114. Trigonometría en el tren
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114. Trigonometría en el tren |
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| Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez |
| Viernes 04 de Noviembre de 2016 |
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Seguramente alguna vez hayamos compartido asiento con algún desconocido en un autocar, o en el vagón de un tren. Aunque la gente cada vez va más a lo suyo, suele ser gratificante compartir conversación con otros viajeros (bueno, no con todos). El camino se suele hacer más corto. Claro que, depende de qué hablen… Cuando se muestra algún aspecto matemático en las películas, suele recurrirse a tópicos más o menos manidos, que cualquier espectador de nivel cultural medio sea capaz de reconocer (operaciones elementales, resultados muy conocidos como el teorema de Pitágoras, conceptos básicos; excepcionalmente, aunque cada vez con mayor frecuencia, se aborda algún tópico más novedoso). En cuanto a fórmulas, ya se ha comentado en otras ocasiones, también se utilizan expresiones muy conocidas, y éstas se describen sobre una pizarra o escritas sobre un papel. En raras ocasiones el actor las escribe de su puño y letra, y suele ser un doble de mano (alguien entendido en el tema) el que plasme esas expresiones, tratando de no cometer errores. Por eso es destacable las ocasiones en que el actor describe verbalmente algún resultado, y más aún si la producción es cuanto más antigua, ya que como acabamos de decir, se procura que el espectador se entere, y cuanto más atrás en el tiempo, menos personas optaban a estudios de cierto nivel. Lo que suele ser bastante habitual es encontrarnos con películas no estrenadas nunca en nuestro país, ni accesibles en DVD. Las causas son variopintas, pero no es ahora el sitio ni el momento para extendernos sobre eso. El caso es que en la película que traemos a la palestra este mes nos encontramos a la protagonista exponiendo una fórmula trigonométrica hace unos años muy común en los libros de texto de Secundaria, que, a día de hoy, caso de explicarse, se hace muy de puntillas, y prácticamente casi todos los alumnos tienen con toda seguridad, bastante olvidada. Y además lo hace correctamente y hablando de un tema en el que se aplica con toda corrección. Afortunadamente, gracias a YouTube (y a la transcripción en castellano que se expone a continuación, confío), podemos ver la escena y opinar sobre ella.
Ficha artística: A nadie le suena de nada, ¿verdad? Ni siquiera son conocidos actor o actriz alguna, ¿no? Quizá a alguien le suene Gloria Stuart (la octogenaria actriz que en Titanic interpretaba a la protagonista superviviente ya mayor), pero aquí es una actriz secundaria. Ya digo que no se ha estrenado nunca en España. Se trata de una irrelevante comedia en la que una profesora de matemáticas, Jane Featherstone (interpretada por la actriz Joan Davis) de un instituto de una pequeña localidad norteamericana, viaja a Nueva York en representación de un colega que ha escrito bajo seudónimo una novela que se ha convertido en un éxito de ventas. De camino, en el tren, comparte vagón con un ingeniero, Eddie Caldwell. Este es el diálogo que tiene lugar y que nos interesa (del resto de la película, no detallaré más, aunque quizá en otra ocasión recuperemos alguna otra incursión matemática): Eddie: ¡Vaya libro! Lo siento, hablaba conmigo mismo, pero es que este libro es el más interesante que he leído nunca. Demasiado profundo para la mayoría de la gente, pero necesario para mi trabajo.
Jane: ¿Ingeniero? Eddie: Sí. Puentes. Jane: Muy interesante. ¿Construye puentes? Eddie: Bueno, aún no he construido ninguno, pero tengo la intención de hacerlo algún día. ¿Le gustan los puentes? Jane: No he pensado en ello pero supongo que sí. Eddie: Mire. Qué lugar tan hermoso para un puente con poco sitio en la orilla izquierda y el punto tan elevado al otro lado. Jane: No parece sencillo. Eddie: ¡Es difícil! Hay que considerar longitud, dirección, tirantes, ángulo de elevación…. Jane: Por la ley de las tangentes, sabemos que la diferencia de dos lados de un triángulo es a la suma de ambos como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos es a la tangente de la mitad de su suma. Sabemos la altura de la orilla izquierda y la amplitud del río será lo que nos permite determinar el ángulo que forman cuidadosamente, lo que nos ayuda a encontrar la longitud del puente. Hacemos esto por la ley de los cosenos, que nos da el lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el ángulo que forman. Para ello se aplica la fórmula de que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman. ¿Alguna pregunta? Jane (ante el silencio de Eddie): Quiero decir que eso es todo lo que hay que hacer. Eddie (un tanto desconcertado): Nunca pensé que…. Jane: ¿Algún error en mis cálculos? Eddie: No, no, sólo que nunca que había encontrado antes con alguien como usted… La escena puede verse (en versión original en inglés) en este enlace. El teorema de las tangentes La ley de las tangentes (esta es la denominación anglosajona) nos da la relación entre las tangentes de dos ángulos de un triángulo y la longitud de los lados opuestos. No es tan popular como el teorema de los senos o del coseno, pero se utiliza en los casos en los que conocemos las longitudes de dos lados de un triángulo y el ángulo que forman, o cuando conozcamos dos ángulos y un lado, para hallar el resto de dimensiones. Su expresión, tal y como la describe la protagonista de la película es:
(a / sen A) = (b / sen B) = ( c / sen C) y a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. La obtención del teorema de las tangentes no es complicada a partir del teorema de los senos y la fórmula de paso de suma de senos a producto (otra fórmula muy “querida” por nuestros alumnos). Un ejemplo de aplicación
Calcular: A, B, c.
Mediante la ley de las tangentes,
Entonces,
La tangente y la cotangente Las primeras funciones trigonométricas que los antiguos astrónomos consideraron útiles para su trabajo fueron el seno y la cuerda, y por ello fueron éstas las primeras en desarrollarse. Sin embargo, pronto observaron que la manera más práctica de medir alturas y distancias era considerando otras diferentes, que llamaron gnomon y sombra (la tangente y la cotangente, respectivamente). Es posible que Ahmes (hacia el 1550 a. C.) conociera la tangente, pero de lo que se está absolutamente seguro es de que la sombra proyectada era un recurso habitual para calcular alturas que estaba relacionado con los relojes de sol que Anaximandro (hacia el 575 a. C.) introdujo en Grecia. Los griegos sin embargo no hicieron uso de estas medidas de un ángulo excepto en el caso de Tales de Mileto para medir la altura de las pirámides utilizando triángulos semejantes. Hacia el año 400 de nuestra era, los Surya Siddhanta y otros trabajos de los indios hablan de la sombra, en particular en relación a medidas astronómicas, pero serán los árabes los primeros en hacer uso real de estas medidas como funciones. Fue el astrónomo y matemático persa Habash al-Hasib (hacia el 860 d. C.) quien construiría las primeras tablas de tangentes y cotangentes, pero de ello no se conservan evidencias, sólo referencias. Los traductores latinos medievales las denominaron umbra versa (o umbra extensa) a la sombra que cualquier objeto vertical proyecta sobre el suelo (la cotangente), y umbra versa a la sombra “vuelta” (la tangente) dependiendo de donde estuviera colocado el gnomon (vertical en el caso de que los relojes de sol estuvieran sobre el suelo, u horizontal si está colocado en la pared de un edificio). Estas denominaciones pueden encontrarse en libros incluso hasta finales del siglo XVIII. El primer escritor cuya tabla de sombras (de grado en grado) es conocida es Al-Batani (latinizado como Albategnius) que además fue capaz de determinar la duración del año solar como 365 días, 5 horas, 46 minutos y 24 segundos, además del momento del equinoccio con un error menor a las dos horas y calcular con muy poco error el ángulo que forma el eje de la Tierra con su plano de rotación. Copérnico lo menciona en sus trabajos. Abú al-Wafá Buzjani, hacia el año 980, construyó una tabla de tangentes para cada 15’, la primera que ha llegado a nosotros, y una tabla de cotangentes para cada 10’. Ideó un método nuevo de calcular las tablas del seno. Sus tablas trigonométricas son exactas hasta ocho cifras decimales. Y estableció fórmulas como la del seno de una suma, o las del seno y coseno del ángulo doble, además del teorema de los senos. Estudió los movimientos de la Luna, y en el año 1970 se decidió en su honor llamarle «Abul Wáfa» a un cráter lunar en la cara oculta de la Luna. Hacia 1435, el astrónomo y matemático Ulugh Beg elaboró una tabla de tangentes de 0 a 45º de minuto en minuto, y de 45 a 90º de cinco minutos en cinco minutos. Su tabla de cotangentes sin embargo iba de grado en grado.
En 1593, François Viète llama a la tangente sinus foecundorum y utiliza un resultado similar a la ley de las tangentes en la resolución de triángulos obtusángulos (Variorum de rebus mathematicis, 1593). Sin embargo, parece ser que fue Thomas Fincke diez años antes, en 1583, en su libro Geometria rotundi el primero en emplear la palabra “tangente” como sinónimo de umbra versa. Bartolomé Pitiscus (otro que tiene dedicado un cráter lunar) en 1595 adopta el término en sus trabajos, entre ellos unas nuevas tablas trigonométricas que mejoraban las de Rheticus (Thesaurus mathematicus, 1613). A él se le atribuye también el término “trigonometría”, y la invención del punto decimal, aunque sobre éste segundo asunto hay algunas discrepancias. En 1609, Giovanni Antonio Magini (también con cráter lunar) llamó tangens secunda a la cotangente. Fue Edmund Gunter en 1620 el que finalmente primero utilizó la palabra cotangente. Gunter aplicó la trigonometría a la topografía, e inventó diversos instrumentos que han llevado su nombre, como el cuadrante de Gunter (un cuadrante con proyección estereográfica), la escala de Gunter y la denominada cadena de Gunter (considerada como unidad de medida en muchos países anglosajones). Respecto a las abreviaturas para la tangente y la cotangente, Bonaventura Cavalieri (¿lo adivinan? Pues sí, también tiene un cráter en la Luna a su nombre) utiliza en 1643 Ta y Ta.z, respectivamente, William Oughtred en 1657 t arc y t co.arc (ya que estamos, recordamos que fue el primero que empleó la letra griega π (pi) como símbolo matemático, el uso del signo "x" para la multiplicación y las abreviaturas "sin" y "cos" para las funciones trigonométricas seno y coseno, respectivamente, y recordando la entrada del mes de octubre, el inventor de la regla de cálculo actual), Sir Charles Scarburgh empleó t. y ct., y John Wallis en 1693 T y τ. La abreviatura tan la empleó Albert Girard en 1626, y Cot fue sugerida por Sir Jonas Moore en 1674 (por cierto, y para que tengáis cuidado con la Wikipedia, aunque algunos de estos datos se han extraído de allí, indica que a Moore se le atribuye la abreviatura Cos para el coseno, cuando como se dijo antes, ya la había empleado Oughtred mucho antes. Es Cot, lo que debería poner, para la cotangente). A veces es edificante (o al menos curioso) recordar la evolución de las denominaciones y las abreviaturas de conceptos científicos (matemáticos en este caso) porque quizá haya quien tienda a pensar que desde un principio las cosas quedaron perfectamente establecidas, y nada más lejos de la realidad. En este caso, lo justo es lo justo, se han utilizado datos de diversas fuentes. Además de la Wikipedia (que ya digo siempre hay que contrastar), he consultado los clásicos Historia de la matemática, Carl B. Boyer; History of Mathematics, Volumen 2, de David Eugene Smith. |
Ficha Técnica:
Jane echa un vistazo al libro. Se titula Calculus in Engineering.
Por recordar el teorema de los senos y del coseno (que nunca viene mal), estas son sus expresiones, respectivamente:
Conocidos: a = 34, b = 22, C = 42o .
. Con esta expression y la de la semisuma, se obtiene que A = 98.17171o y B = 39.82829o . Finalmente, aplicando el teorema de los senos,
.
Respecto a la utilización explícita de los nombres “tangente” y “cotangente”, aunque Georg Joachim Rheticus hacia 1551 no llega a darlos explícitamente, plantea su denominación como una proporción. Rheticus (discípulo de Copérnico y divulgador de su teoría) compuso unas tablas de funciones trigonométricas con siete decimales de exactitud y de 10 en 10 segundos, las más precisas hasta ese momento que se conocen, y su cálculo fue terminado por su discípulo Valentinus Otho, que las editó en Opus palatinum de triangulis.