71. 18. (Junio 2015) La dactilonomía en el arte

La imagen que encabeza esta instantánea sobre la dactilonomía, el antiguo sistema de cómputo digital, procede del Palacio Trinci de Foligno; el fresco se atribuye a Gentile de Fabriano y fue pintado hacia 1412. La alegoría de la Aritmética desde su trono enseña a un joven el arte de contar con los dedos de las manos. Con la derecha marcan mil y con la izquierda cuarenta. El triunfo del sistema de numeración de base diez se debe a la posibilidad de utilizar los dedos para contar y operar. Desde oriente a occidente se recogen numerosos testimonios escritos y gráficos sobre la práctica de contar con las manos. El cómputo digital romano fue bastante sofisticado y todavía estuvo muy presente tanto en el medievo como en los inicios del Renacimiento, tal como vemos en las imágenes alegóricas de la Aritmética y las obras publicadas. Los romanos hacían amplio uso para contar de los dedos de las manos. Hay numerosos restos arqueológicos de téseras, pequeñas fichas de hueso que eran usadas a modo de recibo. Fichas que por un lado llevaban la cifra romana y por el otro la figura digital. De igual forma existen abundantes citas literarias latinas como las de Plauto, Juvenal, Cicerón, Ovidio,  Apuleyo, o Qintiliano. En fuentes cristianas la descripción más antigua conocida del sistema de cómputo digital procede del Liber de computo de San Cirilo de Alejandría (c. 376-444). San Isidoro de Sevilla lo reproducirá en sus Etimologías. Ahora bien, la obra más influyente y que no dejó de reproducirse durante la Edad Media fue De ratione temporum del monje Beda el Venerable (672 – 735), cuyo primer capítulo, Sobre la cuenta o lenguaje de dedos, daba un sistema completa hasta el millón. El sistema del monje irlandés hacía uso de la mano izquierda para los números del 1 al 90 y de la derecha (sus simétricos) para los que van del 100 al 9000, tal como vemos reproducida en la Summa de Aritmética (1494) de Fra Luca Pacioli de la ilustración inferior sin color. La otra imagen colorista procede de un manuscrito miniado de Rabano Mauro (siglo IX) En obras tan tardías como el Theatrum Arithmetico Geometricum (Liepzig, 1724) de Jacob Leupold (1674-1727) todavía se ilustra el sistema de Beda el Venerable. El arte alto medieval y renacentista italiano tiende a representar la alegoría de la Aritmética haciendo uso del cálculo digital coexistiendo con el ábaco y el algoritmo indo-arábigo. Las más numerosas muestras de alegorías de la Aritmética usando exclusivamente el cómputo digital nos las ofrecen los bajorrelieves de la Familia Pisano en Florencia, Pisa, Siena o Perugia. Reproducimos como muestra el panel de la Fontana Maggiore de Perugia de iconografía similar a la de Foligno: la dama enseña al joven el arte de contar. Durante largo tiempo se usa una representación híbrida: con una mano se opera con los dedos y con la otra se sujeta una tablilla de números arábigos. Son muchas las imágenes de este tipo por lo que reproducimos solo algunas de las significativas. Empezamos con un detalle de las Siete Artes Liberales de Giovanni di Ser Giovanni «Lo Scheggia» que se encuentra en el Museo de Arte de Catalunya. Debajo de la Aritmética se encuentra Pitágoras. De las mismas características es la representación de Andrea di Bonaiuto en la Capilla de los Españoles de Santa María Novella en Florencia, obra acabada en 1365. La obra ensalza la orden de los Dominicos, situando a Santo Tomás de Aquino en la cima de la sabiduría y la teología. Una forma muy bella y menos estática que utiliza el mismo motivo mixto de cálculo digital y algorítmico es el fresco de Sandro Botticelli para la Villa Lemmi de Florencia, que hoy se exhibe en el Museo del Louvre. La Aritmética es la que se encuentra inmediatamente a la derecha de la más elevada (Filosofía). Su mano derecha calcula mientras la tablilla descansa a su izquierda. La tablilla y el gesto de operar con los dedos se encuentran también en un sitio emblemático, el templete enrejado de la Plaza del Palio en Siena. Un siglo más tarde, ya en la época manierista,  Pellegrino Tibaldí decora la parte central de la Biblioteca del Monasterio Palacio de San Lorenzo de El Escorial con una majestuosa Aritmética híbrida.

Lunes, 08 de Junio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

72. 17. (Mayo 2015) Arte y ciencia en las Galerías de Pintura

Durante el renacimiento se inició el coleccionismo moderno poniendo en marcha la clasificación y la ordenación, actividades imprescindibles para iniciar ciencias como la Biología o la Geología. La Matemática y la Física superarán en este periodo el legado clásico. Los coleccionistas de curiosidades crean también una acaudalada clase de marchantes. Entre unos y otros apreciamos como las ciencias se van introduciendo en la sociedad. El XVII es el siglo de la revolución científica. La pintura tenía que ponerlo de manifiesto. En esta instantánea vamos a ver como la pintura se ensalza a sí misma uniendo su actividad a la nueva ciencia matemática. Las Galerías de Arte serán también laboratorios de investigación. Dos antecedentes de las Galerías que veremos posteriormente se encuentran en el Museo del Prado. Los dos son de  Jan Brueghel el Viejo, el pintor de terciopelo por su detallismo, con figuras atribuidas a Rubens. Ambos son cuadros abigarrados que nos deja constancia de muchos instrumentos geométricos y astronómicos. Se trata de dos Alegorías de la Vista. La primera alegoría es original y fue pintada en 1617. Vemos a Venus con Cupido rodeados de instrumentos matemáticos y astronómicos. Destaca un telescopio en primer plano a los pies de las figuras. La importancia de testimonio ha sido señalada: solo ocho años han pasado desde que Galileo enfocara sus lentes hacía los astros. La otra pintura es una copia de la época pues el original se quemo en uno de los incendios de El Alcázar. Se trata de una Alegoría de la vista y el olfato de 1620. De Brueghel (1568 - 1625) pasamos a Willem van Haecht (1593 – 1637), el pintor que servirá de modelo a toda una saga. En el Museo Rubenshuis de Amberes se encuentra la Galería del marchante Cornelis van der Geest, quien recibe la visita de los archiduques de Flandes, Isabel Clara Eugenia y Alberto, que van acompañados por Rubens. Estamos ante una pintura de pinturas realizada en 1628 a la que Van Haecht incorpora los instrumentos matemáticos y un grupo de sabios realizando cálculos sobre una esfera terrestre. La figura con compás enseñando a otras personas pone de manifiesto no solo la formación matemática, también su importancia práctica para la navegación y la astronomía. El grupo que vemos a nuestra derecha se va colocando de forma similar en otras pinturas. El mismo Van Haecht construye en 1630 una escena similar representando al pintor griego Apeles que se encuentra el Museo Mauritshuis de La Haya.  Mostramos el detalle inferior. El matemático del compás está ahora a nuestra izquierda. En Escocia se encuentra una tercera pintura de Van Haecht que vuelve a situar la escena de investigación a la izquierda. Ahora con la mirada atenta de una figura de atuendo musulmán. Avanzado el siglo y otra vez en el Museo del Prado encontramos la representación de la Galería como centro de investigación y debate matemático. Ahora de la mano de Adrien van Stalbent (1580 – 1662). La pintura de Stalbent reduce las pinturas y muestra dos zonas de investigación que nos dan idea clara del desarrollo científico en la era de su Revolución. El cuadro se llama Las ciencias y las Artes, (c 1650) Galerías, vanidades, bibliotecas y estudiolos son lugares privilegiados para plasmar en la pintura todo tipo de objetos y personajes matemáticos. Las Galerías no solo nos permiten localizar obras de interés, también son protomuseos que dan cuenta de la inquietud renacentista, continuada en el barroco, de unir ciencias y artes. Terminamos la selección con otro artista flamenco, Cornelis de Baellieur (1607-1671), que fue tanto pintor como comerciante de arte; una forma de unir sus dos ocupaciones es representar la Galería de objetos de arte del Museo del Palacio Ducal de Dijon.

Lunes, 04 de Mayo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

73. 16. (Abril 2015) Gnomónica catóptrica barroca

El año en curso, 2015, ha sido declarado Año Internacional de la Luz en la 68º asamblea general de las Naciones Unidas. Las efemérides históricas que se han contemplan son tanto el milenio (aproximado) del Libro de óptica de Alhacén como los 150 años de la publicación de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field de J. Clerk Maxwell. Aristóteles ya consideraba la Óptica como una de las partes de la matemática aplicada junto con la astronomía o la agrimensura. Los primeros tratados geométricos conservados sobre la luz se deben a Euclides y a Ptolomeo que sentarán las bases de la óptica de rayos. La Europa medieval, Roger Bacon y Witelo, recuperará la óptica matemática a través del tratado árabe de Alhacén. La perspectiva renacentista hará uso de estas teorías aplicándolas al arte. Después Kepler, Descartes, Huygens y Newton darán paso a la Óptica moderna. Una curiosa aplicación de la catóptrica, teoría de la reflexión de la luz en un espejo, nos la ofrecen los espectaculares relojes solares astronómicos “de techo”, de los que se han conservado tres soberbios ejemplares, dos en Roma y uno en Grenoble. La luz reflejada en un pequeño espejo horizontal tiene la ventaja de verse en los techos interiores de los pórticos lo que facilita mucho la lectura. Se considera que el primer constructor de un reloj solar catóptrico fue Copernico en el castillo teutón de Olsztyn. Los primeros libros que tratan de estos relojes son la Compendiosa Introdvctione alla prima parte della specvlaria de Rafael Mirami, editado en Ferrara (1582), y la Demostratio et construtio horologiorvm novorvm de Giorgio Schombergero, editado en Friburgo (1622). El tratado de Atanasius Kircher Cuando los relojes catóptricos alcanzan otra dimensión es con el tratado Primitiae gnomonicae catoptricae (1635) del jesuita Atanasius Kircher y que fue editado en Avignon. Se trata de una obra realizada al modo euclídeo con sus proporciones, demostraciones, lemas, corolarios y escolios. El propio Kircher construyó un reloj en Avignon que hoy ha desaparecido pero del que da cuenta el frontispicio de la obra que se ha ilustrado e el encabezamiento de esta Instantánea. El diseño de los relojes de reflexión no es difícil desde el punto de vista teórico pues la ciencia astronómica estaba muy avanzada desde la antigüedad. Lo que no impide que los resultados sean muy espectaculares pues se trata de encontrar las líneas de intersección del plano de la luz con superficies abovedadas o porticadas. El virtuosismo de Emmanuel Maignan Roma conserva dos deliciosos relojes solares catóptricos, uno en el convento de la Trinitá dei Monti (parte superior de la escalinata de la Plaza de España) y otro en la Galería del Palazzo Spada, ambos construidos por el padre Emmanuel Maignan (Toulouse, 1601, 1676) de la orden de los Mínimos. Maignan construyó sus relojes en 1637 y 1646. Fruto de su experiencia fue el detallado y práctico tratado  Perspectiva horaria sive de horographia gnomonica tum theoretica tum practica publicado en Roma (1648). La  Perspectiva horaria es también un libro construido al modo euclídeo pero que contiene muchas y detalladas láminas que muestran los instrumentos de los que se vale Maignan para trazar las líneas de sus relojes catóptricos.  Merece la pena mirarlo pues el libro es muy accesible a través de google books. Reproducimos como ejemplo una de las láminas: El reloj catóptrico de la Trinitá dei Monti en Roma El reloj astronómico ocupa la logia orientada al sur de la primera planta del claustro conventual. Los dos transversales tienen frescos con dos espectaculares anamorfosis. Una pequeña apertura con un espejito horizontal dirige  los rayos solares a la bóveda o a la pared opuesta. Las imágenes hablan por sí mismas. El reloj catóptrico del Palazzo Spada en Roma El Cardenal Spada pertenecía a la Orden de los Mínimos y por ello contó con Maignan para la construcción de su reloj en 1646. Al virtuosismo de su construcción se añaden frescos que realzan el conjunto de la galería. Las alegorías de la Geometría, la Aritmética y la Astronomía colaborando con la Gnómica fueron usadas dos años más tarde como grabado en Perspectiva horaria. El reloj catóptrico de Bonfa en el Liceo Stendhal de Grenoble El actual Liceo Stendhal de Grenoble, que sigue en funcionamiento, fue en tiempos un colegio jesuita, hasta su expulsión de Francia. Allí trabajó como matemático el padre Jean Bonfa que construyó en 1673 un reloj catóptrico de doble espejo y que añade la relación de los movimientos solares, con los que se rige el calendario civil, con los lunares que marcan algunas fiestas religiosas. El reloj ocupa la escalera entre la primera y segunda planta, y parte de las galerías; contiene además de las líneas, numerosas tablas que relacionan las medidas con otros cálculos. Para saber más Catamo, Mario. La meridiana di Palazzo Spada a Roma. Gnomica italiana. Junio 2005 Severino, Nicola. La meridiana a riflessione fu inventata da Raffaele Mirami? 2007 VVAA. L´Horloge solaire du lycée Stendhal.1984

Jueves, 09 de Abril de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

74. 15. (Marzo 2015) Matemática en vidrio

La extensión del estilo gótico por la Europa Medieval permitió la construcción de iglesias muy luminosas con grandes rosetones y ventanales que se llenaron de coloristas vitrales. La representación de las Artes Liberales no podía faltar en las majestuosas vidrieras, y así el frágil vidrio también sirve de soporte a las alegorías de la Aritmética y la Geometría. Pasaremos revista a algunas de ellas. La vidriera de la Aritmética que mostramos más arriba es la más antigua de la selección, data de los siglos XIII-XIV. Se encuentra en la Catedral de León. En el intento de hacer compatible fe y razón, y para manifestar la grandeza y el poder de Dios, era frecuente decorar las grandes catedrales del Medievo –en especial si había centros de estudio episcopales, con las artes liberales. Es una pena que ésta preciosa vidriera no se aprecie sin prismáticos. Se encuentra en la parte más alta del lateral izquierdo. Las letras son vidriadas y no pintadas. La vidriera representa a unos monjes o novicios realizando cálculos, y no la alegoría de una bella dama tal como la describe Marciano Capella. Al igual que en Burgos, se insiste más en la docencia que en las alegorías tradicionales. El atributo habitual en ésta época eran los ábacos o el movimiento de manos y la tablilla de números tras extenderse el algoritmo de las cifras indo-árabes. Las siguientes vidrieras si representan a las nobles damas realizando su actividad matemática. Las alegorías pertenecieron a la Biblioteca Capitular de la Catedral de Chartres, hoy capilla de San Piato. Lamentablemente fueron destruidas en 1906 y hemos de conformarnos con sus reproducciones.  Son imágenes diseñadas en los inicios del siglo XV. La Alegoría de la Aritmética lleva ya la tablilla de números que curiosamente, como en el Códice de Albelda, aparecen escritos de derecha a izquierda, al modo árabe. El rico vestido parece conservar algún número bordado tal como escribía Capella que debía ser el atuendo. La Alegoría de la Geometría es la clásica de escuadra y gran compás. Otra gran catedral con vidrieras de las Artes Liberales es Laon. Se trata de una construcción moderna. En 1870 se produjo una enorme explosión de pólvora en Nuestra Señora de Laon que reduce a polvo casi todas sus vidrieras. Reconstruidas con cierto cuidado vuelven a adornar la hermosa catedral, una de las primeras góticas de Francia. Las alegorías de las artes liberales de Marciano Capella son también uno de sus motivos decorativos y didácticos. La Aritmética aparece con cuentas en los dedos, para realizar los cálculos, mientras que la Geometría se nos muestra con su compás trazando dibujos. Las dovelas de uno de los dos grandes ventanales de Laon, el de la derecha, si conserva en piedra sus preciosas figuras originales. Del Renacimiento, ya Manierismo, conservamos un bonito dibujo sobre vidrio que se encuentra en el recientemente reabierto Rijksmuseum y nos presenta la Geometría de Frans Floris en un panel retroiluminado, rodeada de imágenes bíblicas y mitológicas. Floris fue un pintor manierista flamenco que nos ha dejado toda una estela de pinturas y dibujos alegóricos de las Artes Liberales. El grabador Cornelius Cort se encargó de popularizar mediante la imprenta esas potentes imágenes, y así las podemos encontrar en sitios diversos y sobre distintos materiales. En este caso sobre vidrio los efectos son bastante espectaculares. La Geometría aparece enseñando su arte mediante un compás y un globo aunque otros instrumentos se encuentran en el suelo. Los alumnos son artesanos maduros, ya no tiene nada que ver con la enseñanza medieval dirigida a los nobles. El pueblo llano se apropia del saber científico y las artes se democratizan. También el Gran Hall de la planta noble del Rijksmuseum, que da acceso a la Galería de Honor, donde se exhiben los Rembrandt y los Vermeer, está decorado con frescos y vidrieras con notable presencia matemática, destacando su valor y su relación con las artes. En 1885 se inauguró en Ámsterdam el gran edificio que hoy alberga el Museo del Reino: un palacete neogótico y neorrenacentista del arquitecto Pierre Cuypers. La edificación ha sido recientemente renovada por el estudio sevillano de Cruz y Ortiz. Las vidrieras son, pues, del siglo XIX. Hasta siete grandes vitrales hacen alusión a las matemáticas, su uso y sus instrumentos. Destacamos el que hace referencia a la enseñanza de la geometría, un vitral que está encima de Platón y que parece recordarnos el celebre frontispicio de la Academia: no entre aquí quien no sepa Geometría. Un maestro con un compás enseña geometría a un joven bajo la atenta mirada del filosofo Platón. Terminamos el recorrido iconográfico con una vidriera del siglo XX. Las construcciones historicistas de finales del siglo XIX e inicios del XX quieren recuperar esa majestuosidad construyendo obras imitativas como la del Memorial Knowles (1932). Lo que nos interesa de esta iglesia es el vitral de su gran rosetón con la Sabiduría rodeada de las Artes Liberales, que son sus siete pilares según dice la inscripción. El quadrivium se encuentra a la derecha. La Aritmética se representa con un ábaco y la Geometría con un compás y un globo terráqueo. La epigrafía superior sentencia que Es mejor sabiduría que fuerza. El Memorial es una iglesia catalogada como monumento que se encuentra en Winter Park, un paradisíaco lugar a orillas del Lago Virginia, al nordeste de Orlando, Florida. El Memorial sirve de Capilla para el Rollins College que, fundado en 1885, es la institución universitaria más antigua de Florida. Otras universidades americanas tiene vitrales con las Artes pero el de Winter Park es una buena muestra y quizá el que más copia a los medievales. Una excursión sobre vidrio y matemáticas quedaría muy incompleta sin hacer referencia a una de las más deliciosas Novelas Ejemplares de Cervantes: El Licenciado Vidriera. Y más si estamos en el año del centenario de la segunda parte del Ingenioso Hidalgo. El licenciado es un personaje de vidrio, frágil, que no le impide conocer el arte de la espada, que resulta ser una disciplina matemática al modo de Euclides: "tocaban algo en presuntuosos, pues querían reducir [la esgrima] a demostraciones matemáticas que son infalibles los movimientos y pensamientos coléricos de sus contrarios"

Viernes, 06 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

75. 14. (Febrero 2015) Los tapices matemáticos de Cornelis Schut en España

La decoración con tapices de palacios e iglesias era costumbre generalizada entre la nobleza y el clero. Lo que hoy aparece como un gran espacio desnudo podía ser cubierto por tapices. Los grandes talleres del norte de Francia (Arras) se van desplazando hacia la actual Bélgica, primero a Tournai y después a Bruselas, que ya desde el siglo XVI domina la producción de tapices de alta calidad. La vinculación de Flandes a la corona española y su comercio con Castilla hace que en la Península Ibérica encontremos numerosos y ricos tapices, tanto pertenecientes al Patrimonio Nacional, las diócesis o la casas nobiliarias. Desde los primeras importaciones no han faltado los tapices de iconografía matemática. Múltiples representaciones de las Artes Liberales se pueden encontrar tanto como motivo principal o en las cenefas de tapices de contenido religioso o mitológico. Las razones de la presencia de la matemática, de las artes en general, hay que buscarlas en su vinculación con el buen gobierno y con el deseo de la iglesia de unir fe y sabiduría. En el Museo Diocesano de Tarragona, en el Palacio de La Granja y en el Museo de Santa Cruz de Toledo encontraremos bellos ejemplos de esa tendencia. Ya daremos cuenta de ellos pues por ahora vamos a exponer la serie más completa que pueda encontrarse en un único país: las cuatro series de tapices del siglo XVII con Alegorías de las Artes Liberales que usaron los cartones del pintor barroco flamenco Cornelis Schut (1597-1655). El prolífico y multifacético Schut fue el discípulo más original de Rubens y suele ser considerado como un rococó antes de tiempo, tras viajar a Roma y acusar su influencia. El pintor vivió unos años en España pero no debe confundirse con otro del mismo nombre  (”el joven”) que muere en Sevilla. Las cuatro series localizadas en España gozan además de un rico anecdotario por sus peripecias. Cada serie consta de ocho tapices: el Cuadrivium (la Aritmética, la Geometría, la Música y la Astronomía), el Trivium (la Lógica, la Retórica y la Dialéctica) y la Apoteosis de las Artes (con las siete). No todas están completas, y algunas tienen un lamentable estado de conservación, pero son sin duda un conjunto impresionante. Tres de las series pertenecen a las Catedrales de Córdoba, Zamora y Toledo, y la cuarta se encuentra en Castrojeriz. Solo esta última puede visitarse libremente en la Iglesia de San Juan, en pleno Camino de Santiago. La serie castreña está perfecta de conservación ya que fue robada por el rocambolesco Eric el Belga y una vez recuperada se restauró. Iremos haciendo referencia solamente a la Aritmética, la Geometría y la Apoteosis. La primera imagen que se ha puesto, en portada, corresponde a la Aritmética de Castrojeriz y la de debajo a la Aritmética de Zamora. En ambas puede verse a la figura femenina alegórica con una tablilla con operaciones, y otra tablilla en la pared. La castreña tiene una tercera tablilla en la cenefa inferior. Los comerciantes, el cofre y el dinero revelan ya una imagen laica y burguesa de la aritmética. La primera tiene un rotulo en la parte superior con “Par et impar” lo que  hace imposible la confusión.  Quizá por su carencia el tapiz de Zamora sigue apareciendo como “la riqueza”, pese a ya conocerse que se trata de una alegoría matemática. Lo que más llama la atención comparando las series es la simetría especular. Las de Toledo y Zamora están a izquierdas y las de Castrojeriz y Córdoba a derechas. Era normal que un taller trabajará con un grabado y otro con el mismo invertido, Hay que tener en cuenta que el grabado invierte la imagen, y la copia de la copia la restaura. Los motivos de las cenefas castreñas/cordobesas son matemáticos mientras que los otros son florales. En Toledo podemos ver los tapices colgados en la calle durante la procesión del Corpus. Su conservación es deficiente pero es curioso observar su uso tradicional. Las imágenes siguientes de la Apoteosis muestran como coinciden Toledo y Zamora. Castrojeriz (abajo) y Córdoba tienen la cenefa inferior con erotes y esfera armilar. En las Apoteosis podemos ver a la Geometría en primer plano con esfera, compás y sus instrumentos por el suelo; mientras la Aritmética concentrada calcula sobre una mesa. La Astronomía es la figura con alas y esfera armilar. La Geometría muestra generosamente sus encantos. El tapiz de la Geometría pone de manifiesto su relación con el arte militar en una época dominada por las guerras: por un lado el compás, la regla y el globo y por el otro las fortificaciones y el cañón. En Castrojeriz falta este tapiz y el toledano está casi borrado. Terminamos con una curiosidad: la carencia del angelote inferior izquierdo de la  Apoteosis castreña ha quedado como recuerdo del robo de Erik el Belga: cuando se recuperó ya se había recortado. Apareció el tapiz pero no su esquina.

Martes, 03 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

76. 13. (Enero 2015) La Geometría de Marten de Vos, la globalización iconográfica

La imprenta contribuyó a la extensión de iconografías tipificadas para uso de los artistas, imágenes que se expandirían por un mundo ya totalmente globalizado tras la primera circunnavegación de Magallanes y Elcano.  Desde el siglo XVI se han impreso gran número de Iconologías, quizá la más famosa fue la de Cesare Ripa, una extensa colección de alegorías editada en 1593 y que tuvo numerosas reediciones. Pero los artistas no habían esperado a la edición de las obras recopilatorias e imaginativas como las de Ripa: para sus necesidades les bastaba con estampas, con simples grabados hechos a partir de cartones o pinturas.  Vamos a hacer un recorrido por una de las más exitosas alegorías: la Geometría tal como la veía el pintor manierista flamenco Marten de Vos.  Una presentación similar podíamos haberla hecho con cualquiera de las otras artes del cuadrivium. Desde que Marciano Capella, poco antes del hundimiento definitivo del imperio romano, acuñara las alegorías de las Artes Liberales como bellas damas, a modo de musas, las sietes doncellas fueron reproducidas a lo largo y ancho de Europa Occidental en catedrales, palacios, códices, mosaicos, vidrieras, tapices, etc. El Renacimiento continuara esa tradición. Las Artes pueden reproducirse individualmente o en grupo, a las representaciones conjuntas se les suele llamar Apoteosis de las Artes. Una bonita muestra de Apoteosis nos la encontraremos en la pintura del dormitorio de la reina del Palacio de La Granja de San Ildefonso  que hemos reproducido más arriba.  El cuadro de mediano tamaño está firmado por Marten de Vos en 1590. La alada Astronomía ocupa el centro, tiene una mano descansando sobre una esfera celeste, con las constelaciones, y porta un cetro en la otra; a sus pies podemos ver varios relojes solares. A nuestra izquierda la Aritmética realiza operaciones en una tablilla al lado de la Geometría. En el lomo del libro que se apoya a los pies de la alegoría de la ciencia del número se lee Pitágoras, el sabio asociado a ella. La Geometría de De Vos se representara con el habitual compás y el globo terráqueo con eclíptica, haciendo uso de la etimología de la palabra. Para dar más fuerza visual a la Tierra se incorporan dos animales asociados, una serpiente y un sapo. En el suelo se sitúan los instrumentos del geómetra: regla, escuadra y compás.  Del pintor flamenco también proviene la coronación del peinado con torreones. De Vos también realiza patrones individualizados para cada una de las Artes; estas potentes imágenes alegóricas son las que se extenderán por los lugares diversos y sobre distintos materiales. Una característica de los grabados es la facilidad para ejecutar su simétrico: basta con tallar el original y se imprimirá su simétrico. No deberá extrañarnos encontrarnos imágenes a derecha o a izquierda. Los grabados se atribuyen tanto a De Vos como a un compatriota, el grabador Egidius Sadeler II de Amberes. Las imágenes se expanden desde Flandes al resto de Europa: a Escocia en piedra, a Lisboa en azulejos, a Aranjuez en tapiz o a Núremberg en pintura. En el patio de las románticas ruinas del Castillo de Ezdell, al norte de Edimburgo, se pueden admirar las alegorías con que la nobleza ilustrada decoraba sus mansiones. En Italia era habitual encontrarlas en los studiolos, los lugares de recogimiento, pero aquí como en Lisboa las vemos en los jardines. La representación escocesa de la Geometría, esculpida en bulto redondo, es muy fiel al original. Solo se ha añadido el arco superior. Tras la separación de Portugal de la corona española, a mediados del siglo XVII, algunos nobles se construyen sus palacios en las proximidades de Lisboa. Es el caso de los Marqueses de Fronteira. El palacio se encuentra en Monsanto y ha sido hoy prácticamente incorporado a la ciudad. El Palacio Fronteira muestra en sus jardines una de las mejores colecciones de azulejos de la ciudad, y entre sus paneles destacamos la Galería de las Artes Liberales.  Una vez más podemos contemplar la Geometría reproducida fielmente del grabado. No aparecen las ruinas del fondo y se han añadido unos amorcillos con los rótulos. Un lugar donde podemos ver la imagen de la Geometría a derechas y a izquierdas es en la Sala de Alabarderos del Palacio Real de Aranjuez.  La sala está decorada con dos series de tapices flamencos de finales del siglo XVI. Una de las series narra la Historia de Ciro como motivo central; en las cenefas de estos tapices se reproducen las Artes Liberales. La Geometría aparece en repetidas ocasiones a un lado y otro. Las características de los tapices hacen que los detalles se reduzcan y hasta se puede contemplar un híbrido: se han añadido los signos del zodiaco a la eclíptica. No hemos podido encontrar, por ahora, las pinturas que dieron lugar a los grabados. Un dato que confirma que debieron existir es una de las siempre interesantes reproducciones de Galerías de Pintura, espacios  saturados de cuadros donde la nobleza de sangre o del dinero hacía ostentación de su riqueza. La galería de uno de estos ricos burgueses o marchantes es el motivo del cuadro de 1702 que reproducimos, obra de Johann Michael Bretschneider, que se encuentra en el Germanisches Nacional Museum de Núremberg. Algunos de estas pinturas de pinturas nos permiten localizar cuadros de interés u obras perdidas. Entre los muchos cuadros que aparecen varios tienen interés matemático, entre ellos las alegorías de la Geometría, la pintura reproducida al inicio, antes del título, y la Astronomía de Marten de Vos. Las imágenes alegóricas están en el centro de la mitad derecha. La reproducción es muy detallista y contiene los principales elementos del grabado.

Lunes, 05 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

77. 12. (Diciembre 2014) La muerte de Arquímedes en el arte

El legado de Arquímedes, el principal matemático de la antigüedad, no se ha limitado a sus teoremas y descubrimientos, también las leyendas de su vida le han acompañado, engrandeciendo su ya potente figura. Las grandes figuras son observadas con detenimiento y los episodios de su vida son contados hasta convertirse en mitos. Algunos hagiógrafos también las adornan. Así, Arquímedes es de gran utilidad para narrar matemáticas, algo que siempre es muy útil al enseñante. Muchas historias y anécdotas han pasado a engrosar la tradición colectiva: “dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”, gritar ¡Eureka! corriendo desnudo por Siracusa tras resolver la composición de la corona real, el levantamiento de barcos, la espuria historia de los espejos ustorios que queman la flota romana, la iconografía de su mausoleo (Plutarco: su sepulcro era un cilindro con una esfera circunscrita en él, poniendo por inscripción la razón del exceso que hubiese entre el sólido continente y el contenido),… y su muerte a manos de un soldado romano tras la conquista de Siracusa durante las Guerras Púnicas. A estas deliciosas historias tenemos que añadir otra muy apasionante: la larga marcha del palimpsesto del Método hasta su descubrimiento y restauración. Ha sido la última de las batallas ganadas por el sabio siracusano. Entre todas las historias, la que dejado más huella ha sido su muerte violenta mientras trabajaba, concentrado y ajeno a las cosas materiales. Los artistas no podían dejar un tema así sin plasmar la fuerza de sus imágenes. En lugares tan emblemáticos como las Estancias de Rafael del Vaticano, la Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial o la Asamblea Nacional Francesa, encontraremos la espada que da muerte a Arquímedes. El episodio es narrado por Plutarco en su Vida de Marcelo, el general romano que asalta Siracusa. Leamos el largo párrafo en detalle pues se narran tres historias: Mas lo que principalmente afligió a Marcelo fue lo que ocurrió con Arquímedes: hallábase este casualmente entregado al examen de cierta figura matemática, y fijos en ella su ánimo y su vista, no sintió la invasión de los romanos ni la toma de la ciudad. Presentósele repentinamente un soldado, dándole orden de que le siguiera a casa de Marcelo; pero el no quiso antes de resolver el problema y llevarlo hasta la demostración; con lo que, irritado el soldado, desenvainó la espada y le dio muerte. Otros dicen que ya el romano se le presentó con la espada desenvainada en actitud de matarle, y que al verle le rogó y le suplicó que esperara un poco, para no dejar imperfecto y oscuro lo que estaba investigando; de lo que el soldado no hizo caso y le pasó con la espada. . Todavía hay acerca de esto otra relación, diciéndose que Arquímedes llevaba a Marcelo algunos instrumentos matemáticos, como cuadrantes, esferas y ángulos, con los que manifestaba a la vista la longitud del sol, y que dando con él los soldados, como creyesen que dentro llevaba oro, le mataron. Tres muertes alternativas. La que más nos gusta es la segunda. Plutarco muestra las características de la matemática griega que han sido los objetivos de todos los tiempos: claridad y perfección. En la primera se insiste en la demostración y en la última destaca otro aspecto de Arquímedes: la fabricación y uso de modelos físicos. La primera representación de la muerte de Arquímedes que hemos encontrado es un mosaico romano que se encuentra en Francfort. Véase más arriba. La representación es ingenua pero muy expresiva. En lugar del dibujar sobre arena, el sabio  trabaja sobre una tablilla. Tras el mosaico nos vamos al Vaticano, a la Estancia de la Signatura de Rafael, dominada por la impresionante Escuela de Atenas. Platón y Aristóteles en el centro y el resto de los sabios trabajando en sus quehaceres. A nuestra derecha se encuentran Ptolomeo con esfera y una figura inclinada sobre una pizarra con un compás. Esta figura puede representar a Euclides pero también a Arquímedes pues justo debajo, en el zócalo y sin policromía, se encuentra la conquista de Siracusa y la muerte de Arquímedes. De las Estancias Vaticanas pasamos otro sitio emblemático, a la Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial. Arquímedes aparece dos veces. La escena más cuidada por el pintor Pellegrino Tibaldi es la representación de los soldados en el momento de matar a un Arquímedes concentrado en la demostración del Teorema de Pitágoras. Del manierismo al barroco. La dramatización del momento llega al paroxismo. Tres pintores de la segunda mitad del XVII recrean la muerte de Arquímedes reduciéndola a lo esencial: la espada, el sabio en trance y el soldado feroz. El francés Guillaume Courtois, llamado Il Borgognone, tiene en el Museo del Barroco en Ariccia una de estas representaciones básicas: La misma escena con caras desencajadas la encontramos en Burdeos con la representación de Pietro Della Vecchia (marco dorado) y en una pintura de Pier Francesco Mola perteneciente a una colección privada. Al romanticismo tampoco le paso desapercibido el acontecimiento. Entre las muchas representaciones del siglo XIX elegimos una que decora el Palacio de la Asamblea Nacional de Francia, firmada por Eugène Delacroix. En este caso la espada se convierte en lanza para dar más dinamismo al momento.

Miércoles, 03 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

78. 11. (Noviembre 2014) Aritmética relojera

Las potentes imágenes alegóricas de las Artes Liberales acuñadas en el siglo V por Marciano Capella, cuando el imperio romano occidental se tambaleaba, iban a servir de inspiración durante más de un milenio a poetas y artistas plásticos. El trivium y el quadrivium, las siete damas de honor de los esponsales de Mercurio y Filología, serán la materia de estudio del saber clásico para los monjes medievales. Pero las disciplinas evolucionan y con ellas su representación. La imagen de la Aritmética es una de las que sufren más cambios. Capella describe a la Aritmética como una bella dama con un vestido bordado de números y cuyos dedos se mueven con gran celeridad para mostrarnos su facilidad para el cálculo numérico.  Durante el medievo a la imagen se le suele incorporar un ábaco, su instrumento de cálculo y, más tarde, cuando la numeración árabe empieza a imponerse, aparece la tablilla de números como el emblema general. Resulta curioso que durante el renacimiento aparezcan otras imágenes de la Aritmética que incorporen como símbolo un reloj, normalmente mecánico, otras veces de arena e incluso solares. Que la Geometría es la ciencia del espacio es evidente pero que la Aritmética lo sea del tiempo no parece tan claro. La irrupción del reloj mecánico en Europa se produce en el siglo XIV. Cuando observamos el Astrario de Dondi en Padua, el reloj más antiguo en funcionamiento, vemos que quizá no vaya tan descaminada la vinculación de la aritmética y la relojería. Las ruedas dentadas y engranajes de los relojes mecánicos realizan operaciones, multiplican y dividen para que el movimiento de las agujas y esferas simulen con precisión el movimiento de los astros. Una muestra tardía del arte relojero nos la ofrece el jienense Fernando de Tapia en un opúsculo para incorporar la Luna (sus fases) a los relojes. Tapia era consciente de que los relojes lunares perdían precisión al considerar el mes sinódico de 29 días y medio, error de cuarenta y cuatro minutos y tres segundos por defecto, y por ello propone sumar 45 minutos, lo que hace un total de 42525 minutos (error relativo menor de dos cienmilésimas). La forma de conseguirlo es conectar la rueda de las horas con tres ruedas más. Una primera con 48 dientes que daría una vuelta completa cada 12 horas, una segunda con 63 dientes y en su centro otra de un único diente que será la que lleve la Luna con 90 dientes para dar dos lunaciones. Operando en minutos tenemos el valor buscado: Tras la descripción de Fernando de Tapia caben menos dudas sobre la necesidad de conocer la aritmética para los artistas relojeros. La imagen que encabeza este escrito es un grabado francés de Etienne Delaune impreso en 1570 y que representa a la Aritmética con un reloj de arena en la mano y una tablilla de números a sus pies. En la misma época fue también ejecutada una bandeja procedente del taller de uno de los más destacados exponentes del delicado arte de la platería, François Briot, miembro de una familia francesa de medallistas. Las piezas domesticas de alta calidad realizadas en plata y estaño se extienden por Europa durante el último tercio del siglo XVI. Uno de los más populares fue el de la Templanza, que está orlado con alegorías de las Artes Liberales. La Aritmética aparece con un reloj mecánico en la mano, apoyándose en una tablilla y rodeada de un reloj solar y de otro de arena. Reproducimos un detalle de una bandeja expuesta en Bruselas. Cruzando el Canal de la Mancha encontraremos dos Aritméticas con un reloj como símbolo más destacable. Una se localiza en Oxford y otra en la Isla de Wight. En la capilla del Merton College de Oxford destaca el mausoleo de alabastro de Thomas Bodley, fallecido en 1613. El memorial conecta dos tradiciones: la representación de los poliedros y la de acompañar el sepulcro con las alegorías de las Artes Liberales. El aristócrata renacentista Bodley es uno de los exponentes de la ilustración inglesa de la época isabelina. Este diplomático y universitario es hoy todavía recordado por llevar su nombre la Budlian Library de Oxford, la biblioteca cuya reforma acometió dándole un carácter avanzado. Reyes, nobles y eclesiásticos cubrieron su sepultura con representaciones de las Artes en toda Europa, pero el uso de los poliedros es casi un endemismo inglés, del que seguiremos dando cuenta. La Aritmética se encuentra representada en la parte superior derecha del medallón con tablilla numérica y junto a un reloj mecánico. La iglesia de los Santos Tomás de Newport en la Isla de Wight alberga un magnífico púlpito de madera con catorce paneles tallados. La obra data de 1637 y representa alegóricamente las siete Virtudes y las siete Artes Liberales. La Aritmética reposa sobre una tablilla de números y porta un reloj mecánico. La representación es idéntica a la que hemos visto en la bandeja de Briot, incluso coinciden los números de la tablilla. El tallado es muy delicado y buena su conservación, con excepción de las referencias al rey que fueron eliminadas durante la revolución puritana de los parlamentarios. Por último, crucemos el Atlántico para admirar al pintor mulato Juan Correa. Juan Correa (Méjico, 1674-1739), el mulato libre en una sociedad mestiza, fue el gran pintor barroco mejicano. No debe confundirse con el manierista castellano del XVI (Juan Correa Vivar). Juan fue hijo de Juan Correa, el cirujano que realiza la primera disección de América en 1646 y de Pacuala de Santoyo, morena libre. Como ocurre con casi todos los pintores de su época, Correa es conocido por los encargos religiosos. Nosotros destacaremos este biombo sobre los Cuatro Elementos y las Artes Liberales, que estuvo en España pero que volvió al excelente Museo Franz Mayer de Artes Decorativas de la capital mejicana. La representación de la Aritmética no se limita al reloj pues también desarma el propio mecanismo. El biombo es de admirar por la mezcla de atributos clásicos con otros criollos.

Lunes, 03 de Noviembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

79. 10. (Octubre 2014) Thomasin von Zirclaere: La formación matemática del señor feudal

El siglo XIII marcará el inicio del despegue medieval que conduce al mundo moderno. La nobleza feudal no puede permanecer al margen de los cambios que terminarán socavándola: desarrollo del comercio y de las ciudades, mejoras tecnológicas en la explotación de la tierra y sus consecuentes cambios culturales como el gótico o las universidades. Thomasin von Zirclaere fue un clérigo del Friuli, patriarcado de Aquilea, de habla italiana y de origen noble que escribió  Der welisch gast en 1215.  El huésped latino es un libro en lengua alemana sobre los méritos que debe aprender y practicar la nobleza. Veamos el contenido del libro tal como lo describe la profesora Kathryn Starkey en su "A Courtier’s Mirror": El Welscher Gast es un texto importante para la comprensión de la cultura cortesana medieval alemana. Se trata de un compendio de ética, moral, conocimiento social e intelectual para un público aristocrático no especializado en una corte feudal. El poema incluye instrucción en modales en la mesa, el amor cortés, la auto-representación y el señorío, las siete artes liberales, el regalo, la justicia, y otras cuestiones fundamentales para la sociedad feudal y la identidad cortesana. Al igual que la épica cortesana, el Welscher Gast construye el ideal aristocrático de una sociedad en la que los caballeros y las damas están en la búsqueda del amor cortés, estabilidad social y justicia. En confrontación con los héroes de la épica cortesana que luchan con gigantes, enanos, ladrones y caballeros andantes, sin embargo el cortesano (hombre de bien) de Thomasin debe superar una amplia variedad de vicios personificados. Para Thomasin no hay nada natural en el señorío, el noble debe aprender a demostrarlo con su saber y su comportamiento. El hombre de bien debe conocer las Siete Artes Liberales del trivium y el quadrivium. El libro El huésped latino es un largo poema didáctico que tuvo gran difusión durante los siglos XIII al XV. Von Zirclaere empieza disculpándose de su mal alemán: Antes de comenzar el libro, hablo así en mi preámbulo, que todo hombre debe ocuparse en cumplir con las obras de las cosas buenas que ha leído, y cómo el hombre malo pervierte el buen consejo, y entonces yo digo que quiero hablar de las virtudes, y lo que la piedad y la buena educación podrían ser, y confieso que no sé bien el idioma [alemán], y le pido a la lengua alemana, que tenga a bien recibir mi libro “El huésped latino”. Y luego por lo tanto empiezo mi libro. El éxito del poema dirigido a la nobleza cortesana ha permitido que se conserven preciosos códices. La posibilidad de acceder a ellos nos da la de ver como un mismo tema cambia según el copista y la calidad del miniado. Vamos a contemplar distintas representaciones de la Aritmética por ser la más representativa de las dificultades para el artista que realizaba la copia. Siguiendo el modelo tardorromano de Marciano Capella, las artes son encarnadas por bellas doncellas que van acompañadas por los sabios más representativos de su disciplina. La Geometría va acompañada por Tales y Euclides en el poema, y solo por el autor de Los elementos en los miniados. La bella doncella y el alejandrino sujetan dos circunferencias secantes. Los sabios de la Astronomía son Ptolomeo y Albumasar, pero solo el griego aparece en la ilustración sujetando un astrolabio con la bella doncella. La Aritmética va acompañada por el estoico Crisipo y Pitágoras. Y solo por el último en la ilustración. Se han conservado quince copias completas de los siglos XIII - XIV, y fragmentos de diez más. Las ocho variantes de la tabla de números de la Aritmética nos dan idea de la escasa formación y dificultades de los ilustradores. Iniciamos con la copia que nos parece más fiel y con sentido, se trata del manuscrito 389 de la biblioteca de Heidelberg: La tabla está formada por duplicaciones de las diferentes potencias de 3, en escritura actual sería: 1, 2, 4, 6, 16 3, 6, 12, 24 9, 18, 36 27, 54 81 Vamos a ver como otros manuscritos cometen errores o se limitan a hacer la cuadricula. El manuscrito 330 de Heidelberg no llega a escribir ningún número: El manuscrito 571 de Munich si contiene números duplicados pero con menos orden y sentido más extraño: duplican 2, 6, 9 y 27 con errores. El manuscrito de Ghota se ajusta al original. El manuscrito de la biblioteca de la muy matemática Universidad de Erlangen contiene alguna grafía anómala pero las duplicaciones son reconocibles. El manuscrito Hamilton, 675 de Berlín, está plagado de errores, revelando descuido o desconocimiento. Más descuidado aún en su tabla es el manuscrito de Dresden. Y terminamos con el manuscrito 320 de Heidelberg cuya tabla está emparentada con la de Munich. Ingenuidad, errores y desconocimiento no impiden apreciar la belleza de los manuscritos miniados. Además, quizá quizás consiguieron su propósito: que la nobleza aprendiera y apreciara la sabiduría. Nota de agradecimiento: A Vladimir Sotirov, profesor de Lógica Matemática de Bulgaria, conocedor de mi interés por la iconografía de las Artes Liberales, al que debo la copia del manuscrito 389 de Erlangen. Al comprobar las diferencias con otros manuscritos que ya tenía me provocó el deseo de buscar más variantes.

Lunes, 06 de Octubre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

80. 9. (Septiembre 2014) La atracción por el rombicuboctaedro

El rombicuboctaedro destaca entre los sólidos arquimedianos por su sorprendente e irresistible atractivo para los artistas. En el retrato realizado en 1495 a Fra Luca Pacioli impartiendo una lección de geometría (pintura atribuida a Jacopo de´Barbari y que se exhibe en el Museo Capodimonti de Nápoles) se representan dos poliedros: un dodecaedro sólido y un gran rombicuboctaedro transparente, parcialmente lleno de líquido que está colgado del techo. De los sesenta poliedros que dibujó Leonardo para la De Divina Proportione de Fra Luca se seleccionan solo dos para representar al fraile matemático. El más enigmático y curioso es el rombicuboctaedro. Resulta bastante curioso que la pintura simule una sección hexagonal que realmente existe en el poliedro (diagonales de los cuadrados que forman un plano perpendicular al eje que une dos caras triangulares opuestas) pero no donde el pintor la dibuja. Un cuadro tan sugerente se presta a versiones modernas que lo reducen a lo esencial. Así el pintor francés Jean Bertholle en La mesa del geómetra hace desaparecer las figuras y deja los útiles y los poliedros. El rombicuboctaedro pasa a la derecha. También el napolitano Lucio Del Pezzo ha rendido homenaje a Pacioli con una representación muy estilizada y clara: La taracea tampoco puede resistir el atractivo de un poliedro que aproxima bastante bien a la esfera.  Tanto en la marquetería alemana como en la italiana se encuentran representaciones del rombicuboctaedro. La sillería del coro de la Iglesia de San Domenico en Bolonia es una de las cimas de la intarsia prospettiva. La taracea lígnea era ya un arte en su cenit. Con Damiano Zambelli (o Damiano de Bergamo) casi se alcanza la perfección. La colaboración de Fra Damiano con Vignola (y otros artistas) produce a mediados del XVI obras tan difíciles de superar como esta sillería de la iglesia de Santo Domingo de Bolonia. En los diseños del coro domina la perspectiva de paisaje urbano con punto de fuga para resaltar la profundidad. Las formas más poliédricas están dando soporte al facistol. En la parte inferior de una de las puertas del armario del facistol hay un rombicuboctaedro algo estrellado. Otro se ha reproducido en las puertas de la sacristía. La arquitectura nos va a proporcionar un rombicuboctaedro de dimensiones colosales. El rombicuboctaedro más grande del mundo fue terminado en el año 2006 para albergar la Biblioteca Nacional de Bielorrusia en Minsk. Se trata de un viejo proyecto de los arquitectos Mihail Vinogradov y Viktor Kramarenko que ha podido hacerse realidad. La biblioteca de Minsk ha producido también un fuerte impacto en el arte. El artista polifacético francés Raphaël Zarka ha realizado un corto de culto: Rhombus Sectus, estrenada en 2009. El mismo Zarka ha montado dos poliedros en su forma vacía, la que Leonardo llamaba vigentisex basivm planvs vacvvs. Terminamos dando cuenta de los usos en el mobiliario urbano del rombicuboctaedro: farolas y juegos infantiles. Londres ofrece al turista muchos lugares pintorescos, entre ellos un micro puesto de policía en Trafalgar Square. La garita, no mayor que una cabina telefónica, se instaló en 1926 y disponía de un teléfono para informar a Scotland Yard.  La cabina sirve de base a una farola de forma rombicuboctaédrica, con algunos cuadrados seccionados en la parte inferior. Una leyenda cuenta que procede de Nelson. La plaza de Catalunya de Barcelona nos ofrece también un ejemplo del poliedro usado como farola. Uno de los usos más modestos del rombicuboctaedro lo hemos encontrada en algunos juegos infantiles de sogas. Los vértices de la estructura de barras, soporte del juego, son la versión sólida del poliedro, mientras que las barras forman una porción de  cuboctaedro apuntado. Sirva de muestra una estructura localizada en la playa de Málaga. Las sogas de todos los juegos van formando octaedros truncados,… pero eso es parte de otra historia.

Martes, 02 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico