Julio 2020: Noticias históricas concernientes al uso de material didáctico manipulativo en la enseñanza y aprendizaje de la Geometría
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1. Un ejemplo, a modo de introducción

En la Arithmetica practica, y speculativa (1562, Lib. IV, cap. II, p. 308), el bachiller Juan Pérez de Moya[1], refiriéndose a las figuras isoperimétricas, nos proporciona un buen ejemplo de la utilización de material didáctico manipulativo (cuatro tablas de cajero de la misma longitud y altura) para demostrar la proposición siguiente:

De todas las figuras isoperimétricas, la de mayor área es el círculo.

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2. Poliedros didácticos

La presencia de representaciones tridimensionales de poliedros se remonta al Neolítico (2000 a. C.).

De una época más reciente, siglos II y III d. C., son algunos dados etruscos con la forma de dodecaedro regular e icosaedro regular.

Aunque se desconoce la utilidad de dichos objetos 3D, su existencia pone de manifiesto que los poliedros regulares «físicos» convivieron con el hombre desde la más remota antigüedad.

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Poliedros regulares neolíticos de Escocia (Ashmolean Museum de Oxford)

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Dodecaedro e icosaedro etruscos (s. II – III d. C.)

Así las cosas, dando un gran salto en el tiempo, nos trasladamos al Museo de Capodimonte (Nápoles) donde podemos contemplar el Retrato de Luca Pacioli[2] (1495).

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Retrato de Luca Pacioli (1495). Atribuido a Jacopo de Barbari.

La mayor parte de la superficie del cuadro está ocupada por dos personajes. Uno de ellos, el fraile franciscano Luca Pacioli, parece estar explicando al otro (posiblemente un miembro de la nobleza) algún teorema geométrico contenido en un tratado matemático.

Además, en la parte superior izquierda del lienzo, colgado del techo, hay un poliedro arquimediano transparente, hueco y medio lleno de agua. Dicho cuerpo geométrico tiene veintiséis caras (de las cuales dieciocho son cuadrados y ocho son triángulos equiláteros) y recibe el nombre de rombicuboctaedro.

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Modelo hueco y transparente de rombicuboctaedro

Por otro lado, en la parte inferior derecha, apoyado en un libro, se encuentra un dodecaedro regular macizo.

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Modelo macizo de dodecaedro regular

Con esta información, podemos asegurar que, a finales del siglo XV, los profesores italianos ya utilizaron modelos de poliedros en sus clases de Geometría.

3. Leonardo da Vinci y sus esqueletos de poliedros

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Leonardo da Vinci (1452  - 1519)

Entre las ilustraciones creadas por el artista y científico italiano Leonardo da Vinci para la obra De Divina Proportione[3] de Luca Pacioli, destacan aquellas en las que se representan los «esqueletos»[4] de un gran número de poliedros.

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Esqueleto del icosaedro regular

Estos dibujos de Leonardo son probablemente las primeras ilustraciones de los esqueletos de cuerpos geométricos.

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Nicolas Neufchatel. Retrato de Johannes Neudofer y su hijo (1561)

Unos años más tarde, el pintor flamenco Nicolaus Neufchatel (1527 – 1590), en el Retrato de Johannes Neudofer y su hijo, representó al maestro de escritura y cálculo Johannes Neudofer (1497– 1563) impartiendo una clase de Geometría a su hijo. El padre sostiene el «esqueleto» de un dodecaedro regular y el hijo, atento a las explicaciones de su progenitor, sostiene un cuaderno de notas. En la parte superior del cuadro cuelga el «esqueleto» de un cubo.

Por tanto, podemos asegurar que, a mediados del siglo XVI, algunos «maestros de cálculo» se sirvieron de los esqueletos de poliedros para explicar determinados objetos geométricos 3D.

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Actualmente se pueden encontrar en el mercado materiales sofisticados que permiten construir esqueletos de poliedros mediante piezas imantadas (véase la figura  anterior).

Sin embargo, desde una óptica económico-didáctica, se recomienda utilizar palillos para las aristas y esferas de plastilina para los vértices.

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Esqueleto del cubo con palillos y plastilina

4. Alberto Durero y sus «desarrollos» de poliedros

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Alberto Durero (1471 – 1528)

El artista alemán Alberto Durero, en su Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt (1525), fue el primero en publicar los desarrollos planos de algunos poliedros. De esta forma creó una sencilla herramienta bidimensional para construir poliedros 3D.

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Desarrollo de octaedro truncado[5]

Juan Pérez de Moya, en su estudio de los cinco sólidos platónicos (Tratado de Geometria Practica, y Speculativa, 1573), se sirvió de este «instrumental» para construir y describir dichos poliedros regulares.

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5. Clairaut y la tarjeta rectangular

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Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765)

El matemático francés Alexis Claude Clairaut[6], en la cuarta parte (De la manera de medir los sólidos y sus superficies) de sus Elementos de Geometría, introdujo un sencillo material didáctico, una tarjeta rectangular dividida en dos partes iguales, para explicar los conceptos y procedimientos relativos a la perpendicularidad recta-plano y plano-plano, paralelismo de planos y medida del ángulo determinado por dos planos.

Dado su interés pedagógico, reproducimos in extenso la adaptación al castellano del texto original.

VI

De ello se sigue que la línea AB, perpendicular al plano X, debe ser perpendicular a todas las líneas AC, AD, AE etc. que parten del pie A de esta línea y están contenidas en dicho plano. En efecto, si AB se inclinase sobre una de estas líneas, entonces se inclinaría hacia algún lado del plano, por lo que no sería perpendicular a él.

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VII

Para representar de una forma sensible cómo la línea AB puede ser perpendicular a todas las líneas que parten de su extremo A basta con hacer una figura en relieve de la manera siguiente:

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Con alguna materia lisa y fácil de plegar, como cartón, se construye un rectángulo FGDE dividido en dos partes iguales por la recta AB perpendicular a los lados ED y FG.

A continuación, se pliega este rectángulo a lo largo de la línea AB, y se coloca el rectángulo doblado sobre el plano X.

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Es evidente que, cualquiera que sea la abertura que se dé a las dos partes FBAE y GBAD del rectángulo plegado EADGBF, estas dos partes siempre permanecerán pegadas al plano X sin que la línea AB cambie de posición en relación a dicho plano. Por tanto, la recta AB será perpendicular a todas las líneas que parten de su pie y están contenidas en el plano X, dado que los lados AE y AD del rectángulo plegado se apoyan sucesivamente sobre cada una de dichas líneas, durante el movimiento que acabamos de describir.

VIII

De la construcción anterior se deduce un procedimiento muy cómodo para levantar desde un punto dado de un plano una línea perpendicular a dicho plano, o para bajar desde un punto dado exterior a un plano una perpendicular a este plano.

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Si el punto dado está en el plano, por ejemplo en A, o fuera de él, como en H, siempre se podrá desplazar el rectángulo EFBGDA sobre el plano X, hasta que el pliegue AB toque el punto dado. En los dos casos, AB será la perpendicular pedida.

IX

También se sigue de ello que una línea AB es perpendicular a un plano X siempre que lo sea a dos líneas AE y AD de dicho plano. Porque entonces AB puede considerarse como el pliegue de un rectángulo, uno de cuyos lados plegados se aplica sobre AE y el otro sobre AD. De modo que este pliegue no puede dejar de ser perpendicular al plano X.

X

Si se quiere levantar un plano perpendicular a X sobre una línea cualquiera KL, contenida en el plano X, también se puede hacer uso del rectángulo plegado GBFEAD. Para ello basta con poner el lado AD de una de las partes ADGB de este rectángulo plegado sobre la línea KL. Con esto, ADGB es el plano que se pide.

XI

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También se ve fácilmente que si se coloca un tercer plano Y sobre los lados FB y BG del mismo rectángulo plegado, entonces el plano Y es perpendicular a la línea AB y, por consiguiente, paralelo al plano X.

Entonces, si en un plano X se levantan tres perpendiculares EF, AB y DG de la misma longitud y que no estén situadas en línea recta, el plano Y, que pasa por los puntos F, B y G es paralelo al plano X.

XII

Cuando dos planos no son paralelos es fácil determinar el ángulo que forman haciendo uso de nuestro rectángulo plegado.

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Para ello se aplica una de las dos partes ABGD de este rectángulo sobre el plano X. Es evidente que el ángulo EAD, o el FBG, mide la inclinación del plano EABF sobre el plano DABG. Si se advierte que AB es la intersección de estos planos, y que EA y AD son perpendiculares a AB, se deduce fácilmente la regla siguiente:

Si se dan dos planos que no son paralelos es necesario, en primer lugar, determinar su recta de intersección. A continuación, desde un punto cualquiera de esta línea, se trazan dos perpendiculares, cada una en uno de dichos planos. El ángulo que forman las dos rectas mide el ángulo que forman los dos planos dados.

6. A modo de resumen

En este artículo que está a punto de concluir hemos ofrecido algunas noticias históricas relativas al uso de material didáctico manipulativo en la enseñanza y aprendizaje de la Geometría.

Ordenadas cronológicamente son las siguientes:

  • 1495. En el Retrato de Luca Pacioli se pone de manifiesto que a finales del siglo XV, los profesores italianos ya utilizaron modelos de poliedros en sus clases de Geometría.
  • 1509. En el libro De Divina Proportione de Luca Pacioli, Leonardo da Vinci publica las primeras ilustraciones de los esqueletos de cuerpos geométricos.
  • 1525. Alberto Durero, en su Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt publica, por primera vez, los desarrollos planos de algunos poliedros.
  • 1561. En el Retrato de Johannes Neudofer y su hijo se asegura que, a mediados del siglo XVI, algunos «maestros de cálculo» se sirvieron de los esqueletos de poliedros para explicar determinados objetos geométricos 3D.
  • 1562. En su Arithmetica Practica, y Speculativa, el bachiller Juan Pérez de Moya nos ofrece un material didáctico compuesto por tablas de cajero para demostrar una interesante propiedad de las figuras isoperimétricas.
  • 1573. En su Tratado de Geometria Practica, y Speculativa, Pérez de Moya se sirve de los desarrollos de los sólidos platónicos para construir y describir dichos poliedros regulares.
  • 1775. El matemático francés Alexis Claude Clairaut, en sus Élémens de Géométrie, utiliza una tarjeta rectangular para explicar conceptos y procedimientos relativos a las posiciones relativas de una recta y un plano, y de dos planos.

Este reducido catálogo de carácter histórico-didáctico podría ser el principio de una línea de investigación en Educación Matemática en la que, utilizando diversas fuentes (libros, pinturas, etc.) se identifiquen: (i) los creadores de los materiales didácticos para la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y (ii) los documentos (gráficos o escritos) en los que, de forma explícita, se certifique la presencia de dichos materiales en la práctica docente.

Desde aquí animamos a los enseñantes e investigadores para que se involucren en esta tarea que, sin duda alguna, repercutirá en el aprendizaje de los alumnos de todos los niveles educativos.

 

Referencias bibliográficas

CLAIRAUT, A. C. (1775). Élémens de Géométrie. Paris: Cellot & Jombert.

DURERO, A. (1525). Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt. Nürnberg.

MEAVILLA SEGUÍ, V. (2017). Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros. Córdoba: Editorial Guadalmazán.

PACIOLI, L. (1991). La divina proporción (Introducción de Antonio M. González. Traducción de Juan Calatrava). Madrid: Ediciones Akal, S. A.

PÉREZ de MOYA. J. (1562). Arithmetica Practica, y Speculativa. Salamanca: Mathias Gast.

PÉREZ de MOYA. J. (1573). Tratado de Geometria Practica, y Speculativa. Alcalá: Juan Gracian.

 

Referencias online

MEAVILLA SEGUÍ, V. y VICÉN ANTOLÍN, C. (2008). Los Elementos de geometría de Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765).

 


[1] Los datos disponibles sobre la vida del bachiller Juan Pérez de Moya son escasos e inciertos. Nació antes de 1513, probablemente en 1512, en Santisteban del Puerto (Jaén), tal como se indica en la portada de algunos de sus libros. Estudió en Salamanca y Alcalá de Henares, no fue profesor universitario pero posiblemente se dedicó a la enseñanza de las Matemáticas. En 1536 obtuvo una capellanía en su pueblo natal y, ya muy mayor, fue canónigo de la Catedral de Granada, ciudad en la que murió en 1596.

[2] Luca Pacioli (1445 – 1517) nació en Borgo de Sansepolcro (Italia) y posiblemente recibió sus primeras lecciones en el taller de su paisano Piero della Francesca (1412 – 1492). En 1492 ingresó en la orden de San Francisco de Asís. Entre sus obras de carácter matemático destacan Summa de arithmetica geometría proportioni et proportionalità (1494) y De divina proportione (1509).

[3] De Divina Proportione se acabó el 14 de diciembre de 1498 y se realizaron tres manuscritos. Se imprimió en 1509.

[4] Esqueleto de un poliedro es la estructura 3D formada por todas sus aristas.

[5] Poliedro arquimediano con catorce caras (seis triangulares y ocho hexagonales).

[6] Alexis Claude Clairaut fue admitido en la Academia de Ciencias francesa cuando aún no tenía dieciocho años, por su trabajo Recherches sur les courbes a doublé courbure que se publicó en 1731. A lo largo de su corta vida también perteneció a la Royal Society of London, a la Academia de Berlín, a la Academia de San Petersburgo, y a las Academias de Bolonia y Upsala.

Desde el 20 de abril de 1736 al 20 de agosto de 1737, participó en una expedición a Laponia, liderada por Maupertuis, cuyo objetivo era medir la longitud de un meridiano. En 1743, publicó su famoso trabajo Théorie de la figure de la terre donde confirmó la hipótesis de que la Tierra estaba achatada por los polos, defendida por Newton-Huygens.

Además de sus contribuciones a la ciencia en general y a las Matemáticas en particular, Clairaut escribió dos textos dedicados a la enseñanza que alcanzaron varias ediciones: uno de Álgebra y otro de Geometría (Élémens de Géométrie).

 
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