941. 6. Generalización del primer teorema de Haga

En el artículo del mes pasado presentamos el primer Teorema de Haga, el cual nos proporciona un método para dividir el lado de un cuadrado en tres partes iguales: Si llevamos el vértice A a un punto genérico del lado BC, no necesariamente el punto medio, ¿habrá una relación sencilla entre BA y CG?, ¿tendrá dicha relación alguna aplicación práctica? La respuesta a ambas preguntas es afirmativa. La aplicación práctica que se deduce es, nada menos, un método sencillo para dividir el lado del cuadrado en un número cualquiera de partes iguales mediante bisecciones sucesivas. Pero vayamos paso a paso. En primer lugar, llamemos x a la distancia entre B y A e y a la distancia entre C y G en la construcción siguiente: donde x es cualquier valor comprendido entre 0 y 1. El teorema de Haga propiamente dicho sería el caso particular x=1/2. Según el mismo razonamiento aplicado a la demostración anterior, es BA=x, BE+EA=1, y el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo BEA nos dice ahora que (BE)² + x² = (1 - BE)², de donde BE=(1-x²)/2 = (1-x)(1+x)/2. De la semejanza entre los triángulos BEA y CGA deducimos ahora CG /(1-x)= 2x/(1-x)(1+x), de donde CG=2x/(1+x) La relación entre x e y es, por tanto, la siguente: y = 2x/(1+x). Buscando consecuencias de utilidad práctica, hemos de imponer a x la limitación de ser fácilmente constructible, lo que nos lleva de nuevo a pensar en bisecciones sucesivas (ver la primera parte del artículo sobre el Teorema de Haga). Fácilmente, podemos dividir el lado BC en un número de partes iguales que sea potencia de dos, y podemos llevar el vértice A a cualquiera de las marcas producidas en el proceso. Diremos formalmente que son fácilmente constructibles los números x de la forma x = n/2rdonde n y r son números naturales, siendo n<2r. Haciendo x = n/2r, y operando, resulta y = 2n/(2r + n). El resultado es muy interesante, porque el denominador, 2r+ n, con las restricciones enunciadas, es cualquier número natural (excluido el cero), y además la descomposición de cualquier número natural (excluido el cero) en la forma z = 2r+ n es inmediata. Podemos exponer ahora un método para dividir el lado del cuadrado en un número arbitrario de partes iguales. El procedimiento es el siguiente: - Sea z el número de partes iguales en que queremos dividir el lado CD del cuadrado. (Por ejemplo, z = 19) - Llamamos 2^r a la máxima potencia de dos (2, 4, 8, 16, 32......) menor que z. (En el ejemplo, 2^r = 16) - Llamamos n a la diferencia entre z y 2r, de forma que z = 2r+ n (En el ejemplo, n=3) - Dividimos, mediante bisecciones sucesivas, el lado BC en 2r partes iguales. - Llevamos el vértice A a la división número n, contando desde el vértice B - Plegamos el cuadrado haciendo coincidir el vértice C con G, y deshacemos el pliegue anterior. - El resultado es un rectángulo. Al lado CD le hemos "restado" un segmento de longitud n/z, y la nueva longitud es igual a 2r/z. Mediante bisecciones sucesivas, dividimos este segmento en 2r partes iguales. Es de interés destacar que esta construcción puede realizarse sin marcar el pliegue EF, y por tanto sin introducir pliegues indeseados en el interior del cuadrado. Al llevar el vértice A al punto correspondiente del lado BC, lo único que necesitamos es localizar el punto G, y para ello no es necesario aplanar completamente el papel. Localizar así el punto G no es difícil, pero mantenerlo en posición con los dedos y proseguir con el proceso requiere de cierta pericia por parte del plegador. Referencias: Hatori Koshiro “How to divide the side of Square Paper” http://www.origami.gr.jp/People/CAGE_/divide/index-e.html  

Viernes, 01 de Abril de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

942. 7. Demostración de la fórmula que proporciona el área de un triángulo

A = Base (b) x Altura (h) /2 De lo que trataremos en este artículo es de demostrar la fórmula, usando para ello solamente la Papiroflexia y, por supuesto, el sentido común. Partamos de un triángulo cualquiera ABC de base “b” y altura “h” (Fig. 1): Fig 1 Pleguemos el triángulo según la línea B-B’ de la Fig. 2. El punto B’ queda determinado al llevar el vértice C sobre un punto del lado AC, que será el único posible. La marca dejada en el papel por el pliegue BB’, perpendicular al lado BC, “materializa” la altura “h” Fig 2 Procedamos a hacer un nuevo pliegue, llevando B hasta B’ y llamemos D y E a los puntos en que la línea de pliegue, corta a los lados AB y BC del triángulo. (Fig. 3)   Fig 3 Hagamos unos pliegues más, los DF y EG, de forma similar a como lo hemos hecho en el paso anterior, haciendo que sean ahora D y E, los puntos que hagan la función que antes ha hecho B. En esta operación, intervendrán también los vértices A y C, que habrá que hacerlos coincidir con puntos obligados del lado AC. Obtendremos lo representado en la siguiente figura: Fig 4 Por último, unamos con sendos pliegues los puntos D y B´ y E y B´. En la siguiente figura ya están marcados todos estos pliegues que hemos ido haciendo, excepto el BB´, del que podemos prescindir por resultar innecesario para los siguientes razonamientos. Fig 5 En la siguiente figura se han distinguido en distintos colores, los triángulos parciales que componen el triángulo que estamos estudiando: Fig. 6 Repasando la forma en que se han hecho los pliegues, es evidente que: a) Los triángulos DBE y DB´E (amarillos) son idénticos. Lo comprobaremos sencillamente plegando uno sobre otro por la línea DE: Fig. 6-Am   b) Los triángulos ADF y B´DF (verdes) son idénticos. Lo comprobaremos sencillamente plegando uno sobre otro por la línea DF: Fig. 6-Ve   c) Los triángulos CEG y B´EG (azules) son idénticos. Lo comprobaremos sencillamente plegando uno sobre otro por la línea EG: Fig. 6-Az Se habrá podido comprobar que los vértices A, B y C, coinciden exactamente en el punto B´. El área del triángulo básico, es igual a la suma de las áreas de todos los triángulos en que le hemos dividido (Fig. 6) y, puesto que los triángulos de colores más intensos, son iguales respectivamente a los de colores más pálidos de su gama (Figuras. 6- auxiliares), podemos deducir que: El área del triángulo es igual a dos veces el área del rectángulo FDEG. (1) Veamos ahora cual es el área de este rectángulo: Su altura es igual a h/2 por la forma en cómo hemos procedido en la Fig. 3. En cuanto a su base, es muy sencillo deducir que es igual a b/2,ya que Base del rectángulo = FB´+ B´G tal como se aprecia claramente en la Fig. 6-Az La base del triángulo estudiado es igual a: b =AF + FB´ +B´G + GC tal como se ve en la Fig. 6, y como: AF = FB´ y B´G = GC tal como salta a la vista en la Fig. 6-Az Tenemos: b = 2 (FB´ + B´G) de donde Base del rectángulo = FB´+ B´G = b/2 Por lo tanto, el área del rectángulo, será: Área del rectángulo = b/2 * h/2 = b*h/4 Y puesto que el área del triángulo que estamos estudiando es el doble de la de este rectángulo (1), bastará con multiplicar esta última expresión por 2, con lo que tendremos Área del triángulo = b*h/2 = Base x Altura /2 que es lo que se quería demostrar NOTA: Una vez asimilada esta demostración, es fácil darse cuenta de que toda ella está contenida en la figura plegada de la imagen 6-Az, la del rectángulo, así como la demostración de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es un ángulo llano (ver el artículo de enero de 2005).

Domingo, 01 de Mayo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

943. 8. Modelos de cápsidas de virus ESFÉRICOS con papiroflexia modular

Las cubiertas proteicas o cápsidas de los virus esféricos son un ejemplo de una arquitectura molecular perfecta. Impresiona comprobar cómo en un proceso natural de síntesis y ensamblaje espontáneo de proteínas, se forman este tipo de estructuras con tan alto grado de simetría .   Micrografías electrónicas de algunos virus esféricos La papiroflexia modular es un recurso muy apropiado para construir modelos de estas cápsidas. Un módulo asimétrico de papel plegado puede representar adecuadamente a una molécula proteica (estructura asimétrica); y el empalme por encajado de estos módulos para formar estructuras poliédricas estables, asemejan de un modo muy ilustrativo el proceso natural de formación de una cápsida. La teoría sobre la estructura de la cubierta proteica viral fue iniciada en 1956 por Crick y Watson. Posteriormente, la introducción de las técnicas de microscopia electrónica permitió visualizar la forma de muchas partículas virales. En 1962 Caspar y Klug propusieron las bases teóricas actuales sobre la estructura de los virus inspirándose en las cúpulas y estructuras geodésicas diseñadas por el arquitecto norteamericano Buckminster Fuller. Hay virus esféricos de tamaño muy pequeño -diámetro cercano a 180·10-10 m - como el virus de la necrosis del tabaco (STNV, Satellite Tobacco Necrosis Virus) cuya cápsida está formada por 60 subunidades proteicas químicamente idénticas. Como desde un punto de vista geométrico un icosaedro puede ser dividido en 60 regiones simétricamente equivalentes, se propuso que la cápsida de estos virus presentaba una simetría icosaédrica perfecta. Las subunidades proteicas son equivalentes al ocupar cada una de estas 60 regiones. Figura 1: Simetría de la cápsida del virus STNV Muchos otros virus esféricos de mayor tamaño, como el virus del achaparrado del tomate (TBSV, Tomato Bushy Stunt Virus) con un diámetro de 350·10-10 m, tienen una cápsida formada por 180 subunidades proteicas químicamente idénticas. En este caso no es posible conseguir una simetría icosaédrica pura yestas proteínas, al no poderse colocar de un modo equivalente, lo hacen de un modo quasi equivalente. Las 180 subunidades no tienen el mismo entorno estereoquímico y están dispuestas en 60 grupos de tres elementos. Estos tres tipos de subunidades aunque tienen la misma secuencia de aminoácidos varían ligeramente en su conformación. Figura 2: Simetría de la cápsida del virus TBSV Existen muchos otros virus esféricos con estructuras más complejas y formadas por más de un tipo de subunidad pero yo me centrado en estos dos que acabo de describir para construir modelos de papiroflexia de sus cápsidas. Para construir los modelos de estas cápsidas hay que disponer de un modulo de papiroflexia que sea asimétrico (“molécula proteica”) y que se pueda encajar de modo estable y sin pegar para formar estructuras icosaédricasde 60 y 180 módulos que cumplan la simetría de las cápsidas del STNV y del TBSV. He consultado distintas publicaciones de papiroflexia modular y la mayoría de las estructuras icosaédricas que allí aparecen (principalmente icosaedros estrellados, truncados y estructuras relacionadas), se forman con 30 módulos. Hay algunas con 60 módulos pero estos son simétricos, con lo que no sirven para la construcción de los modelos de las cápsidas. Yoshihide Momotani, en su libro en japonés “Molecular models with Origami” (ISBN: 4759808663) propone como modelo de virus esférico la construcción de un kusudama tradicional (Decoration ball), una estructura modular no hueca de 30 módulos unidos con hilos. Opino que, aunque este modelo queda muy vistoso y consigue una estructura esférica, los modelos moleculares que yo propongo en este artículo reflejan con bastante más propiedad la estructura de las cápsidas virales esféricas. Las cápsidas de 60 módulos quedan más vistosas utilizando módulos de tres colores (20-20-20), aunque los colores en este modelo no tengan ningún significado estructural ya que los 60 módulos son geométricamente equivalentes. Para construir este modelo resulta interesante insertar los módulos de distinto color de modo que la coloración final quede de una forma coherente. Para esto es útil dibujar previamente el grafo coloreado del poliedro en el que se basa la arquitectura de la cápsida (grafo del icosidodecaedro otriacontaedro rómbico). Cuando se hacen cápsidas de 180 módulos el uso de los tres colores (60-60-60) se hace necesario para visualizar las tres conformaciones proteicas diferentes y la quasi equivalencia.         Cápsida del virus del achaparrado del tomate (TBSV, Tomato Bushy Stunt Virus) (180 monómeros)   Cápsida del virus de la necrosis del tabaco (STNV, Satellite tobacco necrosis virus) (60 monómeros) Algunos sitios de la Web relacionados con la estructura viral: The Big Picture Book of Viruses: http://www.virology.net/Big_Virology/BVFamilyIndex.html Virus World (Institute for Molecular Virology): http://rhino.bocklabs.wisc.edu/cgi-bin/virusworld/virustable.pl? Principles of Virus Architecture: http://www.uct.ac.za/depts/mmi/stannard/virarch.html Virus databases on-line: http://life.anu.edu.au/viruses/welcome.html   Archivo para imprimir: capsidas.pdf

Miércoles, 01 de Junio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

944. 9. Plegado del hexágono óptimo

Autor: David Dureisseix (dureisse@lmgc.univ-montp2.fr) Para los incondicionales del origami geométrico, presentamos aquí una técnica de plegado de un hexágono regular, de las mayores dimensiones posibles, a partir de un cuadrado de papel: se trata del hexágono óptimo. Por poner unas limitaciones suplementarias, la construcción tiene que ser matemáticamente exacta, con un número limitado de operaciones (sin métodos iterativos) y, por supuesto, lo más sencilla posible. Podemos demostrar, de forma general (ver [1]), que un polígono óptimo cualquiera (de n lados) tiene que ser simétrico respecto de una diagonal del cuadrado de papel inicial. Además, cada lado del cuadrado toca al menos uno de sus vértices, como en la figura 1 en el caso del hexágono (polígono de 6 lados). Figura 1. Hexágono óptimo Figura 2. Versión estrellada Este último también posee una simetría respecto de la otra diagonal, y como los ángulos que intervienen en su construcción son muy particulares, su realización es muy fácil, como podréis descubrir en la figura 3. Figura 3. Doblado del hexágono óptimo Paso 1: Doblar llevando B a B’ sobre la vertical. Esto nos permite también construir la intersección F del doblez AE con la diagonal BD. Se trata de una técnica clásica para construir un ángulo de π/6 (30 grados). Paso 2: tras dar la vuelta al modelo, se construye la mediatriz de DF al llevar D sobre F.La línea GH es ahora un lado del hexágono óptimo estrellado (se obtiene al unir los vértices de forma alternada, ver figura 2). Ahora, con este lado bien posicionado, se puede obtener el hexágono óptimo. Paso 3: falta completar la construcción para obtener el hexágono que se busca, lo que resulta muy fácil si tenemos en cuenta las simetrías del hexágono regular. Por ejemplo, llevar H sobre la diagonal, en I, doblando por G. Paso 4: doblar GI, HI. Paso 5: sólo resta proceder por simetría respecto de la segunda diagonal para construir el hexágono estrellado. Paso 6: completar el hexágono óptimo. Para aquellas personas que deseen detalles sobre la demostración, presentamos aquí algunos pasos intermedios: en el caso de un cuadrado inicial de lado unitario, la longitud de un lado del hexágono óptimo es , siendo la de un lado del hexágono óptimo estrellado  , véase la figura 1. Por otro lado, donde, siendo , luego, , de donde se deduce que  es la longitud de un lado del hexágono óptimo estrellado. Referencias [1] D. Dureisseix, Searching for optimal polygon, application to the pentagon case, Septiembre 1997, nota no publicada, disponible en ftp://ftp.rug.nl/origami/articles/polyeps.zip ftp://ftp.rug.nl/origami/articles/polye.ps

Viernes, 01 de Julio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

945. 13. Solución del Problema del Verano de 2005

El siguiente problema fue propuesto por Nick Robinson en el Boletín nº 182 de la British Origami Society “Doblar un papel cuadrado por una línea, abatiendo por completo la parte que queda a un lado de esa línea, sobre la otra parte. Con esto, quedará a la vista parte del anverso del papel, y parte del reverso. Se trata de determinar una línea de abatimiento de forma que las superficies que quedan a la vista de una y otra cara del papel, tengan igual área y ésta sea la máxima que podamos obtener.” La figura siguiente ilustra el problema con un plegado que, naturalmente, no representa la solución. Figura 1 Razonamiento: Si la parte que abatimos queda por completo dentro del recinto del cuadrado, es evidente que se pueden considerar tres áreas: – El triángulo azul (visto) – Otro triángulo idéntico debajo del azul, que queda oculto. – Un polígono irregular rojo (visto) Como el problema plantea el que las partes vistas tengan el mismo área, lo que se trata de encontrar es una línea de pliegue que haga que las superficies del triángulo (azul) y la del polígono (rojo), sean iguales. Como el cuadrado inicial comprende el polígono y 2 triángulos (el visto y el tapado), es evidente que el área buscada, será igual a 1/3 de la del cuadrado, puesto que las 3 partes han de ser iguales. Es casi inmediato encontrar las siguientes soluciones: Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 En tanto que las soluciones anteriores las encontramos desde la Geometría, si nos ayudamos del Álgebra, no será difícil encontrar la de la Figura 6, e infinitas más de las de la Figura 7 : Figura 6 Figura 7 Todas las anteriores soluciones cumplen uno de los planteamientos del problema: "Que sean de igual área", pero ¿cumplen con la otra condición, es decir, que esa área sea la máxima posible? Sin duda alguna, ambas condiciones se cumplirían si hubiera la limitación de que la zona vista del reverso (azul), cayera dentro del cuadrado, pero como no es así, debemos plantearnos el que la línea de abatimiento sea como la de la siguiente figura: Figura 8 en que una zona del reverso “escapa” de la superficie ocupada por el cuadrado inicial y ya no es aplicable el Razonamiento expuesto arriba. En esta situación también es innegable, el que para cada punto E del borde del cuadrado, existirá un punto F de forma que las áreas azul y roja sean iguales, por lo que para la primera condición del problema también habrá infinitas soluciones. Los límites de esta situación son los que corresponden a d = 2/3, representado en la Figura 2, y d = 1/3, representado en la Figura 3 (y sus simétricos respecto de la diagonal principal A-C). Recapitulando todo lo anteriormente expuesto, construimos la Figura 9, en la que se han marcado a trazos las líneas de pliegue de las figuras 2 a 5. Los puntos negros son los que corresponden a los marcados A´ en esas figuras y en la Figura 6. La curva con la que hemos unido estos puntos es el lugar geométrico de todos los puntos A´ posibles, de tal forma que las áreas de las superficies vistas de anverso y reverso del papel tras el pliegue, sean iguales. Figura 9 En tanto y cuanto el punto E de la Figura 8 se mueva a lo largo del borde del cuadrado marcado en rojo al margen de la figura, el punto A´ será uno de los del tramo rojo de la curva, y sea cual sea el punto de la curva, LAS SUPERFICIES VISTAS SERÁN IGUALES A 1/3 de la del cuadrado. Cuando el punto E se desplace en el tramo del borde del cuadrado marcado en verde al margen, el punto A´ será uno de los de la rama verde de la izquierda de la curva de la curva. (La otra rama es simétrica y la produce el desplazamiento del vértice D). ¡ATENCIÓN! Los puntos extremos de estas ramas verdes, sabemos que también corresponden a SUPERFICIES VISTAS IGUALES A 1/3 DE LA DEL CUADRADO (Figuras 2 y 5), pero ….. ¿Qué valor tendrán las áreas de las superficies correspondientes a los otros puntos de las ramas verdes? Serán: 1.- ¿IGUALES TAMBIÉN A 1/3 DE LAS DEL CUADRADO? 2.- ¿MENORES O MAYORES? Y si son mayores, ¿CUÁL ES EL PUNTO QUE CORRESPONDE A LA MÁXIMA Y QUÉ VALOR TIENE EL ÁREA? RAZONEMOS: Vamos a generalizar el problema en base a los polígonos representados en la Figura 10:   Se verifica que: x + z = y [1] y sabemos que es un cuadrado de área 1, o sea: x + y + (x + z) = 1 [2] Eliminando x de estas ecuaciones, obtenemos: y = (1 + z)/3 [3] Figura 10     Haciendo z =0, se tienen todas las situaciones representadas en las figuras 2 a 7, para las que las superficies que quedan a la vista: y = anverso = reverso = 1/3 Para aquellos casos en que se produce el triángulo amarillo, es decir z>0 , en todas las soluciones posibles, la superficie según [3], será mayor de 1/3. Es decir, queda contestada la pregunta 2, formulada más arriba: Existen infinitas soluciones, en que la superficies vistas e iguales de anverso y reverso, son mayores de 1/3 Queda aún una cuestión y es determinar cual de ellas es la máxima. Siguiendo con la expresión [3], podemos afirmar que la máxima “y”, se corresponderá con aquella en que la de “z” sea también la máxima. Si de [1] y [2] eliminamos “z”, tendremos: y = (1 – x)/2 [4] Por lo tanto, para hallar el área máxima anverso/reverso, disponemos de las siguientes opciones válidas: 1.- maximizar “y” 2.- maximizar “z” 3.- minimizar “x” desde aquí, es cuestión de establecer las oportunas ecuaciones que proporcionan las respectivas áreas de “x”, “y”, “z”, en función de la posición del punto E de la Figura 9, por ejemplo, por su distancia a la base del cuadrado y el ángulo que la línea de pliegue forme con la horizontal o la vertical. Todas las ecuaciones que se pueden plantear son muy complejas y su solución, aún mayor. No entraremos en ello en este artículo, pasando a mostrar en la tabla que figura a continuación, para comentar a la vez los valores que figuran en ella y las Figuras 11, 12 y 13. Notas.- Las filas marcadas en amarillo, son las representadas en las Figuras 11 y 12 * Valores más aproximados son: d = 0,54118099137345 al que corresponde: S = 0,33734382176955 Figura 11 Figura 12 Obsérvense en estas figuras los triángulos de color verde. Partiendo de una posición para el punto E, uno de los lados descansa sobre la línea horizontal E-F; el lado E-I, une el punto E con la intersección del lado A-B abatido, con el lado B-C; el tercer lado, depende según el caso. En la Figura 11, el triángulo verde es rectángulo y corresponde a todas las soluciones de la parte superior de la Tabla. En la Figura 12, el triángulo es acutángulo y se corresponde con las situaciones de la parte inferior de la Tabla. La figura 13, a continuación, representa la Solución final, en que el área es máxima. No nos ocuparemos aquí de probar que es ésta la solución, lo cual dejamos planteado como reto (si te interesa una solución de tipo analítico, puedes contactar con nosotros). Obsérvese que en esta situación, el triángulo verde ¡NO EXISTE!. Es decir, conociendo la situación del punto E, bastaría situar el F a la misma distancia “d” de la base del cuadrado y, pivotando sobre E, plegar buscando la línea E-G, de forma que A-B corte al lado B-C en el punto F.

Sábado, 01 de Octubre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

946. 14. Papirodemostración del Teorema de Pitágoras

En la actualidad, existen más de 1000 demostraciones del Teorema de Pitágoras lo que confirma que es uno de los teoremas que más han llamado la atención a través de la historia. Existen varias demostraciones que utilizan la papiroflexia para justificar este teorema y que se basan en pruebas geométricas clásicas. La más antigua que conozco es la que publicó en 1883 Sundara Row en su libro "Geometric Exercices in Paper Folding" y que recogen, entre otros, Kunihiko Kasahara (1989 y 2001) y Jesús de la Peña Hernández (2000). Basándome en la demostración matemática de este teorema propuesta por el matemático inglés Henry Perigal (1801-1898) he ideado una demostración “papirofléxica” del Teorema de Pitágoras. Me baso en un puzzle de cuatro piezas trapezoidales hechas de papiroflexia, ideado por Jean Jonson y publicado por Judy Hall (1995) y Jesús de la Peña Hernández (2000). Estos autores no utilizan el puzzle para demostrar explícitamente el teorema de Pitágoras y además las piezas trapezoidales del puzzle que propongo no tienen por qué tener las mismas proporciones que las ideadas por Jean Jonson. La demostración de Perigal es la siguiente: Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa (Perigal 1874).   Para realizar la papirodemostración del teorema de Pitágoras de un triángulo rectángulo cualquiera vamos a construir un puzzle de cinco piezas: una pieza cuadrada y cuatro trapezoidales iguales. Sea un triángulo rectángulo cualquiera:   Para construir la pieza cuadrada:   Construimos cuatro piezas trapezoidales de la siguiente manera:   Y ya sólo queda colocar las piezas para demostrar el teorema de Pitágoras:   Referencias bibliográficas: DE LA PEÑA HERNÁNDEZ, Jesús (2000) Matemáticas y Papiroflexia. Asociación Española de Papiroflexia. Madrid. HALL, Judy (1995) Teaching Origami to develop visual/spatial perception en Second International Conference on Origami Education and Therapy. Origami USA. New York. KASAHARA, Kunihiko (1989) Origami Shinseiki I (Origami, La Era Nueva). Ed. Sanrio Co. Japón. KASAHARA, Kunihiko (2001) Amazing Origami. Sterling Publishing Company. New York. PERIGAL, Henry (1874) On Geometric Dissections and Transformations. The Messengers of Mathematics. p.103-106. http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/perigal/perigal.html ROW, Sundara (1966 ) Geometric Exercices in Paper Folding. Dover Publications. New York. (Reimpresión del libro original publicado en 1893 en Madrás, India).

Martes, 01 de Noviembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

947. 16. Martin Gardner y la Papiroflexia (II)

PAPIROFLEXIA La papiroflexia y los juegos de papel encajaban bien en este orden de cosas. Además, la geometría básica del plegado de papel fascinaba a Martin Gardner, el matemático. Su dilatada serie de colaboraciones con Hugard's Magic Monthly comenzó en 1948 y sus aportaciones de febrero y septiembre de 1949 trataban de los pliegues con billetes de dólar y de trucos realizados con papel. Para los pliegues con billetes de dólar, Martin incluyó un Pez Soplador que podía fabricarse para apagar una vela, un método para reducir el tamaño de un billete mediante el plegado, y "el Champiñón", dos pliegues en un billete de dólar que convierten a George Washington en un champiñón. Se trataba de uno de los trucos más populares de Martin, ya que lo ha incluido en muchos de sus libros. El artículo sobre los Trucos con papel tenía menos que ver con la papiroflexia en sí misma. Incluía un círculo de conejitos de papel que era un mecanismo simple para cambiar aparentemente la expresión de una cara dibujada en un papel, que llamó “Movies”. También incluía un simple "Pargo", una cabeza de animal fabricada utilizando una pequeña tarjeta, que dispone de la fuerza para levantar objetos bastante grandes en sus "fauces". Sinceramente, ninguno de estos trucos puede considerarse como muy buena papiroflexia, u “Origami” como posteriormente se conocería con la fundación del Origami Center de Nueva York en octubre de 1958. No obstante, probablemente fueron estos artículos los que atrajeron la atención de Martin Gardner hacia Gershon Legman. Gershon Legman residía entonces en Nueva York antes de mudarse a vivir en Francia en 1953. Legman había venido recopilando información sobre la papiroflexia de todas las fuentes posibles desde 1945 y se dedicó a escribir a todo aquel que a su entender podría aportarle algo más sobre el tema o que pudiera ofrecerle información sobre el listado de libros y artículos disponibles que estaba tratando de reunir. Gershon Legman no era propiamente un mago, pero conocía a muchas personas que eran ilusionistas, incluyendo a Cy Enfield, el productor de cine, antiguo compañero suyo de colegio. Fue Cy Enfield quien le enseñó a Gershon Legman la Pajarita o Lotus (Loto) que desencadenaron su interés por la papiroflexia en 1945. (Debido a una serie de curiosos acontecimientos achacables al destino, fue Cy Enfield quien presentó a Robert Harbin y Gershon Legman.) Pero si Gershon Legman se dio cuenta de que Martin Gardner estaba interesado en los trucos y la papiroflexia, también podemos estar seguros de que al conocerse, Martin Gardner fue introducido al más amplio conocimiento de la papiroflexia formado por Gershon Legman. Se produjo un aumento notable en la actividad papirofléxica por parte de Martin. En 1952 aportó tres artículos, no a una revista de magia, sino al “Children's Digest”. Se trataba de "Cómo construir un barco de papel”, "Rizar el rizo" y "¡De aquí obtendrás un estallido!”. No los he visto, pero los dos primeros probablemente se referirán a algún tipo de barquito y un aparato volador y el tercero a un petardo tradicional. A continuación, en septiembre de 1952 Martin aportó un planeador a la revista "Parents' Magazine". Pero no se trataba del típico avioncito tradicional de papel plegado, ya que incorporaba una modificación en el morro que hacía posible propulsarlo mediante una banda elástica. La mejora fue, de hecho, un descubrimiento de Gershon Legman. Debido a que “Children’s Digest” y “Parents’ Magazine no eran revistas de magia, estos artículos fueron omitidos de la recopilación de los artículos de Martin Gardner que se recogían en “Martin Gardner Presents” y al parecer nunca han vuelto a ser publicados. Gershon Legman publicó una edición preliminar de su bibliografía en la revista "Magicol" en mayo de 1952, y su “Bibliografía de papiroflexia” ampliada en un librito posteriormente ese mismo año. En él señalaba dos aportaciones de Martin Gardner a Hugard's Magic Monthly en febrero y septiembre de 1949 y sus tres contribuciones a "Children's Digest" entre enero y mayo de 1952. La contribución del avión modificado de Gershon Legman por Martin Gardner a Parents’ Magazine en septiembre de 1952 no se mencionó de forma deliberada. Sería erróneo sacar la conclusión que a partir de estas publicaciones se produjo un incremento inmediato del interés de Martin Gardner por la papiroflexia. Para él seguía siendo, como siempre había sido, simplemente un aspecto más del ilusionismo. Hemos advertido que ya había ciertos aspectos de la papiroflexia incluidos en el librito inicial de Martin Gardner "Después del postre” (“After the Dessert") (1940-1941). Tras la Guerra, en 1949, publicó otro manual en la misma línea titulado "Over the Coffee Cups" (“Con el café”). Éste, también, contenía uno o dos artículos de papiroflexia. Uno era el famoso plegado de un billete de dólar con el que se formaban las palabras "GAL TENDER AND PRIVATE" con las que los viajeros hacían saber que estaban buscando compañía en su habitación. Otro era un truco de Samuel Berland. Una vez más, no se trataba de papiroflexia propiamente dicha, pero empleaba un método de plegado de un billete de un dólar de forma que pareciesen dos billetes, creando la ilusión de que el segundo billete se hacía desaparecer. Otro de los trucos favoritos con papel de Martin Gardner eran las Bandas de Moebius que a menudo presentaba con el misterioso nombre de Bandas Afganas. Este nombre había sido utilizado por el famoso Profesor Hoffman ya en 1904, pero sus orígenes siguen siendo un misterio. En diciembre de 1949 Apareció una versión de las Bandas Afganas de Martin Gardner en Hugard's Magic Monthly. Las Bandas de Moebius se realizaban frecuentemente con papel, aunque no constituían papiroflexia propiamente dicha, y Gershon Legman no consideró adecuado incluir el artículo en su Bibliografía. Más bien las Bandas Afganas presagian el modo en que el interés de Martin Gardner evolucionaría en el futuro. Tenía previsto incluirlas en artículos de Scientific American y en posteriores libros escritos por él. Hugard's Magic Monthly rápidamente se convirtió en un centro de interés para gran parte de la obra de Martin Gardner. Tras aportar aproximadamente treinta y dos artículos entre julio de 1945 y febrero de 1951, comenzó a escribir una columna mensual que salió publicada desde marzo de 1951 hasta marzo de 1958. Los artículos reflejaban la visión general de Martin, así como un enfoque poco complicado hacia el ilusionismo. Nombró a la serie la “Encyclopedia of Impromptu Magic” (“Enciclopedia de magia improvisada”). No he examinado todos los ejemplares de la revista, pero parece que desde el comienzo se consideraron como la base para un libro global de ilusionismo. Antes de escribirlos, Martin hacía el ejercicio de tomar notas acerca de los trucos de prestidigitación en fichas que guardaba en cajas de zapatos. Cuando quería escribir un artículo, recuperaba la información de las fichas rápidamente. Inicialmente, Martin esperaba poder revisar la recopilación con los libros publicados con el fin de reconocer su agradecimiento a los inventores de las ideas y para pulirlos en general. Pero el tiempo (una vez más) no lo permitió, y los artículos recopilados fueron publicados finalmente por Magic Inc. of Chicago en 1978. En su mayor parte los artículos volvieron a ser editados “sin refinar". Hay unas pocas revisiones y notas añadidas pero en general son muy limitadas y desiguales. Muchos de los títulos de la versión en libro de la Enciclopedia de Magia Improvisada son relevantes para la papiroflexia, entre ellos los de "Pliegues de billetes", "Pliegue de pañuelos", "Revista", "Periódico" y una vasta sección titulada simplemente "Papel". Este último título abarca varios subapartados, como magia de papel, trucos con papel, recorte de papel, papiroflexia, trabajos con papel y curiosidades geométricas. Gran parte de este apartado está relacionado en cierta forma con la papiroflexia en el sentido más amplio del término. Aquí, por ejemplo aparece una extensa sección sobre las Bandas de Moebius, una corta sobre el plegado geométrico, y otra sobre los hexaflexágonos. Muchos de los artículos son muy familiares, y proceden del repertorio internacional de juegos de salón tradicionales. El apartado sobre Plegado de papel, en sí, abarca ocho páginas y comienza con una breve historia de introducción en la que se menciona Japón, Unamuno y Froebel. A continuación sigue una breve bibliografía pagando un tributo a las mayores bibliografías de Gershon Legman. Sólo contiene dieciséis artículos que van desde el “Magia de papel” de Will Blyth ("Paper Magic") de 1920, hasta “Lo mejor de Origami” de Samuel Randlett ("The Best of Origami") de 1963. Obviamente, el listado de libros o bien se habría actualizado, o bien habría sido recopilado especialmente para el formato de libro de la Enciclopedia. No obstante, sigue siendo un listado muy selectivo. Martin describe con franquedad las figuras de papel plegado que incluye tan sólo como una selección, escogidos porque pueden animarse de alguna forma divertida. Reconoce tranquilamente que pueden encontrarse figuras de gran realismo y belleza en las obras orientales y españolas de papiroflexia. (Esta declaración también aparece en su referencia curiosamente limitada al Oriente y España y resulta evidente que no ha sido actualizada para incluir la referencia a las creaciones occidentales en el libro de Samuel Randlett “El arte del Origami” ("Art of Origami") (1961) y “Lo mejor del Origami” ("Best of Origami") (1963) o en “Secretos del Origami” de Robert Harbin (“Secrets of Origami”) (1963). Los modelos mencionados o reproducidos incluyen los siguientes: la rana "de la esperanza”, un barco que flota en el agua, una pistola, la taza de papel, la tetera (en la que se puede hervir agua) y el salero en sus diversas formas de "atrapa insectos" y "adivino". Todos ellos son muy interesantes y Martin arroja mucha luz sobre cada uno de los mismos. Pero, lo que resulta significativo es que se trata simplemente de una recopilación de modelos existentes, y aparentemente no incluye ningún diseño del propio Martin. Una característica interesante de "Hugard's Magic Monthly" y, por lo tanto, de la "Enciclopedia de magia improvisada" es que estaba primorosamente ilustrado por Frank Rigney, previamente mencionado como coautor e ilustrador de "Fun with Paper Folding" (“Diversión con la papiroflexia”) por William D Murray y Francis J Rigney (1928). Martin le rinde un bonito homenaje en su introducción a la versión en libro de la Enciclopedia. Fue una asociación que los convirtió en íntimos amigos. Las entregas parciales de la "Enciclopedia de magia improvisada" se publicaron en Hugard's Magic Monthly hasta marzo de 1958, a pesar de que Martin continuara aportando unos pocos artículos hasta septiembre de 1961. Allá por marzo de 1958, sin embargo, los cambios se empezaban a vislumbrar. Otro mago, Robert Harbin, había publicado su libro "Paper Magic" (“Magia de papel”) en Inglaterra en 1956. Este libro, pese a su título, trataba de forma inequívoca sobre la papiroflexia y no sobre la magia con papel en el sentido del ilusionismo con papel. Harbin, también, acababa de conocer hace muy poco por correspondencia a Gershon Legman. A continuación, en el verano de 1957, la señora Lillian Oppenheimer, que se había mostrado gratamente impresionada tras recibir una copia de “Magia de papel”, cruzó el Atlántico para conocer a Robert Harbin en Londres, pero no pudo reunirse con Gershon Legman en Francia tal y como esperaba, porque él se encontraba de viaje. El mundo de la papiroflexia occidental se despertó repentinamente y en octubre del año siguiente la señora Oppenheimer de forma inesperada (o tal vez no tan inesperada) se vio a sí misma como la fundadora del Origami Center de Nueva York y editora de un nuevo diario llamado "The Origamian". EL ORIGAMI CENTER Para ser una organización tan espontánea, llamaba la atención lo bien que estaba organizado el Origami Center. En el momento de la segunda edición de “Origamian” en noviembre de 1958, ya habían sido nombrados una larga lista de al menos treinta y cinco Miembros Honorarios. Todos ellos recibieron tarjetas de socios especialmente impresas para cada uno. En la lista aparece "Martin Gardner – Autor de Papiroflexia". Claramente, al ser escogido, Martin Gardner había supuesto un impacto significativo en el incipiente mundo de la papiroflexia moderna occidental. Hasta 1958 sus logros totales como escritor sobre cualquier tema no podían describirse como prodigiosos, a pesar de que entre sus libros publicados se incluían "En el nombre de la ciencia" (obra en la que desacreditaba nociones pseudocientíficas), "Mathematics Magic and Mystery" (“Magia y misterio de las matemáticas”) (sobre trucos de magia que utilizan las matemáticas) y "Great Essays in Science" (“Grandes ensayos de ciencia”) (una recopilación de ensayos clásicos de la que sólo fue el editor). No había escrito ni un solo libro dedicado exclusivamente a la papiroflexia. Lillian Oppenheimer fue, tal vez, generosa con sus Miembros Honorarios (era un lince en cuestiones publicitarias) y podemos suponer que Martin Gardner había entrado de pleno en ese pequeño círculo que intercambiaba información acerca de la papiroflexia durante los meses que precedieron y siguieron a la aparición del Origami Center. Martin Gardner no fue el único mago en ser escogido. Otros fueron Robert Harbin, Paul Duke y Jay Marshall de Magic Inc. Muchos otros Miembros Honorarios no se describían como magos, pero, al igual que muchos papiroflectas, llevaban varitas mágicas en sus mochilas, incluyéndose entre ellos Guiseppi Baggi, Shari Lewis, Robert Neale y "Thok Sondergaard" de Dinamarca (que era, nada más y nada menos que Thoki Yenn). Otro miembro honorario era Lester Grimes de La Rochelle, Nueva York, el decano de los magos con papel. Desde antes de la Segunda Guerra Mundial se le anunciaba en los carteles publicitarios como "El Mago de Papel", realizando sus actuaciones vestido con un traje de papel y utilizando únicamente equipamiento y materiales de papel. Es de suponer que sería amigo de Martin Gardner. Lester Grimes desempeñó un papel activo en los primeros días de vida del Origami Center. No existe ninguna constancia de que Martin Gardner asistiera a ninguna de las primeras reuniones del Origami Center, y no se hace mención alguna a su persona en los cinco ejemplares del primer volumen de Origamian que se publicaron entre noviembre de 1958 y marzo de 1959. De hecho, aparte de algunas referencias ocasionales a sus libros, rara vez se le vuelve a mencionar en los numerosos ejemplares posteriores de Origamian, tras reanudarse su publicación en el verano de 1961. No obstante, se sabe con certeza que Martin Gardner asistió al "Segundo Encuentro Annual de Origami en el Origami Center (a saber, el apartamento privado de Lillian Oppenheimer) los días 2 y 3 de noviembre de 1963, una de las primeras convenciones sobre Origami que se habían celebrado hasta entonces. Otra mención en el Origamian del verano de 1964 hace referencia al artículo breve de Martin Gardner sobre el Origami en la Enciclopedia Británica, que apareció por primera vez en la edición publicada previamente ese mismo año. El Origamian afirmaba que Martin estaba bastante disgustado por el hecho de que había escrito el artículo mucho tiempo atrás –en 1959- pero su publicación se había retrasado hasta entonces. A pesar de que había solicitado en repetidas ocasiones la revisión del artículo, los editores se habían mostrado reacios a hacerlo. Como resultado, el artículo se quedó desfasado antes de su publicación y no contenía ninguna mención a los notables papirofléxicos americanos y occidentales en general que se habían dado a conocer desde 1959, entre ellos Fred Rohm y Neal Elias. Sin duda alguna, los editores de la Enciclopedia Británica tenían sus razones, pero Martin Gardner se sintió muy contrariado. En efecto, el artículo resulta interesante por una serie de razones. Revela que en 1959 Martin Gardner era considerado como toda una autoridad en el Origami y que por ello se le invitó a escribir el artículo. El artículo menciona a Akira Yoshizawa, Miguel de Unamuno y Vicente Solórzano Sagredo, los tres papiroflectas más notables antes de la formación del Origami Center. Se menciona a Friedrich Froebel en relación con el movimiento Kindergarten y la Bauhaus se cita en relación con los estudiantes de diseño comercial. Se reconoce a Arthur H. Stone el mérito de haber descubierto los flexágonos. Dos de los papirofléxicos modernos que se citan son George Rhoads y Guiseppe Baggi. En conjunto, el artículo constituye un compendio bastante global, al tiempo que compacto, de la papiroflexia tal y como se encontraba en 1959. No se menciona el Origami Center, pero es que quizás fuera demasiado pronto para hacerlo. Nos preguntamos de qué forma habría revisado Martin el artículo de habérsele permitido hacerlo en 1964, suponiendo que no se le hubiera brindado la posibilidad de contar con más espacio. No directamente vinculado al Origami Center, pero asociado con él en cierta forma estaba la exhibición "Geometría plana y Figuras de Fantasía" celebrada en el Cooper Union Museum de Nueva York desde comienzos de junio, durante el verano de 1959. La exposición ya había sido planeada cuando en el verano de 1958 repentinamente el Origami se convirtió en noticia en los periódicos y la televisión. Por ello, se invitó a Lillian Oppenheimer a que aportara modelos para una sección de la exposición que se dedicaría al Origami. Lillian reunió modelos procedentes de los Estados Unidos, Europa y Japón. También se invitó a Martin Gardner a participar, pero el catálogo cita un único modelo con su nombre, que era un murciélago volador. A pesar de no resultar evidente en la exposición estática, Martin reveló que su murciélago tenía un secreto. Si se situaba su cabeza en la punta del dedo, se movía horizontalmente. El secreto era que había un penique Escondido en el extremo de cada una de sus alas. Por supuesto, es posible que Martin hubiera aportado otros modelos que no fueron seleccionados para la exhibición por las autoridades del Museo. Como correspondía por tratarse de un museo público, eran muy rigurosos a la hora de seleccionar los modelos que consideraban adecuados par alas exposiciones, e incluso llegaron a incluir tan sólo una pequeña parte de los modelos de Yoshizawa que habían recibido. Sin embargo, debemos reconocer que la muy limitada aportación de Martin Gardner a la exposición no es sino la confirmación de que a pesar de sus contribuciones tremendamente creativas a los juegos de cartas y los rompecabezas, no era un creador activo en la papiroflexia. David Lister 15 de febrero de 1995. Revisado el día 29 de septiembre de 2005. © David Lister 1995, 2005. NOTA: Este artículo apareció publicado por primera vez en 1995 en la tardía revista privada FOLD, que tanto echamos de menos. Me gustaría expresar mi más profunda gratitud a Martin Gardner, a quien he enviado el artículo. Martin me ha dado amablemente su aprobación y me ha sugerido algunas pequeñas aportaciones y correcciones que yo mismo he incorporado en la edición revisada. También me gustaría agradecer a Mick Guy por haber revisado este artículo y por haberme ayudado a corregir varios de los errores tipográficos de los que yo habría sido víctima inevitable. Únicamente yo soy responsable del contenido, así como de cualquier inexactitud. Recibiré encantado todas aquellas correcciones a este artículo, así como cualquier información adicional o anécdotas acerca de la relación de Martin Gardner con la papiroflexia. Artículo original en inglés: http://www.britishorigami.info/academic/lister/martin_gardner.htm (*) Hemos dividido en tres partes el artículo original.

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948. 17. Martin Gardner y la Papiroflexia (III)

SCIENTIFIC AMERICAN Si el mundo de la papiroflexia estaba empezando a cambiar en 1956 con la publicación del artículo de Robert Harbin "Magia de papel” ("Paper Magic"), también el propio mundo de Martin Gardner estaba cambiando. En el momento no pareció demasiado importante – tan sólo un artículo de revista más entre tantos otros. Sin embargo, visto retrospectivamente motivó un giró decisivo en su vida. Martin Gardner no podía ni siquiera imaginarse las consecuencias que tendría ese primer artículo que escribió para Scientific American en diciembre de 1956, de lo mucho que gustaría a millones de personas de todo el mundo, la fama (y, reconozcámoslo, la recompensa económica) que le aportaría, la ampliación de sus propios intereses ni que le proporcionaría la oportunidad de escribir una columna mensual de tal calidad durante veinticinco años. Es muy tentador especular acerca de cuántos jóvenes se han sentido motivadas por su columna a escoger la carrera universitaria de matemáticas, o los avances que han sido estimulados en las matemáticas formales por su revelación habitual de ideas originales en las matemáticas recreativas. El primero de los artículos que publicó Martin Gardner en “Scientific American” apareció en el número de diciembre de 1956 con el título "Flexágonos". En concreto trataba sobre los hexaflexágonos. En junio de 1957 se publicó un artículo sobre las Bandas de Moebius, y otro sobre los Tetraflexágonos, en mayo de 1958. El artículo sobre "Origami" no apareció hasta julio de 1959. Para entonces, Martin se encontraba tan inmerso en su columna regular de Scientific American, que abandonó su colaboración como editor de “Humpty Dumpty”. Los hexaflexágonos hacían de puente entre los dos reinos de la papiroflexia y las matemáticas. Habían sido descubiertos en 1939 por Arthur J Stone, por aquel entonces investigador matemático británico de veintitrés años de edad de la Princeton University. Había recortado el papel americano más ancho que había comprado, para ajustarlo a los archivadores británicos, que eran mucho más estrechos. Entonces, comenzó a jugar con las tiras de papel sobrantes. Tras plegarlos en ángulos de 60 grados y mezclarlos, descubrió que formaban hexágonos planos que podían “flexarse” ofreciendo a la vista diferentes caras del papel sucesivamente. El departamento de matemáticas de Princeton se volvió loco con los denominados “flexágonos” (obviamente término que procedía de la palabra “hexágonos”) y Arthur Stone se convirtió en el centro de atención de un pequeño grupo de estudiantes que estaban fascinados por las matemáticas de estos nuevos dispositivos. Arthur Stone se juntó con Bryant Tuckerman, John W. Tukey, sin olvidar a Richard P. Feynman, un genio que posteriormente adquiriría mucha fama como gran físico. Juntos analizaron las matemáticas implicadas en los flexágonos y plasmaron sus teorías en un documento global, en lo que constituía una exposición muy completa del tema. Por alguna razón que no ha sido esclarecida, este documento nunca se ha publicado, y sólo sirvió como base para que otras personas publicaran sus propios análisis. La reflexión de Martin Gardner sobre los hexaflexágonos en su primer artículo para Scientific American no trataba en modo alguno de ser global, pero resulta tremendamente informativo y sucinto. Las Bandas de Moebius compartían un artículo con otros curiosos modelos topológicos, pero el artículo tiene poco que ver con la papiroflexia. Las bandas se presentan desde el punto de vista de la topología y como la base de los trucos de magia. Los tetraflexágonos son mucho menos conocidos que sus primos los hexaflexágonos, pero Arthur Stone se mostró también interesado en ellos. En otro artículo, Martin Gardner señala que se consideraron como un “eje de doble acción” durante siglos y que en los años 1890 se comercializaron juguetes basados en ese principio. También menciona un tetraflexágono en forma de rompecabezas que fue registrado en 1946 por Roger Montandon de la Montandon Magic Company de Tulsa (Oklahoma). Se denominó "Cherchez la Femme", y consistía en encontrar la imagen de la joven que se escondía tras la cara de un marinero sonriente. Hasta 1993, con la publicación del libro "Martin Gardner Presents" no se reveló que el creador de este rompecabezas había sido el propio Martin Gardner. Quizás su reticencia en relación con él mismo y con su publicación se explica por el hecho de que cuando por fin se encuentra a la dama, se descubre que está "al natural”… El artículo sobre los Tetraflexágonos también contiene una explicación global y diagramas para una variante del rompecabezas "Flexitubo" en el que se logra dar la vuelta a un tubo cuadrado de papel únicamente mediante sucesivos plegados. Se revela que esto, también, fue descubierto por Arthur Stone mientras trabajaba en los flexágonos. No existe papiroflecta que no se sienta fascinado por este mecanismo mágico de plegado. El artículo de Martin Gardner sobre Origami en “Scientific American” de julio de 1959, ofrece un breve bosquejo del tema, describiéndolo como "el ancestral arte japonés de la papiroflexia". En unas pocas frases breves, llega a mencionar a la señora Oppenheimer, la Exposición del Cooper Union, las dotes de las refinadas damas japonesas, a Lewis Carroll y Miguel de Unamuno, el filósofo español, que escribió un tratado, entre burlesco y serio, sobre la papiroflexia. A continuación aparece el nudo pentagonal en una tira de papel que oculta en su interior un pentagrama místico y el dilema científico, de no fácil solución, de por qué, cuando doblamos una hoja de papel, el pliegue es una línea recta. A pesar de estar menos relacionado con la papiroflexia clásica, Martin también demuestra cómo se puede formar una parábola plegando sucesivamente un borde de un cuadrado de papel hasta un punto seleccionado que se convierte en el centro de una curva formada por los plegados. Martin Gardner no pudo evitar finalizar este artículo con las instrucciones para fabricar la Pajarita. Escrito en 1956, se trataba del antiguo método de predoblar y juntar los puntos, aplastándolos, que ya fue utilizado por Tissandier y Houdini. Aunque en aquel momento el esquema de Yoshizawa de líneas de puntos diferentes para distinguir las montañas y los pliegues de valle todavía no hubiera llegado a Occidente, con todo, los diagramas de Martin Gardner resultaban decididamente claros. Un artículo publicado en Scientific American con fecha de junio de 1960, titulado "La papiroflexia y el recorte de papel" ("Paperfolding and Papercutting") versa principalmente acerca de las disecciones, pero también toca de refilón el tema del recorte de papel o "kirigami" e incluye el famoso rompecabezas de disección conocido generalmente como “Cielo e Infierno”. Después de 1960 se produjo un amplio espacio de tiempo antes de que Martin Gardner volviera a incluir algo relacionado con la papiroflexia en su columna de Scientific American. Su columna también estaba cambiando. Sus primeros artículos tenían que ver con rompecabezas comparativamente simples, trucos y fenómenos que, aunque pudieran esconder misterios matemáticos, entraban dentro del ámbito de comprensión de cualquier persona razonablemente educada. Sin embargo, sus artículos posteriores comenzaron a cavar más hondo, reflejando la apreciación creciente de que la exploración lúdica inspirada por las matemáticas recreativas podía, a veces, abrir nuevas perspectivas en las matemáticas avanzadas, totalmente inesperadas, pero que sin embargo, en ocasiones resultaban ser, sorprendentemente, de gran valor en ramas de la ciencia recientemente descubiertas. En abril de 1968 Martin volvió al juego, y escribió sobre los "Rompecabezas y trucos con un billete de dólar” (“Puzzles and Tricks with a Dollar bill"). Para ello regresó al comienzo de su carrera como mago, e incluyó el truco de invertir un billete de dólar e incluso los dos pliegues que convertían a George Washington en un champiñón. También había muchos trucos matemáticos basados en el número de serie de los billetes de dólar. Todos éstos eran trucos que se sucedían varias veces en diferentes libros de rompecabezas escritos por Martin Gardner. El diciembre siguiente, Martin volvió a retomar de nuevo otro de sus temas preferidos: las Bandas de Moebius. Su artículo reproduce dos obras del artista holandés M C Escher y arroja mucha luz sobre un tema ya antiguo, pero poco hay de interés para los papirofléxicos. Sin embargo, Martin señala que un hexaflexágono es una Banda de Moebius entretejida, algo que no es evidente por sí mismo de manera inmediata. En mayo y septiembre de 1971 Martin Gardner introdujo dos nuevos temas relacionados con la papiroflexia. El artículo de mayo de 1971 trata sobre "la riqueza combinatoria del plegado de un trozo de papel". Revela el imprevisto y complicado problema matemático de la determinación del número de formas en las que se puede plegar un plano, o en realidad, una tira de sellos. Sin embargo, el artículo se transforma de repente en un informe sobre la obra de Robert Neale, un amigo suyo mago, inventor a su vez de numerosos mecanismos de papiroflexia, muchos de los cuales muestran un “giro” inusual. Entre ellos se encuentran el Rompecabezas Belcebú de Robert Neale, muy ingenioso, que se basa en un tetraflexágono, y el famoso rompecabezas papirofléxico "Ovejas y cabras". El truco más conocido de Robert Neale "Bunny Bill” (“Billete-Conejito”) tan solo se menciona, pero se cita la dirección en la que puede obtenerse: Magic Inc. of Chicago. “Poliedros trenzados” (“Plaiting Polyhedrons”), que apareció en septiembre de 1971 describe el apasionante método de plegado de los sólidos platónicos a partir de tiras de papel. Es un tema que ha sido investigado desde varios ángulos por diversos papiroflectas, y el informe de Martin Gardner despierta el apetito. Hasta el momento sigue sin haberse escrito un libro global sobre este tema, en absoluto insignificante. Uno de los nuevos temas matemáticos que han aparecido desde la Segunda Guerra Mundial es el de los Fractales y uno de los últimos artículos que Martin Gardner publicó en Scientific American en relación con la papiroflexia trataba de la Curva del Dragón, es un tipo de fractal. Al parecer, este artículo estaba incluido en una serie de "Nueve problemas lógicos e ilógicos para solucionar" publicada en noviembre de 1967, pero yo no la conozco personalmente. La parte del artículo que trata de la Curva del Dragón se volvió a editar en "Mathematical Magic Show", diez años después, en 1977. Martin Gardner demuestra el método de creación de la curva del dragón mediante el plegado sucesivo de un trozo de papel por la mitad. Existen, por supuesto, limitaciones físicas que, en la práctica, limitan este proceso hasta aproximadamente siete pliegues, pero la teoría general de la Curva del Dragón como fractal no queda invalidada. Prácticamente todos los artículos que Martin Gardner publicó en Scientific American han sido reproducidos en sus volúmenes de recreaciones científicas. Dependiendo de qué libros de Martin se incluyan en el listado, existen quince o dieciséis recopilaciones de los artículos de Scientific American que fueron publicados a lo largo de un periodo de 38 años por una serie de editores de los Estados Unidos e Inglaterra. La primera recopilación fue “The Scientific American Book of Mathematical Recreations” (”El libro de recreaciones matemáticas de Scientific American”) que apareció publicado en 1959. En Inglaterra se editó en el año 1961 con el título “Mathematical Puzzles and Diversions from Scientific American” (“Diversiones y rompecabezas matemáticos de Scientific American"). El último volumen de la serie era “The Last Recreations” (“Las últimas recreaciones”) de 1997. La papiroflexia se incluye en los libros en tan sólo unos pocos capítulos. No obstante, demuestran que al igual que los propios intereses de Martin Gardner se ampliaban, de la misma manera la papiroflexia ha ampliado sus horizontes, algo que se ha visto demostrado inesperadamente por la reciente explosión de interés de las matemáticas por la papiroflexia en libros y artículos, en las universidades y por los tres congresos internacionales dedicados a las matemáticas y la ciencia de la papiroflexia que se han celebrado hasta el momento en Italia, Japón y California." OTROS INTERESES Con todo, los intereses de Martin Gardner han ido siempre más allá del ilusionismo, la papiroflexia y las matemáticas. En ocasiones sus libros sobre los temas más diversos muestran ciertos elementos de la papiroflexia. Ha sido un filósofo durante toda su vida y su libro, "Los Porqués de un escribano filósofo” constituye una apología apasionante de su propia filosofía personal. En él, muestra una apreciación inusitada de Miguel de Unamuno, el gran filósofo español, poeta y papiroflecta, que murió la víspera de Año Nuevo de 1936 a 1937 al inicio de la Guerra Civil Española. Se dice que Martin Gardner fue influido por Unamuno en sus ideas sobre el teísmo, y podemos preguntarnos si Martin Gardner y Unamuno compartieron una forma de pensamiento común. En el muy diferente campo de la crítica literaria, Martin Gardner comentó varios clásicos populares, entre los que se incluyen "The Ancient Mariner" (“El viejo marinero”) y "The Night before Christmas" (“La noche de Navidad"). Tal y como se podría esperar, se mostró muy atraído por la obra de Lewis Carroll y realizó ediciones comentadas de "Alicia en el país de las Maravillas" y "Alicia a través del Espejo", que han sido recopiladas en un único volumen. En ellas, Martin no olvidó hacer referencia al propio interés de Lewis Carroll en la papiroflexia. Sin embargo, aseguraba que había extraído su información de los propios diarios de Lewis Carroll (en los que menciona barquitos y artefactos de papel) y no se dedicó a sobreestimar a Lewis Carroll como si hubiera sido un "gran entusiasta de la papiroflexia”, como algunos críticos -demasiado entusiastas- han hecho. Igualmente, cuando llegamos al punto de tener que evaluar el lugar que Martin Gardner ocupa en la historia de la papiroflexia, debemos tener cuidado de no exagerar. No era un creador de papiroflexia y no escribió ni un solo libro acerca de la misma. No logró la fama a través de su columna en Scientific American; nuestra percepción de su contribución al crecimiento del Origami Occidental parece haber sido mucho menor. Con todo, es cierto que Martin Gardner desempeñó un papel importante en el desarrollo del Origami. En los años 1930 y 1940 fue uno de los magos que contribuyeron a extender la popularidad de los trucos de la papiroflexia. Desempeñó un papel importante en el creciente interés por la papiroflexia en Occidente después de 1957 cuando Gershon Legman, Robert Harbin y Lillian Oppenheimer se unieron para formar una firme base internacional para los avances futuros en la materia. Martin aportó una nota de respetabilidad académica a la papiroflexia a través de su artículo para la Enciclopedia Británica, a pesar del indebido retraso de su publicación. Sobre todo, la serie de artículos que Martin Gardner publicó sobre la papiroflexia en Scientific American que después fueron publicados de nuevo con suplementos en sus obras posteriores fue lo que presentó la papiroflexia como una mezcla de juego, arte y matemáticas a los ojos de un nuevo público y lo que demostró de una vez por todas que la papiroflexia era mucho más que un pasatiempo de niños. El mayor logro de Martin Gardner fue su habilidad para comunicar materias difíciles y a menudo profundas con unas pinceladas de su pluma, escasas pero muy humanas. Fue capaz de ahuyentar el temor a enfrentarnos con las matemáticas y la ciencia. Debemos agradecer que creciera rodeado por el humilde arte de la papiroflexia, y que fuera capaz de mostrar que no sólo se trata de algo divertido, sino que además cuenta con un espacio en el gran mundo de las matemáticas y la ciencia, y que no se puede considerar como una pérdida de tiempo e interés. David Lister 15 de febrero de 1995. Revisado el día 29 de septiembre de 2005. © David Lister 1995, 2005. NOTA: Este artículo apareció publicado por primera vez en 1995 en la tardía revista privada FOLD, que tanto echamos de menos. Me gustaría expresar mi más profunda gratitud a Martin Gardner, a quien he enviado el artículo. Martin me ha dado amablemente su aprobación y me ha sugerido algunas pequeñas aportaciones y correcciones que yo mismo he incorporado en la edición revisada. También me gustaría agradecer a Mick Guy por haber revisado este artículo y por haberme ayudado a corregir varios de los errores tipográficos de los que yo habría sido víctima inevitable. Únicamente yo soy responsable del contenido, así como de cualquier inexactitud. Recibiré encantado todas aquellas correcciones a este artículo, así como cualquier información adicional o anécdotas acerca de la relación de Martin Gardner con la papiroflexia. D.L. Artículo original en inglés: http://www.britishorigami.info/academic/lister/martin_gardner.htm (*) Hemos dividido en tres partes el artículo original.

Miércoles, 01 de Febrero de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

949. 18. Doblando Pentágonos

En el artículo del pasado mes de agosto se analiza el doblado del pentágono de área máxima, describiendo el método exacto desarrollado en Dureisseix (1997). En el artículo original Dureisseix (1997) hace un estudio comparativo de distintos métodos para doblar pentágonos (donde se analizan más de 10 secuencias de doblado distintas). Como se indica en la Figura 1, podemos colocar el pentágono dentro de un cuadrado de muchas formas: Figura 1: Distintas formas de colocar un pentágono en un cuadrado. Se puede demostrar que el pentágono de área máxima corresponde a la solución de la derecha, o sea que el pentágono es simétrico respecto la diagonal. Curiosamente, solo existen dos métodos (Morassi, 1989; Dureisseix, 1997) resuelven el problema del pentágono de área máxima y además los dos lo hacen de forma matemáticamente exacta. Ninguno de los métodos aproximados analizados en Dureisseix (1997) se ocupa del pentágono de área máxima. En este artículo estudiamos secuencias de doblado que sean (1) sencillas de doblar (2) suficientemente aproximadas y (3) que dejen pocas marcas en el papel. La solución matemáticamente exacta es Figura 2: Pentágono de área máxima inscrito en un cuadrado. Solución exacta con r=1/(2cos9cos18) y c=cos9/(cos9+cos27) (no demostrado aquí). Obtener soluciones exactas supone un reto matemático, pero muchas veces estas no son las más adecuadas en la práctica. Por ejemplo, cuando queremos doblar una figura sin dejar marcas en el papel. Figura 3: Método exacto Dureisseix (1997). Rojo: pentágono máximo matemáticamente exacto. El primer método que proponemos permite obtener una aproximación muy buena (error <1%) reduciendo el número de cicatrices que quedan en el papel al final del proceso: En este método, cada paso esta perfectamente definido y da lugar, a efectos prácticos, a un pentágono regular (ver análisis de error en el Apéndice). Para simplificar el proceso, se puede prescindir de los pasos 4 a 7 y así eliminar algunas marcas del papel. El método simplificado es Para completar el paso 5-6, hay que encontrar la posición del pliegue en valle de forma que en el paso 6 las líneas CA, DB y EF dentro del círculo coincidan en un mismo punto. En el paso 5, a modo indicativo, la línea CA queda ligeramente a la izquierda del punto medio indicado en la figura. Si (1) en el paso 6 las líneas CA, DB y EF dentro del círculo coinciden en un mismo punto y (2) el punto C está exactamente en el vértice del paso 7, entonces en el paso 8 se comprueba que el papel queda dividido en 5 ángulos iguales (ver análisis en el Apéndice). Con la práctica, este método es algo más rápido de doblar que el anterior (introduciendo la secuencia iterativa 5-6) y también da lugar a un pentágono prácticamente regular (teóricamente el error es aún menor). Se incluye en el Apéndice el análisis detallado de estos métodos. El análisis en sí puede ser un ejercicio útil para estudiantes con nociones básicas de geometría analítica y trigonometría. No es necesario conocer más que unas pocas definiciones básicas (como “distancia”, “recta”, “círculo”, “tangente”) y saber resolver problemas del tipo “encontrar las intersecciones de un círculo con una recta”. Usando la papiroflexia, se puede desarrollar el análisis matemático (ecuaciones no muy atractivas para muchos) en paralelo con el doblado de un papel (con suerte, algo más entretenido o, al menos, distinto). Observando las marcas de los pliegues en el papel se pueden comprobar resultados en la práctica “visualizando” la geometría y con un poco de suerte ayudando (?) a entender (?) el significado de las ecuaciones. El análisis del primer método en el Apéndice es de nivel preuniversitario y cualquiera que haya leído hasta aquí lo comprenderá sin ninguna dificultad. El segundo método es algo más duro de digerir, ya que requiere resolver ecuaciones no lineales (que, en este caso, necesita la ayuda de un ordenador para obtener el resultado final, a no ser que uno tenga ganas de ponerse a hacer iteraciones con calculadora o hasta “a boli”, que haberlos haylos ;-). Referencias: Morassi (1989) “The elusive pentagon” en: Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, editor Huzita, Ferrera 1989 Dureisseix, (1997) “Searching for optimal polygon, application to the pentagon Case”. Septiembre 1997, nota no publicada, disponible en: http://origami.kvi.nl/articles/polye.ps

Miércoles, 01 de Marzo de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

950. 19. Doblando Pentágonos -Apéndices-

 Apéndice I Posición del centro del pentágono: punto C Tomando como origen de coordenadas el vértice inferior izquierdo, las esquinas del cuadrado tienen coordenadas (x,y)=(0,0) (0,1) (1,1) y (1,0). Todos los puntos de la diagonal tienen coordenadas de la forma x=y, por ejemplo, la esquina inferior izquierda es (0,0) y la superior derecha es (1,1). El centro del pentágono está situado sobre la diagonal y por tanto tiene coordenadas x=c, y=c. El punto (c,c) que buscamos equidista de los puntos (0.5,0) y (0.75,1), por construcción del paso 3. La distancia d entre dos puntos (x1,y1) (x2,y2) es . Así pues, si la distancia de (c,c) a (0.5,0) es igual a la distancia de (c,c) a (0.75,1), tenemos la ecuación de donde podemos obtener c (c-0.5)2 + c2 = (c-0.75)2 + (c-1)2 ; c2 + 0.52 - c + c2 = c2 + 0.752 - 1.5c + c2 + 1 - 2c ; Las coordenadas de C en un cuadrado unidad son (x,y)=(c,c) con c =21/40=0.525. El centro del pentágono exacto se encuentra en c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) = 0,525731112…. el error cometido es de 0.00139 (0.139%). En un papel de 20 cm de lado el punto C esta a 0,207 milímetros del centro exacto (inapreciable a la vista). Para completar el pentágono, en el paso 4 doblamos la diagonal en 3/8 y 5/8 partes, obteniendo una distancia de . En los pasos 5-9 usamos esta distancia como aproximación al radio del pentágono r = 1 / ( 2 cos 9 cos 18 ) = 0.53228442. Al trasladar el punto D sobre D´ en el paso 9, obtenemos un vértice del pentágono. El punto D´ , tiene coordenadas (x,1). Para encontrar x imponemos que D´ pertenezca a una circunferencia de centro (c,c) y radio r = . Los puntos de una circunferencia de radio r y centro (xc,yc) satisfacen la ecuación (x-xc)2 + (y-yc)2 = r2. Dado que el centro del círculo está en (c,c) con c = 21/40 podemos obtener x (posición de D´ ) tomando y = 1, xc = yc = c y r =  obteniendo la ecuación (x-c)2 + (1-c)2 = r2 de donde sale De las dos soluciones, la que buscamos es x = 0.289150. La solución matemáticamente exacta se puede obtener resolviendo la misma ecuación con c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) y r = 1 / ( 2 cos 9 cos 18 ). En un papel de 20 cm, el punto D´ se encuentra 0.35 mm a la derecha de la posición exacta (casi inapreciable a la vista, se suele tomar 0,2 mm como límite de la precisión visual). En el paso 9 obtenemos un ángulo D´CD, que tal como indica la figura es de 45 + , y podemos calcular a partir de la tangente, ya que el triángulo sombreado es rectángulo y por tanto . Antes hemos encontrado la relación , podemos expresar el ángulo  como , y por tanto el ángulo D´CD que buscamos se obtiene con r =  y c = 21/40 En los pasos 10-11 bisecamos el ángulo D´CD dos veces 11 En el paso 12 obtenemos dos ángulos prácticamente iguales El error, de 0.65º, es aproximadamente 1/10 del ángulo que separa los segundos de un reloj de los de antes. En un papel de 1 m2 la distancia entre los bordes del papel en el paso 12 sería de aproximadamente 6 mm. Para encontrar la posición del otro vértice del pentágono, vamos a los pasos 10, 11 donde bisecamos  dos veces El triángulo sombreado es rectángulo y uno de sus ángulos es  y las longitudes de los catetos adyacente y opuesto son c y c-y respectivamente. A partir de la definición de tangente podemos calcular y (El valor teóricamente exacto es, )     Apéndice II Definiendo la posición de los pliegues con los ángulos  y ß como en la figura podemos expresar a en función de  y ß y obtenemos las ecuaciones a=(1-c)Tan(2-π/4) y a =c-Tan(2ß-π/2)(1-c-c/Tan(3π/4- ß)) Imponiendo que el borde del papel coincida con la posición del pliegue  tenemos que =π-2ß. Suponiendo el punto c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) se obtendrían los ángulos exactos =π/10 y ß=π/5 ( =36° y ß=72°) . Con el valor aproximado de c=21/40, obtenemos la ecuación f(ß) f(ß)=0.525-Tan(2ß-π/2)(0.475-0.525/Tan(3π/4- ß))-(0.475)Tan(7π/4-4ß). Para que sea posible completar el paso 3 está claro que la solución f(ß)=0 tiene que encontrarse en valores de 0<<π/4, o sea 3π/8<ß<π/2 el ángulo ß tiene que estar entre 67° y 90°. Dibujando f(ß) podemos ver que tiene una raiz muy cercana a 72°. Resolviendo f(ß)=0 numéricamente se encuentra ß=72,07164° (1,257887 radianes). El ángulo obtenido =π-2ß es de 35,85672°. Ahora, como antes, buscamos x = c - (1-c)tan(2-45) = 0.285960. La solución matemáticamente exacta la hemos obtenido en el Apéndice I con x = 0.287398. Para encontrar y usamos el mismo procedimiento que en el Apéndice I podemos calcular y (El valor teóricamente exacto es, )

Sábado, 01 de Abril de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico