921. 26. (Marzo 2007) Edgar Allan Poe y la matemática en Creta

Logic is the Art of going wrong with confidence (Anonymus) La más remota contribución a la lógica matemática de nuestro siglo vino de boca de un poeta. Corría el siglo VI A.C cuando Epiménides, poeta cretense, anunció a la posteridad que Todos los cretenses son mentirosos. Esta afirmación fue objeto de variadas muestras de recelo, no tanto hacia el poeta sino más bien hacia el cretense: si todos mienten, ¿cómo podría la afirmación de Epiménides ser verdadera? Algo similar ocurre con Pessoa, quien en su "Autopsicografía" escribe: El poeta es un fingidor. Dos poetas, uno cretense y portugués el otro (o más bien los otros), han prefigurado uno de los más notables logros de la lógica moderna: el Teorema de Incompletitud de Gödel. El hecho es que cada escritor crea a sus precursores. Su labor modifica nuestra concepción del pasado, como ha de modificar el futuro. (J.L.Borges, Kafka y sus precursores. En "Otras Inquisiciones") La paradoja de Epiménides no es una paradoja; apenas una mentira. Si todos los poetas son fingidores, entonces lo es Pessoa, y nada de lo que finge es verdadero, aunque Finge tan completamente que hasta finge que es dolor el dolor que en verdad siente. Cuanto menos, resulta falsa la universal afirmativa de que todos los poetas mienten siempre; podemos concluir sin contradecirnos que no todos los poetas mienten, aunque sí lo hace Pessoa. Y ésto muestra que la paradoja de Epiménides no es una paradoja, apenas una mentira. Sin embargo, se acepta que la paradoja se llame paradoja y que prefigure a Gödel, porque admite una forma mucho más simple, mucho más acabada: Miento. Si digo la verdad, miento, mientras que si miento digo la verdad. Hay quien propuso "Hablo, miento" para compararla con el Pienso, soy cartesiano. Hay quien propuso "Estoy mintiendo", porque entonces no existe la necesidad de formular juicio alguno acerca de las otras oraciones proferidas por nuestro poco confiable parlante. La paradoja de Epiménides o de Pessoa es un apacible juego de palabras; ¿cómo puede un apacible juego prefigurar a un lógico serio como Gödel? Ts'ui Pen diría una vez: Me retiro a escribir un libro. Y otra: Me retiro a construir un laberinto. Todos imaginaron dos obras; nadie pensó que libro y laberinto eran un mismo objeto. (J.L.Borges, El jardín de senderos que se bifurcan. En "Ficciones") Borges finge un laberinto, quizás uno tan grande como el laberinto de la isla de Creta. En una de sus ficciones propone una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posiblilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos. El jardín de Borges es un apacible jardín de senderos que se bifurcan; ¿cómo puede un apacible jardín prefigurar a una desapacible ciencia? Tomemos por ejemplo a la mecánica cuántica, que en una de sus no-ficciones propone La trayectoria de las configuraciones de la memoria de un observador que realiza una serie de mediciones no es una secuencia lineal de configuraciones de la memoria sino un árbol ramificado ("branching tree"), con todos los resultados posibles que existen simultáneamente. (Everett, Relative State formulation of Quantum Mechanics) ¿Es válido suponer que un texto de Borges es más ficticio que un texto científico? El hecho es que Gödel crea a sus precursores. Crea a Epiménides, y transforma a su paradoja en Minotauro. Poco antes otro minotauro, encontrado por Russell, había hecho tambalear las bases mismas de la Matemática: una nueva Babel. Ciertamente, los matemáticos dejaron entonces de entenderse entre sí y fundaron diversas escuelas: logicismo, formalismo, intuicionismo. El propio Russell intentó reparar los efectos de su pavoroso descubrimiento y se abocó a la tarea de soñar la Matemática. El propósito que lo guiaba no era imposible, aunque sí sobrenatural. Quería soñar un hombre: quería soñarlo con integridad minuciosa e imponerlo a la realidad. Ese proyecto mágico había agotado el espacio entero de su alma; si alguien le hubiera preguntado su propio nombre o cualquier rasgo de su vida anterior, no habría acertado a responder. (J.L.Borges, Las ruinas circulares. En "Ficciones") Pero la realidad no se dejó imponer un libraco tan voluminoso como los Principia Mathematica, cuya integridad minuciosa obliga a recorrer 362 páginas antes de ver demostrado el fecundo hecho de que 1+1=2. Como sea, Russell agotó el espacio entero de su alma para expulsar al minotauro de ese otro laberinto creado a tal fin, la teoría de tipos, con sus múltiples niveles de lenguaje, metalenguaje y metametalenguaje. El buen monstruo, algo aturdido, pasó a conformarse con tomar ubicación en lo que Russell propuso como realidad extramatemática o extralógica. Sin embargo, en un famoso artículo de 1931 Gödel muestra que dicha "realidad extramatemática" contiene verdades matemáticas: se trata de las proposiciones indecidibles, enunciados que son verdaderos pero no pueden demostrarse. Más aun, ésto no ocurre sólo con los Principia sino con cualquier sistema destinado a describir a la Aritmética, lo que reveló que el propósito que guiaba a Russell no era sobrenatural, aunque sí imposible. El resultado de Gödel estaba prefigurado por Epiménides, aunque es un hecho que Gödel crea a sus precursores. Un minotauro encerrado en un laberinto sólo es capaz de inquietar a las siete parejas de jóvenes que se internan, año tras año, por sus senderos. El recurso de Russell había sido suponer a la realidad matemática o lógica completamente ajena al laberinto, puesto que ya había adivinado la imposibilidad de un Teseo. El recurso de Gödel es más realista, pues comprendió de inmediato que la Mathematica excede a los Principia. Por eso se propone una tarea inesperada, sorprendente: no asesinar al minotauro, sino seducirlo. Seducirlo, domesticarlo y liberarlo, permitirle pastar en el campo matemático. El teorema de Gödel no es otra cosa que una formulación sumamente ingeniosa de la paradoja de Epiménides dentro del lenguaje formal: para evitar la contradicción, que acarrearía a la destructiva inconsistencia, se establece una distinción entre los conceptos de verdad y demostrabilidad. Una frase que dice Esta frase no es demostrable es todavía un monstruo, puesto que suponerla falsa nos lleva a un absurdo, y eso demuestra que es verdadera. De-monstración que dictamina un nuevo (aunque presente ya en el comienzo) absurdo; sin embargo, si la noción de demostrabilidad está restringida a un sistema formal, vale decir Esta frase no es demostrable en el sistema X, entonces vemos que la frase en cuestión debe ser verdadera, aunque su "deber ser" viene dado por una demostración que está por fuera del sistema. De no ser así, el sistema X sería inconsistente, y entonces Su caída será tan precipitada como embarazosa. (E.A. Poe, La carta robada) La caída del Ministro D*** prefigura a Poe. ¿Cómo puede un designio tan funesto prefigurar a su creador? Mi deseo es demostrar que ningún punto de la composición puede ser atribuido a la casualidad o la intuición, y que la obra ha marchado, paso a paso, hacia su solución con la precisión y la rigurosa lógica de un problema matemático. (E.A.Poe, Filosofía de la composición) Poeta y matemático, el Ministro engaña a todos, tanto al Prefecto como al lector. El caballero Dupin combina a la perfección los términos que se oponen en la fórmula de Pascal: espíritu de geometría y espíritu de fineza, y sólo a partir de esta combinación es capaz de justificar sus variadas muestras de recelo. No tanto hacia el matemático sino más bien hacia el poeta: Dupin sabía ya que el Ministro es un fingidor. Más tarde nos explica la sencillez de su hazaña, el haber acertado allí donde todos erraban: El Ministro diría una vez: Me retiro a escribir poesía. Y otra: Me retiro a construir la matemática. Todos imaginaron dos obras; nadie pensó que poesía y matemática eran un mismo objeto. ¿Es válido suponer que un texto matemático es menos ficticio que un texto de Poe? No es aventurado suponer que es allí donde todos yerran. Lo dividiré en dos partes dijo el sacerdote. Primero, lo que todos saben, y después lo que yo sé. Lo que todos saben es muy sencillo y breve de contar. Además, es una completa equivocación. (G.K.Chesterton, La muestra de la espada rota) Para Chesterton, el crimen es una forma de arte, de la que el detective es apenas un crítico. El cuento mencionado presenta un retrato cabal del artista, cuya obra ha marchado, paso a paso, hacia su solución con la precisión y la rigurosa lógica de un problema matemático: ¿Dónde esconderá el sabio una hoja? En el bosque. Y si no hay bosque, fabricará uno. Y si se trata de esconder una hoja marchita, fabricará un bosque marchito. (Ibid.) La hazaña de Gödel fue la de haber acertado allí donde todos erraban. Y eso que Russell buscó ...por todas partes. Tengo una larga experiencia en esos asuntos. Hemos recorrido la casa entera, cuarto por cuarto, dedicando las noches de toda una semana a cada uno. Hemos examinado primero el mobiliario de cada habitación y abierto todos los cajones posibles, y supongo que sabrá usted que para un agente de Policía convenientemente adiestrado un cajón secreto no resulta imposible de descubrir. (E.A. Poe, La carta robada) Gödel es un fingidor. Fue él quien se acomodó unas gafas verdes y entró al hotel, una hermosa mañana. Fue allí donde anunció a la posteridad que no hay otra alternativa que convivir con el monstrum horrendum, y que la paz de esta convivencia tiene un precio: ...es una recompensa muy generosa... No sé a cuánto asciende exactamente, pero le diré una cosa, y es que yo me comprometería a entregar por mi cuenta un cheque de cincuenta mil francos a quien pudiese conseguirme esa carta. (Ibid.) Nada de eso; la solución de los desvelos de Russell debió pagarse a un precio que nadie imaginaba, un precio que hasta el momento a todos había parecido inaceptable: la completitud. El teorema de Gödel pone de manifiesto una incompletitud que es intrínseca a la Lógica, tanto que ya había sido prefigurada, tiempo atrás, por un apacible poeta.

Jueves, 01 de Marzo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

922. 24. (Enero 2007) Teoría de Juegos (2)

El primer teorema de teoría de juegos apareció hace menos de cien años, y se lo debemos a Zermelo. Este demostró que en todo juego sin azar, con un número finito de posiciones, uno de los jugadores tiene una estrategia no perdedora. El teorema, de aspecto más que inocente, engloba juegos como el ta-te-tí (o tres en raya), las damas, el ajedrez, y el go. Es sólo una cuestión de complejidad -el número inmenso de posiciones posibles- lo que los diferencia. El propio Zermelo era consciente de esta complejidad, y el mismo título de su paper nos indica que tenía en mente el ajedrez: "Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels" Consideremos brevemente el ta-te-tí. Este es un juego simple de analizar, tiene "pocas" movidas en comparación al ajedrez. En un tablero de tres por tres, ambos jugadores van colocando fichas en alguna de las nueve casillas -el primero de un color, el segundo de otro- y el objetivo es colocar tres en una misma línea. No es difícil descubrir la estrategia que debe seguir el primer jugador para evitar perder, claro que eso no significa que el primer jugador gane: si el segundo juega correctamente, aunque no pueda obtener una victoria sí puede forzar el empate. Tampoco es difícil programar una computadora para que juegue bien al ta-te-tí, después de todo, una estrategia es una receta (o un programa) que nos dice qué hacer ante cada situación que se nos presenta. Avanzando sobre los juegos mencionados, las damas son relativamente simples. Y el ajedrez, a juzgar por los resultados actuales de los matchs humanos-vs-computadoras, se podría creer que también lo es. Pero el ajedrez no está resuelto en los mismos términos que sí lo está el ta-te-tí: hoy las máquinas ganan a cualquiera sólo porque ven más lejos, tienen un horizonte de movidas analizadas por delante superior al que se plantean analizar los humanos. Eliminando -para el humano- la restricción temporal (esto es, dándole más tiempo para analizar las movidas, en lugar de las habituales dos horas para cuarenta movidas), la fuerza de la máquina se ve disminuida. Esto se observa en el ajedrez postal, tanto en el clásico por correo como en su versión moderna por e-mail. El go computacional, por ahora, está en una fase menos desarrollada, pero creo que es sólo cuestión de tiempo hasta que un programa comience a vencer a los seres humanos. Otra clase de juegos incluídos en el teorema de Zermelo es aquella de juegos de retirar piedritas o varillas de un determinado grupo siguiendo ciertas reglas hasta que no haya movidas posibles. El Nim es un ejemplo clásico, pero quiero mencionar aquí otro cuyo nombre desconozco, sobre todo porque es un caso típico del monstruo matemático creado a principios del siglo XX por Zermelo y sus amigos. El juego consiste en quitar grupos de piedritas de una tabla rectangular como la siguiente: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x La regla es que -una vez elegida una piedra- se quitan todas las que estén por encima y a su derecha. Por ejemplo, si se selecciona la piedra marcada con una o, x x x x x x x x x x x x x x x o x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x habrá que quitar todas las piedras marcadas ahora con una o: x x x x x o o o o o x x x x x o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Y el que haga la última movida, pierde (sería muy simple la estrategia ganadora del blanco si quien hace la última movida gana: toma la que está en el extremo inferior izquierdo y retira todas!) Este juego, incluído en el Teorema de Zermelo, debe tener forzosamente una estrategia ganadora para uno de los jugadores, aunque tal vez dependa del tamaño del rectángulo de mxn piedras. La pregunta que les dejo para la próxima columna es ¿cual? ¡Pero cuidado! La pregunta es ¿para cual jugador hay una estrategia?, no es ¿cual es la estrategia? (bueno, si quieren probar encontrarla, adelante, ¡que yo no la conozca no quiere decir que no exista o que no sea posible descubrirla!) Y como esta es una columna dedicada a las matemáticas pero también a la literatura, una segunda pregunta que espero responder en otra ocasión es la siguiente: ¿Y qué tiene que ver todo esto con la literatura? La respuesta, créanme, es verdaderamente surrealista. Notas y Links. Algunos recursos disponibles en la web. - El teorema de Zermelo fue presentado en el ICM1912, http://www.mathunion.org/ICM/prev-icms.html. - Existe una traducción del trabajo al inglés (con un detallado análisis de qué es lo que demuestra en realidad y de algunas contribuciones posteriores) hecha por Ulrich Schwalbe y Paul Walker, http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pages/paul_walker/....

Lunes, 01 de Enero de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

923. 23. (Noviembre 2006) Teoría de Juegos

En el siglo XX crecieron y se desarrollaron distintas ramas de las matemáticas que habían nacido en el siglo XIX. Por ejemplo, el análisis funcional -evolución natural de los sistemas lineales infinitos y las ecuaciones integrales-, el álgebra abstracta -inspirada por un lado por los cuaterniones de Hamilton y por la abstracción de Dedekind de los números ideales de Kummer-, la teoría moderna de la medida, la topología, etc. Pero hay una rama que prácticamente nació en el siglo XX, de la cual casi no hay antecedentes en las matemáticas de los siglos anteriores: la teoría de juegos. Sin embargo, se pueden encontrar en la literatura numerosos elementos pertenecientes a la teoría de juegos. La leyenda sobre el origen del ajedrez es uno de los primeros ejemplos. Recordemos que según se cuenta, un rey estaba triste por haber perdido a su hijo en una batalla, y no había forma de sacarlo de su malestar. Un viejo llega al palacio con el ajedrez, le enseña a jugar y logra distraerlo. Durante un partido, el rey para ganar debe sacrificar una de sus piezas, y el viejo compara la situación con la muerte del hijo. El rey acepta entonces lo sucedido, y en agradecimiento decide premiar al viejo con lo que éste le pida. Ahí viene la historia muy conocida de los granos de trigo -o arroz- que se van duplicando de un casillero al siguiente, y la imposibilidad de cumplir el pedido. La historia tiene distintos mensajes. El paralelo entre lo que sucede en el tablero y en la vida real es el más importante, aunque uno puede preguntarse cuál es el modelo del otro. Si bien puede pensarse que el ajedrez simula una guerra, las actitudes en el partido -sacrificar una pieza- se trasladan a la vida real y vuelven aceptable una pérdida que antes no lo era; lo sucedido en el partido modifica la visión de la realidad y ayuda al rey a manejarla. Lo nuevo de la teoría de juegos fue modelar el problema de toma de decisiones: cómo actuar en determinada situación, ya sea en una batalla, un partido de ajedrez o una negociación comercial. Si bien el problema parece dominado por factores psicológicos, Von Neumann y Morgenstern mostraron en su libro Theory of Games and Economic Behavior que se podía proceder racionalmente para determinar la manera óptima de qué actuar. Este libro fue publicado en 1944, aunque circuló en los años anteriores entre los científicos que trabajaban en problemas planteados por la Segunda Guerra Mundial. Decíamos antes que esta rama de las matemáticas casi no tuvo antecedentes y que prácticamente nació en el siglo XX. Por supuesto, hubo unos pocos trabajos previos, pero que no constituían siquiera el germen de la actual teoría de juegos. Zermelo, Ulam y Borel publicaron algunos resultados entre 1910 y 1930, y el propio Von Neumann había escrito un par de artículos sobre el poker en la década del '20. Antes de eso, apenas podemos citar dos referencias: -En 1713, James Waldegrave le escribe una carta a Pierre Rémond de Montmort, analizando cómo proceder en un juego de cartas para maximizar las chances de ganar. Es decir, no sólo calcula las probabilidades de victoria para una situación dada, sino que indica cómo actuar a continuación. El resultado es lo que hoy se conoce como una estrategia mixta, e indica con qué frecuencia conviene continuar o abandonar. Este resultado es mencionado en una carta de Montmort a Bernoulli, y Montmort lo publica en un apéndice de su tratado de probabilidades. Recién doscientos años después Borel rescata este resultado, y se interesa en su validez general. -En el Liber de ludo aleae, Girolamo Cardano estudia juegos de azar (dados, cartas) e incluye elementos nunca considerados desde la matemática (ni antes ni después): las trampas. Puede parecer poco relevante este detalle, pero no lo es. Es el primer análisis completo de un juego, y con completo queremos decir que incluye no sólo sus reglas y las posibles situaciones, sino también el proceso mismo de jugar, y el problema de cómo se pueden violar las reglas. En otra oportunidad veremos cómo distintos argumentos de teoría de juegos aparecieron primero en la literatura.

Miércoles, 01 de Noviembre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

924. 20. (Julio 2006) El perro y su... ¿sombra o reflejo?

(Para Pini) Vamos a retroceder unos años, casi dos mil seiscientos. Nos vamos a ubicar un momento en la Antigua Grecia, entre los siglos VI y V a. C. De esa época es Thales, uno de los siete sabios, y es el más viejo de los filósofos y científicos griegos que conocemos. A él le debemos el Teorema de Thales, donde se mezclan la semejanza de triángulos con las proporciones y la regla de tres. El Teorema de Thales se suele presentar como un ejemplo de abstracción, y en gran medida eso es lo que es: resume, en unas pocas líneas, las proporciones entre las longitudes de los lados de triángulos que comparten un ángulo y tienen uno de sus lados paralelos. Pero estos triángulos aparecen en problemas prácticos a la hora de determinar distnacias, alturas, o longitudes. Thales nos dice que para saber la altura de un objeto alcanza con medir la longitud de su sombra, y luego relacionarlas con la altura y la longitud de la sombra de un objeto conocido. Según Diógenes Laercio, así calculó Thales la altura de las pirámides egipcias, ayudado sólo por una varilla. Otro de sus logros fue la predicción de un eclipse. ¿Y qué es predecir un eclipse, sino determinar la sombra de cuerpo sobre otro cuando se mueven en las inmediaciones de una fuente luminosa? Se dice que Arquímedes, unos trescientos años después, calculó la distancia desde la costa a la flota griega que asediaba su ciudad, Siracusa. Las historias dicen que luego la hundió incendiándola, aunque se dividen en dos versiones: que utilizó espejos para incendiar las velas (poco creíble), y que dispararon flechas incendiarias con catapultas (mucho más probable). Y parece que ya Thales había dado tres métodos para calcular la distancia a un barco, utilizando la congruencia de triángulos. Con pocos años de diferencia, otro logro del teorema de Thales fue la medición del radio terrestre. Midiendo la sombra de una vara en Alejandría, y sabiendo que a la misma hora el sol se reflejaba en el fondo de los pozos de agua de Siena, Eratóstenes calculó la longitud del radio con una gran exactitud. Pero no era de Thales, ni de Arquímedes o Erastótenes, que quería hablar, sino de Esopo. Se sabe poco de la vida de Esopo. Casi contemporáneo de Thales, parece que fue un esclavo y viajó por el mundo antiguo. Lo mencionan Aristóteles y Platón en sus textos, y de él nos han llegado sus fábulas, historias breves con una enseñanza que viene como moraleja al final de las mismas. Quería hablar de un problema con una de ellas, El perro y su... ¿sombra o reflejo? Según la traducción inglesa, es su sombra, mientras que según la traducción al español es su reflejo. Según la fábula, el perro cruzaba un río con un trozo de carne en la boca, cuando ve en el agua su propia ¿sombra, reflejo? pero el trozo de carne era mayor que el que llevaba. Para tomar el otro, soltó el suyo, y como era lógico, se quedó sin nada. Si pensamos un momento en esta situación, estaremos de acuerdo con que el reflejo de un objeto suele ser del mismo tamaño si se lo mira desde la ubicación del objeto (si, en cambio, el observador mira el reflejo en un espejo de un objeto situado entre el observador y el espejo, la imagen se verá menor; pero aquí nos apartaríamos demasiado para hablar de perspectivas). En nuestro caso, es el propio perro quien ve su reflejo: debería ver la carne del mismo tamaño (o, pensando en esto de la perspectiva, tal vez menor, ya que el trozo está más cerca de sus ojos que la imagen reflejada en el agua). Para convencernos, podemos experimentar con un espejo cualquiera. En cambio, la sombra puede ser más grande o más chica que el objeto en cuestión. Esto tampoco es difícil comprobarlo: busquemos de noche una calle oscura con una única luz, y acerquémosnos caminando a ella. Si vigilamos la sombra a nuestra espalda a medida que nos acercamos, veremos que ésta se acorta y prácticamente desaparece cuando estamos bajo la luz; y que vuelve a crecer a medida que nos alejamos. Pero experimentar de noche en calles poco iluminadas puede no ser saludable. Ahí conviene que imitemos a Thales y nos pongamos abstractos. Analizar con papel y lápiz la sombra que proyectamos sin dudas es más simple que calcular un eclipse. Y seguramente nos convencerá que éste tiene que haber sido el título correcto: sombra, en lugar de reflejo. Queda una pregunta, no menor, para más adelante: ¿como reconoció que esa sombra era un trozo de carne? Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://www.fcaglp.unlp.edu.ar/extension/preguntas/fabula.html - La Fábula de la Tierra Plana y el Descubrimiento de América, Guillermo Giménez de Castro. http://es.wikipedia.org/wiki/Esopo - Esopo, Wikipedia. http://www.mythfolklore.net/aesopica/misc/spanish.htm - Fábulas de Esopo. http://edyd.com/Fabulas/Esopo/E84PerroReflejo.htm - El perro y su..., de Esopo.

Sábado, 01 de Julio de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

925. 19. (Junio 2006) Reseña Literaria: ''Planilandia''

Reseña Literaria: ''Planilandia'' (''Flatland'') Edwin A. Abbott Editorial El Barquero, 2004. El texto que presentamos este mes es de Manuel ''Otis'' Haj-Saleh, un ingeniero español que escribe la bitácora ''Otis B. Driftwood (Perspectivas desde el centro del caos)'' y es un aficionado profesional -si se me permite el oxímoron- a la literatura. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ''Todo llega para quien sabe esperar''. Esto, que no sé si es un proverbio chino o una frase de Mark Twain (ya saben que las citas de autor desconocido se atribuyen a Twain o a Oscar Wilde), se aplica perfectamente a este libro, en cualquier caso. Leí por primera vez un fragmento condensado de ''Planilandia'' en la colección ''El Mundo de los Niños'', editada hace muchísimos años por Salvat. Al final del fragmento (que sólo recogía partes de los primeros capítulos) se indicaba que el libro original era un poco difícil de leer, ''pero interesante y divertido'' y consiguió despertar mi curiosidad. Lamentablemente, por aquella época era imposible encontrar una traducción al castellano, o quizás yo era demasiado joven para buscarla. Imagínense, pues, mi alegría, al descubrir esta nueva edición, además en un formato precioso. Edwin H. Abbott fue matemático, teólogo y estudioso de la gramática y los clásicos ingleses. Con tal currículum, era de esperar que si se ponía a escribir le saliera una novela como ''Planilandia'', catalogada por los editores, con bastante acierto, como un clásico de la ciencia-ficción. A pesar de eso, es ciencia ficción sin naves espaciales, sin viajes en el tiempo y sin extraños artilugios: es ciencia ficción matemática y los protagonistas son figuras geométricas. Y, sobre todo, es una sátira magnífica de la sociedad británica de hace más de un siglo. Al principio da la impresión de que, efectivamente, es un libro para niños: el estilo de la narración, deliberadamente académico, es en realidad una introducción al mundo de las figuras geométricas planas. Abbott se transmuta en el ciudadano de clase media-alta, A. Cuadrado (A. Square en el original, haciendo posiblemente juego de palabras con el tratamiento de respeto ''Esquire'') que describe a un público tridimensional cómo es la vida en Planilandia, un extraño mundo en el que todo, absolutamente todo, es plano, donde la tercera dimensión no existe más que en la mente de unos pocos chiflados y cuya organización social corresponde a un rígido sistema de clases en el que el número de lados de cada habitante es un símbolo de su inteligencia y su posición. A partir de ahí, el señor Cuadrado se descuelga con una agudísima descripción de ese sistema. Es una parte que cuesta leer con una cierta abstracción por lo descarnado de sus explicaciones, tan clasistas y machistas que a veces hacen daño al cerebro. Cuadrado hace hincapié, sobre todo, en la seguridad que da a la sociedad el mantenimiento de ese sistema, y cómo los intentos de disidencia o de revolución son abortados con sangre y sin piedad. La sociedad es tan restringida que ni siquiera el uso del color está permitido como forma de identificación, y los rectores son polígonos de muchos lados o incluso círculos, denominados ''sacerdotes'', que son los que establecen la forma de hacer política y las buenas maneras. La segunda parte del libro es más teatral y también más amarga. Empieza con un sueño o visión de Cuadrado en el que se encuentra en Puntolandia y en Linealandia, mundos dónde las dimensiones son una o ninguna. Curiosamente, Cuadrado comienza a observar en ambos mundos las mismas flaquezas y actitudes que pueblan el suyo: felicidad sustentada en la creencia de ser los únicos del universo (o, más correctamente, en que cada país se cree su propio universo) y negación sistemática de todo lo que pudiera suponer un salto hacia adelante o el alejamiento del orden establecido; y, por supuesto, ni hablar siquiera de una posible nueva dimensión, ya que no habría palabras para describirla que ellos pudieran entender. Los intentos de Cuadrado por tratar de explicarles que existen figuras ''de varios lados'' resultan infructuosos y, para el protagonista, ciertamente frustrantes. Tras este sueño, A. Cuadrado se va a encontrar con una tempestuosa sorpresa: la visita de un extraño ser que dice llamarse Esfera y que proviene de un mundo donde existe una tercera dimensión llamada ''altura''. Llevado por Esfera hacia esos nuevos mundos, Cuadrado queda fascinado ante las espectaculares posibilidades que ofrece un mundo tridimensional y, a su regreso, tratará de explicar a sus contemporáneos todas las maravillas que ha podido descubrir gracias a su ''revelación''. Ello, sin embargo, le valdrá las burlas y la incomprensión de sus conciudadanos en una sociedad aterrada ante cualquier perspectiva de cambio en sus hasta ahora inamovibles creencias. Cuadrado dará con sus cuatro esquinas en la cárcel, lugar desde donde escribe esta increíble historia, enfrentado, sin embargo, a sus propias dudas sobre si sus descubrimientos fueron en verdad ciertos o sólo producto de su imaginación. El hecho de que el libro no sólo esté narrado en primera persona sino que, además, se dirija sin intermediarios al posible lector, constituye en cierto modo una advertencia a éste: por un lado, de la vergüenza de la ignorancia y, por el otro, del peligro que supone saber. Dejando aparte su faceta didáctica, que la tiene, Abbott es un cuentacuentos impagable, que consigue que el lector tridimensional entorne los ojos y trate de imaginarse a sí mismo en un mundo donde las esquinas son objetos punzantes y las líneas rectas dardos invisibles. Se burla, asimismo, del encorsetamiento de las sociedades civilizadas, en las que el ''stablishment'' supone, sí, un camino unívoco y sin pérdida para ascender en la vida, pero que al mismo tiempo acaba careciendo de aristas y alicientes. El racismo no se muestra ante un color diferente, sino ante las irregularidades de un polígono, hablándote incluso (¡hace ya más de cien años!) de clínicas estéticas para corregir esas irregularidades que tanto afean la armonía social y que pueden suponer un obstáculo incluso para el matrimonio o para acceder a una buena escuela. Sin embargo, ni Abbott ni Cuadrado pontifican sobre lo que hay que hacer, ni sobre la recurrente disquisición entre lo que está bien y lo que está mal; eso se lo dejan, incluso explícitamente, al propio lector. De hecho, Cuadrado nunca se muestra crítico con la sociedad en la que vive; antes bien, acentúa los aspectos que deben tenerse en cuenta para ser un buen ciudadano e incluso se siente culpable por no seguirlos en un momento dado. Ilustrado por el autor con algunos esquemas pensados para ilustrar el concepto de ''Planilandia'', y con dos introducciones (una real, la otra de ficción) que complementan perfectamente tanto la narración como el tiempo en la que ésta se escribe, ''Planilandia'' es una joya perdida de la literatura fantástica, que en apenas ciento veinte páginas puede desarrollar un ambiente marcadamente opresivo, una historia de aventuras, una crítica desgarrada y, en suma, una fábula que en lugar de emplear animales para representarnos – al fin y al cabo – a nosotros mismos, elige hacerlo mediantes rectas, puntos y polígonos, donde la perfección que representa un círculo acaba resultando en su propia evolución hacia la negación de una realidad distinta y en la que, nunca con mayor motivo, cobra pleno significado la expresión ''es un cabeza cuadrada''. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://driftwood.librodenotas.com/ - ''Otis B. Driftwood'', weblog de Manuel Haj-Saleh, donde publicó por primera vez esta reseña bajo una licencia Creative Commons. http://www.gutenberg.org/etext/201 - Flatland: a romance of many dimensions (Illustrated) by Edwin Abbott Abbott. Versión original en inglés de Fatland, para descargar de Proyecto Gutenberg. http://www.eldritchpress.org/eaa/FL.HTM - Segunda edición, de 1884 (también en inglés). http://es.wikipedia.org/wiki/Edwin_Abbott_Abbott - Biografía de Edwin A. Abbott en la Wikipedia.

Jueves, 01 de Junio de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

926. 17. (Abril 2006) Stanislaw Lem

En marzo de 2006 falleció Stanislaw Lem. Hay mucho para decir de él, pero todo resultaría poco. Me parece que fue el escritor más completo del siglo XX, y al que le resulte exagerado... bueno, le respondería que lo dice porque no leyó sus obras. En el prólogo de uno de sus libros contaban que los yanquis no lo consideraban un candidato a premios literarios porque no podía tratarse de un solo escritor, debía ser un colectivo a la Bourbaki. El mismo se burló de esto desmintiendo que los viajes de Ijon Tichy hayan sido escritos por un dispositivo llamado "lem", y que hasta había quienes querían convencer al público de que "lem" era un hombre, cuando "cualquier persona enterada de la historia de la cosmonáutica sabe que LEM es la abreviatura de Lunar Excursion Module (...) del programa Apolo". Se dice también que nunca recibió el Nobel porque a los miembros de la Academia les hicieron creer que escribía ciencia ficción. Y la verdad es que Lem escribía ficción científica: los términos técnicos no están puestos en sus obras para impresionar al lector, o para dar el clima habitual de las novelas de ciencia ficción, sino que son parte inseparable de las mismas. Me es imposible no contar aquí que en uno de los viajes interestelares de Ijon Tichy, éste tira por la ventana un cadáver que luego ve pasar por la escotilla... comprende que por el vacío absoluto que lo rodea el muerto orbitará alrededor de la nave, y para no aburrirse procede a calcularle su período y radio orbital; casi la misma situación aparece como ejercicio en el genial [Ar]. Además, algunas de sus ideas han llegado a journals científicos, y principalmente sus análisis en la "Summa technologiae", pero también algunos de sus cuentos, como puede verse en [CB], por sus ideas de la evolución de otras formas de vida. Señalemos que estas otras formas de vida no suelen ser compatibles con la nuestra. Casi siempre, el mero diálogo es imposible, Solaris y El invencible son muestras perfectas de este tema: a diferencia de "Contacto" de Sagan, justamente, aquí es imposible pensar siquiera en un contacto con la otra especie. Ni hablar de interacción, o convivencia. Solaris, por ejemplo, es un planeta errático, que según una medición astronómica debería haberse escapado de la atracción de su sol, y según otra, haberse precipitado en él. El planeta, casi un gran océano, se mantenía reacomodándose gracias a construcciones que armaba con sus mareas. El Invencible, en cambio, era una nave perdida inexplicablemente, cuya computadora central había evolucionado en un concepto que se entrecruza con los temas de los capítulos X y XI de [Ho]. Otra de sus concepciones es la de las distintas etapas de una civilización tecnológica medida según la basura que manda al espacio: primero ondas electromagnéticas (radio, televisión... ¿alguno pensó la basura que estamos enviando?), luego desechos de satélites y naves espaciales, y por último manchas solares provocadas por el uso de los soles locales como incineradores. La tierra ya está viviendo la segunda etapa, y sufriendo sus consecuencias. Uno puede leer Diarios de las Estrellas (viaje XXI), o su carta final en el apéndice, Salvemos al cosmos [SL] para ver este efecto, o simplemente poner en un buscador de internet "chatarra espacial" para enterarse de casos como los siguientes: los restos del Saturno V confundidos en 2002 con un nuevo asteroide, la caída de un objeto de 70kg en enero de 2004 en Argentina o la de 225 kg en Tejas en 1997 de un depósito de un cohete, el radar inaugurado en 2004 en Japón para monitorear las toneladas de desechos que nos orbitan, los daños a los paneles solares del Hubble en 1997 o la historia de la estación internacional, gambeteando en 1999 los restos de una nave rusa. Parece que ahora hay un proyecto alemán para trasladar esta basura a órbitas alejadas de la Tierra, es probable que no conozcan esta historia de Lem, o verían que la del incinerador no es mala idea... Por otra parte, sus novelas La fiebre del heno y La investigación aparecen en la Wikipedia (en español) como una incursión en la literatura policial "con resultado bastante irregular en ambos casos". Lamentablemente, una lectura lineal o pasatista de las mismas puede llevar a esa reflexión, pero son ambas de una profundidad tal que bien podrían formar parte de un curso de epistemología. Explicar por qué me obligaría a revelar su contenido y parte del final, pero los invito a leer La investigación como lo que es, como una búsqueda cientifica y las cosas permitidas o no dentro de un marco racional, un ejemplo del método científico aplicado a rajatabla. Pero sus cuentos también han sido motivo de análisis en otras ciencias. En [HD], tres de sus cuentos son analizados en detalle (el otro autor del que incluyen tres textos es Raymond Smullyan, de JL Borges sólo dos; también hay tres de Hofstadter, pero como es el compilador ocupa un lugar privilegiado). El concepto de mente -y el de alma- aparece una y otra vez en sus historias, como así también extensos análisis propios de la religión y la filosofía (en especial, en Diarios de las Estrellas 2, donde Ijon Tichy deja de ser un "Maxwell Smart" en el espacio del primer volumen, y está mucho más cerca del Gulliver de Swift, con quien ha sido comparado muchas veces). "Los 'yo' creados y el libre albedrío" es una de las secciones donde incluyen dos de sus cuentos. Uno de ellos, Non serviam, analiza la obra de un científico dedicado a la evolución de poblaciones en una computadora, que estudia la "teogonía experimental" como Lem la llama. Aquí, personajes generados por una computadora evolucionan, desarrollan una religión y hasta elaboran un estudio crítico de la misma. El cuento mismo plantea esta obra del científico como una continuación de la de Norbert Wiener [Wi]. Dennet y Hofstadter cuentan que una noche, en el laboratorio de inteligencia artificial de la universidad de Stanford, B. Gosper (experto en el juego de la vida de Conway) propuso hacer un estudio muy similar. Claro que sin el humor de Lem de llamar a sus programas BAAL66, o CREAN IV. De paso, y ya que mencionamos a Borges, Non serviam es parte de Vacío Perfecto, una colección de reseñas de libros inexistentes, que se ha comparado con "Examen de las obras de Herbert Quain" y "Pierre Menard, autor del Quijote". Dicen que a Lem no le caía bien la comparación... La crítica social no está ausente en Lem, y eso que vivía en el Este. Quiero mencionar un cuento donde los gobernantes cometen errores y para solucionarlos la población debe adaptarse. Por ejemplo, como se inundan las ciudades, el gobierno decide que deben evolucionar y desarrollar branquias; como esto es evidentemente imposible, los habitantes desarrollan una técnica que consistía en dar saltitos y respirar fuera del agua. Por supuesto, el gobierno lo tolera como una muestra de buena voluntad de su pueblo por dar el paso evolutivo. Los que conozcan las teorías de Lysenko pueden ver aquí una crítica encubierta. Los que conozcan la biografía de Lem, sabrán que no se recibió nunca de médico por negarse a dar en los exámenes la versión Lysenkoísta, con la cual disentía. Sus primeros artículos fueron precisamente sátiras de la teoría de Lysenko en revistas científicas. No he hecho justicia aquí al humor de Lem, ni a la tristeza de alguna de sus obras. Ni a su desesperanza, ni a su pesimismo, ni a su optimismo. Tampoco a sus personajes: Hal Breg, Trurl, Claupacio, Ijon Tichy, Pirx, el propio Solaris, el detective de La investigación, a los que descubriré -porque por suerte me quedan todavía varios libros suyos para leer-, y a los que redescubriré cuando relea los pocos que he leído. Tampoco he hecho justicia a sus menciones a las matemáticas. Bibliografía. [Ar] Arnold, V.I., Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica, Ed. Paraninfo, 1984. 1982. [CB] Cirkovic, M.M. y Bradbury, R.J. Galactic Gradients, Postbiological Evolution and the Apparent Failure of SETI (http://arxiv.org/abs/astro-ph/0506110) [Ho] Hofstadter, D., Godel, Escher, Bach. Un eterno y gracil bucle. Tusquets Editores 1987. [HD] Hoftadter, D. y Dennett, D., El Ojo de la mente, Sudamericana, Buenos Aires, 1982. [Wi] Wiener, N., Dios y Golem, S.A. Siglo XXI editores. México, D. F. 1988. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://www.frankpr.net/Lem/Summa/contents.htm - Summa technologiae, traducción 'en progreso' de Frank Prengel. http://www.jornada.unam.mx/2001/08/12/sem-lem.htm - Salvemos al Cosmos, Stanislaw Lem. http://arxiv.org/abs/astro-ph/0506110 - Galactic Gradients, Postbiological Evolution and the Apparent Failure of SETI, de Milan M. Cirkovic y Robert J. Bradbury. http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Gosper - Bill Gosper, en la Wikipedia (inglés). http://en.wikipedia.org/wiki/Trofim_Lysenko - Trofim Lysenko, en la Wikipedia (inglés). http://es.wikipedia.org/wiki/Stanislaw_Lem - Stanislaw Lem, en la Wikipedia (español).

Sábado, 01 de Abril de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

927. 16. (Marzo 2006) Solitarios (II)

Hablábamos de la reflexión de Miguel de Unamuno del día 5-VII-1927, cuando hacía solitarios para entretenerse. Sigo pensando en los solitarios, en la historia. El solitario es el juego de azar. Un buen matemático podría calcular la probabilidad que hay de que salga o no una jugada. Y si se ponen dos sujetos en competencia a resolverla, lo natural es que en un mismo juego obtengan el mismo tanto por ciento de soluciones. Mas la competencia debe ser a quien resuelve más jugadas en igual tiempo. Y la ventaja del buen jugador de solitarios, no que juegue más de prisa, sino que abandone más jugadas apenas empezadas y en cuanto prevé que no tienen solución. Avancemos casi veinte años, hasta el año 1946, y cambiemos de protagonista. Ahora, nos ocuparemos del genial matemático polaco Stanislaw Ulam. Este fue uno de los grandes matemáticos del siglo veinte, con resultados tanto en matemática teórica como aplicada, y que dejó una autobiografía donde cuenta muchos episodios de su vida. Uno de los más interesantes se relaciona con una encefalitis que tuvo. Poco después de unirse al laboratorio de Los Alamos, pierde el conocimiento y es internado. Cuando se recupera, debe permanecer en reposo, evitando esfuerzos físicos y mentales. En cama, para entretenerse se pone a resolver solitarios (a diferencia de Unamuno, él juega al Canfield). Como era de esperar, llega el momento en que se pregunta cuál es la probabilidad de resolverlo, y tras dedicarle mucho tiempo a cálculos combinatorios, analizó otro método, jugarlo unas cien veces y contar el número de jugadas exitosas. ¿No les recuerda la frase de Unamuno? Y si se ponen dos sujetos en competencia a resolverla, lo natural es que en un mismo juego obtengan el mismo tanto por ciento de soluciones. El concepto detrás de estos razonamientos es la Ley de los Grandes Números que mencionábamos antes: el "tanto por ciento" de Unamuno, el número de jugadas exitosas en cien juegos de Ulam, aproxima la probabilidad buscada. Dice Ulam sobre esta idea: Inmediatamente pensé en problemas de difusión de neutrones, y en otros de física matemática, y con más generalidad, cómo cambiar procesos descriptos por ciertas ecuaciones diferenciales en formas equivalentes interpretables como una sucesión de sucesos aleatorios. Cuando Ulam vuelve a su actividad científica, le cuenta esta idea a von Neumann, y juntos armaron a partir de esta idea el método numérico para los problemas concretos que tenían en Los Alamos. Este método se conoce hoy como "Monte Carlo". El nombre se debe al físico N. Metropolis, en honor al famoso casino, por la necesidad de generar números aleatorios para efectuar los cálculos. La parte negativa de esta historia es el primer fruto de estos cálculos. Los problemas de difusión de neutrones estaban motivados por la construcción de la bomba H, objetivo cumplido pocos años después. La patente de la bomba H la compartieron Ulam y Teller. Hoy, las simulaciones tipo Monte Carlo aparecen en decenas de problemas físicos, donde la solución exacta del problema exigiría tiempos de computación o capacidad de memoria prohibitivos. En 1987, el laboratorio de Los Alamos homenajeó a Ulam con un volumen especial de su revista 'Los Alamos Science'. En ella, se encuentran distintas historias de este matemático, y en particular, la historia del método de Monte Carlo. La tapa, que puede verse aquí, hace referencia a esta historia. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://www.solitaire-game-rules.com/games/canfield.htm - Reglas del solitario Canfield. http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?number15.htm - Volumen especial en honor a Stanislaw Ulam, de Los Alamos Science.

Miércoles, 01 de Marzo de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

928. 15. (Enero 2006) Solitarios (I)

Mencionamos antes la novela de Unamuno, 'Cómo se hace una novela', y hoy vamos a volver a ella. O mejor dicho, a las notas al final de la misma. No voy a entrar en las cuestiones políticas que lo mantenían alejado de España, su destierro como él mismo dice, sino a un escrito suelto que contiene una idea matemática muy profunda. El lunes 4-VII-1927 escribe que se entretiene haciendo solitarios, el patience. De este solitario se dice que es el mas antiguo de todos. Con naipes españoles, consiste en desplegarlos en ocho columnas de cinco cartas cada una, e ir retirando los ases y doses, mientras se acomodan las 32 cartas restantes en cuatro pilas ordenadas de mayor a menor sin que haya dos consecutivas del mismo palo (similar al Carta Blanca de naipes franceses). Y al día siguiente, Miguel de Unamuno reflexiona: Sigo pensando en los solitarios, en la historia. El solitario es el juego de azar. Un buen matemático podría calcular la probabilidad que hay de que salga o no una jugada. Y si se ponen dos sujetos en competencia a resolverla, lo natural es que en un mismo juego obtengan el mismo tanto por ciento de soluciones. Mas la competencia debe ser a quien resuelve más jugadas en igual tiempo. Y la ventaja del buen jugador de solitarios, no que juegue más de prisa, sino que abandone más jugadas apenas empezadas y en cuanto prevé que no tienen solución. La primera observación 'matemática' es trivial: un matemático podría calcular la probabilidad que hay de que salga o no una jugada. ¡Pero más de un matemático diría que está equivocado! Es fácil decir cómo calcular la probabilidad, pero muy difícil hacerlo. En este caso, cada jugada tiene solución, o no la tiene. Por ejemplo, si en la línea inferior aparecen los cuatro reyes y las cuatro sotas, no habrá forma de resolverlo. En definitiva, la probabilidad P de resolver una jugada se calcularía con la vieja y simple fórmula / Entonces, habría que comenzar por ver cuántas posiciones iniciales hay para los naipes, apenas un ejercicio de combinatoria: ver de cuántas formas se pueden disponer los naipes en ocho columnas de cinco cartas cada una. En total hay 40! formas, cifra que se puede reducir cuando uno considera las simetrías del problema, pero no mucho. Por ejemplo, si uno reemplaza un palo por otro, los dos solitarios tienen el mismo comportamiento. También se podrían intercambiar dos columnas de lugar sin afectar el resultado. Reduciendo los casos de esta manera, estamos hablando de unas 1042 jugadas diferentes... Pongamos los números en perspectiva. Tantos ceros marean, y si bien uno entiende que es un número 'grande', es difícil tomar consciencia de su tamaño real. La población mundial se estima en 6.500 millones de habitantes. Si ponemos a todos a resolver solitarios, haciendo 1000 por segundo, se tardarían 'apenas' 5x 1021 años en terminar... en lo personal, sigo tan mareado como antes con la cifra. Se calcula que el BigBang ocurrió hace 13 mil millones de años, estamos hablando de 6.500 millones de personas resolviendo 1000 juegos por segundo durante casi 4x 1011=400.000.000.000 veces el tiempo que lleva de vida nuestro universo! Bien. (creo... los invito a chequear las cuentas) Espero haberlos convencido de la imposibilidad de intentar resolver todos los casos. Eso arruina el numerador de la fórmula para calcular la probabilidad P. ¿Cuántos son los casos favorables? ¡Vaya uno a saber! Por muy buen matemático que sea el que intente la cuenta, va a chocar contra esa dificultad, y uno se atrevería a decir que es imposible calcularla. El resto de la cita es admirable: dice cómo calcular esa probabilidad. Y si se ponen dos sujetos en competencia a resolverla, lo natural es que en un mismo juego obtengan el mismo tanto por ciento de soluciones. Antes de seguir, necesitaríamos aquí la ley de los Grandes Números. Veamos un ejemplo sencillo: si queremos sacar un as al tirar un dado, la probabilidad es de una en seis, un sexto. Pero cuando lo tiremos, habrá salido el as o no, no puede salir 'un sexto' del as. Ahora, si tiramos una y otra vez el dado, veremos que -aproximadamente- en un sexto de las tiradas habrá salido un as. Si tiramos 600 veces, habrá unos 100 ases (mas o menos), si tiramos 1000, habrá alrededor de 167. La ley de los Grandes Números se encarga de esto: el número de veces que ocurre un fenómeno, dividido la cantidad de veces que se hizo la experiencia, se aproxima a su probabilidad. Este teorema se origina hace casi 300 años, en los trabajos de uno de los Bernouilli y los de de Moivre. Pero creo que esto es suficiente para ver cómo se relaciona el tema con Unamuno, los solitarios y la probabilidad de resolver una jugada. Para la próxima, esta misma idea en manos de un matemático. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://csic1.csic.edu.uy/~ecabana/probabilidad2/prob2part1.pdf - Convergencia de Variables Aleatorias. Leyes de los Grandes Números, Enrique M. Cabaña. http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallimite.htm - Ley de los Grandes Números, Juan del Pozo Baselga. http://www.goodsol.com/pgshelp/freecell.htm - Carta Blanca, historia y estrategia. http://www.chessandpoker.com/solitaire_strategy.html - Solitaire (Patience) Strategy, James Yates. http://cosmos.astro.uson.mx/Divulgacion/a031102.htm - El tiempo en el universo, Antonio Sánchez Ibarra.

Domingo, 01 de Enero de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

929. 13. (Noviembre 2005) Crítica literaria

Sin dudas la crítica literaria es uno de los aspectos de la literatura que más problemas crea. Pocos aceptan las críticas -por fundamentadas que estén-, y en terrenos tan subjetivos y resbalosos como la creación artística, la crítica despierta más odios que amores. En los últimos años, la computación abrió una nueva perspectiva: la crítica masiva. Cualquiera tiene de pronto los medios para opinar, y más allá de los casos extremos, la Ley de los Grandes Números nos hace pensar que las opiniones se compensan y nos terminan dando una imagen real sobre un libro, una película, una canción. Foros, páginas web, weblogs, etc. son algunos de los lugares donde aparecen estas opiniones 'poco profesionales'; pero también los sitios de ventas on-line han detectado el poder de estas corrientes de opinión, y las ofrecen a sus clientes como un plus para orientar las ventas. Físicos, matemáticos y computadores trabajan en esos sistemas, analizando cómo funcionan, proponiendo mejoras, buscando cómo extraer esta información. Pero como suele ocurrir, los sistemas a veces cobran vida propia, y aparecen usos que nadie había imaginado.   * * *   Si bien difícilmente alguien acepte a la crítica literaria como un género en sí, en algunas ocasiones se transforma en un género propio, maravilloso. En Tlön, Uqbar, Orbis Tertius, Pierre Menard, autor del Quijote, Examen de la obra de Herbert Quain,o en Tres versiones de Judas, Borges cita y describe libros y autores ficticios; comenta y discute teorías inexistentes, y las motivaciones de sus inexistentes autores con una seriedad que hace dudar sobre la irrealidad de las citas. En Vacío Perfecto y Un valor Imaginario Stanislaw Lem eleva este género por la potencia del humor de sus críticas, sus ironías, las burlas, el sarcasmo, las sátiras... Pero no voy a analizar aquí estos textos (que recomiendo leer sin dudarlo un minuto), sino otros, más relacionados con las matemáticas. Lamentablemente, es difícil que estos formen parte de un libro algún día, y hasta pueden desaparecer en cualquier momento: las críticas en Amazon al libro: A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates Quién sabe quién empezó esto, pero en el sistema de comentarios para que los usuarios opinen sobre el libro, comenzaron a aparecer 'críticas' con un gran sentido del humor. El libro en sí es una colección de números generados al azar por la RAND hace unos cincuenta años. La generación de números aleatorios no es sencilla, y a lo sumo se suelen obtener números pseudo aleatorios. De todas maneras, esto podría hacerse hoy en cualquier computadora, y los distintos paquetes de software matemático incluyen rutinas que generen números aleatorios. En Amazon el sistema de comentarios permite a los lectores opinar sobre un libro como guía para potenciales lectores. Pero ya la propia reseña de Amazon causa gracia: Este libro es un producto del trabajo pionero de RAND, y también un testamento a la paciencia y persistencia de los investigadores en aquellos tempranos días de RAND. Detrás de este inocente review, los lectores dejaron opiniones como éstas: Espero, impaciente, la versión de audio en CD de este libro. (Jamie R. Wilson) El libro rompe todos los límites de lo que consideramos normal. Desde el principio hasta el final es originalidad pura.(...) Lo mejor es que es el mejor libro de escoge-tu-aventura. Una vez que lo leíste del comienzo a fin, puedes retroceder y leerlo en un orden diferente, y tendrá tanto sentido como tu lectura original! Es como cientos de libros en uno solo!!! (Bob The Frog) Encuentro díficil de creer que el no. "288564" sea aleatorio... es demasiado obvio. Si tienes problemas para dormir en los aviones, definitivamente debes comprarlo. (Arthur C. Doyle "Art") Cuando llegas a la mitad, el resto de la historia es predecible. (Nicholas G. Gully "nick half asleep") No tengo palabras. Jamás leí un libro de tapa a tapa media docena de veces y estoy fascinado todavía (...) CUIDADO: quién hubiese creído que 70253212 terminaría apareciendo al final? Este libro me ha inspirado para convertirme en un escritor, aunque se que nunca voy a llegar a la perfección de este autor. (F. Scott Fitzgerald) Estoy agradablemente sorprendido con los números extras incluídos en las esquinas de las páginas. (George Elliot "Andy") Aunque no todos reaccionaron igual ante estos números extras: Cualquiea sea el algoritmo que usaron, no fue testeado completamente. El texto de cada página parece aleatorio. Sin embargo, en los rincones inferiores izquierdos y derechos de páginas alternadas, el número se incrementa linealmente. (B. McGroarty) Por supuesto, alguien amagó a poner orden: Acabo de leer los reviews anteriores. ¿Es una broma? Ninguno de ustedes parece entender de qué trata este libro. No es narrativa, una novela o una historia... Pero duró poco: Es una alegoría. El autor ingeniosamente pero sin ambiguedad dibuja paralelos entre el estudio de la teoría de números y la guerra del terror. Cómo alguien pudo leer este libro sin descubrirlo? Digo, a un nivel superficial un lector puede ver página tras página de estos llamados "random" numbers sin pensar inmediatamente en "criptografía", "Kabbala", "M15". ¿Ninguno de ustedes leyó "El Código Da Vinci? Apenas hay que excavar un poco para ver los links a, oh, por dónde debería comenzar, tal vez por Nostradamus? Qué hay de los Francmasones? Qué hay de AlQaeda? Que hay de JERRY SPRINGER??? (Mrs. M. J. Rimmer) Por último, también hay finas ironías de carácter matemático: Qué otro autor podría darnos una obra maestra así? Infinitos monos tipeando en infinitas máquinas de escribir pueden producir las obras de Shakespeare, pero nunca podrían hacer algo como esto! (Bob The Frog) Encontré un error de tipeo en la página 420: alguien se dió cuenta de eso? (D. Nicholson "nicomp") Afortunadamente, fue traducido del original en base 2 a base 10, de lo contrario hubiese sido de un orden de magnitud inmenso y casi imposible de leer. (D. Nicholson "nicomp") Estoy esperando el volumen 2, hay rumores de que cubriría números aleatorios negativos. (J. Walker) Si, puedo confirmar parcialmente la aleatoriedad de todo el millón de dígitos, promediando cada dígito. Sin sorpresas, el promedio es 4.5. Luego, conté cada dígito. Y si, cada dígito (de 0 a 9) apareció 100,000 veces. (K. Chan "Papa Chan") La verdad, quiero felicitar a los autores de estos comentarios por su originalidad, y a Amazon por no retirarlos (aún). Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://www.amazon.com - Amazon. http://arxiv.org/abs/cs.DL/0508082 - The Structure of Collaborative Tagging Systems Scott A. Golder and Bernardo A. Huberman. http://arxiv.org/abs/cs.DL/9902011 - Content-Based Book Recommending Using Learning for Text Categorization Authors: Raymond J. Mooney, Loriene Roy.

Martes, 01 de Noviembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

930. 12. (Septiembre 2005) Soluciones al concurso del verano

Quiero comenzar agradeciendo a muchas personas: -A los amigos que linkearon la página. -A los participantes, por las respuestas que enviaron. Y ahora sí, las respuestas.   A.- Escritores Tengo un amigo que opina que Unamuno es más que Cervantes, y éste más que Lope. Le pregunto con qué criterio los juzga, y me contesta: -Hammet es muchísimo más que Christie. Borges y Shakespeare son iguales: ninguno de los dos vale nada. A.1 ¿Con qué criterio los ordena? (15 puntos) A.2 ¿Habrá algún escritor más valioso que los mencionados? (5 puntos a los que propongan alguno, y 10 a quien proponga el más valioso de todos) A.1 Copio una de las respuestas recibidas: Los ordena sustituyendo el valor de las cifras romanas de las letras de sus nombres, siempre y cuando fuese posible. De ahí que Unamuno valga mil (unaMuno); Cervantes valga ciento cinco (CerVantes); Lope valga cincuenta (Lope); Hammet valga dos mil (haMMet); Chrisite valga ciento dos (ChrIstIe) y que Borges y Shakespeare, al no tener ninguna de las letras que se corresponda con una cifra romana, no tengan valor. Efectivamente, la idea es quedarse con las letras que corresponden a números romanos. Idea que de paso debo agradecer a Markelo. A.2 Entre los nombres que enviaron, destaquemos: (L. M.) Montgomery = 2000 (Frederic William) Moorman = 2000 (Erich) Fromm = 2000 (Haruki) Murakami = 2001 (Antonio) Muñoz Molina = 2051 (Ethel Watts) Mumford = 2500 (K. P.) Sommermann = 3000 (Theodor) Mommsen = 3000 Mohammed (Mrabet) = 3500   B.- Poeta y Matemático Cierto poeta y matemático planteó el siguiente problema: En una expedición que duró una semana, un ejército marchó 2 kilómetros el primer día. Si cada día recorre lo mismo que el día anterior, más una cierta cantidad, y en total recorrió 80 kilómetros, cuál es este incremento? B.1 La solución de este problema tenía su importancia en la matemática antigua, ¿por qué? (15 puntos) B.2 ¿Quién fue el autor del problema? (20 puntos) B.1 Vamos con otra de las respuestas recibidas: En su libro "De la medida del círculo", Arquímedes establece que la razón entre la circunferencia y el diámetro está comprendida entre 3 + 10/71 y 3 + 1/7 (es decir, 223/71 < pi < 22/7). A este valor se llega resolviendo la ecuación que nos permite plantear el enunciado: Si el primer día marchó 2 km., el segundo marchó 2+x km., el tercero 2+3x km., así hasta el séptimo que fueron 2+6x km. Sumando todo, se llega a 14 + 21x = 80 cuya solución es 22/7, el "pi de Arquímedes". B.2 Bueno... esta fue la parte difícil de los problemas, y nadie la contestó correctamente. Hubo un par de respuestas que le atribuyeron la autoría a Fibonacci, conjeturando una relación con el caracter recurrente de la definición de las distancias recorridas, pero en realidad el problema es de Bhaskara II o Bhaskaracharya, matemático de la India del siglo XII.   C.- Criptografía Cierto matemático y poeta, igual de antiguo, escribió: oq vkeq dw jn gqbodfl ed qudefdz, elned do yqel nlw mjdvd cjqo ñdlndw, eqnel mqgdw cln ñdnqw Ah, perdón... se me cambiaron las letras por otras! Casi mil años después, a mediados del siglo XX, el matemático J. von Neumann creó la teoría de juegos, para analizar situaciones reales como si fueran un juego y buscar la conducta óptima a seguir. Estos versos son un antecedente: apenas somos piezas de un juego. C.1 ¿Se podrán reconstruir los versos? (10 puntos) C.2 ¿Con qué patrón se cambiaron las letras? (10 puntos) C.3 ¿Quién es su autor? (10 puntos) C.4 ¿En qué dos clásicos cuentos de más de 100 años aparecen textos encriptados? (10 puntos) C.1 Aquí todos encontraron correctamente la respuesta: La vida es un tablero de ajedrez, donde el Hado nos mueve cual peones, dando mates con penas, (en cuanto termina el juego, nos saca del tablero y nos arroja a todos al cajón de la Nada.) C.2 Sobre el método para encriptarlo, bien han dicho: El patrón del cifrado consiste en sustituir la letras correspondientes a las dos filas superiores de letras de un teclado de máquina de escribir estándar (qwerty) con la tecla ñ por su correspondiente inferior o superior y manteniendo las correspondientes a la fila inferior inalteradas. C.3 El autor fue Omar Khayyam C.4 Dos cuentos clásicos son "El escarabajo de oro" de Edgar Allan Poe (1843) y "The Adventure of the Dancing Men" de Arthur Conan Doyle (1903). Sin ser un cuento, también la novela "A través del espejo y lo que Alicia encontró al otro lado" de Lewis Carroll (1871) contiene un texto 'encriptado', ya que al abrir un libro encuentra el siguiente texto: OZATAMILAG ;los le ,orgen odnaemurb ,aballirB senozamil sol nabacsorig sosocsiliga ;sanajel sarapáv sal rop odnarrenab soibogorob sol naícnurf es sosomim .abalfigrum satnar oimom le sartneim "Durante algún tiempo estuvo intentando descifrar este pasaje, hasta que al final se le ocurrió una idea luminosa..." De yapa, este libro de Lewis Carroll tiene un mensaje oculto en la introducción. * * * Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://www.guiascostarica.com/alicia/a2/index.html - A Través del Espejo y lo que Alicia encontró al otro lado, de Lewis Carroll. http://www.murakami.ch/main_1.html - Página de Haruki Murakami. http://nobelprize.org/literature/laureates/1902/mommsen-bio.html - Theodor Mommsen, Premio Nobel 1902. http://www.markelo.f2o.org - Pequeños Enigmas, de Markelo. Acertijos, juegos de ingenio y pequeños enigmas para resolver mientras se carga otra página.

Jueves, 01 de Septiembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico