60. La conjetura de Siracusa
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Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez   
Jueves 05 de Mayo de 2011

Dedicamos este mes la sección a un estreno reciente, una magnífica película, en la que la protagonista es matemática.

INCENDIES

La conjetura de Siracusa

Título Original: Incendies. Nacionalidad: Canadá / Francia, 2010. Director: Denis Villeneuve . Guión: Denis Villeneuve, basado en la obra teatral de Wadji Mouawad. Fotografía: André Turpin, en Color. Montaje: Monique Dartonne . Música: Grégoire Hetzel. Producción: Luc Déry y Kim McCraw. Duración: 130 min.

Galardones: Ocho premios Genie (Ontario, Canadá; mejor dirección, película, actriz principal, fotografía, montaje, sonido, montaje sonoro y guión adaptado), Tres premio VFCC (Vancouver Film Critics Circle; mejor dirección, actriz principal y película), Premio ‘Miguel Delibes’ al Mejor Guión, Premio del Público y Premio de la Juventud en la 55 edición de la SEMINCI (Semana Internacional de Cine de Valladolid 2010), Tres premios en la 67ª edición de la Mostra de Venecia. Nominada al Oscar 2011 a la mejor película extranjera.

Intérpretes: Lubna Azabal (Nawal Marwan), Mélissa Désormeaux-Poulin (Jeanne Marwan), Maxim Gaudette (Simon Marwan), Rémy Girard (Notario Jean Lebel), Abdelghafour Elaaziz (Abou Tarek), Allen Altman (Notario Maddad), Mohamed Majd (Chamseddine), Nabil Sawalha (Fahim), Baya Belal (Maika).

La conjetura de Siracusa

Argumento: Jeanne y Simon Marwan son dos hermanos gemelos cuya madre, que llevaba mucho tiempo sin hablar, acaba de fallecer. Acuden al notario Lebel a conocer el testamento. Su madre les ha dejado un sobre cerrado a cada uno que deben entregar por un lado a su padre, al que ellos creían muerto, y a un hermano cuya existencia desconocían completamente. Sus reacciones son diferentes, desconcierto e intriga en Jeanne, y rechazo completo en Simon. Sin embargo el notario les deja bien claro que su deber está en cumplir las últimas voluntades de su madre si pretenden enterrar a su madre de acuerdo a sus principios.

La búsqueda de padre y hermano les llevará a un viaje hacia Daresh, su tierra natal un lugar no definido del Oriente Próximo, pero no sólo en el espacio sino también en el tiempo, a conocer su auténtico pasado y a comprender mejor la actitud de lo que han conocido de su madre.

¿Y las matemáticas?

En la película hay cuatro momentos en los que aparecen las matemáticas de alguna forma (advertencia: las citas textuales están recogidas de la versión subtitulada de la película y pecan de excesivamente escuetas cuando no claramente reduccionistas; es lo habitual cuando algo se subtitula ya que debe dar tiempo de sobra a un lector medio/lento a leer completamente las frases. Algunas palabras las he corregido por mi cuenta, y en otras se explica más abajo el error que se comete como consecuencia precisamente de ese minimalismo):

1.- Jeanne Marwan, la hija, es matemática. En una escena es presentada en la Universidad a sus alumnos como profesora ayudante por un veterano profesor del siguiente modo:

Profesor: Las matemáticas como las han conocido hasta ahora se han dirigido a lograr una respuesta estricta, y definitiva por lo tanto, a problemas estrictos y definitivos. La conjetura de SiracusaAhora se les introduce en una aventura completamente diferente. El tema será problemas insolubles, que siempre les llevan a otros problemas, acabando como intratables. La gente a su alrededor repetidamente recoge lo que no necesitan. No tendrán ningún argumento para defenderse porque ellas serán de una complejidad agotadora. Bienvenidos a las matemáticas puras, la tierra de la soledad.

Voy a presentarles a mi asistente, Sra. Marwan. Jeanne.

Jeanne: ¡Hola! Vamos a empezar con la conjetura de Siracusa.

2.- Posteriormente, tras conocer los deseos de su madre, Jeanne confía a su compañero el dilema que se la presenta, y éste le da el siguiente consejo:

Profesor: ¿Qué es lo que te dice tu intuición? La intuición siempre tiene la razón. Es por eso que tiene potencial convertirse en un verdadero matemático. Pero aquí vas a necesitar ayuda.

A.- tu padre está vivo

B.- tienes otro hermano

Necesitas saber para que tu espíritu esté en paz. Y no es en la paz de la mente ni en las matemáticas puras. Se toma un punto de partida.

Jeanne: Mi padre murió durante la guerra en Daresh.

Profesor: Esa es la variante incógnita a la ecuación. Nunca se comienza con la variable incógnita.

Jeanne: Mi madre, que viene de un pueblo que se llama Der Om de Fouad. Estudió la enseñanza del francés en la Universidad de Daresh.

3.- Casualmente, su compañero conoce a un colega matemático de la Universidad de Daresh. Ese será el principio del que parte Jeanne. Cuando encuentra a este hombre le explica lo siguiente:

- He recibido el mensaje de mi amigo Niv Cohen, pero no puedo ayudarla. Yo doy clases de Historia de las Matemáticas en París XI. En concreto en el periodo en el que Leonhard Euler tuvo éxito. El ciego dio la primera resolución matemática formal al problema de los siete puentes de Königsberg. Eso hubiera desafiado al tribunal de Diderot con el lanzamiento de una cosa así: Señores, π más uno es igual a cero, por lo tanto, ¡Dios existe!

4.- Finalmente, en la resolución de la película, Simon, el hermano gemelo de Jeanne, tratando de causarla el menor daño posible a lo que ha descubierto, la indica:

Simon: Uno más uno hacen dos. Eso no puede ser uno.

Jeanne: Tienes fiebre.

Simon: ¡Jennie! ¿Uno más uno, eso hace uno?

Algunas explicaciones

En efecto, sólo algunas, ya que de dar todas (en particular la cuarta) le quitaríamos la gracia a la película, y uno de los objetivos de esta sección, además de describir las matemáticas presentes en el cine es animar al personal a ver películas (y no es habitual toparse con películas tan impresionantes como ésta) procurando no destrozar su resolución.

1.- Una compañera y amiga me recomendó que fuera a ver esta película en su estreno en la pasada Semana Internacional de Cine de Valladolid (un saludo, Marta), pero lamentablemente no pude verla en ese momento. El pasado mes, otra compañera me comentó, “Oye, ¿sabes que es la conjetura de Siracusa? Es que fuimos (dos matemáticas) con unos amigos a ver esta película, y quedamos fatal porqué no supimos explicarles de que iba”. Y no es de extrañar porque un gran porcentaje de los que nos dedicamos a esto de las matemáticas (enseñanza, investigación, empresas, etc.) estamos tan a lo nuestro que no nos preocupamos demasiado de lo que podríamos llamar “culturilla matemática”. Sin embargo en este caso, el tema es más engorroso porque por estos lares el nombre de “conjetura de Siracusa” no es el habitual (y conste que esto no es echar balones fuera; yo tampoco supe qué decir). Cuando miré, como hacemos casi todos, en Google, y leí algunas de sus denominaciones alternativas, conjetura de Collatz, problema 3n+1, conjetura de Ulam, algoritmo de Hasse, problema de Kakutani,  conjetura de Thwaites, etc., caí rápidamente en la cuenta. Es más, ¡lo he explicado el pasado trimestre en una clase sobre problemas matemáticos no resueltos (como la protagonista de la película curiosamente) a los alumnos del Máster de Secundaria! Además ya hablamos de él en la reseña nº 19 de enero de 2007 en la descripción de un capítulo de la serie Numb3rs en esta misma sección. Desde luego, tiene delito.

Se trata como digo de un problema abierto, aún sin resolver, a pesar de su aparente sencillez: Se toma un número natural (entero positivo) n cualquiera (aunque hay también una variante para enteros en general), y se procede del siguiente modo:

  • si n es par, se divide por 2,
  • si n es impar, se sustituye por 3n + 1.

A continuación se siguen estas reglas de modo iterativo mientras se pueda. Pues bien, la conjetura afirma que, sea cual sea el número n del que se parta, indefectiblemente se acaba en el 1 (dicho de otro modo, siempre se cae en el ciclo 4, 2, 1). A simple vista, puede parecer lógico porque hay una división a la mitad, que parece reducir el número, pero por otro lado hay un triple, con lo que, podría ocurrir cualquier cosa, desde que cayéramos indefinidamente en un bucle sin fin, hasta crecer indefinidamente. Pues no, siempre se acaba en la unidad, y esto se ha probado ya (a fecha 18 de Enero de 2009) con el ordenador para todos los números hasta el orden 20 × 258 ≈ 5.764 × 1018.  Pero, por supuesto, esto no sirve para extrapolar nada: se necesita una prueba general.

Es muy sencillo implementar esa dicotomía en el ordenador, iterar el proceso y hacer algunas pruebas. Uno se da cuenta rápidamente que el que acabe antes o después no depende del tamaño de n. Así, por ejemplo, partiendo de n = 27 (un número bajo), para terminar en el 1 se necesitan 112 iteraciones, llegando a alcanzar el valor 9232:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Sin embargo para n = 1221, en 39 pasos se alcanza la unidad:

1221, 3664, 1832, 916, 458, 229, 688, 344, 172, 86, 43, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

El matemático alemán Lothar Collatz (1910 – 1990) (foto a la derecha) se interesó por las iteraciones sobre los números enteros, que representaba mediante grafos. Hacia 1937 plantea este problema y lo expone en varios seminarios. La conjetura de SiracusaEn 1952, en Hamburgo, explica el problema a Helmut Hasse (1898 – 1979), matemático alemán que trabajó, entre otros asuntos, en teoría algebraica de números. (Hasse fue quien reemplazó a Hermann Weyl en la Universidad de Gotinga en 1934. A modo de curiosidad, casi siempre se habla de los científicos o personalidades relevantes destacando sus valores humanos, sus compromisos sociales, su progresismo, etc., pero también los hay, como no podía ser de otro modo, de ideas más extremistas. En este caso, Hasse fue un nacionalista de ultra-derecha que solicitó su admisión en el partido nazi en 1937, aunque le fue denegado al tener antepasados judíos).

Posteriormente, Collatz lo plantea en una conferencia impartida en la Universidad de Siracusa (Nueva York), razón por la que el problema adopta también este nombre. Paralelamente, el matemático polaco Stanislaw Ulam (1909 – 1984), uno de los participantes en el proyecto Manhattan, trabaja sobre ella en el Laboratorio Nacional de Los Álamos. En la década de 1960, el problema es asimismo difundido y trabajado por el matemático Shizuo Kakutani (1911 – 2004) en las Universidades de Yale y Chicago. Kakutani es autor de un teorema de punto fijo que generaliza al de Brouwer, y que permitió la prueba de la existencia del Equilibrio de Nash en teoría de juegos.  En esos años sesenta, en plena guerra fría, se corrió el rumor de que la conjetura de Collatz era parte de un complot soviético para frenar otras investigaciones de mayor calado de los EE.UU.

En 1996, Bryan Thwaites estableció un premio de 1000 dólares para quien lograra resolver la conjetura. (Cada dos años, el IMA, Institute of Mathematics and its Applications, otorga el premio Lighthill-Thwaites al mejor trabajo en matemática aplicada; su denominación alude a sus primeros presidentes, los profesores británicos Sir James Lighthill y Sir Bryan Thwaites). Esta es, a grandes rasgos, la historia de porqué tanta denominación distinta para un mismo problema.

Como es fácil de imaginar, la conjetura tiene variantes y una generalización de las que no hablaremos por no extendernos demasiado. Si me gustaría añadir que Collatz fue una persona muy inquieta y con una enorme vitalidad (falleció cuando se encontraba en un Congreso en el que iba a dar una conferencia). Sus intervenciones públicas, y dio muchas, eran siempre todo un acontecimiento. Defensor acérrimo de la matemática aplicada, también son interesantes dos de sus pasiones: la matemática recreativa (inventó varios juegos y propuso un montón (conocidos por Collatz Problems), fáciles de entender pero bastante complicados de resolver), y los llamados “ornamentos geométricos”. Bajo este nombre se engloban todos los adornos utilizados en Arquitectura y Artes decorativas a los que se puede dar una estructura geométrica (bajo mi punto de vista, todos). Desarrolló un sistema propio para caracterizarlos. En uno de sus últimos artículos sobre este tema, abordaba los ornamentos definidos implícitamente mediante valores absolutos. Como consecuencia de este asunto, visitó un gran número de catedrales en todo el mundo buscando nuevos patrones y formas para describir después matemáticamente.

Sobre la conjetura de Collatz, Peter Schorer propuso una demostración en 2009. Si alguien quiere profundizar en el tema, en este artículo, se exponen los resultados y se explican los conceptos necesarios para comprender porqué existen dudas sobre la validez de dicha prueba.

2.- El compañero de Jeanne trata de orientarla sobre cómo resolver el dilema que la joven tiene. Aunque los problemas de la vida real no siempre pueden abordarse desde un punto de vista matemático, la indica un procedimiento a seguir a la hora de resolver un problema matemático: encontrar, a partir de los datos conocidos, un punto de partida.

3.- La universidad a la que se hace referencia en esta escena es la Universidad de Paris XI (en francés, Université Paris-Sud 11). Está situada al sur de París y comprende varios campus, el más importante localizado en Orsay. Es una de las universidades más grandes y renombradas de Francia, particularmente en las disciplinas científicas. En el ranking mundial de universidades quedó situada en el puesto 43 en el año 2009, la 18ª en Matemáticas. En el contexto europeo ocupa el 2º lugar en esta disciplina, y la 1ª en Francia. Algunos de los matemáticos franceses más importantes están o han estado vinculados a esta institución, entre ellos los medallistas Fields Jean-Christophe Yoccoz (medalla en 1994), Laurent Lafforgue (medalla en 2002), Wendelin Werner (medalla en 2006) y Ngô Bảo Châu (medalla en 2010).

Como es conocido, Euler fue invitado por la zarina Catalina II a pasar una temporada en su corte en Rusia. Allí coincidió con el filósofo enciclopedista francés Denis Diderot (1713 – 1784), famoso por su erudición, su espíritu crítico y su excepcional genio. A lo largo de su vida tuvo varios encontronazos con la religión y sus acólitos, lo que le hizo reafirmar cada vez que tenía ocasión su declarado ateísmo. Esto enojaba a la zarina, y se cuenta que pidió a Euler, famoso por ser capaz de resolver problemas del tipo que fuera (no sólo matemáticos) que le diera una lección. Dicho y hecho. Tras meditar algún tiempo el asunto, un día anunció que disponía de una prueba algebraica de la existencia de Dios. La zarina, siempre dispuesta a aprender y sobre todo a polemizar con lo que fuera, convocó a Euler y Diderot a palacio junto a otros pensadores y cortesanos para asistir a lo que ella suponía iba a ser un interesantísimo debate teológico. Pero Euler, que tampoco tenía un pelo de tonto y para nada pretendía seguirle el juego, explicó ante los presentes, dirigiéndose a Diderot:

Señor, (a + bn) /n = x; y por tanto Dios existe; ¡refútelo!

Diderot, como el resto de los presentes, no tenían demasiada idea de matemáticas, y fue incapaz de contestar nada medianamente coherente, permaneciendo en silencio. Humillado, abandonó San Petersburgo y regresó a París. En su ausencia, Euler continuó disfrutando de su retorno a los estudios de teología e hizo públicas algunas otras demostraciones fingidas sobre la naturaleza de Dios y del alma humana. De esta anécdota proviene la referencia de la película, salvo que esa no es la expresión empleada.

Lo que se dice en el subtítulo no tiene demasiado sentido (π + 1 = 0), porque no es correcto. Lo que dice el protagonista es la famosa igualdad, debida también a Euler, que relaciona las cinco constantes más importantes de las matemáticas (el número e del Análisis Matemático, π de la Geometría, la unidad imaginaria i del Álgebra, 0 y 1 las bases de la Aritmética al ser los elementos neutros de la adición y la multiplicación, respectivamente):

e π i + 1 = 0

La conjetura de SiracusaEs claro que en el subtitulado de la película se han “comido” la exponencial y la i compleja.

La película

El título original en francés, que no se ha traducido al castellano, viene a designar todo aquello que es destruido por el fuego. En este caso, y referido a la protagonista, una traducción aceptable podría ser “Quemada” o alguna similar que reflejara la destrucción psicológica y personal de la protagonista, más que la física.

El director y guionista de la película (en la foto), Denis Villeneuve nació en Trois-Rivières (Québec, Canadá) en 1967. Su primer éxito lo logró en 2000 con Maëlstrom con el que obtuvo el Premio de la Crítica en Berlín. Incendies es su cuarta película, que más allá de lo comentado relativo a las matemáticas, me permito recomendaros simplemente como amantes del cine.

 
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