61. 28. (Junio 2016) Elementos. Libro 1. Proposición 47

(Metro de Lisboa. Estación Parque) El teorema de Pitágoras de los triángulos rectángulos se demuestra en la proposición 47 del primero de los trece libros de los Elementos de Euclides. Durante más de dos milenios fue la demostración de referencia, aunque muchos autores desarrollaron decenas de pruebas alternativas del popular teorema. En la segunda mitad del siglo XIX, los tratados de Geometría eliminan la demostración euclídea y la sustituyen por otra basada en la semejanza de triángulos. Una vez demostrado el teorema del cateto se hacía la suma algebraica del cuadrado de los dos catetos y se obtenía el de la hipotenusa. Esa es ahora la demostración habitual de los libros de texto. La Universidad de Coimbra la expone en la fachada de la facultad: (Universidad de Coimbra) Resulta curioso que Coimbra utilice el griego para después hacer una demostración tan alejada del modo geométrico clásico. Los Elementos de Euclides utilizan la igualdad de áreas para la demostración del teorema de Pitágoras y aplican la misma técnica de las áreas para la demostración del teorema de Tales, cosa que realizan mucho más tarde: hasta la segunda proposición del libro sexto. Uno de los primeros libros de Geometría más populares que rompe con el modo euclídeo es el Traíté de Géométrie de Eugène Rouché – Ch. Comberousse, manual usado desde mediados del siglo XIX por las escuelas militares y de ingeniería. En su edición de 1929 se demuestra primero el teorema de Tales (Libro III – Teorema 181), después la proporcionalidad en las rectas antiparalelas (Libro III – Teorema 190), de ahí al teorema del cateto (Libro III – Teorema 222) para terminar con el teorema de Pitágoras (Libro III - Teorema 224). La demostración del teorema de Tales exigía una larga nota y es muy farragosa en comparación con la elegancia de Euclides. Siguiendo el mismo esquema, el libro de texto de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam  para Matemáticas (1958) de tercero de bachillerato demostraba el teorema de Tales (Capitulo VI – Lección 24), la semejanza de triángulos (Capitulo VI – Lección 25), el teorema del cateto (Capitulo VII – Lección 27) y el teorema de Pitágoras (Capitulo VII – Lección 27). Un joven actual ha perdido el contacto icnográfico con la demostración quizá más conocida de la historia de la matemática. Los artistas desde el renacimiento estudiaban matemáticas usando los Elementos, estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras y lo reproducían en sus obras si tenían loa oportunidad. Dado que hay tantas obras en las que aparece el teorema de Pitágoras hemos seleccionado solo parte de aquellas en las que aparece la figura de Euclides, quizá por nostalgia hacia algo que ya ha desaparecido de los manuales. La Estación Parque del metro de Lisboa está dedicada a las Matemáticas de los Descubrimientos. Allí nos encontramos reproducida la figura de Euclides. En la espectacular Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial no podía faltar la demostración euclídea. Arquímedes está trabajando en ella cuando es herido mortalmente por un soldado romano. La pintura al fresco se debe al pintor manierista Pellegrino Tibaldi pero el programa iconográfico lo realiza el propio Juan de Herrera. (Biblioteca del Escorial) La siguiente reproducción es la Geometría de Laurent De la Hyre, que porta regla y compás en la mano izquierda y exhibe una muestra de su ciencia en la hoja de la derecha. Un globo terráqueo con serpiente hace referencia a la Tierra y un paisaje de Egipto nos habla de dónde era originaría la ciencia. Todo un curso en un cuadro. Resaltamos la hoja de papel pues contiene tres dibujos destacando la proposición 47 del libro I de Los elementos. De la Hyre es una muestra de la vuelta a las formas arcaicas y clasicistas que se produce en Francia en pleno barroco, donde Poussin es su principal exponente. Los temas mitológicos se unen a los tardolatinos como la detallada representación de las siete artes liberales, repartidas en otros tantos museos y colecciones. Se conocen dos copias de esta obra, una en el museo de Toledo (Ohio) y otra en una colección particular. (Geometría de Laurent De la Hyre) Del siglo XVII pasamos al XVIII con un retrato de la mano del pintor boloñés Luigi Crespi. Se trata del Retrato de Ferdinando Gini (1759). Podemos ver como la formación de la élite del siglo de las luces pasaba por las matemáticas: el joven se hace retratar con sus operaciones geométricas. Los apuntes muestran la demostración euclídea del teorema de Pitágoras. Luigi Crespi. Retrato de Ferdinando Gini El edificio neogótico que alberga el Museo de Historia Natural de la Universidad de Oxford está decorado con estatuas adosadas a sus pilares; en una de ellas se representa a Euclides. El autor de los Elementos, de los perdidos Porismas y de una Catóptrica, figura de pie portando un pergamino donde aparece su demostración del Teorema de Pitágoras. Podemos hablar de una demostración entre esqueletos de dinosaurios. (Euclides. Oxford) También veremos el teorema bajo los tilos de Berlín. Al salir de la Isla de los Museos por Unter den Linden, el primer edificio que nos encontramos es el Palacio Rosa, el antiguo Arsenal, que hoy forma parte del Deutsches Historiches Museum. La puerta principal se encuentra bien flanqueada por la Geometría a nuestra izquierda y la Aritmética a la derecha. La Alegoría de la Geometría va acompañada de un erote con un manuscrito de figuras, entre ellas destaca el teorema de Pitágoras en su versión euclídea y el trazado del circuncentro de un triángulo. La decoración escultórica barroca de la fachada se ejecutó en 1698 por Andreas Slüter, a él se deben también las bellas cabezas de gigante del patio interior, pero nuestras alegorías matemáticas deben ser muy posteriores, probablemente de Rehinhol Begas, a quien le encargaron un proyecto iconográfico en 1887. (Palacio Rosa. Berlín) La esperanza de la conservación de la figura de la demostración euclídea se mantiene por una razón curiosa: la masonería sigue utilizando en sus emblemas y medallones el teorema de Pitágoras. Las reproducciones de más calidad muestran la versión detallada de la demostración de los Elementos. Inglaterra, como cuna de la masonería, lugar de gran arraigo y organización, tiene abiertas las puertas de un soberbio edificio Art Decó: el Freemason´s Hall de Great. Queen Street. La construcción actual sustituye a la logia anterior para rendir homenaje a los fallecidos en los combate durante la primera guerra mundial. Nos detenemos por su interés en los coloristas mosaicos de la bóveda del Gran Templo: en un lado Salomón e Hiran con compás y al otro Euclides y Pitágoras con la ilustración del teorema entre ellos. (Freemason´s Hall, Londres)

Martes, 07 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

62. 27. (Mayo 2016) Matemáticas en las fuentes

(Alegoría de la Geometría. Fontana Maggiore. Perugia) El agua fue el principio de todas las cosas para el milesio Tales. El atomismo desplazo al líquido elemento del primer lugar pero no de su condición de fuente de vida. Las fuentes con alegorías matemáticas dan cuenta de la fusión de lo material y el pensamiento como los dos elementos complementarios de la condición humana. La construcción de fuentes públicas para abastecimiento requiere un gran trabajo de ingeniería. Hay que hacer presas, galerías y acueductos para garantizar  el suministro de agua de calidad a toda la población. Los gastos de infraestructura suelen ser altos y es bueno darle un acabado acorde con la obra. La fuente es una construcción práctica pero también ornamento y discurso donde no faltan las matemáticas. (Fontana Maggiore. Perugia) La Fontana Maggiore de Perugia es ejemplar en su género. Consta de tres cuerpos, el inferior recoge el agua y está decorado con 25 paneles, en total 50 bajorrelieves de los escultores Nicola y Giovanni Pisano, que los ejecutan a finales del siglo XIII e inicios del XIV. La parte superior como corresponde en jerarquía tiene a santos, reyes bíblicos y alegorías de ciudades. En la inferior están los oficios de las estaciones, y las artes liberales. La aritmética comparte panel con la retórica, y la geometría con la música. Los Pisano ya habían representado las artes liberales en sitios tan emblemáticos como el Campanile de Giotto en Florencia o los monumentales púlpitos de Pisa o Siena. La Geometría es representada con un compás, resolviendo problemas, y la Aritmética enseñando a un joven las operaciones con los dedos, la dactilonomía. (Alegoría de la Aritmética. Fontana Maggiore. Perugia) Otra gran fuente pública medieval con presencia matemática la encontramos en Nuremberg. Entre los muchos atractivos de la ciudad se encuentra la Schoener Brunnen (la Fuente Bella), situada en pleno centro, en un lateral de la Plaza Principal del Mercado. (Schoener Brunnen. Nuremberg) La fuente gótica de 19 metros se construyó a finales del siglo XIV por Heinrich Beheim. La restauración de 1912 sobrevivió a la segunda guerra mundial. La fuente que permanece en la plaza es una réplica pues partes de la original se encuentran en el Museo Germánico. La fuente tiene cuarenta figuras policromadas de profetas, evangelistas, electores, reyes y figuras alegóricas a las Artes Liberales y la Filosofía. Ptolomeo (con cuadrante) representa la Astronomía, Pitágoras a la Música, Nicómaco (muy pensativo con libro) a la Aritmética y Euclides (con escuadra y compás) a la Geometría. Todas las figuras llevan rotulados sus nombres. Cuando Pitágoras aparece con la Música, la figura alegórica para la Aritmética suele ser Boecio, pero en este caso se da el caso singular de simbolizarla con Nicómaco de Gerasa, el místico de los números quien es representado en trance. (Euclides. Schoener Brunnen. Nuremberg) El conjunto está protegido con una bella reja a la que se atribuyen extraños poderes: las ciencias contemplan hieráticas como la superstición pervive. Ptolomeo permanece impasible observando los cielos y Nicómaco no termina de salir de su éxtasis numérico. (Nicómaco de Gerasa. Schoener Brunnen. Nuremberg) (Ptolomeo. Schoener Brunnen. Nuremberg) La tradición se ha mantenido en una fuente moderna pero que quiere enlazar con la historia. Se trata de la Fuente de las Artes, una fuente ornamental de Aquisgrán (Aachen en alemán). La Karlshofbrunnen fue diseñada en 1969 por Ottmar Hollmann en mármol, hormigón y bronce, con planta octogonal y gallones que se inspiran en el monumento más emblemático de la ciudad: la Catedral y la Capilla Palatina de Carlomagno. La fuente se encuentra en el patio interior del Karlshof, enfrente de la Plaza del Mercado de Aachen. Los relieves de bronce muestran las siete Artes Liberales de la enseñanza medieval basada en la estructuración realizada por Marciano Capella. Parece muy oportuno que un monumento haga patente que el llamado Renacimiento Carolingio fue un momento de esplendor en una época oscura. El propio Carlomagno fue analfabeto pero el florecimiento cultural no se limitó a sus construcciones admirables. La representación de la Geometría se hace mediante pentágonos y estrellas pentagonales y personas que recuerdan al Hombre de Vitruvio de Leonardo. (La Geometría. Karlshofbrunnen. Aachen) La Aritmética se nos presenta con cuatro calculistas en una mesa rómbica, operando con bolas y palitos en un marco muy geométrico. Al-Jwārizmī y Carlomagno fueron casi contemporáneos: las cifras indoarábigas iban a llegar pronto a Al-Andalus pero tardarían todavía varios siglos en imponerse. (La Aritmética. Karlshofbrunnen. Aachen) (Karlshofbrunnen. Aachen) Nos hemos limitado a dar cuenta de tres fuentes con representaciones explícitas de las matemáticas. También las fuentes llenan el espacio de parábolas y paraboloides en cualquier parque o plaza. Además algunos diseñadores han aprovechado las fuentes para completar su uso con el de instrumentos como relojes solares. El asunto admite múltiples derivaciones.

Lunes, 02 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

63. 26. (Abril 2016) Geometría que levita y Aritmética que engancha

La representación iconográfica de las alegorías femeninas de la Aritmética y la Geometría no ha dejado de evolucionar desde que Marciano Capella, un mediocre escritor latino tardorromano, convirtiera su libro Las nupcias de Filología y Mercurio en uno de los libros más populares del medioevo. El imperio romano de occidente agonizaba, todo un mundo iba a eclipsarse. Algunos de los que fueron conscientes en el siglo V de que vivían el fin de un ciclo intentarán apresuradamente y con escaso conocimiento salvar algo de una cultura que languidece. Así, un autor secundario como Martianus Capella se verá convertido en protagonista durante más de un milenio de una concepción de las ciencias. Marciano Capella vivió en el norte de África, cerca de Cartago, entre los siglos IV y V, ha quedado inmortalizado con una obra menor escrita en un latín deficiente y mera copia de las escasas obras latinas sobre ciencias, Las nupcias despliegan una enorme fuerza visual: las artes liberales toman forma alegórica como bellas mujeres, ricamente ataviadas, que acompañan en el cortejo nupcial a los sabios más distinguidos en cada ciencia. Las alegorías de las siete artes -llamadas después liberales- van a adornar durante siglos iglesias, monasterios, palacios, mausoleos, bibliotecas e incluso las cocinas. La potencia visual de las alegorías de Capella ha dejado huella en todo tipo de materiales: vidrieras, escultura, pintura, tapicería, marquetería, orfebrería y cerámica.  Los artistas y artesanos necesitan imágenes y Capella se las proporcionó con todo detalle. En el caso de la Aritmética, sus ágiles dedos no paran de moverse como muestra de su capacidad de cálculo. El contenido científico de la obra de Marciano Capella es muy escaso, muy pobre, simples anotaciones tomadas de Las noches áticas de Aulio Gelio que a su vez copiaba Los nueve libros de las disciplinas de Marco Terencio Varrón. El latín nunca fue en el mundo antiguo el lenguaje de la ciencia, está seguía usando el griego como lengua vehicular. El merito de Capella consistió en dar forma humana a las disciplinas de Varrón. Quizá tomando las musas como inspiración se desarrolla una iconología de gran éxito que no pasaría desapercibida a los artistas. La descripción que hace Capella de la Aritmética es la siguiente: Los dedos de la doncella vibraban a tal velocidad que hacen borrosa su visión … Pitágoras que se encontraba entre los filósofos siguió detrás de la dama tan rápido como el ábaco, y cuando la doncella estaba lista para exponer su disciplina se mantuvo en pie a su lado sujetando una brillante antorcha delante de ella. De la misma forma, dice de la Geometría: Una dama distinguida que portaba una vara de medir en su mano derecha y un globo sólido en la izquierda. Las representaciones irán cambiando con el tiempo. La Aritmética dejará los dedos para usar el ábaco y después la cifras indoárabigas. Mientras la Geometría abandonará la regla o la vara para usar el compás y la escuadra, o esporádicamente las figuras geométricas planas y los poliedros. Este escrito está dedicado a algunas curiosas representaciones o extrañas anomalías: Alegorías de la Geometría levitando entre las nubes, como si de la Virgen María se tratara, o una dama Aritmética con un gancho como utensilio simbólico. La Geometría que levita parece tener su origen en el Tarot de Mantenga, una mística baraja de cartas atribuida apócrifamente al gran pintor Andrea Mantenga y que tuvo cierta difusión durante el Renacimiento. La Geometría flota sobre una nube y dibuja u opera con un triángulo, un cuadrado y un círculo. La difusión cultural usará el grabado para expandir los modelos y de aquí que la Geometría del Tarot nos la hayamos encontrado en lugares tan alejados como el Cortile Vecchio del Palazzo Bo en Padua o el Mausoleo del obispo Hugues des Hazards en Blénod lès Toul. En la parte renacentista del rectorado de la Universidad de Padua, el Palacio Bo, donde están el Teatro Anatómico o la Cátedra de Galileo, se atraviesa un hermoso patio porticado. En la galería superior, las Artes Liberales y otras disciplinas están representadas en las basas externas de las columnas. La alegoría de la Geometría muestra el compás y las tres figuras planas tomadas del Tarot de Mantenga adquieren profundidad. La alegoría levita sobre una curiosa nube por la dificultad de representarla en piedra. Hugues des Hazards fue obispo de Toul a primeros del siglo XVI. Su mausoleo renacentista se debe al escultor loreno Mansuy Gauvin y se encuentra en la Iglesia de San Médard de Blénod lès Toul, su villa natal. La tumba del obispo Hugues sigue el modelo del sepulcro del Papa Sixto IV, recurriendo a la representación de las Artes Liberales como muestra de su cultura humanística y su interés por las ciencias. La disposición vertical recuerda al mausoleo de Ramón Llull en Palma. Al precioso monumento funerario no le quedan hoy restos de policromía pero si podemos encontrar alguna reproducción antigua que la pone de manifiesto, tal como apreciamos el detalle de la Aritmética, la Música y la Geometría que colocábamos en la portada de este escrito. La Geometría vuelve a levitar otra vez con su tabla donde están dibujados el triángulo, el círculo y el cuadrado. Blénod lès Toul apenas llega a los mil habitantes pero su iglesia alberga una de los más interesantes mausoleos renacentistas de Francia: las Artes Liberales mantienen su encanto más allá del gótico. Respecto a la alegoría de la Aritmética representada con un gancho, la encontraremos en los deliciosos frescos del Palacio Arese Borromeo de Cesano Maderno. El Palacio y Jardines Arese Borromeo pueden ser uno de los recuerdos más interesantes de la Monarquía Ibérica en el Milanesado. Tras un periodo de abandono, decadencia y ruina, la Citta di Cesano Maderno se hizo cargo del complejo monumental e inició en 1990 la restauración del edificio y el cuidado del parque. Los Arese Borromeo encarnan las virtudes de los buenos administradores y juristas al servicio del gobierno. Durante el periodo de la Casa de Austria española alcanzarán su mayor esplendor, llegando a presidir el parlamento, y obteniendo las mayores distinciones, entre otras las de Caballeros de Calatrava. Milán fue una pieza clave dentro del Imperio, especialmente desde el punto de vista técnico y militar. Los Arese reconstruyeron su Palazzo en la segunda mitad del siglo XVII. El programa decorativo estuvo prácticamente finalizado en 1671. La nobleza mantuvo durante el barroco la tradición renacentista de dedicar una zona de su residencia a la Sabiduría, las Artes y las Ciencias. En el Palazzo Arese Borromeeo se encuentran en una de las habitaciones más grandes y luminosas: la Galleria delle statue. Las siete Artes Liberales representadas en frescos que imitan estatuas, sombras incluidas, decoran la estancia. Pegadas al muro del patio están las Alegorías femeninas, enfrente los Sabios que las encarnan. La Aritmética se mantiene acompañada de Pitágoras. La Alegoría es muy especial e innovadora: aparte de la tablilla numérica tiene un gancho. La Aritmética engancha: buen mensaje aunque quizá no todo el mundo lo comparta. La única representación similar de la Aritmética que engancha la hemos encontrado en un grabado de finales del siglo XVI del pintor veronés Paolo Farinati, en un boceto para las pinturas murales de los palacios como el Giuliari, que hoy es propiedad de la Universidad de Verona.

Lunes, 04 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

64. 25. (Marzo 2016) Poliedros en los mausoleos ingleses

Los poliedros han sido una forma atractiva desde la noche de los tiempos. Platón en el Timeo atribuye a los cinco sólidos regulares convexos un significado cosmológico que aumenta  su atractivo estético. Los artistas y matemáticos del Renacimiento no podían sustraerse del encanto de los poliedros y encuentran en ellos una forma de ejercicio para practicar con la nueva perspectiva realista. Primero Piero della Francesca recupera los poliedros regulares y algunos arquimedianos, después Leonardo con sus ilustraciones para La divina proporción de Luca Pacioli amplia las formas, y Durero se sumará al grupo inventando su extraño poliedro. La atracción por los poliedros lleva a hacer habitual que durante el siglo XVI las portadas de los libros y los trabajos de taracea se decoren con poliedros sólidos o vacíos. Los libros de perspectiva los describen para uso de artistas y artesanos. Incluso la cerámica los incorpora en azulejos según los diseños del grabador Georg Penz. Una curiosa presencia de los poliedros la encontramos en los mausoleos ingleses de cortesanos, altos cargos y matemáticos durante el Renacimiento Isabelino. El atributo cosmológico de Platón vuelve para plasmarse en los memoriales que den eternidad a sus personajes. El mausoleo más espectacular es el de Sir Thomas Gorges (1536-1610), sobrino de Ana Bolena y persona muy influyente en su época. Este escrito está encabezado con su monumento funerario, que se encuentra en la Catedral de Salisbury. Las estatuas yacentes de Sir Thomas y su esposa se hallan dentro de un templete de columnas salomónicas coronado por alegorías y poliedros vacíos. Domina el conjunto un dodecaedro regular encima de una esfera: la quintaesencia y la eternidad de los cielos. Más abajo, tres icosaedros, en frente y laterales, y dos cuboctaedros arquimedianos en la frontal. Mausoleo de Sir Thomas Gorges. Catedral de Salisbury. Detalle frontal. Mausoleo de Sir Thomas Gorges. Catedral de Salisbury. Detalle lateral. Otro cortesano influyente de la corte isabelina con poliedros en su tumba fue Sir Anthony Ashley (†1627), llavero y delegado de la reina durante la ocupación de Cádiz, aunque después cayó en desgracia cuando le acusaron de malversación. El memorial de Sir Anthony y su esposa se encuentran en la parroquia de su señorío de Wimborne St Giles, en el suroeste de Inglaterra. Se trata de un vistoso mausoleo policromado y dorado. Solo se ha representado un poliedro arquimediano, un icosaedro truncado. Se trata de un poliedro muy conocido por usarse como base de balones de fútbol y que ha tomado un valor considerable con la nueva química del carbono, el fullereno C60, prometedor microenvase monocapa. Mausoleo de Sir Anthony Ashley . Parroquia de Wimborne St Giles. El poliedro se encuentra a los pies de la dama y puede servir de lámpara. Mausoleo de Sir Anthony Ashley . Parroquia de Wimborne St Giles .Detalle del poliedro. El memorial más fiel a los sólidos platónicos lo encontramos en la Iglesia de San Lorenzo de Reading y es el mausoleo del astrónomo y matemáticos John Blagrave (1561–1611). Alegorías femeninas sujetan los cinco poliedros dorados. Blagrave fue un matemático inglés formado en la Reading School y en el St John’s College de Oxford, si bien no acabó sus estudios. Editó varios libros astronómicos que le hicieron popular sobre el uso de instrumentos de posicionamiento y construcción de relojes solares, algo que refleja la figura central de su monumento. Mausoleo de John Blagrave. Iglesia de San Lorenzo, Reading. Detalle del dodecaedro. El Memorial es un arquetipo del interés místico matemático de los estudiosos y nobles ingleses por los poliedros regulares. Blagrave fallece por los mismos años en  que Kepler utiliza el modelo platónico del Timeo para explicar la separación de las órbitas planetarias. Después Kepler abandonaría su forzado modelo cosmológico y los sustituiría por las tres leyes que sirvieron a Newton para demostrar la gravitación. Mausoleo de John Blagrave. Iglesia de San Lorenzo, Reading. El Merton College de Oxford fue desde la alta Edad Media un centro matemático fundamental. Otro momento de esplendor lo vivirá durante el reinado de Isabel. El aristócrata renacentista Thomas Bodley es uno de los exponentes de la ilustración inglesa de la época isabelina. Este diplomático y universitario es hoy recordado por llevar su nombre la Bodleian Library de Oxford, la biblioteca cuya reforma acometió dándole un carácter avanzado. En la capilla del Merton College destaca el mausoleo de alabastro de Bodley, fallecido en 1613. Es de reseñar que este memorial conecta dos tradiciones: la representación de los poliedros y la de acompañar el sepulcro con las alegorías de las Artes Liberales. Reyes, nobles y eclesiásticos cubrieron su sepultura con representaciones de las Artes en toda Europa, pero el uso de los poliedros es casi un endemismo inglés del que estamos dando cuenta. La Aritmética, con tablilla numérica, se encuentra representada en la parte superior derecha del medallón, y la Geometría, con regla y compás, en la inferior izquierda. Las huellas del manierismo no pueden dejar de verse. En la esquina superior izquierda se ha colocado un octaedro truncado, sólido de Kelvin, el único sólido arquimediano que rellena el espacio. Al otro lado se encuentra una esfera armilar. Mausoleo de Thomas Bodley. Capilla del Merton College.  Oxford. Detalle. Mausoleo de Thomas Bodley. Capilla del Merton College. Oxford. Completamos el recorrido con una curiosa representación de los poliedros platónicos que se encontraba en la Biblioteca Bodleiana y que ahora se exhibe en el Museo de Historia de la Ciencia en Oxford. Los poliedros están tallados en alabastro y metal. Poliedros de la  Bodleian Library. Oxford.

Martes, 01 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

65. 24. (Febrero 2016) Melancolías Matemáticas

Bien han exagerado vuesas mercedes sus desgracias -dijo a esta sazón el matemático-; pero, al fin, el uno tiene libro que dirigir y el otro está en potencia propincua de sacar la piedra filosofal; más, ¿qué diré yo de la mía, que es tan sola que no tiene dónde arrimarse? Veinte y dos años ha que ando tras hallar el punto fijo, y aquí lo dejo y allí lo tomo; y, pareciéndome que ya lo he hallado y que no se me puede escapar en ninguna manera, cuando no me cato, me hallo tan lejos dél, que me admiro. Lo mismo me acaece con la cuadratura del círculo: que he llegado tan al remate de hallarla, que no sé ni puedo pensar cómo no la tengo ya en la faldriquera; y así, es mi pena semejable a las de Tántalo, que está cerca del fruto y muere de hambre, y propincuo al agua y perece de sed. Por momentos pienso dar en la coyuntura de la verdad, y por minutos me hallo tan lejos della, que vuelvo a subir el monte que acabé de bajar, con el canto de mi trabajo a cuestas, como otro nuevo Sísifo. Miguel de Cervantes en El coloquio de los perros Quizá sea Cervantes un buen introductor de la Melancolía Matemática y la plasmación de los desvelos en busca de las elusivas verdades que parecen alejarse por momentos. El grabado Melencolia I (1514) de Alberto Durero se puede incluir entre las obras que ha hecho correr más ríos de tinta y que más se han prestado a la especulación. La riqueza simbólica es de tal magnitud que podemos encontrar en ella múltiples interpretaciones. Pero en lo que todo el mundo está de acuerdo es el papel protagonista que Durero presta a la Matemática. Pretendemos en está Instantánea mostrar como la potencia simbólica de la Melancolía I generó toda una secuela de obras que mantenían los elementos geométricos como aspectos centrales de la alegoría, mas que insistir en una obra suficientemente conocida por nuestro gremio matemático. Los tratados matemáticos de Piero della Francesca marcaron el camino de los pintores del Renacimiento. Leonardo y Durero son los exponentes más destacados de esta tendencia: la pintura no se concibe sin matemáticas.  La obra geométrica de Durero se público en dos voluminosos tratados como Los cuatro libros sobre medición. Instrucciones de medición con compás y regla (1525) y Los cuatro libros de la proporción humana (1528) donde el pintor alemán muestra un nivel nada desdeñable, incluyendo el conocimiento de las Cónicas de Apolonio. El grabado saturnal de la Melancolia I presenta varios símbolos matemáticos muy directos: compás (elemento central), esfera, escuadra, romboedro truncado, angelote calculando y cuadrado mágico. Indirectamente se aprecian la balanza, el reloj solar, el reloj de arena y el arco iris. Se ha dado tantas vueltas interpretativas (especulativas) que sólo nos vamos fijar en algunas que tienen relación con los aspectos numéricos y geométricos. El número mágico, 34, del cuadrado se relaciona con las siete artes de la formación clásica y los siete peldaños de la escalera que hay que ascender en la senda del conocimiento. La proyección del romboedro truncado nos da la parrilla 4x4 del talismán de Júpiter. La fuerza visual de la imagen matemática de la Melancolía de Durero ha marcado la obra de otros artistas hasta nuestros días. Influencia que vamos a poner de manifiesto a través de los grabados de Beham Hans Sebald (1539) y Virgil Solis (c. 1550), y las pinturas de Georg Penz (1545), Matthias Gerung (1558), Domenico Feti (1618) y , ya en el siglo XX, Hans Erni (1979). La Melancolia (1539) (arriba) de Beham Hans Sebald toma de Durero el compás, la esfera, el reloj de arena y los instrumentos de trabajo como aplicaciones de la geometría.  La pose de la figura alada es similar pero mucho menos dramática. Del abigarrado conjunto simbólico de Durero se pasa a la extrema simplificación de Virgilio Solis: pose meditativa, el compás y dos animales alegóricos. Pasando a la pintura nos referiremos a la obra que encabeza la Instantánea, se trata de la Melancolia (1545) del pintor y grabador Georg Penz que se encuentra en el Palacio de Weißenstein. Se trata de una representación casi voluptuosa que conserva el compás mientras un frasco de la estantería en penumbras nos recuerda que estamos ante la bilis negra del humor melancólico. La imagen gana serenidad y pierde fuerza. Mucho más complejo es el cuadro La melancolía en el jardín de la vida (1558) de Matthias Gerung en el Karlsruhe Kunsthalle. La huella de Durero está muy marcada por el arco iris y el paisaje, pero el resto es un desarrollo de las actividades del hombre y no sólo las determinadas por el humor melancólico. La pintura es deliciosa por la descripción de la vida humana que sirve de marco a los dos elementos simbólicos centrales: la figura femenina central y el sabio con globo y compás del primer plano. Cambiando de siglo, el barroco Domenico Fetti también abordó el tema de la Melancolía en dos versiones, nos fijamos en la del Louvre (1618) porque no olvida señalar los estudios matemáticos aunque los oculta en la sombra: la esfera armilar apenas se insinúa, al igual que el reloj de arena. Terminamos el recorrido iconográfico con un detalle del gran mural Panta Rhei (1979) en Lucerna donde el pintor suizo Hans Erni plasmo toda la historia de la humanidad a través de la ciencia y los grandes pensadores: cuando llegamos al renacimiento las figuras notables son Gutemberg, Erasmo, Lutero, Copernico y Tycho Brahe pero entre ellos destaca el melancólico sólido de Durero.

Lunes, 01 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

66. 23. (Enero 2016) Matemáticas en el arte efímero: Festejos por el bautismo de Isabel de Hesse

Los esponsales, el nacimiento de una princesa o la visita de un rey a una población fueron durante siglos motivo de grandes fiestas, desfiles, torneos y de adornos monumentales de las ciudades. Se trata de arquitecturas y manifestaciones artísticas efímeras pero muy impactantes. Muchas veces la única constancia son las descripciones literarias de asombro y admiración ante los arcos triunfales y embellecimiento de la ciudad en festiva celebración. En algunos casos se hicieron ilustraciones y dibujos de calidad que dan idea del esfuerzo realizado en pro del boato y la exhibición. En circunstancias excepcionales se intenta perpetuar el efímero esfuerzo con deliciosos libros ilustrados que dan cuenta de lo especial del acontecimiento: estamos ante el caso de las festividades con motivo del bautismo de la Princesa Isabel de Hesse. La Biblioteca Estatal de Baviera (BSB) conserva dos bellos manuscritos profusamente ilustrados que describen las ocho festividades que organizó el landgrave Mauricio de Hesse (1572–1632) para celebrar el bautismo de su hija, Isabel de Hesse-Kassel (1596–1625), con cuatro días de fastuosos juegos, torneos y fuegos artificiales. No muchas veces tenemos hoy la oportunidad de ver a la Aritmética o la Geometría a caballo, desfilando, tal como nos las describen los libros ilustrados sobre los acontecimientos de agosto de 1596. El manuscrito de más calidad lleva por título Descripción del bautismo de la dama Isabel de Hesse y fue realizado dos años más tarde por el pintor, grabador y editor Wilhelm Dillich. Las bellas y ricas ilustraciones detallan sobre todo los trajes y las carrozas de las diversas festividades, con muchos de los asistentes vestidos como personajes históricos, alegóricos o mitológicos El trabajo de Dillich es de mucha calidad. A el pertenecen las imágenes anteriores. El otro manuscrito que también narra el acontecimiento, Descripción de las ocho festividades celebradas durante los juegos con motivo del bautismo de la princesa Isabel de Hesse, no tiene autor conocido. La menor calidad se compensa con adornos florales y las escenas se enmarca en un colorista recuadro. Los manuscritos detallan los trajes, adornos, carrozas y emblemas usados en las ocho escenografías que acompañan al acto central, Ringelrennen, un juego de habilidad, una variante tardía de los torneos medievales, que tuvo lugar el 27 de agosto de 1596. Cada festividad presenta un motivo alegórico o mitológico. Fueron usados 165 fantásticos trajes con finos detalles. Las ocho escenas que se presentan fueron: Jasón y Perseo Sobre los vicios Las cuatro estaciones Las hazañas de un verdadero príncipe El Sol y la Luna El juicio de Paris Sobre las siete artes liberales Sobre los cuatro continentes. En la escena séptima encontramos representadas como bellas amazonas a la Aritmética (con tablilla de números indoarábigos), la Geometría (con escuadra), y la Astronomía (con esfera armilar). No son las únicas partes de interés matemático. Nos parece interesante mostrar como en la escena de los continentes, personificaciones fantásticas de América, África, Asia y Europa, se muestra la alegoría de Europa como soberana y dominadora, en base a la sabiduria griega representada por una lanza terminada en esfera armilar. Resulta curiosa la representación de La Fortuna mediante un equilibrio inestable: ciega, desnuda, sujeta a vaivenes y apoyada en una esfera puede caer hacía cualquier lado. No podemos terminar el divertimento sin recordar la relación de los grandes matemáticos Descartes, Leibniz o Euler con las princesas alemanas. Los tres fueron tutores, prepararon lecciones y mantuvieron correspondencia con ellas. No parece que Isabel de Hesse se orientara a la matemática pero si lo hicieron Isabel del Palatinado (1618-1680) con Descartes, Sofía Carlota de Hannover (1668-1705) con Leibniz, y Carlota Ludovica de Branderburgo (1745-1808) con Euler.

Lunes, 11 de Enero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

67. 22. (Diciembre 2015) Los filósofos matemáticos de José Ribera

José Ribera, el pintor valenciano asentado en Nápoles, nos ha dejado una de las mejores colecciones (y más completa) de pinturas de matemáticos de la antigüedad. Además, será la iconología matemática lo que caracterizará la sabiduría de cualquier filósofo. El estudio de las matemáticas sirve como muestra de piedad y renuncia, como desprecio por las veleidades mundanas y los falsos placeres. Luca Giordano, su  prolífico discípulo, continuará la misma senda pero perdiendo en el camino algo de la serenidad que caracteriza las representaciones del artista de Xàtiva. Ribera se inspiró en las descripciones que hace Diógenes Laercio en sus Vidas opiniones y sentencias de los filósofos más ilustres. La característica común de todas las obras será muy grata al sentimiento barroco: tenebrismo, serenidad, pobreza, renuncia al mundo y… geometría. Se puede decir que los sabios del Españoleto son cínico-matemáticos: la geometría es fuente de paz interior e ingrediente de la renuncia. Como decía Séneca de Demócrito: pobreza con sabiduría es un divino compuesto, que todo lo tiene y de todo carece. También el ideal platónico es expresado con claridad: el mundo que percibimos es mero reflejo en los muros de la caverna, lo que cuenta es la perfección de las ideas. La matemática es iniciática en el platonismo. ¿Euclides? El Museo Paul Getty de Santa Mónica exhibe la excepcional  pintura de José Ribera que encabeza este escrito. Catalogada como El filósofo, la tela nos muestra a uno más de los sabios matemáticos que muestra de forma más ostentosa el objeto de sus estudios. En este caso el filósofo enseña un tratado griego de geometría donde apreciamos un pentágono cuasi-inscrito en una circunferencia. La figura que se vislumbra  puede ser la ilustración de la Proposición 14 del libro IV de Los elementos: circunscribir un círculo en un pentágono. Deducimos de ello que puede tratarse de Euclides. Ribera completaría así los retratos de los tres grandes de la matemática griega: Euclides, Arquímedes y Pitágoras. Aristóteles geómetra Los representantes del Príncipe de Liechtenstein abonaron en 1636 a José Ribera los derechos por las pinturas de doce filósofos. Se sabe que llegaron solo seis a su destino: Platón, Aristóteles, Anaxágoras, Diógenes, Protágoras y Crates. En 1957 se vendieron las obras y se repartieron por distintas colecciones y museos. Aristóteles, durante mucho tiempo fue llamado Arquímedes por sus dibujos e instrumento, se encuentra  en el Indianapolis Museum of Art, uno de esos enormes museos enciclopédicos de los EEUU. Se suele considerar a Aristóteles (firmada en 1637) como la mejor obra de la serie, equiparable quizá con el Demócrito (1630), antes también Arquímedes, del Museo del Prado. Ribera hace del gran filósofo de la antigüedad un matemático. Los dibujos geométricos apenas se vislumbran tras el papel blanco dispuesto para seguir los estudios. En este caso se ha pintando una escuadra en lugar de compás. Demócrito (antes Arquímedes) El Museo del Prado tiene varios sabios matemáticos de Ribera. El más conocido es Demócrito, el que nunca abandona la colección permanente por su excepcional calidad. Anteriormente el compás y los apuntes matemáticos lo convirtieron en Arquímedes. Parece que definitivamente, la sonrisa le caracteriza como el filósofo que ríe, uno de los atributos del fundador del atomismo. Como matemático, a Demócrito se le atribuye el factor un tercio para calcular el volumen de la pirámide o del cono. L a tela fue pintado en 1630 y es quizá la primera vez que el Españoleto opta con contundencia por el modelo de filósofo que parece más un mendigo con paz interior. Arquímedes (antes Aristóteles) Entre los fondos almacenados del Museo del Prado hay otra pintura de Ribera que llegó a llamarse Aristóteles y hoy se cataloga como Arquímedes. La confusión es normal porque salvo en contadas ocasiones el cuadro no contiene el nombre y sobre el simbolismo hay veces que no es fácil ponerse de acuerdo. En particular los libros de matemáticas son una característica general de la mayoría.  En este caso se trata de un libro abierto que contiene construcciones geométricas muy similares a la proposición 91 de libro X de Los elementos de Euclides. El sabio griego con compás en Tucson Hasta el Museo de Arte de la Universidad de Arizona en Tucson ha ido a parar uno de los filósofos matemáticos de José Ribera, el Españoleto. La copia del cuadro tenebrista no deja ver bien el compás, pero si los apuntes matemáticos. El filósofo de Ribera de Sintra Al subir una escalera de caracol en madera del Palacio Nacional de Sintra nos encontraremos con unas pequeñas estancias dedicadas a monjes, y en su acceso hallaremos este filósofo matemático que nos muestra la levedad de la vida con la mano en el reloj y la infinitud del saber en su trabajo matemático. La figura del primer plano de ese manuscrito tiene su historia, se trata de la proposición 17 del libro III de Los elementos de Euclides: trazar la tangente a una circunferencia desde un punto exterior. Curiosamente el procedimiento euclideo era menos simple y fue modificado en la edición del padre Clavius, en su escolio. El pintor de Xátiva parece utilizar la versión del jesuita. Pobreza, desprendimiento del mundo o éxtasis en el estudio  muestran una alternativa a la vanidad de las riquezas materiales y pseudonecesidades. Quizá la actualidad de Ribera sea mayor hoy que en su época. Pitágoras del Españoleto en Valencia El Museo de Bellas Artes de Valencia ha podido adquirir uno de los filósofos matemáticos del que quizá sea su pintor más universal. La tela está datada en 1630. Pitágoras no tiene más atributo que el libro con el escrito en latín: scientia numerorum. Anaxágoras Terminamos la selección con una pintura de la que no cabe duda en la atribución: su nombre aparece en los folios inferiores. Anaxágoras formaba parte de los seis filósofos del Príncipe de Liechtenstein y ahora pertenece a una colección privada. Anaxágoras es un buen testimonio  de como sabiduría y matemáticas están identificadas en la obra de Ribera: matemáticos son los libros, geométricos los apuntes.

Viernes, 04 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

68. 21. (Noviembre 2015) Matemáticas en La tabla de Cebes

La Tabla de Cebes es un texto moral griego del siglo I d.C. atribuido erróneamente al filósofo tebano discípulo de Sócrates. La Tabla fue muy utilizada en el mundo latino para la enseñanza conjunta del griego y la ética, por su sencillez y sus expresivas imágenes alegóricas. Con la llegada de la imprenta y el Renacimiento el Pinax o Tabula Cebetis se convirtió en una obra de gran éxito que alcanzó decenas de ediciones en griego, latín, lenguas vernáculas e incluso en árabe. La primera traducción al castellano (1532) de La Tabla se debe al matemático Juan Martínez Silício Población, medico de Francisco I, rey de Francia. Martínez Población ya había publicado una aritmética práctica y un tratado sobre el uso del astrolabio. Dos traducciones más se realizaron en el mismo siglo. La Tabla de Cebes es un diálogo alegórico de la vida humana. Un grupo de personas visita el templo de Saturno y encuentra una tabla pintada con tres recintos concéntricos amurallados, tal como muestra la pintura de Jan Sons del Museo Capodimonte de Nápoles (circa 1600). Un venerable viejo se acerca a los viajeros y se ofrece a contarles el significado de las imágenes. Una muchedumbre se agolpa en la puerta exterior donde aguarda un joven: - ¿No ves tú junto a la puerta aquella silla, precisamente en el sitio por donde  ha de pasar la multitud, y sentado en ella a un mancebo de muy buena presencia, de figura seductora, con un vaso en la mano? - Si que lo veo, pero, ¿quien es? - Este se llama el Engaño, porque no más dice mentiras para cautivar a todos los hombres. - ¿Y pues que diablos hace? - Brinda con un brebaje a cuantos entran en la vida. - ¿Qué brebaje es ése? - El brebaje del Error y la Ignorancia. … - ¿Y beben todos del error? - Todos beben: unos, más; otros, menos. Conforme se avanza por el interior se van mostrándose los distintos vicios que asolan a la humanidad. Resulta interesante que la fabula moral incluya las ciencias matemáticas en el segundo recinto, el de las falsas disciplinas, pero eso mismo nos permite disfrutar con deliciosas representaciones de los quehaceres matemáticos desde el punto de vista de la época.  Veamos lo que dice el texto: - Fuera de la muralla ¿no ves junto a la puerta, una mujer, de pie, al parecer muy aseada  y compuesta? - Si. - Llamanla Ciencia, la mayoría, la gente mas tonta;  pero no es otra cosa que la Falsa Ciencia. Cuantos escaparon antes al peligro, acuden primero a ella, teniéndola por la Verdadera. - ¿Y como es que no hay otro camino para llegar a ella? - ¡Vaya si le hay! - ¿Y esos hombres que dentro del recinto van y vienen, quiénes son? - Los enamorados de la falsa ciencia, gozosos en su error de creer que tratan con la verdadera. - ¿Como se llaman? - Llámenle poetas; oradores, otros; estos dialécticos; esos artistas;  esotros, aritméticos y geómetras; aquellos, astrólogos; tales sensualistas; cuales, peripatéticos; quienes,  críticos en fin. Otros muchos por el estilo, que todos se les asemejan. La imagen que encabeza la Instantánea corresponde a la representación de los matemáticos de un tapiz del XVI que se conserva en el Museo Metropolitano de Arte en Nueva York y que lleva el significativo título de El jardín del Falso Conocimiento. La disposición del tapiz se corresponde casi totalmente con la del cuadro de Jan Sons en Nápoles. Un geómetra realiza sus cálculos con un compás sobre la muralla, un astrónomo con compás utiliza un cuadrante y otro porta una esfera armilar y un geógrafo lleva un globo terrestre algo más al fondo. El aritmético opera con la tablilla numérica. No puede extrañarnos que La Tabla fuera recomendada por enemigos irreconciliables, tanto por los jesuitas como por la iglesia luterana. La tabla ponía la vida virtuosa como única ciencia verdadera y la más difícil de alcanzar. Reproducimos a continuación la porción de la pintura napolitana con los matemáticos que se corresponde con el tapiz inicial: Otra curiosidad en forma de metáfora matemática nos la encontramos en la representación de la Fortuna, que como es inestable se encuentra sobre una esfera: En contraposición, la Verdadera Ciencia se sienta sobre un cubo, símbolo de estabilidad y firmeza. La Tabla de Cebes fue también muy usada por los impresores para ilustrar muchos libros de diferentes autores que van desde el geógrafo Estrabón al humanista Erasmo. Algunos grandes artistas como Hans Holbein el Joven o  Ehhard Schoen fueron los encargados de hacer el diseño de los grabados. Reproducimos un detalle del segundo recinto del grabado de Schoen conservado en el British Museum. Un geómetra opera al lado del calculista que todavía maneja el ábaco para realizar las operaciones.  También en las Tablas de Cebes se observa la convivencia del algoritmo y el ábaco.

Lunes, 02 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

69. 20. (Octubre 2015) Taracea poliédrica alemana en España

El pintor y matemático Piero della Francesca en sus investigaciones sobre perspectiva fue el encargado de llamar la atención sobre los poliedros tanto platónicos como arquimedianos para ejercitar el arte de la representación. A continuación fueron las ilustraciones de Leonardo para De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli las que ofrecerán un material que no pasará desapercibido a los Maestros de Perspectiva, como se llegó a llamar a los intarsiatori del Renacimiento italiano. El arte de la intarsia prospectiva que había alcanzado la perfección en Italia en la primera mitad del siglo XVI va a pasar el relevo a las ciudades alemanas de Nuremberg y Augsburgo en la segunda mitad del siglo, justamente en los momentos álgidos del imperio de Felipe II. La taracea alemana incorporará más colores pero no renunciará a los poliedros, si bien los mezclara con formas más retorcidas y sofisticadas. El diseñador que aportara una rica variedad de dibujos será Lorenz Stöer cuyo libro Geometría y perspectiva fue publicado en Augsburgo en 1567. Muchos diseños quedaron inéditos pero circularon con profusión. En España tenemos dos espléndidas muestras de la marquetería poliédrica alemana: las Puertas Alemanas del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial y el Escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao. Las Puertas Alemanas del Monasterio de El Escorial Felipe II encargó a los talleres de Bartolomé Weisshaupt de Augsburgo varias puertas monumentales. El encargado de traer los muebles artísticos de Alemania fue Jeremías Jamnitzer, un hijo de Wentzel, el orfebre de Nuremberg autor de Perspectiva corporum regularium, un tratado sobre tallado de los cinco sólidos platónicos. Las puertas ocupan el interior y el exterior de dos grandes salas, la de Embajadores y la Antecámara. Las más matemáticas al modo de Stöer son las dos de la Sala de Espera. Juan de Herrera nos muestra todo su lulismo en su Discurso sobre la figura cúbica. El cubo es la referencia para el arquitecto matemático. El Monasterio de San Lorenzo de El Escorial tiene un cubo en el lugar más destacado: el asiento de Dios en el gran fresco de Luca Cambiaso de la bóveda de la Iglesia del Monasterio. El cubo está implícito en múltiples lugares, como en la cenefa de una de las puertas, pero curiosamente no es el poliedro más representado en el Monasterio-Palacio-Panteón-Biblioteca: el icosidodecaedro se representa cuatro veces. Podemos encontrar los sólidos platónicos en tres lugares: biblioteca, iglesia y palacio. En las Puertas de Taracea de Augsburgo también se representan sólidos arquimedianos, destacando tres icosidodecaedros sólidos y uno más con las aristas resaltadas. El icosidodecaedro es uno de los seis (de trece) sólidos arquimedianos cuya perspectiva dibuja  Leonardo para La divina proporción de Pacioli. Sin embargo los intarsiatori italianos no le prestaron demasiada atención. Solo lo hemos encontrado en un panel de Fra Damiano en Bolonia y que, además, es seguramente un trabajo de aprendizaje de su taller. En cambio Fra Giovanni alcanza la perfección cuando muestra la forma estrellada del icosidodecaedro vacío en Verona y en Santa María del Monte Oliveto. El éxito del icosidodecaedro en Alemania fue debido a las múltiples láminas de Lorenz Stöer. En el escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao aparece tres veces y cuatro en el Monasterio de San Lorenzo: dos veces en la cenefa de la puerta este de la Antecámara y las otras dos en la puerta oeste. La forma híbrida de sólido/vacío apenas puede verse pues hay que mirar por detrás. Quien esperara audiencia con Felipe II se encontraba bien guardado por el icosidodecaedro. El Escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao El Museo de Bellas Artes de Bilbao exhibe -tras su reciente restauración- un escritorio (similar al bargueño español) de taracea realizado en Augsburgo en la segunda mitad del siglo XVI. La marquetería alemana supera a la italiana en policromía y comparte con ella la fuerte presencia de la perspectiva con la representación de los sólidos, los platónicos y sus variantes. El escritorio bilbaíno pone de manifiesto la gran influencia de la perspectiva de Stöer de forma más palmaria que las puertas de El Escorial: todas las representaciones están tomadas de su obra. El frontal representa las artes liberales pero lo más interesante es lo que no suele verse por estar cerrado, solo suele ser visible la taracea de los laterales, interior, superior y mesa suelen estar ocultos. La cubierta apenas es visible, aún de puntillas. Sería bueno que el escritorio se expusiera abierto, o por lo menos con alguna lámina de su interesante interior. En la puerta interior observamos un dodecaedro, un icosaedro, un dodecaedro truncado (icosidodecaedro arquimediano), un intersecado o maclado de tetraedros (octaedro estrellado) y un cubo cruzado. El cajón inferior albergaba una tabla para servir de atril y es una verdadera sinfonía del cubo. Solo nos falta el dodecaedro rómbico para que el placer sea completo. Se representan sólidos platónicos y arquimedianos pero no de Catalá. La taracea italiana renacentista es heredera de los dibujos de Leonardo para La Divina proporción y sorprende que no aparezca el cubo truncado. Stöer no se olvida de él y lo representa tanto sólido como vacío. Hasta siete figuras relacionadas con el cubo nos encontramos en el atril: dos cubos vacíos, un cuboctaedro sólido, un rombicuboctaedro sólido, un cubo truncado hueco con vaciado de círculos en las caras octogonales y un cubo truncado sólido. El séptimo es una de las figuras que más aparece en el mueble: el octaedro estrellado o macla de dos tetraedros. La relación con el cubo se debe a que si unimos dos lo que nos aparece es el cuboctaedro. Estamos ante la representación del óptimo de apilamiento de esferas: el sistema cúbico centrado en las caras o conjetura (hoy teorema) de Kepler. La tapa superior tiene representados el icosidodecaedro y el octaedro estrellado destacando su geometría entre motivos florales. El motivo del fondo oculto del escritorio, como lo más escondido, es otra vez el icosidodecaedro. El número 5 del Boletín del Museo contiene un documentado y muy recomendable estudio de María Paz Aguiló sobre tan importante pieza.

Lunes, 05 de Octubre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

70. 19. (Septiembre 2015) Taracea marmórea veneciana

La taracea con piedras duras y mármoles multicolores para decorar suelos y paredes es de tradición romana: opus sectile era su nombre. Desde el siglo XII se recupera en Italia la actividad: el marmolista Laurentius y más tarde los Cosmati recortan teselas poligonales para insertarlas formando diversos dibujos geométricos. La recuperación de la antigüedad durante Renacimiento relanzó una actividad que nunca había llegad a desaparecer del todo. A suelos y paredes siguen mesas y altares. La taracea marmórea recibe el nombre de commesso en las ciudades italianas pletóricas de actividad artística. En Venecia vamos a encontrar algunas taraceas poliédricas de mucho interés: los pequeños y grandes dodecaedros de San Marcos y San Pantaleón. En el suelo del Duomo de San Marcos en Venecia, cerca de las puertas, se encuentra la afamada intarsia marmorea atribuida a Paolo Ucello: la proyección del pequeño dodecaedro estrellado. La impresionante imagen encabeza esta instantánea. Ucello fue un pintor muy preocupado y cuidadoso con la perspectiva. Sus pinturas de batallas son modelos de escorzos; y su deleite al pintar mazzochios refuerzan ese carácter de pintor aplicado en la nueva perspectiva matemática del Quattrocento. Sin embargo es poco verosímil que el dodecaedro estrellado de la puerta de salida haya sido diseñado por el pintor. La introducción teórica de los poliedros regulares cóncavos se debe a Kepler, y más tarde fueron completados por Poinsot. La atribución a Ucello adelantaría 150 años la construcción. En todo caso, los diseños del orfebre Wentzel Jamnitzer son medio siglo anteriores a Kepler. La existencia en Venecia de otras representaciones del gran dodecaedro parece confirmar el carácter tardío de la taracea. La fecha más viable de construcción sería finales del siglo XVII o inicios del XVIII. El pequeño dodecaedro estrellado del pavimento de la puerta de salida derecha del duomo de San Marcos no es el único de la catedral veneciana: apenas visible para la visita ordinaria hay otro más pequeño, justo debajo del iconostasio en su centro, en lugar preferente y en línea con el altar. Si se entra hacia la Pala de Oro puede verse una mancha central en la lejanía pero casi sin distinguirse. El sólido regular cóncavo no desmerece de su hermano mayor, si cabe revela mayor virtuosismo y ostentación del dominio de la perspectiva matemática. De los cuatro sólidos regulares cóncavos, los dos de Poinsot y los dos de Kepler. Venecia nos ofrece los dos últimos en San Pantaleón y uno en San Marcos pero en dos lugares, uno alejado para despedirse del templo y otro en el lugar más destacado: la entrada central al recinto más sagrado. El dodecaedro estrellado de la puerta (abajo) solo tiene una corona de taracea marmórea complementaria mientras que el del iconostasio (arriba) tiene tres. Menos conocidos que el pequeño dodecaedro estrellado de la salida de San Marcos, la iglesia de San Pantaleone tiene cuatro dodecaedros regulares cóncavos de Kepler en el pavimento de la capilla del santo: dos pequeños dodecaedros estrellados y dos grandes dodecaedros estrellados. Lamentablemente estos últimos han quedado parcialmente tapados por una barandilla de balaustrada construida sin respeto por encima de ellos. Los sólidos de taracea marmórea se disponen de forma que ocupan las partes centrales de la capilla, mientras que en las esquinas se dibuja una pirámide truncada. Los gran-dodecaedros están en los laterales y por eso han quedado tapados por el balaustre levantado posteriormente. Es posible que San Pantalón (forma coloquial veneciana) nos arroje algo de luz sobre la datación de los dodecaedros: la inscripción central permite situar el pavimento en 1707. La fecha es mucho más razonable que la atribución a Paolo Uccello del conocido de San Marcos. Es muy probable que ambos pavimentos provengan del mismo taller. No es mala forma de empezar la visita a Venecia por esta iglesia dada su cercanía a la Plaza Roma, Santa Lucia y el nuevo puente de Calatrava. San Pantaleón es una modesta iglesia y no suele aparecer en las guías resumidas para hacer una visita esencial, aún teniendo uno de los techos más impresionantes de la ciudad. Taracea marmórea prospectiva en San Marcos de Venecia En el pavimento de San Marcos no solo encontramos los dos pequeños dodecaedros estrellados de Kepler que ya hemos reseñado, también podemos contemplar lo que podemos clasificar como un auténtico catalogo de ilusiones ópticas de profundidad. En el crucero menor, mirando el altar a nuestra derecha, por donde se visita la Pala de Oro, es donde se concentran una decena de magnificas taraceas marmóreas geométricas, una variedad similar a las del claustro de Santa María del Monte Oliveto. Mientras las de Siena son pinturas al fresco, las de San Marcos son taraceas realizadas por un virtuoso artesano. Solo reproducimos algunas como muestra de la variedad de formas: los hexágonos encadenados, la rejilla en blanco y negro o los prismas rectangulares huecos.

Miércoles, 02 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico