartado es una explicación detallada del artículo [3] y aplicada al caso musical. La secuencia de números dada por las fórmulas que obtendremos se encuentra en la OEIS: https://oeis.org/A000940.

Ahora calcularemos los espectros formados mediante todas las transformaciones del grupo generado por {S, T, V, C}; es decir, por D_n ×D_n. Volviendo a la representación mediante diagramas de reloj, el problema es equivalente a averiguar cuántos diagramas distintos, sin números ni flechas, se pueden dibujar. La flecha indica lo transformado por V y C, mientras que los números indican lo transformado por S y T. Un diagrama sin estos dos elementos representa entonces todo un espectro serial. ¿Cuántos diagramas esencialmente distintos hay? De nuevo, por el lema de Burnside:

En vez de expresar el sumatorio como “para cada σ, el número de Ψ que fijan σ”, se puede expresar como “para cada Ψ, el número de σ fijados por Ψ” (que llamaremos Fij(Ψ)). La fórmula queda de esta manera:

Ahora hay que averiguar para cada elemento de D_n × D_n cuántas series estabiliza. Por ejemplo, trivialmente no hay permutaciones estables mediante C y V solamente.

3.2.1. Elementos estables mediante T

Los elementos estables mediante T^k son a los que, tras aplicar una rotación de θ_k = , para 1 ≤ k ≤ n, quedan igual. Por tanto, los sumandos que aportan a la suma total son ∑ ⁿ_k=1 Fij(θ_k).

Por otro lado, si 1 ≤ p,q ≤ n y gcd(p,n) = gcd(q,n) entonces Fij(θ_p) = Fij(θ_q), ya que por el lema de Bézout lo que genera la rotación θ_p es igual a lo que genera la rotación θ_gcd(p,n). Esto permite que se puedan agrupar los sumandos con igual máximo común divisor con respecto a n. Es decir, ∑ⁿ_k=1 Fij(θ_k) = ∑_d|n , con d divisor de n. Por ejemplo, si n = 6:

Ahora queremos encontrar el coeficiente de Fij(θ_d), es decir, el número de k ≤ n con igual máximo común divisor d. Pero que k ≤ n y gcd(k,n) = d es equivalente a que ≤ y gcd = 1. Por tanto, el número de k con máximo comun divisor d es φ. La función φ(x) se llama la función phi de Euler, y muestra precisamente la cantidad de números menores que él y coprimos con él. Entonces ∑ _k=1ⁿFij(θ_k) = ∑ _d|n.

Para calcular Fij(θ_d) hay que analizar cómo se construyen los diagramas invariantes respecto a una rotación. Estos diagramas deben tener varios ciclos iguales entre sí —para que queden invariantes al rotarlos— pero cada uno desde un punto distinto: desde cada múltiplo de d. El número de ciclos es, por tanto, .

Al construir uno de estos diagramas, se escoge la primera nota entre las n. Después se escoge la segunda, pero no se pueden escoger los vértices múltiplos de d (de los que hay ), ya que van a ser el comienzo de los sucesivos ciclos. Hay entonces n- posibilidades. Después se escoge la tercera, pero sin escoger los múltiplos de d ni los múltiplos de d + la segunda posición. Hay n- 2 ⋅ posibilidades, y así sucesivamente hasta terminar el primer ciclo:

Por ejemplo, si d = 2 y n = 8, supongamos que escogemos el punto 0⁽⁰⁾ como el primero. Después, si cogiéramos alguno de los puntos 0^(*) luego no podríamos tener simetría al rotarlo un ángulo de θ₂. Entonces hay que escoger alguno de los 1^(*). Supongamos que es 1⁽¹⁾. En este ejemplo nuestro ciclo quedaría de la siguiente manera:

Para escoger el segundo ciclo, su primera nota debe caer en el conjunto de vértices múltiplos de d —de los que hay . En el ejemplo serían los 0^(*). Sin embargo, no podría ser cualquier múltiplo, ya que si se escoge uno con posición no coprima, el polígono se cerraría antes de tiempo sin pasar por todos los vértices. Entonces hay que escoger entre los vértices coprimos, de los que hay φ (). Tras esto el polígono está totalmente determinado, y se puede formar de ∑ _d|n maneras.

En nuestro ejemplo, si escogemos el siguiente comienzo del ciclo como el 0⁽²⁾, como 2 no es coprimo con = 4, quedaría de esta manera:

Efectivamente, el diagrama se cierra antes de pasar por todos los vértices. En cambio, si escogemos 0⁽¹⁾:

Y con 0⁽³⁾:

Sea d = 3 y n = 6. Escogiendo el primer número como 0⁽⁰⁾, el segundo como 1⁽⁰⁾ y el tercero como 2⁽¹⁾, no queda más remedio que escoger como comienzo del segundo ciclo el 0⁽¹⁾.

Pero también podría aparecer este mismo comienzo con la parte final dada la vuelta, simétrica, de esta manera: 0⁽⁰⁾, 1⁽⁰⁾, 2⁽¹⁾, 2⁽⁰⁾, 1⁽¹⁾, 0⁽¹⁾. Esta construcción no está incluida en lo descrito anteriormente, y sin embargo es invariante con respecto a T, V y C a la vez.

Y es que con n par, al rotar θ_n∕2 el diagrama, éste puede llegar con la orientación cambiada. Esto puede ocurrir cuando haya una diagonal; es decir, cuando entre dos notas haya un intervalo de .

Se escoge el primer punto de entre posibilidades. No son n ya que saldría la misma figura si se escoge el punto antipodal. Con una rotación de θ_n∕2, el primer ciclo se escoge igual que antes, de ⋅! = 2 ⋅ ! maneras. Y con esto ya queda la figura determinada. Esto lleva a las ⋅ 2 ⋅ ! formas de dibujar un polígono con las características buscadas.

3.2.2. Elementos estables mediante S

Los elementos estables mediante S son aquellos que quedan invariantes mediante reflexiones. De nuevo, en este punto se ha de separar por paridad de n.

Para n impar, existen n reflexiones para cada uno de los ejes de simetría que pasan por cada vértice. Después, hay n formas de escoger el primer vértice de la secuencia. Ahora hay parejas de vértices; se escoge los primeros miembros entre ellos de 2 formas, tras lo cual éstos se ordenan de ! formas. Esto da un resultado de n² ⋅ 2 ⋅! polígonos invariantes.

Para n par se tienen dos simetrías: con ejes que pasan por vértices y con ejes que pasan por lados. De manera similar a la anterior, se escoge el eje, el primer vértice, los primeros miembros de las parejas de vértices y se ordenan. Para las simetrías con ejes que pasan por vértices, da un resultado de ⋅ 2 ⋅!. Para las simetrías con ejes que pasan por lados, da un resultado de ⋅ 2^-1 ⋅!.

Suma completa

En resumen, estos a continuación son los numeradores ∑ Fij(Ψ). El resultado final del número de diagramas posibles, o espectros seriales distintos, es dicho numerador entre 4n², el tamaño del grupo.

3.3. Medefonismo, monofonismo y difonismo

Con n = 0 se da el caso de medefonismo. El grupo simétrico de orden 0 tiene 0! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ, que es la que no tiene ninguna nota. El medefonismo es comúnmente llamado silencio; se representará con una tabla vacía.

Con n = 1 se da el caso de monofonismo. Con solamente una posible nota, el grupo simétrico de orden 1 tiene 1! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ₀, que es igual a su inversa, a su retrogradación y a su retrogradación inversa:

Con n = 2 se da el caso de difonismo. Tiene dos posibles notas, así que su grupo simétrico, el de orden 2, tiene 2! = 2 elementos. Por tanto, hay dos series distintas, σ₀ y σ₁. Se puede observar que ambas pertenecen al mismo espectro serial, dado que σ₁ = T¹(σ₀). Además, al igual que en el monofonismo, ambas coinciden con sus inversas, incumpliendo la regla general para n > 2 probada en el apartado 3.1.

Agradecimientos

Bibliografía