Juego de dados Hubbub

El juego originalmente no tenía nombre. Se ganó el nombre de Hubbub porque los colonos europeos del siglo XVIII que presenciaron el juego escucharon a los jugadores decir 'hub, hub, hub' mientras jugaban:

They have a kind of dice game which are plum stones painted, which they cast in a tray with a mighty noise and sweating.- Roger Williams, 1643.

Hubbub es un juego originario de Arapaho en Oklahoma. Utilizan cinco dados planos que decoran por una de las caras para representar un equilibrio entre lo positivo y lo negativo de la vida. Se suelen decorar con motivos estrellados. En el centro se colocan 21 sticks o varitas que se van retirando cada jugador a lo largo del juego. En la Figura se muestran tanto los dados como las varitas. El juego Bowl and Dice es una versión más complicada de este juego.

Los jugadores lanzan los dados y según los resultados obtenidos retiran los sticks que les correspondan. Una vez retirados los 21 sticks el jugador que tenga más es el ganandor.

Los resultados posibles son los siguientes:

• 5 decorados ó 5 sin decorar: 3 puntos (sticks).
• 4 decorados y 1 sin decorar o al contrario: 1 punto (stick).
• 3 decorados y 2 sin decorar o al contrario: 0 puntos (sticks).

En la Figura se muestra un resultado con puntuación nula:

¿Qué probabilidad hay de obetenr 3 puntos en una tirada? ¿Y de obtener 1 punto? ¿Y ninguno? ¿Es razonable la asignación de puntos?

Puntos y segmentos

Presentamos unos juegos donde hay que unir los puntos de una red rectangular con el menor número de segmentos rectilíneos.

Une los 4 puntos con 3 segmentos rectilíneos y los 9 puntos con 4 segmentos rectilíneos de la figura, sin levantar el lápiz del papel.

Une los 16 puntos con 6 segmentos rectilíneos y los 25 puntos con 8 segmentos rectilíneos de la figura, sin levantar el lápiz del papel.

Une los 36 puntos con 10 segmentos rectilíneos y los 49 puntos con 12 segmentos rectilíneos de la figura, sin levantar el lápiz del papel.

Soluciones

Teorema de Conway

Sea un triángulo cualquiera ABC con incentro O y cuya circunferencia inscrita es tangente a los lados en Q, R y S. Los segmentos del mismo color son iguales: CR=CQ (azul ), AS=AR (verde) y BS=BQ (rojo) por construcción.

• Se prolonga el segmento AB hasta F, siendo AF=AP (azul)+PF (rojo).
• Se prolonga el segmento AB hasta I, siendo BG=BL (verde)+LI (azul).
• Se prolonga el segmento BC hasta H, siendo BH=BK (verde)+KH (azul).
• Se prolonga el segmento BC hasta D, siendo CD=CN (rojo)+ND (verde).
• Se prolonga el segmento CA hasta G, siendo AG=AJ (azul)+JG (rojo).
• Se prolonga el segmento CA hasta E, siendo CE=CM (rojo)+ME (verde).

Se observa que los siguientes segmentos son iguales por estar formados por tres subsegmentos de diferente color:

• SF=AS (verde)+AP (azul)+PS (rojo)
• SI=SB (rojo)+BL (verde)+LI (azul)
• QD=QC (azul)+CN (rojo)+ND (verde)
• QH=QB(rojo)+BK (verde)+KH (azul)
• RE=RC (azul)+CM (rojo)+ME (verde)
• RG=RA (verde)+AJ (azul)+JG (rojo)

Los triángulos OSF, OSI, ORG, ORE, OQD y OQH son rectángulos y como tienen los mismos catetos, también tienen la misma hipotenusa que es el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D, E, F, G H e I. Estos puntos cumplen las condiciones que impone el teorema de Conway (longitudes prolongadas de los lados desde un vértice iguales a la longitud del lado opuesto). Queda probado el teorema de Conway y además que el centro de esa circunferencia es el incentro del triángulo.

• Se pueden mover los vértices del triángulo.
• Se puede ver la construcción 'paso a paso'.

Generalización del teorema (Francisco Javier García Capitán):

En el triángulo ABC se sitúa en su interior un punto arbitrario D . Se traza la recta que pasa por el lado AB y su paralela por el vértice opuesto C. Se traza el segmento que pasa por A y D y que corta  en E y el segmento que pasa por B y D que corta en F. Se traza el segmento paralelo al lado AC desde F que corta en G y el segmento paralelo al lado BC que corta en H. Los puntos G y H son dos de los seis puntos buscados. Repitiendo, de forma análoga el proceso, a partir de los lados BC y AC respectivamente se obtendrían los cuatro puntos restantes. Por estos seis puntos pasa una elipse que se convierte en cÍrculo cuando el punto variable D coincide con el incentro del triángulo.

• Se pueden mover los vértices del triángulo.
• Se puede desplazar el punto hueco y al situarlo sobre el incentro se obtiene una circunferencia.

Dados no transitivos (III)

Se pueden construir dados no transitivos utilizando los sólidos platónicos. El hexaedro o cubo está representado por el 'Efron Dice'. Para el tetraedro se tiene el 'Tiggermann Dice' que se muestra en la figura.

Se puede extender el 'Tiggermann Dice' para el tetraedro al octaedro, simplemente repitiendo los valores de las caras: $$1,1,4,4,4,4,4,4$$ $$3,3,3,3,3,3,6,6$$ $$2,2,2,2,5,5,5,5$$ Nicholas Pasciuto propone otra numeración de las caras y le llama 'Nichlman Dice' formado por las primeras letras de su nombre y las últimas del apellido de su mentor el Dr. Ward Heilman.

Para el dodecaedro existen varios conjuntos de dados. Uno de ellos es ampliar para cuatro caras más 'Timmermann Dice'. Otra opción es el conjunto de dados 'Schward Dice'

$$0,0,0,0,0,16,16,17,17,17,17,17$$ $$5,5,5,5,14,14,14,14,18,18,18,18$$ $$6,6,6,12,12,12,19,1,9,19,19,19,19$$ $$3,3,11,11,11,11,11,20,20,20,20,20$$ $$15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15$$ 

Michael Winkleman inventó un nuevo conjunto no transitivo de sólo tres dados que llamó 'Miwin's Dodecahedral Dice'.

Finalmente para el icosadero se puede expandir el 'Timmermann Dice'. Otra posibilidad, no reversible con dos dados, es el conjunto 'Pascanell Dice'.

Teorema de Mickey Mouse

Sean los círculos (A) y (B) tangentes exteriores al círculo (C) con los puntos de tangencia F y G, respectivamente. Sean D y E los puntos de tangencia de la recta tangente a ambos círculos, repsectivamente. Si la recta que pasa por D y F se corta con la recta que pasa por E y G en el punto E, entonces ese punto pertenece al círculo (C) y la recta tangente en ese punto es paralela a la recta que pasa por D y E.

DEMOSTRACIÓN

Para la demostración sólo se necesitan los círculos de centros A y C. La prolongación del segmento DF corta al círculo de centro C en el punto H. Los triángulos ADF y CFH son isósceles porque dos de sus lados son radios de los círculos respectivos. Como los ángulos AFD y CFH son iguales, al ser opuestos por el vértice, también son iguales a los ángulos ADF y CHF. Por tanto AD es paralelo a CH, y ya que AD es perpendicular a la tangente al círculo (A) en D, también es verdad para CH. Pero CH es también perpendicular a la tangente al círculo (C) en H. Por tanto ambas tangentes son paralelas.

Podemos decir que H se encuentra en la perpendicular a la tangente en D a través de (C). Dado que originalmente (A) y (B) comparten esa tangente DE, EG necesariamente pasa por H, de modo que las prolongaciones de CA y DB se encuentran en el círculo (C).

De la prueba anterior queda claro que la presencia de dos 'orejas' de Mickey Mouse en el teorema, aunque divertida, no es esencial. El resultado básico solo trata con un círculo (O1), mientras que la afirmación sigue siendo válida para cualquier número de círculos (O2), (O3),…, simultáneamente tangentes a (O) y a una tangente seleccionada a (O1).

Se puede modificar el tamaño y la posición del círculo grande moviendo los puntos C e I.

Se puede cambiar el tamaño de los círculos pequeños moviendo los puntos A y B.

Se pueden desplazar los círculos tangentes sobre el círculo grande moviendo los puntos F y G.

Se puede ver a Mickey Mouse pulsando en el botón.