891. 59. (Marzo 2009) Hipercubo Detector

HIPERCUBO DETECTOR Sobre la imagen: Una proyección en 3D de un hipercubo tetradimensional, haciendo una rotación simple sobre un plano que corta la figura desde el frente-izquierda hasta atrás-derecha y de arriba hacia abajo. Creada por Jason Hise con Maya y Macromedia Fireworks.   El juego que describiremos en esta ocasión, como la mayoría de juegos matemáticos, es interesante por un doble motivo: tiene la componente de sorpresa intrínseca a un juego de adivinación y su fundamento está basado en alguna propiedad matemática interesante. En este caso, dicha propiedad será la representación geométrica del hipercubo. Su creador es el matemático Jeremiah Farrell, editor y colaborador habitual de la publicación Word Ways para entusiastas de los juegos de palabras y linguística recreativa. El juego está publicado en el libro Puzzlers' Tribute: A Feast for the Mind, una compilación de David Wolfe y Tom Rodgers (A K Peters, 2002) de artículos en homenaje a Martin Gardner. Vamos con el juego: Imprime en una cartulina la figura adjunta: Muestra dicha cartulina a un espectador y explícale que, representa la imagen bidimensional de un hipercubo en el espacio euclídeo de dimensión cuatro. Aunque no entienda nada de la parrafada anterior, indícale que, con ella, puedes detectar cuándo una persona miente o dice la verdad pues te permitirá viajar a la cuarta dimensión y volver con la respuesta correcta.   Ofrécele una demostración de lo explicado: pídele que elija una letra de la palabra PARECIDO y que decida, a lo largo del experimento, si quiere decir siempre la verdad o si quiere mentir siempre. Debe mantener en secreto ambas cosas pues tú lo adivinarás al final. Pídele que responda a las siguientes cuestiones (de acuerdo con la personalidad elegida, mentiroso o veraz).   Pregunta roja: ¿La letra elegida está contenida en la palabra PERA? Pregunta azul: ¿La letra elegida está contenida en la palabra PICA? Pregunta amarilla: ¿La letra elegida está contenida en la palabra ARCO? Pregunta verde: ¿La letra elegida está contenida en la palabra PIRO? Con las respuestas dadas, de un rápido vistazo a la cartulina puedes saber inmediatamente no sólo si el espectador ha dicho la verdad o ha mentido sino también la letra elegida. SOLUCIÓN. Observarás que las preguntas se han etiquetado con distintos colores, los cuales corresponden a los colores del cuadro que deberás seguir. El método para descubrir la letra elegida es el siguiente: Colócate en la letra D inferior derecha. Si la respuesta a la pregunta roja es SÍ, sigue la línea roja hasta el siguiente vértice. Habrás llegado a la letra E situada a la izquierda de la letra D. Si la respuesta es NO, no realices ningún movimiento. Realiza las mismas operaciones con el resto de preguntas: por cada respuesta afirmativa, trasládate desde la última posición alcanzada hasta la siguiente letra siguiende una arista del color correspondiente a la pregunta. Al final del recorrido, habrás llegado a la letra pensada por el espectador. Si dicha letra es roja, el espectador ha mentido; si es negra, ha dicho la verdad. Observa también que es indiferente el orden en que se realicen las preguntas: siempre se llega al mismo punto. EJEMPLO. Supongamos que el espectador decide mentir y elige la letra A. Sólo contestará SÍ a la pregunta verde. Al recorrer la arista verde, se llega a la letra A roja, como era de esperar. Si hubiera elegido decir la verdad, habría contestado afirmativamente a las preguntas roja, azul y amarilla. El recorrido por estas tres aristas nos lleva a la letra A azul. EXPLICACIÓN. Se observa que el hipercubo de la figura tiene 16 vértices, los cuales están unidos por 8 aristas de color rojo (primera dimensión), 8 aristas de color azul (segunda dimensión), 8 aristas de color amarillo (tercera dimensión) y 8 aristas de color verde (cuarta dimensión). De este modo, en cada vértice confluyen 4 aristas, una de cada color. Si se etiquetan los vértices con las letras adecuadas, se consigue que todos los recorridos que pueden hacerse según las respuestas a las preguntas posibles tengan como punto final la letra adecuada. Observación final. Se puede hacer una adaptación del juego utilizando cartas, o números. Por ejemplo, la figura     es una representación esquemática del hipercubo y permite adivinar un número del uno al ocho, bajo las mismas condiciones del juego original. Las preguntas que debes hacer, en este caso, son las siguientes: Pregunta roja: ¿El número pensado es alguno de éstos: 1 - 2 - 3 - 4? Pregunta azul: ¿El número pensado es alguno de éstos: 1 - 2 - 5 - 6? Pregunta amarilla: ¿El número pensado es alguno de éstos: 1 - 3 - 5 - 7? Pregunta verde: ¿El número pensado es alguno de éstos: 2 - 3 - 6 - 7? En esta versión, en lugar de recorrer las aristas, el recorrido consistirá en atravesar las líneas del color correspondiente a las preguntas contestadas afirmativamente, siempre empezando por la carta del extremo inferior derecho. Para ello, hay que imaginar que la figura está unida por las aristas laterales, superior con inferior y derecha con izquierda. Si el recorrido acaba en una carta roja, el espectador ha estado mintiendo; si acaba en una carta negra, ha estado diciendo la verdad.

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892. 6. (Marzo 2008) Eiffel Icosa

Centro Joxe Mari Korta, UPV-EHU. Ver detalles del documento

Sábado, 01 de Marzo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

893. 4. (Julio 2007) En busca de la cuarta dimensión

Curso SCTM05, Universidad de La Laguna, 2005. Ver detalles del documento

Domingo, 01 de Julio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

894. 3. (Junio 2006) Paseo histórico-geométrico por un cuadro italiano del siglo XV

Universidad de Zaragoza. Ver detalles del documento

Jueves, 01 de Junio de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

895. 2. (Abril 2006) El Vientre de un Arquitecto

Curso SCTM04, Universidad de La Laguna, 2004 (y Paseo por la Geometría 2004). Ver detalles del documento

Sábado, 01 de Abril de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

896. 1. (Diciembre 2005) Un paseo por el siglo XX de la mano de Fermat y Picasso

Consejo Social UCM, 2001. Ver detalles del documento: Parte I y Parte II

Jueves, 01 de Diciembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

897. 12. (Marzo 2009) Topología Musical (1)

Buscando El Modelo Nadie duda hoy en día de la extraordinaria eficacia de las Matemáticas para resolver los más variados, complejos y difíciles problemas. Pero para poder aplicar las sofisticadas y potentes herramientas matemáticas se precisa un modelo de la realidad que se desea analizar, un modelo que conserve las características que determinan la naturaleza del fenómeno o estructura a estudiar. En el caso de la Música, desde Pitágoras, los matemáticos de todas las épocas han buscado la forma de aproximarse a ese modelo. La tecnología necesaria para grabar y reproducir el sonido ha contribuido, indudablemente, al conocimiento profundo de las características sonoras fundamentales. Sin embargo, el análisis de una estructura musical suele ser bastante diferente del análisis de los sonidos que la componen. Nos interesa más la relación entre los distintos sonidos que la naturaleza de los mismos. Actualmente, la búsqueda de modelos matemáticos que reflejen las estructuras musicales sigue siendo una aventura que enciende pasiones y controversias. En la siguiente imagen podemos ver el anuncio del programa de un seminario permanente, MaMuX, cuyo objetivo es precisamente reunir y discutir las nuevas aportaciones que vayan surgiendo en la milenaria relación entre música y matemáticas. Teoría matemática del ritmo En 2002, el matemático Godfried Toussaint desarrolla una investigación de los ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas, matriciales y combinatorias. Esto permite el análisis, visualización y reconocimiento de ritmos. Toussaint continúa trabajando, en la actualidad, en el Centro de Investigación Interdisciplinaria de Medios de Música y Tecnología (Centre for Interdisciplinary Research in Music Media and Technology) de la universidad McGill en Canadá. En el año 2005, en su sección “La Columna de Matemática Computacional” de La Gaceta de la RSME (Vol. 8.2), Tomás Recio recoge un artículo firmado por José-Miguel Díaz-Báñez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaporty y Godfried T. Toussaint, con el título Similaridad y evolución en la rítmica del flamenco: una incursión de la matemática computacional. Los resultados de ese artículo fueron obtenidos durante el First Interna­tional Workshop on Computational Music Theory celebrado bajo el auspicio del Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Universitaria de Informática (U.P.M.) en junio de 2003. El artículo es enormemente esclarecedor sobre la metodología seguida para la creación de un modelo matemático de una parte del mundo musical. A continuación reproducimos un resumen del mismo. Introducción Usaremos la palabra ritmo en su sentido general (contrapuesto a los conceptos de altura y timbre), patrón rítmico para su sentido específico (sucesión de tiempos en que se atacan las notas) y compás como sinónimo de metro musical. Muchos estilos musicales se caracterizan por la presencia de ciertos patrones rítmicos que se repiten a lo largo de la pieza y que tienen muchas funciones tales como ser estabilizadores rítmicos, marcar el fraseo, definir el carácter, definir el género, etc. Ejemplos de tales patrones rítmicos, llamados claves en la tradición africana y otras, abundan en estilos musicales tan dispares como el son cubano, el gahu de Ghana o el fandango del flamenco. Muchas preguntas surgen en torno a estos patrones rítmicos que funcionan como elementos estructurantes: ¿qué características tienen esos patrones rítmicos para determinar ciertos estilos musicales?, ¿qué similaridad podemos encontrar entre esos patrones rítmicos? Entonces una pregunta previa: ¿qué medida de similaridad podemos definir entre patrones rítmicos? ¿Puede ser una medida en el sentido matemático? Muchas de estas preguntas han encontrado respuestas en los trabajos de diversos autores, tanto para las claves binarias y ternarias de géneros musicales pertenecientes a las tradiciones africanas, afrocubanas y brasileñas, como para la música flamenca o como para la preferencia rítmica y otros problemas. Nosotros vamos a ocuparnos aquí del caso del flamenco. La idea de este estudio consiste en construir un análisis que refleje ciertas relaciones entre los estilos flamencos. Indudablemente, hay muchos aspectos en que dichas relaciones podían basarse, dada la riqueza estilística del flamenco. Nosotros nos hemos centrado en el ritmo porque, entre los muchos factores musicales que constituyen el flamenco, sin duda, es de los más sobresalientes. Una manera sencilla de llevar a cabo este análisis sería la de desnudar la música flamenca de letra, armonía y melodía y dejar sólo el ritmo (en su sentido general) como único elemento. Esta simplificación no se basa sólo en la sencillez de análisis, sino que también es consecuencia de las dificultades para formalizar la armonía y sobre todo la melodía. Además, es lógico pensar en el ritmo a la hora de simplificar el estilo por el papel de estabilizadores rítmicos que desempeñan los patrones rítmicos en los distintos cantes flamencos. Apoyándonos en esta idea, hemos realizado un estudio de los patrones rítmicos ternarios de palmas del flamenco. Este estudio está inspirado en el análisis filogenético que se usa habitualmente en Biología. Ese análisis requiere la existencia de una distancia, que está definida sobre el material genético. Normalmente, la distancia consiste en medir cuán diferentes son dos materiales genéticos dados. La distancia da lugar a su vez a una matriz de distancias. A partir de ésta, y gracias a técnicas de Bioinformática, se reconstruye un árbol que refleja las relaciones evolutivas entre especies. Nosotros sustituiremos el código genético por ritmos y, en primer lugar, definiremos una distancia entre patrones rítmicos. Existen varias distancias que se pueden usar para medir cuán lejos se encuentran dos patrones rítmicos. Nosotros hemos usado dos distancias, la cronotónica y la de permutación dirigida, que captan adecuadamente la idea de lejanía entre patrones rítmicos. Por último, aplicando las herramientas adecuadas obtenemos el árbol filogenético para los patrones rítmicos del flamenco. Algunas nociones sobre los ritmos flamencos Si existe una clara seña de identidad del flamenco con respecto a otras músicas, ésta es la ejecución de los ritmos con palmas, donde el patrón rítmico subyacente se manifiesta a través de palmas acentuadas. El flamenco usa predominantemente compases ternarios de 12/8, esto es, compases de 12 pulsos agrupados en grupos de tres. En principio, se tocan las 12 palmas que marca el compás de 12/8 y el patrón rítmico emerge acentuando unas cuantas. En el fandango, por ejemplo, se da un acento (palmada fuerte) seguido de dos silencios (palmada débil) cuatro veces seguidas. Puede verse aquí, a la luz de las definiciones dadas en la introducción, la íntima relación que hay en la música flamenca entre patrón rítmico (ritmo en su sentido restringido) y compás. De hecho, es habitual en el mundo flamenco hablar de “compás” en lugar de patrón rítmico. Además de este patrón, que podemos llamar periódico, existen otros aperiódicos, llamados de amalgama. Estos patrones rítmicos se pueden pensar como una combinación de un compás de 3/4 (compuesto por dos acentos fuertes con dos acentos débiles intercalados) y un compás de 6/8 (compuesto por tres acentos fuertes con un acento débil intercalado). Claro es entonces que el juego rítmico reside en la distribución de los acentos y buena parte del atractivo del flamenco descansa en esa distribución. Patrones rítmicos de amalgama son los utilizados en las soleares, las bulerías, las alegrías, las seguiriyas o las guajiras. A continuación detallamos los patrones rítmicos ternarios del flamenco y alguna de sus posibles notaciones o representaciones. La notación que habitualmente se usa en la didáctica del flamenco es numérica, resaltando los lugares donde se produce un acento. Fandango: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Soleá: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Bulería: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Seguiriya: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Guajira: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Cada patrón rítmico ha sido etiquetado por un estilo de cante que lo usa. Esto no significa ni mucho menos que cada patrón rítmico sea exclusivo de ese cante. Por ejemplo, el patrón del fandango es el de las sevillanas; el de la soleá se usa también para las bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulerías por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras. La representación numérica anterior no resulta útil para contabilizar diferencias ni visualizar ciertas propiedades geométricas en las que estamos interesados. Proponemos aquí dos notaciones más ilustrativas como aparecen en las siguientes figuras. La primera presenta la notación binaria donde los espacios negros-blancos se identifican con unos-ceros. En la representación como polígonos convexos de la siguiente figura, el “0” marca la posición en el tiempo en la cual comienza el patrón rítmico y los vértices indican dónde están los acentos. Medidas de similaridad rítmica Como advertimos en la introducción, para construir árboles filogenéticos es necesario contar con una distancia que mida la similaridad rítmica. La distancia debería comportarse de modo que cuanto mayor sea la distancia entre los patrones rítmicos, menor sea la similaridad rítmica. De hecho, este problema está relacionado con problemas de aproximación de patrones en la teoría de reconocimiento de formas. Nosotros usaremos dos distancias que han demostrado funcionar bien en otros estudios sobre el ritmo: la distancia de cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La idoneidad de una distancia u otra para el estudio de ritmos es un tema actual de investigación. La distancia cronotónica Consideremos el ritmo de la seguiriya, dado por [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]. En esta representación, las duraciones relativas de los intervalos de tiempo no se pueden observar fácilmente. En una visualización de ritmos vía histogramas los sucesos importantes, tales como el comienzo, el final y el ataque de las notas, se dibujan a lo largo del eje Y, lo que da como resultado el espectro de intervalos adyacentes del ritmo. En dicha representación la longitud relativa de los intervalos es claramente visible, pero se pierde la información temporal a lo largo del eje X. Para obtener una representación gráfica que posea las ventajas de ambos métodos, se puede usar el tiempo en ambas dimensiones. El resultado de esa unión se ilustra en la figura siguiente, que muestra los cinco patrones rítmicos del flamenco en notación cronotónica. Cada elemento temporal entre sucesos (intervalos) es ahora una caja y ambos ejes X e Y representan la longitud temporal del intervalo. Las uniones de los cuadrados representadas en la figura anterior se pueden ver como funciones rectilíneas monótonas del tiempo. Dada la representación cronotónica de dos ritmos, hay un gran número de formas de medir la disimilaridad. Aquí lo haremos por el área que queda entre ambas funciones. La matriz de distancias obtenida con esa distancia se muestra en la siguiente tabla. La distancia de permutación Aquí llamaremos permutación al intercambio de dos elementos adyacentes, es decir, al intercambio de un ‘uno’ y un ‘cero’ que son adyacentes en una cadena binaria. La distancia de permutación entre dos patrones rítmicos se define como el mínimo número de permutaciones que se necesitan para convertir un patrón rítmico en otro. Por ejemplo, el patrón X = [101011010101] puede convertirse en el patrón Y = [101101101010] con un mínimo de cuatro permutaciones, a saber, intercambiando la tercera, la quinta, la sexta y la séptima posición con los correspondientes silencios que van detrás de ellos. Desde el punto de vista musical es razonable usar esta distancia. El oído humano considera como próximos dos patrones rítmicos si el número de cambios entre acentos es pequeño y si tales cambios ocurren entre acentos adyacentes. Además, es interesante observar que el compás bulería resulta precisamente de la permutación de un uno y un cero en el compás soleá. Un ejemplo de esta distancia aplicada a patrones rítmicos del flamenco se ilustra en la siguiente figura, que muestra una distancia de permutación entre la seguiriya y el fandango igual a 4. Ciertos autores sugieren que ésa es la evolución natural entre ambos patrones rítmicos. Computación eficiente de la distancia de permutación Claramente, la distancia de permutación puede obtenerse calculándose todas las permutaciones posibles. Sin embargo, este método básico sería muy costoso para vectores n-dimensionales si n es un valor grande. Un algoritmo mucho más eficiente puede obtenerse si comparamos las distancias de las notas al origen. Lo describimos aquí brevemente. Primero hacemos un barrido de la sucesión binaria y almacenamos un vector con la información del lugar que ocupa cada acento. Por ejemplo, si consideramos: X = [ 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 ] Y = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ] entonces almacenamos: U = (u1, u2,..., u7) = (1, 3, 5, 6, 8, 10, 12) para X y V = (v1, v2,..., v7) = (1, 3, 4, 6, 7, 9, 11) para Y, respectivamente. De esta forma, la diferencia entre ui y vi es el número mínimo de permutaciones que tienen que realizarse para alinear ambos acentos. Por tanto, en general, la distancia de permutación entre dos conjuntos de U y V con k notas está dado por: Calcular U y V a partir de X e Y se puede hacer en tiempo lineal con un simple barrido. Por tanto, en tiempo O(n) podemos calcular dP(U, V), lo cual da como consecuencia una gran ganancia sobre el uso del algoritmo básico que considera todas las posibles permutaciones. El lector se debe estar preguntando a qué viene toda esta discusión sobre la reducción de la complejidad de O(n2) a O(n) cuando en el caso de los ritmos flamencos tenemos n = 12 y la cota cuadrática es computacionalmente aceptable. La razón es que la diferencia de la complejidad resulta crucial cuando estas distancias se pretenden usar en aplicaciones de recuperación de la información musical, donde hay que extraer piezas enteras de una base de datos en la que n puede ser muy grande. La distancia de permutación dirigida La distancia de permutación dirigida es una generalización de la distancia de permutación, pensada para tratar la comparación de patrones que no tienen el mismo número de acentos (unos). Por ejemplo, el fandango tiene cuatro acentos en lugar de cinco y, por tanto, esta generalización se hace necesaria. A continuación definimos formalmente esta distancia. Sean X e Y dos sucesiones binarias de longitud n que representan dos patrones. Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que X tiene más unos que Y . La distancia de permutación dirigida es el mínimo número de permutaciones necesarias para convertir X en Y bajo las siguientes condiciones: Cada “1” de X tiene que moverse a una posición “1” de Y. Todas las posiciones “1” de Y tienen que recibir al menos un “1” de X. Ningún “1” puede viajar a través de la frontera entre la posición cero y la n-ésima. Un ejemplo de esta distancia se ilustra en la siguiente figura, que muestra una distancia de permutación dirigida entre la seguiriya y el fandango igual a 4. La búsqueda de algoritmos eficientes de computación para la distancia de permutación dirigida se encuentra actualmente bajo investigación. En el caso que nos ocupa, se pueden realizar los cálculos a mano obteniendo la siguiente matriz de distancias. Árboles filogenéticos Con objeto de estudiar las posibles relaciones genealógicas entre los distintos patrones rítmicos, utilizaremos una técnica común en análisis filogenético que nos ayudará a analizar y visualizar el conjunto de datos obtenidos en la matriz de distancias. Esta técnica de análisis de datos se basa en la generación de los llamados árboles filogenéticos. Concretamente aquí hablaremos de la técnica llamada SplitsTree. La técnica está basada en un proceso iterativo de división y que da como resultado una inmersión de un grafo plano con la propiedad de que la distancia en el dibujo entre dos nodos refleja, tanto como es posible, la verdadera distancia entre los dos patrones rítmicos correspondientes en la matriz de distancias. Este método tiene además la buena propiedad de que produce un grafo y no un árbol cuando la estructura de proximidad subyacente no es intrínsecamente de tipo árbol. De hecho, si la estructura de árbol no coincide con los datos perfectamente, se introducen nuevos nodos con objeto de obtener un mejor ajuste. Pueden visualizarse estos nodos sin etiquetas en las dos siguientes figuras, que han sido calculados para la matriz de distancias de permutación dirigida y distancia cronotónica respectivamente. La interpretación del grafo obtenido es la siguiente. La suma de las longitudes de las aristas del camino más corto entre un patrón y otro es proporcional a la distancia real entre ellos. Los nuevos nodos incorporados (aparecen sin etiqueta) sugieren la existencia de patrones rítmicos “ancestrales” de donde los actuales podrían haber evolucionado. Las aristas se pueden dividir para formar paralelogramos, como se ve en el centro de la figura anterior. Los tamaños relativos de estos paralelogramos son proporcionales a su índice de aislamiento, que indica cuán significativas son las relaciones de agrupamiento en la matriz de distancias. La herramienta SplitsTree también calcula el índice de descomposición, una medida de la bondad del ajuste del grafo entero. El ajuste se obtiene dividiendo la suma de todas las distancias aproximadas en el grafo por la suma de todas las distancias originales en la matriz de distancias. En este caso obtenemos un sorprendente ajuste del 100%. A continuación, se describen los resultados obtenidos en el grafo SplitsTree para las dos distancias. El SplitsTree con la distancia cronotónica El grafo de la distancia cronotónica sugiere un agrupamiento en tres grupos. Uno está formado por el fandango y la seguiriya; el segundo, por la soleá y bulería; y el tercero, en solitario, la guajira. El compás bulería es el más “alejado” de todos con una suma de distancias igual a 40. En cambio, la guajira es el más similar a los demás con una suma igual a 26. Aparecen cuatro nodos sin etiquetas, esto es, de los que no corresponden a ninguno de los patrones rítmicos dados. El SplitsTree con la distancia de permutación dirigida El agrupamiento en el grafo de la distancia de permutación dirigida es ligeramente distinto al de la cronotónica. Un primer grupo lo componen soleá y bulería, otro central, guajira y fandango, mientras que seguiriya permanece en un tercer y solitario grupo. Los patrones rítmicos más similares a los otros son la guajira y el fandango, que empatan a 21. Es por esto que aparecen en el ‘centro’ del grafo. Aparecen dos nodos sin etiqueta, cerca de la guajira y el fandango. También es de destacar que seguiriya y bulería se encuentran en los extremos del grafo y son los patrones mas ‘alejados’ de los demás, con un total igual a 31 y 29, respectivamente. Propiedades geométricas de preferencia Una cuestión que suscita gran curiosidad entre los músicos es la de saber por qué ciertos tipos de ritmos se prefieren a otros en ciertas tradiciones musicales. Por ejemplo, en la tradición musical africana aparecen con mucha frecuencia patrones rítmicos asimétricos y sincopados (con acentos fuera de los pulsos). En un intento de caracterizar esas propiedades de preferencia desde un punto de vista geométrico se han introducido dos conceptos nuevos: la asimetría rítmica y el índice de contratiempo. En la siguiente tabla aparecen los datos de estas medidas para los patrones rítmicos del flamenco. Patrón rítmico Asimetría rítmica Contratiempo Fandango No 0 Soleá No 3 Bulería Sí 2 Seguiriya No 1 Guajira No 0 Se dice que un patrón rítmico tiene la propiedad de la asimetría rítmica si no contiene dos conjuntos de notas que dividan al patrón (dibujado en un círculo) en dos semicírculos. En la siguiente figura aparecen las diagonales divisorias que existen para los patrones rítmicos flamencos. (No aparece el fandango porque es totalmente simétrico.) Es interesante observar que de los cinco patrones, la bulería es el único que tiene la propiedad de la asimetría rítmica. Un detalle interesante es que, a diferencia del resto de los patrones, la bulería es el único que contiene intervalos de longitud 1, 2, 3 y 4. Los otros patrones sólo tienen intervalos de longitud 2 y 3. El índice de contratiempo de un patrón rítmico se define como el número de notas que posee en las posiciones 1, 5, 7, y 11. Estas posiciones resultan ser las no ocupadas si se consideran las posibles divisiones en espacios iguales del compás de 12/8 usando los divisores de 12 (distintos de 1 y 12). Aparte de la tabla de más arriba, en la figura anterior el índice de contratiempo de cada patrón rítmico se indica en la parte superior derecha de cada círculo. En nuestro caso, se observa que la guajira es el único patrón de 5 acentos con un índice de contratiempo igual a cero. La soleá es, por otra parte, el estilo flamenco con mayor índice de contratiempo. Conclusiones En primer lugar, observamos el hecho de que la guajira aparezca prácticamente en el centro de los patrones rítmicos ternarios indica su cercanía o similitud a los demás estilos. ¿Podría esto interpretarse como la huella de la influencia que han ejercido los otros estilos en dicho patrón rítmico? La guajira, como es sabido, es un estilo flamenco de los llamados de ida y vuelta, esto es, que fueron llevados a Sudamérica y, tras una remodelación según los gustos de los músicos sudamericanos, fueron posteriormente incorporados a la música flamenca. ¿Está probada musicalmente dicha influencia en los aspectos rítmicos que aquí tratamos? ¿Hasta qué punto? Teniendo en cuenta la ‘reciente’ incorporación de la guajira, y fijándonos en el árbol filogenético generado por la distancia de permutación dirigida, cabe pensar que el fandango es el más primitivo, dado que es el otro patrón rítmico que se encuentra en el centro. ¿Hay hechos musicológicos que confirman esta teoría, por otra parte, cada vez más extendida dentro del mundo del flamenco? Por ejemplo, en todas las provincias andaluzas se encuentra una modalidad evolucionada del fandango. Nos estamos refiriendo a los estilos de malagueñas, granaínas o tarantas etc. Un nuevo aspecto que volvería a indicar la importancia genealógica del fandango es la reconstrucción de los patrones rítmicos ancestrales citados en la construcción de los grafos con la herramienta SplitsTree y que allí aparecen sin etiqueta. Haciendo uso de la distancia de permutación dirigida, se puede obtener un hipotético patrón ancestral que se encuentra justo en el centro del árbol. Actualmente, es un problema abierto el diseño de algoritmos eficientes que reconstruyan los nodos ancestrales. En ocasiones, puede hacerse el cálculo a mano. Para el caso de patrones rítmicos flamencos con la distancia de permutación dirigida, la representación rítmica obtenida es [1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0], que de hecho, se usa en el flamenco como terminación o coletilla para los fandangos de Huelva. Por otra parte, si eliminamos la guajira de nuestro estudio, estilo que hemos dicho parece ser posterior a los demás en el flamenco, el fandango y la soleá son los nodos que juegan un papel central en el análisis filogenético (con respecto a la distancia de permutación dirigida). ¿Sugeriría esto que además del fandango aparece la soleá como patrón rítmico primitivo? ¿Se entendería entonces que, de estos patrones primitivos y, tras un proceso evolutivo, fueron apareciendo los demás? Un hecho que respaldaría esta hipótesis puede encontrarse en el reciente uso del patrón rítmico aquí llamado bulería, y que proviene de la soleá sin más que permutar un acento con un silencio. Por su parte, ya existen teorías que indican que la seguiriya es un estilo incorporado al flamenco a finales del siglo XIX y principios del XX. Finalmente, aventuraremos algunas hipótesis sobre las medidas de preferencia en el flamenco. Es conocida la inclinación de los flamencos llamados “puristas” por los estilos que usan el patrón de la soleá. ¿Podría residir la explicación de este hecho en su alto índice de contratiempo? Por otro lado, también es conocida la popularidad que goza la bulería entre el público flamenco en general. ¿Constituye la propiedad de la asimetría rítmica una posible explicación de ese hecho?

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898. 14. (Marzo 2008) El poder de las palabras

Este texto se publicó por primera vez en la Democratic Review (junio de 1845) y posteriormente en el Broadway Journal (octubre de 1845), del que Edgar Allan Poe era editor. Es el último de  tres diálogos (¿obras de teatro?) entre ángeles que aparecen en la obra de Poe: en La conversación de Eiros y Charmion (ver [2], pág. 193 a 196) aparecido en el Burton’s Gentlemen’s Magazine (diciembre de 1833) el fin del mundo provocado por el fuego es el argumento principal, y en El coloquio de Monos y Una (ver [2], pág. 197 a 202) publicado en el Graham’s Lady’s y Gentlemen’s Magazine (agosto de 1841), la muerte y el tiempo son los temas centrales. En El poder de las palabras tiene lugar un diálogo entre los ángeles Oinos y Agathos, tras la destrucción del mundo. Agathos, el ángel sabio, explica a Oinos los misterios del proceso creador: cualquier acto desencadena una infinitud de consecuencias, que a su vez originan otros resultados y así se entra en un proceso eterno de cambio… y sólo la capacidad matemática podría determinar los futuros efectos de una determinada acción. Éste es precisamente el poder de las palabras: las ondas emitidas por éstas al ser dichas con pasión pueden ser las responsables de las más increíbles creaciones (… Esta estrella tan extraña... hace tres siglos que, juntas las manos y arrasados los ojos, a los pies de mi amada, la hice nacer con mis frases apasionadas…). Puesto que el texto de este diálogo es corto, se transcribe completo, resaltando aquellas partes relacionadas con el conocimiento y las matemáticas. El poder de las palabras OINOS: Perdona, Agathos, la flaqueza de un espíritu al que acaban de brotarle las alas de la inmortalidad. AGATHOS: Nada has dicho, Oinos mío, que requiera ser perdonado. Ni siquiera aquí el conocimiento es cosa de intuición. En cuanto a la sabiduría, pide sin reserva a los ángeles que te sea concedida. OINOS: Pero yo imaginé que en esta existencia todo me sería dado a conocer al mismo tiempo, y que alcanzaría así la felicidad por conocerlo todo. AGATHOS: ¡Ah, la felicidad no está en el conocimiento, sino en su adquisición! La beatitud eterna consiste en saber más y más; pero saberlo todo sería la maldición de un demonio. OINOS: El Altísimo, ¿no lo sabe todo? AGATHOS: Eso (puesto que es el Muy Bienaventurado) debe ser aún la única cosa desconocida hasta para Él. OINOS: Sin embargo, puesto que nuestro saber aumenta de hora en hora, ¿no llegarán por fin a ser conocidas todas las cosas? AGATHOS: ¡Contempla las distancias abismales! Trata de hacer llegar tu mirada a la múltiple perspectiva de las estrellas, mientras erramos lentamente entre ellas... ¡Más allá, siempre más allá! Aun la visión espiritual, ¿no se ve detenida por las continuas paredes de oro del universo, las paredes constituidas por las miríadas de esos resplandecientes cuerpos que el mero número parece amalgamar en una unidad? OINOS: Claramente percibo que la infinitud de la materia no es un sueño. AGATHOS: No hay sueños en el Aidenn*, pero se susurra aquí que la única finalidad de esta infinitud de materia es la de proporcionar infinitas fuentes donde el alma pueda calmar la sed de saber que jamás se agotará en ella, ya que agotarla sería extinguir el alma misma. Interrógame, pues, Oinos mío, libremente y sin temor. ¡Ven!, dejaremos a nuestra izquierda la intensa armonía de las Pléyades, lanzándonos más allá del trono a las estrelladas praderas allende Orión, donde, en lugar de violetas, pensamientos y trinitarias, hallaremos macizos de soles triples y tricolores. OINOS: Y ahora, Agathos, mientras avanzamos, instrúyeme. ¡Háblame con los acentos familiares de la tierra! No he comprendido lo que acabas de insinuar sobre los modos o los procedimientos de aquello que, mientras éramos mortales, estábamos habituados a llamar Creación. ¿Quieres decir que el Creador no es Dios? AGATHOS: Quiero decir que la Deidad no crea. OINOS: ¡Explícate! AGATHOS: Solamente creó en el comienzo. Las aparentes criaturas que en el universo surgen ahora perpetuamente a la existencia sólo pueden ser consideradas como el resultado mediato o indirecto, no como el resultado directo o inmediato del poder creador divino. OINOS: Entre los hombres, Agathos mío, esta idea sería considerada altamente herética. AGATHOS: Entre los ángeles, Oinos mío, se sabe que es sencillamente la verdad. OINOS: Alcanzo a comprenderte hasta este punto: que ciertas operaciones de lo que denominamos Naturaleza o leyes naturales darán lugar, bajo ciertas condiciones, a aquello que tiene todas las apariencias de creación. Muy poco antes de la destrucción final de la tierra recuerdo que se habían efectuado afortunados experimentos, que algunos filósofos denominaron torpemente creación de animálculos. AGATHOS: Los casos de que hablas fueron ejemplos de creación secundaria, de la única especie de creación que hubo jamás desde que la primera palabra dio existencia a la primera ley. OINOS: Los mundos estrellados que surgen hora a hora en los cielos, procedentes de los abismos del no ser, ¿no son, Agathos, la obra inmediata de la mano del Rey? AGATHOS: Permíteme, Oinos, que trate de llevarte paso a paso a la concepción a que aludo. Bien sabes que, así como ningún pensamiento perece, todo acto determina infinitos resultados. Movíamos las manos, por ejemplo, cuando éramos moradores de la tierra, y al hacerlo hacíamos vibrar la atmósfera que las rodeaba. La vibración se extendía indefinidamente hasta impulsar cada partícula del aire de la tierra, que desde entonces y para siempre era animado por aquel único movimiento de la mano. Los matemáticos de nuestro globo conocían bien este hecho. Sometieron a cálculos exactos los efectos producidos por el fluido por impulsos especiales, hasta que les fue fácil determinar en qué preciso período un impulso de determinada extensión rodearía el globo, influyendo (para siempre) en cada átomo de la atmósfera circundante. Retrogradando, no tuvieron dificultad en determinar el valor del impulso original partiendo de un efecto dado bajo condiciones determinadas. Ahora bien, los matemáticos que vieron que los resultados de cualquier impulso dado eran interminables, y que una parte de dichos resultados podía medirse gracias al análisis algebraico, así como que la retrogradación no ofrecía dificultad, vieron al mismo tiempo que este análisis poseía en sí mismo la capacidad de un avance indefinido; que no existían límites concebibles a su avance y aplicabilidad, salvo en el intelecto de aquel que lo hacía avanzar o lo aplicaba. Pero en este punto nuestros matemáticos se detuvieron. OINOS: ¿Y por qué, Agathos, hubieran debido continuar? AGATHOS: Porque había, más allá, consideraciones del más profundo interés. De lo que sabían era posible deducir que un ser de una inteligencia infinita, para quien la perfección del análisis algebraico no guardara secretos, podría seguir sin dificultad cada impulso dado al aire, y al éter a través del aire, hasta sus remotas consecuencias en las épocas más infinitamente remotas. Puede, ciertamente, demostrarse que cada uno de estos impulsos dados al aire influyen sobre cada cosa individual existente en el universo, y ese ser de infinita inteligencia que hemos imaginado, podría seguir las remotas ondulaciones del impulso, seguirlo hacia arriba y adelante en sus influencias sobre todas las partículas de toda la materia, hacia arriba y adelante, para siempre en sus modificaciones de las formas antiguas; o, en otras palabras, en sus nuevas creaciones... hasta que lo encontrara, regresando como un reflejo, después de haber chocado -pero esta vez sin influir- en el trono de la Divinidad. Y no sólo podría hacer eso un ser semejante, sino que en cualquier época, dado un cierto resultado (supongamos que se ofreciera a su análisis uno de esos innumerables cometas), no tendría dificultad en determinar, por retrogradación analítica, a qué impulso original se debía. Este poder de retrogradación en su plenitud y perfección absolutas, esta facultad de relacionar en cualquier época, cualquier efecto a cualquier causa, es por supuesto prerrogativa única de la Divinidad; pero en sus restantes y múltiples grados, inferiores a la perfección absoluta, ese mismo poder es ejercido por todas las huestes de las inteligencias angélicas.  OINOS: Pero tú hablas tan sólo de impulsos en el aire. AGATHOS: Al hablar del aire me refería meramente a la tierra, pero mi afirmación general se refiere a los impulsos en el éter, que, al penetrar, y ser el único que penetra todo el espacio, es así el gran medio de la creación. OINOS: Entonces, ¿todo movimiento, de cualquier naturaleza, crea? AGATHOS: Así debe ser; pero una filosofía verdadera ha enseñado hace mucho que la fuente de todo movimiento es el pensamiento, y que la fuente de todo pensamiento es... OINOS: Dios. AGATHOS: Te he hablado, Oinos, como a una criatura de la hermosa tierra que pereció hace poco, de impulsos sobre la atmósfera de esa tierra. OINOS: Sí. AGATHOS: Y mientras así hablaba, ¿no cruzó por tu mente algún pensamiento sobre el poder físico de las palabras? Cada palabra, ¿no es un impulso en el aire? OINOS: ¿Pero por qué lloras, Agathos... y por qué, por qué tus alas se pliegan mientras nos cernimos sobre esa hermosa estrella, la más verde y, sin embargo, la más terrible que hemos encontrado en nuestro vuelo? Sus brillantes flores parecen un sueño de hadas... pero sus fieros volcanes semejan las pasiones de un turbulento corazón. AGATHOS: ¡Y así es... así es! Esta estrella tan extraña... hace tres siglos que, juntas las manos y arrasados los ojos, a los pies de mi amada, la hice nacer con mis frases apasionadas. ¡Sus brillantes flores son mis más queridos sueños no realizados, y sus furiosos volcanes son las pasiones del más turbulento e impío corazón! * Edén, en una forma caprichosa propia de Poe (N. del T.) Nota: En la siguiente cita (ver [1]) del ensayista, crítico y periodista Arthur Clutton-Brock (1868-1924), el autor rechaza la mala reputación como escritor de Poe, citando en particular esta obra: “Yet The Power of Words is worth all his famous stories, including even The Gold Beetle, or The Mystery of Marie Roget; it is one of the most wonderful pieces of prose in the English language, both for manner and for matter, and, if it were the first thing of Poe's one read, one would rush to the rest of his prose expecting to find a writer of the highest rank”. Referencias [1] A. Clutton-Brock, Edgar Allan Poe en More Essays on Books, Methuen & Co., pág. 109 – 119, 1921. Puede descargarse el libro completo en formato pdf desde la Librería Digital Internet Archive.  [2] E. A. Poe, Cuentos cortos completos (traducidos por Julio Cortázar), Alianza Editorial S.A., 2002. Puede descargarse en formato pdf.

Sábado, 01 de Marzo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

899. 10. (Noviembre 2007) Teatro booleano, de François Le Lionnais

“El teatro booleano ofrece innumerables posibilidades. Teatro de intersección: la escena se divide en tres partes como las mansiones de la Edad Media. Se representan dos obras diferentes en el sector situado a la izquierda, A, y en el sector a la ubicado a la derecha, C, respectivamente. Estas dos zonas pueden representar tanto interiores como exteriores. El sector intermedio, B, representa un exterior. Comunica con A y C, como podría suceder en el caso de una plaza pública sobre la que desembocan varias casas particulares. Algunos protagonistas de A pueden ir a B, pero no a C; y los actores de C pueden ir a B, pero no al sector A. Dos obras, cuyas tramas y personajes son independientes, se representan simultáneamente en A y en C. Algunos protagonistas de A y C pueden encontrarse en B y dar origen a una tercera obra absolutamente diferente de las otras dos. Teatro de unión: una única escena con equipamiento y mobiliario muy estudiados. Dos obras A y B  completamente independientes y totalmente diferentes se representan al mismo tiempo y en el mismo lugar. La mayor parte del tiempo, actores de la obra A se ven forzados a hablar al mismo tiempo que conversan protagonistas de la obra B, los unos y los otros ignorándose  completamente, la actuación de los unos desarrollándose como si los otros no existieran. Esto supone no solamente textos muy estudiados, sino también movimientos y desplazamientos bien preparados en sus menores detalles, como la ocupación de las sillas, la utilización de las puertas y las intensidades de las entonaciones de los actores. Especialistas teatrales y escenógrafos me han asegurado que era posible. Sobre esta base se puede imaginar un gran número de combinaciones: una obra cómica al mismo tiempo que una tragedia, obras complementarias o paralelas, etc.; y, eventualmente, una intersección de dos obras en el último minuto.” · El anterior texto es la traducción al castellano de esta breve contribución de François Le Lionnais sobre teatro booleano, que aparece en el libro mencionado a pie de página1. François le Lionnais (1901-1984) es, junto a Raymond Queneau, uno de los fundadores del movimiento OULIPO, cuyo sitio oficial puede encontrarse en http://www.oulipo.net/. 1Oulipo, La littérature potentielle, Gallimard, 1973, 263-264.

Jueves, 01 de Noviembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

900. 9. (Octubre 2007) Partición, de Ira Hauptman

Esta obra de teatro en dos actos cuenta con seis personajes: el genial matemático hindú Srinivasa Ramanujan (1887-1920), el profesor de la Universidad de Cambridge Godfrey Harold Hardy (1877-1947), la Diosa hindú Namagiri de Namakkal; Alfred Billington, un colega (¿ficticio?) de Hardy en la Universidad de Cambridge, el fantasma del matemático francés Pierre Fermat (1601-1665) y un oficial de policía de Scotland Yard. La acción tiene lugar en Cambridge entre 1913 y 1920.   El título se refiere en primer lugar a la teoría matemática de las particiones de números, en la que Hardy y Ramanujan colaboraron. Pero también alude a las particiones (en el sentido de antagonismo) de temperamento, de cultura y de método matemático, que distancian irremediablemente a estos dos personajes. La obra comienza en 1918, con una escena en Scotland Yard, donde un oficial de policía interroga a Ramanujan que ha intentado suicidarse tirándose a las vías del tren: el joven matemático dice que debe morir porque ha bebido, sin darse cuenta, Ovaltine que contiene rastros de productos animales y, por lo tanto, está contaminado. Hardy consigue que no le encarcelen, al decir al policía que Ramanujan es miembro de la Royal Society. En la siguiente escena, ya en 1913, Hardy y Billington discuten sobre una carta que Ramanujan le ha enviado junto con algunos cuadernos que contienen varias increíbles fórmulas matemáticas. Intrigado por los brillantes resultados del joven autodidacta hindú, Hardy decide invitarle a Cambridge para conocer cual es su método de trabajo. Ramanujan, un simple empleado de correos sin formación universitaria y perteneciente a una de las castas más bajas de la India, llega a Inglaterra desde Madrás en 1913, para trabajar con su admirado profesor. Nada más conocerse, los dos personajes perciben el abismo que los separa: Hardy es ateo, seguro de sí mismo, independiente, fiel a la lógica racional y acérrimo defensor del método deductivo, mientras que Ramanujan es religioso, introvertido, leal a su mística intuición y sostiene que sus resultados matemáticos le son concedidos por la diosa Namagiri durante el sueño. En vez de colaborar, desde el principio Hardy intenta inculcar a Ramanujan el rigor científico occidental, basado en las demostraciones: quiere hacer del él un matemático completo. Pero el genio hindú no consigue entender lo que el profesor quiere explicarle: Ramanujan sabe que sus fórmulas son ciertas (su diosa familiar se las dicta en sueños), pero no consigue demostrar su validez. En una dramática escena, en la que un Hardy exasperado intenta convencer a Ramanujan de la necesidad de demostrar sus resultados para confirmarlos, el joven hindú afirma que las matemáticas se descubren en contra de la opinión del profesor que segura que se deducen. Se produce el primer gran enfrentamiento entre los dos matemáticos, que durante toda la obra rivalizan y se obsesionan por no estar a la altura del otro. En la obra, Hardy propone a Ramanujan el intentar buscar la solución del Último Teorema de Fermat, aunque este hecho es ficticio. Ramanujan se obsesiona con este problema y pide ayuda a la diosa Namagiri, que conversa con el espectro de Fermat para intentar complacer a su protegido. Fermat, que hace varias apariciones a lo largo de la obra y con su arrogancia aporta una nota cómica, confiesa a Namagiri que no recuerda la demostración de su teorema, de hecho admite que ni siquiera sabe si alguna vez había escrito una prueba. Aunque Hardy está también entusiasmado por encontrar una solución al problema de Fermat, la guerra estalla en Europa y su espíritu pacifista le hace dejar en un segundo plano las matemáticas para dedicarse  a la política. Ramanujan se siente abandonado, se obsesiona cada vez más en su búsqueda de solución y acaba enfermando. Gracias a la intervención de Billington, Hardy se da cuenta de que no ha conseguido ser un buen mentor para Ramanujan, que finalmente regresa a su país para intentar recuperarse, aunque muere al poco tiempo de una tuberculosis. En el final de la obra, un Hardy emocionado habla ante los miembros de la London Mathematical Society sobre la figura de su admirado y ya desaparecido Ramanujan. La obra está salpicada de pequeños apuntes matemáticos: el propio Fermat explica su famosa conjetura y se burla de los fallidos intentos por demostrarla, Ramanujan explica a Billington lo que es una partición de números, etc. Cuando casi al final de la obra Hardy visita a Ramanujan en el hospital (en ese momento el joven anuncia ilusionado al profesor que la teoría de formas modulares de Poincaré podría ayudar en la resolución del problema de Fermat) hay una simpática escena en la que Hardy comenta que ha llegado en el taxi número 1.729, e inmediatamente Ramanujan se da cuenta de que 1.729 es el menor entero positivo que puede expresarse como una suma de dos cubos de dos maneras diferentes (1.729=103+93=123+13). El autor de esta pieza de teatro es el americano Ira Hauptman, diplomado en la Harvard University y en la Yale School of Drama. Hauptman escribe regularmente artículos ligados al teatro y críticas de cine o de poesía en diferentes revistas y enseña teatro en la Queens University en Nueva York. El autor utilizó como referencia la obra tardía de Hardy, Apología de un matemático, en la que el matemático da una visión nostálgica y crítica de toda su carrera. Partition fue estrenada en 2003 en el Aurora Theatre de Berkeley (California). La obra se representó en 2004 en lengua francesa en el  Théâtre du Rideau de Bruxelles,  con la colaboración del matemático Luc Lemaire de l’Université Libre de Bruxelles, que fue quien propuso su traducción y escenificación.  Se representó también a finales de 2004 la versión hindú eNNangaL en el Margazhi Drama Festival organizado por el San Francisco Bay Area Tamil Mandram en San José (California). Otras muchas representaciones y lecturas del libreto se han realizado con posterioridad. Referencias I. Hauptman, Partition, Libreto de la obra (en inglés) que puede adquirirse en Playscripts Inc. K.A. Ribet, Theater Review: a Play by Ira Hauptman, Notices AMS Vol 50, núm. 11, 1407-1408, diciembre 2003. The Berkeley Daily Planet, ‘Partition’ Plays with History to Create Drama, mayo 2003. C. Anné, Mathématiques et Théâtre (Interview avec Luc Lemaire), Gazette de la SMF 104, 83-86, abril 2005. Lectura de Partition organizada por la Société Mathématique de France, mayo 2005. Dossier pédagogique de la representación en el Théâtre du Rideau de Bruxelles.

Lunes, 01 de Octubre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico