41. 48. (Octubre 2018) La diáspora de los astrolabios andalusíes

(Astrolabio desmontado de Muammad ibn al Saffar (1020) – Subastado en 2017) El astrolabio o planisferio es un dispositivo astronómico basado en la proyección de la esfera celeste sobre un plano y que tiene su origen en la matemática griega del periodo alejandrino. Se atribuye a Apolonio de Perga (262-190 a.C.) la fuente de la teoría geométrica, a Hiparco de Nicea (190-120 a.C.) la invención, y a Ptolomeo (100-158 d.C.) el primer manual para la construcción del instrumento. Los bizantinos fabricaron astrolabios pero fueron los astrónomos arábigos los que lo convirtieron en un instrumento de amplio uso que transmitieron a Europa occidental. El astrolabio plano habitual usado por los sabios árabes es el que utiliza la proyección estereográfica con foco en el Polo Sur y el Ecuador como plano de proyección. Un planisferio consta de una madre que aloja las láminas de cada latitud con un limbo (borde graduado), una araña (red) móvil con la eclíptica y la posición de las principales estrella para uso nocturno y las láminas (o tímpanos, o climas) con las coordenadas locales (azimut y almucantares, que son los meridianos y paralelos de la semiesfera local). El reverso permite calcular alturas con una alidada móvil con dos perforaciones para enfocar el astro. El siglo XI fue el gran siglo de la matemática y la astronomía en al-Andalus. La construcción de astrolabios forma parte de su pujanza. El califato había sentado las bases, creando un ambiente propicio a la ciencia, y con su desaparición los sabios encontraron en las cortes de taifas la mejor de las acogidas: Sevilla, Toledo, Zaragoza, Badajoz sustituyeron a Córdoba en aplicación. Una sociedad tan letrada deja testimonio escrito de ese clima tan favorable a la sabiduría. El cadi toledano Said al-Andalusí (1029-1070) recogió en su Libro de las categorías de las naciones la crónica de lo que iba a ser la emergencia de la alta matemática en al-Andalus. Los geómetras que en el libro aparecen como promotores cumplieron con creces.  En relación con los astrolabistas, el cadí escribe: Abu l-Qasim Ibn as-Saffar tenía un hermano llamado Muhammad célebre por la fabricación del astrolabio. Nadie antes que él en el al-Andalus, fue más hábil que él en su fabricación... Ibrahim ibn Said as- Sahlí al-Asturlabí vive en Toledo. Entre los más distinguidos de los geómetras está Ali ibn Jalaf… Abu Ishaqibn Yahya an- Naqqas conocido como az-Zarqiyal (Azarquiel), es el más entendido de los hombres de nuestro tiempo en las observaciones de los astros y en el cálculo de sus movimientos. (Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (Toledo - 1067). Museo Arqueológico Nacional. Madrid) Cuatro nombres importantes han sido citados: ibn as-Saffar, as-Sahlí, ibn Jalaf y Azarquiel. Los apelativos (nisba) explícitos de al-Asturlabí, as-Saffar (trabajador del cobre) o al-Naqqas (cincelador de cobre y latón) dan cuenta de su actividad y origen. Los astrolabios andalusíes suelen estar firmados por sus autores, por ello se conservan instrumentos con los dos primeros nombres. No hay piezas de los otros dos, en cambio dejaron fama imborrable en Los libros del saber de astronomía mandados redactar por Alfonso X. De la época nazarí es la otra crónica detallada, la Ihata, escrita por el prolífico visir ibn al-Jatib (segunda mitad del siglo XIV): Ahmad ibn Husayn ibn Baso se hizo célebre por su habilidad en la construcción de instrumentos astronómicos y consiguió que sus piezas, por las que se pagaban precios muy altos, desplazasen a la de otros reputados autores como el sevillano Muammad al-Jamairi o el toledano Muammad ibn al Saffar. Se estima en un centenar y medio el número de astrolabios árabes que se conservan. Una tercera parte, unos cincuenta, pueden ser andalusíes. Los astrolabios formaron parte de la diáspora musulmana de al-Andalus. Algunos saldrían fuera con sus propietarios y otros, que se quedaron, serían vendidos a los principales museos y coleccionistas. Unos pocos quedan en la Península. Incluso ha habido suerte y alguno ha aparecido entre los escombros al hacer obras en Granada. Recogemos algunos de los más importantes, con su lugar de fabricación y actual localización: Año Autor Medina Localización actual Ciudad 1020 Muammad ibn al Saffar Denia Subastado 1029 Muammad ibn al Saffar Toledo Deutsche Staatsbibliothek Berlín 1026 Muammad ibn al Saffar Denia National Museums Scotland Edimburgo 1067 Ibrahim ibn Said al-Sahli Toledo MAN Madrid 1068 Ibrahim ibn Said al-Sahli Toledo Museo Historia Ciencia Oxford 1071 Ibrahim ibn Said al-Sahli Valencia Museo Astronómico y Copernicano Roma 1081 Ibn Sa‘īd as-Ṣabbān Guadalajara Museo Historia Ciencia Oxford 1086 Ibrahim ibn Said al-Sahli Valencia Museo de la Orangerie Kassel 1080 Ahmad ibn Muhammad al-Naqqhash Zaragoza Germanisches Nationalmuseum Núremberg 1220 Muammad al-Jamairi Sevilla DB Fez 1221 Muammad al-Jamairi Sevilla Museo Historia de la Ciencia Oxford 1224 Muammad al-Jamairi Sevilla BTTM – M Ciencia y Técnica Estambul 1224 Muammad al-Jamairi Sevilla Museo Historia de la Ciencia Oxford 1250 Muammad al-Jamairi Sevilla AP Chicago 1294 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada RAH Madrid 1304 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada Linton collection Nueva York 1309 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada Linton collection Belgica 1316 Abu Ali ibn Baso Granada Museo Specola Bolonia 1320 Ibrahim al-Raqqam Guadix RAH Madrid XIV Anónimo I Valencia de Don Juan Madrid 1308 Anónimo NM of American History Washington 1476 Muhammad ibn Faray Granada Museo Capodimonti Nápoles 1481 Muhammad Ibn Zawal Granada Museo Arqueológico Granada Azaleas zarqaliyyas 1216 Muammad al-Jamairi Sevilla Observatorio Roma 1221 Muammad al-Jamairi Sevilla Biblioteca Nacional París 1252 Muhammad ibn Hudhayl Murcia Real Academia de Ciencias Barcelona De los 25 astrolabios y azaleas citadas apenas media docena permanecen en España. Los otros son objetos de valor de distintos museos. Tomamos como muestra el astrolabio andalusí de Kassel que es similar al del Museo Arqueológico Nacional del mismo autor. Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (1086) en Kassel El Gabinete Astronómico-físico del Palacio de la Orangerie exhibe los instrumentos del Landgraf Wilhelm IV de Kassel-Hessen, un gobernante que fue tanto mecenas de la ciencia matemática emergente como uno de sus activos practicantes. Tycho Brahe y Jost Bürgi dejaron su huella en Kassel Entre la colección astronómica destaca el planisferio de latón que conserva todas sus laminas. Se trata de un astrolabio fechado en Valencia en el 1086, en el que fue el siglo de oro de la matemática en al-Andalus. El astrolabio fue construido por  Ibrahim ibn al-Sahlí. Se trata del Ibrahim b. Said as Shalí al-Asturlabí que moraba en Toledo cuando fue citado por Said al-Andalusí (1029-1070) en su. Libro de las categorías de las naciones. En 1085 se había producido la definitiva conquista castellana de la ciudad del Tajo. Los astrolabios son una muestra patente del desarrollo científico andalusí. La diáspora hispanomusulmana ha afectado también a su legado: solo se conservan en España una pequeña parte de los fabricados. (Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (1086) –Museo Orangerie. Kassel) El astrolabio es una calculadora astronómica analógica basada en la proyección estereográfica de una esfera sobre el plano del Ecuador usando el Polo Sur como vértice del cono. La base teórica se debe a Ptolomeo pero la primera referencia directa se encuentra en Juan Filópono (490-566). La proyección de la lámina del horizonte depende de la latitud (el clima, decían los árabes) por eso se fabricaban diferentes láminas para las ciudades más importantes. Mejoras originales andalusíes: ibn Jalaf,  Azarquiel e ibn Baso Los astrónomos andalusíes no se limitaron a reproducir los modelos de astrolabios orientales y desarrollaron algunas mejoras de calado. A ibn Jalaf se debe la lámina universal, Azarquiel diseña dos tipos de azafea e ibn Baso introduce la lamina general, uno de las incorporaciones más exitosas, tanto que llega hasta la India. Los tres astrónomos dan respuesta al problema del cambio de lámina con su lámina universal. No se sabe a quien atribuir la idea de cambiar el foco y el plano de la proyección estereográfica para evitar el inconveniente de tener una lámina para cada latitud pues ibn Jalaf y Azarquiel son contemporáneos. Ibn Jalaf se atribuye a sí mismo el merito de cambiar el foco y el plano proyectivo. Los astrolabios proyectan sobre el plano del Ecuador (desde el polo sur) mientras que la azafea y la lámina universal lo hacen sobre el plano meridiano del coluro de los solsticios (y desde el punto vernal). La versión mejorada de la azafea (zarqaliyya) utiliza además la proyección ortogonal para el dorso. (Azafea zarqaliyya de ibn Hudhayl de Murcia. 1252. RACAB - Barcelona) La azafea es un versátil instrumento astronómico inventado por el sabio y artífice toledano Azarquiel a mediados del siglo XI. En España solo se conserva el ejemplar de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona (RACAB) que fue ejecutada en 1252 por Muhammad ibn Muhammad ibn Hudhayl en la ciudad de Murcia. La azafea permite con facilidad extrema conocer la duración de los días o la visibilidad de estrellas. La palabra azafea significa placa, o lámina, y sustituye en muchos usos al astrolabio. Frente a éste que necesita una lámina para cada latitud, aquella es universal.  La azafea suprime la red mientras que la lámina universal de ibn Jalaf la mantiene. Desgraciadamente no se conserva ningún ejemplar de este último tipo. Lo que más se parece es el precioso planisferio universal de al-Sarraj (1328) del Museo Benaki de Arte Islámico en Atenas. (Planisferio universal de al-Sarraj (1328). Museo Benaki. Atenas) La solución de Azarquiel/al-Jalaf a la lamina universal fue cambiar la proyección ecuatorial por otra meridiana. En cambio el granadino ibn Baso mantiene la ecuatorial y las diferentes láminas por latitudes pero construye otra general con escala de horizontes desde el ecuador. De esta forma los astrolabios mantienen los tímpanos para distintas latitudes pero añaden una lámina más para cualquier latitud: la lámina general. Se conservan dos decenas de ejemplares de este tipo por el mundo y solo dos en España: una firmada por el mismo ibn Baso en la Real Academia de la Historia (RAH) y otra anónima en el Instituto Valencia de Don Juan. La lámina general de ibn Baso está marcada con tres clases de círculos: los horizontes múltiples (círculos máximos con diámetro Este-Oeste), los paralelos del eje del mundo y los arcos (a modo de paralelos del eje Este-Oeste). El principal inconveniente de la lámina es la dificultad de lectura por la saturación de líneas. (Lámina general de ibn Baso. Siglo XIV. Instituto Valencia de don Juan. Madrid)

Martes, 02 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

42. 47. (Septiembre 2018) Poliedros en la gnomónica

(Reloj rombicuboctaédrico. 1578. Landesmuseum Württemberg, Stuttgart) La gnomónica, el arte de construir relojes solares, era una parte de las matemáticas aplicadas muy vinculada a la astronomía. El gnomón es el objeto alargado que proyecta la sombra que permite hacer la lectura; suele ser una barra, un triángulo, un paralelogramo (para muros norte/sur) e incluso un orificio gnomónico en los dispositivos de cámara oscura. La parte teórica de la gnomónica es simple: una barra paralela al eje de rotación de la Tierra mueve regularmente su sombra a razón de 15º a la hora sobre un plano paralelo al Ecuador. El reloj solar más sencillo se construye con un triángulo rectángulo vertical orientado al sur y cuya hipotenusa sea paralela al eje de giro. Sobre un plano perpendicular a la hipotenusa la sombra se moverá con velocidad angular constante. (Retrato de Nicolas Kratzer. 1528. Hans Holbein el Joven. Museo Louvre) La inclinación de 23º 27´ del eje de la Tierra sobre el eje de translación alrededor del Sol hace que la longitud de la sombra cambie (permitirá hacer un calendario) pero no altera la regularidad del movimiento.  Un reloj solar solo vale para una latitud determinada. Cualquier cambio del plano proyectivo se obtiene mediante intersección del plano gnomón/Sol con el plano que recibe la sombra. Se trataba de una actividad que requería cierto virtuosismo de cálculo en el Renacimiento. Los poliedros han sido objetos privilegiados para construir relojes solares por sus múltiples caras planas. Podemos encontrar relojes con formas de varios poliedros: el cubo como más sencillo al rombicuboctaedro mayor. Una muestra de la construcción de relojes solares de múltiples caras la encontramos en el Retrato de Nicolas Kratzer (1528) de Hans Holbein el Joven que se encuentra en el Museo del Louvre de París. El astrónomo matemático Kratzer es pintado mientras fabrica un reloj octaédrico con dos vértices truncados. (Reloj icosaédrico. 1633. Palace of Holyroodhouse, Edimburgo) Si hay un lugar privilegiado para encontrar relojes poliédricos es Escocia. En los alrededores de Edimburgo encontramos rutas que van mostrando relojes solares múltiples sobre las caras de diferentes poliedros. Así en los jardines del palacio real de Holyroodhouse encontraremos un reloj icosaédrico de 1633. Un poliedro muy frecuente usado por los relojeros matemáticos más virtuosos es el rombicuboctaedro; una muestra es el que encabeza el escrito localizado en el Landesmuseum Württemberg de Stuttgart y otro situado en Palacio Carberry Tower de Edimburgo. (Reloj rombicuboctaédrico.  Hotel Carberry Tower. Edimburgo) Continuamos en Escocia con otro rombicuboctaedro, el mayor esta vez, que se encuentra en Nunraw Abbey, unos 25 kilómetros al Este de Edimburgo. (Reloj rombicuboctaédrico mayor.  Nunraw Abbey. Escocia) (Reloj dodecaédrico.  Palacio Madama. Turín) Los cinco sólidos platónicos han servido para construir relojes solares. Uno dodecaédrico lo encontramos en el Palacio Madama de Turín, uno de los edificios del conjunto Patrimonio de la Humanidad de la Casa de Saboya. El museo se encuentra en la animada Plaza del Castillo y, aunque hoy no lo parezca, el Castillo fue el propio Palacio, cuya fachada actual es dieciochesca. El Observatorio Astronómico de Turín estaba en el interior. En España hay varios lugares de gran interés gnomónico, uno de ellos es Palma, ciudad que ofrece paseos deliciosos a través de sus 37 relojes catalogados. Destacamos uno, localizado en el Paseo Marítimo formado por dos tetraedros girados y unidos por el vértice, lo que nos permiten jugar con la sombra en cada una de las caras. (Relojes tetraédricos.  Paseo Marítimo. Palma) El octaedro es relativamente corriente, reproducimos uno que se exhibe entre la rica colección de instrumentos matemáticos del Germanisches Museum de Núremberg. (Reloj octaédrico.  Germanisches Museum. Núremberg) Hemos dejado para el final el cubo, el que requiere de menos capacidad de cálculo. Un bonito ejemplo se localiza en una de las casas palacio de Ávila entre los objetos de escritorio. (Reloj cúbico. Ávila)

Jueves, 06 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

43. 46. (Junio 2018) Alegorías matemáticas españolas destruidas o dañadas

(Alegoría de la Astronomía – Sepulcro de Cisneros, Alcalá de Henares) El tiempo no se detiene y en su transcurrir muchas cosas de valor desaparecen o se mutilan. A veces solo hemos de conformarnos con la crónica y su recuerdo. Un caso ejemplar es la destrucción de alegorías matemáticas renacentistas del territorio español o de algunas de las ejecutadas por sus artistas en el exterior. El Renacimiento fue tanto periodo de renovación como de cambio de forma de los modelos anteriores. La representación alegórica de las Artes Liberales tiene su origen en Marciano Capella a finales del Imperio Romano; los modelos iniciales fueron evolucionando durante el Medioevo y se expandieron en belleza y colorido durante el Renacimiento. La Península Ibérica no fue ajena al despertar: los maestros italianos y flamencos trabajaban en los reinos peninsulares y los del lugar perfeccionaban el oficio en Italia. El Cielo de Salamanca (Cielo de Salamanca – Fernando Gallego) El sobrecogedor mural sobre bóveda que Fernando Gallego (1440-1507) ejecutó para la Biblioteca de la Universidad de Salamanca y que se conoce como Cielo de Salamanca es hoy aproximadamente la tercera parte de lo que fue el original. Si la obra se hubiera conservado entera superaría como modelo al realizado por Tibaldi un siglo después para la biblioteca de San Lorenzo del Escorial. Lamentablemente una de las cosas que solo han dejado rastro literario han sido las Alegorías de las Artes Liberales que estaban incluidas en la representación mística de la divina sabiduría. Entristece profundamente no poder contemplar cómo Gallego representó la Aritmética y la Geometría. Fue precisamente la ampliación de la capilla lo que acabo con la biblioteca. En la Universidad ganó el rezo al conocimiento. La fortuna permitió que un trozo de mural no fuera necesario para ampliar el templo y quedara oculto. Descubierto a inicios de siglo XX, los restos de los frescos fueron trasladados al edificio de las Escuelas Menores donde hoy se exhiben. La historia es larga y poblada de picaras anécdotas: al realizarse el traslado de las redescubiertas pinturas se robaron las sinopias. Lo que queda de la orla mística reza así: Cuando contemplo tus cielos, obra de tus dedos, la luna y las estrellas que tú has formado. (Alegoría de Virgo. Cielo de Salamanca – Fernando Gallego) La reproducción de la constelación zodiacal de Virgo realizada por Gallego da una idea de lo que debieron ser la Aritmética, la Geometría, la Astronomía y la Lógica. Pedro de Berruguete en Gubbio (Alegoría de la Astronomía y la Música. Reproducciones del studiolo de Gubbio) Los palacios de los Montefeltro de Urbino y Gubbio fueron lugares de trabajo y formación de Berruguete. La corte de Urbino era uno de los centros del arte matemático. El studiolo, de Urbino ha conservado gran parte de la decoración y mobiliario: era la cámara reservada para desarrollar la vida interior del humanista. La esplendida decoración debía inspirar para el estudio mediante el ejemplo de los grandes sabios y de las alegorías de las artes. Hemos de lamentar que el equivalente de Gubbio haya sido despojado y en parte perdido. Lo triste no es que las piezas se reubiquen, lo malo es que desaparezcan. La National Galery de Londres conserva alguna de las alegorías de Justo de Gante y Pedro Berruguete pero faltan las más matemáticas. En vano buscamos la Aritmética y la Geometría: La Astronomía, donde estuvo más presente la mano de Berruguete desapareció tras los bombardeos de Berlín. El studiolo de Gubbio era más didáctico que el de Urbino pues se construyó para instruir al joven heredero del ducado. Las imágenes reflejan a un joven recibiendo el conocimiento de cada una de las siete artes liberales. Reproducimos la alegoría de la Música de Londres para hacernos una idea de la magnitud de la pérdida contemplando su delicada belleza. (Alegoría de la Música. Berruguete y Justo de Gante. National Gallery) El sepulcro de Cisneros en Alcalá de Henares (Alegorías matemáticas en el Sepulcro de Cisneros. Alcalá de Henares) En el interior de la Iglesia del Colegio Mayor de San Ildefonso, antigua universidad complutense, se encuentra el Sepulcro de su fundador: el Cardenal Regente Cisneros. Siguiendo el modelo de hermanar fe y sabiduría, y tal como había hecho el Papa Sixto IV en su espectacular sepulcro de bronce esculpido por Pallaiolo, el cardenal tiene una tumba decorada con las Artes Liberales. El Cuadrivio (aritmética, música, astronomía y geometría) están a la mano derecha de Cisneros. La Música y la Astronomía han sido poco mutiladas de sus instrumentos, y se observan el laúd y el astrolabio. De la Aritmética se puede ver la tablilla, y de la Geometría solo podemos imaginar el compás desaparecido. La ejecución de la obra corresponde al italiano Doménico Fanzelli, y tras su muerte al español Bartolomé Ordóñez. Las imágenes descabezadas y la irreconocible Geometría muestran que el tiempo se ha cebado en el mausoleo del que fue el reformador de la Iglesia del Reino de Castilla. Torre de la Armería en Alba de Tormes (Alegoría de la Astronomía. Cristoforo Passini. Alba de Tormes) La escenografía para el Gran Duque de Alba que Cristoforo Passini propone en la Torre de la Armería es similar a la del resto de los artistas hagiográficos de todas las épocas: valiente y vencedor en la batalla, virtuoso en la vida y sabio, culto y sensible en su formación. Ignoramos si el palacio y castillo de Alba de Tormes tenía algo parecido a un studiolo. En la primera planta de la torre que se usaba para conciertos y reuniones se encuentran dos espacios laterales con los elementos decorativos propios de los estudios renacentistas. En uno están las virtudes y en el otro las artes liberales al modo clásico de Capella: bellas damas con los atributos de sus ciencias. Las guerras napoleónicas han reducido la galería de las artes a dos frescos completos y dos mutilados. Solo pueden contemplarse enteras la Astronomía y la Lógica, ambas bellísimas, y las dos mutiladas solo dejan ver al amorcillo acompañante. Pérdida irreparable. La Astronomía en pose relajada reposa sobre una esfera astronómica y sujeta una esfera armilar. La hermosísima Lógica mantiene un dragón enjaulado: las trampas del falso razonamiento deben permanecer a buen recaudo. (Alegoría de la Lógica. Cristoforo Passini. Alba de Tormes)

Viernes, 01 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

44. 45. (Mayo 2018) Anamorfosis en España

(Mesa de Piedras Duras. Museo del Prado, Madrid) El renacer cultural del siglo XIII en Occidente tuvo uno de sus apoyos más significativos en la Óptica Geométrica. De pronto el sencillo tratado de Euclides y el complejo de Alhacén ven como sus copias latinas se extienden por doquier.  Sobre la Perspectiva de rayos que se concentran en el ojo escriben Grossetesta, Roger Bacon, Pechan, Witelo o Judaei. La matemática se convierte en puerta y llave para las demás disciplinas dirá Bacon. La pintura y las otras artes pronto plasmarán en sus obras estos avances ópticos. Será en Florencia donde Filippo Brunelleschi (1377-1446) realizará experimentos visuales y el pintor Masaccio mostrará espectacularmente las posibilidades de la perspectiva cónica en su Trinitá (1427), el fresco de Santa Maria Novella con un único punto de fuga en la bóveda de cañón. Poco más tarde Leon Battista Alberti daba carta de naturaleza a la perspectiva matemática en el tratado De Pictura (1436). A finales del siglo XV se había asumido que el pintor ha de saber matemáticas: tres grandes como Piero della Francesca, Leonardo o Durero escribirán tratados de geometría. (Códice Atlántico. Leonardo da Vinci. Biblioteca Ambrosiana. Milán) El escorzo, la representación de una figura oblicua con el plano proyectivo, será otro avance de la perspectiva, el Cristo morto (1480) de Andrea Mantenga mostrará como las líneas se encojen. En una figura oblicua con el plano se concentran las formas, pero qué pasaría si lo que se inclina es el plano proyectivo: el Renacimiento descubre la representación anamórfica. Suele tomarse como punto de partida de la anamorfosis dos pequeños dibujos del Códice Atlántico de Leonardo: una cara de niño y un ojo se ensanchan para ser vistos de forma realista cuando se miran desde el lateral. La técnica anamórfica se extiende a Alemania, Erhard Schön de Núremberg, discípulo de Durero, ocultará las caras de los protagonistas del cerco de Viena en un paisaje. La anamorfosis se convierte en pintura secreta, incluso con usos pornográficos. Más casta será la utilización de la anamorfosis para expresar la vanidad de las cosas terrenales como hace Hans Holbein con su oculta calavera  de Los embajadores (1533). Anamorfosis de Carlos V (e Isabel de Portugal) El Emperador Carlos se lleva la palma en lo referente a retratos anamórficos; los encontramos en Valladolid, Toledo, Nueva York, Palencia o en los grabados comentados de Erhard Schön. La imagen imperial también se prestaba a los secretos y al virtuosismo: el Renacimiento fue muy propicio a lo oculto. El retrato de Palencia es el más auténtico de los tres que se conservan en España, las dos anamorfosis en San Miguel  y San Julián de Valladolid pueden ser imitaciones locales de la época del palentino y los retratos del Museo de Santa Cruz de Toledo son copias modernas o intentos de falsificación. (Retrato anamórfico de Carlos V, vista frontal. Catedral de Palencia) La pintura secreta se conserva en la Sala Capitular, entrando por el Claustro de la Catedral. De delicada factura, ofrece un sorprendente verismo cuando se mira por el orificio. La carátula superior pone Mirum natura et artis, maravilla de la naturaleza y el arte, y en efecto tiene mucho de ello. La imagen por el orificio no se ha podido reproducir pero si una aproximación lateral que nos va dando idea de cómo el rostro se va contrayendo. Como el retrato que sirve de modelo se toma de perfil la alargada nariz da ese aire de pez espada monstruoso a la representación. (Retrato anamórfico de Carlos V, vista lateral. Catedral de Palencia) Las guías atribuyen el retrato a Lucas Cranach sin más fundamento que su factura alemana. Más conocidas que la palentina son las dos anamorfosis de Valladolid. Cuando en el Museo del Prado se realizó la exposición temporal sobre El retrato en el Renacimiento (2008) tuvimos la oportunidad de apreciar dos anamorfosis del emperador Carlos y su mujer Isabel de Portugal. En aquella ocasión las protecciones impedían apreciar la imagen con el ángulo adecuado. Las dos anamorfosis son anónimas –escuela alemana del siglo XVI o copias locales siguiendo el modelo de Palencia- se encuentran de nuevo en su emplazamiento: la iglesia vallisoletana de San Miguel y San Julián que, antes de la expulsión de los jesuitas, fue de San Ignacio. Los dos pequeños cuadros se exhiben en la sacristía de los jesuitas, uno a cada lado del nuevo altar. Están protegidos con vidrio, pero en sus marcos originales que tienen un agujero que dirige la visión para corregir la deformación de la imagen. Popularmente los vallisoletanos llaman a los cuadros los pescados ante unas narices imperiales tan afiladas. (Retratos anamórficos de Carlos V e Isabel. Sacristía de San Miguel y San Julián. Valladolid) (Retrato anamórfico de Carlos V, vista lateral. Sacristía de San Miguel y San Julián. Valladolid) Diferente es el caso de los retratos de Carlos V e Isabel de Portugal que almacena el Museo de Santa Cruz de Toledo. Son copias recientes de las de Valladolid, y quizá realizadas con intención de falsificar: los agujeros de los xilófagos se han hecho expresamente. Su interés radica en el rescate de las anamorfosis. (Retratos anamórficos de Carlos V e Isabel de Portugal. Museo Santa Cruz. Toledo) Anamorfosis sobre Piedras Duras El Museo Nacional del Prado en Madrid conserva siete consolas realizadas a finales del siglo XVIII en el Real Laboratorio de Piedras Duras del Buen Retiro. El gusto por la taracea de piedra tiene su origen en el periodo napolitano de Carlos III. Una de las mesas consolas tiene anamorfosis. No siempre se exhiben, durante mucho tiempo han estado almacenadas. Aprovechando ciertas exposiciones monográficas se han expuesto las dos consolas más interesantes desde el punto de vista matemático: la de las anamorfosis y la de la pantómetra. Las siete consolas son trampantojos con las ciencias, las artes y los juegos. Hay anamorfosis, caja de instrumentos con pantómetra (compás usado para realizar multiplicaciones y divisiones de forma analógica (teorema de Tales) y que popularizó Galileo). Transportadores de ángulos, escuadras, reglas y compasen se distribuyen al azar y descuidadamente sobre las consolas. La taracea en Piedras Duras, como la de madera, hace un bellísimo uso de la perspectiva con su virtuosismo geométrico. El detalle de la anamorfosis sobre un estuche sirve de portada a esta instantánea. Anamorfosis de Dalí sobre botella de ponche Dalí encontró en Figueres, su ciudad natal, el mejor lugar para recrear su imagen: el viejo teatro que se había destruido en un incendio. La tesis de que la vida es teatro y la persona máscara encontraría en Dalí su confirmación: su imagen se oculta en la interpretación. El Museo de Dalí tiene varias de sus anamorfosis cilíndricas. A Dalí no podía pasarle desapercibida la enigmática pintura de Los embajadores de Holbein y su oculta calavera. La forma de homenajearla es una anamorfosis cilíndrica sobre una botella plateada de ponche. (Calavera anamórfica, Dalí. Museo de Figueres) Al lado de la calavera hay otras dos reflexiones sobre botella/espejo. La cara que se convierte una vez reflejada en un provocativo desnudo es la más daliniana. Dalí interpretó su papel de divo fantoche hasta lo atragante pero nunca podremos negarle su capacidad creativa y su obsesión por extender los límites del arte. Su intensa relación con los matemáticos formaba parte de su exploración. (Desnudo y rostro  anamórfico, Dalí. Museo de Figueres) Las anamorfosis callejeras van haciendo su aparición como decoración urbana, valga como muestra la que representa a Einstein al lado de la Casa de las Ciencias de Logroño, el antiguo matadero municipal en el margen del Ebro. El espejo es un tronco de cono invertido. (Anamorfosis de Einstein. Casa de las Ciencias. Logroño) También Figueres ha rendido homenaje a Dalí con una anamorfosis en una de sus  plazas.

Martes, 01 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

45. 44. (Abril 2018) El mazzocchio: de la cabeza a las matemáticas

(Giuliano da Maiano. Mazzocchio. Studiolo de Federico de Montefeltro, Urbino) El mazzocchio, el sombrero toscano en forma de toro poliédrico, fue utilizado una y otra vez como objeto para la práctica de la perspectiva matemática durante el Renacimiento. Desde el estudio geométrico detallado realizado por el pintor matemático Paolo Uccello (1397-1475), pasando por Leonardo y siguiendo por los tratados de perspectiva, el mazzocchio fue uno de los protagonistas de los nuevos tiempos. (Paolo Uccello. Mazzocchio) Uccello no se limitó a pintar el adorno de los caballeros y se concentró en el estudio de la perspectiva de una forma moderna, similar a la descomposición en “elementos finitos” poliédricos, tal como hacen hoy los calculistas de estructuras complejas. El pintor cronista Vasari reprochó a Uccelo el excesivo tiempo que dedicó al arte de la representación matemática. El encargo de las distintas pinturas que reflejaran la Batalla de San Romano (circa 1440) sirvió a Uccello para abordar el estudio del toro en detalle y hacer una representación realista. (Paolo Uccello. Estudio de mazzocchio) (Paolo Uccello. Detalle de mazzocchios en la Batalla de San Romano) Tras los estudios de Uccello el mazzocchio se hace habitual en las representaciones y se convierte en un objeto que demuestra el dominio de la perspectiva matemática. La taracea de madera de los coros o de los studiolos hará amplio uso del toroide seccionado. Muestras destacables son los studiolos de Urbino o de Gubio, y los coros de la Catedral de Módena y del Monasterio del Monte Oliveto. El mazzocchio suele aparecer, además, rodeado de otros objetos matemáticos para dejar claro que su representación demuestra el dominio de la óptica geométrica. En Urbino se encuentra en el mismo armario que los astrolabios y la tablilla de cálculos y en Monte Oliveto junto a los instrumentos del geómetra. (Fra Giovanni da Verona. Mazzocchio. Sillería del coro del Monasterio del Monte Oliveto) En el studiolo del palacio ducal de Gubbio (1482) realizado por Giuliano da Maiano da todo el realce al mazzocchio colocándolo encima de un trampantojo que simula una bancada. El actual museo lo utiliza como símbolo. (Giuliano da Maiano. Mazzocchio. Studiolo del Palacio Ducal, Gubbio) El coro de taracea de la Catedral de Módena fue ejecutado por los hermanos Cristoforo y Lorenzo Canozzi da Lendinara entre los años 1461 y 1465. Los Canozzi siguieron los trabajos de perspectiva de Piero della Francesca y llenaron su obra de trampantojos e ilusiones ópticas. El mazzocchio aparece en uno de cada dos respaldos del coro pero visto en proyección plana. (Canozzi da Lendinara. Mazzocchio. Coro de la catedral, Módena) El propio Leonardo da Vinci representa en sus cuadernos un toro seccionado aunque no lo incluye entre las ilustraciones del libro de De divina proportione de Fra Luca Pacioli. (Leonardo da Vinci. Mazzocchio. Cuadernos) Quizá el momento álgido del mazzocchio sea el tratado del cardenal matemático Daniele Barbaro: La pratica della perspectiva, opera molto vtile a pittori, a scvltori, & ad architetti (1569). Todos los capítulos se inician con un toro y hay un apartado específico con la explicación detallada de la representación. (Daniele Barbaro: La pratica della perspectiva) El mazzocchio no podía pasar desapercibido en la escultura moderna. Minmo Paladino, un destacado exponente de la transvanguardia que ha recreado el estilo renacentista e incorporado a su obra sólidos como el pequeño dodecaedro estrellado también se ha fijado en el mazzocchio. La rosquilla biselada se ha expuesto en Brescia en una gran muestra callejera desde mayo de 2017 a enero de 2018. Adosado a la antigua muralla de Prato hay otro mazzocchio de estructura metálica que la Unione Industriale de la ciudad encargó a los escultores Ben Jakober e Yannick Vu en 1994. La estructura tubular se encuentra próxima a la Porta Frascati. (Minmo Paladino. Mazzocchio. Brescia) (Ben Jakober e Yannick Vu. Mazzocchio. Muralla de Prato)

Martes, 03 de Abril de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

46. 43. (Marzo 2018) El dodecaedro en la pintura

(Jake Baddeley, Alegoría de la geometría- 2010) Jake Baddeley es un pintor e ilustrador contemporáneo, nacido en Inglaterra y residente en Holanda, que rememora y se inspira en las obras clásicas del Renacimiento Italiano y de los Maestros Holandeses.  El realismo mágico de Baddeley nos pone de manifiesto hasta qué punto el dodecaedro ha estado presente en la pintura desde que Piero della Francesca, el gran pintor matemático, diera entrada a los poliedros en los tratados de perspectiva. Las ilustraciones de Leonardo para La divina proporción de Fra Luca Pacioli consolidaron el uso de los poliedros en el arte. Los maestros de la taracea en madera, llamados de perspectiva, fueron los que representaran más profusamente los sólidos tanto regulares como arquimedianos, en su forma solidvs como vacvvs.  Si tuviéramos que destacar el poliedro más utilizado para las taraceas, seleccionaríamos el arquimediano icosidodecaedro, pero en la pintura elegimos el dodecaedro. (Leonardo, Ilustraciones de La divina proporción) Siguiendo el orden cronológico, el Retrato de Luca Pacioli (c. 1500) conservado en el Museo Nacional de Capodimonti en Nápoles consagrará la presencia del dodecaedro en la pintura. El lienzo se atribuía a Jacopo de Barbari pero la autoría está prácticamente desechada. El rombicuboctaedro transparente, colgado y parcialmente lleno de agua, es lo más característico pero no puede olvidarse el dodecaedro de nuestra derecha apoyado sobre un libro. (Retrato de Luca Pacioli – c. 1500) Girolamo da Santacroce (c. 1480/85 – c. 1556) fue un modesto pintor veneciano del Renacimiento. A su escuela debemos una Alegoría de la Geometría con un dodecaedro en el suelo. La figura femenina porta una escuadra en su mano sobre un fondo de paisaje idealizado donde destaca más la forma del poliedro. El cuadro estaba en manos privadas y salió a pública subasta. (Girolamo da Santacroce. Alegoría de la Geometría. c. 1525) En una posición similar, sobre el suelo a nuestra derecha, se sitúa el dodecaedro de la Alegoría de la Geometría, grabado de Georg Pencz (1500 – 1550), un pintor y grabador de gran prestigio nacido en Núremberg. Sus reproducciones sirvieron de inspiración a otros artistas y se usaron en las artes decorativas, especialmente en la cerámica. La Geometría dibuja en una tablilla, pisa un ortoedro y a su lado el grabador ha colocado un octaedro y un dodecaedro. (Georg Pencz. Alegoría de la Geometría. c. 1545) Otro grabado con un dodecaedro se encuentra en el Diógenes de Girolamo Francesco Maria Mazzola (1503 – 1540), llamado il Parmigianino por su lugar de nacimiento y por su reducida estatura. El pintor de Parma es uno de los grandes del manierismo. El filósofo cínico Diógenes elige la pobreza y la retirada del mundo pero su pensamiento se dirige hacia la Matemática. El libro abierto con el dodecaedro es señalado con una vara. Existe un grabado gemelo del Diógenes pero sin el dodecaedro. (Parmigianino. Diógenes. c. 1535) El pintor flamenco Nicolas Neufchâtel (1524 – 1590), llamado Lucidel, plasmó en 1561 La lección de geometría del maestro Johann Neudörffer. La pintura muestra las enseñanzas en Núremberg, uno de los primeros lugares del mundo donde los profesores de matemáticas fueron pagados por la municipalidad, y donde en el siglo XVI se crea un ambiente adecuado para el florecimiento de la ciencia y el arte. Los sólidos vacíos que dibujó Leonardo sirven de referencia para la nueva pintura matemática de la época. El maestro sujeta y señala un dodecaedro a su alumno que toma nota o lo reproduce. El cuadro se puede contemplar en la Alte Pinakothek de Munich. (Nicolas Neufchâtel, Lección de geometría. 1561) En la Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial no podía faltar el dodecaedro. Aparece dos veces, una ligada a la Geometría y otra a la Filosofía. Los frescos de la Biblioteca fueron pintados por Pellegrino Tibaldi (1527 – 1596), también llamado Il Pellegrini, pintor manierista y arquitecto lombardo muy influenciado por Miguel Ángel. El matemático que aparece con el dodecaedro es Regiomontano. Encima de los Sacerdotes Egipcios y en línea con Arquímedes que trabaja sobre una esfera. (Pellegrino Tibaldi, Regiomontano, c. 1590) (Pellegrino Tibaldi, Escuela de Atenas, c. 1590) Entre los pintores del siglo XX será Salvador Dalí el que hará el mayor uso del dodecaedro, tanto por su carácter místico, la quintaesencia estelar, como por su relación con la razón áurea. Seleccionamos como emblemática la representación de La última cena (1955) que se encuentra en la Galería Nacional de Arte de Washington. (Salvador Dalí, Última cena. 1955) Terminamos el recorrido con los Reptiles (1943) de Maurits Cornelis Escher, el genial holandés que también sucumbió al encanto del dodecaedro. (MC Escher, Reptiles. 1955)

Jueves, 01 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

47. 42. (Febrero 2018) Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

(Azulejos de Truchet – Catedral de Tarazona) El azulejo cuadrado dividido diagonalmente en dos colores, llamado de Truchet por los matemáticos y de cartabón por los ceramistas, tiene ya más de tres siglos de historia como objeto matemático. El azulejo se viene usando desde tiempos inmemoriales pero su historia matemática pudo empezar en 1675 con el encargo del ministro Colbert, en nombre del Rey Sol, a la Académie Royale des Sciences de estudiar las técnicas artesanales. Hasta 1693 no se pone en marcha el grupo de trabajo dirigido por el abate Jean Paul Bignon y del que formara parte el padre Sébastien Truchet. Supervisando las obras de los nuevos canales y recopilando información de las técnicas, a Truchet no le pasarán desapercibidos algunos azulejos y se percatará de la fecundidad combinatoria de algo tan sencillo (e inconscientemente de sus simetrías ornamentales cuando buscaba las formas de mayor belleza). En sus propias palabras: En el último viaje que he hecho al Canal de Orleáns por orden de su alteza real, encontré en el castillo llamado La Motte S. Lye, cuatro leguas más allá de Orleáns, varios azulejos cerámicos cuadrados de dos colores separados diagonalmente, que estaban destinados a pavimentar una capilla y varios apartamentos más. Para poder formar agradables figuras y dibujos combinando los azulejos, estudie primero de cuántas formas dos de estos azulejos podían juntarse, disponiéndolos siempre en forma de tablero de ajedrez. … Hemos intentado después formar dibujos y agrupaciones con esas figuras colocadas juntas, siempre en forma de tablero de ajedrez; hemos encontrado una cantidad enorme para poderlos enseñar todos: hemos escogido únicamente cien de ellos, que hemos puesto en limpio, para que cada uno pueda comprobar con sus propios ojos lo cierto de lo que hemos afirmado, y la fecundidad de estas combinaciones de origen tan sencillo. Como resultado de sus estudios, el Padre Truchet publicó una pequeña Memoria sobre las combinaciones de estos azulejos recogida entre las Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de 1704. El autor expone primero que cada azulejo individual se puede colocar de cuatro formas distintas para después tomar dos azulejos y colocarlos en las cuatro esquinas de un tablero de ajedrez. El cálculo da que existen 64 formas de colocarlas, las 16 (42) de las combinaciones con repetición de los dos azulejos multiplicadas por 4, por ser cuatro las esquinas. De la combinación de los azulejos se obtiene una cantidad enorme de diseños agradables. Truchet selecciona cien, pero en la Memoria de 1704 solo publica grabados de treinta. Las planchas de cobre llevan la firma del conocido grabador Simonneau. Las investigaciones de Truchet deberían formar parte de una ambiciosa obra enciclopédica, la Description des arts et métiers, faites ou approuvées par Messieurs de l´Académie Royale des Sciences, que no se empezará a publicar en forma de volúmenes hasta 1761. Pero en 1705 el mismo prestigioso grabador Simonneau ya había preparado las cien combinaciones previstas, en realidad son 96, en un formato más pequeño. Truchet trabaja a las órdenes de la corona desarrollando gran actividad, siendo requerido para otros trabajos. Es por ello que tras la memoria de 1704 y los grabados de 1705 parece abandonar sus investigaciones sobre los azulejos diagonales. Los diecisiete grupos del plano y los doce de Truchet Las teselaciones periódicas del plano se clasifican en 17 grupos. Cuatro con el giro único completo, cinco con giro de media vuelta, tres con giro de un tercio de vuelta, otras tres con giro de un cuarto de vuelta y, por último, dos con giro de un sexto de vuelta. En muy pocos lugares se localizan conjuntamente los 17 grupos: el Palacio de la Alhambra es uno de ellos como ha descubierto el profesor Rafael Pérez Gómez. Los artesanos nazaríes demostraron su gran virtuosismo utilizando en la decoración con alicatados y yeserías todos los grupos posibles, ¡y lo lograron mucho antes de que se demostrara teóricamente! Con los azulejos de Truchet podremos construir hasta 12 de los 17 grupos. Un único azulejo siempre permite obtener varios grupos de simetría, aunque él mismo no tenga ninguna simetría propia. El de Truchet tiene un eje de reflexión, la diagonal perpendicular a la de cambio de color, y ello nos ofrece hasta 12 grupos. Los únicos no admitidos son los de giros de 60º y 120º, que son los cinco grupos restantes. Los doce grupos de simetría en los diseños de Truchet de 1704 y 1705 Cuando Truchet realiza sus estudios la combinatoria tenía cierta tradición pero la teoría de grupos de teselaciones no se desarrollará hasta finales del siglo XIX cuando Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919) clasifica los grupos cristalográficos. La nomenclatura internacional que usamos se debe a Hermann- Mauguin y no tiene todavía un siglo. Truchet no llegó a clasificar los grupos pero, al igual que los artesanos de la Alhambra, si pone ejemplos de los 12 posibles usando la belleza de los diseños como única guía. En la memoria de 1704 se presentan 30 diseños: 10 son p4m, 5 cm, 4 pmg, 3 pm, 3 p4g, 3 p2, 1 pmm y 1 pgg. Faltan los grupos pg, cmm, p4 y p1. La ampliación a 96 diseños de la Descripción de las artes y oficios de 1705 completará los cuatro que faltaban. La mayor frecuencia de aparición del diseño p4m es habitual en todas las teselaciones del plano y se debe a la presencia de más elementos de simetría. Mostramos un ejemplo de cada uno de ellos señalando la celda base (amarillo), los ejes de simetría (rojo) y los ejes deslizantes (verde):

Jueves, 01 de Febrero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

48. 41. (Enero 2018) Poliedros en marfil

(Sólido de Kelvin. Palazzo Pitti, Florencia) El encanto por los poliedros durante el Renacimiento alcanzó su máxima expresión en las artes decorativas. El Timeo, de dudosa atribución a Platón, fue una cosmología muy conocida durante el medievo que usaba los poliedros regulares como modelo para el demiurgo que construía el universo. Con el despertar de las ciudades y el comercio se produjo el del arte vinculado a las matemáticas. Los poliedros se convierten en un elemento director para los artistas de la nueva perspectiva realista. La recuperación de la tradición pitagórica de los sólidos platónicos y arquimedianos la formaliza el pintor matemático Piero della Francesca (1416-1495) con su Libellus de quinque corporibus regularibus. Los poliedros se hacen hueco en el arte. La divulgación de las posibilidades de los sólidos para el arte de la perspectiva alcanza su cenit con las sesenta ilustraciones de Leonardo da Vinci para De divina proportione (1497) de Fra Luca Pacioli. La pintura, pero sobre todo, la taracea prospectiva hará amplio uso de poliedros platónicos y arquimedianos tanto en su forma sólida como la vacía. Las ciudades alemanas tomarán el relevo de las italianas. Augsburgo y Núremberg tendrán talleres muy productivos que comercializan por toda Europa. Los artesanos/artistas requieren diseños más sofisticados que proporcionarán Lorenz Stöer con su Geometría et perspectiva (1567) o el orfebre Wentzel Jamnitzer en su Perspectiva corporum regularium (1568). Mientras Jamnitzer lleva el proceso de disección al límite, lo que hace Stöer es enmarcar los sólidos en un contexto floral, arquitectónico y a veces casi onírico. La taracea alemana se hará más colorista y sofisticada. Los escultores o los diseñadores de portadas de libros no permanecen al margen de esta eclosión de los poliedros. El gran atractivo estético hace que hasta Johannes Kepler intente reconstruir el modelo del mundo sobre los cinco sólidos regulares convexos en su famoso Misterium Cosmographicum (1596). Kepler desechará su idea pronto pero seguirá estudiando los poliedros ampliando su catálogo con dos poliedros regulares cóncavos y con alguno tan importante como el dodecaedro rómbico. En este panorama de idolatría por los poliedros encontraremos poliedros por doquier sean mausoleos o artículos de lujo. Poliedros en Dresde La capital de Sajonia se convierte durante la época del Elector Augusto (1553-1586) en un centro de atracción de artistas y grandes artesanos. A Dresde acude desde Colonia un virtuoso del torneado y tallado de marfil: Egidio Lobenigk. Lobenigk ejecutó numerosos objetos de marfil. Reproducimos dos pedestales que terminan en dodecaedros huecos que envuelven otros dodecaedros hasta el infinito y que se encontraban en el Museo de la Bóveda Verde (Grüne Gewölbe) del Palacio Real de Dresde y hoy se encuentran instalados en un museo cercano. Forman parte de los Tesoros de las Colecciones Estatales de Arte de Sajonia. (Dodecaedros. Cámara de la Bóveda Verde, Dresde) Los poliedros huecos con las caras agujereadas mediante círculos son un diseño habitual de la época que puede verse en las láminas de Lorenz Stöer y a través de ellas en muchos muebles de taracea, como en San Lorenzo de El Escorial y Bilbao. Las dos piezas están firmadas y fechadas en 1581 y 1584. Muy cerca estaba Kepler de postular su modelo de universo platónico basado en poliedros circunscritos que aparece en el Misterium Cosmographicum (1596). Los artesanos de Könisberg y Dáncig continuaron produciendo los poliedros de marfil a inicios del XVII. El Museo de la Bóveda Verde tiene una cámara espectacular dedicada a los marfiles, muestra del virtuosismo que alcanzó el arte de la talla geométrica del marfil. Aunque el dodecaedro sea el poliedro preferido, el resto de los sólidos platónicos también son reproducidos. (Icosaedro y tetraedro. Cámara de la Bóveda Verde, Dresde) Poliedros en marfil de los Médici El gusto refinado del Elector de Sajonia se extiende al Palacio Pitti de los Médici en Florencia donde hay otra colección importante. El Museo de la Plata del Palazzo Pitti alberga parte de la colección de joyas y curiosidades de lujo de la familia Médici. Los objetos se exhiben en las cámaras de la planta baja, donde los señores recibían a sus visitas, decoradas con espectaculares trampantojos. El pintor matemático Piero Della Francesca había mostrado la utilidad de la representación de los poliedros para dominar la perspectiva. Leonardo dio un nuevo impulso con sus dibujos para Luca Pacioli. La colección medicea muestra que el gusto por los sólidos se mantenía. En ocasiones en una misma pieza se han tallado diferentes poliedros o esferas agujereadas con círculos que ocupan el lugar de las caras o vértices de poliedros regulares o arquimedianos. (Cubo y dos esferas dodecaédricas. Palazzo Pitti, Florencia) Un poliedro muy reproducido tanto en la marquetería alemana como en marfil es el icosidodecaedro. En Florencia encontramos una esfera basada en sus 32 caras. (Esfera icosidodecaédrica. Palazzo Pitti, Florencia) Dodecaedros de marfil en Berlín El Museo Bode de la Isla de los Museos en Berlín quizá no sea tan espectacular como su vecino, el Museo de Pérgamo, pero merece la pena para admirar el arte renacentista en terracota, vidriada o sin vidriar, al modo de Luca della Robbia. Ponemos ahora nuestra atención en los dodecaedros de marfil fechados en 1620, que aparecen sin autor, y cuya virtuosa ejecución de dodecaedros huecos encajados no desmerecen de los de Dresde o Florencia. Los dodecaedros vacíos con apertura circular son las terminaciones de los pináculos de cada copa y son más esféricos que los de Sajonia. Uno de ellos alberga toda una serie hasta el infinitésimo de dodecaedros reducidos, mientras que el otro tiene un cubo apuntado en su interior, como un pasatiempo para extraer. (Dodecaedros. Museo Bode, Berlín)

Martes, 02 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

49. 40. (Diciembre 2017) Matemáticas en los atriles y facistoles renacentistas

(Facistol del Coro. Catedral de Sevilla) Los atriles y los facistoles de los coros de iglesia son lugares para depositar libros y facilitar su visibilidad. El atril sirve para la lectura individual y el facistol para la lectura coral del cantoral. La parte del facistol donde se deposita el libro (o los libros) se llama atrilera. La matemática no puede faltar en ellos. Durante el Renacimiento nada escapa a la representación matemática. Atriles y facistoles muestran las distintas variantes de la presencia matemática: la representación alegórica (de la Aritmética, la Geometría, o la Astronomía), la decoración con poliedros e instrumentos matemáticos, y la decoración haciendo uso de la perspectiva o de las simetrías de las teselaciones. El quadrivium en el facistol de la Catedral de Sevilla Una de las piezas notables de la Catedral de Sevilla es el gran facistol del coro. Ebanistería, taracea y bronce dan lugar a esta pieza singular del Renacimiento en España. La ejecución fue encargada por el Cabildo en 1560 al arquitecto Hernán Ruiz el Joven y en los trabajos intervinieron durante cinco años varios carpinteros y artistas como los escultores Juan Bautista Vázquez o Juan Marín y el fundidor Bartolomé Morel. El facistol alcanza los 370 centímetros de altura. Ahora se muestra majestuoso tras dos años de restauración. La parte que destacamos es la más noble: el tronco de pirámide cuadrangular donde se colocaban los libros de canto y que integra las figuras alegóricas del quadrivium fundidas en latón: la Astronomía y la Geometría (arriba) y la Aritmética y la Música (abajo). El medallón del centro representa al Parnaso con las musas. La Música formaba parte de las matemáticas desde Pitágoras; este mueble para uso musical lo vuelve a poner de manifiesto y lo hace de la forma habitual: emparejándola con la Aritmética. Todas las alegorías están en reposo, concentradas en su actividad y portando los instrumentos de su disciplina. La Geometría porta un compás, la Astronomía sujeta su esfera armilar. la Aritmética una tablilla y la Música una lira. (Alegoría de la Geometría. Facistol del Coro. Catedral de Sevilla) (Alegoría de la Astronomía. Facistol del Coro. Catedral de Sevilla) El coro de San Domenico en Bolonia La sillería del coro de la Iglesia de San Domenico en Bolonia es una de las cimas de la intarsia prospettiva. La taracea lígnea era ya un arte en su cenit. Con Damiano Zambelli (o Damiano de Bergamo) casi se alcanza la perfección. La colaboración de Fra Damiano con Vignola (y otros artistas) produce a mediados del XVI obras tan difíciles de superar como esta sillería de la iglesia de Santo Domingo. (Facistol del Coro. Iglesia de Santo Domingo. Bolonia) En los diseños del coro domina la perspectiva de paisaje urbano con punto de fuga para resaltar la profundidad. Las formas más poliédricas están dando soporte al facistol. Las piezas más interesantes desde el punto de vista geométrico son las dos que se guardan en el pequeño museo y en las puertas de la sacristía. Se reproduce una de las puertas del armario del facistol con un rombicuboctaedro algo estrellado y una cruz que simula espectacularmente escaparse del plano. (Puerta del facistol del Coro. Iglesia de Santo Domingo. Bolonia) Facistol de Fra Giovanni en Monte Oliveto Maggiore La abadía de Monte Oliveto Maggiore es la casa matriz de la orden de los Olivetanos y se encuentra en la campiña toscana al sur de Siena. Fra Giovanni da Verona dejó aquí algunas de sus mejores obras de perspectiva matemática reproduciendo los poliedros de De divina proportione (1509) y mostrando por qué los artistas de la taracea eran llamados los maestros de la perspectiva. El facistol del coro tiene un panel con la esfera diseccionada al modo de Leonardo, un reloj mecánico y otra vez un crucifijo en perspectiva inverosímil. (Facistol del Coro. Abadía de Monte Oliveto) El atril de los poliedros de Francfort del Meno La marquetería italiana con representación de los poliedros, que nos mostraba el dominio de la perspectiva matemática, fue exportada a Alemania, en especial a Nüremberg y Augsburgo, donde se utilizaron los diseños de Jannitzer y Lorenz Stoer. Los modelos cambian, los paisajes se hacen más imaginativos, los poliedros se sofistican, los colores se amplían y se utilizan incrustaciones de nácar. El atril del Museo de Artes Decorativas de Fráncfort (Museum für Kunnsthandwerk) es una muestra del virtuosismo. Sólidos platónicos y arquimedianos, huecos y compactos se distribuyen por doquier en el panel de lectura. Un poliedro tan complejo como el cuboctaedro truncado ocupa el centro. El mueble está datado en 1570. (Atril del Museo de Artes Decorativas. Fráncfort) El atril del escritorio de Bilbao El Museo de Bellas Artes de Bilbao restauró hace unos años un precioso escritorio de marquetería alemana, probablemente de Augsburgo, y ejecutado sobre 1570. El cajón inferior albergaba una tabla con función de atril y que es una verdadera sinfonía del cubo. Se representan sólidos platónicos y arquimedianos pero no de Catalá. Los poliedros siguen los diseños de Lorenz Stöer que renovó la representación alemana, junto a Virgil Solis, al igual que la taracea italiana renacentista es heredera de los dibujos de Leonardo para De divina proportione. Sorprende que en Italia no aparezca el cubo truncado mientras que  Stör no slo olvida y lo representa sólido y vacío. Hasta siete figuras relacionadas con el cubo nos encontramos en el atril: dos cubos vacíos, un cuboctaedro sólido, un rombicuboctaedro sólido, un cubo truncado hueco con vaciado de círculos en las caras octogonales y un cubo truncado sólido. El séptimo es una de las figuras que más aparece en el mueble: el octaedro estrellado o macla de dos tetraedros. La relación con el cubo se debe a que si unimos dos lo que nos aparece es el cuboctaedro. Estamos ante la representación del óptimo de apilamiento de esferas: el sistema cúbico centrado en las caras o conjetura (hoy teorema) de Kepler. (Atril del escritorio alemán. Museo de Bellas Artes. Bilbao) Simetrías en el facistol mudéjar de Tarazona La iglesia de la Magdalena de Tarazona, cuya esbelta torre de ladrillo destaca sobre la muralla, alberga un magnifico facistol de taracea con base de nogal. Se trata de una obra mudéjar del taller existente en la vecina localidad de Torrellas. La pieza pertenecía al coro de la catedral y la datación no está bien definida: finales del siglo XV o principios del XVI. El facistol está pidiendo su restauración y un cambio de ubicación que muestre la importancia del mueble. En el brillante recorrido realizado por Ángel Ramírez y Carlos Usón para localizar los 17 grupos cristalográficos del plano en el mudéjar de Aragón, el facistol aparece como ejemplo del p31m (ejes de simetría, rotaciones de orden 3 con algunos centros fuera de los ejes). La decoración de taracea es un verdadero catálogo de formas, como también las celosías de yeso de la cercana catedral, además del grupo p31m se pueden encontrar p6, p4, p2, p4m o pmg. (Facistol mudéjar. Iglesia de la Magdalena. Tarazona) (Grupos de simetría. Facistol mudéjar. Tarazona)

Viernes, 01 de Diciembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

50. 39. (Noviembre 2017) Matemáticas en los púlpitos

Alegoría de la Geometría. Púlpito de la Catedral de Pisa) Las iglesias son un lugar privilegiado para encontrar representaciones matemáticas, bien en forma de alegorías o como objetos e instrumentos. Hay matemáticas en las fachadas, en las ventanas y portales, en las vidrieras, en los coros, en los mausoleos, por los suelos, en las sacristías, en los órganos, en los altares,… ¡y en los púlpitos! Desde el púlpito se habla, se predica o se instruye. Pocos lugares serán  más adecuados para representar la matemática como base del conocimiento. Quien se dirige a los otros debe estar formado. El mundo es comprensible y sus leyes son matemáticas. (Alegoría de la Astronomía. Púlpito de la Catedral de Siena) Los dos púlpitos más famosos se deben a la familia Pisano, los escultores medievales que realizaron también las obras maestras del Campanille del Duomo de Florencia y la Fontana Maggiore de Perugia. Las catedrales de Pisa y Siena muestran sus púlpitos de mármol blanco ricamente decorados soportados por ocho columnas periféricas y una central: en la basa octogonal de esa columna se representaron las alegorías femeninas de las siete Artes Liberales y la Filosofía. El púlpito de la Catedral de Siena El impresionante púlpito de la Catedral de Siena es obra de Nicola Pisano (siglo XIII), el patriarca de la familia y que define el modelo que se repetirá en Pisa. El púlpito es octogonal, al igual que la basa de la columna central donde están representadas las siete Artes Liberales y la Filosofía. Esa columna es el sostén del mensaje que va a lanzar el orador sobre los fieles y por eso debe basarse en la sabiduría. La representación de la Aritmética utiliza la dactilonomía en lugar de números arábigos. La doncella abstraída realiza cálculos con los dedos según el modelo romano conservado por Beda el Venerable (siglo VIII). La Geometría traza figuras con un compás y la Astronomía observa los cielos con un astrolabio. (Alegoría de la Aritmética. Púlpito de la Catedral de Siena) Las Artes en el púlpito del Duomo de Pisa Giovanni Pisano, hijo de Nicola, trabajó con su padre en la Fuente Mayor de Perugia y en Siena, para continuar después por su cuenta en otras ciudades como Pistoia y en el Duomo de Pisa. Nicola había renovado el concepto de púlpito, y siguiendo su modelo, Giovanni realiza el de la catedral de Pisa. Las Artes liberales se encuentran esculpidas en bulto redondo en la basa de la columna central del púlpito. Las figuras de Giovanni están más nítidas, llevan la inscripción y ocupan claramente la cara del prisma octogonal que les corresponde. La iconografía es la que solemos encontrar en los trabajos de los Pisano: compás para la Geometría, astrolabio para la Astronomía y movimiento de dedos para la Aritmética. (Giovanni Pisano. Púlpito de la Catedral de Pisa) (Astronomía y otras. Púlpito de la Catedral de Pisa) Un púlpito matemático en la Isla de Wight La iglesia de los Santos Tomás de Newport en la Isla de Wight alberga un magnífico púlpito de madera con catorce paneles tallados. La obra data de 1637 y representa alegóricamente las siete Virtudes y las siete Artes Liberales. (Alegoría de la Geometría. Púlpito de los Santos Tomás en Newport) La Aritmética reposa sobre una tablilla de números y porta un reloj mecánico, una forma de relacionar la ciencia del número con el tiempo como contrapunto a que la geometría sea la del espacio. (Alegoría de la Aritmética. Púlpito de los Santos Tomás en Newport) El compás y la escuadra son los habituales acompañantes de la Geometría, mientras la Astronomía observa el cielo con un cuadrante. El tallado es muy delicado y su conservación es buena, a excepción de las referencias al rey que fueron eliminadas durante la revolución puritana de los parlamentarios. Un “mirón” del Púlpito de la Catedral de Viena La Catedral de San Esteban de Viena admite múltiples relatos donde no pueden faltar los matemáticos o numerológicos: proporciones, medidas, relojes o representaciones. Entre todos los posibles nos quedamos en primer lugar con el geómetra mirón, los dos autorretratos del escultor y arquitecto renacentista moravo Anton Pilgram. La mirada que penetra, que va más allá, es la base donde se apoya la razón. ¿Lo ves? es lo que solemos decir a los alumnos en lugar de ¿lo comprendes? Los vieneses empezaron a llamar mirón a la figura que debajo del púlpito abría una ventana sin soltar su compás: un observador atento de la realidad que le rodea. (El geómetra Pilgran . Púlpito de la Catedral de Viena) Durante mucho tiempo se atribuyó a Pilgram la autoría del púlpito gótico pero hoy se considera anterior. Lo que sí se debe al arquitecto es el gran píe del viejo órgano. Se considera que Pilgram se autorretrató en la base misma de apoyo de dicho píe con los atributos del geómetra, escuadra y compás, y del bonete universitario. La reproducción del bellísimo púlpito es de la misma figura que hay en el órgano. Antón Pilgram mirándolo todo y dispuesto a medirlo y calcularlo. La tribuna de la Sociedad Felix Meritis en Ámsterdam No es un púlpito de iglesia pero si su heredera laica. La sed de conocimiento de la Ilustración tuvo una de sus más explícitas manifestaciones en la Sociedad Felix Meritis (felicidad a través del mérito) de Ámsterdam. Creada en 1776, la Meritis fue durante un siglo un centro de arte y ciencia, de conciertos y experimentos de la nueva física matemática. (Detalle de la tribuna de oradores Felix Meritis. Rijksmuseum de Ámsterdam) El Rijksmuseum ha dedicado a la Sociedad una sala donde se exponen algunos objetos que dan idea de la inquietud universalista del siglo de las luces. Destacamos el soberbio púlpito de 1779, la tribuna de oradores, un cuidadoso trabajo de ebanistería que es todo un ideario de la época: Libertad, Sabiduría, Virtud e Ingenio, junto a recreación y disfrute, son las palabras que están grabadas. Un detalle de unas de las caras laterales muestra unidos los instrumentos matemáticos, físicos y técnicos junto a otros alegóricos a las llamadas bellas artes. Disuelta en 1888, la Sociedad Felix Meritis ha vuelto a abrir sus puertas un siglo más tarde, estando ahora en plena actividad. (Tribuna de oradores Felix Meritis.  Rijksmuseum de Ámsterdam)

Miércoles, 01 de Noviembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico