911. 36. (Mayo 2008) RELIGION, ordine mathematica demonstrata (2ª parte)

Un Dios tautológico Dios es inconsciente. Jacques Lacan En la primera parte de este trabajo hemos trazado una suerte de analogía entre aspectos generales de la Religión y la Matemática. En lo que sigue esbozaremos algunas conexiones más específicas, referidas a ciertos contenidos de la Religión que pueden presentar alguna clase de correlato matemático. Comenzaremos por introducir una de las nociones fundamentales de la Lógica: la tautología, denominación que el lenguaje común reserva para las verdades de Perogrullo tales como: Mi abuelo es mi abuelo. Llueve o no llueve. Se trata de verdaderas verdades que no dicen nada, pero han dado tema de conversación a lógicos y lingüistas, y permitieron que Bertrand Russell deleitara a su público con uno de sus más famosos dichos: la Matemática es una vasta tautología. El asunto es que para los logicistas la noción de tautología es bastante más amplia que para el lenguaje informal, lo que lleva a concluir que en el fondo cualquier demostración es tautológica. No importa si el resultado final está muy lejos de ser una verdad de Perogrullo; desde el momento en que se sigue necesariamente de los axiomas, su validez no es mayor que la de llueve o no llueve. Claro que este teorema pluvial es a todas luces más simple; un enunciado elaborado como el de Pitágoras sólo puede derivarse después de un gran número de pasos, como ocurre en esas concatenaciones de silogismos tan típicas, por ejemplo, en las explicaciones de Sherlock Holmes. La frase de Russell convierte a todo teorema en un encadenamiento más o menos largo de tonteras, sin que ello signifique que su logicista autor creyese que la Matemática se compone de verdaderas verdades que no dicen nada1. Pero el más elevado ejemplo de tautología es, sin duda: Ehié asher ehié. Esta singular frase se lee: Soy el que soy. ¿Una verdad de Perogrullo? Creamos o no en Dios, debemos admitir que ciertamente es el que es, aunque a ninguno de los estudiosos se le ocurriría pensar que esta frase no dice nada. El Dios de la Biblia es un Dios tautológico; nada lo define mejor que la tautología, o más bien: nada lo define excepto la tautología, como si para hablar de la Matemática nos viéramos forzados a decir que La Matemática es la Matemática, o acaso Es Matemática aquello que no es no-Matemática. La definición tautológica es la única que garantiza la necesidad de Dios; cualquier otra marcaría un límite a su perfección. Este argumento ha sido usado para mostrar algunos de sus atributos, como el de ser infinito e indivisible. No debe extrañar que tales atributos se encuentren siempre expresados en forma negativa: de un ser perfecto, sólo puede decirse lo que no es. El lenguaje, imperfecto, no puede de-finir (de-limitar) a Dios: por eso la tautología. Una recta es una recta es una recta es una recta2. Imagen y Semejanza Si los triángulos hablasen, dirían que Dios tiene forma de triángulo. (B. de Spinoza) En la primera parte de este trabajo hemos comparado al texto bíblico con el matemático, y hemos mencionado el hecho de que, a diferencia de otros textos, se encuentran ambos prácticamente despojados de retórica. Sin embargo, podemos decir que en realidad se trata de textos sumamente retóricos, aunque su esencia los ha dotado de una retórica mucho más profunda que la de un simple engalanamiento. Vamos a ilustrarlo con una figura bien conocida: la metáfora. La metáfora se clasifica dentro de los tropos, figuras de desplazamiento. Esto es bien claro cuando el poeta, en un repentino arranque de atontada inspiración, escribe “blancas perlas” para referirse a los dientes de su amada. Hay metáforas de varios tipos: por un lado, la sustitución A = B en donde se reemplaza simplemente un significado por otro, o sino A es B y también A como B. Esta última forma no es otra cosa que una comparación, aunque en su versión abstracta no se la ve tan odiosa como se dice que son. Esto provocó, vale la pena comentarlo, que alguien dotado de espíritu matemático acuñase la frase: “ser odioso como una comparación”. Cabe notar que, a diferencia de las otras dos, en la primera forma no aparecen explícitamente los dos términos del desplazamiento. Aun así, el elemento que se omite es al menos expresable; en cambio, podemos decir que el modo más acabado de metáfora desplaza a un significado que el lenguaje no puede siquiera enunciar: el de Dios. Al hecho antes observado de que su definición debe ser negativa o tautológica se le suma este otro, la imposibilidad de expresarlo más que en forma metafórica. En la Matemática, algo similar ocurre con cualquier número irracional, por ejemplo 3,141592653... al que se puede dar un nombre muy bonito como π, pero nunca escribir por completo. Esto se debe a que sus cifras son infinitas y no periódicas; en ese sentido, un número tal no es “decible”, y sólo se lo puede expresar como un límite3. Cabe observar que también los irracionales se definen en forma negativa, como aquellos números que no son racionales. Los números reales, unión de los racionales con los irracionales, consienten en cambio una definición positiva muy sencilla. Aunque en realidad, con un poco de trabajo puede encontrarse una definición positiva para los irracionales. En definitiva, lo mismo ocurre con la noción de conjunto infinito, que no sólo puede pensarse como aquel conjunto que no es finito, sino también como aquel capaz de coordinarse con algún subconjunto propio (es decir, distinto de todo el conjunto). Esto nos lleva a concluir que la idea de Dios expresa mucho más que una mera infinitud matemática… Merece un comentario aparte el hecho “provocador” de que la cantidad de irracionales sea mayor que la de racionales; tanto que no existen suficientes combinaciones de letras y palabras en el lenguaje para nombrar de un modo diferente a cada irracional. La cuestión es la siguiente: el más pequeño de los infinitos es el infinito llamado numerable, caracterizado por aquellos conjuntos que pueden escribirse como una sucesión. El caso más “evidente” es el de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Puede verse fácilmente que también los números racionales (cocientes de enteros) se escriben en forma de sucesión; de esta manera, forman un conjunto numerable. En cambio, la famosa demostración diagonal de Cantor permite ver que los números reales no son numerables, y en consecuencia tampoco lo son los irracionales, ya que la unión de dos conjuntos numerables es numerable (¡basta con intercalar las secuencias!). Pero ahora podemos pensar en esa idea reflejada en aquel cuento de Borges, La Biblioteca de Babel. En realidad, es una idea extraída de la Cábala: se trata de formar todo lo que el lenguaje puede formar, de construir la combinatoria infinita de sus letras. Las letras forman palabras, y las palabras oraciones, aunque para simplificar podemos pensar que cualquier producción del lenguaje no es otra cosa que una secuencia más o menos larga de letras4. No hay secuencias infinitas, aunque sí infinitas secuencias: tal es la diversidad de frases -de cualquier longitud- que pueden formarse. Como sea, estas secuencias admiten un orden: podemos primero ordenarlas por longitud y luego alfabéticamente las secuencias de igual longitud. Vemos entonces que tan minucioso afán determina una sucesión: primero desfilan las finitas secuencias de longitud 1, luego las de longitud 2 (también finitas), luego las de longitud 3, etc.: a, b, c, ..., z, aa, ab, ac, ... , zz, aaa, aab, ..., zzz, aaaa, ... Según dijimos, la sucesión da cuenta del infinito numerable; este hecho, junto con la observación anterior, nos dan por fin la prueba del hecho antes mencionado: el lenguaje usual es insuficiente para dar un nombre diferente a cada número irracional. Podemos nombrar a muchos, una infinidad de ellos; podemos tomar un número cualquiera y ponerle un nombre. Pero no podemos poner un nombre distinto a cada uno. Esta limitación del lenguaje explica muy bien el carácter impronunciable del Nombre de Dios, cuya inaccesibilidad se pone de manifiesto en diversos pasajes de la Biblia. A propósito de π, está escrito: E hizo el mar de fundición, que tenía diez codos de diámetro, de un borde al otro, enteramente redondo, y cinco codos de alto; y un cordón de treinta codos le daba la vuelta en derredor5. A menos que se esté hablando de codos de personas diferentes, todo parece indicar que se le asigna a π el valor 3… aunque la interpretación de los sabios nos va a deparar una interesante sorpresa. Según la tradición, la Biblia admite cuatro formas de lectura: Pshat, o “literal”, que viene de Pashut: simple, tonto. Remez, o “alegórica”. Drash, que viene de Lidrosh, “exigir” (al texto). Sod, o “secreto”. Juntas, estas cuatro formas conforman el PaRDéS o “prado”, de donde también se deriva la palabra PaRaDiSo6. Todas ellas son importantes, desde la simple hasta la secreta, y cada una tiene sus diferentes técnicas: por ejemplo, para el Drash (cuyo ejercicio promovió el afán interpretativo que se manifiesta en aquella parte del Talmud denominada Midrash) existen trece rigurosas reglas lógicas que conforman una verdadera axiomática: Rabi Ishmael dice: la Torá se interpreta mediante trece reglas: (1) Una conclusión derivada de una premisa menor o una condición más indulgente a una más importante o estricta, y viceversa (...) El “estilo matemático” se mantiene hasta la última de las reglas: (13) Cuando dos pasajes bíblicos se contradigan entre sí, el significado podrá determinarse mediante un tercer texto bíblico que los reconcilie. Volvamos al punto: aplicando un poco de Remez al pasaje en el que la Torá habla de p, los estudiosos han podido encontrar un valor más exacto: 3,14159265... Pasemos ahora al tema de la representación, vinculado al complicado problema de la imagen. En efecto, la creación del hombre a imagen y semejanza de Dios es difícil de entender, pues ¿cómo se puede crear un ser a imagen y semejanza de quien no tiene imagen? La tradición explica esta dificultad de diferentes formas; incluso existen versiones que refieren a la confección inicial del Adam Kadmon, un hermafrodita que sirvió de modelo para la posterior creación de Adán y Eva. Tal idea se sostiene en un llamativo desliz del texto bíblico, en su primer capítulo, que parece contradecir la posterior historia de la costilla: Y creó Dios al hombre a Su imagen, a imagen de Dios  lo creó: varón y hembra los creó.7 Existen numerosas explicaciones de tan intrincada cuestión; como sea, Dios no tiene imagen y toda alusión bíblica a algún rasgo humano se debe únicamente a la finalidad de transmisión. De otra forma, al hombre le costaría entender cómo Dios habla y no tiene boca, o como no tiene ojos y ve8. Algo similar ocurre en la Matemática. El dibujo que hacemos de un triángulo, por ejemplo, no es el triángulo; es como una metáfora del triángulo, a su imagen y semejanza, que sirve para reforzar nuestro entendimiento. Pero el triángulo no tiene imagen; cualquier representación del triángulo es como el becerro de oro. Eso puede llevarnos a imaginar a un furioso Euclides bajando del monte y haciendo añicos las “tablas” de sus postulados ante nuestra pizarra; sin embargo, la Matemática acepta esta especie de idolatría (por la cual Platón se negó a considerarla verdadera epistéme), pues ayuda a comprender mejor las nociones abstractas. Es más que unaayuda: muchas veces un simple dibujo puede inspirarnos el enunciado de algún teorema, al que con un poco de buena fortuna los postulados permitirán demostrar en forma rigurosa. Pero conviene observar que tal servicio que se le brinda a la intuición puede transformarse en unaauténtica ayuda en su contra, haciéndonos extraer conclusiones erróneas a partir de un dibujo... ...no menos astuto y burlador que poderoso, que ha puesto su industria toda en engañarnos.9 Es riesgoso hablar en términos de “imagen y semejanza”: pensemos, por ejemplo, en aquella geometría débil llamada topología, que brinda una noción de equivalencia tan amplia que bien se puede decir Esta es vuestra circunferencia al tiempo que se dibuja sin que se encienda por ello la ira de nadie10. El observante religioso admite la escritura, aunque sabe que ninguna escritura puede capturar la esencia de Dios. No sólo la admite: para el judío el texto es sagrado, hasta tal punto que su pueblo ha sido llamado el pueblo del libro. Como dijimos, la Biblia fue escrita por Dios con el fin de dársela al hombre11. El matemático admite la escritura, aunque sabe que en el fondo se trata de un juego. No sólo la admite: para el matemático la escritura es la esencia de su actividad. Los teoremas no son más que combinaciones de letras; muy a menudo (¡durante la semana!) el matemático sueña que ellas reflejan propiedades de mundos existentes y significan algo, pero casi siempre se ve obligado a reconocer que, en última instancia, ... un significante, como tal, no significa nada. Consistencia, Inconsistencia Una de las más famosas paradojas es la denominada paradoja de Epiménides que, convenientemente reformulada, constituye una pieza clave en la demostración del famoso teorema de Gödel. Se puede intentar también una versión “religiosa” de la paradoja, si se piensa en una Ley cuyo único mandamiento sea: No cumplirás este mandamiento. La paradoja aparece también en uno de las más conocidos fragmentos de Pessoa, allí donde el poeta, ese pequeño dios, nos previene que el poeta es un fingidor. Del mismo modo, se la puede rastrear en los más variados autores, hasta concluir en el más insigne de todos los autores posibles. En efecto, puede verse que también la Biblia, texto perfecto escrito por Dios, presenta alguna que otra situación paradójica12. Pero lo que nos interesará ahora es volver a la principal consecuencia de la paradoja, razón primordial de su elevada fama y de los singulares temores que inspira: la inconsistencia. Es un hecho conocido que un sistema que alberga a una paradoja permite deducir cualquier cosa: por ejemplo, la frase Si dos es igual a tres, mi tortuga lee a Kant es verdadera, puesto que dos no es igual a tres. Nada importa si en realidad la tortuga -tal como ocurre con ciertos kantianos- no haya logrado pasar de la tercera o cuarta página de la Crítica de la Razón Pura. Un enfoque algo diferente aparece en la fórmula con que se suele sintetizar el pensamiento de un personaje de Dostoyevski, el más calculador de los hermanos Karamazov: Si Dios no existe, entonces todo está permitido. Esta aseveración pone a Dios en un lugar muy especial: no es ya garantía de verdad, como en Descartes, sino de consistencia. De los teoremas de Gödel se desprende que, en su afán de preservar la consistencia, la Matemática debe resignar parte de su capacidad de demostrar enunciados; la Religión se encuentra protegida de esta incómoda situación, puesto que Dios ocupa el lugar de lo innombrable, y en consecuencia se encuentra “fuera del sistema”. Todo aquel lugar que nos es inaccesible, allí está Dios; tenemos, además, la suerte de que se trate de un Dios inmensamente bueno, como alguna vez dijo el matemático Georg Cantor. Por otra parte, dado que ningún sistema puede completarse, no es casual que ciertas figuras fundamentales hayan “quedado fuera”. Por ejemplo, ello ocurrió con Moisés, que no pudo entrar a la tierra prometida. Freud llegó más lejos, pues para sustentar sus teorías se vio necesitado de probar a sus lectores que el gran líder hebreo era egipcio. Aunque le costó bastante esfuerzo afrontar el atrevimiento: Privar a un pueblo del hombre que considera el más grande de sus hijos no es empresa que se acometerá de buen grado o con ligereza de corazón, tanto más cuando uno mismo forma parte de ese pueblo. Finalmente, mencionemos al Mesías, que para la religión judía aún no ha llegado, aunque siempre parece a punto de hacerlo. Pero un Mesías que siempre está por llegar ha despertado recelos a muchos autores, quienes pensaron que quizás su llegada nos haría perder consistencia: una situación mesiánica que resulta poco deseable para los lógicos. En realidad, existen maneras de completar un sistema, si se acepta dejar de lado (o debilitar) otros axiomas, Por ejemplo, hay lógicas que se construyen restringiendo el uso del principio de tercero excluido, y otras que admiten ciertas formas de contradicción. Incluso podríamos fabular que ignoramos el prestigioso principio de identidad, y en tal caso el Mesías no tendrá ningún problema en venir. Aunque tendrá quizás alguna dificultad en presentarse, pues se tratará de un Mesías muy particular, distinto de sí mismo. Esto nos hace pensar que tal vez lo mejor sea volver a la poesía, que nos permite pronunciar aquella suerte de “soy el que no soy” formulada de un modo exquisito por A. Rimbaud: Yo es otro.   Notas: 1 Es justo mencionar que la definición russelliana, un tanto audaz, no es aprobada por todo el mundo. Por ejemplo Poincaré, tenaz opositor del logicismo, se pregunta en La Science et l’Hipothèse: ¿Se admitirá, pues, que los enunciados de todos estos teoremas que llenan tantos volúmenes son sólo maneras retorcidas de decir que A es A? También vale la pena recordar su descripción, que comprende tanto a los logicistas como a los formalistas: escritores que sólo saben de gramática pero que no tienen historias que contar. 2 cf. con el poema de Gertrude Stein: a rose is a rose is a rose is a rose. 3 Esta idea debe ser entendida únicamente en este contexto, el de la escritura decimal de p. En efecto, el número p puede ser definido en pocas (finitas) palabras de muchas maneras distintas; por ejemplo diciendo que es el cociente del perímetro de una circunferencia por su diámetro, o el área de un círculo de radio 1. Si bien es imposible calcular todas sus infinitas e “imperiódicas” cifras, ellas pueden obtenerse una a una para lograr aproximaciones tan buenas como se desee; en otras palabras, es posible calcular p con cientos, miles, millones de decimales exactos. Cabe recordar que Arquímedes encontró valores cercanos a p calculando el área de un polígono inscripto en una circunferencia: al aumentar el número de lados el área del polígono “se parece” cada vez más a la del círculo. Dicho de otra manera, el defectoque se produce en el cálculo del área se hace cada vez más pequeño, cosa que se expresa diciendo que tiende a cero. Los métodos de Arquímedes son precursores del cálculo integral, y se basan en los mismos principios que derivarían, veinte siglos más tarde, en la moderna definición de límite. 4 Borges agrega al alfabeto el espacio entre palabras, el punto y la coma, como si fueran simplemente tres “letras” más. 5 Crónicas II, IV, 2. 6 Se trata de un “paraíso” bien diferente al de la literatura. Una leyenda cuenta que un pagano, al ver la pasión con que los judíos estudiaban, pide a un rabino que le muestre el paraíso. El rabino lo conduce en sueños a una habitación en donde un anciano lee a la luz de una vela: se trata de Rabi Akiva, el gran maestro. “¿Qué clase de paraíso es éste?”, pregunta el pagano. “Este hombre ha estudiado toda su vida, y ahora no hace otra cosa que seguir estudiando”. “Sí”, contesta el rabino, “pero ahora él comprende lo que lee”. 7 En la “segunda creación” (Génesis, II), la mujer es hecha finalmente por Dios como una ayuda idónea para el hombre (literalmente, una ayuda en su contra) quien, tras nombrar a todas las bestias, a las aves del cielo y animales del campo, no encontró ninguna que fuera realmente buena para él. En todo caso, la aparente contradicción entre las dos creaciones de la mujer parece una buena ocasión para poner a prueba la regla 13 de R. Ishmael mencionada unos párrafos atrás. Por cierto, los sabios han brindado diversas interpretaciones de este curioso hecho. 8 Esta forma algo ingenua de expresarlo recuerda al célebre poema en prosa de Cesar Vallejo que concluye de esta forma: Mutilado del rostro, tapado del rostro, cerrado del rostro, este hombre no obstante, está entero y nada le hace falta. No tiene ojos y ve y llora. No tiene narices y huele y respira. No tiene oídos y escucha. No tiene boca y habla y sonríe. No tiene frente y piensa y se sume en sí mismo. No tiene mentón y quiere y subsiste. Jesús conocía al mutilado de la función, que tenía ojos y no veía y tenía orejas y no oía. Yo conozco al mutilado del órgano, que ve sin ojos y oye sin orejas. 9 cf. Descartes, Meditaciones metafísicas. Por supuesto que el filósofo no se refiere aquí a un dibujo, sino al famosísimo “genio maligno”. 10 En algún sentido, la topología puede pensarse como una suerte de “liberación” de los postulados geométricos, lo que nos permite situarnos en un interesante contexto: la celebración de Pesaj, que significa “saltar” (por eso en inglés se dice Passover). Pesaj es la fiesta de la liberación de Egipto(Mitzraim, que también quiere decir limitaciones); durante su celebración se formulan distintas preguntas, de las cuales hay una que da pie a las demás: ¿Por qué esta noche es diferente de las otras noches? Parece oportuno entonces preguntarse acerca de la topología: ¿Por qué esta geometría es diferente de las otras geometrías? Es digno de mención el hecho de que Egipto fuera precisamente la tierra en donde estudió Pitágoras, recomendado por un tutor de lo más ilustre: Tales de Mileto. Según la leyenda, Tales le dijo que si quería ser el más sabio de los hombres, debía ir a la tierra de los faraones, en donde la geometría fue descubierta. También suele describirse a la topología como una geometría no cuantitativa sino cualitativa, lo que nos permite otra asociación bíblica: el encuentro entre Jacob y Esaú. Esaú poseía muchísimas riquezas, muchas más que Jacob; por eso, cuando los dos hermanos se reencuentran, Esaú le dice a Jacob: “tengo mucho”. Pero Jacob había luchado con el ángel y había vencido, de modo que responde: “tengo todo”. Esto es interpretado por los sabios de la siguiente manera: mucho es cuantitativo, todo es cualitativo. 11 Cuenta el Talmud que cuando Moisés subió a recibir la Torá, los ángeles se opusieron a que le fuera entregada, pues consideraban que le pertenecía a ellos. Reclamaron a Dios pidiéndole que dejara “su resplandor” en el cielo, y Dios ordenó a Moisés que les respondiera. Éste tomó la Torá y dijo: “aquí está escrito: Yo soy tu Dios, que te sacó de la tierra de Egipto... ¿ustedes estuvieron en Egipto, o acaso sirvieron al faraón?” Así, fue leyendo uno a uno los mandamientos e interpelando a los ángeles que, mudos ante esta defensa, se resignaron y terminaron aceptando que la Torá se entregara a los seres humanos. 12 Sin necesidad de ir muy lejos, la paradoja se presenta en ese momento clave en el que Dios le dice a Abraham: Lej lejá (vete para tí), una suerte de “Sigue tu deseo”, que pone a Abraham en la insoluble disyuntiva de acatar un mandato que le prescribe la libertad. Aunque no es una paradoja, vale la pena comentar también el caso de los dos hijos que tuvo Lot con sus hijas, provocando una compleja situación familiar: al ser hermanos de su propia madre, los pobres muchachos terminan siendo tíos de sí mismos. Esto se parece a aquel breve cuento de Mark Twain, en el cual el narrador es abuelo de sí mismo; en estos casos tan singulares, la tautología que hemos presentado un poco más atrás toma en este caso formas un tanto apabullantes: “mi abuelo es mi padre” (o “mi abuelo es yo mismo”, en el cuento de Twain). Señalemos finalmente que la propia palabra “tautología” parece ligada al mandato lej lejá, pues proviene del griego το αυτος (para sí).

Jueves, 01 de Mayo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

912. 35. (Abril 2008) RELIGION, ordine mathematica demonstrata (1ª parte)

La Matemática pura es Religión Novalis En diversas ocasiones se ha intentado combinar aspectos de la Matemática con disciplinas tan disímiles como el Arte, la Filosofía o el Psicoanálisis. Y en forma casi invariable, este proceder acaba en un cierto desacuerdo con tal acusación de disimilitud: en el fondo, quizás no se trate de cosas tan diferentes. Esto no es más que una opinión, pero que no carece de importancia en el contexto del tema que nos ocupará ahora: la Religión. Aunque sospechado durante siglos, es un descubrimiento reciente que casi toda la Matemática se apoya en los números naturales. Y, dada la “naturaleza” de los mismos, nada nos cuesta aceptar que un constructivista como Kronecker los atribuyera a Dios: Dios hizo a los números naturales, todo lo demás es obra del hombre. Tales números responden a nuestra evidencia: los creó Dios y vio que eran buenos. En realidad, ni siquiera es preciso pedir a Dios el trabajo tan grande de todos los números, pues según nos mostrara Peano, es suficiente con uno de ellos: el cero. El cero, ciertos postulados y una idea sencilla pero poderosa, la de sucesor: de este modo, se define al uno como sucesor del cero; al dos como sucesor del uno, y así sucesivamente. Esto nos permite decir que la Matemática es, en cierta forma, el libro de las generaciones del cero, y aun agregar: el día en que creó Dios al cero, a la semejanza de Dios lo hizo1. Sin embargo, mejor será detenernos allí, pues los matemáticos de estos últimos tiempos no se muestran muy dispuestos a aceptar las intervenciones divinas en sus definiciones. La creación El Génesis no relata nada más que la creación -de la nada, en efecto- ¿de qué?: nada más que de significantes. Jacques Lacan, Encore No son muchos los matemáticos que han escrito -entre las excepciones figura otro constructivista, el gran Poincaré- sobre la invención y la creación, elementos tan esenciales a la actividad matemática como a la artística. En el campo de la Religión, se suele aceptar casi como un axioma la existencia de un Dios creador; en cambio, el Arte y la Matemática contemplan la creación ya no del mundo, sino de los diversos mundos que le vengan en gana a aquel “epifenómeno” que es el artista o el matemático. El poeta es un pequeño dios, escribe el poeta Vicente Huidobro en su Arte Poética; el verso es un reflejo de su postura, denominada creacionista, según la cual la poesía se constituye por imágenes creadas. Estas imágenes no representan un mundo ya existente, sino otro que existe solamente en el poema; un mundo paralelo al mundo real. De acuerdo con nuestro paralelo, podríamos aventurar entonces que también el matemático es un pequeño dios, o incluso que Dios es un pequeño dios... En realidad, esto no tiene la finalidad de restarle  importancia al Dios creador, sino de situarnos en el problema de la creación desde el punto de vista de los mundos posibles. El Dios bíblico no es un pequeño dios, ya que es capaz de crear cualquiera de estos mundos e infinidad de otros que no podríamos siquiera imaginar. Sin embargo, al llevar a cabo la creación conforme a su voluntad según los planos por Él mismo trazados, Dios elige uno entre esos mundos posibles (el mejor de ellos, diría Leibniz); no permite la convivencia de distintos universos como en la Matemática2. Según la tradición, la Torá (Antiguo Testamento) es un plano del mundo, y fue escrita antes de la creación: para ponerla en marcha Dios obró como un arquitecto, siguiendo las indicaciones del sagrado texto palabra por palabra (una lectura que bien podemos considerar “a la letra”). Se dice que la Torá antecede al mundo en dos mil años, aunque este dato cronológico tan preciso esconde, como pronto veremos, algunas dificultades. En relación a los mundos creados, vale la pena recordar una interesante sentencia talmúdica: El mundo que conocemos no es el único que ha creado Dios. Dios construye continuamente otros mundos que continuamente va destruyendo: no le proporcionan ninguna alegría. Existe un importante tratado, la Guía de los Perplejos, escrito por uno de los más grandes sabios medievales: Moshé ben Maimón o simplemente Maimónides. En este encomiable esfuerzo por sacarnos de la perplejidad, nos explica que la Creación es una novedad; sucede algo que no había antes. Está escrito “en el comienzo”, breshit, y no “primero”. El primero es función del tiempo; el comienzo no está en el tiempo sino que le antecede; la creación de Dios comprende también al tiempo: Está escrito que Dios creó al cielo y a la tierra. Ahí figura la partícula hebraica   et que sirve de unión entre el verbo y el objeto directo. Ahora bien, “et” significa también “con”.  Cabe entender, pues: Dios creó con el cielo y con la tierra, todo lo que creó. Todo conjuntamente, de una sola vez3. Hay un solo acto de creación. Por más que en el relato bíblico la creación abarque una sucesión de días, que culmina con un descanso en el séptimo, no se trata ya del trabajo de Dios sino del florecimiento de la obra ya hecha. Esto da sentido a la conocida fórmula bíblica que hemos empleado en la sección inicial: ...y vio Dios que era bueno. ¿Qué significa eso? ¿Es que necesita Dios, que es pura perfección, convencerse de que sus propias creaciones son “buenas”? Parece claro que no: lo que la frase nos muestra es que todo lo creado por Dios coincide con Su voluntad. Según la interpretación de Maimónides, no hay otra finalidad en la creación que la voluntad de Dios. La Matemática se apoya en una noción fundamental, la de sistema axiomático: a modo de simplificación, puede pensarse que la Matemática resulta un auténtico surtido de teorías, universos creados que se sostienen en conjuntos arbitrarios de axiomas. Veremos a continuación que un “sistema religioso” puede concebirse en cierta forma como una teoría matemática, aunque el religioso se preocupa por algo que al matemático, sobre todo al formalista, le es completamente indiferente: la verdadera verdad. Dijo San Agustín: “Sin la Matemática no nos sería posible comprender muchos pasajes de las Sagradas Escrituras”. Vale la pena apoyar esta idea, e incluso extender la necesidad del pensamiento formal a otra clase de “Escrituras”; no obstante, el criterio que guía a este trabajo se acerca más al romanticismo que subyace en el epígrafe de Novalis, en el que se rescatan las facetas menos aplicadas del ejercicio matemático. Ciencia, Matemática, Religión La noción de sistema no es excluyente de la Matemática: en todos los campos existen conjuntos de “verdades básicas” que asumen el rol de axiomas y dan lugar a las más diversas derivaciones lógicas. Si bien el rigor interno de un corpus tal obedece a determinadas reglas de cálculo, sus contenidos e interpretaciones pueden llevarnos a los universos más variados. En cualquier disciplina es posible encontrar cierto hilo conductor en el terreno de lo puramente formal; el lógico opera con un sistema totalmente despojado, sin ocuparse de sus ulteriores aplicaciones. En una teoría matemática se asumen los axiomas y las propiedades elementales como si fueran mandamientos; por ejemplo, la  teoría de cuerpos nos impone: No dividirás por cero. Sin embargo, después de la irrupción de las geometrías no euclidianas, la perspectiva de la Matemática como un conjunto de “verdades” debió volver a pensarse. En ese sentido, la frase de Novalis ha perdido actualidad: podemos decir, en definitiva, que cada teoría matemáticafunciona como una religión, aunque no La Matemática, puesto que en ella conviven universos distintos, contradictorios. Dentro de cada teoría hay una idea estricta de “ley”, pero no hay una regla exterior universal que regle a todas las reglas. Un matemático acepta cualquier teoría, bajo la única condición de que sea consistente: casi como decir que en cierta teoría matemática no desearás a la mujer del prójimo, pero podrás hacerlo en otra. Ahora bien, el último párrafo no supone una aniquilación de todo tipo de verdad religiosa o moral: un matemático puede creer que determinada idea es absolutamente verdadera, aunque nunca consiga demostrarla. No es para preocuparse mucho: como advierte Quine, la Lógica no alcanza para probar siquiera que exista algo en el Universo, verdad que casi toda la filosofía occidental parece asumir de buen grado. La religión del Antiguo Testamento se apoya en la Ley, consistente en unos pocos libros, desprovistos de aquella retórica que unos siglos más tarde caracterizaría a los bellos textos clásicos. Menos que eso: toda la ley se reduce a aquellos diez mandamientos que diera Moisés a su pueblo en el desierto4. La Biblia, texto perfecto, no es para Dios sino para el hombre; su fin es la transmisión. Si bien la verdad que expresa podría prescindir de las palabras, las palabras son necesarias para permitir al hombre el acceso a dicha verdad. De la misma manera, toda la geometría euclidiana está contenida en los cinco postulados, aunque a nadie se le ocurriría decir que la geometría es sólo eso. El teorema de Pitágoras es consecuencia de tales postulados, pero no surge por clarividencia: todos hemos accedido a él con la ayuda de un “guía”. Acaso el rol de Pitágoras sea comparable al de un profeta, encargado de transmitir a su pueblo (más bien a su Hermandad) cierta verdad que ha conocido de alguna forma5. Los textos matemáticos, desprovistos también de retórica, se encargan de exponer aspectos de tal o cual teoría, que se esconden bajo los axiomas, pero que no se vislumbran de forma inmediata. Los axiomas ocupan apenas unas páginas: el resto es desarrollo y transmisión. La Religión se diferencia de una teoría matemática, en la que los axiomas son arbitrarios. El religioso por lo general cree en verdades indudables, absolutas, no convencionales. Un matemático, por más que estudie sus universos en forma platónica y les suponga una existencia cierta, sabe que en el fondo son pura invención, hecho que se resume en una conocida descripción del matemático típico, de lo más sugerente: Platónico los días de semana, y formalista los domingos. El sentido de esta frase es claro: en su quehacer cotidiano el matemático manipula toda clase de entidades abstractas como si fueran objetos comunes y corrientes; cree que es posible figurarse una esfera, un plano, una recta. El domingo, cuando deja colgada la ropa de fajina y se dedica a descansar y filosofar, se ve obligado a reconocer que las abstracciones que pueblan su semana no son otra cosa que combinaciones de signos más o menos afortunadas6. Muchas veces los sistemas filosóficos, científicos, matemáticos o religiosos se entremezclan, se confunden. Tal es el caso de Descartes, sobre quien los historiadores no terminan de decidir si su ciencia no es más que un apéndice de su filosofía, o si su filosofía corresponde a una extensión natural de su actividad científica. Las filosofías racionalistas se presentan a menudo como teorías matemáticas: ejemplo claro de ello es la Ética de Spinoza, ordine geometrico demonstrata, que fue escrita imitando el escrupuloso estilo de Euclides. Sus teoremas merecen una lectura detallada, matemática, aunque dejan entrever alguna trampa en lo que hace a la evidencia de las cosas. Más precisamente, vale la pena mencionar que las demostraciones se apoyan en gran medida en la forma de definir ciertos términos “primitivos”: Entiendo por Dios un ser absolutamente infinito, es decir, una sustancia constituida por infinitos atributos de los que cada uno expresa una esencia eterna e indivisible. Es cierto que también Euclides aventura algunas definiciones de lo más sospechosas: Punto es lo que no tiene partes, Recta es aquella línea que yace igualmente respecto de todos sus puntos. Sin embargo, todo su sistema seguiría funcionando si hubiera dicho tan sólo que un punto es un punto, o que una recta es …eso que usted ya conoce. A propósito de Spinoza, vale la pena recordar otra definición de Dios, aun más geométrica: Dios es una esfera infinita cuyo centro está en todas partes y su circunferencia en ninguna .7 La manera de pensar la realidad no es igual para el religioso que para un científico o un filósofo, a quienes la observación y la Lógica ayudan a convencerse de la veracidad de sus afirmaciones. Un religioso, al igual que un matemático, nada tiene de qué convencerse. El matemático, en especial el dominguero (o sabático), porque conoce el carácter arbitrario de sus axiomas. El religioso, porque cree, aunque él no se diga religioso ni creyente8. Esto se aplica incluso a aquellos que han esbozado apasionadas demostraciones de la existencia de Dios o de otras verdades: no se trata de demostraciones “religiosas”. Ello no les resta valor, aunque hay que admitir que quienes intentan tales procedimientos están convencidos de antemano; su afán no es otro que convencer a los demás. Notas: 1 cf. Génesis V, 1. 2 A tono con su idea de una armonía preestablecida, Leibniz afirmaba que si bien Dios tiene la capacidad de concebir todos los mundos posibles, sólo puede querer crear el mejor de ellos. Esta idea ha sido a menudo malentendida y le valió diversas críticas; la más famosa de ellas es la dura sátira Cándido, escrita por Voltaire, en donde el filósofo Pangloss enseñaba la metafísico-teólogo-cosmolotontología, y demostraba “de modo admirable” que no hay efecto sin causa: “Fijaos bien en que las narices se hicieron para llevar anteojos; por eso llevamos anteojos”.  Al margen de las burlas, Leibniz fue uno de los grandes pensadores de la historia; además de haber fundado junto con Newton el cálculo infinitesimal, entre sus múltiples hallazgos se cuenta nada menos que el inconsciente. 3 Esta interpretación nos pone frente a la creación como acto: de un solo golpe, Dios pone en marcha el espacio-tiempo. No hay un antes de la creación pues Dios crea también al principio; por eso no es tan sencillo entender que la Torá pueda ser previa a la creación. El concepto de eternidad, contrariamente a lo que suele suponerse, no remite a algo que duraen el tiempo, sino más bien a algo que no transcurre; en otras palabras, la eternidad puede ser pensada como la identificación de pasado, presente y futuro. La preposición “et” también representa según los sabios a la totalidad pues está compuesta de la primera letra hebrea (alef), y la última (tav). Cabe destacar que el papel de las letras es fundamental en todo el Génesis; entre otras cosas, la creación se lleva a cabo a través de las letras, lo cual justifica el epígrafe de esta sección. 4 La tradición brinda ejemplos de versiones aun más sintéticas: se cuenta que una vez un provocador desafió al sabio Hillel a que le enseñara la Torá en el tiempo que pudiera aguantar parado en un sólo pie. Con tranquilidad, Hillel respondió: “No hagas al otro lo que no quieres que te hagan a ti. Esa es toda la Ley. Lo demás son comentarios. Vé y apréndelo”. 5 Quizás se pueda hacer una excepción con Pascal a quien, entre otras anécdotas, se le atribuye el haber reconstruido durante su infancia, sin libros ni ayuda alguna, los primeros teoremas de la geometría euclidiana. Por otro lado, en algunos casos quizás sea legítimo hablar de clarividencia, como ocurre con el célebre caso de Ramanujan. Recordemos de paso que diez siglos antes de Pitágoras el célebre teorema era ya conocido por los babilonios, aunque su nivel de matemática, calificada por los historiadores de “semijuego y semirreligiosidad” no era suficiente para demostrarlo. Acaso se trate de un hecho significativo, pues la raíz de la palabra Babilonia está conectada con Babel, ligada a su vez con bilbul (confusión), y en definitiva con bla-bla: de allí surge la palabra “balbucear” (en latín, barbas; la denominación “bárbaro” se aplicaba a aquellos que no dominaban la lengua; en particular, los barbudos de Europa Central). En el francés actual la misma raíz produjo la expresión bavardage, que significa “parloteo”. 6 Es interesante meditar sobre este punto, en especial después de que Descartes diera comienzo a aquello que se llamó la algebrización de la geometría. Por ejemplo, una circunferencia se ve reducida a la simple fórmula x2 + y2 = 1. Esto confiere a la letra un especial poder, lo que nos lleva a recordar que para la mística judía (Cábala) todos los aspectos de la vida se expresan a partir de las veintidós letras del alfabeto hebreo y las diez sefirot o envolturas que cubren la plenitud de la luz. Por otra parte, el “filosofar” de los domingos remite a uno de los preceptos más sagrados, el de respetar el Shabat, no pensado como descanso sino como un día de reflexión. El Shabat es una suerte de isla en el tiempo, que para algunos autores es un adelanto, un ensayo de la era mesiánica. El vocablo Cábala o Kabaláh se origina en el verbo Lekabel (recibir); en hebreo moderno la palabra ha adquirido un significado un poco menos místico, el de factura comercial o recibo. 7 Borges rescata el origen hermético de esta metáfora en La esfera de Pascal (Otras Inquisiciones), en donde asegura que a pesar de tratarse de “una contradictio in adjecto, porque sujeto y predicado se anulan (...) la fórmula de los libros herméticos nos deja, casi, intuir esa esfera”. 8 Vale la pena hacer notar que la palabra “ciencia” tiene la misma raíz que esquizo (separar), oponiéndose a “religión”, que se origina en religare, volver a unir. La mística judía rechaza esta denominación por imperfecta, puesto que considera que la realidad es única e indivisible, sin que exista nada que deba volver a unirse. Este argumento explica el desacuerdo hacia la “disimilitud” expresado al comienzo. Por eso el observante no se dice religioso, ni creyente; más bien se considera “sabedor” de la existencia de Dios. A decir verdad, ni siquiera la palabra “Dios” es del todo aceptable pues proviene de Zeus, hijo a su vez de Cronos (Tiempo), y esta subordinación, además de limitar al Eterno, contradice aquello de Dios como creador del Espacio-Tiempo.

Martes, 01 de Abril de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

913. 34. (Enero 2008) Máteme en ω

Texto adaptado del capítulo 5 del libro “FRAGMENTOS DE UN DISCURSO MATEMÁTICO” (Fondo de Cultura Económica, 2007) Cuando el detective Lönnrot es capturado por Scharlach en la quinta de Triste-le-Roy, sabe que una exacta muerte lo espera. Intenta entonces un último enigma: Yo sé de un laberinto griego que es una línea única, recta. En esa línea se han perdido tantos filósofos que bien puede perderse un mero detective. Scharlach, cuando en otro avatar usted me dé caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen en B, a 8 kilómetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilómetros de A y de B, a mitad de camino entre los dos. Aguárdeme después en D, a 2 kilómetros de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Máteme en D, como ahora va a matarme en Triste-le-Roy (J.L. Borges, La muerte y la brújula). Es inevitable mencionar que Scharlach no cae en la trampa, y tan atractivo planteo resulta finalmente inútil para Lönnrot. Sin embargo, permite a los lectores sugerir algunas variantes. Por ejemplo, ¿por qué elegir D entre A y C, y no entre B y C? Acaso la estrategia de Lönnrot sea dirigirse en realidad a D2, pensando que Scharlach lo esperará en D1: Para que el ardid funcione, debemos suponer que el razonamiento de Scharlach es el siguiente: “Dado que la última vez se movió hacia la izquierda, entonces la próxima vez volverá a hacerlo”. De esta forma, la situación termina por asemejarse a la que plantea Edgar Allan Poe respecto del juego de par o impar, aunque ahora el lugar del “bobalicón” estaría ocupado por el que adivina… o, mejor dicho, no lo hace. Digresión El juego consiste en adivinar si el número de bolas que el contrincante ha escondido es par o impar: si adivina, gana una bola, y pierde una si no lo hace. Estas reglas se explican en el cuento “La carta robada”, en donde se menciona la especial habilidad de un niño de ocho años para ganar todas las bolas de su escuela, pues era capaz de anticipar la estrategia de su contrario: “Por ejemplo, supongamos que su adversario sea un bobalicón y que, alzando su mano cerrada, le pregunta: ‘¿Par o impar?’. Nuestro colegial replica: ‘Impar’, y pierde; pero en la segunda prueba gana porque se dice a sí mismo: “El bobalicón había puesto par la primera vez, y toda su astucia le va a impulsar a poner impar en la segunda; diré, por lo tanto, ‘Impar’” (E. A. Poe, La carta robada). Con esta descripción, el detective Dupin relata cómo logró precipitar la caída o descensus averni del malvado ministro, cuya astucia se apoya en una combinación temible: es a la vez matemático y poeta. En “La muerte y la brújula”, en cambio, ser bobalicón no significa una desventaja, ya que es precisamente la perspicacia de Lönnrot para descubrir la trama tejida por Scharlach la que provoca su propio descensus. Podemos formularlo en términos freudianos y decir que nos encontramos ante el caso del que fracasa al triunfar (S. Freud, Algunos tipos de carácter dilucidados por trabajo psicoanalítico). En resumen, si Scharlach fuera lo suficientemente bobalicón como para no aprender de sus propios yerros, Lönnrot podría esquivarlo ad infinitum por medio de una sencilla estrategia: B a la derecha de A C a la izquierda de B D a la derecha de C E a la izquierda de D F a la derecha de E ... Ahora bien, ante adversarios infinitamente bobalicones no hay alfabeto que alcance; por eso, antes de agotar nuestros recursos tipográficos conviene buscar una manera más adecuada de escribir, empleando subíndices: A1, A2, A3, ... Esto nos lleva al concepto de infinito actual, aunque ahora se trata de algo más que de la operación de coordinar conjuntos. Debemos pensar más bien en “números” que están más allá de lo finito: Cantor los denominó transfinitos, y estableció una forma de sumarlos y multiplicarlos. Todo empieza con un elemento que se agrega a la lista creciente de los números naturales, situado justo detrás de los puntos suspensivos: 1, 2, 3, ... ω Esta extraña entidad que escribimos w se define como “el menor de los infinitos”; luego vendrán otros: ω + 1 ω + 2 ... ω + ω, etc. La maquinaria cantoriana resulta de una gran belleza, según puede verse, por ejemplo, en Matemáticas e imaginación de Courant y Robbins. Para nuestros fines, basta con detenernos en este primer y “pequeñísimo” ω, y observar que los puntos definidos por Lönnrot llevan a pensar en un punto límite: A1, A2, A3, ... Aω En efecto, la sucesión de puntos es convergente; Lönnrot es capturado finalmente en Aω, pero al menos eso le permite ganar algún tiempo: con suerte, una buena infinidad de años. Podemos plantear aun otro problema, el de calcular Aω. En otras palabras, eso nos lleva a buscar la respuesta a una pregunta elemental: en esta nueva versión del cuento, ¿dónde debe ubicarse la quinta de Triste-le-Roy? 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... = ??? Las operaciones que llevaremos a cabo, de un modo informal, en realidad pueden justificarse con todo rigor. Si llamamos L al límite L = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ..., y multiplicamos por 2, obtenemos: 2L = 2·(1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...) = 2 - 1 + 1/2 - 1/4 + 1/8 - ... = 2 - (1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...) De esta manera, 2L = 2 - L, y en consecuencia: L = 2/3 Esto nos da la ubicación precisa, según puede observarse en el siguiente mapa:

Martes, 01 de Enero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

914. 33. (Diciembre 2007) Un cuervo en el mundo de las finanzas

¿Qué relación tiene el comportamiento de los mercados financieros y los activos riesgosos con las leyes de la termodinámica, la entropía o las teorías de Einstein? En este artículo se exponen de manera elemental algunas de las ideas básicas del modelo matemático para la valuación de instrumentos financieros que permitió a uno de sus creadores obtener el Premio Nobel de Economía: el modelo de Black y Scholes. La presentación, de carácter informal, fue adaptada de un texto que se titula La matemática de las finanzas; en especial de su primera parte, Paseos por el mercado. 1. Los laboriosos embriones del pensamiento En su célebre Filosofía de la composición, el genial Edgar Allan Poe cuenta la forma en que compuso su poema El cuervo, una de las obras más perfectas en la literatura de todos los tiempos. Su intención se resume en un párrafo que acaso pueda sorprender al lector desprevenido: Mi deseo es demostrar que ningún punto de la composición puede ser atribuido a la casualidad o la intuición, y que la obra ha marchado, paso a paso, hacia su solución con la precisión y rigurosa lógica de un problema matemático. A tales fines, explica sus primeras consideraciones, referidas al hecho de producir un efecto; más precisamente, muestra de qué forma su anhelo de transmitir la más pura Belleza lo llevó a establecer que su trabajo se iba a desenvolver en torno a un estribillo, una fórmula breve destinada a la conclusión de cada estrofa. Llegado este punto, dice Poe: En tal investigación, hubiese sido absolutamente imposible no elegir nevermore, nunca más […] El desideratum siguiente fue: ¿cuál será el pretexto elegido para emplear continuamente las palabras nunca más? A partir de allí, lo que sigue es el resultado de dejar que se desencadenen las consecuencias naturales de esta elección inicial. Algo similar planteó el sabio Maimónides en su interpretación del texto bíblico del Génesis: por ejemplo, cuando se lee que el mundo ha sido creado en siete días, en verdad debe entenderse que hay un solo acto de creación, el del comienzo. En el comienzo Dios puso en marcha el espacio y el tiempo; lo demás es puro florecimiento, desarrollo de la obra ya hecha. El caso que presenta Poe es bastante ilustrativo. El clima producido por su estribillo, dice, no puede sino responder a los pesares de un enamorado que ha perdido a su amada; la aparición repentina del pájaro le proporciona una distracción, casi un alivio para sus lóbregos pensamientos. Los dos seres mantienen un diálogo que al comienzo muestra una incoherencia tosca, animal: Dime: ¿Cuál tu nombre, cuál en el reino plutoniano de la noche y de la niebla...? Dijo el cuervo: “Nunca más”. Sin embargo, las sucesivas preguntas van socavando en las respuestas del ave, cada vez más certeras, de modo tal que los ánimos del amante comienzan a inquietarse. El joven adquiere la conciencia de que su amada ha muerto; por fin, con la esperanza última de poder reunirse con ella cuanto menos en otra vida, el desesperado pregunta si volverá a estrechar en su seno a la amada Leonora. Inexorable, el ave grazna una seca respuesta: nevermore1. Un clima tan melancólico puede parecer un oscuro presagio para presentar un modelo matemático para las finanzas. En efecto, quizá nuestra primera imagen sea la de un preocupado inversionista que plantea una angustiosa pregunta para encontrarse con el invariable estribillo: ¿Volveré a ver a mi dinero? Nevermore. Sin embargo, el modelo que vamos a comentar goza de una amplia popularidad, más allá de las eventuales preocupaciones que aquejan a quienes juegan en esto su dinero. Muchas obras artísticas se desarrollan tal como lo describe Poe, de atrás hacia delante. La Matemática, para muchos un Arte, no escapa a esta regla: en particular, la ecuación que se deduce del problema financiero de valuación de opciones supone, en algún sentido, un tiempo que se recorre hacia atrás2. No llegaremos al extremo de decir que su desarrollo sigue “la precisión y rigurosa lógica de un problema literario”, aunque permite dar una buena descripción de lo que significa un modelo.  En esto los matemáticos suelen mostrarse bien dispuestos, aunque eso no siempre ocurre con todo el mundo. Al menos según la opinión de Poe: Muchos literatos, particularmente los poetas, gustan de dejar entender que componen gracias a una especie de sutil frenesí, o de una intuición estática, y verdaderamente se estremecerían si se vieran obligados a permitir al público que lanzara una mirada detrás de la escena, y que contemplara los laboriosos e indecisos embriones del pensamiento...3 2. El que no arriesga, no gana Muchas de las grandes ideas comienzan con un puñado de observaciones triviales. Y, dado que existe un número mucho mayor de trivialidades que de grandes ideas, vale la pena describir los pasos que llevaron a la deducción de la ecuación de Black-Scholes, una de las fórmulas más celebradas en Finanzas durante las últimas tres o cuatro décadas. Este recorrido nos llevará a hablar del concepto de riesgo, así como de las formas que los inversores han ideado para cubrirse del mismo: los derivados financieros y la teoría de portafolios. En nuestro caso, las observaciones triviales se resumen en dos principios elementales, que podemos formular de la siguiente manera: Principio 1: $1 hoy vale más que $1 mañana. Principio 2: $1 seguro vale más que $1 riesgoso. El primer principio brinda la base de lo que se entiende por invertir: toda inversión debe suponer un retorno, que representa una medida relativa del incremento del capital con el tiempo. El segundo principio nos dice cómo debe ser ese retorno según el riesgo que la inversión entrañe. La idea es clara; si la inversión es riesgosa, es razonable esperar que el retorno sea mayor: en algún sentido, se trata de una compensación por el riesgo. La teoría de portafolios de Markowitz, que motivó otro premio Nobel, consiste en maximizar el retorno de una cartera compuesta por diferentes activos manteniendo constante el nivel de riesgo. Finalmente, mencionaremos un supuesto fundamental sobre los mercados, el de no arbitraje, que intuitivamente postula que no existe una “máquina de hacer dinero”. Pensemos en lo que ocurriría por ejemplo si una persona pudiera pedir un préstamo a una tasa del 5% anual, y a su vez prestar a una tasa del 6%: no hacen falta muchos cálculos para descubrir una estrategia que la transforme en millonaria sin correr el menor riesgo. En efecto, si pide prestada una cantidad, digamos $100, y la presta inmediatamente, al cabo de un año obtendrá una ganancia neta de $1; si repite este procedimiento se hará de grandes ganancias mientras disfruta de su pasatiempo favorito. Se asume que el mercado no ofrece tales oportunidades; aunque en realidad algunas veces ello ocurre y algunos inversores se llenan los bolsillos, dichas oportunidades no son permanentes: enseguida el mercado vuelve a equilibrarse. 3. Activos hiperactivos Hemos hablado de riesgo, lo cual parece involucrar de alguna forma al azar. Y esto es más que una asociación casual, por no decir azarosa: los modelos que se emplean para describir el comportamiento de los mercados postulan que los precios siguen un proceso estocástico, vale decir, un proceso en el cual los valores futuros no se pueden determinar con exactitud por más que se conozcan los valores en el presente. Más específicamente, se trata en este caso del mismo tipo de proceso que rige el choque de las partículas en un fluido, que se hizo célebre a través de los trabajos de Einstein de 1905: el movimiento browniano. Esto, que parece un contrasentido (una ley que rige un comportamiento azaroso) puede entenderse mejor si comenzamos por una versión más sencilla, denominada paseo al azar: partiendo de una posición inicial nos movemos cada vez un paso hacia arriba o hacia abajo, según salgan cara o ceca las sucesivas tiradas de una moneda. Si ahora pensamos que las tiradas se producen a intervalos muy cortos de tiempo (y la longitud de los “pasos” es cada vez más pequeña4), el resultado de este proceso va a presentar más o menos el siguiente aspecto: De allí a hablar de las leyes de la termodinámica, o de la entropía, hay un corto paso: basta decir que las ecuaciones que provienen de este modelo se transforman en una fórmula clásica de la Física, conocida como ecuación del calor. Esto no parece tan mal, si se piensa en la actividad febril que se observa en algunos mercados. Cabe destacar que las primeras publicaciones sobre estos asuntos no fueron las de Einstein, sino de un matemático francés llamado Bachelier, cuya tesis doctoral de 1900 llevó un sugestivo título: Teoría de la especulación. Sin embargo, la aplicación de procesos como el movimiento browniano a las finanzas cayó en el olvido por unas cuantas décadas, al menos hasta los años cincuenta, cuando mediante estudios estadísticos se estableció que los precios de los activos fluctúan al azar5. La medida de la variabilidad instantánea en dichos precios se determina por medio de una cantidad cuyo nombre escuchamos muy a menudo: la volatilidad. En un mercado de baja volatilidad, los precios tienden naturalmente a subir; a medida que la volatilidad aumenta, tal tendencia se ve cada vez más afectada por una componente riesgosa, que posibilita subas o bajas inesperadas. Esta idea permitió plantear las hipótesis de mercado eficiente, que resultaron decisivas en la fórmula dada en 1973 por Black y Scholes para la valuación de opciones y otros derivados. 4. Si de optar se trata... Hemos mencionado a los derivados, que son instrumentos financieros cuyo valor depende (se “deriva”) del valor de otro activo, denominado subyacente. Entre ellos, uno de los más conocidos es la opción, un contrato que da derecho a su poseedor a comprar o vender cierto activo por un precio establecido, en determinada fecha futura6. Le da el derecho de hacerlo... siempre que le convenga: de esta forma, el poseedor de una opción se protege del riesgo que implicaría comprar o vender directamente el activo. Por ejemplo, el poseedor de una opción de compra o call por $10 sobre una acción de cierta compañía para el 20 de octubre de 2005, al llegar esta fecha determina si ejerce o no la opción en función de lo que valga el activo. Si vale por ejemplo $ 11, entonces conviene ejercer, pues la opción da el derecho a comprarla a $10; en cambio, si la acción vale $ 9 la opción no se ejerce, y toda la pérdida se reduce al precio pagado por adquirirla. De esta forma, las opciones pueden pensarse como una manera de transferir riesgo de unos a otros. El problema es: ¿cómo se calcula el precio de un contrato así? Aquí entra en juego el desarrollo de Black y Scholes, basado en el comportamiento de los activos esbozado en la sección anterior. Lo que se propone es una estrategia denominada hedging, que consiste en construir un portafolio libre de riesgo, vale decir, insensible a las subas o bajas del activo subyacente. La estrategia es instantánea: para mantener el portafolio se requiere en todo momento comprar o vender opciones y unidades del activo. Ahora bien, esto no significa que deba uno correr de un lado a otro del mercado comprando y vendiendo como un desaforado: la definición de este portafolio es puramente teórica, y no tiene otro fin que el de permitir deducir una fórmula “justa” para valuar la opción. Dicho y hecho: la construcción, sumada a la hipótesis de no arbitraje, conduce por medio de una deducción matemática a la obtención de la preciada fórmula, estrella indiscutida de las finanzas en los últimos tiempos. Hoy los operadores tienen en sus computadoras programas capaces de calcular en un momento el precio Black-Scholes de opciones con diferentes fechas y precios de ejercicio, a partir de los precios actuales del activo. La conclusión es notable, en especial si se tiene en cuenta que hemos partido de unos pocos principios elementales y, claro está, unos paseos de lo más azarosos. Notas: 1 De este modo, el poema proporciona un magnífico ejemplo de un proceder que no deja de ser frecuente en la actividad científica: conociendo de antemano la respuesta, se trata de reformular la pregunta. Esto entraña el riesgo de caer en los excesos de Procusto, quien adaptaba a todos a la medida de su lecho por medio de un método infalible, aunque algo reprochable: estirar a quienes quedaban cortos, y cortar los pies de quienes eran demasiado largos. También cabe aplicar aquí la frase que constituyó una burla del filósofo inglés John Locke hacia el dogmatismo: si la realidad no coincide con mis palabras, peor para la realidad. 2 La idea no parece muy distinta a las descripciones que hace Lewis Carroll del curioso mundo que encuentra Alicia en A través del espejo. Por ejemplo, en el capítulo Lana y agua se explican algunos incisos de su controvertido sistema judicial: Ahora está en prisión, condenado, y el proceso no empezará hasta el miércoles próximo. Naturalmente, el crimen viene al final. 3 Ya que hemos comparado la creación literaria con la actividad matemática, vale la pena recordar una anécdota del gran matemático alemán David Hilbert. Se cuenta que uno de sus alumnos abandonó su curso sin previo aviso. Cuando preguntó por él, le dijeron que había dejado la matemática para dedicarse a la poesía, a lo que Hilbert respondió: “Siempre pensé que le faltaba imaginación para ser matemático”. 4 Más precisamente, el modelo establece que la longitud del paso debe ser proporcional a la raíz cuadrada de la medida del intervalo temporal. Sin embargo, las razones de esta elección escapan a los alcances de esta nota. 5 Quizás parezca excesivo plantear que los precios de los activos fluctúan al azar; sin embargo, existen diversos argumentos a favor de estos modelos. En el fondo, podemos decir que los matemáticos no están en desacuerdo con lo que plantea Alejandro Dumas en su relato histórico Murat: Los resultados más importantes los producen, a veces, causas tan mínimas que se podría creer que Dios y Satanás se juegan la vida y la muerte de los hombres a los dados y abandonan al azar el auge y la caída de los imperios. 6 En realidad, esta descripción corresponde a la denominada opción europea, que sólo puede ser ejercida en su fecha de expiración. En cambio, la opción americana puede ejercerse en cualquier momento hasta dicha fecha. Como es de esperar, el tratamiento matemático de esta última resulta más complejo.

Sábado, 01 de Diciembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

915. 32. (Noviembre 2007) Viajando por un sueño

[Texto extraído de los capítulos 1 y 2 del libro “MUCHO, POQUITO, NADA. Un pequeño paseo matemático” (Ed. Norma, 2007)] En una conferencia sobre los cuentos de Las mil y una noches, el escritor argentino Jorge Luis Borges contó la historia de un hombre que vive apaciblemente en El Cairo, hasta que un día, en sueños, se le aparece una voz que le dice:   Dirígete a la ciudad de Isafán y busca la mezquita; allí encontrarás un tesoro. El sueño se repite algunas veces, hasta que el hombre decide emprender el viaje. Claro que una travesía semejante entraña algunos riesgos: durante el trayecto, su caravana es asaltada y se salva por un pelo de perder la vida. Después de muchas penurias, llega a Isafán agotado y sin un céntimo, y resuelve pasar la noche en la mezquita, sin saber que en realidad era una guarida de ladrones. Finalmente es capturado por la policía, que lo lleva ante el cadí (juez). El hombre cuenta su historia y entonces el funcionario se burla de él: “Extranjero ingenuo, quiero que sepas que ya he soñado tres veces que debo ir a El Cairo y buscar una casa que tiene un jardín, en el jardín una fuente, un cuadrante solar y una vieja higuera, y bajo la higuera un tesoro. Jamás le di crédito, y tu relato termina de confirmarme que no me equivoqué. Toma este dinero, vuelve a tu casa y cuídate en adelante de los sueños que te envía el Maligno”. El hombre le da las gracias y regresa a su casa. Una vez allí, se dirige al jardín, cava bajo a la higuera, entre la fuente y el cuadrante solar, y encuentra el tesoro. Uno de los atractivos de la historia reside en que cada uno de los personajes entiende los hechos a su manera, y se siente inmensamente feliz por la decisión que ha tomado. El hombre que llega de El Cairo comprende, a poco de escuchar al cadí, que su sueño era cierto y vuelve a su casa ansioso por tomar la pala cuanto antes. Pero el cadí está en peor situación; ante los ojos del lector, su jactancia por no haber creído en su sueño se parece a la actitud de aquel fumador empedernido que, angustiado por las noticias en los diarios sobre los riesgos del cigarrillo, decide dejar… de leer el diario. Pronto comprendemos que el verdadero tesoro es la información. Para el cairota nada es más fácil que creer en lo que le dice el cadí: ¿era posible que no lo hiciera, si lo que estaba describiendo era su propia casa? Pero además, al margen de la gratificante noticia de ver confirmado su sueño, la respuesta del cadí le permite ahorrarse el esfuerzo de andar con su pala de aquí para allá hasta acertar a cavar junto a la higuera. Al cadí, en cambio, no le es tan fácil creer. No necesita en realidad grandes tesoros, pues goza de una aceptable situación económica en Isafán. Por eso quizás el sueño no termina de convencerlo; al fin y al cabo debe haber pensado: más vale pájaro en mano que cien volando. Sin embargo, le cabe cierto grado de responsabilidad, por no haber sabido leer el mensaje; podría haber pensado: ¿no es mucha coincidencia que un tipo que viene de tan lejos haya soñado algo tan parecido a lo que vengo soñando yo últimamente? Algo similar le ocurrió al último rey de Lidia, el noble Creso, famoso por sus riquezas. Ante el avance de los persas, Creso decidió consultar al oráculo de Delfos en busca de asesoramiento. Los dioses no suelen atender personalmente consultas de esta clase, y menos a la hora del almuerzo, pero por medio de una pitonisa le transmitieron el siguiente mensaje: Si conduces un ejército hacia el Este y cruzas el río Halis, destruirás un imperio. Envalentonado por esta respuesta, Creso se alió con otros reyes para formar un poderoso ejército y enfilar hacia el Este. Pero fue derrotado en la llamada batalla del río Halis: de esta forma el imperio lidio fue destruido, y se cumplió la profecía del oráculo. Claro, si la respuesta de los dioses hubiera sido menos ambigua, Creso no habría metido la pata de tal manera; de la misma forma, seguramente el cadí habría sospechado algo si el cairota hubiera comenzado su relato diciendo: Vea señor Cadí, hace unas semanas salí de mi casa en El Cairo para venirme hasta aquí… Dejé a mi mujer al cuidado del jardín, para que me riegue la higuera y cada tanto pase una esponjita a los azulejos de la fuente cerca del cuadrante solar. Ya sabe cómo se junta el sarro… Volviendo al cuento: ¿qué significa tomar la decisión adecuada? Si la respuesta es “sentirse contento por el resultado obtenido”, entonces los dos, tanto el cadí como el cairota, han elegido bien. A grandes rasgos, eso es lo que plantea el matemático Ivar Ekeland: El cadí morirá en Isafán burlándose de los ingenuos que hacen un viaje tan largo en busca de un tesoro que no existe, y el cairota se regocijará toda su vida por haber creído en su sueño. Ambos, cada uno a su manera, obtuvieron una anticipación perfecta. Este comentario aparece en el libro Al azar, de donde fue tomada la versión del cuento tal como la presentamos aquí. Aunque algunas ediciones de Las mil y una noches la incluyen, de diferentes maneras, en la noche 351: La historia del hombre que se volvió rico a través de un sueño. No es fácil determinar cuál de todas las versiones es la original; una búsqueda así resultaría más complicada que la del propio tesoro. Vamos a dar todavía un nuevo giro a la historia del cairota. En cierto sentido, podemos decir que allí se resume la verdadera esencia de la matemática. Porque, en el fondo, ¿qué es la matemática? Muchas cosas se dicen sobre ella, pero cuando se trata de definirla, no resulta fácil. En general, todo el mundo la entiende como una ciencia, aunque hay quienes afirman que se trata apenas de un lenguaje, o tal vez un arte. A partir de la historia, podemos ensayar una nueva definición, cuyo sentido intentaremos hacer más manifiesto a lo largo de este libro. Una definición bastante simple; también algo audaz y, por cierto, inexacta. Quizás podríamos catalogar a la búsqueda matemática de “aventura” y compararla con la de aquel hombre que recorrió medio continente en procura de un tesoro. Un tesoro que, por otra parte, finalmente halló en su propia casa, lo que casi equivale a decir: dentro de sí. A veces hace falta alejarse un poco para ver lo que uno tiene ahí nomás, bajo la higuera... Hasta puede llegar a plantearse que el verdadero tesoro es el propio viaje: el hombre vuelve a casa y descubre lo mucho que ha aprendido. Ya no es el mismo; su travesía a Isafán lo hizo crecer espiritualmente y entender que cien pájaros volando valen mucho más que uno en mano, pues la mayor belleza de un pájaro se encuentra justamente en su vuelo. Esto recuerda aquella historia en la que un pagano pide a un estudioso de los textos sagrados que le muestre el paraíso. En sueños, el estudioso lo lleva a un lugar en donde se encuentra un anciano, uno de los más grandes sabios, leyendo. El pagano le pregunta: ¿cómo es esto? Este hombre se ha pasado la vida estudiando y, una vez que se encuentra en el paraíso, ¿tiene que seguir haciéndolo? El estudioso le responde: sí, pero ahora él comprende. Esta hermosa leyenda se aplica muy bien a lo que estamos diciendo, en especial si se tiene en cuenta el trabajo que suele dar adentrarse en algunos de los “misterios” matemáticos. Pero en esa dificultad reside gran parte de su poder, y una vez que uno “comprende” puede sentirse realmente en el paraíso. Por eso se ha comparado a la matemática con la poesía, sobre la cual la lingüista Julia Kristeva escribió: La incapacidad para entender, inicialmente, un fragmento de lenguaje poético, es el primer indicio de su poder para abrir nuevas formas de entendimiento. Pero todas estas ideas pueden resumirse aun más, tanto que su esencia cabe en una sola frase. Se trata de algo verdaderamente simple; nada de buscar definiciones pomposas, ni eruditas. En estas páginas vamos a decir, sencillamente, que la matemática es el resultado de dejarse llevar por un sueño. Seguramente eso implicará soportar penurias; un camello que cada tanto se empaca, arena que entra en los ojos, el viento que se lleva nuestro turbante…  El objeto de este libro consiste en mostrar que, tal como ocurre en el cuento, la aventura vale la pena.

Jueves, 01 de Noviembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

916. 31. (Octubre 2007) Concurso del verano 2007 - Soluciones

Terminó el concurso del verano -y el verano también- y tenemos los resultados de tres participantes. El ganador es Alberto Castaño Domínguez, quien hizo la diferencia principalmente en el punto B.-, donde los otros participantes no enviaron respuestas. De todos modos, tanto Manoli Linares Aranda como Jaime Casasbuenas Sabogal aportaron varios títulos, aunque algunos caían dentro de la categoría de ser libros técnicos o de divulgación. A continuación, las contribuciones de los participantes. A.- Títulos numéricos El ocho, Katherine Neville. Diez negritos, Agatha Christie. Los doce hilos de oro, Aliske Webb. La vuelta al mundo en ochenta días, Julio Verne. 377 A, madera de héroe, Miguel Delibes. Fahrenheit 451, Ray Bradbury. Treinta y cero, Lisa Jewell. El apóstol numero 13, M. Benoit. La plaza de los tres reyes, Florentino Garcia de Caso. Cien años de soledad, Gabriel Garcia Marquez. Millones de mujeres quieren conocerte, Sean Thomas. (no se consideraron los libros Las 48 leyes del poder; De la Idea de Negocio a la Rentabilidad - 10 Reglas para Conseguirlo; Las 33 estrategias de la guerra; Irak, Afganistan E Iran, 40 respuestas al conflicto en oriente proximo; Los Cuatro Acuerdos; El 8 Habito de la Efectividad a la Grandeza; Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo; La historia [natural] del cero) B.- Títulos matemáticos El círculo mágico, Katherine Neville. Planilandia, Edwin A. Abbott. El tío Petrus y la conjetura de Goldbach, A. Doxiadis. La quincena soviética, Vicente Molina Foix. La geometría del amor, John Cheever. Insensata geometría del amor, Susana Guzner. El Quinto día, Frank Schätzing. Criptonomicón, Neal Stephenson. El hombre que calculaba, Malba Tahan. (no se consideraron La música de los números primos, M. du Sautoy; ni El último teorema de Fermat, Simon Singh) C.- Personajes Vectorcito Rojo y la Matriz feroz, David Gutiérrez Rubio (en Divulgamat). Paralelepípedo, de la novela de Manuel Rivas "Los libros arden mal". Esfera, de Planilandia. 0, 1, 2, raíz de 2, -1, 3, etcétera, de "La creación de los números", de Luis Balbuena Castellano (en Divulgamat). 67, 13, 23 y 5, de "Diálogos entre primos", de Ismael Roldán Castro (en Divulgamat). ¡Muchas gracias a los participantes, y los espero el año próximo!

Lunes, 01 de Octubre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

917. 30. (Julio 2007) Concurso del verano 2007

PROBLEMAS   A.- Títulos numéricos Uno dos tres... infinito es un libro de divulgación de George Gamow, que en su título contiene números. La idea es encontrar obras literarias (cuentos o novelas) con esta característica (no cuentan libros técnicos o de divulgación, como La historia de pi de Beckman y similares). A.1 5 puntos por cada título, hasta un máximo de 30 puntos (no vamos a considerar Veinte mil leguas de viaje submarino ni Las mil y una noches) A.2 10 puntos al número más alto. B.- Títulos matemáticos El círculo Matarese es una novela de Robert Ludlum. El desafío es encontrar otros títulos con términos claramente matemáticos. 5 puntos por cada uno, hasta un máximo de 30. C.- Personajes ¿Hay personajes de cuentos, novelas, u obras de teatro que lleven por nombres números o términos matemáticos? 5 puntos por cada uno, hasta un máximo de 30. ...................... El puntaje total es de 100 puntos. Los ganadores serán quienes sumen más puntos, envíen sus respuestas a: jpinasco-gmail.com ó a jpinasco-ungs.edu.ar (reemplazando el guión por algo conveniente). Para desempatar, ganará el que sume menos palabras (no matemáticas ni numéricas) en los títulos que propuso.

Domingo, 01 de Julio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

918. 29. (Junio 2007) Teoría de Juegos (3)

Terminaba una columna anterior sobre teoría de juegos de la siguiente forma: Y como esta es una columna dedicada a las matemáticas pero también a la literatura, una segunda pregunta que espero responder en otra ocasión es la siguiente: ¿Y qué tiene que ver todo esto con la literatura? La respuesta, créanme, es verdaderamente surrealista. Bien, hoy voy a dedicarle unas líneas a este tema. * * *   Mencionábamos también un juego del estilo del Nim, donde dos jugadores retiraban piedras de una disposición en filas y columnas, y preguntábamos para cuál de los jugadores había una estrategia ganadora. Este tipo de juegos fue muy estudiados por el matemático inglés John Horton Conway. En estos juegos no hay vuelta atrás: de cada posición se pasa a una nueva que no apareció antes. Conway introdujo una definición y una notación para los juegos que al principio parece extraña, basada en la idea anterior. Un juego se puede pensar como un grafo dirigido, es decir, un conjunto de nodos o vértices, y segmentos de un nodo a otro con una dirección. Podemos tomar como nodos las posiciones posibles, e indicar con un segmento las movidas: pasamos de una posición a otra. Es más, a cada segmento lo marcamos con una L o una R (que hacen referencia a Left y Right, los nombres de los dos jugadores), según cuál sea el jugador que hizo la movida. Faltaría definir cómo se gana un juego, y sin entrar en más detalles, diremos que uno de los jugadores gana si alcanza una posición en la cual el rival no tiene movidas posibles. Un punto importante es que cada vez que se realiza una movida L o R, se tiene un nuevo juego, con lo cual se pueden identificar las movidas L y R con nuevos juegos. Conway utilizó esta idea para definir inductivamente un juego: si se tienen dos conjuntos de juegos L y R, se tiene el juego G = (L, R), es decir una posición a partir de las cuales se tienen disponibles las posiciones L y R. Por ejemplo, si tanto L como R son vacíos, se tiene un juego muy simple donde ninguno de los dos dispone de movidas. Esta situación se la suele representar como el juego G = y se lo suele llamar 0 (observemos que en el juego 0, el que empieza pierde). De la misma manera se podrían definir otros dos juegos, -1 y 1, según L o R dispongan de una única movida que lleve al juego 0: 1 = , -1 =   Llamar estos juegos con números no es un 'accidente'. Uno puede seguir definiendo juegos (o números) por este camino, y el método recuerda las cortaduras de Dedekind, separando los racionales en dos clases, L y R, para definir los reales. Y hay dos cosas sorprendentes al respecto: La primera, que el método no sólo genera los números reales, sino además permite introducir los infinitésimos y distintos infinitos. De esta manera uno obtiene los números surreales, y su generalización, los 'nimbers'. La segunda, es que Conway no publicó este resultado suyo en una revista de matemáticas, como se hace habitualmente, ni en un libro. El proceso de construcción de los surreales apareció en una novela, una historia de ficción cuyo autor era nada menos que Donald Knuth. Notas y Links. Algunos recursos disponibles en la web. - John Horton Conway, biografía en la Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/John_Horton_Conway. - Dierk Schleicher y Michael Stoll, An Introduction to Conway's Games and Numbers, arXiv:math/0410026v2 [math.CO]. - Donald Knuth, Les nombres surreels (traduccion de Daniel E. Loeb), pdf.

Viernes, 01 de Junio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

919. 28. (Mayo 2007) La matemática es una belleza

Contra lo que suponen quienes han padecido llevándose la materia siempre a marzo, la matemática -como un instrumento bien tocado- puede abrir las puertas a todas las artes y a las mayores sensibilidades. Más que la lógica, es la estética el elemento dominante en la creatividad matemática. Henri Poincaré Existe un problema de carácter no matemático que los matemáticos no aciertan a resolver. Cualquiera que se dedique a esta actividad aceptará sin esfuerzo la sugestiva afirmación del epígrafe, en especial si se le dice que proviene de una pluma tan ilustre, cuyas ideas anticiparon, entre otras cosas, la famosa teoría de la relatividad. Sin embargo, una vez asumido el hecho de que la matemática puede convertirse en una experiencia estética, ¿cómo hacer para transmitirla a quienes no han vivido en carne propia los goces de tal experiencia? Para ellos la cita de Poincaré carece de sentido; se trata de la descabellada idea de un matemático. Incluso, para muchos, la matemática no es más que un padecimiento que se convierte, con el correr de los años, en un amargo recuerdo adolescente. Otros ni siquiera tienen tanta suerte, pues los curiosos antojos del destino vuelven a ponerlos frente a sus austeros enunciados en el seno de las más variadas disciplinas, en las que esta aparición podría parecer inesperada: el arte, la filosofía, la medicina o el psicoanálisis, por citar algunas. Hasta en la religión la matemática se hace presente, tanto en las complejas reglas que rigen la interpretación bíblica, como en los insondables misterios de la Cábala y el misticismo. El problema se profundiza ante el innegable hecho de que, además de estética, la matemática ha mostrado ser una herramienta indispensable, no sólo por sus múltiples aplicaciones, sino también porque constituye la base de todo pensamiento abstracto. Ningún programa educacional, por audaz que sea, puede darse el lujo de excluirla por completo. Volvemos entonces a la desagradable escena de un gran número de estudiantes sufriendo, año tras año, la misma tortura. Algunos comprenden que la matemática es útil para entender otras cosas, que son las que en verdad les interesan, y la estudian como quien toma un medicamento; otros ni siquiera eso. Pero la matemática es, además de útil, un fin en sí mismo, y como tal debería ser aprendida. Puede pensarse que su belleza está destinada a unos pocos, y que quienes no son capaces de admirarla deben limitarse a superar sus escollos de la mejor manera posible. Esto no es así; como la música, la matemática puede ser apreciada por cualquiera, siempre que se le den los medios adecuados para acceder a sus encantos. De la misma forma en que resultaría absurdo pretender que alguien aprenda la notación musical o las reglas de la armonía sin decirle que ésa es la forma indicada de ejecutar o componer una pieza, la belleza matemática debería funcionar como una motivación casi necesaria para adentrarse en sus laberintos. Así se descubrirá que dichos laberintos no lo son tanto. En el fondo, no es más que un problema de lenguaje: la matemática no es otra cosa que un lenguaje bien hecho. La tarea consiste, entonces, en buscar la manera de ejercitarse en el empleo de este lenguaje, inducido por los secretos paraísos que promete. Cuenta una leyenda que un pagano le pide a un estudioso de la Biblia que le muestre el Paraíso. El estudioso lo lleva, en sueños, a un lugar en donde se encuentra un anciano, uno de los más grandes sabios, leyendo los textos sagrados. El pagano le pregunta: "¿Cómo es esto? Este hombre se ha pasado la vida estudiando y, una vez que se encuentra en el Paraíso, ¿debe seguir haciéndolo?" El estudioso le responde: "Sí, pero ahora él comprende". Un elemento central de la matemática es la demostración, aunque antes de ponernos a demostrar debemos hacer el sutil esfuerzo de mostrar algunas de sus ideas, presentarlas de un modo simple. De nada sirve hablar de grandes maravillas a quien no está preparado para verlas. Como matemático, no puedo hablar más que desde mi propia experiencia y narrar mi pasión por este mundo cargado de axiomas, fórmulas y teoremas. Pero hablar no es sólo dar clase o publicar textos de enseñanza, sino básicamente conversar: conversar con todo el mundo; con científicos, educadores e intelectuales, pero también con pintores, músicos, cineastas o poetas, interesarse en sus preguntas y brindar lo que se pueda. A veces respuestas y otras, la mayoría, nuevas preguntas. No es aventurado afirmar que de esta clase de diálogos entre disciplinas han surgido algunas de las obras más conmovedoras del pensamiento humano. Para buscar un ejemplo cercano, basta recorrer una vez más las páginas de Borges, de cuyo deslumbramiento por la matemática nos hablan sus juegos de espejos y paradojas lógicas. Quizá todo se pueda resumir en aquella minúscula esfera que encierra todos los secretos, ese lugar "donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos" y para el que Borges eligió aquella denominación que los matemáticos emplean para referirse a sus conjuntos infinitos: el Aleph. (Texto publicado por el diario Clarin el 13/12/2004) Nota: Amster acaba de publicar "La matemática como una de las bellas artes" (Siglo XXI-Universidad Nacional de Quilmes).

Martes, 01 de Mayo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

920. 27. (Abril 2007) Los muertos que vos matais...

Dos meses atrás escribí el último artículo y tenía en mente una continuación que, por distintas razones, aún no he tipeado. En el medio, y tal vez la principal razón, es que comencé a preparar una materia de historia de las matemáticas, con un programa -demasiado, quizás?- ambicioso, y tuve que ponerme a estudiar y prepararme como hasta ahora nunca lo había hecho. Una de las sorpresas que me encontré es la cantidad de enigmas que hay en la historia de esta ciencia, y me imagino que también los hay en la historia de la literatura. Por lo pronto, voy a cerrar este artículo con uno que, al menos, lo es para mí, y agradecería si alguien me envía la respuesta por mail. "Los muertos que vos matáis gozan de buena salud" me vino a la mente leyendo sobre Pitágoras, su academia/secta, y sus resultados. ¿Por qué? Es medio largo de explicar, y ni siquiera estoy seguro de entenderlo yo mismo, pero lo voy a intentar. Una de las frases más habituales que uno encuentra al leer sobre los pitagóricos es que el descubrimiento de los irracionales fue un mazazo para su filosofía o su misticismo respecto al papel del número. Pero por otra parte, leyendo las citas de Proclo o de Jámblico (sobre el castigo casi divino para quien divulgó esos resultados), todo indica que a los pitagóricos no los afectó para mal ese conocimiento. Se puede argumentar, sí, que algunas demostraciones dejaban de ser válidas si uno aceptaba la existencia de cantidades inconmensurables entre sí, pero eso no parece haberlos detenido para nada. Los pitagóricos siguieron creciendo, incluso comenzaron a participar en política, y sin dudas este conocimiento no les provocó una desbandada, ni destruyó la escuela. Además, no queda claro cuál fue el camino original de los pitagóricos para llegar a este descubrimiento. Hay tres resultados (el pentagrama, la divina proporción, y el mismo teorema de Pitágoras) que se consideran propios de los pitagóricos. El pentagrama místico era un símbolo de los pitagóricos, y sus diagonales se cortan justamente en la razón (o proporción) áurea. Esta, a su vez, se obtiene en un segmento de longitud L dividiéndolo en dos, el mayor de longitud x, tal que L/x = x/(L-x). El tercero, el teorema de Pitágoras, no necesita mayor presentación: la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa. Lo más sorprendente es que los tres resultados generan demostraciones de la existencia de los irracionales. Las que se basan en Pitágoras son conocidas, basadas en la diagonal de un cuadrado unitario, aunque también plegando un lado del cuadrado sobre la diagonal se obtiene una demostración de que no puede haber un cuadrado con lados y diagonales enteras. Pero también con el pentagrama uno puede obtener otra, mirando el pentágono interior que definen los cruces de las diagonales. Y por último, la razón áurea define otra, porque tomando L = 1, si x fuese un racional a/b, se tiene 1/(a/b) = (a/b)/[1-(a/b)] b/a = a/(b-a)   Es decir, a/b = (b-a)/a. Y ahora hay dos caminos para seguir la demostración. Por el absurdo, si a/b era la fracción con denominador menor, ahora hemos encontrado una más chica, ya que a es menor que b, pues a/b es menor a uno. O por el famoso descenso infinito, de Fermat (dos milenios después), ya que repitiendo el razonamiento podemos hallar otra con denominador aún menor indefinidamente. Como quiera que haya sido, sea cual fuese la demostración original de los pitagóricos de la existencia de los irracionales, no parece un resultado que los haya socavado. Los muertos que algunos matan, parece que gozaban de buena salud. Y la pregunta que tengo, la única relación de esta columna con la literatura, es quién escribió o dijo que "Los muertos que vos matáis gozan de buena salud". Tras una búsqueda rápida por internet, encuentro distintas fuentes: Cervantes, Tirso de Molina, Juan Ruiz de Alarcón, Corneille, y en cantidad de resultados parece ir primero Zorrilla en el Don Juan Tenorio (aunque también se lo desmiente como fuente). Link recomendado. Para las citas de Proclo y Jámblico, acá mismo en Divulgamat, el artículo sobre Pitágoras de Pedro Miguel González Urbaneja.

Domingo, 01 de Abril de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico