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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

Resultados 51 - 60 de 120

Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Fractales Los fractales son extremadamente ubicuos y, por lo que vamos a ver en el artículo de este mes, profundamente humanos, ya que al menos los encontramos en actividades tan diversas como las matemáticas y la música. En la columna de este mes glosaremos el artículo Fluctuations of Hi-Hat Timing and Dynamics in a Virtuoso Drum Track of a Popular Music Recording [EPV+15] publicado en la revista PLoS ONE y cuyos autores son los investigadores Esa Räsäänen, Otto Pulkkinen, Tuomas Virtanen, Manfred Zollner y Holger Hennig (todos ellos físicos de prestigiosas universidades). En este artículo, los investigadores han descubierto patrones fractales en la música del percusionista Jeff Porcaro (1954–1992), quien es especialmente popular por que fue el batería de la banda de rock Toto. Pero ¿qué son los fractales? Hay muchas maneras de responder a esta pregunta dependiendo del interlocutor. Para aquel interlocutor con formación matemática son conjuntos recursivos de dimensión fraccionaria (véase [Man04] y las referencias allí contenidas para los aspectos técnicos de esta definición). Hubo matemáticos que intuyeron el concepto, aunque no lo formalizaron suficientemente, pero fue Mandelbrot quien en 1975 introdujo el término fractal y proporcionó una descripción y una formalización coherentes y funcionales. Desde entonces el estudio de estos objetos explotó exponencial, tanto en la matemática pura (teoría del caos, procesos estocásticos) como en las aplicaciones (predicciones, optimización, arte, informática gráfica). Para el interlocutor con menos formación matemática, un fractal es un conjunto autosemejante (no siempre estrictamente), esto es, un conjunto que se repite a sí mismo a diferentes escalas. En la figura de abajo podemos ver el conjunto de Mandelbrot. Si hiciésemos zum en cualquier parte comprobaríamos que la parte es igual al todo salvo en las proporciones y que no importa el nivel de zum que apliquemos que esa propiedad se conserva. En el artículo Fractals [Wik15] de Wikipedia se encuentra ilustrado este proceso de amplificación sucesiva de las partes del conjunto de Mandelbrot. Figura 1: El conjunto de Mandelbrot Para muchos, los fractales están relacionados con el arte y a menudo se oye hablar del arte fractal entre el público no matemático. En particular, existe la llamada música fractal, música de composición inspirada en los patrones fractales o bien con estructura fractal. 2. Jeff Porcaro Jeff Porcaro fue un influyente percusionista, escritor de canciones y productor. Aunque es muy conocido por haber sido el batería de la banda de rock Toto, Porcaro fue un músico de estudio que participó en cientos de álbumes y que gozaba de una gran reputación entre los músicos de su generación. Sin ánimo de dar una lista exhaustiva, Porcaro tocó para Paul McCartney, Dire Straits, Michael Jackson, Al Jarreau, George Benson, Joe Cocker, Stan Getz, Barbra Streisand, Donna Summer, Diana Ross, Eric Clapton, Miles Davis, Bruce Springsteen, Elton John, entre otros. Como se puede ver, los gustos musicales de Porcaro eran muy amplios y su versatilidad como músico, alta. Su originalidad como percusionista ha sido muy apreciada y para muchos ha sido un auténtico renovador de la batería, especialmente en el panorama del jazz y el rock de entre finales de los 70 y principios de los 90. En Youtube hay muchos vídeos (no de buena calidad siempre) sobre él, tanto de sus compañeros músicos como de sus fans (lamentablemente, murió muy joven). Por ejemplo, en este vídeo [Por15b] podemos escuchar un solo de Porcaro, vibrante, lleno de inventiva, y con un sentido de la tímbrica deslumbrante. En este otro vídeo [Por15a], Nick Molenda explica en detalle la técnica de Porcaro; analiza las figuras rítmicas que usa, la elección de los acentos, la combinación de tambores y en particular su técnica de charles (hit-hat en inglés), por la que era especialmente famoso. Porcaro pensaba que la docencia era importante y en Youtube se encuentran muchos vídeos en que explica su técnica; en este aspecto era de una generosidad infrecuente. 3. Los patrones fractales en la música de Porcaro El artículo de Esa Räsäänen y sus colaboradores es bastante complejo, sobre todo por las técnicas de análisis que utilizan, y aquí solo lo describiremos con un propósito divulgativo. Muchos fenómenos naturales presentan fluctuaciones de ruido rosa, también llamadas fluctuaciones fractales. Dichos fenómenos se encuentran en campos como la física, la biología, la economía y la música. Estudios previos a este artículo mostraron que la altura de sonido y el volumen presentan fluctuaciones fractales. Con respecto al ritmo también existen estudios que examinan esas fluctuaciones, pero sin embargo están limitados metodológicamente ya que se han realizado o bien en condiciones ideales en el laboratorio o bien con un solista tocando en presencia de un metrónomo. El estudio que nos ocupa va un paso más allá e investiga música grabada en vivo, en condiciones reales, y sin metrónomo, en este caso en la música de Porcaro. En concreto, sus autores investigan las propiedades de correlación del volumen de patrones rítmicos y para ello proponen métodos novedosos. El artículo, empero, no presenta interpretaciones musicológicas de los resultados (todos sus autores son físicos). En este trabajo se analiza el patrón de charles de una pieza representativa, I keep forgettin’, de Michael McDonald, grabada en 1982 con Porcaro a la batería. El patrón de charles se toca con una sola mano (Porcaro declara en un vídeo que tocar esos patrones con una sola mano proporcionaba una articulación más suave). Para analizar la señal los autores usaron herramientas muy sensibles, capaces de detectar tiempos de ataque de las notas del orden de milisegundos. A continuación, llevaron a cabo un análisis de series temporales de las sucesiones de los ataques obtenidos. Un primer análisis mostró que los ataques presentaban las variaciones típicas de una pieza grabada sin metrónomo. Tras ello, usaron el método de deducción de la fluctuación de tendencias (DFA, detrended fluctuation analysis en sus siglas inglesas) para estudiar la autocorrelación entre las distintas partes de la pieza y así analizar el nivel de autosemejanza. El DFA, que fue introducido por primera vez en 1994 por Peng y otros, es una generalización del análisis ordinario de la fluctuación. Este análisis aparece en procesos estocásticos, teoría del caos y análisis de series temporales. Se emplea con frecuencia para examinar la estructura interna de series temporales, especialmente autocorrelaciones de rango amplio. Los resultados de los análisis anteriores revelaron que los patrones rítmicos y de volumen detectados a pequeña escala, en un par de compases, se replicaban a escalas mayores hasta llegar a la escala de la pieza entera. Incluso los patrones de desviación expresiva del tempo siguen pautas regulares. Uno de los autores, Henning, “cree firmemente que la presencia de estos patrones es parte de la magia de la manera de tocar de Porcaro”. En las conclusiones los autores se hacen muchas preguntas fascinantes, entre ellas si estos patrones son universales o propios de Porcaro (creen que son universales), cómo se originan esos patrones a nivel neuronal, cómo se pierden esos patrones con la edad o la enfermedad (recientemente descubrieron un pianista profesional con Parkinson que los había perdido). El caso es que este trabajo ha confirmado sólidamente la presencia de los fractales en la música.   Bibliografía [EPV+15] Räsäänen E., O. Pulkkinen, T. Virtanen, M. Zollner, and H. Hennig. Fluctuations of Hi-Hat Timing and Dynamics in a Virtuoso Drum Track of a Popular Music Recording. PLoS ONE, 10(6), 2015. [Man04] Benoît Mandelbrot. Fractals and Chaos. Berlin: Springer, 2004. [Por15a] Jeff Porcaro. Jeff Porcaro on Rosanna - Shuffle Groove Breakdown by Nick Molenda. https://www.youtube.com/watch?v=u-N3ohNSYsU, visionado en septiembre de 2015. [Por15b] Jeff Porcaro. Solo de Jeff Porcaro. https://www.youtube.com/watch?v=-5BIUhCMQo8, visionado en septiembre de 2015. [Wik15] Wikipedia. Fractals. https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal, consultada en agosto de 2015.
Viernes, 25 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Históricamente, la teoría de la música en Occidente ha sido desarrollada por músicos y desde la propia música. Uno podría pensar: ¿por quién si no? En cualquier periodo de la historia de la música Occidental que observemos, desde la Edad Media a nuestros días, encontraremos muchos teóricos de la música y con muy diversos enfoques. En general, su misión es la de describir, codificar, explicar y proponer nuevos modos de escribir, pensar y componer la música. Entre las cuestiones más importantes a las que se han dedicado los teóricos de la música se cuentan la clasificación de los intervalos, los sistemas de afinación, la definición de los modos, la conducción de voces, la teoría de la consonancia y la disonancia, la clasificación de los acordes, la organización rítmica y métrica, la organización melódica, la orquestación y la psicoacústica, por citar unas cuantas. Hasta el final del siglo XIX esta situación se mantuvo intacta. Sin embargo, la psicología se consolidó como disciplina científica y desde entonces hasta el presente tomó como objeto el estudio de la percepción y la cognición musicales. Se estudiaron a fondo los procesos de percepción del sonido a nivel físico así como el papel de la enculturación en la percepción musical. Por ejemplo, por mucho que nos parezca natural, la clasificación de los intervalos en consonantes y disonantes que conocemos en la música occidental no es ni mucho un universal musical y los percibimos así en buena parte por la exposición a esa música a la que hemos sido sometidos. En suma, podemos decir que una nota es nuestra experiencia de un sonido. La música es un rico entramado de múltiples elementos, en que abundan las estructuras complejas y aparecen patrones repetidamente. Las matemáticas, por otra parte, son el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio [Wik15]. Indudable e inexorablemente, los matemáticos acabarían por estudiar la música de un modo sistemático. Así surge la teoría matemática de la música. Cierto es que en las últimas décadas esta disciplina ha cogido mucha fuerza, pero ya desde los griegos se estudió la música desde un punto de vista matemático (Pitágoras usó las proporciones para construir sistemas de afinación). El objeto de este artículo es ilustrar el papel de la teoría matemática de la música en la moderna teoría de la música. 2. ¿Por qué una teoría matemática de la música? La teoría matemática de la música usa estructuras y técnicas matemáticas para analizar obras musicales, para estudiar, caracterizar y reconstruir objetos musicales, y finalmente como fuente de inspiración para la composición musical. Esta es una definición que dio Thomas Fiore [Fio11] en 2011 y que resume concisa y adecuadamente el objeto de la teoría matemática de la música. Hay varios matemáticos y músicos que han dedicado sus esfuerzos de investigación a la teoría matemática de la música (las cursivas no son un error). Déjenos el lector nombrar unos cuantos, quizás los más importantes del panorama en las tres últimas décadas. Uno de los pioneros de la moderna teoría matemática de la música es Guerino Mazzola. Este matemático y músico de free jazz escribió un libro, The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance [Maz02], donde aplica la teoría de categorías y álgebra abstracta a múltiples aspectos de la música, desde la misma ontología hasta la modelización de ritmo, melodía, armonía, orquestación e interpretación sin olvidar la creación de una musicología computacional. La obra de Mazzola tiene un carácter enciclopédico y fundacional y en ella encontramos mucha matemática moderna aplicada al análisis y la composición musicales. Posee un apéndice que contiene los fundamentos matemáticos para entender la obra. Estos incluyen teoría de conjuntos, teoría de grupos (de monoides a grupos abelianos), teoría de anillos, el algoritmo de Euclides, teoría de módulos, teoría de categorías, geometría algebraica, lógica, topología —en especial topología algebraica— y finalmente cálculo y ecuaciones diferenciales ordinarias. Como se puede apreciar, estas no son matemáticas triviales ni mucho menos. David Lewin es otra figura importante en la teoría matemática de la música. Su pensamiento musical no está expuesto en una obra principal, al estilo de Mazzola, sino que está repartido a lo largo de los múltiples artículos que escribió en sus 69 años de vida (murió en 2003). Sin embargo, es en su Generalized Musical Intervals and Transformations [Lew87] donde expone lo esencial de su teoría transformacional de la música. Esta teoría estudia en particular cómo se produce la transformación del material musical. Lewin aplica la teoría de grupos a tal efecto. Otra figura muy activa es Thomas Noll, matemático y músico que da clases e investiga en la Escola Superior de Música de Cataluña. Noll fue alumno de doctorado de Mazzola y hereda y prosigue la tradición de abstracción y aplicación de la matemática moderna a la música. Noll ha estudiado especialmente las estructuras matemáticas subyacentes en los objetos musicales, en particular la construcción de escalas bien definidas, la clasificación de modos e intervalos así como las operaciones musicales. También es un gran defensor de la introducción de las matemáticas en el currículo de los músicos. Como editor ha estado al cargo de la revista Journal of Mathematics and Music. Por último, me gustaría citar a Dmitri Tymoczko, compositor y teórico de la música en la Universidad de Princenton. Desarrolló un método de análisis armónico y de conducción de voces basado en topología, al que bautizó como teoría geométrica de la música; véanse [Tym11],[Tym15]. En este método modeliza las armonías como puntos en un cierto espacio topológico y las progresiones de acordes se corresponden a ciertas trayectorias entre dichos puntos. Además, Tymoczko escribió un artículo, The geometry of musical chords [Tym06], que fue publicado en la prestigiosa revista Science (tiene un alto factor de impacto y un alto porcentaje de rechazos); fue el primer artículo sobre música que publicaba dicha revista. 3. Conclusiones Arriba no defendí vehemente la validez de la teoría matemática de la música. Considero que a esta altura es innecesario. Soy perfectamente consciente de que en los conservatorios de este país no se considera la posibilidad de que se enseñe este tipo de teoría de la música. Creo que es una cuestión de tiempo —probablemente, de mucho tiempo— que se vaya introduciendo poco a poco. Me pregunto cuándo se enseñarán en los conservatorios, por ejemplo, los resultados de Tymoczko, cuyos modelos están claramente orientados al análisis musical, en especial al de la música atonal. Nótese que Tymoczko es músico y no matemático y, por tanto, nada sospechoso de un contubernio de matemáticos con ínfulas de teóricos de la música. O ¿qué herramientas de análisis se puede ofrecer a un estudiante de conservatorio ante una música compuesta desde principios matemáticos (música fractal, música algorítmica, la obra de Xenakis)? Pocas si solo nos restringimos a las técnicas clásicas. Abogar por la introducción de la teoría matemática de la música no implica eliminar los modos tradicionales de análisis. Antes bien, la idea es complementarlo. Los fenómenos musicales cada vez son más complejos y requieren herramientas que puedan captar esa complejidad y riqueza. Y en ciertos contextos las herramientas clásicas no son suficientes. Por último, somos conscientes de que ha habido excesos por parte de algunos practicantes de la teoría matemática de la música. Los analizamos exhaustivamente en la columna de octubre de 2012 [Góm15]. Dichos excesos no invalidan la teoría matemática de la música porque a estas alturas ya ha probado su poder explicatorio y su capacidad de inspiración. Hay que hacer una teoría correcta, significativa y potente, y evitar extralimitarse, pues ninguna teoría de la música, matemática, tradicional, o histórica por sí sola será capaz de explicar satisfactoriamente algo tan bello y complejo como la música.   Bibliografía [Fio11] T. Fiore. What is Mathematical Music Theory? An Introduction via Perspectives on Consonant Triads. Colloquium held at Stony Brook University, 2011. [Góm15] P. Gómez. Alcance y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14518&directory=67, consultada en junio de 2015. [Lew87] D. Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations. New Haven, CT, and London: Yale University Press, 1987. [Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002. [Tym06] D. Tymoczko. The geometry of musical chords. Science, 313:72–74, 2006. [Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011. [Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015. [Wik15] Wikipedia. Mathematics. https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics, consultada en junio de 2015.
Jueves, 23 de Julio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este es el último artículo de la serie Otras armonías son posibles. La serie está basada en el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], libro en que se investiga los sistemas armónicos no tradicionales. Entre ellos, hemos seleccionado para esta serie de cuatro artículos aquellos que tienen base matemática. Por completitud, en el primer artículo de la serie [Góm15a] dimos unas nociones básicas de la armonía tonal; en el segundo artículo [Góm15b] analizamos la armonía atonal con ejemplos tomados de la técnica dodecafónica, la nomenclatura de acordes de Forte y la clasificación de Jedrzejewski basada en teoría de nudos. En el tercer artículo [Góm15d] estudiamos las armonías de Euler, Hauer, Slonimsky y Schillinger, autores que inventaron sistemas armónicos con base matemática. En este último artículo examinaremos las ideas matemáticas del resto del libro de Johnson, ideas que se basan en conceptos en apariencia simples y que dan lugar a sistemas armónicos desligados de la psicoacústica (como es el caso de la armonía tonal clásica). 2. Igualdad y completitud En el capítulo Equal and Complete [Joh14b] (página 109 y siguientes), Johnson analiza el papel que la igualdad y completitud en la estética musical y en particular en la armonía. Él mismo reconoce que muchos músicos e improvisadores no tienen ningún interés en esas dos características; quieren tener máxima libertad y no quieren estar constreñidos por reglas formales. Sin embargo, otros músicos e improvisadores —aunque habría que matizar que en distintos grados — sí han sentido atracción por la igualdad y la completitud y han reconocido su valía como criterios estéticos. Para justificar por qué esos criterios son válidos estéticamente, Johnson menciona la corriente literaria OuLiPo o taller de literatura potencial. Esta corriente tiene un fuerte carácter experimental y usa técnicas literarias que implican estrictos límites formales, los cuales desembocan en obras tales como novelas anagramáticas, variaciones temáticas, literatura combinatoria, entre otras. Para más información sobre OuLiPo recomendamos al lector que visite su excelente página web [OuL15]. Por su calidad, y también por cariño, pues se trata de una compañera de Divulgamat, no resistimos la tentación de mencionar a Marta Macho [Mac15d]. Es una experta en la obra de Oulipo y ha contribuido notablemente a su difusión en España; véanse, como botón de muestra, los magníficos artículos de divulgación [Mac15c], [Mac15a],  [Mac15e], y [Mac15b]. Johnson también argumenta la importancia de la igualdad y completitud extrayendo ejemplos de la poesía, de la música misma (de la obra de Bach y de Jürg Frey, del grupo Wandelweiser) y de las artes plásticas (del minimalista Sol LeWitt). Pero ¿qué significa igualdad y completitud en la armonía? Hay muchas maneras de interpretar ambos conceptos, sin duda, y Johnson en buena parte del resto del libro se dedica a estudiar los diferentes matices escondidos en ellos. El capítulo Equal and Complete acaba con un ejemplo de Jürg Grey, un miembro del grupo Wandelweiser, formado por un conjunto de intérpretes y compositores de carácter internacional, fundado en 1992, y que tiene fuertes influencias de John Cage y su tratamiento del silencio. La obra que analiza Johnson es Sam Lazaro Bros, una pieza que consiste exclusivamente en las 12 triadas menores, donde la primera y segunda inversión se permiten así como conducciones de voces entre las notas de los acordes. La obra, según Johnson, “nunca resulta aburrida o repetitiva”. Entusiasmado por el modo en que Grey compuso Sam Lazaro Bros, Johnson describe cómo se lanzó él a componer una pieza en que aparecieran todos (completitud) las transposiciones e inversiones de un acorde de 3 notas (igualdad), el acorde Forte 3-7 (do-re-fa) y de modo que cada acorde tenga dos notas en común con el siguiente. Encontró que la tarea no era tan fácil como había supuesto en un principio. Para aclarar las ideas se ayudó del siguiente grafo: Figura 1: Grafo con los 24 acordes pertenecientes al acorde 3-7 de Forte (figura tomada de [Joh14b]). El cual dio lugar a la siguiente secuencia de acordes: Figura 2: Secuencia de los acordes pertenecientes al acorde 3-7 de Forte (figura tomada de [Joh14b]). Johnson concluye (aunque sin pruebas) que “podemos percibir completitud cuando oímos una secuencia como esta, al menos a un cierto nivel inconsciente”. 3. Alturas y sumas En el capítulo, Heights and Sums, Johnson explora la generalización de altura a acordes. En general, se habla de la diferencia de altura entre dos notas como el intervalo medido desde la más grave a la más aguda. Ahora hablamos de la altura de un acorde. Empecemos por numerar las notas, por ejemplo desde do. La nota do es el 0, la nota do# es 1, la nota re 2 y así sucesivamente. Cada uno de estos números es la altura de la nota. Dado un acorde, se define su altura como la suma de las alturas de sus notas. Así por ejemplo, el acorde de do mayor, do-mi-sol, tiene altura 11 porque la altura de sus notas es . El lector ya habrá adivinado que el juego compositivo y armónico es el de escribir una pieza en que aparezcan todos los acordes que tengan una altura fija. Para ilustrar a fondo el concepto, Johnson da una tabla con el número de acordes que hay para una altura dada cuando esta varía entre 3 (el mínimo posible) y 30 (el máximo posible). Figura 3: Número de acordes de tres notas con altura dada (figura tomada de [Joh14b]). Como se ve en la figura 3, el mínimo valor se alcanza con alturas 3 y 30, y el máximo valor para el rango de alturas entre 15 y 19, con 15 acordes cada una. Fijémonos en la altura 16. Los 15 acordes resultantes están en la siguiente tabla: ,,,,,, ,,,,, ,,} ¿Cómo conectar estos conjuntos de acordes? Johnson, entre las muchas posibilidades, escoge dos que aplican dos propiedades matemáticas: se unen bien por sus diferencias mínimas o bien por sus diferencias máximas. Por diferencias mínimas quiere decir moviendo las notas del acorde lo mínimo posible (con frecuencia una subida y una bajada de un semitono). En el caso de las diferencias mínimas, la figura 4 muestra una posibilidad. Para que la altura se mantenga constante, una subida de un semitono ha de compensarse con la bajada de otro semitono. Figura 4: Acordes de suma 16 unidos por sus diferencias mínimas (figura tomada de [Joh14b]). Para las diferencias máximas se intenta mover las notas lo más posible dejando la altura constnate. Cuando se trata de las diferencias máximas, la conducción de voces se hace un poco brusca. Aquí está una solución dada por Johnson. Figura 5: Acordes de suma 16 unidos por sus diferencias máximas (figura tomada de [Joh14b]). 4. Progresión de acordes En el capítulo Advancing Johnson abunda en la idea de conectar acordes que compartan el mayor número de notas entre sí, por ejemplo, que solo varíe una nota entre acorde y acorde. Esta idea no es extraña a la armonía tonal ni mucho menos. En la armonía tonal el enlace entre acordes se hace cambiando el mínimo número de notas y dos acordes se consideran semejantes o relacionados entre sí si provienen de escalas que difieren en el menor número de notas (como do mayor y sol mayor, por ejemplo). Evidentemente, aquí Johnson usa esta idea para conectar acordes fuera del contexto tonal. Como ejemplo inicial, pone el de ir desde el acorde hasta el (en este capítulo Johnson fija un acorde origen y un acorde final). La secuencia sería (se muestra incompleta, página 136): → →  → ......→ →  → Esta idea da lugar a bonitos grafos de acordes. En el siguiente ejemplo, el autor de Other harmony toma el conjunto de notas (inspirado en el Thesaurus de Slonimsky [Slo47]) y genera el grafo de la figura 6. Los nodos del grafo son el conjunto de acordes de tres notas tomados de ese conjunto, y dos acordes están unidos por una arista si difieren solo en un nota. El acorde origen es re-fa#-sol y el acorde final si-do-mi. Recorrer el grafo entero visitando cada acorde una sola vez empezando en el acorde origen y terminando en el acorde final es equivalente a encontrar un camino hamiltoniano en el grafo. El grafo en cuestión admite tal camino, como se comprueba fácilmente. Figura 6: Grafo de los acordes de 3 notas formados a partir de (figura tomada de [Joh14b]). Por último y en un giro inesperado, Johnson propone usar ¡el círculo de quintas! para construir una progresión de acordes, nada menos que en el ignoto territorio de la Otra armonía. Casi se diría que Johnson escribe esta sucesión de dominantes con un sentido de lo prohibido a la vez divertido y gratificante. Figura 7: El acorde Forte 4-16 en un ciclo de quintas (figura tomada de [Joh14b]). 5. Intervalos adyacentes Johnson está interesado ahora en progresiones donde se fijan las notas más grave y aguda de un acorde y se varían las notas interiores. El autor previene al lector de un error y es el de pensar que la altura del acorde no varía. Si tomamos el caso de una triada mayor, , y observamos sus intervalos, vemos que no cambian con respecto a los de una triada menor . Ambos acordes están formados por una quinta justa, una tercera mayor y una tercera menor. La diferencia está solamente en el orden de aparición de dichos intervalos. Sin embargo, ambas triadas tienen alturas diferentes. La triada menor tiene altura 10 y la triada mayor, 11. Entre los ejemplos con que Johnson ilustra esta técnica nos llama la atención las progresiones en que se mueve una sola voz cada vez. Johnson contempla todas las posibilidades para esta progresión y construye un grafo. Se podría pensar —y así lo reconoce el propio Johnson— que el grafo tendrá bastantes triángulos, pero no es así; principalmente está formado por cuadrados, como se puede ver en la figura 8 (donde, por cierto, las notas externas no se han indicado). Figura 8: Grafo de los acordes de cinco notas con las mismos intervalos adyacentes y con las notas exteriores fijas (figura tomada de [Joh14b]). No es muy difícil ver que el grafo, que goza de bastante simetría, es, en efecto, hamiltoniano y que admite, por tanto, un ciclo que visita todos los nodos sin repetición. Una posible solución es la de la figura 9. Figura 9: Acordes correspondientes a la figura 8 (figura tomada de [Joh14b]). 6. Sumas módulo n Ahora Johnson abandona el concepto de altura y sus implicaciones armónicas y presenta uno nuevo: las sumas módulo n. Fijado un entero n distinto de cero, dos números enteros se dicen son congruentes módulo n si su diferencia es divisible por n. Por ejemplo, si n es 2, todos los números congruentes con 0 son los números pares y todos los congruentes con 1 son los números impares. La relación de congruencia es una relación de equivalencia y las clases de equivalencia asociadas son los restos de la división entera por n, que son 0, 1,…, n - 1. Johnson comienza considerando sumas módulo 2 del siguiente modo. Aquí el 2 va indicar el número de notas del acorde. Siguiendo con la numeración por semitonos de la octava de 0 a 11, Johnson clasifica los intervalos (acordes de dos notas) por la paridad de su altura. Así, obtiene intervalos pares e intervalos impares. La figura 10 muestra los intervalos pares a la izquierda (todos los que son congruentes con 0 módulo 2) y los impares a la derecha (todos los que son congruentes con 1 módulo 2). Figura 10: Clasificación de los intervalos módulo 2 (figura tomada de [Joh14b]). Esta división no deja de ser curiosa. La teoría de la consonancia ha sufrido cambios a lo largo de la historia y el intervalo disonante de hoy será la consonancia de mañana. En la armonía tonal la consonancia ha tenido un fundamento psicoacústico, basado en la serie de los armónicos. Aquí Johnson sugiere un criterio matemático, como por ejemplo que los intervalos pares se consideren consonantes y los impares disonantes, o viceversa. Cuando queremos considerar los acordes de 3 notas hemos de tomar números módulo 3. La relación de congruencia módulo 3 clasifica los números en tres grupos: los que al dividir por 3 da resto 0, los que da 1 y los que da resto 2 (y no hay otras posibilidades). En la figura 11 se muestran todos los acordes de 3 notas clasificados según la congruencia módulo 3 de su altura. Figura 11: Acordes de 3 notas clasificados módulo 3 (figura tomada de [Joh14b]). La clase de los acordes 0 módulo 3 está formado por acordes con dos intervalos iguales; de ahí que acordes disminuidos y similares aparezcan en dicha clase. En la clase 1 módulo 3 aparecen, en cambio, acordes menores. Y, finalmente, en la clase 2 módulo 3 encontramos la triada mayor junto con otros acordes de diversa naturaleza. Nótese que la transposición o la inversión de un acorde no cambia su congruencia. La razón por la que la transposición no cambia la congruencia es porque se añade una altura constante a cada una de las tres notas del acorde, es decir, se añade un múltiplo de 3, que es 0 módulo 3. En cuanto a la inversión, dado que la octava son 12 semitonos y 12 es 0 módulo 3, y dado que la inversión consiste en cambiar una nota una octava arriba, tampoco afecta a la congruencia módulo 3. En el resto del capítulo Johnson sigue analizando más acordes, entre ellos los de cuatro notas, para lo cual usa toma módulo 4 en la altura. El grupo de acordes que suman 1 módulo 4 resulta contener todos los acordes de séptima de dominante. El grupo cuya suma es 3 módulo 4 también es interesante y en él encontramos los acordes de Tristán así como otros acordes más cromáticos. Para terminar esta sección voy a reproducir el grafo de la página 162 del libro de Johnson. En él se muestran 30 acordes del grupo cuya suma es 1 módulo 4, donde se ha trazado una arista si dos acordes tienen tres notas en común. Figura 12: Grafo de 30 acordes con suma igual a 1 módulo 4 (figura tomada de [Joh14b]). 7. Tetracordos paninterválicos y homometrías El siguiente capítulo, All-interval tetrachords and other homometries, versa sobre homometrías y es quizás uno de los mejores capítulos del libro. Dado un acorde, su contenido interválico consiste en todos los intervalos que se pueden formar con sus notas. Un acorde de dos notas solo tiene un posible intervalo; uno de tres notas da lugar a tres intervalos. Por ejemplo, la triada mayor da lugar a tres intervalos: 4, 5 y 3 (seguimos midiendo los intervalos en semitonos). Los intervalos del acorde se miden tomando la distancia más corta entre las dos notas; esto da lugar a que los intervalos no sean mayores que 6, el tritono. Cuantas más notas tenga el acorde, mayor se hace el contenido interválico. Dos acordes se dicen que son homométricos si tienen el mismo contenido interválico; para más información sobre acordes homométricos, véase la serie dedicada al teorema del hexacordo ([Góm15c] y dos siguientes números). En la figura 13 se ve el contenido interválico de dos hexacordos (acordes de seis notas); se han dibujado las notas sobre un círculo de 12 puntos para mejor visualización. Una pregunta fácil de hacerse es si dos acordes homométricos son equivalentes en el sentido en que se puede obtener el uno del otro por transposiciones u otros movimientos rígidos. La respuesta es no y la propia figura 13 proporciona el contraejemplo. En el libro de Johnson se estudian los tetracordos paninterválicos, que son los acordes de cuatro notas cuyo contenido intervalo tiene los seis intervalos posibles exactamente una vez cada uno. Figura 13: El contenido interválico de dos acordes. Tetracordos paninterválicos hay 48, como bien lista Johnson, y son estos: Figura 14: Los 48 tetracordos paninterválicos (figura tomada de [Joh14b]). El libro de Johnson está plagado de visualizaciones de acordes y sus relaciones. Para los tetracordos paninterválicos propone el grafo de la figura 15. Este grafo muestra para cada acorde la tercera menor y mayor como un vértice; nótese que por ser paninterválicos dichas terceras han de existir. A continuación las conecta con las segundas menores y cuartas que aparecen en el acorde. En realidad, las aristas de este grafo son las que determinan cada uno de los tetracordos; compárense esas aristas con los elementos de la tabla de la figura 14. Figura 15: Los 48 tetracordos paninterválicos vistos en un grafo (figura tomada de [Joh14b]). 8. Diseño de bloques Los dos últimos capítulos de Other harmony toman un giro más radical e introduce el diseño de bloques (block designs). Las consideraciones para la construcción armónica se vuelven puramente matemáticas, en particular combinatorias. Esto es lo que dice Johnson al respecto, que reproduzco literalmente dada su elocuencia (dejo el original tal cual pues creo que se entiende bien): With block designs all acoustical characteristics are essentially forgotten. No more overtone series, no more ideas of consonance and dissonance, and no more octave equivalence. In the real world octaves never were equal, or even equivalent. Accepting the convention of octave equivalence was reasonable for music theorist Rameau to Forte, and this convention worked fine for the music they studied. (...) Block designs come from an abstract mathematical world, rather a long way from the acoustical world. Scales are no longer scales but rather sets. Chords are no longer chords but rather subsets. Notes are no longer notes but rather elements. Music theory is now replaced by group theory, though we can make music all the same. Un bloque es un conjunto de acordes de m notas que se extraen de una escala de n notas y en que se fija el número k de veces que aparecen en el bloque entero. Los bloques se designan por (n, m, k). El bloque más pequeño es (6, 3, 2), lo cual quiere decir que tiene 6 elementos, divididos en subconjuntos de 3 elementos y en los que cada par de elementos aparece 2 veces en cada uno de los bloques. Por comodidad, usemos el conjunto para designar los elementos del bloque. Todos las parejas sin repetición que se pueden formar con los elementos de este conjunto son: ,,,,, ,,,, ,,, ,, } Ahora habría que añadir un tercer elemento a cada pareja de modo que todo par de elementos apareciese exactamente dos veces. Ello implicará que desaparecerán algunas parejas. El conjunto final tiene 10 elementos y es este: ,,,,, ,,, , } Johnson presenta en la página 195 una visualización geométrica de este conjunto en forma de grafo; véase la figura 16. El grafo de la figura, dibujado como es habitual, no sería un grafo plano, pues se trata del grafo completo K5. Aquí Johnson duplica algunos vértices, los que aparecen entre paréntesis, y da una representación, digamos, pseudo-plana de K5. En esta representación las caras triangulares son los elementos del bloque, como es inmediato de comprobar. Figura 16: Grafo asociado al bloque (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]). Una posible transformación del grafo en notación musical puede ser la de la figura 17. Figura 17: Interpretación musical del bloque (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]). 9. Bloques paralelos En este último capítulo se consideran bloques con una condición extra y es que los bloques estén definidos de tal forma que por cada subconjunto aparezca su complementario. A este tipo de bloques los llama Johnson bloques paralelos (en realidad una mejor terminología sería bloques autocomplementarios). El bloque (6 3, 2) que aparece más arriba no es paralelo porque el complementario del subconjunto no aparece en el bloque. De nuevo, Johnson nos sorprende gratamente con otro grafo en que representa profundamente las relaciones entre los acordes. En la figura 18 vemos los 20 acordes que se pueden forman con tres notas. De ellos, la mitad están rodeados por un círculo y otros no. Los que tienen círculo forman una clase paralela y Johnson los ha unido con una línea discontinua. Las aristas sólidas están dadas por la relación de diferencia mínima (dos acordes varían en una sola nota). Para una mejor visualización, los nodos de la izquierda van en orden creciente de altura, mientras que los de la derecha van en orden decreciente de altura. Por último, nótese que la clase con círculo es paralela, pero que la clase sin círculo es también una clase paralela. Esto es consecuencia de la propia definición de bloque paralelo. Figura 18: Visualización de bloques paralelos en (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]). Johnson muestra otro método para obtener bloques paralelos, los cuadrados. Por ejemplo, el bloque (9, 3, 1) lo extrae del siguiente cuadrado o matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Curiosamente, cuando se leen los elementos de este cuadrado horizontalmente, verticalmente y diagonalmente se obtienen bloques paralelos correspondientes a (9, 3, 1) (cada fila abajo corresponde con un bloque paralelo): ,,, ,,, ,,, ,,} 10. Progresiones armónicas Casi no El último capítulo Johnson habla de las progresiones Casi no que no son otras que las progresiones que no van a ningún sitio. De nuevo, las palabras más elocuentes para explicar esto son las del propio Johnson: We are accustomed to thinking of chord progressions as progressions that go somewhere, and these (Almost not progressions) just noodle around as if they were going to neighbor notes and back. Each note is as important as each other note, and they somehow belong together, because they have equal places in a complete block design. A continuación Johnson justifica brevemente las progresiones Casi no poniendo ejemplo de la historia de la música con las armonías wagnerianas y post-wagnerianas. Cierra el capítulo con un análisis de estas progresiones, que ya por brevedad, no glosamos aquí. 11. Conclusiones En una serie de cuatro artículos hemos glosado el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal). Este libro es, en el fondo, una excursión por las ideas matemáticas que inspiraron nuevas formas de concebir la armonía. Esperamos que al lector que proviene del mundo de las matemáticas le haya abierto los ojos a la armonía, sobre todo a las Otras Armonías, y que, en cambio, al lector que proviene del mundo de las música le haya abierto los ojos a los conceptos matemáticos. Si esto hemos conseguido, siquiera modestamente, habremos cumplido nuestro objetivo.   Referencias [Góm15a] P. Gómez. Otras armonías son posibles (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16413&directory=67, consultado en febrero de 2015. [Góm15b] P. Gómez. Otras armonías son posibles (II). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16445&directory=67, consultado en marzo de 2015. [Góm15c] P. Gómez. El teorema del hexacordo (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10806&directory=67, consultado en mayo de 2015. [Góm15d] P. Gómez. Otras armonías son posibles (III). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16588&directory=67, consultado en mayo de 2015. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [Mac15a] Marta Macho. 50 (+1) años de OuLiPo. http://www.matematicalia.net/articulos/v7n3sep2011/OuLiPo.pdf, consultado en mayo de 2015. artículo publicado en la revista digital Matematicalia. [Mac15b] Marta Macho. El material del taller de literatura OuLiPo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16316&directory=67, consultado en mayo de 2015. [Mac15c] Marta Macho. Oulipo: mestizaje entre cifras y letras. http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Alliance2013.pdf, consultado en mayo de 2015. [Mac15d] Marta Macho. Página web de Marta Macho. http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Datos.html, consultado en mayo de 2015. [Mac15e] Marta Macho. Taller de literatura OuLiPo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16260&directory=67, consultado en mayo de 2015. [OuL15] OuLiPo. OuLiPo | Ouvroir de littérature potentialle. http://OuLiPo.net/, consultado en mayo de 2015. [Slo47] N. Slonimsky. Thesaurus of scales and melodic patterns. Charles Scribner’s Sons, 1947.
Jueves, 18 de Junio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Tras un parón obligado por una lesión deportiva —y que me impidió sacar este artículo el mes pasado—, continuamos con la serie Otras armonías son posibles. Como recordará el lector, esta serie se basa en una glosa de los sistemas armónicos de base matemática que aparecen en el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a]. En él, Johnson investiga la existencia de otros sistemas armónicos diferentes del tonal a lo largo de la historia. En el primer artículo de la serie [Góm15a] examinamos la armonía tonal, de la que dimos una descripción sucinta, y proporcionamos referencias bibliográficas para el lector que quiera profundizar. En el segundo artículo de la serie [Góm15b] analizamos la armonía atonal con ejemplos de Arnold Schonberg y su técnica dodecafónica, la nomenclatura de acordes de Forte y la clasificación de Jedrzejewski basada en teoría de nudos. El último artículo de la serie, el del mes que viene, estudiará el resto de los autores del libro de Johnson. El resto del libro de Johnson es la exploración de las Otras Armonías, las armonías que no fueron ni tonales ni atonales (en el sentido restringido de armonía tonal que se definió en el primer artículo de la serie [Góm15a]). En este artículo estudiaremos las armonías de Euler, Hauer, Slonimsky y Schillinger, que son algunos autores cuyos sistemas armónicos tienen relación con las matemáticas. El lector se adentrará en otras formas de concebir las armonías a las que probablemente no esté acostumbrado. 2. Las armonías de Euler Euler (1707-1783) es uno de los mayores genios de las matemáticas de todos los tiempos. Sus contribuciones a las matemáticas, la física y la ingeniería son sobresalientes y todavía hoy en día tienen repercusión; véase el archivo Euler [KSTd15] para información sobre su vida y obra. También era Euler un apasionado de la música y en una de sus obras dedica muchas páginas a su estudio. Esa obra, de largo título, es Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae o un nuevo intento de teoría de la música, expuesto con total claridad de acuerdo a los principios de la armonía mejor fundados. Véase el archivo de Euler [KSTd15] (dirigido por Klyve, Stemkoski y Tou), que contiene los originales en latín; una traducción parcial al inglés se encuentra en [Bai97]. Pesi analiza el impacto de la obra de Euler y la relación entre música y teoría de números. Para profundizar en la vida y obra de Euler, consúltese [BM11]. Euler adoptó un enfoque combinatorio para estudiar la armonía. Construyó los acordes a partir de los armónicos que se podían obtener usando productos de números primos pequeños. Déjesenos aclarar primero que en los tiempos de Euler el número 1 era considerado primo. En su libro Johnson ofrece un ejemplo con los números 1, 2, 3 y 3 (con la repetición del 3), cuyas combinaciones entre ellos dan 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Si tomamos la nota fa como fundamental, el acorde más a a la izquierda de la figura 1 es el obtenido con ese conjunto. Figura 1: Acordes de Euler (figura tomada de [Joh14b]). En la figura anterior las notas se han ajustado a la escala de temperamento igual. En principio, habría que objetar a tal ajuste, pero el mismo Euler lo hizo en su obra y aquí lo hacemos para seguir su pensamiento escrupulosamente. El segundo acorde de la figura 1  corresponde a la serie (1,2,2,3,3) y el tercero, a la serie (1,2,2,2,3,3). Euler fue más lejos e introdujo el 5 en las series. El acorde de la siguiente figura está generado por la serie (1,2,3,5,5), que tiene dos cincos. La nota marcada con un asterisco está fuera del espectro audible. Figura 2: Acorde correspondiente a la serie (1,2,3,5,5) (figura tomada de [Joh14b]). Estos acordes generados por las series numéricas resultan impracticables musicalmente. Euler los transformaba usando el principio de equivalencia de la octava, es decir, poniendo todas las notas en una misma octava. Así por ejemplo, los acordes de especie V (terminología de Euler) provienen de series tales como (2,3,3,5). En la figura 3 se muestran algunos de esos acordes. Figura 3: Acordes de especie V (figura tomada de [Joh14b]). A propósito del mecanismo de contraer las notas del acorde en una octava, el propio Johnson señala en su libro que “seguro que Euler se daba cuenta de que estaba haciendo trampa aquí” (página 43). El sistema de Euler no tuvo acogida entre los compositores de la época, entre otras cosas porque rompía ciertas reglas de la armonía. El ejemplo de Euler —como apunta el propio Johnson (página 44) sirve para dar un contraejemplo de que el principio de equivalencia de la octava no siempre funciona en armonía y que una clasificación de intervalos consonantes no es siempre consecuencia de la serie de armónicos de una nota. 3. Hauer y los tropos Hauer (1883-1959) fue un compositor contemporáneo de Schoenberg que rompió con la tonalidad clásica por vía de la experimentación del cromatismo y la atonalidad. Como compositor, estuvo por debajo de los principales representantes de la Segunda Escuela de Viena (Schoenberg, Berg y Webern), aunque su obra, en especial las piezas cortas para piano, sí revisten interés. Hauer perfiló y presentó su técnica compositiva a lo largo de una serie de obras escritas entre 1912 y 1919, que culmina con Über die Klangfarbe (1918), una teoría de tonos basada a su vez en la teoría del color de Goethe. Este compositor dotó a sus obras teóricas de una sugestiva concepción mística de la música. El compositor no es un creador de música sino “un oyente de la música, alguien capaz de percibir y conservar la incambiable e intocable eternidad de las cosas”(citado en [Mor99]). La excelente tesis de Covach [Cov90] y su posterior trabajo [Cov03] constituyen una buena fuente de información y análisis de la figura de Hauer. En castellano se puede consultar el libro de Morgan [Mor99]. El sistema de Hauer y el de Schoenberg son similares, pero presentan algunas diferencias importantes. Hauer basa su sistema composición en el concepto de tropo, que son conjuntos de seis notas desordenados, en oposición a las series dodecafónicas, que son sucesiones y por tanto el orden de presentación de las notas es determinante. Hauer especificaba para cada pieza dos tropos. Sus notas se podían repetir varias veces y no era necesario que apareciesen todas antes de repetir una nota particular. Esta técnica compositiva es mucho menos rigurosa que la de Schoenberg. Hauer no siempre trabajó con conjuntos de seis notas. En el ejemplo que aparece en las páginas 51–53 del libro de Johnson, Hauer experimenta con conjuntos de cuatro notas de la manera siguiente. Observemos la partitura reproducida en la figura 4, que corresponde a los primeros 12 compases de Zwölftonspiel, obra de 1946. Figura 4: Los primeros 12 compases de Zwölftonspiel (figura tomada de [Joh14b]). En ella se advierte que en cada compás usa un conjunto de cuatro notas, las cuales se repiten en el siguiente compás salvo una, que cambia de compás a compás. Este proceso continúa durante 12 compases. Es claro que al final de este proceso han aparecido las 12 notas de la escala cromática. Es, como vemos, una manera de experimentar con el cromatismo, de romper con la armonía con función de dominante similar y a la vez diferente de la de Schoenberg. En Other Harmony Johnson analiza e ilustra más piezas de Hauer y de su técnica compositiva. 4. Slonimsky y el inventario de escalas Slonimsky (1894-1995) fue una figura fascinante que, sin duda, merecería más conocimiento y reconocimiento por parte del gran público. Fue pianista, compositor de orquesta y director de orquesta, pero también autor y —¿cómo podríamos decir?— lexicógrafo (pero no de palabras, sino de escalas). Sus escritos musicales más conocidos son el formidable Thesaurus of Scales and Melodic Patterns [Slo97] y su hilarante Lexicon of Musical Invective [Slo53]; también es digno de mención su trabajo como editor en el Baker’s Biographical Dictionary of Musicians (se puede consultar en línea una versión escaneada de la quinta edición en [Bak15]). A nosotros particularmente nos llama mucho la atención el sentido del humor del que hacía gala, irreverente, irónico y humano. Su Lexicon of Musical Invective es un jocoso ataque al mundo de la crítica, en que destapa sus miserias de modo irrefutable; se puede encontrar unos cuantos ejemplos de dicho libro en [Góm13]. El Thesaurus of Scales and Melodic Patterns es una gran compilación de todo tipo de escalas: las hay ascendentes, pero también con otros tipos de orden; las hay basadas en la división de la octava, pero también basados en intervalos superiores a ella; y las hay con una gran variedad de número de notas. Como es obvio, a partir de las escalas se pueden construir acordes tomando subconjuntos de notas de varios tamañ˜nos. Sin embargo, Slonimsky no pone mucha atención en las consecuencias armónicas de la enumeración de las escalas. Pero al final del libro Slonimksy sorprende al lector y presenta tres acordes bastante sugerentes y hasta provocativos. Al comentarlos Johnson afirma que probablemente no se han empleado nunca en composición alguna. Figura 5: Acordes de 12 notas de Slonimsky (figura tomada de [Joh14b]). Del libro de Slonimksy hay dos hechos que llaman la atención de Johnson. El primero es el sistema creación de escalas por interpolación y el segundo es el uso de intervalos superiores a la octava para construir escalas. El concepto de interpolación aparece en matemáticas en múltiples contextos, especialmente en cálculo numérico (la interpolación de Lagrange, de Hermite, polinomial, esplines y sus múltiples variaciones). La interpolación de escalas consiste en, a partir de una escala con pocas notas, introducir otras notas. Con frecuencia la interpolación lleva a la construcción de una escala de rango mayor que la octava en cuanto las notas introducidas tengan una mínima distancia interválica. En la figura 6 vemos distintas interpolaciones entre las notas do-sol#-mi-do a lo largo de dos octavas (dos primeros sistemas de la figura). El tercer sistema muestra una interpolación de tres octavas. Figura 6: Interpolación de escalas (figura tomada de [Joh14b]). No querríamos dejar sin mencionar la reflexión de Johnson (página 65) sobre la ruptura del pensamiento musical imperante y que este autor trae a colación de la obra de Slonimksy: Most people are content to follow the traditions of their day, however, Slonimsky’s book remains surprisingly little known in music departments today. 5. Schillinger y su teoría compositiva La figura de Joseph Schillinger es controvertida. Para unos, Schillinger fue un adelantado de su tiempo en su concepción de la teoría de la música, pues fue pionero de las técnicas algorítmicas de composición, del uso de la teoría de conjuntos para el análisis musical y de la música electrónica. En la figura 7 se puede ver una representación de una pieza musical de Bach con el sistema de Schillinger; dicha representación recuerda mucho a las modernas partituras de la música electrónica. Asimismo, influyó en compositores de la talla de George Gershwin, Benny Goodman, Glenn Miller o Henry Cowell, por nombrar unos pocos. Para otros, su teoría de la música es otro fracasado intento de explicar la música desde una perspectiva matemática, fracaso que sus detractores suelen achacar al carácter descriptivo de la gramática musical que presenta Schillinger, a sus problemas terminológicos y de notación, a su estilo deliberadamente provocativo y críptico en ocasiones, o en su énfasis en la repetición. Schillinger escribió una monumental obra en dos volúmenes, Schillinger System of Musical Composition [Sch78], cada uno de ellos dividido en doce libros donde virtualmente trata todos los aspectos de la música, desde el ritmo (quizás donde su teoría es más profunda) hasta orquestación y contrapunto. Su obra se publicó postúmamente. Figura 7: Representación de la invención no 8 en fa mayor, BWV 77, de Bach (figura tomada de [Wik15]). En Other harmony Johnson se aliena con los primeros, con los partidarios, aunque con sentido crítico. Considera sus ideas sobre el ritmo interesantes y dignas de estudio, pero se muestra decepcionado cuando entra en su sistema armónico. “Schillinger no nos dice mucho sobre la Otra Armonía”, se lamenta en la página 87 de su libro. Los acordes y sus métodos de construcción que describe Schillinger son esencialmente tonales, con frecuencia construidos sobre intervalos de tercera consecutivos. Como hicieran otros autores, Schillinger clasifica los acordes y he aquí el momento en que Johnson encuentra un punto de interés con su propia obra compositiva. Johnson es el compositor de la obra The chord catalogue, una obra de 1985 en que se tocan todos los 8.178 posibles acordes en una octava; véase el vídeo [Vri15] para más información sobre esta obra. Para componer esta obra Johnson tuvo que desarrollar un esquema de cómputo de los acordes de modo que no hubiese repeticiones ni se quedaran acordes fuera de la lista. Resultó que el esquema de Johnson es casi igual que el de Schillinger. Johnson no conocía la obra de Schillinger cuando acometió la composición de su The chord catalogue. Referencias [Bai97] P. Bailache. Music translated into Mathematics: Leonhard Euler. http://www.tonalsoft.com/monzo/euler/euler-en.aspx, 1997. artículo en línea. [Bak15] T. Baker. Baker’s biographical dictionary of musicians. https://archive.org/details/bakersbiographic1958bake, consultado en abril de 2015. artículo en línea. [BM11] Carl B. Boyer and Uta C. Merzbach. A History of Mathematics. Wiley, third edition, 2011. [Cov90] John Covach. The Music and Theories of Josef Matthias Hauer. PhD thesis, Ann Arbor, University of Michigan, 1990. [Cov03] John Covach. Josef Matthias Hauer. Greenwood Publishing, 2003. In Music of the Twentieth Century Avant-Garde, edited by Larry Sitsky. [Góm13] P.. Gómez. Lexicon of Musical Invective - Nicolas Slonimsky. http://webpgomez.com/artes/musica-y-ciencia/547-lexicon-of-musical-invective-nicolas-slonimsky, 2013. [Góm15a] P.. Gómez. Otras armonías son posibles (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16413&directory=67, febrero de 2015. [Góm15b] P.. Gómez. Otras armonías son posibles (II). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16445&directory=67, marzo de 2015. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [KSTd15] D. Klyve, L. Stemkoski, and E. Tou (directores). The Euler archive. http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html, consultada en marzo de 2015. [Mor99] R. P. Morgan. La música del siglo XX. Akal/Música, Madrid, 1999. [Sch78] J. Schillinger. Schillinger System of Musical Composition. Da Capo Pr, 1978. [Slo53] N. Slonimisky. Lexicon of Musical Invective. W W Norton & Co, New York, 1953. [Slo97] N. Slonimisky. Thesaurus of Scales and Melodic Patterns. Music Sales Corp, Santa Monica, California, 1997. [Vri15] S. Vriezen. Chord catalogue crowdfunding call. https://www.indiegogo.com/projects/chord-catalogues-conceptual-piano-music-by-tom-johnson-and-samuel-vriezen, consultado en abril de 2015. [Wik15] Wikipedia. Joseph schillinger. http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Schillinger, consultada en abril de 2015.
Lunes, 18 de Mayo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este es el segundo artículo de la serie Otras armonías son posibles. La serie investiga la existencia de otros sistemas armónicos diferentes del tonal. Lo hacemos de la mano de un libro de notable factura, Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], escrito por el compositor Tom Johnson. En el primer artículo de la serie [Góm15] nos volcamos en la armonía tonal, de la que dimos una visión breve y concisa, así como de diversas formas de visualización de la armonía a través de técnicas matemáticas (algunas de estas técnicas reaparecerán más tarde, especialmente las que se encuentran en la obra de Tymoczko [Tym11, Tym15]). En el presente artículo examinaremos la armonía atonal. Como ya advertimos en la introducción del primer artículo, por armonía atonal nos referiremos a la armonía que rechaza las jerarquías tonales y la prominencia de un tono particular, pero que todavía usa el concepto de tono. En esencia, estamos hablando del dodecafonismo. En el libro de Johnson las armonías no tonales distintas del dodecafonismo se llaman Otras Armonías (de nuevo, así, en mayúscula). Ya que esta serie constituye una recensión de esta obra de Johnson, adoptaremos tal terminología. 2. Armonía atonal El atonalismo dodecafónico es un sistema de composición concebido por Arnold Schoenberg (1874-1951) en que ningún grado de la escala cromático posee ningún énfasis armónico especial. En particular, Schoenberg exige en su sistema que se establezca un orden fijo de aparición de las notas, el cual se repite a lo largo de la obra, para así asegurar que todas las notas tienen igual importancia. Esta es una manera de destruir la tonalidad imperante durante los siglos anteriores, durante la práctica común. En efecto, donde antes la armonía tonal establecía una jerarquía entre los tonos, tal jerarquía desaparece ahora al dotar a todos los grados de la escala de igual importancia; donde antes había una teoría de la consonancia que clasificaba los acordes, ahora tal clasificación se desvanece por pura falta de contexto; donde antes había unas reglas contrapuntísticas bien definidas, ahora tales reglas carecen de sentido; donde antes podíamos hablar de polos tonales, ahora estamos en presencia de un perpetuum mobile tonal, sin implicaciones jerárquicas, regido por un estricto orden de aparición. Este sistema compositivo dio lugar a la Segunda Escuela de Viena, cuyos miembros más destacados fueron Alban Berg, Anton Webern, Hanns Eisler y el propio Schoenberg; véase [Nei97] para más información. La técnica compositiva de Schoenberg se basa en el concepto de secuencia de tonos, que no es más que una ordenación de los doce tonos de la escala cromática. Para definir esa secuencia de tonos, se establecen las siguientes cuatro condiciones: La secuencia de tonos se da en un orden fijo, que ha de mantenerse durante la obra. Los tonos pueden aparecer en cualquier octava. No puede haber repeticiones de tonos en la secuencia. La secuencia de tonos puede someterse a transformaciones que dejen invariante el contenido interválico, esto es, las distancias entre las notas medidas en semitonos (esto se explica desde un punto de vista geométrico con más detalle más adelante). Las transformaciones que dejan intacto el contenido interválico son la retrogradación (invertir el orden de la secuencia de tonos), la inversión (cambiar la dirección de los intervalos), la retrogradación de la inversión (la combinación de las dos anteriores) y cualquier combinación de las anteriores. Dada una transformación de una secuencia de tonos, esta puede empezar en cualquiera de sus notas. Pondremos algunos ejemplos (tomados de [Wik15]). Si la secuencia de tonos inicial es Figura 1: Secuencia de tonos inicial (tomada de [Wik15]). Si tomamos las distancias entre las notas consecutivas de la secuencia, medida en semitonos, tenemos que es (-1,-3,+6,+2,-3,+2,-5,-3,-2,+4,-3); se ha indicado la dirección del movimiento melódico con un signo más o menos. La secuencia puesta en retrogradación es Figura 2: Secuencia de tonos en retrogradación (tomada de [Wik15]). La secuencia de distancias es ahora (+3,-4,+2,+3,+5,-2,+3,-2,-6,+3,+1), que no es más que la secuencia original leída de derecha a izquierda. Obsérvese que como consecuencia de invertir el orden, también se intercambia la dirección melódica (y los signos + y -). La secuencia invertida es Figura 3: Secuencia de tonos invertida (tomada de [Wik15]). La secuencia de distancias es (+1,+3,-6,-2,+3,-2,+5,+3,+2,-4,+3), obtenida intercambiando + por - y viceversa en la secuencia original. Por último, la retrogradación de la secuencia invertida es Figura 4: Secuencia de tonos en retrogradación e invertida (tomada de [Wik15]). Finalmente, la secuencia de distancia es (-3,+4,-2,-3,-5,+2,-3,+2,+6,-3,-1). En la figura de abajo tenemos un fragmento del quinteto para viento opus 26 de Schoenberg donde él mismo anotó las notas de la secuencia de tonos. Figura 5: Fragmento del quinteto para viento, opus 26 (tomada de [Wik15]). Como puede verse en el ejemplo anterior, la instrumentación, ritmo, textura y otros parámetros musicales no se someten a ningún orden particular; el compositor tiene total libertad para manipularlos. Posteriormente, otros compositores sistematizaron la elección de esos parámetros musicales también, lo que dio lugar a una música más formalizada. El libro de Johnson proporciona un ejemplo muy ilustrativo de secuencia de tonos (quien a su vez lo toma del libro de Mazzola [Maz02] The Topos of Music); véase la figura 6. Figura 6: Matriz de alturas de sonido del cuarteto para cuerda, opus 28, de Webern. (figura tomada de [Joh14b]). Suponiendo que la fila uno es do, la fila dos, do♯, y así sucesivamente, cuando la matriz se lee horizontalmente, se obtiene la secuencia de tonos (escrita en notas y grados de la escala): (do♯, do, re♯, re, fa♯, sol, mi, fa, la, la♭, si, si♭) (1, 0, 3, 2, 6, 7, 4, 5, 9, 8, 11, 10) Además, la matriz refleja clara y elegantemente la simetría que hay en la secuencia, donde se ve que la segunda mitad es la retrogradación de la inversión de la primera mitad. En efecto, la secuencia de distancias para la segunda mitad es (+1,+4,-1,+3,-1) (empezando en la nota mi), y cuando hacemos la retrogradación de la inversión obtenemos la secuencia (-1,+3,-1,+4,+1), que es la correspondiente a la primera mitad. Johnson, quien está francamente bien informado de las matemáticas que se han aplicado a la música, pone otro ejemplo notable, el de Jedrzejewski, quien en su Mathematical Theory of Music [Jed06] clasifica los 9.979.200 posibles secuencias de tonos a exactamente 554 a través de la teoría de nodos, una conexión sorprendente y profunda entre matemáticas y música. En la figura 7 vemos la interpretación geométrica que permitió a Jedrzejewski construir esa clasificación. Tomando como secuencia de tonos la secuencia del cuarteto de Webern de más arriba, el nudo que aparece en la figura se construye poniendo sobre un círculo de 12 puntos equiespaciados la secuencia de tonos (1,0,3,2,6,7,4,5,9,8,11,10) y a continuación uniendo aquellos tonos cuya distancia es un tritono. Figura 7: Clasificación de la secuencia del cuarteto de cuerda de Webern según el método de Jedrzejewski (figura tomada de [Joh14b]). El dodecafonismo ha sido estudiado profunda y extensamente. Por ejemplo, Simms [Sim00] constituye un buen estudio de la música del propio Schoenber y el reciente libro [For14] de Forte, un excelente tratado de la música de Webern, otro importante músico seguidor de esta corriente estética y musical. Para un tratado del contrapunto en la música atonal, véase el libro de Funicelli [Fun09]. Los libros de Allen  [For77] y Tymoczko [Tym11] son muy recomendables para el lector interesado. 3. La nomenclatura de acordes de Allen Forte Johnson también glosa para el lector otra nomenclatura de acordes, la de Allen Forte. En su libro The Structure of Atonal Music [For77] Forte ofrece una clasificación de los acordes de mucho más profunda y sistemática que las clasificaciones dadas hasta el momento. La clasificación de Forte se basa en dos ideas principales: primero, clasificar los acordes según las distancias entre sus notas o contenido interválico; segundo, considera que dos acordes son iguales si uno se puede transformar en el otro a través de movimientos rígidos, esto es, movimientos que dejen invariante el contenido interválico. Explicaremos con un poco más de detalle la clasificación de Forte. Seguiremos, con permiso del lector, la exposición que hicimos en un artículo anterior de mayo de 2010 (véase [Góm10]). Supongamos que ponemos las notas de una secuencia de notas (en principio, de cualquier longitud) sobre el círculo cromático. El contenido interválico depende solo de la distancia entre los puntos del círculo. Los movimientos rígidos son aquellos que preservan las distancias entre pares de puntos y, por tanto, preservarán el contenido interválico. Esos movimientos son los giros, las simetrías respecto a un diámetro y las simetrías seguidas por giros. Pongamos un ejemplo; consideremos el conjunto A = . Si lo giramos 4 posiciones obtenemos T4(A) = . Si le aplicamos una simetría S respecto al diámetro que pasa por 0, resulta el conjunto S(A) = . Por último, la composición de ambas operaciones da S(T4(A)) = ; véase la figura 8. Figura 8: Transformaciones de tonos mediante movimientos rígidos. Dos conjuntos de puntos (o dos acordes) se dicen congruentes si uno se obtiene del otro mediante movimientos rígidos. Dos conjuntos de puntos (o dos acordes) se dicen homométricos si ambos tienen el mismo contenido interválico. La pregunta natural, obligada, es: ¿existen conjuntos no congruentes que poseen el mismo contenido interválico? La respuesta es sí y un ejemplo de ello serían, por ejemplo, A = y B = ; véase la figura 9. Figura 9: Dos acordes homométricos pero no congruentes. En música los conjuntos homométricos se llaman isómeros o también se dice que tienen la propiedad Z [For77]. Ahora es hora de describir lo anterior a términos musicales. Un acorde o una escala se puede concebir como un subconjunto de puntos en el círculo. Un giro corresponde a una transposición de un acorde o una escala. Lamentablemente, transposición en música no significa lo mismo que en teoría de grupos, y eso a veces causa confusión. Aquí usaremos ese término en el sentido musical. Las transposiciones de un acorde se corresponden con las permutaciones circulares del conjunto de puntos asociado. Figura 10: Transposición de un acorde. Los giros de un conjunto de puntos se corresponden con un cambio de fundamental en el acorde. Figura 11: Cambio de fundamental de un acorde vía transposición. Las simetrías seguidas de giros dan cuenta de diversos cambios de acordes. Permiten, por ejemplo, cambiar de modo. En la figura 8 se ve un cambio de do mayor a do menor. Figura 12: Cambio del modo de un acorde vía la simetría. O también pasar de un acorde de séptima de dominante a un acorde séptima de sensible: Figura 13: Transposición de un acorde. En la siguiente tabla encontramos la clasificación de acordes de Forte: Figura 14: Clasificación de acordes de Forte (figura tomada de [Joh14b]). Johnson refleja en su libro las quejas de algunos teóricos de la música por la clasificación de Forte, pero las refuta. Recoge, por ejemplo, la queja de que el acorde Forte 311 (0, 3, 7), que es la triada menor, es equivalente ¡a la triada mayor! En efecto, ambas triadas tienen el mismo contenido interválico y es posible pasar de una a otra por movimientos rígidos (con una simetría más una transposición). Dice Johnson, muy acertadamente, que algunos compositores“quieren oír la música como siempre la oyeron antes que abrir sus oídos a una escucha más objetiva” (página 28). En el resto del capítulo Johnson investiga los acordes con la propiedad Z (aunque más tarde en el libro vuelve a ellas). En las últimas páginas de la sección sobre atonalidad del libro de Johnson, este investiga las propiedades del acorde Forte 4-22 (0, 2, 4, 7). Si el 0 lo situamos sobre la nota do, este acorde es una tríada mayor con la nota re añadida. Este acorde se puede interpretar como la inversión de un acorde de novena dominante con la séptima ausente. Johnson se plantea construir una sucesión de acordes a partir de (0, 2, 4, 7) de modo que dos acordes consecutivos solo difieran en una nota. Curiosamente, le salen dos ciclos disjuntos. El primer ciclo está generado por los cambios en (0, 2, 4, 7) y el segundo, por la forma invertida del acorde (0, 3, 5, 7). El primer ciclo está en la figura siguiente, primero dibujado como un ciclo de acordes y luego escrito con notación musical. Figura 15: Primer ciclo de acordes derivados de Forte 4-22 (figura tomada de [Joh14b]). El segundo ciclo, el basado en (0, 3, 5, 7), está dado en la figura de abajo. Figura 16: Segundo ciclo de acordes derivados de Forte 4-22 (figura tomada de [Joh14b]).   Bibliografía [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [For14] A. Forte. The Atonal Music of Anton Webern. Yale University Press, 2014. [Fun09] S. A. Funicelli. Basic Atonal Counterpoint. Createspace, 2009. [Góm10] P.. Gómez. El teorema del hexacordo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10806&directory=67, mayo de 2010. [Góm15] P.. Gómez. Otras armonías son posibles (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16413&directory=67, febrero de 2015. [Jed06] F. Jedrzejewski. Mathematical Theory of Music. Editions Delatour, 2006. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002. [Nei97] O. Neighbour. The New Grove Second Viennese School: Schoenberg, Webern, Berg. Norton & Company, 1997. [Sim00] B. R. Simms. The Atonal Music of Arnold Schoenberg, 1908-1923. Oxford University Press, 2000. [Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011. [Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015. [Wik15] Wikipedia. Twelve-tone technique. http://en.wikipedia.org/wiki/Twelve-tone_technique, consultada en febrero de 2015.
Lunes, 16 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Gracias al acertado consejo de un buen amigo, recientemente cayó en mis manos el excelente libro Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], escrito por el compositor Tom Johnson. En este libro se examinan, desde un punto divulgativo pero riguroso, varios sistemas de armonía musical, algunos de los cuales tienen principios matemáticos. Entre estos sistemas se encuentran la armonía tonal, la armonía atonal y lo que el autor llama muy provocativamente Otras Armonías. Las mayúsculas son correctas (Other Harmony en el original), en efecto, y nosotros mantendremos esa provocación en este artículo. Por armonía atonal, Johnson se refiere a la armonía que rechaza las jerarquías tonales y la prominencia de un tono particular, pero que todavía usa el concepto de tono; dentro de esta categoría estaría, por ejemplo, el dodecafonismo. Una fuerza vigorosa dentro de la música occidental ha sido siempre la superación del sistema armónico en curso. Nuevas reglas permitieron que lo que antes eran disonancias o progresiones prohibidas ahora se usen con total naturalidad. Ese empuje llevó la armonía tonal a su límite a principios del siglo XX. En ese tiempo la superación de la armonía tonal clásica era en muchos casos una elección estética inevitable. Sin embargo, como ilustra Johnson en su libro, las formas en que los compositores superaron la armonía tonal fueron extraordinariamente variadas. Muchas de ellas son desconocidas, bien porque no tuvieron éxito entre los compositores, o bien porque otras sistemas compositivos les hicieron sombra y cayeron en el olvido. En el libro de Johnson se rescatan algunos de esos sistemas compositivos. La serie de cuatro artículos de los próximos meses será una recensión crítica de Other Harmony. En la figura de abajo, se muestra el índice de contenidos del libro, el cual nos da una idea de cuál es el camino que ha seguido Johnson es su particular andadura por la armonía no convencional, por las Otras Armonías (esta figura y otras que aparecerán en los artículos han sido tomadas de la página web de la editorial  [Joh14b], donde se entiende que son de libre disposición siempre y cuando se cite la fuente). Johnson explora muchos sistemas armónicos que no pertenecen a los reinos clásicos de la tonalidad y la atonalidad, sino a las tierras disconformes y heterodoxas de la Otra Armonía. Algunos de estos últimos sistemas, como veremos, no calaron en la práctica compositiva; unos pocos —el ejemplo más notable es el de Messian — sí tuvieron repercusión musical y se incorporaron a las prácticas compositivas modernas. Figura 1: Índice de contenidos del libro Other Harmony [Joh14b] En este primer artículo explicaremos la armonía tonal para el lector sin una fuerte formación musical. Para este lector recomendamos el libro Armonía [PMA12], de Walter Piston, el cual presenta la armonía de una manera muy gradual y didáctica, con un buen número de ejercicios; otras referencias a tener en cuenta son [KP12, ASC10] Entendemos que para el lector músico o con una fuerte formación musical esta sección no tiene más que un interés divulgativo. Si lo considera necesario, puede saltársela. Dentro de la sección de armonía tonal presentaremos algunos modelos matemáticos que en especial permitirán una visualización geométrica de las relaciones armónicas. Con ello cerraremos el artículo de este mes. 2. Armonía tonal En esta sección seguiremos básicamente la exposición del libro de Piston [PMA12]. Pondremos en negrita aquellos términos que constituyan una definición. La armonía, definida de una manera eminentemente práctica, es el estudio de los acordes —el uso de dos o más notas simultáneamente— , su construcción, el enlace entre ellos y sus progresiones. La armonía de la tradición clásica occidental está basada fundamentalmente en las propiedades acústicas del sonido. Todo empieza con el concepto de intervalo. Un intervalo son dos sonidos. Si suenan a la vez, hablamos de intervalo armónico y si suenan una tras el otro, de intervalo melódico; véase la figura 2. Figura 2: Intervalos melódicos y armónicos Las notas que forman los intervalos se extraen de las escalas. Las escalas son distribuciones de notas. Hay muchos tipos de escalas (véase [Slo47] como ejemplo sobresaliente de recopilación). Las que se usan en la tradición clásica occidental son principalmente escalas diatónicas, formadas por la combinación de tonos y semitonos. Las dos principales escalas son la escala mayor y la escala menor. En la figura de abajo se muestran ejemplos de varias escalas. Las escalas diatónicas están formadas por siete notas y cada una de esas notas recibe el nombre de grado. Los grados tienen nombres especiales: Tónica o nota de la escala. Cuando decimos escala de do mayor indicamos que la nota tónica es do. Supertónica o nota siguiente a la tónica. Mediante o tercer grado de la escala. Subdominante o cuarto grado. Dominante o quinto grado. Submediante o sexto grado. Sensible o séptimo grado. El nombre de sensible se aplica cuando la distancia entre la tónica en la siguiente octava y esta nota es de medio tono. Si es de un tono entero, se habla de séptimo grado. Los grados más importantes en la armonía clásica son la tónica, la dominante y la subdominante. Dado que los acordes están formados por sonidos tocados simultáneamente, necesitamos clasificar los intervalos armónicos. Fijemos una escala mayor cualquiera y comparémosla con la correspondiente escala menor. Los intervalos comunes a ambas escalas son el unísono, la cuarta, la quinta y la octava. Estos intervalos se llaman justos. El resto de los intervalos de la escala mayor son intervalos mayores y son la segunda, la tercera, la sexta y la séptima. En el caso de la escala menor, estos intervalos son menores. Cuando a uno de los intervalos anteriores se le baja medio tono a la nota más grave, o bien se le sube medio tono a la nota más aguda, tenemos un intervalo aumentado. Si ahora se sube medio tono la nota más grave o se baja medio tono la más aguda, tenemos un intervalo disminuido. La figura de abajo contiene una tabla con la clasificación de los intervalos (m= menor, M= mayor, J=justo, A=aumentado, d=disminuido). Figura 3: Clasificación de los intervalos (figura tomada de [Wik15]) Como dijimos más arriba, un acorde se forma por dos o más sonidos que se producen simultáneamente. El acorde más común es la triada o acorde de tres notas. Las triadas se forman encadenando intervalos de tercera sobre la nota base del acorde. Según el tipo de terceras implicadas en la formación de la triada tenemos los siguientes tipos de acordes: Triada mayor, formada por una tercera mayor seguida de una tercera menor; Triada menor, formada por una tercera menor seguida de una tercera mayor; Triada aumentada, formada por dos terceras mayores consecutivas; Triada disminuida, formada por dos terceras menores consecutivas. Véase la figura 2 para ejemplos de estos tipos de triadas. Las notas de los acordes pueden variar en su disposición y entonces hablamos de las inversiones del acorde. Si la primera nota del acorde es la más grave, el acorde está en estado fundamental; si la tercera del acorde es la nota más grave, el acorde está en primera inversión; y, por último, si la quinta del acorde es la nota más grave, entonces el acorde está en segunda inversión. En la figura 4 vemos un acorde y sus inversiones. Figura 4: Un acorde y sus inversiones La armonía clásica occidental se ha basado en el concepto de consonancia y disonancia. Tales conceptos se aplican a la clasificación de los intervalos. Se consideran consonantes los intervalos justos, las terceras y las sextas (sean estas dos últimas mayores o menores). Las segundas, las séptimas, los intervalos disminuidos y aumentados se consideran disonantes. Como excepción, la cuarta justa es disonante si está sola y es consonante si tiene hay una tercera o una quinta justa por debajo de ella. Piston [PMA12], en la página 14, dice que “la cualidad esencial de la disonancia es su sentido del movimiento y no, como a veces se cree erróneamente, su nivel de desagrado al oído”. Las progresiones de acordes que se encuentran en la música tonal occidental son las que aparecen en la lista de abajo (tomadas de nuevo de [PMA12]). Téngase en cuenta que estas progresiones son producto de la observación de la práctica compositiva y no un conjunto de reglas establecidas a priori. Esta lista produce una clasificación de las progresiones en frecuentes, menos frecuentes y poco frecuentes (se sigue del orden de presentación en la lista). Al grado I le sigue el V o el IV; a veces el VI; y con menos frecuencia el II o el III. Al grado II le sigue el V; a veces el VI o el IV; y con menos frecuencia el I o el III. Al grado III le sigue el VI; a veces el IV; y con menos frecuencia el I, el II o el V. Al grado IV le sigue el V; a veces el I o el II; y con menos frecuencia el III o el VI. Al grado V le sigue el I; a veces el IV o el VI; y con menos frecuencia el II o el III. Al grado VI le sigue el II o el V; a veces el III o el IV; y con menos frecuencia el I. Al grado VII le sigue el I o el III; a veces el VI; y con menos frecuencia el II, el IV o el V. La lista anterior da lugar a un grafo de relaciones entre los acordes tal y como se muestra en la figura 5. Las líneas gruesas muestran las progresiones frecuentes; las líneas discontinuas corresponden a las progresiones menos frecuentes; las progresiones poco frecuentes no se muestran por claridad del dibujo. Figura 5: Grafo de las progresiones de acordes Este grafo nos ilustra el concepto de función tonal. Vemos que el grado V, la dominante, es la manera más frecuente de acabar en la tónica (el grado VII sobre la nota sensible se suele interpretar como una forma de dominante), seguido en menor medida por la subdominante. Estos tres grados son los más importantes y con los que se establece el polo tonal en una pieza musical en el periodo de la práctica común (término habitual para referirse a la música clásica entre 1600 y 1900 aproximadamente). En la definición dada al principio de la sección señalamos que la armonía estudia la forma en que los acordes se enlazan entre ellos. No solo es importante qué acorde va después de otro, sino cómo se pasa de uno a otro. Este proceso se llama conducción de voces. En esta breve introducción a la armonía tonal, por falta de espacio, no entraremos a describirla, pero el lector interesado puede consultar las referencias [PMA12, KP12, ASC10]. Los triadas consonantes se pueden volver disonantes cuando se les añade una nota más. Esa nota es con frecuencia una séptima, pero también se encuentran otras notas como la novena, la once o la trece, especialmente cuando avanzamos en el tiempo en el periodo de la práctica común. Los acordes disonantes tienen que resolverse en acordes consonantes y recuperar con ello el equilibrio entre las tensión —producida por las disonancias— y la relajación —proporcionada por la consonancia—. También es normal en la armonía tonal el cambio de tono. Tal proceso se llama modulación. Por ejemplo, es normal que en una sonata haya modulaciones a otros tonos. Los tonos a los que se modulan habitualmente son los tonos vecinos o los menores relativos. La relación de vecindad de la que hablamos tiene que ver con el número de notas comunes que tienen las escalas de los tonos implicados. Por ejemplo, si estamos en do mayor, la escala de la menor tiene las mismas notas, y por ello encontramos en la práctica común modulaciones al tono menor (aparte de cambios de modo). Si seguimos en do mayor, las tonalidades de sol mayor y fa mayor comparten las mismas notas salvo uno. El cambio entre do mayor y estas tonalidades es más suave que en el caso de otras tal como fa sostenido mayor. La figura 6 muestra el clásico círculo de quintas en que se muestran estas relaciones de vecindad tonal. Figura 6: Círculo de quintas (figura tomada de [Alm14]) Para el lector que quiera profundizar más, recomendamos las referencias  [PMA12, KP12, ASC10] así como el mapa conceptual de [YK15]. 3. Visualización del sistema tonal La idea de representar el sistema tonal de una manera gráfica y concisa ha suscitado interés en músicos y matemáticos desde siempre. Euler, por ejemplo, propuso un modelo en el plano en que las terceras se colocan en el eje y y las quintas en el eje x, tal y como se ve en la figura 7. Figura 7: Modelo bidimensional del sistema tonal de Euler (figura tomada de [Joh14a]) En su libro A geometry of music, Dmitri Tymoczko [Tym11] ofrece una visualización más elaborada que comprende no solo el sistema tonal clásico sino la práctica común extendida (esto es, sistemas armónicos más complejos). Johnson, basándose en las ideas de Tymoczko, ofrece el siguiente diagrama del sistema tonal. Aquí cada tono tiene tres vecinos y las tonalidades (mayores y menores) se disponen en forma hexagonal. Los vecinos son tres: la diagonal derecha, la izquierda y el vecino situado en la vertical. Por ejemplo, si tomamos do mayor, tiene su tono relativo menor en la diagonal derecha, la tonalidad menor en la diagonal izquierda y abajo la tercera menor (mi menor en este caso). Si el vecino en la vertical está arriba, es una tercera menor ascendente y si el vecino está abajo es una tercera menor descendente. Figura 8: Visualización del sistema tonal El libro de Johson también glosa brevemente otros modelos de visualización del sistema tonal, en particular, el de Mazzola [Maz02], que usa un toro. La visualización de la armonía de una pieza de música por vía de programas de ordenador es una realidad desde hace tiempo. Un programa que visualiza muy bien la armonía de una pieza, sobre todo si es tonal, es Mapping Tonal Harmony [?]; véase una captura de pantalla en la figura siguiente. Figura 9: El sistema Mapping Tonal Harmony Otro sistema, más propio para conocedores de la armonía en profundidad, es ChordGeometries, también de Tymoczko [Tym15], donde se muestra la evolución de la armonía de una pieza sobre un círculo. Bibliografía [Alm14] M. Almendralejo. Modulaciones diatónica y cromática. https://aulavirtualmtardio.wordpress.com/2013/11/28/modulaciones-diatonica-y-cromatica/, 2014. [ASC10] E. Aldwell, C. Schachter, and A. Cadwallader. Harmony and Voice Leading. Cengage Learning, 2010. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [KP12] S. Kostka and D. Payne. Tonal Harmony. McGraw-Hill, 2012. [Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002. [PMA12] W. Piston and J. L. Milán Amat. Armonía. Mundimusica, 2012. [Slo47] N. Slonimsky. Thesaurus of scales and melodic patterns. Charles Scribner’s Sons, 1947. [Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011. [Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015. [Wik15] Wikipedia. Intervalo musical. http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28m%C3%BAsica%29, consultada en enero de 2015. [YK15] YK. Analyzing harmony. http://www.mindomo.com/mindmap/analyzing-harmony-6c33195ff154442ea3619565cba64afa, consultada en enero de 2015.
Viernes, 20 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción El tema de esta serie de dos artículos es la influencia de la educación musical en el aprendizaje de las matemáticas. En el primer artículo [Góm14b] abordamos varias cuestiones previas asociadas a dicho tema. En primer lugar, hicimos una distinción entre educación e instrucción. Tal distinción estriba en que la educación comprende los valores emocionales y morales mientras que la instrucción se define como el mero conjunto de conocimientos que se van a transmitir. Después hicimos una breve revisión de algunos resultados sobre los beneficios de la educación musical. Glosamos los beneficios para el desarrollo cognitivo, emocional y social. Vimos que no siempre se había probado la relación entre aprendizaje musical y matemático, pero también aprendimos que algunos de esos resultados adolecían de defectos en el diseño experimental o conceptual así como la falta de más investigaciones en ciertas áreas del problema. En este segundo artículo nos vamos a centrar en el impacto de la educación musical en el rendimiento académico y matemático. Terminaremos con una discusión y una crítica de los resultados glosados en ambos artículos. 2. El impacto de la educación musical en el rendimiento académico La pregunta de cuál es el impacto de la educación musical en el rendimiento académico es resbaladiza. Hay estudios que parecen responder a esa pregunta de una manera clara y categórica. Por ejemplo, Morrison [Mor94] tomó las notas de 13.327 estudiantes de cuarto de la ESO (grade-10 students) y estudió la influencia de la educación musical sobre el rendimiento medido como el resultado en los exámenes oficiales. Encontró que los estudiantes que poseían formación musical sacaban mejores notas en lengua inglesa, matemáticas, historia y ciencia que los estudiantes que no la poseían. ¿Zanja este estudio la cuestión? No, por supuesto. Observamos un efecto macroscópico en todo caso, una cierta correlación quizás, pero el estudio no nos informa sobre las variables que realmente producen ese efecto ni cómo se lleva este a cabo. Entre otros autores, Cox [Cox01] se ha preguntado si una posible explicación de este efecto no podría ser que los participantes con formación musical previamente tuviesen notas altas antes de matricularse en los cursos de música. Además, ¿cómo se explica que otros estudios obtengan aparentemente resultados contradictorios? Hace falta un análisis más fino que el que ofrece Morrison, que es necesario pero no suficiente. Referencias a más estudios del tipo del de Morrison, de carácter macroscópico, se pueden encontrar en el artículo de Johnson y Memmott [JM06]. Ciertamente, aparte del de Morrison, hay muchos estudios que han aportado pruebas de la relación positiva entre educación musical y rendimiento académico y que varían en alcance y metodología experimental. El lector puede consultar el capítulo 2 de Sound of Learning: The impact of music education [Hod14] donde encontrará abundantes referencias a esos estudios. Como botón de muestra, glosaremos brevemente tres artículos para que el lector se haga una idea del tipo de estudios que aparecen en la bibliografía especializada. Cardarelli escribió su tesis doctoral [Car03] sobre el efecto que tiene aprender a tocar un instrumento en la comprensión lectora y en el rendimiento matemático según se mide en los exámenes oficiales del estado de Florida en alumnos de tercero de primaria. Los alumnos se separaron en dos grupos, uno que sí tomó las clases de música y otro que no lo hizo. Además, se incluyó en el primer grupo a alumnos que no podían permitirse pagar las clases de música. Cox halló diferencias estadísticamente significativas entre las medias de las notas de ambos grupos. Por su parte, Schneider y Klotz [Sch00] estudiaron el efecto de las clases de música y el entrenamiento de atletismo como actividad extraescolar sobre el rendimiento académico. En su estudio usaron tres grupos: el grupo de control, el grupo que tomaba clases de música y el grupo que practicaba atletismo. Como paso previo, anotó las notas de los alumnos en quinto y sexto de primaria y comprobó que eran estadísticamente equivalentes (esta precaución no aparece en muchos estudios, lo cual les resta validez). Se hizo el seguimiento en los tres primeros años de la ESO y los autores detectaron que los alumnos que seguían el programa de música tenían un rendimiento mayor que los que seguían el programa de atletismo pero no que el del grupo de control (que no participaba ni en la música ni en el atletismo). A pesar de esto, el rendimiento del grupo de música era más estable en el tiempo que el de los otros dos. Por último, Trent [Tre96], en su tesis doctoral, estudió el efecto de la educación musical en alumnos que habían tomado clases de música entre primero de la ESO y segundo de bachillerato. Midió el efecto analizando los resultados en los exámenes oficiales. Los resultados probaron que los estudiaron que recibieron instrucción musical claramente tuvieron mejores notas en esos exámenes que el resto. La tesis [Rey11] de María Carmen Reyes constituye uno de los pocos estudios que se pueden encontrar en nuestro país y que estudia el problema que tenemos entre manos; sugerimos al lector interesado su consulta. La autora se plantea el problema de la evaluación del rendimiento tanto en música como en matemáticas y lo analiza en varios contextos: pruebas OCDE, pruebas en el marco de la legislación nacional y en la comunidad autónoma. Esta autora halló correlación positiva entre la práctica musical y el rendimiento académico en matemáticas, lengua y conocimiento del medio en alumnos de varios colegios de todas las provincias de la comunidad valenciana. Como dijimos antes, no todos los estudios prueban esa correlación. Algunos estudios encontraron correlación positiva con el rendimiento en pruebas de lectura pero no de matemáticas; otros, por el contrario, detectaron esa correlación con matemáticas y ciencias pero no con disciplinas artísticas, ni en ciencias sociales ni en escritura. Por último, otros estudios no encontraron correlación alguna entre instrucción musical y rendimiento académico en general. Véase [JM06] y las referencias allí contenidas para una lista pormenorizada de esos estudios. 3. El impacto de la educación musical en el rendimiento matemático Tanto en Estados Unidos como en España, y en general en los países occidentales, el problema de la enseñanza de las matemáticas es grave. Con frecuencia se enseña de manera aislada de los problemas reales, sobre una base excesivamente calculística cuando no abiertamente anti-conceptual, en que se requiere más memoria que razonamiento, una manera muy alejada de la creatividad y la imaginación que las verdaderas matemáticas requieren. La instrucción matemática y ya no digamos la educación matemática están en verdadera crisis. Paul Lockhart en su famoso Lamento de un matemático [Loc08] lo expresa muy elocuentemente (las negritas son mías): Así que aparta los planes de estudio y tus proyectores, tus abominables libros de texto a todo color, tus CD-ROM, y el resto del circo ambulante que es la educación contemporánea, y ¡simplemente haz matemáticas con tus alumnos! Pero en las clases de matemáticas no se hacen matemáticas sino simulacros calculísticos de las mismas. Las matemáticas no se pueden reducir a la aritmética. Los alumnos se aburren en clase con frecuencia y no ponen atención. Todo ello ha conducido, de modo imparable, a una caída de las notas de matemáticas, justo ahora cuando más necesarias son el mundo actual. ¿Avala entonces la investigación la mejora del rendimiento en las matemáticas a través de la práctica musical? En la mayor parte de los estudios la respuesta es sí, junto con unos pocos estudios que afirman que la relación no se encuentra o no existe. Geoghegan y Mitchelmore [GM96] estudiaron la cuestión en alumnos de infantil. Para una definición de lo que significan las matemáticas en esa franja de edad (0-6 años), véase [Góm14a] y las referencias allí contenidas. Estos investigadores encontraron diferencias significativas entre los grupos de música y el grupo de control. Gardiner y sus coautores [GFKJ96], en cambio, investigaron alumnos de primaria. Su estudio duró dos años y se centró en analizar los efectos de la formación musical y en artes visuales sobre el rendimiento matemático. Al principio del estudio los alumnos que iban a asistir a los programas de música y artes visuales tenían peores notas en matemáticas que el grupo de control (que no asistía a ninguno de los dos programas). Al cabo de siete meses la situación se invirtió y los dos primeros grupos obtuvieron mejores notas que el grupo de control. Esta situación se mantuvo hasta el final del primer año. Al finalizar el segundo año la situación seguía sin cambiar. En la muestra hubo alumnos que solo siguieron el programa un año y todavía estos tenían mejores notas en matemáticas que el grupo de control. Por último, Whitehead [Whi01] estudió en su tesis doctoral el efecto de la educación musical en alumnos de la ESO y bachillerato. El tipo de instrucción musical que recibieron los sujetos de su experimento fue el método Orff. Los alumnos fueron puestos de manera aleatoria en tres grupos: el grupo 1 recibiría 5 sesiones de 50 minutos a la semana; el grupo 2 recibiría una sesión de 50 minutos a la semana; y el grupo 3, ninguna sesión. Después de 20 semanas se midió el rendimiento matemático y se constató que el grupo 1 tenía notas superiores a los otros dos grupos. El grupo 2 tuvo a su vez mejores notas que el grupo 3. 4. Conclusiones Una vez examinada toda la bibliografía anterior, volvemos a la pregunta del principio: ¿influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? Como ya hemos dicho, la cuestión es bastante complicada y ello es porque el aprendizaje es un fenómeno extraordinariamente complejo, multidimensional y rico en sus diversas manifestaciones. En la tesis de María Carmen Reyes [Rey11] se hace referencia a estudios que identifican variables relevantes para el aprendizaje: la capacidad de atención; la motivación escolar; el autocontrol; las habilidades sociales; las expectativas de la familia, docentes y de los alumnos con relación a los logros de aprendizaje; los estilos de aprendizaje; la inteligencia emocional; la amplitud de los programas de estudio; los factores socioeconómicos; los conceptos previos; la capacidad de abstracción. Ante tal situación, la creencia de que se puede aumentar el aprendizaje de las matemáticas por vía de la formación musical de una manera nítida y contundente no es realista y generar expectativas al respecto es erróneo de todo punto. Sin embargo, hemos visto que la mayoría de los estudios muestran correlación entre formación musical y aprendizaje de las matemáticas mientras que otros estudios, la minoría, no. En este punto deberíamos ser críticos con algunos de esos estudios y su metodología experimental. Algunos estudios usaron tiempos de instrucción musical realmente bajos; esto es, no investigaron el tiempo mínimo necesario para detectar algún cambio en el aprendizaje. Por ejemplo, este es el caso de Kemmerer[Kem03], en que la exposición era menor de 18 minutos a la semana. Ese tiempo era demasiado poco para conseguir efecto alguno. Compárese con el estudio de Whitehead [Whi01] (cinco sesiones de 50 minutos a la semana). Otros estudios adolecían de una deficiente evaluación del aprendizaje matemático, siendo este como es tan rico y complejo. En esta categoría caen ciertos estudios que midieron aspectos meramente calculísticos de las matemáticas en lugar de medir otros más conceptuales y abstractos. Otro defecto metodológico que se encuentra en algunos estudios es el bajo tamaño muestral. Para poder concluir algo de manera razonable es necesario que el número de sujetos alcance un número mínimo; de otro modo, variables espurias pueden arruinar la investigación. Hemos detectado asimismo que la elección de los sujetos no siempre es lo rigurosa que debía ser y se encuentra en algunos casos que variables que pueden producir sesgos, como el género, los conocimientos previos o la situación socioeconómica, no son tenidas en cuenta. En los estudios de carácter neurocientífico que han detectado cambios en el cerebro cuando el sujeto ha recibido formación musical, el principal problema es cómo asociar esos cambios con habilidades cognitivas específicas, problema en el que se trabaja frenéticamente en la neurociencia y en la pedagogía. Por último, poner de relieve que ningún estudio demostró que la participación en actividades musicales produzca efectos perjudiciales para el rendimiento académico. Entonces ¿de qué depende que se produzca esa transferencia del aprendizaje musical al aprendizaje matemático? Hay un aspecto que casi todos los estudios han ignorado (con notables excepciones; véase [JM06]) y es el papel del profesor. En el primer artículo de esta serie hacíamos la distinción entre educación e instrucción. Esta última se define como la mera transmisión de conocimientos, mientras que la educación incluye a la instrucción pero añade además las componentes emocionales y morales del aprendizaje. El papel que desempeña el profesor en la definición de educación es esencial. Un profesor que comprenda que los factores emocionales y morales preceden a la comprensión, un profesor que sepa crear relaciones significativas con sus alumnos, que los convenza de que todos son compañeros en la aventura de comprender y adquirir conocimiento, un profesor que busque con ahínco que sus alumnos se conviertan en aprendientes autónomos, un profesor que dé ejemplo moral y que tenga inteligencia emocional, ese profesor —no importa qué materia imparta— producirá cambios en el aprendizaje de sus alumnos y dichos cambios se reflejarán con alta probabilidad en el resto de las asignaturas (un cambio de actitud hacia el aprendizaje es un cambio general). Para más información sobre ese tipo de profesores sugerimos al lector los libros [ABL+10] y [Bai04] y las referencias allí contenidas. La inmensa mayoría de los estudios que hemos reseñado aquí midieron la instrucción musical en lugar de la educación musical. Hasta que esa laguna metodológica no se cubra, la validez de esos estudios será relativa. Estamos convencidos de que un grupo de alumnos que reciba docencia de un mal profesor de música no dará como resultado un mejor rendimiento en matemáticas. Necesitamos estudios que controlen la docencia y que esta sea verdadera educación musical. Solo así tendrá sentido plantearse si existe una transferencia entre el aprendizaje musical y el matemático. Por tanto, para seguir con la pregunta que nos obsesiona, algunas experiencias de aprendizaje musical tienen un impacto positivo en el aprendizaje de las matemáticas bajo ciertas circunstancias.   Bibliografía [ABL+10] S.A. Ambrose, M.W. Bridges, M.C. Lovett, M. DiPietro, and M. K. Norman. How learning works. Seven research-based principles for smart teaching. Jossey-Bass, 2010. [Bai04] Ken Bain. What the best college teachers do. Harvard University Press, 2004. [Car03] D. M. Cardarelli. The effects of music instrumental training on performance on the reading and mathematics portions of the Florida Comprehensive Achievement Test for third-grade students. PhD thesis, University of Central Florida, 2003. Dissertation Abstracts International, 64 (10), 3624A. [Cox01] R. W. Cox. Effects on academic achievement for fifth-grade students in a band pull-out program. Master’s thesis, California State University, Fresno, USA, 2001. Masters Abstracts International, 40 (01), 26. [CWP06] R. Cerncek, S. J. Wilson, and M. Prior. The cognitive and academic benefits of music to children: Facts and fiction. Educational Psychology, 26(4):579–594, 2006. [GFKJ96] M.F. Gardiner, A. Fox, F. Knowles, and D. Jeffrey. Learning improved by arts training. Nature, 381:284, 1996. [GM96] N. Geoghegan and M. Mitchelmore. Possible effects of early childhood music on mathematical achievement. Journal for Australian Research in Early Childhood Education, 1:57–64, 1996. [Góm14a] Gómez, P. Matemáticas y música en niños pequeños. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14201&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14b] Gómez, P. ¿Influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16312&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Hod14] Hodges, D. (Ed). Sounds of Learning: The Impact of Music Education. https://performingarts.uncg.edu/mri/research-areas/_files/solproject_final.pdf, consultado en noviembre de 2014. [JM06] C. M. Johnson and J. E. Memmott. Examination of relationships between participation in school music programs of differing quality and standardized test results. Journal of Research in Music Education, 54(4):293–307, Winter 2006. [Kem03] K. P. Kemmerer. Relationship between the number of hours spent in general music class and reading skills in kindergarten through grade 3. PhD thesis, Leighl University, 2003. [Loc08] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. La gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 11(4):737–766, 2008. Documento accesible en http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824. [Mor94] S. J. Morrison. Music students and academic growth. Music Educators Journal, 81(2):33–36, Winter 1994. [Rey11] M. C. Reyes. El rendimiento académico de los alumnos de primaria que cursan estudios artístico-musicales en la comunidad valenciana. PhD thesis, Universidad de Valencia, 2011. [Sch00] Schneider, T. W. and Klotz, J. The impact of music education and athletic participation on academic achievement. ERIC Document Reproduction Service No. ED448186, 2000. [Tre96] D. E. Trent. The impact of instrumental music education on academic achievement. PhD thesis, East Texas State University, 1996. Dissertation Abstracts International, 57 (07), 2933A. [Whi01] B.J. Whitehead. The effect of music-intensive intervention on mathematics scores of middle and high school students. PhD thesis, Capella University, 2001. Dissertation Abstracts International, 62 (08), 2710A.
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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor: F. Gómez, E. Gómez, J. Mora y J.M. Díaz-Báñez
1. El grupo COFLA En la anterior entrega [1] dimos a conocer el grupo COFLA [3], un grupo de investigadores que estudian la música flamenca desde un enfoque interdisciplinar. En COFLA podemos encontrar expertos en flamenco, músicos, musicólogos, expertos en literatura, psicólogos, pero también ingenieros, informáticos y matemáticos. Cuando el objeto de estudio presenta tal complejidad como es el caso de la música, el enfoque multidisciplinar es imprescindible y esencial. También describimos en esa entrega la metodología del grupo COFLA y proporcionamos al lector una lista de los problemas de investigación en que trabaja el grupo. Esos problemas provenían del estudio del flamenco y proporcionaban material de investigación a las disciplinas implicadas, desde la musicología a la computación. Estudiaremos el problema de la similitud melódica en el marco de la clasificación de estilos. 2. Similitud melódica en el cante a palo seco del flamenco Uno de los problemas que ha abordado COFLA es el de la clasificación de los cantes a palo seco. Recordamos de nuevo del artículo anterior [1] las características del cante flamenco a fin de que el lector aprecie la dificultad del problema. Uso de grados conjuntos. El movimiento melódico ocurre casi siempre por grados conjuntos. Escalas. Ciertas modos tales como el modo frigio y jónico son predominantes. En el caso del modo frigio, la subida cromática del tercer y séptimo grados es frecuente. Ornamentación. Existe un alto grado de ornamentación, que es también muy compleja. Los melismas son uno de los recursos expresivos más importantes. Microtonalidad. El uso de intervalos menores que los del sistema temperado de la música clásica occidental es habitual. Escalas enarmónicas. Esto se refiere a las diferencias interválicas microtonales entre las notas enarmónicas. En nuestro estudio tomamos tres subestilos de un estilo llamado tonás; esos tres subestilos fueron deblas, martinete-1 y martinete-2. Las tonás son cantes que se cantan con ritmo libre. Las escalas y melodías son típicamente modales. Los modos más frecuentes que encontramos en estos estilos son el modo mayor, el menor y el frigio; también es habitual la alternancia de modos dentro de un mismo cante. Las letras de estos cantes varían ampliamente en tema. Estos cantes presentan un alto grado de ornamentación; véase [7] y [6] para más información. En las figuras 1 y 2 se encuentran transcritas dos deblas. Figura 1: Interpretación de Mairena de En el barrio de Triana. Figura 2: Interpretación de Lobato de En el barrio de Triana. Dado que no había partituras disponibles, el primer paso que dimos fue el de hacer la transcripción automática a partir de los ficheros de audio. El corpus estaba compuesto de 72 tonás, las cuales incluían deblas, martinete-1 y martinete-2. Para tal fin, usamos el sistema propuesto por Gómez y Bonada [2]. El proceso de transcripción melódica se estructura normalmente en tres pasos diferentes que se pueden ver en la figura 3. Se empieza por una extracción de los descriptores de bajo nivel; sigue una segmentación de notas basada en la posición de los ataques de las notas; y, por último, un proceso de etiquetado de las notas. Véase [2] y las referencias allí contenidas para más información sobre la parte técnica de este algoritmo de transcripción. Figura 3: Fases de la transcripción melódica automática. La salida de este algoritmo es un fichero tipo MIDI que contiene la sucesión de notas con sus alturas y duraciones. Esta sucesión representa el contorno melódico. El corpus que se empleó para nuestra investigación se puede encontrar en [4]. En términos geométricos, esa sucesión se puede interpretar como una cadena poligonal. A partir de entonces, muchas técnicas matemáticas se pueden aplicar al problema de determinar la distancia de dos cantes. El problema de determinar cuán similar son dos cantes se ha transformado en el de determinar al distancia entre las cadenas poligonales dadas por los contornos melódicos. Existe una miriada de algoritmos para calcular la distancia entre dos cadenas de ese tipo (distancia de edición, n-grams, correlación de vectores, etc.). Sin embargo, la mayoría de esas medidas carecen de validación perceptual, esto es, no han sido comprobadas con sujetos. En 2004 Müllensiefen y Frieler [8] atacaron este problema, por otro lado, tan básico. El primer paso fue establecer un sistema de evaluación de la similitud bajo ciertas condiciones. Este sistema incluía una selección muy rigurosa de los sujetos. Se eligieron por su capacidad de ser consistentes en sus juicios musicales durante periodos de semanas. El segundo paso fue estudiar 34 medidas de similitud (o distancias de disimilitud) que encontraron en la bibliografía existentes para determinar las medidas más adecuadas en términos de validez perceptual. Dado que la combinación lineal de dos medidas de similitud da una nueva medida de similitud, estos autores calcularon tales combinaciones lineales. La mejor medida de similitud resultó ser la combinación de la distancia de edición en bruto y la medida n-grams. Nosotros seguimos sus resultados a la hora de definir y calcular las medidas de similitud entre los cantes. La matriz de distancias obtenida se usó para alimentar un algoritmo que calcula y construye grafos filogenéticos. Dada una matriz de distancia entre un conjunto de objetos, un grafo filogenético es un grafo cuyos nodos son los objetos del conjunto y tal que la distancia entre los nodos del grafo se corresponde con la distancia en la matriz; véase [5] para las definiciones y detalles técnicos de su construcción. El grafo resultante cuando aplicamos el algoritmo a nuestro conjunto de cantes se puede ver en la figura 4. Figura 4: The phylogenetic graph for the melodic contour distance. A causa del problema de la ornamentación mencionado anteriormente (en la entrega anterior), el grafo filogenético produjo resultados pobres (había varios cantes mal clasificados). En efecto, dos cantes pueden tener las mismas notas principales y las ornamentaciones entre estas ser muy diferentes. Sin embargo, la distancia de edición daría una distancia alta entre ellos. Hacía falta poner más conocimiento y refinamiento en el problema para obtener mejores resultados. Típicamente, los descriptores musicales se clasifican en tres categorías: los descriptores de bajo nivel, que están relacionados principalmente con propiedades tales como la frecuencia, el espectro o la intensidad; los descriptores de medio nivel, asociados con la altura del sonido, la melodía, los acordes, el timbre, la métrica o los patrones rítmicos; y finalmente los descriptores de alto nivel, típicamente relacionados con el significado y la expresividad, como por ejemplo el carácter y las respuestas afectivas y motoras. Para sortear el problema de la ornamentación en los cantes, definimos una distancia basada en descriptores de medio nivel. Los descriptores de medio nivel que usamos para todas las tonás de nuestro estudio fueron los siguientes: Nota inicial de la pieza; Simetría del grado más alto de la escala en el segundo hemistiquio; La frecuencia del grado más alto del segundo hemistiquio.; Presencia del clivis al final del segundo hemistiquio (clivis es un patrón melódico); Nota final en el segundo hemistiquio; Grado más alto en el cante; Duración del cante. Como es obvio, si usásemos características peculiares de un estilo dado, el análisis estaría distorsionado, ya que el poder de discriminación sería muy alto. Nuestra intención fue seleccionar un conjunto pequeño de descriptores que fuesen capaces de discriminar entre los diferentes cantes. Nótese que estos descriptores tienen naturaleza eminentemente musical. El cálculo de los valores de estos descriptores requiere que la ornamentación se tenga en cuenta, razón por la cual se calcularon manualmente por expertos en flamenco. El grupo COFLA está trabajando actualmente en cómo calcularlas automáticamente (y aquí aparecen problemas muy duros, créanos el lector). Definimos una nueva distancia que fue la combinación lineal entre la distancia del contorno melódico y la distancia de los descriptores de medio nivel. Los resultados al usar la nueva distancia mejoraron significativamente. La distancia del contorno melódico detectaba los cambios locales con precisión y la distancia de medio nivel medía adecuadamente los cambios globales. Presentamos el nuevo grafo filogenético a los expertos en flamenco y su evaluación fue positiva (el número de mal clasificados bajó a niveles aceptables). La nueva distancia también permitió el estudio intra-estilo, estudio que no era posible con la distancia del contorno melódico solo. 3. Conclusiones En este artículo hemos querido presentar al lector un ejemplo de investigación interdisciplinar en el marco del grupo COFLA. En ese ejemplo hemos mostrado cómo atacar de modo interdisciplinar el problema de la similitud melódica en los cantes a palo seco. El corpus fue seleccionado por expertos en flamenco; los informáticos e ingenieros del grupo diseñaron los algoritmos para extraer las sucesiones melódicas a partir de los ficheros de audio; los matemáticos estudiaron el problema de la distancia de similitud. Como los resultados no fueron en un primer momento satisfactorios, cuando se uso solo la distancia del contorno melódico, los expertos en flamenco y los musicólogos del grupo diseñaron la distancia de medio nivel; de nuevo, los científicos del grupo la integraron con la distancia previa. Finalmente, los expertos en flamenco evaluaron los resultados. Muchos problemas abiertos quedan por considerar en este ejemplo. Nuestra distancia, aunque da buenos resultados, todavía puede mejorarse. En particular, estamos trabajando en la generalización de la distancia de medio nivel a otros estilos flamencos. Una cuestión interesante es cuál es el mínimo número de variables (descriptores) que es necesario para medir la similitud melódica en el flamenco.   Referencias [1] Gómez F., Gómez E., Mora J., and Díaz-Báñez J.M. COFLA: la música flamenca y su estudio computacional - I. [2] Emilia Gómez and J Bonada. Towards computer-assisted flamenco transcription: An experimental comparison of automatic transcription algorithms as applied to a cappella singing. Computer Music Journal, 37:73–90, 2013. [3] The COFLA group. The COFLA group. http://mtg.upf.edu/research/projects/cofla. [4] The COFLA group. Corpus tonás. http://mtg.upf.edu/download/datasets/tonas, accessed in January, 2014. [5] Daniel H Huson and David Bryant. Application of phylogenetic networks in evolutionary studies. Mol Biol Evol, 23(2):254–267, 2006. [6] Cabrera J.J., Díaz-Bañez J.M., Escobar-Borrego F.J., and J. Gómez E., Mora. Comparative melodic analysis of a cappella flamenco cantes. In Fourth Conference on Interdisciplinary Musicology (CIM08), Tesalónica, Grecia, 2008. [7] J. Mora, F. Gómez, E. Gómez, F. Escobar Borrego, and Díaz Báñez J.M. Characterization and melodic similarity of a cappella flamenco cantes. In ISMIR (International Symposium on Music Information Retrieval), Utrecht, Netherland, August 2010. [8] D. Müllensiefen and J. Frieler, K. Cognitive adequacy in the measurement of melodic similarity: algorithmic vs. human judgments. Computing in Musicology, 13:147–176, 2004.   El grupo COFLA está financiado por el Proyecto de Excelencia de la Junta de Andalucia P12-TIC-1362.
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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor: F. Gómez, J.M. Díaz-Báñez, J. Mora y E. Gómez
1. Música, Matemáticas, Computación La música es un fenómeno que siempre ha fascinado a investigadores de un amplio rango de disciplinas. La música es compleja, multidimensional y universal. La música se puede ver como un fenómeno del individuo, la sociedad y la cultura, como se estudia en la antropología [27]; también como un fenómeno físico, y como tal es abordado por físicos e ingenieros [4]; como un fenómeno de la mente, el cual es entonces objeto de estudio de la cognición musical [20, 33, 34]; como un fenómeno puramente musical, y entonces cuestiones tales como la melodía, el ritmo y la organización armónica son relevantes; o como un fenómeno afectivo, y entra en ese caso en el reino de la psicología [30, 7]. Sin embargo, por larga que parezca esta enumeración, la música ha despertado el interés de investigadores de campos aparentemente muy alejados de ella tales como las matemáticas y la computación. El interés de las matemáticas por la música no es en modo alguno nuevo; se remonta a los griegos (por ejemplo, Pitágoras y su teoría de las proporciones para explicar la consonancia musical). Ese interés se ha renovado a lo largo de los siglos según las matemáticas han ido avanzando. Nuevo entendimiento en las matemáticas tarde o temprano ha conducido a nuevas interpretaciones de las estructuras musicales. Esto ha sido incluso más acusado en las últimas décadas. La música está llena de patrones y estructuras y esto inexorablemente ha atraído el interés de los matemáticos. Este interés, no obstante, no se debería entender como un deseo irrefrenable por encontrar patrones y estructuras en la música independientemente del objeto musical mismo. Esto proporcionaría una impresión injusta y equivocada de las matemáticas y sus métodos. En la investigación matemática hay un genuino interés por entender la naturaleza de la música. El lector puede encontrar una discusión razonada del alcance y propósito de las matemáticas y la computación en la música en [36]. Dado que los ordenadores permiten tales formidables formas de procesar los datos musicales, una importante cantidad de investigación matemática ha servido de fundamento teórico a la tecnología musical. Un subcampo importante de la tecnología musical es el MIR (music information retrieval o MIR, en sus siglas inglesas), que consiste en el tratamiento computacional en todas sus formas de la música. El lector puede acudir a las siguientes referencias para ver conexiones entre matemáticas y música: [3] (para un panorama general); [9] and [12] (la geometría en la música); [25] (teoría de categorías); [2] (teoría de números). La lista no es única ni exhaustiva, como es de esperar; las referencias que contienen estas obras permitirá al lector profundizar aun más. Durante los últimos años el uso del ordenador (las herramientas computacionales) en la investigación de la música han crecido espectacularmente, especialmente en MIR. Por ejemplo, Meinard [26] identifica cuatro grandes áreas las técnicas de procesamiento de la señal en MIR se han aplicado intensivamente a la música, a saber, la recuperación de archivos sonoros, la sincronización, el análisis de las estructuras musicales y el análisis de interpretaciones (aunque él mismo reconoce que “la lista apenas escarba bajo la superficie”). Sin embargo, estas técnicas no están pensadas para sustituir a los métodos tradicionales de investigación en música. Aunque es cierto que cuando el MIR se estaba estableciendo como disciplina se puso un énfasis excesivo en la computación per se, después de un tiempo la comunidad MIR entendió que un enfoque interdisciplinar era necesario para analizar la música en toda su complejidad. Hoy las técnicas computaciones se piensan como herramientas para asistir, complementar e incrementar el poder de análisis de las metodologías tradicionales, tanto en términos cuantitativos como cualitativos. El número de aplicaciones de la tecnología musical que se pueden encontrar en la bibliografía es sencillamente espectacular; véanse el número de artículos presentados en ISMIR [11], la principal conferencia del campo para hacerse una idea de la gran variedad de resultados. Sorprendentemente, la mayor parte de esa investigación y sus aplicaciones se han hecho para la música occidental, bien música popular o música clásica de periodo de la práctica común. En 2010 Cornelis y sus coautores [6] estudiaron la situación y encontraron que el problema persiste (ya se había detectado el problema más de una década antes), y a pesar de la cantidad sustancial de investigación desarrollada en los últimos años, la investigación dirigida a entender los procesos de la música étnica (música no occidental y folclórica) es escasa y está dispersa. Los desafíos que supone la investigación en este tipo de música son significativos por las características musicales de las tradiciones en particular, las cuales son marcadamente diferentes de las occidentales. Véase, por ejemplo, el proyecto CompMusic [32], financiado por el European Research Council y coordinado por Xavier Serra (Music Technology Group, Universitat Pompeu Fabra). La investigación en tecnología musical no se ha centrado solamente en la música occidental, sino en la música escrita, y solo recientemente han empezado los investigadores a prestar atención a las tradiciones orales. En este respecto, es un ejemplo ilustrativo de esta situación. La música flamenca es una tradición no occidental, oral y con unas características musicales cuyo análisis requiere ciertamente un enfoque interdisciplinar. Una cuestión tan aparentemente simple como la transcripción no está resuelta en absoluto en la música flamenca, solo por nombrar un problema fundamental en análisis musical. Aun más, otros problemas igual de fundamentales en el flamenco están todavía abiertos o apenas tratados, tales como la similitud melódica y rítmica, la clasificación de estilos, la identificación de cantaores, entre otros. En esta serie de artículos nos proponemos varios objetivos divulgativos. En primer lugar, como siempre en esta columna, mostrar las conexiones entre matemáticas y computación y la música. En segundo lugar, llamar la atención sobre el flamenco como objeto de estudio serio, tanto como lo puede ser la música del Barroco o el jazz. En tercer lugar, queremos dar a conocer los esfuerzos del grupo de investigación COFLA[15], que está formado por investigadores de varias disciplinas —y al cual pertenece el autor de estas líneas— cuyo objeto de estudio es la música. El grupo está financiado por el gobierno de Andalucía. Su objetivo es analizar el flamenco desde varias disciplinas. Para lograr este objetivo COFLA está compuesto por un equipo interdisciplinar que incluye expertos de disciplinas tales como la Musicología, Etnomusicología, la Historia, la Literatura, la Educación, la Sociología, pero también las Matemáticas, la Ingeniería y la Computación. Para obtener más información sobre la filosofía del grupo, véase la comunicación [10]. En la sección daremos una brevísima descripción musical del flamenco. En las secciones siguientes daremos algunos ejemplos del trabajo del grupo COFLA. 2. La música flamenca La música flamenca es eminentemente individual y todavía una forma de música altamente estructurada. En efecto, por una parte existe una alto grado de improvisación y espontaneidad; por el otro, hay un organización extremadamente estable del material musical sin la cual la improvisación no funcionaría. La música flamenca es el resultado de la influencia mutua de varias culturas a lo largo del tiempo, lo cual originó una combinación única de canto, danza y toque de guitarra. Ha recibido influencias de la cultura judía y árabe así como de la de los gitanos andaluces, quienes contribuyeron decisivamente a su forma tal cual la conocemos hoy. El lector puede consultar los libros de Blas Vega y Ríos Ruiz [5], Navarro y Ropero [29] y Gamboa [13] para un estudio extenso de las formas musicales, estilos e historia del flamenco. Según Gamboa [13], la música flamenca se desarrolló principal a partir de la tradición vocal. Por tanto, el papel del cantante es predominante y fundamental en el flamenco. A continuación describimos las principales características del cante flamenco (siguiendo a [28]). Inestabilidad de las alturas. En general, las notas no se atacan claramente. Los portamenti o transiciones continuas entre sonidos son muy comunes. Cambios súbitos de volumen. Estos cambios se usan como recursos expresivos con mucha frecuencia. Ámbito melódico reducido. Esta normalmente reducido a una octava y se caracterizan por la insistencia en una nota y sus contiguas. Inteligibilidad de las voces. Las letras son importantes en el flamenco y, por tanto, la inteligibilidad es deseable. Por esta razón, las voces de tenor y barítono son las tesituras preferidas. Timbre. Las características del timbre varían dependiendo del cantaor. Como aspectos relevantes del timbre, destacamos la voz ronca o rasgada y la ausencia de los formantes de frecuencias altas. El siguiente vídeo, con el genial Paco de Lucía, ilustra las características que acabamos de describir. Como se usarán más tarde con fines ilustrativos, describiremos brevemente los cantes a palo seco (a capella) en el flamenco. Estos cantes constituyen un grupo de estilos muy importante dentro del flamenco. Son cantes sin acompañamiento, o en algunos casos con percusión. Desde un punto de vista musical poseen las siguientes características: Uso de grados conjuntos. El movimiento melódico ocurre casi siempre por grados conjuntos. Escalas. Ciertas modos tales como el modo frigio y jónico son predominantes. En el caso del modo frigio, la subida cromática del tercer y séptimo grados es frecuente. Ornamentación. Existe un alto grado de ornamentación, que es también muy compleja. Los melismas son uno de los recursos expresivos más importantes. Microtonalidad. El uso de intervalos menores que los del sistema temperado de la música clásica occidental es habitual. Escalas enarmónicas. Esto se refiere a las diferencias interválicas microtonales entre las notas enarmónicas. Estas características no son exclusivas de los cantes a palo seco y se pueden encontrar en otros estilos flamencos. En el siguiente vídeo, vemos a Agujetas interpretar un cante a palo seco. 3. El grupo COFLA El grupo COFLA tiene como objetivo principal el estudio interdisciplinar del flamenco. En esta sección presentamos algunos problemas en que trabaja el grupo y la metodología con que los aborda. Distinguiremos varias secciones que corresponden a temas generales e incluimos algunos problemas fundamentales a tratar que se generan de las propias tareas del grupo COFLA. 3.1. El problema de la transcripción Como ocurre con frecuencia en las tradiciones orales, las transcripciones se suelen reducir a los instrumentos, en el caso del flamenco, a la guitarra. La voz normalmente no es transcrita y los cantaores aprenden de memoria los cantes bien de sus maestros, bien de los registros sonoros o de las actuaciones en vivo. Como tradición oral, los intérpretes nunca tuvieron la necesidad de transcribir. Pero la situación es aun más grave. El flamenco ha empezado a estudiarse desde hace relativamente poco (comparado con, por ejemplo, la música clásica u otras tradiciones) de modo que a día de hoy no hay consenso entre los expertos en flamenco acerca de cuál es el mejor método para transcribir el flamenco. Mientras Philippe Donnier [8] aboga por el uso de los neumas gregorianos para anotar el cante flamenco, los hermanos Hurtado and Hurtado [21] y Rafael Hoces [19] argumentan a favor de la notación clásica occidental (con algunas modificaciones). Desde el punto de vista tecnológico, Emilia Gómez (COFLA) y sus colaboradores han desarrollado algoritmos que proporcionan una transcripción automática de los cantes a palo seco a partir de un fichero de audio; véase [14]. La anotación manual de la melodía es una tarea ardua y que conlleva mucho tiempo de dedicación y siempre trabaja con cierto peso específico de subjetividad. Con el fin de minimizar el trabajo de anotación manual, se pueden aplicar técnicas actuales de descripción y anotación automática de señales de audio al caso particular del flamenco. El Grupo de investigación en Tecnología Musical de la Universidad Pompeu Fabra tiene una gran experiencia en este problema. Resulta de gran utilidad los algoritmos de descripción automática de la melodía a partir de un fichero de audio para extraer una curva melódica a partir de una grabación de cante acompañado por guitarra. Citamos las herramientas de estimación de melodía y de melodía en entorno polifónico desarrolladas por Klapuri [24] y Salamon y Gómez [31]. Para material monofónico (cantes a palo seco en flamenco), puede utilizarse el método de Gómez y coautores [17]. Una opción alternativa a la extracción de polifonías de flamenco consiste en la separación de voces y el método de transcripción se realizaría en dos etapas, a saber, una primera de separación de voces, donde se filtra el sonido dejando la voz del cantaor sin guitarra ni percusión y, una segunda, donde es realiza la segmentación monofónica del resultado. La separación de voces es uno de los problemas de mayor actualidad en tecnología musical y puede realizar con técnicas de aprendizaje automático. Los primeros pasos en el caso de la música flamenca se están dando en el marco del grupo COFLA con la colaboración de varios expertos en ingeniería del sonido (véase [16]). Hay que señalar que éstas tecnologías, al igual que cualquier tipo de transcripción manual, ofrecerán una aproximación más o menos fiel a lo que se canta, no se pretende sustituir la transcripción manual sino que constituye una herramienta útil para muchos problemas de investigación sobre grandes colecciones de datos. Algunos problemas relevantes en este marco son los siguientes: Problema 1 (musicología y pedagogía): Establecer unos criterios y una metodología para transcribir el cante flamenco que sea adecuada para el análisis y la enseñanza. Problema 2 (tecnología y música): Diseño de un algoritmo robusto de separación de la voz flamenca. Diseño de un método de estimación de altura y segmentación en notas. Problema 3 (matemáticas y computación): Diseño de un algoritmo de extracción del contorno melódico global. 3.2. Similitud musical Es quizás en este problema donde el flamenco se muestra extraordinariamente difícil de analizar. En otras tradiciones la similitud musical se evalúa a partir de la sucesión de notas y el orden en que aparecen. En el flamenco no es así ni mucho menos. Dos cantes que pertenecen al mismo estilo pueden sonar muy diferentes a un oído desprevenido. Subyacente a cada cante hay un esqueleto melódico. Donnier [8] ha denominado a ese esqueleto melódico “el gen melódico del cante”. El cantaor puede intercalar todo tipo de melismas, ornamentación y otros recursos expresivos entre las notas del esqueleto melódico. Un oyente acostumbrado flamenco reconocería ambos cantes como el mismo a pesar de los rellenos melódicos diferentes. Con el fin de que el lector entienda esta delicada cuestión, en las figuras 1 y 2 mostramos una transcripción de dos versiones del mismo cante escrita en notación clásica. Un oyente habitual de flamenco reconocería ambas versiones porque ciertas notas aparecen en cierto orden. Lo que pase entre medias no importa en términos de clasificación del estilo, pero importa en términos de evaluación de la interpretación. Las notas principales han sido subrayadas para facilitar la lectura. Véase [28] para más información. Figura 1: Interpretación de Mairena de En el barrio de Triana. Figura 2: Interpretación de Lobato de En el barrio de Triana. Tanto músicos como psicólogos han estudiado en profundidad medidas de similitud, debido en parte, a multitud de aplicaciones comerciales tales como sistemas de recomendación, demandas de plagio, organización de bases de datos (audios), clasificación de estilos, etc. Entre las medidas de similitud que se han propuesto destacamos las de carácter geométrico y las distancias de transporte. Un buen trabajo donde se revisan medidas de similitud mélodica es el de W. Hewlett y E. Selfridge-Field [18]. Como es habitual, la investigación existente en similitud musical está centrada fundamentamente en música occidental y en los sistemas actuales de recomendación, es esta música la que se encuentra etiquetada. Sin embargo, existe un creciente interés en el campo para analizar y etiquetar músicas tradicionales y folclóricas. Puesto que no existen en la actualidad modelos computacionales que traten la melodía del flamenco (en realidad, la investigación científica del flamenco está dando los primeros pasos hoy en día), se requiere un estudio profundo del tema para el que se requiere la colaboración con musicólogos y psicólogos expertos en la materia. Los trabajos de Cabrera y otros [22] y de Mora y otros [28] suponen los primeros pasos en este ámbito. Por otra parte, muchos problemas relacionados con la teoría de similitud y tecnología musical son fundamentalmente geométricos por naturaleza, esto es, miden alguna característica que contiene el corpus musical; véase el trabajo de Toussaint [35]. Pongamos un ejemplo: dos melodías pueden ser representadas por poligonales ortogonales (funciones escalón) y una posible medida de similitud es el área comprendida entre las dos curvas (permitiendo traslaciones verticales y horizontales). De esta forma, el problema se traslada al campo de Matemáticas, donde coincide con el problema de emparejamiento de formas poligonales [1] y problemas de aproximación de funciones escalonadas [23]. Señalamos aquí dos problemas inherentes al estudio de similitud musical: Problema 4 (cognición, musicología y matemáticas): Definición de una distancia de similitud melódica adecuada. Problema 5 (tecnología y matemáticas): Diseño de un algoritmo eficiente de cálculo de similitud melódica. 3.3. Detección automática de patrones distintivos El estudio de patrones melódicos distintivos es un tema íntimamente relacionado con la definición de estilo musical, mucho más claro en el caso de músicas de tradición oral. La conservación de los cantes flamencos de generación en generación hace que la melodía juegue un papel crucial en la evolución y clasificación de los distintos estilos del flamenco. Una definición precisa y efectiva de patrón melódico en los palo flamenco constituye uno de los requisitos necesarios para elaborar una clasificación de los cantes, clasificación que tiene sus aplicaciones en la didáctica y estudio del flamenco. De hecho, lo que recuerda el cantaor es un esqueleto melódico sobre el cual puede añadir unas ornamentaciones u otras que dependen de la influencia de otros cantaores (escuelas) o de la propia capacidad vocal del intérprete (aportación personal). Permita el lector que pongamos un ejemplo. Si aceptamos que el precursor del cante de debla fue Tomás Pabón, podemos tomar su interpretación como modelo canónico. Sin embargo, la debla interpretada por Antonio Mairena o Naranjito de Triana, aún manteniendo un alto grado de similitud con el canon, aparece más ornamentada, y con un contorno melódico bastante diferente. Como ocurre en muchos temas de investigación musical del flamenco la caracterización de estilos a través de patrones melódicos ha recibido escasa atención. Podemos destacar dos estrategias o metodologías. Se analiza la música para “descubrir” los patrones distintivos (método inductivo) o bien, se parte de un conjunto de patrones considerados canónicos y se buscan en la colección o corpus correspondiente (método deductivo). Podemos decir que existen varias categorías de patrones, según sea la posición en la pieza (exposición, remate, etc.) o el carácter (preceptivo del cante, ornamental, etc.). En este marco aparecen cuestiones fundamentales que están íntimamente relacionadas entre sí: ¿Cuál es el patrón melódico común a todas las interpretaciones grabadas por maestros consagrados? ¿Qué tipo de ornamentos son carácterísticos en el estilo? ¿Qué ornamentos son preceptivos del estilo y cuáles no? ¿Qué patrones determinan la macro- y la micro-estructura del estilo? A partir de lo dicho en anteriormente, surgen las siguientes temas de investigación: Problema 6 (Musicología): Codificación y clasificación de los ornamentos del flamenco. Ornamentos estéticos o preceptivos del cante. Problema 7 (Musicología): Estudio del melisma flamenco. Carácter y similitudes con otras culturas. Problema 8 (Musicología): Reconstrucción de arquetipos (patrones) ornamentales comunes a otros géneros melismáticos de tradición oral (Musicología comparada). Problema 9 (Matemáticas, aprendizaje automático, inteligencia artificial): Diseño de algoritmos para la detección automática de patrones o motivos melódicos. 3.4. Patrones melódicos estructurales En el análisis de la estructura melódica de un determinado cante flamenco aparecen varias tipos de patrones según la localización de los mismos. De hecho, son estos micropatrones los que definen las distintas variantes de un determinado palo flamenco. Destacamos los patrones de exposición del cante (muchas veces resultan suficientes para clasificar la variante cantada), los de ligado o intermedios y los de caída o remate. El trabajo de Pikrakis et al. (2012) recoge los primeros avances en el desarrollo de algoritmos para la detección automática de patrones. Los problemas de investigación que surgen inmediatamente al considerar esta cuestión son, entre otros, los siguientes: Problema 10 (Musicología): Codificación y clasificación de patrones melódicos del cante flamenco. Patrones de exposición, de ligado, de remate o caída. Problema 11 (Matemáticas, aprendizaje automático, inteligencia artificial): Diseño de algoritmos para la detección automática de patrones melódicos. 4. Conclusiones En esta primera entrega hemos presentado un ejemplo de investigación interdisciplinar a través del grupo COFLA. En este grupo hay investigadores de varias disciplinas que tratan de resolver problemas abiertos en la música flamenca. Hemos enumerado unos cuantos problemas representativos en que trabaja el grupo con la esperanza de que el lector se haya hecho una idea de cómo trabaja un grupo de estas características. En la próxima entrega pondremos un ejemplo de un problema de similitud melódica y lo resolveremos (y evaluaremos la solución) con métodos interdisciplinares.   Bibliografía [1] Greg Aloupis, Thomas Fevens, Stefan Langerman, Tomomi Matsui, Antonio Mesa, Yurai Nuñez, David Rappaport, and Godfried Toussaint. Computing a geometric measure of the similarity between two melodies. In Proc. 15th Canadian Conf. Computational Geometry, pages 81–84, Dalhousie University, Halifax, Nova Scotia, Canada, August 11-13 2003. [2] S. Beall. Functional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press, 2000. [3] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [4] R. Berg and D.G. Stork. The physics of sound. Addison-Wesley, 2004. [5] J. Blas Vega and M. Ríos Ruiz. Diccionario enciclopédico ilustrado del flamenco. Cinterco, Madrid, 1988. [6] Olmo Cornelis, Micheline Lesaffre, Dirk Moelants, and Marc Leman. Access to ethnic music: Advances and perspectives in content-based music information retrieval. Signal Processing, 90(4):1008–1031, 2010. [7] Diana Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, 1998. [8] P. Donnier. Flamenco: elementos para la transcripción del cante y la guitarra. In Proceedings of the III Congress of the Spanish Ethnomusicology Society, Spain, 1997. [9] D.Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [10] J.M. Díaz-Báñez and R. Gutiérrez. Predominant fundamental frequency estimation vs singing voice separation for the automatic transcription of accompanied flamenco singing. In COFLA: un ejemplo de investigación interdisciplinar, La Rioja, 2013. [11] International Society for Music Information Retrieval. (ISMIR). http://www.ismir.net/, accessed in January, 2014. [12] Toussaint G. Computational geometric aspects of rhythm, melody, and voice-leading. Computational Geometry: Theory and Applications, 43:2–22, 2011. [13] J. M. Gamboa. Una historia del flamenco. Espasa-Calpe, Madrid, 2005. [14] Emilia Gómez and J Bonada. Towards computer-assisted flamenco transcription: An experimental comparison of automatic transcription algorithms as applied to a cappella singing. Computer Music Journal, 37:73–90, 2013. [15] The COFLA group. The COFLA group. http://mtg.upf.edu/research/projects/cofla. [16] E. Gómez, Cañadas F. J., J. Salomon, J. Bonada, P. Vera, and P. Cabañas. Predominant fundamental frequency estimation vs singing voice separation for the automatic transcription of accompanied flamenco singing. In 13th International Society for Music Information Retrieval Conference (ISMIR 2012), Porto, 08/10/2012 2012. [17] E. Gómez, A. Klapuri, and B. Meudic. Melody description and extraction in the context of music content processing. Journal of New Music Research, 32(1), 2003. [18] W. B. Hewlett and E. Selfridge-Field, editors. Melodic Similarity: Concepts, Procedures, and Applications. The MIT Press, Cambridge, MA, 1998. [19] R. Hoces. La transcripción musical para guitarra flamenca: análisis e implementación metodológica. PhD thesis, Universidad de Sevilla, 2011. [20] H. Honing. Musical Cognition: A science of listening. Transaction Publishers, 2013. [21] D. Hurtado and A. Hurtado. El arte de la escritura musical flamenca. In Bienal de Arte Flamenco, Sevilla, 1998. [22] Cabrera J.J., Díaz-Bañez J.M., Escobar-Borrego F.J., and J. Gómez E., Mora. Comparative melodic analysis of a cappella flamenco cantes. In Fourth Conference on Interdisciplinary Musicology (CIM08), Tesalónica, Grecia, 2008. [23] Díaz-Báñez J.M. and Mesa A. Fitting rectilinear polygonal curves to a set of points in the plane. 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Viernes, 25 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En la mayor parte de los artículos de esta columna hemos tratado las relaciones entre las matemáticas y la música desde el punto de vista de su contenido como disciplinas. En unas pocas ocasiones hemos examinado las relaciones entre ambas desde el punto de vista pedagógico (véanse las series de artículos Enseñanza de música por vía de las matemáticas [Góm14c], [Góm14d], [Góm14e] y El aprendizaje por indagación [Góm14a], [Góm14b]). En las dos próximas entregas vamos a considerar más a fondo esa fascinante relación. En particular, nos vamos a interrogar por una cuestión que ha sido estudiada en las últimas tres últimas décadas con interés creciente dentro de la comunidad científica. Se sabe que hay pocas actividades cuya práctica implique una transferencia entre diferentes dominios cognitivos. Sin embargo, parece que hay ciertas pruebas de que la actividad musical mejora el rendimiento en otras áreas tales como las matemáticas (de ahí nuestro interés en la cuestión), el lenguaje, o incluso destrezas como la capacidad de concentración o las relaciones sociales. La cuestión tal cual está formulada —¿influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? —  es bastante amplia. Necesitamos definir bien los términos de la cuestión para poder dar respuestas útiles y significativas. Por poner un ejemplo de la amplitud de la cuestión, deberíamos definir qué es formación musical y cómo se mide su rendimiento; análogamente, qué se entiende por aprendizaje en matemáticas y cómo se mide este; también qué edades se están considerando; qué intervalos de tiempo de formación musical estamos contemplando; qué tipo de formación en concreto; en qué tipo de estudiantes dicha influencia es mayor, entre otros factores. Examinaremos la bibliografía pertinente para definir correctamente la pregunta y posteriormente dar respuestas razonablemente fundadas y sólidas, siquiera parcialmente, a esa cuestión. Nos gustaría que hubiese más estudios sobre este tema en nuestro país. Lamentablemente, no es así, y una buena parte del material que presentaremos en los dos próximos artículos se refiere a la situación en Estados Unidos y otros países occidentales. Entendemos que, salvando ciertas diferencias, la situación es similar en nuestro país; iremos desgranando cuando sea oportuno dichas diferencias (especialmente en el segundo artículo de la serie). Como primera distinción terminológica nos gustaría diferenciar educación e instrucción, pues ello nos será de utilidad, especialmente en la discusión final de las conclusiones. La misma Real Academia de la Lengua, en su diccionario, define la instrucción como “la comunicación sistemática de ideas y conocimientos” [Rea14a]. Esto, aunque a primera vista parezca lo mismo, es diferente de la educación, que es “desarrollar las facultades intelectuales y morales” [Rea14b]. La diferencia estriba en las componentes emocionales y morales que implica la educación frente a la instrucción, entendida esta como la mera transmisión de conocimientos. El lector quizá se muestre anonadado por el hecho de que la anterior distinción implica un concepto de docencia desnudo de componentes emocionales y morales. ¿Puede haber docencia en un sentido estricto sin que haya implicación emocional y moral, tanto en matemáticas como en música, y para el caso en cualquier disciplina? La respuesta es un rotundo y sonoro no. Pero tal rotundidad y volumen no impide a ese mismo lector anonadado ver, tras un rápido vistazo a su alrededor, que esa práctica docente reducida a una fría y lejana transmisión de conocimientos es frecuente en todos los niveles de la educación, en nuestro país y en general en los países occidentales. Esta distinción terminológica nos permitirá más adelante analizar qué tipo de docencia permite —si finalmente se prueba que es así— que la formación musical ejerza una influencia beneficiosa en el aprendizaje de las matemáticas. 2. Los beneficios de la educación musical Los beneficios de la educación musical han sido ampliamente estudiados por la comunidad científica, especialmente desde la psicología y la pedagogía. Esta avalancha de resultados han llegado al gran público de manera confusa e incompleta en numerosas ocasiones. A veces esos resultados han sido recogidos por los medios de comunicación de una manera superficial o exagerada, en ocasiones deformando los resultados mismos. Como ejemplo anecdótico, valga el famoso efecto Mozart en que el mismísimo Alex Ross, crítico musical de prestigio, en el New York Times llegó a afirmar que escuchar a Mozart te vuelve más listo (ojalá, fuera cierto: Mozart es uno de mis compositores favoritos, pero ya comprueba el lector mi torpeza cada mes). En otras ocasiones, sencillamente los resultados y sus discusiones no llegan al gran público. Dado que el periodismo científico de calidad es raro de encontrar y el peligro de la desinformación del gran público, perniciosa, opino humildemente que los científicos deberían hacer un esfuerzo en comunicar la ciencia a la sociedad de modo más efectivo y sistemático. La verdadera sinergia vendría de periodistas con más formación científica y de científicos que concibiesen la divulgación científica como una obligación profesional y moral. A continuación vamos a glosar brevemente unos cuantos artículos que describen resultados que relacionan el aprendizaje de la música con el de las matemáticas. Están tomados de revistas con procesos rigurosos de revisión y por tanto poco sospechosas de sesgos ideológicos. Varios de los resultados que se presentan están tomados de [VH114] y [Hod14]. 2.1. Los beneficios en el desarrollo cognitivo Los primeros signos de reacción a los estímulos musicales ocurren a partir de los tres últimos meses de gestación. Durante ese período el córtex auditivo y las neuronas del feto se han estabilizado y muestran una gran actividad. Se han llevado a cabo investigaciones sobre la percepción musical en niños de corta edad y, por ejemplo, se sabe que niños de entre 6 y 8 meses de edad ya son capaces de detectar un cambio de una sola nota en una corta melodía de 6 notas, incluso aunque el cambio sea sutil. También se sabe que pronto desarrollan un cierto sentido de la armonía y que muestran preferencia por intervalos consonantes (entendiendo intervalos consonantes como el unísono, las terceras, las cuartas, las quintas, las sextas y las octavas). El ritmo es otro aspecto musical que los niños pequeños desarrollan pronto. Se ha demostrado que son capaces de reconocer un pulso regular y que poseen capacidad de reconocer patrones rítmicos basados en similitud de las figuras rítmicas y en la proximidad temporal de las figuras. Para más información sobre este tema, véase el artículo en esta misma sección [Góm14f] y el capítulo 3 de Sounds of Learning [Hod14] así como las referencias allí contenidas. Cuestiones abiertas en este fascinante campo son determinar la existencia o no de un punto a partir del cual la exposición y la actividad musical ayuda significativamente al desarrollo cerebral y si existe un punto crítico en que la exposición a la música dé como resultado un futuro desarrollo musical destacado en el niño. En un artículo de 2012, Skoe y Kraus [SK12] estudiaron el efecto en adultos de la educación musical recibida de niños desde el punto de vista de los cambios neuronales, esto es, de la neuroplasticidad. Estos autores tomaron medidas electrofisiológicas como respuestas a estímulos musicales. Hallaron que las respuestas fueron más robustas en adultos que habían adquirido una formación musical en su niñez (empezando alrededor de los cinco años) que en aquellos que no la tenían. Sus hallazgos sugieren que esos cambios neuronales permanecen en la edad adulta. Wong y sus coautores [WSR+07] por su parte han encontrado pruebas de que la formación musical mejora el procesamiento de los sonidos del lenguaje. Aunque los propios autores reconocen ciertas limitaciones en su diseño experimental, sobre todo el relativamente pequeño tamaño muestral, concluyeron que los participantes que tenían formación musical demostraron mayor competencia en la percepción y procesamiento del sonido. Pantev y sus coautores [POE+98], de la Universidad de Munster en Alemania, publicaron un artículo en Nature en que describían el aumento del tamaño del cerebro en niños que tomaban lecciones de música. El área donde se producía ese aumento era la especializada en el procesamiento de la altura del sonido. Cuanto antes empezaba la formación musical, mayor era el crecimiento del cerebro. En general, se han encontrado pruebas diversas y con distinto grado de solidez de que la actividad musical produce cambios neuronales, bien especializaciones, bien activación de patrones o bien creaciones de conexiones entre diversas zonas del cerebro. Por ejemplo, se sabe que en general el hemisferio izquierdo es más sensible al procesamiento de la altura del sonido y que el derecho responde más al procesamiento del ritmo, y que por tanto la actividad musical favorece las relaciones entre ambos hemisferios. Para más información y referencias a artículos más especializados, véase el capítulo 3 de [Hod14]. 2.2. Impacto en los indicadores de la inteligencia Tenemos, pues, que la música provoca cambios neuronales, pero esto obviamente no implica que tales cambios estén asociados a la mejora en el rendimiento en otras áreas. Quedaría por probar la existencia de una relación entre la actividad musical y el aumento de la inteligencia (en realidad, el aumento de ciertos indicadores que miden la inteligencia). Se ha probado que la formación musical está asociada positivamente con varias funciones cognitivas. Entre estas funciones se encuentran la capacidad de razonamiento espacio-temporal [Het00], la integración visual y motriz [OM99], la atención selectiva [HWBK75], la memoria del estímulo verbal [JCK03], las destrezas lectoras [But00] y las destrezas matemáticas [Vau00]. Los investigadores de este campo han intentado ir más allá de la mera correlación y han buscado establecer una relación causa-efecto entre la instrucción musical y ciertos indicadores de la inteligencia. Para este fin, varios investigadores optaron por usar un método aleatorio de elección de sujetos de manera que se aseguraran que las variables espúreas (extracción socio-económica, otras actividades extraescolares, género, etc.) no afectaran a los resultados finales. Con este método hubo estudios que no probaron relación entre la destreza lectora y el rendimiento en matemática en alumnos de primero de primaria, pero otros investigadores sí probaron relación con las habilidades espaciales. Todos estos estudios no son completos y requieren todavía más experimentación para extraer conclusiones definitivas (todos los autores reconocen este extremo). De hecho, alguno de esos estudios adolece de un diseño experimental erróneo. Schellenberg y sus coautores [SNHT07] abordaron la cuestión estudiando la relación entre la instrucción musical y un indicador global de la inteligencia. Para estudiar esa relación decidieron incorporar en el estudio la formación teatral y como grupo de control pusieron un grupo de alumnos que no recibió instrucción ni en música ni en teatro. El indicador global de inteligencia fue el indicador de Wescheler [Wec39], que proporciona un coeficiente conjunto basado en la combinación de cuatro índices que miden la comprensión verbal, la organización perceptual, el procesamiento del habla y la capacidad de concentración. El grupo de la instrucción musical mejoró sustancialmente en los cuatro índices y además lo hizo mejor que el grupo que no recibió instrucción alguna y que el grupo que recibió formación teatral. No obstante el trabajo de Schellenberg y sus coautores y sus buenos resultados, todavía hacen falta más estudios que comparen los efectos de la formación musical con otros tipos de formación. 2.3. Influencia en el desarrollo emocional Nadie discute a estas alturas las consecuencias emocionales de la música. Los estudios científicos han investigado tres cuestiones principales: la respuesta emocional en la escucha, la respuesta emocional en el aprendizaje musical y la respuesta emocional durante la ejecución musical. En el primer caso se ha investigado el efecto de la formación musical y en general se ha encontrado que la respuesta emocional es la misma independientemente del nivel de formación musical. Cuando se consideran sujetos con formación musical sí se observa que los juicios musicales son más sólidos y que son capaces de detectar detalles muy sutiles del discurso musical. También se ha observado que tienen un juicio estético superior al de los sujetos sin entrenamiento musical. En cuanto al tercer aspecto, la respuesta emocional durante la ejecución musical, hay estudios que han examinado el papel de la música en adultos que son músicos aficionados. Han encontrado que estos presentan una mayor habilidad para expresar su identidad de forma no verbal y una mayor capacidad de concentración. Véase [Hod14] y las referencias allí contenidas para más información sobre esta cuestión. 2.4. Influencia en el desarrollo social En la cuestión de la influencia musical en el desarrollo social queda mucho por investigar, pues los estudios son pocos y no abarcan poblaciones muy grandes sino con frecuencia pequeños estudios de casos. No obstante, de los estudios disponibles se puede concluir que la música ayuda a iniciar el contacto social, baja los índices de absentismo escolar y fomenta el aprendizaje individual y en grupo; consúltese [Hod14] para más información. 3. Conclusiones En este primer artículo hemos presentado la cuestión de si la instrucción musical tiene influencia en el aprendizaje musical. Sabemos que hay confusión al respecto y en muchos exageración o desconocimiento de los resultados obtenidos por los estudiosos de la cuestión. Hemos hecho una breve revisión de los resultados que afectan al desarrollo cognitivo derivado de la instrucción musical. A continuación hemos analizado su impacto en los indicadores de la inteligencia. Por último, hemos examinado el impacto en el desarrollo emocional y social. En el siguiente artículo y último de la serie, trataremos el impacto en el rendimiento académico y acabaremos con una discusión razonada basada en los resultados glosados aquí.   Bibliografía [But00] R. Butzlaff. Can music be used to teach reading? Journal of Aesthetic Education, 34(3/4):167–178, 2000. [Góm14a] Gómez, P. El aprendizaje por indagación - I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14825&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14b] Gómez, P. El aprendizaje por indagación - II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14957&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14c] Gómez, P. 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Lunes, 22 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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