En esta ocasión nos acercamos a un cortometraje de gran calidad técnica y muchas más matemáticas que otras películas de renombre.

Ficha Técnica:

Título Original: The Mathematician. Dirección: Frank Zhao. Guion: Frank Zhao. Fotografía: Yao Xiao, en Color. Montaje: Frank Zhao. Música: Jacky Zhang. Duración: 8 min.

Ficha artística:

Intérpretes: Frank Zhao (El matemático), Jacky Zhang (El músico), Emilia Bajer (La diseñadora), Josie Dixon (La reina), Harry Butcher y Charlotte Roderick (Los enamorados), Pip Southey (Amigo de amigos),  Ryan Su (Hombre de negocios).

Descripción

Un joven camina por el pasillo de un edificio que parece un instituto. Se oye hablar a varias personas que hacen cola al lado de una puerta, y él mismo se incorpora a dicha cola. Esperan su turno para entrar a hablar con alguien que quizá pueda resolverles sus problemas.

Al traspasar la cámara la pared, vemos a un joven sentado en una mesa escribiendo. Asistimos entonces a un amplio listado de objetos que se encuentran en la habitación: libros de matemáticas (concretamente uno de Cálculo Diferencial, y otros abiertos), una estanteria llena de ellos, una etiqueta de un pedido de regletas geométricas, estuches de tizas de colores, cajas de folios (vemos etiquetada en una de ellas la palabra hipótesis), una cinta de video etiquetada como Matemáticas Especializadas,  cats 2 & 3, gráficas de espirales, un tablero de backgammon con dado y fichas de cierta antigüedad por su estado y su cabecera de madera, folios, diapositivas antiguas,  otra caja etiquetada como Criptografia (material reservado), juegos de espejos, una esfera armilar, ejercicios de geometría, … En todo este despliegue, no deja de sonar la música original de los autores. La cámara nos acerca entonces a un joven que no deja de escribir, apareciendo entonces el título del cortometraje, que es el cartel que tiene a la puerta de su despacho.

Entra entonces el primero de la cola que se sienta y le hace una pregunta en chino, que no entendemos ni aparece subtitulada. El matemático le pide que le deje pensar un segundo. Al volver la cámara, ya no está ese personaje, sino que vemos a una chica que pregunta por un diseño de un logo porque a ella no le surgen ideas para hacerlo. Un nuevo movimiento de cámara nos muestra otra joven vestida como la reina de Inglaterra (de hecho se dirigen a ella como Su Majestad) que dice que su reino está enfrentado a un asunto grave sobre qué metodos pueden utilizarse para reducir el uso de plásticos.

A continuación el matemático deja de hojear un libro, y con una amplia sonrisa responde: cuatro tercios (4/3). La pantalla se divide entonces en tres partes, cada una con uno de los personajes anteriores (el músico, la diseñadora y la reina) y los tres exclaman extrañados: ¿4/3? Entonces pasa a explicar a cada uno el motivo de su respuesta.

En el caso del músico, explica que por 4/3 quiere indicar que por cada cuatro toques de un determinado sonido hay que tres de otro diferente a la vez, y después mezclarlos. El músico entonces comienza a imaginar cómo quedaría (nosotros lo oimos), quedando satisfecho con la respuesta. En el caso de la diseñadora, le pasa una tableta en la que vemos cómo se genera una curva de Lissajous, a la vez que le dice que el punto del círculo de la izquierda se mueve exactamente cuatro tercios más rápido que el inferior, generando así la curva. En efecto, como sabemos, esas curvas se obtienen cuando se superponen dos movimientos armónicos en direcciones perpendiculares. Fueron descritas y analizadas por Nathaniel Bowditch en 1815 (por eso también se conocen como curvas de Bowditch) y después, con mayor profundidad, por Jules Antoine Lissajous. Se suelen expresar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

donde A y B son las amplitudes, w_x y w_y son las frecuencias angulares, respectivamente, y δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos. Es cierto también que se utilizan frecuentemente como logotipos, como los de la Australian Broadcasting Corporation (A = 1, B = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT (A = 8, B = 6, δ = 0). Hasta la llegada de aplicaciones informáticas, las curvas de Lissajous se trazaban mecánicamente por medio de un armonógrafo.

Finalmente la explicación dada a la reina, es que el volumen de la esfera es, como sabemos,

(⁴/₃)πR³

y la esfera es la superficie con el menor área que encierra el mayor volumen. La reina deduce entonces que si fabricaran botellas esféricas, se podría eliminar un montón de plástico. A todos parece satisfacerles la respuesta común del matemático.

Aparece entonces un joven angustiado porque la chica que le parece maravillosa, ideal para él, no le hace demasiado caso. Vemos por cierto a la chica en cuestión, según la describe, resolviendo ejercicios de matemáticas. El matemático le explica que, aunque desearía que tuviera el cien por cien de posibilidades de que le hiciera caso, estima que la probabilidad de que una chica empollona como esa se fijara en un horterilla como él es cero. Y sigue diciendo que la media geométrica de su relación será la raíz cuadrada de cero veces cien, lo cual es también cero. El chico asume que el asunto es por tanto imposible. Pero antes de irse, le da un papel en el que aparece escrita una ecuación que podría hacer elevar la probabilidad de que esa chica se fijara en él un 50%, y entonces la media geométrica de su relación sería de 70.71%. No es mala, le dice, pero es lo más que puede hacer. El chico se lleva el papel con la ecuacuión muy contento.

Al cabo de un rato una preocupada chica entra preguntando porqué todos sus amigos tienen más amigos que ella. El matemático le responde que la paradoja de la amistad es un tema interesante. Para explicarla porqué sucede recurre una red que vemos sobreimpresionada en la pantalla, como vemos en la imagen. Le va describiendo porqué sucede, y cuando lo precisa,  chasqueando los dedos, van apareciendo al otro lado de la imagen las expresiones matemáticas que lo demuestran, via la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sin ser tan riguroso, una explicación que se entiende bastante bien es que la mayoría de la gente tiene pocos amigos, mientras que una cantidad pequeña de personas tienen muchos amigos. Este pequeño grupo es el que produce la paradoja. Es más probable que quienes tienen muchos amigos se encuentren entre tus amigos, y cuando es así, hacen que aumente significativamente la cifra media de amigos de tus amigos. Por eso, de media, tus amigos tienen más amigos que tú.

Después aparece un compatriota chino del matemático que le dice que está interesado en crear un motor de búsqueda chino. Aunque actualmente tenemos a Google, argumenta, nunca se sabe cuánto va a durar. Para eso le pide ayuda. El matemático le va a dar unas indicaciones sobre cómo funciona Page Rank, junto a un ejemplo concreto. Vemos con detalle las explicaciones para el caso de cuatro websites representadas mediante un grafo dirigido de cuatro nodos. Cuando uno de los sitios establece conexión con otro, lo asignamos una arista. En el modelo descrito, cada página transfiere uniformemente su información a las páginas a las que se vincula. El nodo 1 tiene tres aristas salientes, por lo que es relevante para cada uno de los otros tres nodos. El nodo 3 sólo tiene una arista de salida, por lo que le pasará toda su información unicamente al nodo 1. En general, si un nodo tiene k aristas de salida, pasará su importancia a cada uno de los nodos a los que enlaza, y el peso de cada arista se reparte uniformemente como 1/k a cada una (ver imagen). Después se describe la matriz de transición A asociada al grafo y se establece un vector inicial v con todas las  entradas iguales representando que cada web tendría inicialmente las mismas posibilidades de acceso para un hipotetico internauta. Cada enlace entrante aumenta la importancia de una página web, por lo que en un primer paso, se actualizaría el rango de cada página agregando al valor actual la importancia de los enlaces entrantes, lo que se logra con el producto A‧v. Iterando el proceso varias veces, haciendo los productos A²‧v, A³‧v, A⁴‧v, …, llegariamos a un vector de equilibrio (cuando el resultado de dos iteraciones consecutivas coincida), que en el caso del ejemplo se alcanza a la octava iteración. Ese vector de equilibrio es el Page Rank, o sea, el “impacto” entre los internautas que tiene cada website.

Así pues, el matemático va resolviendo todas y cada una de las situaciones que se le van planteando. ¿Todas? ¿Y que pasó con el chico que quería salir con la chica de sus sueños? Vean el corto en este enlace, y de paso sabrán el significado oculto de la ecuación que el matemático le entregó.

Comentario final

Un cortometraje con más matemáticas en ocho minutos que cualquier película comercial que hayamos visto, con muy buenas explicaciones y referencias. Muestra además varias aplicaciones concretas a situaciones de la vida real de las matemáticas (ciertamente alguna traida muy por los pelos, como la dada a la reina, también es cierto), muy bien descritas y resueltas. Interesante, sin duda.

Atentos también a partes del decorado, porque podemos encontrar cosas curiosas, como el encerado de la imagen en el que se desliza una intrigante pregunta: ¿Porqué los ricos son cada vez más ricos? La respuesta (la explicación) se encuentra en el modelo de la urna de Polya, como vemos escrito.

La productora del corto, lifEdit, bajo el lema Our world needs math (Nuestro mundo necesita matemáticas) propone al espectador interesado un listado de páginas en los que describe con más detalle todas las situaciones propuestas en la película. Son las siguientes:

1.- Un intrigante patrón, la cadena dorada: https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/fibrab.html

2.- ¿Porqué los ricos se hacen más ricos? Artículos de Mark Holmes, de la Universidad de Melbourne, sobre temas como éste: https://researchers.ms.unimelb.edu.au/~mholmes1@unimelb/#Papers

3.- Musica y teoria de la medida: https://www.youtube.com/watch?v=cyW5z-M2yzw&t=0s

4.- Las matemáticas son el secreto oculto al conocimiento del mundo. Roger Antonsen: https://www.youtube.com/watch?v=ZQElzjCsl9o&t=0s

5.- Curvas de Lissajous: https://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html

6.- El logo de ABC es una curva de Lissajous: https://www.abc.net.au/science/holo/liss.htm

7.- La esfera minimiza el área en proporción a su volumen : https://math.stackexchange.com/questions/1297870/prove-that-the-sphere-is-the-only-closed-surface-in-mathbbr3-that-minimize

8.- El algoritmo PageRank: http://pi.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/RalucaRemus/Lecture3/lecture3.html

9.- ¿Porqué necesitamos matemáticas?: https://www.dcu.ie/maths/why-do-we-need-maths

10.- Más curvas corazón: https://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html

Confio en que disfruten con el corto. El subtítulo en inglés es generado automaticamente y muchas veces no tiene mucho sentido (ya saben, a veces pone “for” cuando debería ser “four”, y cosas similares). Pero para eso, se leen este artículo donde aparece todo descrito con corrección (modestia aparte).