931. 10. (Julio 2005) El concurso del verano

A continuación os presentamos los problemas que componen este concurso veraniego de Literatura y Matemáticas. ¡Que los disfrutéis! A.- Escritores Tengo un amigo que opina que Unamuno es más que Cervantes, y éste más que Lope. Le pregunto con qué criterio los juzga, y me contesta: -Hammet es muchísimo más que Christie. Borges y Shakespeare son iguales: ninguno de los dos vale nada. A.1 ¿Con qué criterio los ordena? (15 puntos) A.2 ¿Habrá algún escritor más valioso que los mencionados? (5 puntos a los que propongan alguno, y 10 a quien proponga el más valioso de todos) B.- Poeta y Matemático Cierto poeta y matemático planteó el siguiente problema: En una expedición que duró una semana, un ejército marchó 2 kilómetros el primer día. Si cada día recorre lo mismo que el día anterior, más una cierta cantidad, y en total recorrió 80 kilómetros, cuál es este incremento? B.1 La solución de este problema tenía su importancia en la matemática antigua, ¿por qué? (15 puntos) B.2 ¿Quién fue el autor del problema? (20 puntos) C.- Criptografía Cierto matemático y poeta, igual de antiguo, escribió: oq vkeq dw jn gqbodfl ed qudefdz, elned do yqel nlw mjdvd cjqo ñdlndw, eqnel mqgdw cln ñdnqw Ah, perdón... se me cambiaron las letras por otras! Casi mil años después, a mediados del siglo XX, el matemático J. von Neumann creó la teoría de juegos, para analizar situaciones reales como si fueran un juego y buscar la conducta óptima a seguir. Estos versos son un antecedente: apenas somos piezas de un juego. C.1 ¿Se podrán reconstruir los versos? (10 puntos) C.2 ¿Con qué patrón se cambiaron las letras? (10 puntos) C.3 ¿Quién es su autor? (10 puntos) C.4 ¿En qué dos clásicos cuentos de más de 100 años aparecen textos encriptados? (10 puntos) * * * El puntaje total es de 100 puntos, no es sencillo llegar a esa cantidad. Los ganadores serán quienes sumen más puntos, envíen sus respuestas a: jpinasco@gmail.com ó a jpinasco@ungs.edu.ar. La fecha límite para enviar soluciones a este problema es el día 10 de septiembre de 2005.

Viernes, 01 de Julio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

932. 9. (Julio 2005) Matemáticas y Narrativa

Del 12 al 15 de julio se realizará en Mykonos, Grecia, una conferencia internacional sobre Matemáticas y Narrativa "que explorará la interrelación entre estas dos aparentemente dispares formas de ver el mundo", cuenta el matemáticos J. A. Paulos en su columna 'Who's counting' de mayo en ABCNews (usted tal vez lo conozca por libros tales como "El hombre anumérico", o "Un matemático lee el periódico"). Como los organizadores de la conferencia dicen: "A pesar de los enormes avances, y de su rol central en la ciencia y la tecnología, el lenguaje de las matemáticas y sus problemas son tan esotéricos como completamente inaccesibles para los no matemáticos. Para hacer las cosas peores, los matemáticos profesionales fruncen el ceño cuando los extraños -aunque estén calificados- se meten con cualquier aspecto de su ciencia. La consecuencia de este hueco en la comunicación ha sido el empobrecimiento del discurso matemático y de la cultura general." "Sin embargo, en los últimos años hemos sido testigos del comienzo de un cambio, y esto es lo que motiva nuestra reunión. Un número sin precedentes de trabajos de ficción y no ficción han aparecido, con temas que vienen del mundo de las matemáticas. Al mismo tiempo, las ciencias sociales y humanas muestran un interés creciente en explorar las conexiones entre las matemáticas, la cultura y la historia. En todo esto, la narrativa juega un papel crucial." "En Mykonos, esperamos progresar en la exploración de las abuntantes posibilidades latentes en la aplicación de la narrativa a las matemáticas, tanto como un medio de divulgación, o como una herramienta cognitiva para entender las matemáticas mismas." Cabe destacar que esta última perspectiva viene siendo impulsada por el escritor (que estudió matemáticas) griego-australiano Apostolos Douxadis, autor de "El Tío Petros y La conjetura de Goldbach". Su propuesta es introducir en la enseñanza la "paramatemáticas", para explorar sin formalismos ni rigor el significado extra-matemático de las matemáticas. En algún sentido -y tal vez no lo estoy interpretando exactamente, pero creo no estar muy lejos de lo que él dice- apuntar a los teoremas pero no para ver sus demostraciones, sino su relación con la historia, la cultura, la época en que se desarrollaron, sus influencias filosóficas, etc. Me permito compartir una opinión personal: creo en este tipo de visión integradora, y que esté escribiendo esto es la mejor demostración. Pero hay cosas que no me quedan claras, con lo cual no tengo una posición definida, ya que se trata de modificar la educación... Por ejemplo, no acertaría a decidir dónde debería enseñarse esto. ¿En las clases de Letras, o de Historia, o de Matemáticas...? En todas y en ninguna, se puede argumentar. Por lo pronto, es un buen tema sobre el cual seguir meditando. Y, sin dudas, Divulgamat está construyendo un espacio en esta dirección, en el cual me honra participar. Volviendo a la conferencia en Grecia, la lista de participantes incluye matemáticos de primerísimo nivel como Robert Osserman, Gregory Chaitin, Doron Zeilberger y John D. Barrow. Confío que sus trabajos y charlas estén disponibles en internet en algún momento, con lo cual seguramente volveremos sobre este tema. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://abcnews.go.com/Technology/WhosCounting/story?id=711316&page=2 - Who's Counting: Math in Narratives, J. A. Paulos. http://www.apostolosdoxiadis.com/files/essays/embeddingmath.pdf - Apostolous Douxadis, Embedding mathematics in the soul: narrative as a force in mathematics education. http://www.thalesandfriends.org/meeting/ - Página de la conferencia Matemáticas y Narrativa.

Viernes, 01 de Julio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

933. 8. (Junio 2005) Gulliver y los infinitos monos

Siguiendo con la idea de releer clásicos buscando ideas y conceptos matemáticos, hoy le toca el turno a Los viajes de Gulliver, de Jonathan Swift. Esta obra está llena de matemáticas... aunque en su mayoría son ataques (sobre todo, cuando visita Laputa). Pero la obra contiene una idea novedosa para la fecha en que fue escrita, octubre de 1726, una idea que aparecería en las matemáticas unos doscientos años después. Ubiquémosnos en la época: en 1726, Euler y D'Alambert no tenían 20 años. Laplace no había nacido, y toda la teoría de la probabilidad se encontraba en pañales. Los pocos trabajos que había se limitaban a juegos de dados y cartas, con finitas opciones, que permitían calcular las cosas como:   / Peor aún, el concepto de infinito no estaba claro, "había uno solo", podríamos decir, y para muchos era sólo un infinito potencial: del 1 voy al 2, de ahí al 3, y puedo seguir cuanto quiera... pero no trabajaban con todos los números naturales juntos. Herencia vigente de Euclides, que decía "una recta puede prolongarse indefinidamente". Cantor nacería recién en 1845. Y no sólo este concepto era necesario para una definición correcta de probabilidad, también hacían falta una buena definición de medida, y de integral... pero Riemann nacería 100 años después, en septiembre de 1826. Borel (nació en 1871) y Lebesgue (en 1875) completarían las bases sobre las cuales se fundó la teoría moderna de la probabilidad. Quienes lo hicieron fueron Borel con Le Hasard (1913) y Traité du calcul de probabilité et ses applications (1924-34), y Kolmogorov (en 1938). ¿Y a qué viene esta ensalada de fechas y de matemáticos? Confieso que hasta yo estoy perdido, pero me salva el haber adelantado que íbamos a hablar de Gulliver. Con todo lo anterior, tiene que ser algo relacionado con la teoría de probabilidades; y de acuerdo al título, tendrá que ver con infinitos monos.... Seguro que a más de un lector se le prendió ya una luz de alarma: ¿qué tiene que ver esto con Swift? ¿No era con Shakespeare la historia ésa de los infinitos monos...? Porque el lema de Borel-Cantelli (técnico, obviémoslo) nos permite demostrar que infinitos monos tecleando al azar en infinitas máquinas de escribir producirán las obras completas de Shakespeare con probabilidad 1. Y este es uno de los primeros ejemplos de las llamadas 'Leyes Cero-Uno' de Kolmogorov, con lo cual el ejemplo tiene que ser posterior a la década del 1930... Pero vamos entonces con Swift, al capítulo 5 de la tercera parte, para ver qué tiene que ver con esto: El primer profesor que vi estaba en una habitación muy grande rodeado por cuarenta alumnos. Después de cambiar saludos, como observase que yo consideraba con atención un tablero que ocupaba la mayor parte del largo y del ancho de la habitación, dijo que quizá me asombrase de verle entregado a un proyecto para hacer progresar el conocimiento especulativo por medio de operaciones prácticas y mecánicas; pero pronto comprendería el mundo su utilidad, y se alababa de que pensamiento más elevado y noble jamás había nacido en cabeza humana. Todos sabemos cuán laborioso es el método corriente para llegar a poseer artes y ciencias; pues bien: gracias a su invento, la persona más ignorante, por un precio módico y con un pequeño trabajo corporal, puede escribir libros de filosofía, poesía, política, leyes, matemáticas y teología, sin que para nada necesite el auxilio del talento ni del estudio. Me llevó luego al tablero, que rodeaban por todas partes los alumnos formando filas. Tenía veinte pies en cuadro y estaba colocado en medio de la habitación. La superficie estaba constituida por varios trozos de madera del tamaño de un dedo próximamente, aunque algo mayores unos que otros. Todos estaban ensartados juntos en alambres delgados. Estos trozos de madera estaban por todos lados cubiertos de papel pegado a ellos; y sobre estos papeles aparecían escritas todas las palabras del idioma en sus varios modos, tiempos y declinaciones, pero sin orden ninguno. Díjome el profesor que atendiese, porque iba a enseñarme el funcionamiento de su aparato. Los discípulos, a una orden suya, echaron mano a unos mangos de hierro que había alrededor del borde del tablero, en número de cuarenta, y, dándoles una vuelta rápida, toda la disposición de las palabras quedó cambiada totalmente. Mandó luego a treinta y seis de los muchachos que leyesen despacio las diversas líneas tales como habían quedado en el tablero, y cuando encontraban tres o cuatro palabras juntas que podían formar parte de una sentencia las dictaban a los cuatro restantes, que servían de escribientes. Repitióse el trabajo tres veces o cuatro, y cada una, en virtud de la disposición de la máquina, las palabras se mudaban a otro sitio al dar vuelta los cuadrados de madera. Durante seis horas diarias se dedicaban los jóvenes estudiantes a esta tarea, y el profesor me mostró varios volúmenes en gran folio, ya reunidos en sentencias cortadas, que pensaba enlazar, para, sacándola de ellas, ofrecer al mundo una obra completa de todas las ciencias y artes, la cual podría mejorarse y facilitarse en gran modo con que el público crease un fondo para construir y utilizar quinientos de aquellos tableros en Lagado. Como podemos ver, la idea es la misma. En lugar de utilizar monos con máquinas de escribir, este profesor trabajaba con 40 alumnos y un mecanismo que armaba aleatoriamente frases, luego venía la selección de aquellas que tenían sentido, y con probabilidad 1, construiría todo el conocimiento. Ya sea generando palabras o letras al azar, tarde o temprano tendrán que aparecer todos los textos que se nos ocurran, y los que se nos puedan ocurrir. Por ejemplo, si generamos una letra al azar, la probabilidad de que aparezca una 'S' es de 1 en 27. Que aparezcan en forma consecutiva una 'S' y una 'I', es de 1 en 36=729. Que aparezcan en orden las letras 'S', 'I', 'G' 'U', 'I', 'E', 'N', 'D', y 'O', tiene una probabilidad de 1 en 327... bastante baja, es cierto, pero no nula, con lo cual es de esperar que si generamos muchas letras al azar durante mucho tiempo, va a aparecer el 'siguiendo' con que empieza este texto. Y si seguimos, hasta tiene que aparecer este texto completo. Pero la probabilidad es muy baja: alrededor de 1 en 330.000, con lo cual es muchísimo el tiempo que puede tardar en aparecer. ¡Qué manera de desperdiciar tiempo, monos, y máquinas de escribir! Para concluir, quiero otorgar gran parte del crédito de esta columna (si lo tiene) al escritor argentino Eduardo Abel Gimenez, que me llevó a pensar en este tema a partir de su interesante reflexión: Un solo Shakespeare con pluma, tinta y papel jamás igualará la producción de infinitos monos con infinitos procesadores de texto. Links. Algunos recursos disponibles en la web. - Los Viajes de Gulliver, J. Swift. http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem - Wikipedia (el mismo artículo está repetido en distintos lugares, y no está claro cuál es la fuente original). Al final, hay una buena lista de apariciones de la idea de los monos tipeando las obras completas de Shakespeare en obras literarias. http://www.vivaria.net/experiments/notes/publication/ - Apuntes sobre las obras completas de Shakespeare (hay una versión en español en pdf). http://www.magicaweb.com/weblogindex.php/2005/05/16/un-solo-shakespeare/ - Blog de Eduardo Abel Gimenez.

Miércoles, 01 de Junio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

934. 7. (Junio 2005) Matemáticas y el Quijote (III)

En la columna anterior hablamos de la autorreferencia y las paradojas. Las paradojas En la columna anterior hablamos de los Principia de Russell y Whitehead como solución al problema de los fundamentos de las matemáticas, y ya adelantamos que estos tampoco resultaron inmunes a los problemas de la autorreferencia. El ataque vendría ahora desde Alemania, aunque el objetivo no serían las contradicciones internas que podía haber en el sistema de axiomas elegido, sino su completitud. Uno podría preguntarse si en los Principia estaba incluída toda la matemática, si con los axiomas en ellos se podrían demostrar todos los teoremas y proposiciones de la matemática. Veamos el problema con más detalle. Podemos hacer una serie de afirmaciones matemáticas, pero para que sean teoremas 'válidos', deberíamos poder demostrarlas. Por ejemplo, si decimos que 'todo primo es impar', esta afirmación no podría ser demostrada: no es cierta ya que $2$ es un primo, y es par. Sí sería un teorema demostrable que '2 es el único primo par'. En cambio, 'todo par es suma de dos primos' es una afirmación que se cree que es verdadera, pero no se conoce una demostración (todavía). Con este tipo de afirmaciones uno puede dudar: ¿será incapacidad nuestra para hilar una demostración desde los axiomas de la teoría, o será algo más profundo y no existe una demostración a partir de estos axiomas? En definitiva, ¿limitación nuestra, o limitación del sistema? En la década de 1930, el matemático Kurt Godel dio una respuesta: en el sistema de los Principia existen 'proposiciones indecidibles', y el problema es de los Principia, no incapacidad nuestra para hallarles una demostración. Simplificando demasiado, Godel se las arregló para construir una proposición autorreferente, un teorema que dijese: Este teorema de teoría de números no es demostrable con los axiomas de los Principia. Por supuesto, el teorema de Godel es válido para otros sistemas axiomáticos, no sólo el de Russell y Whitehead. Otra generalización, obtenida por el matemático polaco Alfred Tarski, incluye la noción de verdad: existen proposiciones verdaderas (y otras falsas) que no son demostrables. ¿Y el Quijote? ¿Qué fue de él a lo largo de estos párrafos, que no lo hemos vuelto a mencionar? El Quijote también se enfrenta en cierto momento con el problema de la verdad, y qué puede (o no) demostrar. Con este tema daremos por concluída esta serie de columnas sobre el Quijote y las matemáticas. Habíamos dicho que el Quijote se contiene a sí mismo, pero también contiene un Quijote falso: en el capítulo 62, el propio don Quijote encuentra las pruebas de galera de otro 'Quijote', el Quijote apócrifo de 'Avellaneda'! Esta fue una obra que apareció en 1614, y narraba más aventuras de don Quijote, pero no fue escrito por Cervantes. De paso, cabe aclarar que la identidad de 'Avellaneda' es todavía un enigma, aunque la última moda es atribuirle su autoría a Pasamonte. La aparición de esta falsa continuación de la historia molestó a Cervantes, como así también los ataques a su persona en el prólogo del Quijote apócrifo, y gran parte del prólogo de la segunda parte es su respuesta a estos ataques: He sentido también que me llame invidioso, y que como a ignorante, me describa qué cosa sea la invidia (...) A diferencia de la primera, la segunda parte deja bien determinados lugares y fechas, para reforzar que es ésta y no la de Avellaneda la verdadera historia. Y como esto no le pareció suficiente a Cervantes, lo hace viajar al Quijote a Barcelona, donde se encuentra en una imprenta con las pruebas de galera del Quijote Apócrifo en el final del capítulo 62. Y su reacción nos muestra la poca gracia que le hizo su existencia: -Ya yo tengo noticia de este libro, (...) y en verdad y en mi conciencia que pensé que ya estaba quemado y hecho polvos por impertinente. Pero su San Martín se le llegará como a cada puerco; que las historias fingidas tanto tienen de buenas y de deleitables cuanto se llegan a la verdad o la semejanza de ella, y las verdaderas tanto son mejores cuanto son más verdaderas. Esto no le resulta suficiente a Cervantes, y en el capítulo 72 introduce un nuevo personaje en la obra, don Alvaro Tarfe... un personaje de cierta importancia en el Quijote de Avellaneda! Y lo utiliza para desacreditar al Quijote apócrifo. Pero deberíamos recordar que es de mala lógica utilizar un argumento falso para demostrar una verdad, y eso tiene un precio. Las razones de Sancho Panza y del Quijote para convencer a Tarfe de que ellos son los verdaderos y no los del apócrifo, sólo consiguen arrancarle a éste la siguiente afirmación más que parádojica: -(...) y vuelvo a decir y me afirmo que no he visto lo que he visto ni ha pasado por mi lo que ha pasado. Más aún, pese a que don Quijote logra que don Alvaro Tarfe firme en una declaración ante el alcalde y un escribano (...) que no era aquel que andaba impreso en una historia intitulada Segunda parte de don Quijote de la Mancha, compuesta por un tal de Avellanada, natural de Tordesillas, esta declaración no decide cuál de los dos don Quijotes y de los dos Sanchos son los verdaderos! Y casi, casi, ni el Quijote puede decidir eso: -Yo -dijo don Quijote- no sé si soy [el] bueno, pero sé decir que no soy el malo. Sentencia casi godeliana, podríamos decir. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveObras/01305053144915949088802/index.htm - El Quijote de Avellaneda, escaneado por la Biblioteca Nacional de España. http://jamillan.com/quijap.htm - El Quijote apócrifo "Alonso Fernández de Avellaneda" Prólogo al lector de José Antonio Millán. http://www.um.es/tonosdigital/znum8/portada/tritonos/CervantesPasamonte.htm - Cervantes versus Pasamonte ("Avellaneda"): Crónica de una venganza literaria Alfonso Martín Jiménez (Universidad de Valladolid) Tonos, revista electrónica de estudios filológicos, Nro. 8, Diciembre de 2004. http://www.h-net.org/~cervantes/csa/artics02/percas.pdf - Un misterio dilucidado: Pasamonte fue Avellaneda, H. Percas de Ponseti. Cervantes: Bulletin of the Cervantes Society of America, 22.1 (2002). Copyright 2002, The Cervantes Society of America. http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_incompletud_de_G%C3%B6del - Teorema de la incompletud de Gödel, Wikipedia. Juan Pablo Pinasco e-mail: jpinasco-arroba-ungs.edu.ar

Miércoles, 01 de Junio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

935. 6. (Mayo 2005) Matemáticas y el Quijote (II)

En la columna anterior hablamos de la autorreferencia y las paradojas. Las paradojas resultan divertidas, desafiantes. En lo personal, siempre me atrajeron porque parece haber algo intrínsecamente malo en ellas, algo inquietante, algo que se me escapa y no puedo llegar a definir. También es inquietante la autorreferencia en el Quijote. Borges explicó por qué en "Magias parciales del Quijote" (Otras Inquisiciones), y como lo escribió mucho mejor de lo que yo podría siquiera intentar -no ya hacer-, lo transcribo acá: (...) en la segunda parte; los protagonistas han leído la primera, los protagonistas del Quijote son, asimismo, lectores del Quijote. (...) ¿Por qué nos inquieta que Don Quijote sea lector del Quijote (...)? Creo haber dado con la causa: tales inversiones sugieren que si los caracteres de una ficción pueden ser lectores o espectadores, nosotros, sus lectores o espectadores, podemos ser ficticios. Borges menciona otras tres obras autorreferentes: Hamlet es un espectador de una obra de teatro que reproduce su historia, la de Hamlet. En la Noche DCII, es narrada la historia del rey de Las Mil y una Noches. La tercera es el Ramayana. Pero más de uno tiene derecho a preguntarnos en este momento: ¿Qué papel juega la autorreferencia en las matemáticas? ¿Es sólo su capacidad de engendrar contradicciones paradójicas? ¿Qué interés puede tener en las matemáticas? En las matemáticas, las paradojas nos acompañan desde que Zenón de Elea desafió todas las verdades evidentes sobre el movimiento con ellas: una flecha no podrá volar hacia su blanco, Aquiles no podrá alcanzar a la tortuga tras haberle dado una mínima ventaja. Desde entonces, generaciones de matemáticos se han maravillado con ellas y se han dedicado a su refutación (y la más clara de las refutaciones de Zenón es 'à la Berkeley' pero sin patear piedras: desafiar al que cree en ellas a que corra, y tras darle una ventaja de partida, lanzarle una flecha... estos tiempos tan modernos, sin tantos arcos ni flechas, dificultan -por suerte- razonamientos lógicos tan puros). La autorreferencia es también antigua, desde que Epiménides el cretense afirmó "todos los cretenses son mentirosos". Hace unos cien años, las paradojas ocuparon un lugar central en la discusión de los fundamentos de las matemáticas. Cerca del final del siglo XIX, Frege y Cantor en Alemania intentaron sentar las bases de la matemática utilizando la teoría de conjuntos. Pero entonces aparecieron distintas paradojas que atacaban esta fundamentación. Entre las más conocidas, están las de Burali-Forti, Russell, Richard, y la de Grelling y Nelson. Describiremos aquí la paradoja de Russell, pero antes volvamos un momento al Quijote. Mencionamos antes que en el Quijote se mencionan distintos libros: hay muchos de caballería, pero también está la Galatea, del propio Cervantes. Y de Cervantes, también está el propio Quijote: en el segundo volumen, el Bachiller Sansón Carrasco cuenta que lo leyó. Pensando en el Quijote como un todo, ambos volúmenes juntos, podemos decir que es un libro que se cita a sí mismo. La idea de Russell fue simple: considerar aquellos conjuntos tales que el conjunto mismo es uno de sus elementos. Haciendo una analogía con los libros, podríamos decir que un libro 'se contiene a sí mismo' si se menciona en el texto (el Quijote sería un libro de este tipo). Russell se pregunta ahora por un libro muy particular: un catálogo de todos los libros que no se contienen a sí mismos, y únicamente éstos (el Quijote, como se contiene a sí mismo, no figurará en este catálogo). Este catálogo es paradójico: si se contiene a sí mismo, menciona un libro que se contiene a si mismo... lo cual contradice que incluye únicamente a los que no se contienen a si mismos; si no se contiene a si mismo... contradice que incluye a todos los que no se contienen a si mismos. Esta paradoja tuvo un objetivo directo: el intento de Frege de fundamentar la matemática utilizando la teoría de conjuntos. Es conocida la reacción de Frege al enterarse de esta paradoja, y una nota al final del segundo volumen aclara: Difícilmente puede ocurrirle a un científico algo menos deseable que ver tambalearse los fundamentos de su obra recién terminada. Me he visto en esta posición por una carta del señor Bertrand Russell cuando esta obra estaba en la imprenta. La autorreferencia, el conjunto que se contiene a si mismo (el libro que se cita a sí mismo) era el punto clave en el argumento de Russell. En aquella época, Russell le contó su argumento a Whitehead, con quien estaba trabajando en el problema de los fundamentos de la matemática. La respuesta de su colega fue contundente: "nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana". Aclaremos que Russell y Whitehead se las ingeniaron para evitar las contradicciones que aparecían en la obra de Frege: introdujeron una jerarquía en los conjuntos según cuáles son sus elementos, tales que los de cada nivel, sólo pueden tener como elementos a conjuntos de los niveles inferiores. Un conjunto de una clase no tendrá como elementos otro conjuntos de la misma clase, si quiero agrupar de alguna manera conjuntos, eso será un conjunto de otra clase. Esto eliminaba la autorreferencia, la posibilidad de auto-contención. Paradójicamente (!) la situación se repetiría unos veinte años después, pero ahora sería Russell quien vería su obra atacada (los , escritos junto a A. N. Withehead)... y otra vez con un argumento autorreferente. Podríamos decir que la reflexión de Whitehead resultó premonitoria. Pero ese será el tema de nuestra tercera (y seguramente última) columna sobre el Quijote y las matemáticas. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/ - Russell Paradox, A. D. Irvine, Stanford Encyclopedia of Philosophy. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/17-1-b-paradoja.html - La paradoja de Russell, M. Carmen Márquez García, SAEM Thales. http://plato.stanford.edu/entries/frege/ - Gottlob Frege, Edward N. Zalta, Stanford Encyclopedia of Philosophy. http://www2.uah.es/estudios_de_organizacion/epistemologia/russell.htm - Bertrand Russell, Dr. José Rodríguez de Rivera, Depto. de Ccias. Empresariales, Univ. de Alcalá de Henares. http://www.cut-the-knot.org/selfreference/principia.gif - Pag. 362 de los Principia Mathematica, donde Russell y Whitehead demuestran que 1+1=2, vía http://www.cut-the-knot.org/selfreference/russell.shtml, por Alexander Bogomolny. Juan Pablo Pinasco e-mail: jpinasco-arroba-ungs.edu.ar

Domingo, 01 de Mayo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

936. 5. (Abril 2005) Matemáticas y el Quijote (I)

¿Puedo empezar esta columna sin hablar del Quijote? En el 2005 se cumplen 400 años de su aparición, y es la obra literaria castellana por excelencia. Además, contiene elementos matemáticos en su interior muy conocidos, y otros que me gustaría comentar aquí: todo esto me invita a escribir sobre Cervantes y su novela aunque no quiera. Y por otro lado, no puedo empezar esta columna sin hablar del Quijote, porque a él me referí desde el mismo título, desde el primer párrafo y la primera oración. Incluso en ésta, la segunda oración del segundo párrafo, aparece otra vez el Quijote. Pues bien, sigamos entonces hablando de é. No voy recorrer las matemáticas que contiene, como la paradoja que debe resolver Sancho cuando consigue gobernar su ínsula, pues no veo forma de mejorar lo que ya está escrito. Me referiré en cambio a otras que involucran la obra y a Cervantes mismo. En esta primer columna, el tema sería la autorreferencia. Autorreferencia. Al escribir la primera parte, Cervantes dice que relata una historia verídica, y para esto utiliza referencias y datos que recoge en La Mancha. La frontera entre ficción y realidad se presenta borrosa, y el propio autor se transforma en un personaje dentro de la novela cuando el cura y el barbero revisan una biblioteca en el capítulo 6: -(...)Pero,¿qué libro es ese que está junto a él? -La Galatea, de Miguel de Cervantes -dijo el barbero. -Muchos años ha que es grande amigo mio ese Cervantes, y sé que es mas versado en desdichas que en versos. Más adelante, en el capítulo 9, el narrador cuenta que encuentra una novela 'en caracteres arábigos' del Cide Hamete Benengeli, que se hace traducir: es el Quijote. A partir de ese momento el narrador sólo vuelve a aparecer para hacer comentarios sobre el libro (libro que, por otra parte, él mismo está escribiendo aunque lo atribuya a otro...) Este recurso a muchos puede no parecerles novedoso. Hay muchos textos donde el autor se refiere a sí mismo, o que describe cómo lo fue escribiendo: desde el 'Soneto de repente', de Lope de Vega, hasta 'Cómo se hace una novela', de Miguel de Unamuno. Incluso el comienzo de esta misma columna es autorreferente, para dar el ejemplo más reciente y de menor valor literario que conozco. Pero el Quijote es anterior a todos estos, e incluso el prólogo tiene este carácter autorreferente: Solo quisiera dartela monda y desnuda, sin el ornato de Prólogo, ni de la inumerabilidad y catálogo de los acostumbrados sonetos, epigramas y elogios que al principio de los libros suelen ponerse. Porque te sé decir que, aunque me costó algún trabajo componerla, ninguno tuve por mayor que hacer esta prefación que vas leyendo. Muchas veces tomé la pluma para escribilla, y muchas la dejé, por no saber lo que escribiría. En definitiva, la novela del Quijote habla de la novela del Quijote. Al decir que la novela se refiere a sí misma, podemos empezar a mirarla con cierta preocupación, o con cierto interés. No es nada nueva la frase autorreferente 'Todos los cretenses son mentirosos', de Epiménides, el cretense. Se podría pensar que estamos a salvo de una sentencia semejante dentro del Quijote... pero en el capítulo 9 Cervantes se le acerca: Si a ésta [la historia] se le puede poner alguna objeción cerca de su verdad, no podría ser otra sino haber sido su autor arábigo, siendo muy propio de los de aquella nación ser mentirosos. Podría forzarse: la única objeción a la veracidad de la historia, es que la escribió Cide Hamete Benengeli quien pudo ser un mentiroso por ser árabe. Pero sabemos que al Quijote lo escribió Cervantes, con lo cual debe ser verdadero (ya que la única objeción era que Cide Hamete Benengeli pudo ser un mentiroso). Pero si es verdadero, lo escribió Cide Hamete Benengeli... La autorreferencia nos crea este tipo de problemas. Uno puede hablar de sí mismo, y rápidamente provocar contradicciones. Si escribiera aquí y ahora que aquí y ahora no estoy escribiendo esto, les mentiría. Y ustedes se darían cuenta de que miento porque ven el texto escrito. Pasado el tiempo, la frase pierde fuerza: cuando la leen, el 'aquí y ahora' es otro, tal vez están en otro país y pasó mucho tiempo desde que la escribí, y es más que seguro que no estaré entonces escribiendo esa frase. De hecho, ahora, esa frase ya está escrita... aunque, bien pensado, también sería falso decir que aquí y ahora no estoy escribiendo esto. Cervantes hace juegos parecido: tambien el prólogo está presente en la novela, pese a la intención de darla "sin el ornato de prólogo", lo mismo que los epigramas, latinicos, citas y sonetos. Y lo repite en el prólogo de la segunda parte, cuando dice: ...con cuánta gana debes de estar esperando ahora, lector ilustre o quier plebeyo, creyendo hallar en él venganzas, riñas y vituperios... para luego despacharse con indirectas -algunas no tanto- contra Lope de Vega (¿podríamos llamarlo su archienemigo?) y 'Avellaneda', el autor del Quijote apócrifo. Claro que no siempre la autorreferencia es problemática. El 'Soneto de repente', de Lope de Vega, ofrece una coincidencia perfecta entre lo que se dice sobre el texto y el texto, como por ejemplo podemos ver en el primer terceto: Por el primer terceto voy entrando, y parece que entré con pie derecho pues fin con este verso le voy dando. Como tampoco habría contradicciones ni problemas si ahora dijera que esta columna se termina, y que si tienen ganas de continuar leyendo sobre el Quijote, sus matemáticas, o el soneto completo de Lope de Vega, pueden recurrir a los links que siguen. Links. Algunos recursos disponibles en la web. http://www.lcc.uma.es/»perez/sonetos/lope.html - Sonetos de Lope de Vega. http://angarmegia.tresuvesdobles.com/qujote_1.htm - Recopilación de Antonio García Megía, Departamento de Lengua Castellana y literatura - IES Azcona - Almería. http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo1/1/lbalbuena.pdf Cervantes, Don Quijote y las Matemáticas, Luis Balbuena Castellano http://cvc.cervantes.es/obref/aih/pdf/06/aih_06_1_ 206.pdf El uso de losnúmeros en el Quijote, H. Ziomek. http://estadis.eluniversal.com.mx/graficos/confabulario/22-enero-05.htm La aritmética de Cervantes, Ignacio Padilla.   Juan Pablo Pinasco Instituto de Ciencias, Univ. Nac. Gral. Sarmiento J.M. Gutierrez 1150 - Los Polvorines (1613) Buenos Aires, Argentina. e-mail: jpinasco@ungs.edu.ar

Viernes, 01 de Abril de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

937. 64. Juegos matemáticos

El mes pasado les hablaba de Lino Aldani, un matemático italiano que escribió ciencia ficción. Al comentar algunas de sus obras, les destacaba el relato Scacco doppio de 1972, con claras conexiones con el juego del ajedrez, uno de los más clásicos y conocidos. Pero hay muchos más juegos y de alguno de ellos quiero hablarles este mes. He querido esperar hasta la última semana del mes ya que quería hablarles, entre otras cosas, del juego que resultara ganador del Tercer Concurso Ciudad de Granollers de Creación de Juegos. Se trata de un concurso para inventores de juegos de mesa que se celebra con la Feria de la Ascensión en la catalana ciudad de Granollers que este año tiene lugar del 21 al 24 de mayo. La entrega de premios del concurso de creadores de juegos fue el sábado 23 por la noche. Anteriormente, el lunes 18 de mayo, el Ayuntamiento de Granollers ya había hecho público el resultado del concurso que promueve y dota económicamente. También colaboran el Hotel Granollers y la tienda online de juegos de mesa madrileña masqueoca.com. Un resultado, todo hay que decirlo, que yo ya conocía por haber formado parte del jurado gracias a una invitación (que nunca agradeceré lo suficiente) de Oriol Comas i Coma, organizador de todo el tinglado y alma de la Feria de Juegos jugarXjugar que se celebra también en ocasión de la Feria de la Ascensión de Granollers. Desgraciadamente hay quien cree que los juegos son sólo para los niños y que un adulto "serio" (¿pero, qué debe ser eso?...) no debería "perder el tiempo" jugando. Se supone que los adultos sólo juegan a juegos de azar con apuestas pero, simplemente, eso no es cierto. Los seres humanos nunca deberíamos perder el espíritu lúdico y, en realidad, nunca lo hacemos. Algunos disfrutamos lo indecible jugando a juegos de mesa sociales de todo tipo o, en casos como el mío, también a juegos abstractos y de estrategia más o menos relacionados con la matemática o con la dinámica del mercado (simuladores de bolsa, de comercio, de subastas de arte, etc.). No se trata de competir, sino de divertirse disfrutando en compañía con otros seres humanos con un buen espíritu lúdico. Debo decir que haberme pasado un fin de semana (el sábado 16 de mayo incluso hasta altas horas de la madrugada) con otros siete adultos jugando, jugando y jugando, es una de las mejores experiencias que he tenido en los últimos años. Mérito de mis colegas de jurado: Salvador Alsius, Meritxell Casas, Jordi Deulofeu, Mònica López, Eva Lozano, Elena Núñez y Marta Solà (que supieron soportarme...), y sobre todo del organizador del certamen y verdadero super-especialista del mundo del juego lúdico (valga la redundancia) en España, Oriol Comas i Coma. Durante todo el fin de semana, ayudados por Oriol y el esforzado Bascu, los ocho miembros del jurado, por parejas o en grupos de cuatro jugamos a los diez juegos finalistas de los 73 que se habían presentado a la convocatoria. Mi sorpresa fue mayúscula, ya que esperaba encontrar digamos algo así como "juegos de aficionados" y, en realidad, al menos los diez finalistas, los diez juegos que yo pude jugar y probar eran verdaderos juegos de categoría que merecían, todos ellos, que se hiciera distribución comercial de los mismos. No tenían nada que envidiar con la mayoría de juegos ya comercializados y reconocidos en todo el mundo. Había juegos de gestión de recursos, de mercado, de estrategia y un largo etcétera que dice mucho de la creatividad de los que inventan juegos en España y de la precariedad del mercado nacional tan lanzado a introducir juegos extranjeros (buenos, no lo pongo en duda), pero olvidadizo en lo que hace referencia a los brillantes creadores de juegos que tenemos aquí. Como para muestra siempre vale un botón, les diré que el juego "22 manzanas", diseñado por Juan Carlos Pérez Pulido y que obtuvo el accésit del jurado en el Concurso de Creadores de Juegos de 2008, no se ha editado en España, pero sí en Francia. Existe, bajo el nombre de "22 pommes", editado por la firma Interlude/Cocktailgames de Versailles (www.cocktailgames.com). Es un juego de estrategia que parece sencillo y resulta sumamente adictivo e interesante para todo aquel que tenga una mentalidad digamos que lúdica y mejor si tiende a tener interés por la abstracción, la estrategia y la matemática. Y ése fue el accésit de 2008 lo que me hace pensar que es una lástima que no se pueda jugar al juego ganador... todavía inédito. Como, posiblemente por desgracia, quedarán inéditos la gran mayoría de los diez juegos que hicieron la vida difícil al jurado de este Tercer Concurso por tener que elegir uno de ellos, aunque todos en general nos encandilaron. Hago mis votos porqué se rompa la tradición y la mayor parte llegue a comercializarse. Sería un acierto. La suerte es que el ganador de este año, El Querni, si está accesible al menos en Internet. Se trata de un juego cuyas bases son sumamente sencillas y que parece disponer de muchísimas posibilidades. El jurado lo eligió como ganador por ser un "cautivador juego de estrategia de fácil aprendizaje pero con continuas y variadas alternativas". En la foto superior se ve la calva de quien esto escribe a punto de cerrar una partida de Querni (que, para ser fieles a la realidad, al final perdí... aunque perder ante Meri Casas es todo un honor). El juego lo ha diseñado Enrique Fernández de Murcia y se puede jugar, en local o en red, en la página web: www.querni.com donde se explican las reglas y el programa de soporte evita que se hagan movimientos no autorizados. (Imagino que todos habrán descubierto ya que "Querni" es un anagrama del nombre de su creador: Enrique). La diligencia y los muchos contactos internacionales de Oriol Comas ya han logrado que se hable del Concurso y del juego ganador en la página web francesa "Jeux Sur un Plateau" (www.jsp-mag.com) que lo considera "un juego abstracto eficaz y muy distraído que toma movimientos del juego de las damas". Según las reglas del juego (que se encuentran en www.querni.com) el Querni es un juego de tablero para dos jugadores. Yo añadiré que una partida suele durar entre diez y quince minutos habitualmente, aunque he jugado ya algunas partidas que han superado de largo la media hora. Todo es cuestión de cómo se toma uno el asunto y lo mucho que desea pensar las jugadas y las alternativas (de momento, el juego se juega sin reloj; imagino que debido a que, en la mayor parte de las ocasiones, una partida se resuelve en menos de un cuarto de hora). Cada jugador tiene 16 fichas numeradas del 1 al 16 de un color diferente al de su oponente. El tablero es de 10x8 y las fichas se disponen aleatoriamente en el tablero en unas posiciones iniciales fijas. El objetivo es retirar del tablero las 16 fichas del color propio. Gana el primer jugador que lo consiga. Las fichas se pueden retirar cuando formen una cadena. Las cadenas están formadas por un mínimo (no hay máximo) de 3 fichas de numeración consecutiva, que estén en casillas contiguas, ya sea tocándose por un lado o por un vértice. Cada ficha debe estar contigua a la del número que la precede, excepto la que inicia la cadena. En cada jugada, el jugador puede mover una ficha o retirar una cadena o hacer ambas cosas en el orden antes mencionado. El movimiento de la ficha puede ser un desplazamiento de una sola casilla (como el del rey de ajedrez) a una posición libre adyacente o, alternativamente, un salto por encima de otra ficha (de cualquier color) a una casilla vacía. Sólo se puede saltar por encima de una ficha en cada salto, y en línea recta, sea lateral o diagonal a la casilla. Si la disposición de las fichas lo permite pueden enlazarse varios saltos consecutivos en una misma jugada, pudiendo cambiar de dirección en cada salto. La partida termina cuando un jugador retira todas sus fichas del tablero y gana así la partida o cuando ninguno de los dos jugadores tiene posibilidad de formar más cadenas. En este último caso gana la partida el que más fichas haya retirado. Como ha visto muy acertadamente la revista JSP, El Querni es un juego de optimización pero también de bloqueo, en el que el simple desplazamiento de una ficha puede molestar seriamente al adversario y en el que, según creo, hay que saber decidir el mejor momento para eliminar las cadenas ya construidas para no otorgar demasiada libertad de movimientos al adversario (aunque eso también afecta a los movimientos propios...). Por el mismo Enrique Fernández, me he enterado que existe ya un proyecto final de carrera en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática de la Universidad de Sevilla, propuesto por el profesor José Ramón Portillo del departamento de Matemática Aplicada I. También, en ese mismo centro, hay otros proyectos sobre aplicaciones que permitan jugar en red a diversos juegos de mesa: Carcassone, damas chinas, etc. Debo decir que, en mi caso, hace unos años "usé" la fuerza de trabajo de diversos estudiantes de la Facultad de Informática de Barcelona para hacer Proyectos Final de Carrera que crearan programas que aportaran elementos nuevos de análisis al juego clásico del bridge. No sé si es una buena idea hacer un programa que juegue al Querni, aunque puedo reconocer que tal vez, esa duda viene de una sana envidia por mi parte por no haber sido el primero en intentar abordar ese proyecto con alguno de mis estudiantes, pero todo llegará... Pero sí es cierto que sería casi una desgracia que hubiera un programa informático que implementara la estrategia correcta para jugar al Querni (¿cuál será esa estrategia?...) y nos venciera a todos... Algo parecido ha ocurrido con el ajedrez (hoy sólo tiene sentido jugarlo entre humanos...) y por eso un programador como Omar Syed inventó un juego como Arimaa cuya posición aleatoria inicial y sus cuatro fases en cada movimiento van a hacer casi imposible que un ordenador pueda jugar a Arimaa mejor que un ser humano... Ojalé ocurra lo mismo con el Querni (también se parte de posiciones aleatorias de las fichas...). Puedo garantizar que los humanos con tendencia a la estrategia y a los juegos abstractos nos lo pasamos muy bien con el Querni que les recomiendo prueben en la página web ya indicada. En realidad, pensaba hablarles también de otros juegos más o menos relacionados con la matemática, y en especial del Eleusis de Robert Abbott o de otros juegos de ese tipo pero, como pueden ver, el Querni, mi más reciente descubrimiento, ha ocupado prácticamente todo el espacio. O sea que les dejo alguna bibliografía selecta sobre este mundo del juego lúdico (valga de nuevo la redundancia), en donde se incluyen varios retos de tipo claramente matemático, y les prometo volver a ello un día u otro. Al fin y al cabo, hay también juegos de mesa con temáticas de ciencia ficción, como el que recoge el juego que diera sentido a la película de ciencia ficción de Robert Altman: Quintet o, más recientemente, Battlestar Galactica el juego de mesa en torno a la vieja serie de televisión recientemente remozada. El verano es buena época para tener tiempo para jugar, algo que nuestro propio equilibrio mental está pidiendo a gritos en este complejo y atareado mundo de hoy. Pero no olviden que, aunque hay mucho que hablar de los juegos, es incluso mejor, mucho mejor, jugarlos... Pruébenlo con el Querni. Vale la pena.   Para leer: Ensayo - El mundo en juegos, Oriol Comas i Coma, Barcelona, RBA, 2005. - Un montón de juegos, Sid Jackson, Barcelona, RBA, 2007. Para jugar: web: http://www.querni.com

Lunes, 25 de Mayo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

938. 1. Tetraedro Regular con 2 billetes del Metro de Madrid

Cuando somos usuarios habituales de los transportes públicos, nos da por llevarnos lectura, o escuchar música en los “walkmans” o, a falta de otra cosa, lanzamos furtivas miradas, con unas maneras más o menos discretas, al personal anónimo que nos acompaña. Además, a mí, el imperativo que contienen impreso los billetes de «Consérvese hasta la salida» me lleva a otras consideraciones menos profundas. Verán, confieso que soy “plegador anónimo” y eso me lleva a plantearme con cada trozo de papel qué cosa puedo plegar con él. ¡Lo siento, es superior a mis fuerzas! El billete del metro de Madrid -el de París es igual-, por su tamaño y características permite muy pocos plegados. Para muchos puede resultar un problema, pero para mí era un acicate. La proporción del rectángulo del billete del metro (3cm x 6,5cm) es, a igual altura, sensiblemente algo más corto por su base que el rectángulo formado por la altura de un triángulo equilátero dado y, su base, la suma de 2 de los lados del dicho triángulo Hacía años que con los viejos billetes de 100 pts., aquellos de la efigie de Manuel de Falla (proporción ), hacía unos tetraedros a partir de unos plegados de origen japonés. ¡Me salían carísimos (200 pts.), pero quedaba maravillosamente bien con la gente! Aquello me dio la idea de intentar hacer el tetraedro con los billetes del metro. De primeras, vi que, a falta de unos milímetros, no lograba formalizar el tetraedro con un billete. Incluso contando con el grosor del papel, aquello no era suficiente ¡Había que buscar la forma de superar aquella deficiencia! Casi al instante, como Alejandro Magno con el nudo gordiano, me decidí a hacer -por las bravas- un pliegue, pasando por el centro del rectángulo, y con un sesgo de 120º y 60º, que me permitía intuitivamente vislumbrar la parte visible del rombo necesario para tener dos de las caras del tetraedro. El resto (con algún que otro doblez más) serían las pestañas que precisaría para encastrarlo con otro billete plegado simétricamente. Et voilà! Con 4 billetes (2 parejas de 2 billetes plegados simétricamente) o con 10 (5 parejas de 2 billetes plegados simétricamente) se pueden hacer igualmente el octaedro y el icosaedro regular respectivamente. La pega radica en que, al ser los ángulos internos de las aristas más amplios, las solapas no dan tanta trabazón y precisaríamos pegarlas para que no se deshagan (¡una herejía para los papiroflectas!). Probad a hacer también estas otras dos figuras, pero tened en cuenta que a la hora de montarlas, hay que saber que no todos los papeles son iguales, que la mitad de los billetes son simétricos de la otra mitad, y hay que mantener un criterio. Descárgatelo en un tamaño mayor

Lunes, 01 de Noviembre de 2004 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

939. 3. arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π

Demostrar que se verifica la igualdad: arctg 1 + arct 2 + arct 3 = π Utilizaremos para ello: * 1 papel cuadrado * Conocimientos básicos de Papiroflexia * Conocimientos básicos de Trigonometría * Conocimientos de Geometría Para resolver el problema, comenzaremos por realizar los pliegues que se indican en las siguientes figuras: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Y, a partir de aquí, utilizaremos el triángulo FGD que se ha formado, hallando las tangentes de  sus ángulos . = AB/DB = lado/lado = 1 = CD/FD = lado/(lado/2) = 2 =FH/GH     (seguir leyendo) Figura 6 En la figura (6), se puede observar que los triángulos  FHG y COG son semejantes, ya que ambos son rectángulos y tienen el ángulo igual por ser opuestos por el vértice. De aquí, se puede escribir:   = FH/GH = CO/OG Y como CO es igual a DO, se puede también expresar:   =DO/OG Figura 7 Por otro lado, en la figura (7) observar que G es el baricentro del triángulo CDB, es decir, el punto en el que se cortan sus medianas: CF, DO y la dibujada a trazos. Una de las propiedades de este punto, centro de gravedad del triángulo, es que divide a cada una de las medianas en 2 segmentos que están en proporción 2:1, es decir, en la que nos interesa:. DG = 2 x GO  y de aquí: DO = DG +GO =3 x GO La demostración de esta propiedad, se puede ver en cualquier tratado de Geometría o, preferentemente para los Papiroflectas, en el fenomenal libro: "MATEMÁTICAS Y PAPIROFLEXIA" de Jesús de la Peña Hernández editado por la Asociación Española de Papiroflexia, ISBN 84 - 607 - 2169 - 8 Sustituyendo este valor en la expresión que teníamos esperando, podemos escribir: = DO/OG= 3 Aplicando las funciones inversas, podemos escribir el primer término de la igualdad que se pretende demostrar, de la siguiente forma: arctg 1 +arctg 2 +arctg 3 = Por otro lado, en todo triángulo, se verifica que la suma de sus tres ángulos es igual a un ángulo llano, es decir, de 180º ó  π radianes. Ver las siguientes figuras para comprobarlo "papiroflécticamente". Figura 8 Figura 9 Figura 10 que es el segundo término de la igualdad O sea que, finalmente, podemos escribir: arctg + arctg 2 + arctg 3 = π C.q.d Vamos a continuación a resolver el problema prescindiendo de recursos a la Geometría, sustituyéndolos por un poco más de Papiroflexia. Tomamos un papel cuadrado y efectuamos ordenadamente los pliegues que se indican en las siguientes figuras: Figura 11 Figura 12 Figura 13 Figura 14 Figura 15 Figura 16 Figura 17 Figura 18 Observemos ahora en esta última figura los 3 triángulos que se distinguen por distintas tonalidades de gris y centremos la atención en los ángulos , cada uno de ellos perteneciente a uno de los triángulos. Figura 19 Los 3 triángulos son rectángulos y, observando la cuadrícula, resultan evidentes los valores de las tangentes de los ángulos : En el ángulo los catetos son iguales, por lo que la tangente valdrá 1 y; en el ángulo , uno de los catetos es el doble del otro, por lo que la tangente valdrá 2. En el otro triángulo, es decir el que tiene el ángulo , para evaluar las dimensiones de los catetos, basta con fijarse en que el cateto menor es igual a la diagonal del rectángulo formado por dos teselas de la cuadrícula, mientras que el cateto mayor, mide 3 veces esa misma diagonal. Por lo que la tangente del ángulo , valdrá 3. Dado que los tres ángulos en conjunto forman un ángulo llano, parece ocioso insistir en que la proposición ha quedado suficientemente demostrada.

Sábado, 01 de Enero de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

940. 5. División del lado del cuadrado en partes iguales. Teoremas de Haga

Autor: Juan Pedro Rubio prubio@uax.es Dividiendo entre 2, 4, 8, 16.....  El pliegue que se produce al aplanar un papel de forma que dos puntos definidos del mismo vengan a coincidir es la mediatriz del segmento que tiene por extremos dichos puntos. El trazado de una mediatriz por el método clásico, con regla y compás, es un poco más laborioso. Si plegamos el papel de modo que vengan a coincidir no dos puntos, sino dos rectas definidas en el mismo mediante sendos segmentos, estamos trazando la bisectriz del ángulo comprendido entre dichos segmentos. El trazado de una mediatriz con regla y compás es bastante más laborioso..... ...especialmente si el vértice del ángulo no es accesible. Vemos así que la división entre dos, tanto de ángulos como de segmentos, es una operación sencilla y natural en papiroflexia .De hecho, muchos de los modelos existentes consisten casi exclusivamente de pliegues de esta naturaleza, si excluimos los pliegues "sin referencias",cuya posición y orientación no están determinadas geométricamente. La mayoría de los pliegues del barquito de papel, de la pajarita, del avión flecha, y de muchos otros modelos tradicionales, son el resultado de bisecciones sucesivas de ángulos y segmentos que el propio proceso de plegado va definiendo en la hoja de papel. Lo mismo puede decirse de multitud de modelos más complejos. Si el lector es practicante de esta afición, podrá comprobarlo revisando los modelos que haya plegado recientemente. Si no lo es, puede que el encanto del modelo que presentamos para su análisis estimule su interés por la papiroflexia. Se trata de la Rata de Eric Joisel. Dividiendo entre tres. Teoremas de Haga. Hemos argumentado que la bisección sucesiva de ángulos y segmentos es una operación natural en papiroflexia, abundante en numerosos modelos. Dividir un segmento o un ángulo en 2, 4, 8, 16 o, en general, en 2 n partes iguales es sencillo. Sin embargo, la trisección exacta de ángulos y segmentos dista de ser una operación intuitiva. No todo esbisección en papiroflexia. Muchos modelos, especialmente entre aquellos que llamamos "geométricos", tales como cajas, poliedros, etc, requieren de trisecciones o divisiones entre otros números naturales de ángulos y segmentos. En la "nube de papiroflexia" que Thoki Yenn dejó flotando en el espacio electrónico de La Red tras irse de este mundo, encontramos hermosos ejemplos de modelos con trisecciones o divisiones más complejas. Al escribir estas líneas, la nube de Thoki Yenn se encontraba aquí. A continuación vamos a presentar una sencilla construcción que triseca con exactitud el lado de un cuadrado o bien, con algunas operaciones adicionales, cualquier segmento. Se trata del llamado "primer teorema de Haga". No nos ocupamos en lo sucesivo delas divisiones de ángulos. Nos despedimos de ese problema, que podría ser objeto de un futuro artículo, con una fuerte afirmación: La trisección de un ángulo no es, en el caso general, un problema resoluble con regla y compás. Mediante plegados, puede trisecarse cualquier ángulo contenido en una hoja de papel. El primer teorema de Haga puede enunciarse en los siguientes términos: Sea un cuadrado de vértices A, B, C, D. Si se pliega el cuadrado sobre sí mismo llevando el vértice A al punto medio del lado BC , entonces el lado AD cortará al lado CD en un punto G tal que la distancia entre C y G es igual a las dos terceras partes del lado del cuadrado. Este teorema fue originalmente enunciado por el Dr. Koji Fusimi (Mathematics Seminar, enero 1979) con el nombre de "Teorema de Haga". Más tarde el propio Kazuo Haga añadió el ordinal tras descubrir otras dos construcciones geométricas estrechamente relacionadas con la anterior, a las que llamó segundo y tercer teoremas, respectivamente, que llevan al mismo resultado y que se incluyen a modo de ilustración. Demostremos el primer teorema. Como paso previo, observemos que los triángulos BEA, CAG y DFG son semejantes. En efecto, los tres son triángulos rectángulos en B, C y D respectivamente, por ser esos tres puntos vértices del cuadrado.CAG y DFG son semejantes por ser ambos rectángulos y tener el mismo ángulo en el vértice común G. BEA y CAG son semejantes por ser rectángulos y tener ángulos complementarios en el vértice común A. Comprobemos que no sólo son semejantes sino, además, notables y entrañables. Se trata de triángulos rectángulos con lados de longitudes relativas 3, 4 y 5, que los egipcios usaban en la antigüedad para construir pirámides y los profesores de secundaria usan en la actualidad para construir problemas de gratificante solución. En efecto,si hacemos unitario al lado para simplificar los cálculos sin perder generalidad, observamos que BA=1/2 (la mitad de un lado) y que BE+EA=1 (un lado). El teorema de Pitágoras nos permite calcular las longitudes de los tres lados del triángulo BEA: (BE)² + (1/2)² = (1 - BE)², de donde BE=3/8, BA=4/8 y EA=5/8. Por tanto, los lados del triángulo BEA son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente. Lo mismo puede afirmarse de CAG y DFG por su semejanza con BEA. La demostración del primer teorema de Haga es ahora inmediata, si observamos la semejanza del triángulo BEA, las longitudes de cuyos lados acabamos de calcular, con el triángulo CAG: CG es a BA como AC es a EB. En otros términos, CG/(1/2) =(1/2)/(3/8), de donde CG = 2/3, como se quería demostrar. En la próxima entrega, generalizaremos este método para dividir el lado de un cuadrado en un número arbitrario de partes iguales. Bibliografía: Kazuo Haga, “Fold paper and enjoy Math: Origamics”, en Origami 3: Third International Meeting of Orgami Science, Mathematics, and Education, Editado por Thomas Hull. Editorial A.K. Peters (2002), páginas 307-328  

Martes, 01 de Marzo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico