81. 8. (Junio 2014) Brujas matemáticas

Durante el medievo los textos griegos disponibles se limitaban a unos pocos y casi todos provenientes de traducciones del árabe. Tras la conquista de Constantinopla por los otomanos en 1453 se produce en occidente, especialmente en Italia, la llegada de textos griegos originales que van a provocar el renacer del helenismo. Los nuevos textos se van a unir al desarrollo de la imprenta para producir el gran impulso que conocemos como humanismo. Se produce también un redescubrimiento de Platón y los neoplatónicos.  Será en la Florencia de los Médicis con Marsilio Ficino (1433-1499) y con el joven Pico de la Mirandola (1463-1494) donde se impregnarán las nuevas ideas de esoterismo y magia. Se trata de magia blanca o natural frente a la magia negra o diabólica. El investigador de la naturaleza, el físico matemático, el mago natural, debe ser estudioso y virtuoso. El Discurso sobre la dignidad del hombre de Pico es el manifiesto de una época donde ocultismo y ciencia se funden. Siglo y medio después, el hermetismo, la cábala y la magia se irán haciendo incompatibles con la revolución científica, ruptura que teoriza Descartes, aunque sus huellas todavía sean visibles en Newton. Con el platonismo se produce la revalorización de la matemática. El mago debe saber matemáticas para desentrañar los misterios de la naturaleza, diseñada por la bondadosa mente divina pero accesible a los hombres que la investiguen. Una figura que sintetiza esa cultura es el matemático isabelino John Dee (1527-1608). Dee fue astrónomo, ocultista, alquimista, navegante o consejero real, a la vez que matemático. El espíritu renacentista se extiende por las diversas cortes italianas. Los príncipes y condotieros compiten entre sí para atraer escritores y artistas. Mención especial para nuestra historia merece la ciudad de Ferrara con el mecenazgo de Alfonso I de Este. Allí encontraremos a Ludovico Ariosto escribiendo su influyente Orlando furioso en honor del duque, pintores como Dosso Dossi, Bellini o Tiziano, y también a  un poeta alquimista como Augurelli (Augurello, Agorelli), formado en el hermetismo con Ficino. El prototipo de hechiceras clásicas es la diosa Circe (y su sobrina Medea). Encontramos a Circe en la Odisea de Homero, las Metamorfosis de Ovidio o en la Eneida de Virgilio. Los humanistas del renacimiento van a darla a la maga un valor acorde con los nuevos tiempos. Ariosto crea la figura de Melisa, la maga buena que libera del encantamiento a Rogelio con un anillo que hará que vea a Alcina en su verdadero ser y pueda escapar de ella. El pintor Giovanni di Niccolò Luteri, conocido como Dosso Dossi, se encuentra en Ferrara, la ciudad donde trabajó siempre, cuando realiza la representación de la inquietante bruja matemática que encabeza este escrito y que ahora se localiza en la Galería Borghese de Roma. Ni siquiera hay acuerdo con el título: Circe o Melisa. En ambos casos se trata de una hechicera que transforma a los hombres en animales o plantas. Como Dossi tiene atribuida otra Circe, me inclino más por Melisa, la hechicera del Orlando furioso de Ludovico Ariosto. Tanto Dossi como Ariosto son animadores de la corte de Alfonso de Este. Melisa libera del encantamiento amoroso a Rogelio con un anillo que hace que vea a Alcina en su verdadero y monstruoso ser. Rogelio tomará su armadura y escapará. También liberará a Astolfo, duque de Inglaterra,  al devolverle su forma humana pues había sido convertido en un mirto. Lo inquietante es la representación de la hechicera mediante una maga que porta una tablilla con cálculos geométricos. La extrañeza de hoy no es la de su época: la física era conocida como magia natural en el Renacimiento de Ficino y Pico. La magia blanca era buena y se alcanzaba con el estudio y la iniciación mientras que la magia negra era demoníaca. La matemática es pieza esencial en ese mundo neoplatónico-pitagórico. La otra Circe pintada por Dosso Dossi se encuentra en la National Gallery of Art en Washington. Se trata de una Circe mucho más voluptuosa, se ha comparado con el desnudo de Leda de Leonardo, pero sigue conservando la tablilla matemática y su libro astrológico en el suelo para dar testimonio de que sus poderes se consiguen por el estudio: solo se penetra en los misterios a través de una formación que requiere de las matemáticas. La imagen de la hechicera matemática se conservará hasta el barroco. El grabado de Circe ejecutado por Giovanni Benedetto Castiglione (circa 1650) insiste en el mismo tema. Aunque algo difuminados por la propia técnica del grabado, podemos  apreciar claramente que los libros y apuntes son matemáticos. Vamos a reseñar dos pinturas más de brujas matemáticas, procedentes de los pinceles de los hermanos Guidobono, inspirándose seguramente en las Circes de Dossi. La primera es la Alegoría de Domenico Guidobono en el Metropolitan Museum de Nueva York. La alegoría es ya casi rococó y refuerza su carácter matemático con un compás. La bruja madura aparece acompañada de una niña a la que está transmitiendo su arte. En un ambiente forzado, casi bodegón, la bruja realiza sus investigaciones matemáticas. Los poderes se obtienen estudiando el orden del universo, la magia natural de los renacentistas que está en el origen de la revolución científica. La niña garantiza la transmisión de los ocultos conocimientos. También Bartolomeo Guidobono pintó su propia bruja ilustrada. El Palazzo Madama de Turín realizó una monográfica de los hermanos en el año 2012 donde se pudo contemplar otra hechicera con instrumentos propios de un gabinete de física matemática y de alquimia. Resulta curioso como muchas de las ensoñaciones de los ocultistas herméticos, como el sueño alquimista de la piedra filosofal, iban a ser resueltos por la ciencia moderna: el plomo se puede transformar en oro en los aceleradores de partículas… ¡pero a un precio que no merece la pena! Las brujas geómetras son tanto muestra de los titubeos en los orígenes de la ciencia moderna como de su percepción del valor de la matemática.

Martes, 03 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

82. 7. (Mayo 2014) La enseñanza de la matemática a través del arte

La transmisión del conocimiento matemático es una actividad tan larga como la propia humanidad. De saber rudimentario se va transformando en especializado. La actividad artística va dejando amplia constancia de la enseñanza del conocimiento matemático. De tan extensa tradición hay múltiples testimonios; por ello solo podemos destacar algunos momentos, algunas instantáneas, de cómo el artista veía la educación matemática.  Haremos una pequeña selección confiando en que resulte algo significativa. Empezamos con un bello mosaico que representa a la Academia de Platón y que nos trae a la mente la prescripción no entre aquí quien no sepa geometría que adornaba su frontispicio. El mosaico se localiza en el Museo Arqueológico de Nápoles y hace referencia a la actividad de los sabios en la Academia. Algunos estudiosos dialogan mientras que otros se hayan sumidos en profundos pensamientos sobre el universo matemático. Una figura señala con su vara hacia un globo con eclíptica, meridiano y paralelo. Parece ser que Platón es el filósofo que enseña con la vara. El sabio que se apoya en la columna del reloj solar -con la mano sujetando la cabeza-puede ser Eudoxo de Cnidos, el creador del método de exhausción, la forma primitiva del cálculo integral. De la antigüedad grecorromana pasamos a la Edad Media. Todavía es poco conocida la alegoría de la Geometría del Pórtico del Sarmental en la Catedral de Burgos. En ella puede verse como el maestro enseña a dos niños con sus tablillas y compases. Hoy la visita de la Catedral de Burgos se inicia desde la portada del Sarmental, la que en sus orígenes estaba reservada solo para el obispo y  la escuela episcopal. El Sarmental es una puerta sapiencial, con una iconografía simbólica que se corresponde con el mandato que tenían las sedes episcopales de aumentar la formación del clero y corregir su ignorancia y sus excesos. En las arquivoltas -junto a la coral del Apocalipsis- se encuentran cinco de las Artes Liberales y una alegoría de la Medicina. La representación de la Geometría está mutilada –el maestro ha perdido el compás- y se encuentra en la cuarta dovela exterior de nuestra izquierda. El alumno más al exterior se encuentra realizando un ejercicio de geometría sobre la tablilla y si conserva su compás. De un siglo posterior, del XIV, escogemos un rico miniado de una edición de los Elementos de Euclides que se conserva en la British Library.  Se trata del miniado que encabeza esta Instantánea, donde una alegoría de la Geometría aparece enseñando a un grupo de monjes. Sobre la mesa se extienden múltiples figuras que Geometría dibuja con su compás. Será en el Renacimiento cuando nos encontremos con una revolución. La educación matemática como el comercio y la imprenta se generaliza a otras capas de la población. Especialmente significativa es la alegoría de la Geometría del pintor manierista flamenco Frans Floris y que el grabador Cornelius Cort se encargó de popularizar mediante la imprenta. Así, esas potentes imágenes podemos encontrarlas en sitios diversos y sobre distintos materiales. Reproducimos una vidriera del Rijksmuseum. La Geometría aparece enseñando su arte mediante un compás y un globo aunque otros instrumentos se encuentran en el suelo. Los alumnos son artesanos, ya no tiene nada que ver con la enseñanza medieval dirigida a los clérigos. El pueblo llano se apropia del saber científico y las artes se democratizan. Algunos motivos medievales se mantienen aunque su representación sea más realista como vemos en los esgrafiados alegóricos de un soberbio edificio renacentista: La Sala del Juego de Pelota en los fosos del Castillo de Praga. La fachada principal del Juego de Pelota está decorada a lo largo de sus sesenta y ocho metros con esplendidos esgrafiados alegóricos: los cuatro elementos, las virtudes, las artes liberales y la teología. Las Alegorías de la Aritmética y la Geometría se encuentran a la derecha, en el segundo y tercer tramos. Reproducimos a la Aritmética mientras está  enseñando los números y su pie descansa sobre un libro de Pitágoras. Terminamos con el Renacimiento con una de las sensibles muestras del delicado arte de enseñar, de su serenidad y dulzura. Se trata de la Lección de Geometría (1561) del pintor holandés Nicolas Neufchâtel y que representa al maestro Johann Neudörffer con uno de sus alumnos. El cuadro se puede contemplar en la Alte Pinakothek de Munich. La Lección muestra las enseñanzas en Nuremberg, uno de los primeros lugares del mundo donde los maestros eran pagados por la municipalidad, y donde en el siglo XVI se crea un ambiente adecuado para el florecimiento de la indagación matemática. La ciudad de Durero llegó a ser el primer taller de Europa y se adelanta a la revolución científica enseñando matemáticas a los gremios. Los sólidos vacíos que Leonardo dibuja para Luca Paccioli, un dodecaedro en la mano y un cubo colgado, están sirviendo de referencia para la nueva pintura matemática de la época que cambia la forma de pensar. Nos trasladamos a Padua, y al siglo de las luces, para dar cuenta de la educación matemática de la mujer. Y lo hacemos a la ciudad veneta que ofrece el primer testimonio de una mujer laureada por una universidad, la sabia veneciana Elena Lucrezia Cornaro Piscopia. A Elena no se lo pusieron fácil, no pudo asistir a las clases de la entonces liberal universidad de Padua pero si examinarse, logrando en 1678 su titulación en filosofía (que incluía las matemáticas). Un siglo más tarde, la Lección de Geografía de Pietro Longhi (siglo XVIII),  cuadrito que se encuentra en el Museo de los Eremitani, nos muestra la enseñanza matemática a una joven. La escena doméstica muestra una casa aristocrática o burguesa, y recoge el momento en que dos jóvenes reciben enseñanza bajo la mirada atenta de su madre. El globo terráqueo, el compás y los libros abiertos dan cuenta de que la enseñanza afortunadamente era más que urbanidad Terminamos el breve recorrido por la obra quizá más expresiva de la fuerza, de la tensión cognitiva, de la enseñanza de la matemática. La operación que aparece en la pintura El problema difícil realizada en 1895 por Nicolai Bogdanov-Belski y que se exhibe en la Galería Tretyakov de Moscú no es tan difícil. La solución es 2 porque 102 + 112 + 122 = 132 + 142 = 365. El ejercicio da cuenta del primer número que se expresa como suma tanto de dos cuadrados como de tres cuadrados. Para el estudiante de hoy, armado con papel o con una calculadora, el ejercicio es elemental. ¿Dónde reside la dificultad? La complicación radica en que el educador Serguei Rachinski pide a sus alumnos de la escuela rural, pobres y malvestidos, que lo resuelvan mentalmente. Por eso no hay papel, solo rostros que traducen una tremenda concentración. Admirable es el mérito de Rachinski que abandona la vida universitaria para llevar a la escuela infantil un gusto que alivie de la miseria de los niños, tal como nos cuenta Perelman en su Álgebra recreativa. El derecho de la enseñanza para todos ya ha calado.

Miércoles, 07 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

83. 6. (Abril 2014) El destronado sólido de Kelvin

El año 2014 ha sido declarado Año Internacional de la Cristalografía, una de las ciencias más vinculadas a la geometría del espacio. Parece oportuno dedicar un tiempo a uno de los poliedros más cristalográficos: el octaedro truncado, también llamado sólido de Kelvin. La imagen de inicio está realizada en cerámica de Delft y se conserva en el Rijksmuseum de Ámsterdam. Con sus ocho caras hexagonales y sus seis cuadradas, el octaedro truncado, tiene varias propiedades interesantes, entre ellas la de ser el único poliedro de Arquímedes que llena el espacio y además también el único que lo hace con sólo tres sólidos en cada vértice. En Rumania, cerca de la ciudad de Constanza, tuvieron el acierto de mostrar en grandes dimensiones el ensamblado de estos poliedros. La propiedad del llenado del espacio hace que el poliedro tenga curiosas aplicaciones, como su utilización en los juegos infantiles de soga. El juego requiere una estructura modular y el sólido de Kevin es el más adecuado. La estructura portante adopta formas variadas pero la maraña de poliedros que se van escalando son invariablemente octaedros truncados. Reproducimos un juego localizado en la muralla de Núremberg. Una bonita escultura de Rafael Laoz, llamada oportunamente Estructura hiperpoliedrica del espacio, y que se encuentra en el museo al aire libre de la Castellana de Madrid está formada con los tres poliedros del sistema cúbico que llenan el espacio: el propio cubo, el dodecaedro rómbico y nuestro octaedro truncado. Los vacíos poliedros se van ensamblando alternativamente uno dentro de otro hasta que la vista se pierde. El sólido de Kelvin nos marca la celdilla que le correspondería a cada átomo en el sistema cúbico centrado en el cuerpo. Uno de los elementos que utiliza este sistema es el hierro. Una asociación obligada del poliedro la encontraremos entonces en lo que se ha convertido en el símbolo de Bruselas: el Atomium, la representación de la estructura cristalina del hierro. Si trazamos los planos mediadores de cada una de las barras nos aparecerá el octaedro truncado. Lord Kelvin tras estudiar la relación área/volumen de distintas burbujas comprobó que el octaedro truncado superaba al dodecaedro rómbico y formalizó una conjetura que ha durado un siglo: la forma óptima, la de mayor volumen para la superficie, era la octaédrica truncada. Un matemático tan perspicaz como Hermann Weyl, en su precioso libro Simetría, decía: me inclino a creer que la configuración de Lord Kelvin da el mínimo absoluto, pero por lo que yo sé, esto no ha sido probado. La optimización puede resultar caprichosa: para el apilamiento de esferas el óptimo es el sistema cúbico centrado en las caras (o hexagonal compacto) asociado al dodecaedro rómbico pero para burbujas es mejor el octaedro truncado. En 1993 Denis Weaire y su estudiante Robert Phelan, dos físicos del Trinity College de Dublín, demuestran con un contraejemplo la falsedad de la conjetura de Kelvin de 1887: con un dodecaedro pentagonal deforme (piritoedro) y un tetrakaidecaedro (dos caras hexagonales y doce pentagonales) se tiene una estructura que llena el espacio ahorrando superficie. La estructura de Weaire–Phelan empezó entonces su reinado y la naturaleza mostró que también la usaba. Resulta curioso no haber encontrado octaedros truncados en la marquetería como ocurre con muchas de la figuras de Leonardo para La Divina proporción de Pacioli, de la que ya hemos hablado. Donde no falta el octaedro rómbico es en la decoración escultórica de los memoriales ingleses como el de Thomas Bodley en el Merton College de Oxford. Terminamos mostrando dos objetos prácticos: un reloj de sol del Museo Galileo de Florencia y una lámpara adosada a la catedral de Toledo.

Martes, 08 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

84. 1. (Noviembre 2013) Dios diseña matemáticamente el mundo

Para empezar las instantáneas matemático-culturales nada mejor que reconstruir el principio de todo: el momento de la creación. La Escolástica de la Edad Media conoció a Platón casi exclusivamente a través de su libro más discutido: el Timeo. La visión platónica de la creación del mundo por el Demiurgo fue cristianizada. El platonismo de San Agustín y la autoridad de Boecio, filósofo y matemático cristiano, daban sustento a la interpretación de Platón como una especie de Moisés. El cristianizado Demiurgo platónico, el autor de las cosas, diseña el mundo con la razón de las matemáticas y los cinco sólidos regulares. La creación tuvo un origen racional, una finalidad. Para la Escuela de Chartres –siglo XII- Dios creo las cosas con un plan y en él entraba que los hombres pudieran reconocer la magnificencia divina a través de sus obras. El estudio de la naturaleza es una disciplina teológica. En la naturaleza Dios se nos revela. El quadrivium, las artes matemáticas, es la herramienta. En ese contexto  no debe extrañarnos que Dios Creador aparezca representado con un compás: todo está sometido a peso, número y medida dice la Biblia. La frase está escrita en hebreo debajo de Salomón en el compartimiento de la Aritmética de la Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial. La imagen miniada más conocida del Dios Medieval, la que encabeza este escrito, pertenece a  la Biblia Moralizada de Nápoles, siglo XIV,  que se conserva en la Biblioteca Nacional de París. Algo menos reproducidas pero de belleza similar son las Biblias Moralizadas de San Luís, miniados del siglo XIII. Fue la reina Blanca de Castilla quien encargó tan precioso libro para la educación de su hijo Luís IX de Francia. Se copiaron siete biblias para la alta nobleza, dos se conservan, la de la Catedral Primada de Toledo y la de la Morgan Librery. No son las únicas imágenes de Dios con compás, aunque sí las más lujosas que se conservan. Añadimos otra bella figura miniada mixta –mitad angélica, mitad  Cristo, que hace referencia a la misma idea. El enigmático pintor y poeta inglés William Blake, a quien algunos consideran como el artista más completo que ha dado Inglaterra, recuperará en el siglo XVIII la potente imagen de Urizen- Jehová: el Anciano de los días. Pero Dios no está solo, una de sus creaciones aspira a ser como Él: el hombre. El mismo Blake representa a Newton como antes había dibujado al Anciano de los días. Quizá el pintor poeta había tenido presente los versos del epitafio de Alexander Pope a Newton: La naturaleza y las leyes naturales yacían ocultas en la noche. Dijo Dios: “¡Hágase Newton!”. Y se hizo la luz. La potente imagen de Isaac Newton de Blake no podía quedarse pegada al plano: el escultor Eduardo Paolozzi fundirá en bronce su propia versión futurista en 1995. Podemos admirar la obra en la plaza de la British Library.

Jueves, 07 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

85. 2. (Diciembre 2013) Leonardo da Vinci y Fra Giovanni da Verona

Fra Luca Pacioli coincidió en Milán con Leonardo da Vinci, cuando ambos trabajaban en la corte de Ludovico Sforza; fruto de su colaboración son las bellísimas ilustraciones de la Divina Proportione, redactada entre  1496 y 1498. Resulta interesante que los poliedros dibujados por Leonardo encontraran en la taracea de madera una de sus mejores expresiones. La nueva perspectiva matemática se aplica más allá de la pintura,  los artistas de la marquetería renacentistas serán llamados maestros de perspectiva como reconocimiento de su arte. Uno de los listones más altos en la intarsia prospectiva fue puesto por el monje olivetano Fra Giovanni da Verona. Fra Giovanni ha dejado su delicada huella en los coros y sacristías de su ciudad natal, Verona, en la Casa Matriz de su orden, Santa María del Monte Oliveto, la Estancia de la Signatura de Roma, la catedral de Lodi y en el convento olivetano de Nápoles.  Con la única excepción de Nápoles, en los otros cuatro lugares podemos encontrar los poliedros de la Divina Proportione. De los sesenta poliedros que representó Leonardo, Fra Luca reprodujo nueve en siete paneles, aunque en total taraceó catorce, cinco están repetidos: Dos platónicos vacíos: un icosaedro en Verona, otro icosaedro y un dodecaedro en el Vaticano. Dos arquimedianos vacíos: un cuboctaedro en Verona y dos icosaedros truncados, uno en Verona y otro en Lodi. Tres estrellados, elevatus escribe Leonardo: un exaedro estrellado vacío en Verona, un cuboctaedro estrellado sólidos en Lodi, y dos icosidodecaedros estrellados, uno en Verona y el otro en la Casa Matriz. Dos aproximaciones a la esfera, septuagintaduarumedro: dos vacíos en Verona y Casa Matriz, y dos sólidos, en Casa Matriz y Lodi. Una parte de la Estancia de la Signatura fue destruida, en su lugar se ha pintado una imitación del armario de taracea. Los seis paneles conservados y el simulado son: Un panal en la Catedral de Lodi. Reproducido en la introducción. Dos paneles de Santa Maria in Organo de Verona: Tres paneles del Monasterio de Santa Maria del Monte Oliveto: Panel destruido de la Estancia de la Signatura del Vaticano: Las taraceas de Fra Giovanni no son las únicas del Renacimiento Italiano con poliedros o motivos matemáticos, ni siquiera fue el primero en mostrar las posibilidades de la perspectiva, pero quizá fue el más virtuoso, tanto como para atreverse a  representa dos veces el icosidodecaedro estrellado vacío, un poliedro cóncavo de 120 caras. La marquetería matemática traspasó la frontera italiana y tuvo un fuerte desarrollo en Alemania, especialmente en Augsburgo y Nuremberg durante la segunda mitad del siglo XVI, coincidente con la máxima expansión del imperio de los Austrias españoles. No debe extrañarnos encontrar en la Península algunas piezas excepcionales. Pero eso será objeto de otra instantánea.

Martes, 10 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

86. 3. (Enero 2014) Azulejos del Colégio Santo Antão versus Colégio Espírito Santo

Los jesuitas entendieron prácticamente desde su fundación que una de las cuestiones que no podían descuidar era la educación. Paladines de la contrarreforma, los colegios jesuitas iniciaron su actividad inmersos en plena revolución científica.  Solo nueve años después de la constitución de la orden, en 1548, el jesuita mallorquín Jerónimo Nadal pone en marcha el primer colegio en Mesina. Las matemáticas ocuparan un lugar importante y fue el propio Nidal quien se encarga de impartirlas. El programa de estudios jesuítico, recogido en las Ratio studiorum Societatis Iesu, propiciado entre otros por el padre Cristóbal Clavius ponía las matemáticas en una posición de privilegio, hasta el punto de que el programa fuera rebajado porque no había tantos padres formados para enseñarla. Siguiendo la estela del Colegio de Mesina y el Colegio Romano, los colegios de la orden se extienden y antes de finalizar el siglo XVI ya estaban funcionando los colegios portugueses de Lisboa, Coimbra y Évora. El colegio de Lisboa tuvo una enorme importancia durante siglo y medio para la ciencia astronómica en un país de navegantes. En el Colégio de Santo Antão de la capital se crea el Aula de Esfera, el observatorio astronómico de referencia para Portugal. El periodo de esplendor de los jesuitas acabó y llegó la decadencia; los informes internos de la orden, en el siglo XVIII, ponían de manifiesto el estado deplorable de los estudios y la necesidad de tomar medidas, en especial con la enseñanza de las matemáticas. La necesidad de revitalizar los deprimidos colegios coincide con el máximo esplendor de la azulejería portuguesa. No puedo extrañarnos que una de las medidas adoptadas, en laprimera mitad del siglo XVIII, sea decorar los colegios con azulejos de iconografía alegórica a la ciencia. Los azulejos llenaron los zócalos de los colegios de Portugal y Brasil. En 1759 el reformista Marques de Pombal dictó  la orden de expulsión, Portugal fue el primer país en hacerlo, después le siguen las monarquías de los borbones: Francia y España.  Los colegios sufren diferentes avatares: el de Coimbra fue casi totalmente destruido, el de Évora sigue integro y usado como universidad, y del de Lisboa solo tenemos la fortuna de poder disfrutar de su Aula de Esfera. En cada aula de la Universidad de Évora coexisten los modernos proyectores con un hermoso púlpito de clases magistrales y bellos zócalos de azulejos. Son de especial interés el Aula de Física y la pequeña de Geometría. Los restos del colegio de Lisboa se encuentran escondidos en la biblioteca del gran hospital de San José, al lado de la Plaza del Rossio. El Aula de Esfera es hoy un salón de actos. Tanto los azulejos geométricos y astronómicos del Aula de Esfera del Colégio de Santo Antão, en Lisboa, y los de las aulas del Colégio Espírito Sant, en Évora, utilizan las mismas y deliciosas iconografías,  cambian el ejecutor y el tamaño.  Creemos de interés presentar conjuntamente algunas de las escenas representadas. Arriba siempre los de Lisboa.  Empezamos por la leyenda, poco verosímil, de los Espejos Ustorios, usados supuestamente por Arquímedes en la defensa de Siracusa. La Alegoría de la Geometría aparece con angelotes practicando distintas aplicaciones. Y otra aplicación de la geometría, la topografía: El mayor tamaño del Aula de Esfera permite escenas de astronomía matemática que no encontramos en Évora:

Martes, 07 de Enero de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

87. 4. (Febrero 2014) San Agustín matemático

San Agustín no tiene buena prensa entre los matemáticos. Suele citarse fuera de contexto una durísima aseveración: El buen cristiano debe tener cuidado con el matemático y todos los que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para oscurecer el espíritu y confinar al hombre en los lazos del infierno. La cita pertenece al De Genesi ad Litteram II, XVII, 37. La confusión proviene del uso que hace San Agustín del término mathematicus (mathematici en su texto) que se refiere a lo que hoy entendemos como astrólogo. Otros autores medievales lo utilizan con el mismo significado. Hasta tomar su uso actual el término matemático se ha empleado en un sentido más amplio o diferente. La realidad es que San Agustín fue un filósofo platónico cristiano y provenía de una tradición que valoraba el papel de las matemáticas: el propio Platón las consideraba imprescindibles para adentrarse en la Filosofía. Así también lo debieron entender los pintores medievales y renacentistas que representan a San Agustín como sabio matemático. En un bello códice de la Biblioteca Nacional de Madrid del siglo XIV nos encontramos un modelo de representación que después hemos visto reproducido en murales de pintura al fresco en varias iglesias. Se trata del Comentario sobre el Digestum y el Digestum Novum del jurista Bartolo de Sassoferrato con preciosos miniados de Niccolo de Giacomo (o de Bologna). San Agustín aparece majestuoso arriba y en el centro, rodeado de padres de la iglesia. Más abajo tenemos las virtudes (a su derecha) y las siete artes liberales. Debajo de cada arte están los sabios que la representan: Euclides para la Geometría, Pitágoras para la Aritmética y Ptolomeo para la Astronomía. La Geometría lleva escuadra y compás, la Aritmética escribe en la tablilla de números y la Astronomía mide los cielos con un cuadrante. Reproducimos toda la escena completa y el detalle de las Artes Liberales: El pintor Serafino de´Serafini de Módena ejecutó  para la capilla de Santa Dorotea de la Iglesia de San Andrés de Ferrara un fresco similar al miniado de Niccolo conocido como Allegoria di Sant´Agostino come Maestro dell´Ordine . Demolida la iglesia, el fresco se encuentra muy deteriorado en la Pinacoteca Cívica del esplendido Palacio de los Diamantes de Ferrara. El fresco ha sufrido mucho pero la fortuna ha permitido que una lámina del siglo XIX ofrezca una idea del orden iconológico: San Agustín en la cima preside una reunión de profetas y santos con dos niveles inferiores, las siete virtudes y las siete artes liberales de Marciano Capella. Tanto las virtudes como las artes tienen a sus pies un personaje representativo.  La Aritmética y la Geometría se destruyeron para hacer una puerta en la iglesia. Queda la Astronomía y la Música pero no sus sabios. Aún peor suerte que los frescos de Ferrara han tenido los de Padua. La iglesia de los Eremitani fue bombardeada en la segunda guerra mundial y el fresco de Giusto de Menabuoi sobre San Agustín quedó casi totalmente destruido. Se ha logrado salvar una bella Geometría que realiza cálculos geométricos con un compás y que porta una escuadra: Las apoteosis medievales de San Agustín le muestran como virtuoso y sabio en todas las artes. En dos pinturas del renacimiento se acentúa especialmente su carácter matemático. La iglesia de Ognissanti en la plaza del mismo nombre de Florencia tiene una fachada modesta que oculta sus tesoros del interior: los frescos de Ghirlandaio y Sandro Botticelli. En la nave podemos disfrutar con un San Agustín muy singular. El libro que tiene abierto es un tratado de geometría y no un libro de teología. La pintura al fresco (la que hemos reproducida al inicio) fue pintada por Botticelli hacia 1480. Sorprendemos al renovador del cristianismo convertido en astrónomo (esfera armilar) y matemático. En la  Scuola di San Giorgio degli Schiavoni de Venecia se encuentra otra admirable pintura de  Vittore Carpaccio, datada de1502, que reproduce el gabinete de San Agustín, probablemente inspirándose en el fresco magistral de Botticelli. Una vez más nos encontramos con un sabio caracterizado con los instrumentos de la astronomía matemática, una esfera armilar en la estantería de la derecha y todo un armario de astrolabios y cuadrantes en el fondo izquierdo.

Jueves, 06 de Febrero de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

88. 5. (Marzo 2014) El ilusionismo óptico del espacio en el Monte Oliveto

Los pintores del Renacimiento descubren la representación realista del paisaje mediante puntos de fuga. La perspectiva (cónica) se convierte en modelo y el pintor se hace matemático. Leonardo llega a decir casi al modo de Platón que quien no sea matemático no lea mis escritos. El tratado De pictura de Leon Battista Alberti viene a ser el manifiesto de los nuevos tiempos. Antes de llegar a la perspectiva cónica los pintores (o los diseñadores de mosaicos) se habían enfrentado con la representación del espacio de diversas maneras, desde la disminución del tamaño para los segundos planos a la utilización de ilusiones y otras perspectivas. Los mosaicos romanos y las cenefas del románico muestran otros caminos de simulación y proyección del espacio sobre el plano, más próximos a lo que entendemos como representación axonométrica o como caballera. Los maestros de perspectiva renacentista no iban a limitar su virtuosismo a los paisajes con gran profundidad. Una persona tan inquieta como Fra Giovanni de Verona, del que hemos mostrado sus deliciosas taraceas poliédricas, no podía quedarse sin probar otras formas de conquistar el espacio. En la imagen del inicio podemos ver a Fra Giovanni con plomada representado en los frescos del claustro principal de la Abadía de Santa María del Monte Oliveto, monasterio situado en una bella campiña de la provincia de Siena. Las pinturas constan de 36 escenas con la vida de San Benito y son una obra maestra de Luca Signorelli (1497) y de Sodoma (1508) que terminó su ejecución. Muchas veces nos ocurre a los aficionados a la matemática que no somos capaces de limitarnos a disfrutar los magníficos frescos, puede que nuestra mirada se vea atraída también por algo más modesto, que parezca secundario. Eso puede pasarnos en el claustro  del Monte Oliveto. En la parte más despreciable, en los zócalos del claustro, en algunas basas adosadas aparecen muestras de ese dominio de la representación de comienzos del siglo XVI. No podemos dejar de pensar en si Fra Gionanni no estará detrás de este juego de sometimiento del espacio. Hasta diez coloristas ilusiones hemos encontrado. Veámoslas: La colección de ilusiones ópticas de la Abadía del Monte Oliveto no es única. En San Marcos de Venecia hay también un buen conjunto, y mucho más lujosas, pero estas tan pobres no carecen de encanto. Quizá por ello el húngaro Vasarely, uno de los pintores contemporáneos más geómetras, siga inspirándose en estos diseños ingenuos y perfeccionando estas formas para darles aún más profundidad. Comparemos una ilusión de Vasarely con otra de los olivetanos.

Miércoles, 05 de Marzo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

89. 0. (Noviembre 2013) Conexiones culturales

… yo amo los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles como pompas de jabón. Poesías completas. Proverbios y cantares Antonio Machado (1917) Vaporosa exposición de motivos Las matemáticas son etéreas en sí. Pertenecen  al platónico mundo llamado de las ideas. Son una creación de la mente y por ello inmateriales. La consideración de pesadas y duras no deja de ser una metáfora ante una no-materia que se nos resiste privándonos del placer de disfrutar de su belleza. Las aplicaciones de las matemáticas si forman parte de la realidad material. Vivimos en un mundo hipermatemátizado aunque la intensa presencia de la matemática permanezca oculta y, muchas veces, no considerada. La formación matemática es imprescindible para ser un ciudadano libre en una sociedad  compleja. La matemática es mucho más que números, está relacionada con la capacidad de organizar el pensamiento en estructuras, en modelos, que nos permitan comprender y mejorar nuestro mundo. La matemática es uno de los componente de la cultura que en muchos casos permanece invisible pese a ser determinante. La matemática asociada a la cultura resalta placenteramente su presencia. La visión que cada época tiene de ella discurre paralela a su propia evolución y nos proporciona datos valiosos sobre la consideración de la matemática en cada sociedad. La relación de la matemática con la cultura a la que pertenece  nos ofrece bellas conexiones para dejar libertad a la imaginación para  disfrutar de su –quizá aparente- ingenuidad. Estos divertimentos tienen su origen en las relaciones, unas veces fuertes y otras no tanto, que van apareciendo tras cinco años de elaboración de una bitácora sobre Turismo matemático.  Las piezas sueltas tienden a agruparse en curiosas conexiones.  Emergen sin quererlo pequeñas estructuras asociativas, como el espíritu de la matemática. Como todo lo leve tiene que ser muy visual; no queremos huir de la actual cultura de la imagen: los comentarios son solo un adorno que intentamos sean casi poéticos. Las instantáneas que se presentan son como machadianas pompas de jabón.  Como alguien ha dicho: ¡volemos como ICARO mientras no se derrita la cera de nuestras alas! Algunas entregas Dios diseña matemáticamente el mundo Marten de Vos como inspiración. Poliedros en las tumbas inglesas Taracea poliédrica alemana en España Azulejos matemáticos en Lisboa San Agustín matemático Sólidos de Leonardo en la taracea El Teorema de Pitágoras en la pintura Matemáticas en la orfebrería

Jueves, 07 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico