Mayo 2020: Identidades notables con papiroflexia
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Escrito por José Muñoz Santonja   
Viernes 01 de Mayo de 2020

En otras entradas de esta sección ya se ha hablado del interés de la papiroflexia como recurso en el aula de matemáticas. Por un lado,  está el hecho de  que es un material barato y cotidiano, y por tanto, fácil de conseguir. Por otro lado, el alumnado siente gran confianza al manipular personalmente el material, creando y demostrando propiedades con la mera fuerza de sus manos y su inteligencia. El trabajo con papel es además divertido y atractivo, muchas veces nos ha ocurrido que tras enseñar a los alumnos a construir cualquier figura geométrica, se han entusiasmado y han probado en su casa hasta conseguir reproducirlas con perfección e incluso investigando nuevas posibilidades.

En esta entrega vamos a ver un apartado de álgebra que siempre se trabaja en el primer ciclo de Secundaria: los productos o identidades notables.

Nosotros somos partidarios de utilizar en el aula materiales y recursos muy diversos. Aparte de la pizarra y los libros de texto, se pueden utilizar otros recursos como vídeos, comic, pasatiempos, geometría dinámica, etc. En concreto en este apartado de las identidades notables lo que se suele trabajar es únicamente la explicación en la pizarra o quizás algo con GeoGebra, pero pensamos que para algunos alumnos puede ser provechoso el trabajar mediante papiroflexia, pues hemos comprobado que recuerdan más fácilmente las igualdades después de haberlas visto físicamente presentadas.

1. Cuadrado de una suma y una resta.

Las dos primeras identidades notables con las que se suele trabajar son las correspondientes al cuadrado de un binomio, siendo ese binomio bien una suma o una resta. En las siguientes expresiones tenemos las fórmulas correspondientes a esos cuadrados.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(ab)2 = a2 – 2ab + b2

Los dobleces que hay que realizar son los mismos en ambos casos, lo que varía es la interpretación del mapa obtenido, llegando a las igualdades requeridas.

Para hacer el doblez, partimos de una hoja cuadrada en la que tenemos que doblar un cuadrado interior. Se puede hacer de distintas formas, pero la que nos ha parecido más simple, es la que se muestra en los siguientes pasos.

Paso 1: Doblamos el cuadrado por la diagonal, sin marcar ese doblez.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Paso 1

Paso 2

Paso 2: Uno de los lados, del triángulo isósceles que ha quedado, lo doblamos en dos partes de forma que tengan bastante diferencia entre sus medidas, es decir, alejarse de la división por la mitad. Ese doblez se marca bien  en el papel.

Paso 3: Se desdobla la hoja y nos aparecerá un cuadrado pequeño dentro de la hoja cuadrada.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Paso 3

Paso 4

Paso 4: Se prolongan las divisiones correspondientes a los lados del cuadrado, doblando sobre esos lados a todo lo largo del cuadrado.

Una vez que hemos obtenido la imagen del paso 4, ya estamos en disposición de realizar el razonamiento que nos permite demostrar las identidades.

1.1. Cuadrado de la suma de dos términos.

Como se puede observar, todos los lados del cuadrado están divididos en dos partes, una grande y otra pequeña. Si llamamos a a la medida del lado mayor y b a la medida del lado menor de esos lados, podemos observar los cuatro rectángulos en que queda dividido el cuadrado original.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 1: Cuadrado de la suma

De forma trivial se ve que el área del cuadrado grande es la suma de los cuatro rectángulos.

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

1.2. Cuadrado de la diferencia de dos términos.

En este caso, lo que cambia es el razonamiento. Suponemos que a es la medida del cuadrado original y b la medida menor en que ha quedado dividido el lado del cuadrado.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 2

Imagen 3

Entonces nos encontramos con que los dos cuadrados que se han marcado, uno equivale a (a-b)² y el otro a b², tal como vemos en la imagen 2.

Para obtener el valor de (a-b)² debemos restar a a² el rectángulo de área a·b que puede verse en la imagen 3. Si lo restamos dos veces, una para el lateral derecho y otra para el lateral inferior, realmente estamos restando dos veces el cuadrado de área b², por lo que hay que sumarlo una vez para nivelar el cálculo. Así obtenemos:

(ab)2 = a2ab - ab + b2 = a2 – 2ab + b2

2. Suma por diferencia de un binomio.

Para construir con papel la identidad notable de la suma por la diferencia de un binomio, tenemos dos métodos diferentes. El más conocido utiliza dos cuadrados de la misma medida y el segundo utiliza un solo papel, aunque es un poco más complicado el razonamiento que lleva a la obtención de la identidad.

2.1. Método con dos cuadrados iguales.

Tenemos que trabajar con dos hojas iguales y realizar el mismo doblez en las dos hojas. Los pasos son los siguientes:

Paso 1: Doblamos por la diagonal y se marca bien ese doblez.

Paso 2: Igual que hemos visto en el apartado anterior, doblamos uno de los lados iguales del triángulo resultante, de forma que el doblez sea bien diferente y se aleje del punto medio. Lo importante es que esta medida hay que llevarla igual a las dos hojas, por lo que es conveniente hacer el doblez con las hojas conjuntamente.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 3: El doblez que hemos realizado se introduce dentro del triángulo quedando un trapecio, una de cuyas bases mide a, que es el lado del cuadrado original y la otra es b, que es la medida que hemos doblado en el paso anterior.

Para conseguir la identidad notable, basta unir los dos trapecios por el lado oblicuo de dos formas diferentes, según vemos en las siguientes imágenes.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 4

Imagen 5

En el primer caso tenemos un rectángulo cuyos lados miden a+b y a-b. En la segunda imagen podemos observar un cuadrado de lado a al que le falta un pequeño cuadrado que tiene de lado b. De esa forma, como las dos áreas se han obtenido con los mismos elementos, tenemos que:

(a + b)(a - b) = a2b2

2.2. Método a partir de un solo cuadrado.

Esta identidad es posible conseguirla a través de los dobleces realizados en una sola hoja cuadrada, aunque es un poco más complicada la deducción de la propiedad.

El primer paso es el mismo que en los casos anteriores.

Paso 1: Se parte de una hoja cuadrada. Se dobla por la diagonal, sin marcar ese doblez, y se divide uno de los catetos en dos partes, siendo una de ellas menor que la tercera parte del lado. Ese doblez se marca muy bien.

Paso 2: Se desdobla la hoja y las señales del doblez anterior se llevan hasta el lado opuesto.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Paso 1

Paso 2

Paso 3: Se dobla la división inferior y se señala una nueva división, correspondiente a esa medida pequeña.

Nos deben quedar, al desdoblar, los dobleces que se ven en la imagen del paso 4.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Paso 3

Paso 4

Con el resultado del último paso, podemos comenzar a nombrar las divisiones para llegar a nuestro objetivo. Llamamos a y b a las divisiones del lado del cuadrado original, en la imagen siguiente vemos que lo sombreado en verde es un rectángulo cuyos lados son a + b y a – b.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 6: Suma por diferencia

Para llegar a este rectángulo es necesario quitarle al cuadrado de lado a, sombreado, en dos colores, en la imagen 7, el rectángulo inferior en naranja, que al colocarla al lado (imagen 8) nos da el rectángulo señalado en la imagen 6, pero nos sobra un trozo correspondiente a un cuadrado de lado b.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 7

Imagen 8

Comparando la imagen 6 y 8 llegamos a la identidad buscada:

(a + b)(a - b) = a2b2

3. Cuadrado de un trinomio.

Es bastante intuitiva la generalización del método para hallar el cuadrado de un binomio, al caso en que tenemos una suma de tres términos. Basta repetir parte del proceso seguido. Veamos los pasos.

Paso 1: Partimos de una hoja cuadrada y se dobla por una de sus diagonales, sin llegar a marcar ese doblez.

Paso 2: Se dobla uno de los catetos del triángulo obtenido de forma que se doble una pequeña parte. Se marca bien el doblez.

Paso 3: La parte grande que ha quedado de esa división, se vuelve a dividir en dos partes que tengan diferente medida, y además ninguna coincida con la división pequeña hecha en el paso anterior.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4: Se desdobla el cuadrado.

Paso 5: Se prolongan los lados de los dos cuadrados interiores obtenidos, hasta que lleguen al lado opuesto del cuadrado original.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Paso 4

Paso 5

Por último, basta nombrar las divisiones que hemos hecho en los lados del cuadrado original. Llamando a, b y c a esas divisiones, obtenemos las áreas que se observan en la siguiente imagen.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 9

Basta agrupar los rectángulos iguales, para obtener la identidad que íbamos buscando.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

4. El cubo de un binomio.

Para terminar con esta presentación, vamos a dar el salto a las tres dimensiones. Queremos visualizar la identidad notable correspondiente al cubo de una suma, que sería la siguiente expresión.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Al pasar a las tres dimensiones, ya no podemos trabajar con una hoja de papel en la que realicemos dobleces. Por tanto, vamos a comprobar la igualdad anterior, construyendo una serie de volúmenes que nos van a dar los términos que construyen el cubo.

Hay grandes especialistas como Belén Garridoi o Paolo Bascettaii que han resuelto la construcción a partir de distintos diagramas. En el libro de Leonardo Pulido que aparece en referencias, se pueden encontrar las disecciones y diagramas que se necesitan para cada cubo, aunque son un poco complicadas de preparar.

Nosotros vamos a ser más humildes y presentamos una construcción más simple, por utilizar un módulo bastante conocido incluso por los que empiezan en el mundo de la papiroflexia modular. Por eso vamos a utilizar el módulo Sonobe para construir las piezas. Tiene el inconveniente de que las piezas tienen una medida doble que la otra, pero para los alumnos, es perfectamente aplicable para conseguir ver la disección del cubo general en partes.

En las siguientes imágenes podemos ver, en la 10, las piezas que necesitamos construir para el puzle.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 10: Piezas para el cubo de un binomio

En la imagen 11 podemos ver el cubo de lado a + b ya montado.

IDENTIDADES NOTABLES CON PAPIROFLEXIA

Imagen 11: Cubo del binomio formado

5. Referencia:

Pulido, L.: Factorigami. Origami aplicado a los casos de factorización.

Consultado el 16/06/2019 en la dirección: https://es.scribd.com/doc/142184503/factorigami-pdf

 

Notas:

i Aunque no aparecen los diagramas, hace referencia a una posibilidad de construcción en http://www.geocities.ws/micadesa/educacion/edubinomios.html

ii Aparecen los cubos y los diagramas para conseguirlos en la siguiente presentación: https://issuu.com/sofiamartel/docs/binomio-al

 
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