1. 136. (Diciembre 2021) Retrato alfabético de Kurt Friedrich Gödel, por Iker Ruiz de Infante González

Un retrato alfabético es un listado de palabras (eventualmente acompañadas de frases breves) ordenadas en orden alfabético, que dibujan un retrato. Este relato alfabético ha sido una de las propuestas premiadas en el concurso “retrato alfabético-matemático” organizado durante la Zientzia Astea 2021. Axiomas En matemáticas, proposiciones que se asumen ciertas, y de las cuales se deducen el resto de proposiciones, teoremas, etc. Durante su vida Gödel estudió algunos de los sistemas axiomáticos de las matemáticas y analizó sus propiedades. Brno Brünn en alemán, ciudad en la que Gödel nació el 28 de abril de 1906, en lo que entonces era el Imperio Austrohúngaro. Vivió en esta ciudad, en la que se graduó con honores en la escuela secundaria, hasta que a los 18 años ingresase en la Universidad de Viena. Actualmente Brno es la segunda ciudad más grande de la República Checa. Círculo de Viena Movimiento científico y filosófico que abogaba por una concepción científica del mundo. Gödel participó en el mismo junto con Moritz Schlick, Hans Hahn y Rudolf Carnap. Fue disuelto en 1936 debido al ascenso del nazismo en Austria. Desnutrición Causa de la muerte de Gödel. Murió cuando su esposa, Adele Nimbursky Porkert, estuvo hospitalizada y no pudo continuar preparándole la comida. Gödel sufría de un miedo obsesivo a ser envenenado, y solo tomaba la comida preparada por Adele. Einstein, Albert Amigo de Gödel en Princeton. Solían pasear juntos y conversar en el idioma materno de ambos, El alemán. Einstein decía en sus últimos años de vida que su propio trabajo ya no le interesaba tanto, y que le entusiasmaba más compartir el paseo hasta casa con Gödel. Frege, Gottlob Matemático logicista precursor del intento de encontrar un conjunto de axiomas válido para poder deducir del mismo toda la matemática. El trabajo de Gödel terminó con esta idea de Frege, zanjando la discusión con una respuesta negativa a la existencia de este conjunto de axiomas. Gödel Lenguaje de programación informático perteneciente al paradigma de programación lógica. Nombrado así en honor a Kurt Gödel, debido a las aportaciones de este a la lógica, y a los conceptos de computabilidad y de función recursiva. Hilbert, David Matemático que continuó con las ideas de axiomatización de Frege, y que formuló un Programa para definir un conjunto de axiomas finito y completo que fuera suficiente para expresar toda la matemática. El trabajo de Gödel determinó que el Programa de Hilbert era inalcanzable, en el sentido de que con un conjunto tal de axiomas no era posible demostrar la consistencia del sistema desde dentro del mismo. Instituto de Estudios Avanzados Institución privada, situada cerca de la Universidad de Princeton, dedicada a realizar investigaciones avanzadas en ciencia básica. En el mismo han desarrollado su trabajo personajes como Albert Einstein y John von Neumann. Gödel impartió algunas conferencias en esta institución, y finalmente acabo siendo docente en la misma tras su huida de la Alemania nazi. Kleene, Stephen Matemático alumno de Alonzo Church. Asistió a las conferencias de Gödel en el IEA y sentó las bases para la teoría de las funciones recursivas, área que siguió investigando durante el resto de su vida. Fue capaz de ofrecer una demostración alternativa de los Teoremas de Incompletitud de Gödel, usando el concepto de computabilidad, que hacía más fácil entender y enseñar los teoremas. Lógica Ciencia formal a la que Gödel hizo grandes aportaciones. Gödel aprendió lógica de la mano de Hans Hahn y Rudolf Carnap, y contribuyo a la teoría de la demostración clarificando la relación entre distintos sistemas formales. Medalla Nacional de Ciencia Galardón que le fue concedido a Gödel en 1974 por el entonces presidente de los Estados Unidos, Gerald Ford. Anterior a esto, había sido el primer galardonado con el Premio Albert Einstein, junto con Julian Schwinger, en 1951. Numeración de Gödel Idea original de Gödel basada en identificar cada proposición formal de un sistema axiomático con un número natural de forma única. Esto es posible si el sistema axiomático en cuestión es capaz de expresar la noción básica de aritmética necesaria para poder demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética. Ontología Rama de la filosofía por la que Gödel pareció mostrar interés cuando formuló una demostración del argumento ontológico de Leibniz sobre la existencia de Dios. Actualmente dicha demostración se conoce como la prueba ontológica de Gödel. Principia Mathematica Obra realizada por Bertrand Russell y Alfred Whitehead para continuar el trabajo de Gottlob Frege, pero eliminando las inconsistencias derivadas de la paradoja de Russell. Gödel se basó en el sistema descrito en esta obra para formular sus Teoremas de Incompletitud. Recursividad Propiedad fundamental de las funciones y demostraciones que Gödel empleó en su obra. Más concretamente Gödel basó sus teoremas en la recursión primitiva. Es por ello que argumentaba que sus demostraciones eran constructivas y computables. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados Obra principal de Gödel. En dicha obra formuló y demostró sus Teoremas de Incompletitud. Se publicó originalmente en alemán, con el nombre “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, en la revista Monatshefte für Mathematik. Gödel apuntó que publicaría una segunda parte de la obra, pero esa segunda parte jamás vio la luz. Teoremas de Incompletitud Principal y más importante aportación de Gödel a las matemáticas, consta de dos teoremas. El primer teorema establece las condiciones para que un sistema axiomático sea incompleto, es decir, que contenga proposiciones formales indemostrables e irrefutables al mismo tiempo (proposiciones indecidibles). El segundo teorema señala que dentro de un sistema tal la proposición que indica la consistencia del mismo es indecidible. Universo de Gödel Solución exacta de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein propuesta por Gödel. En dicho universo serían posibles los viajes en el tiempo, y este hecho supuso un estímulo para la búsqueda de soluciones exactas más complejas. Viena Ciudad en la que Gödel cursó sus estudios universitarios, se doctoró y vivió hasta su exilio a los Estados Unidos. Fue, sin embargo, en Bolonia donde Gödel asistió a una conferencia de Hilbert sobre completitud y consistencia en matemáticas, hecho que lo marcaría de por vida. Widerspruchsfreiheit En alemán, consistencia. Es la propiedad fundamental que tienen que tener los sistemas axiomáticos como los que estudió Gödel. Se trata de que, si se puede demostrar una proposición formal, no se pueda también demostrar la proposición contraria. El sistema descrito en el Principia Mathematica es consistente, aunque esa consistencia no se pueda demostrar dentro de la lógica del propio sistema. Por el contrario, en un sistema inconsistente toda proposición es demostrable. ZFC Los axiomas de Zermelo-Fraenkel, junto con el axioma de elección, componen el que actualmente es el sistema axiomático estándar para la teoría de conjuntos. Durante la década de 1930 Gödel demostró que el axioma de elección era independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, pero consistente con ellos. Los axiomas de ZFC constituyen también uno de los sistemas en los que se cumplen los Teoremas de Incompletitud de Gödel.

Miércoles, 01 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

2. 135. (Junio 2021) El ritual de los Musgrave, de Arthur Conan Doyle

El ritual de los Musgrave –que aparece en Memorias de Sherlock Holmes – es un relato corto de Arthur Conan Doyle en el que el famoso detective ayuda a resolver un enigma que afecta a la familia Musgrave, una de más antiguas de Inglaterra. En este relato corto, Reginald Musgrave –un compañero de colegio de Sherlock Holmes– contrata al detective para que investigue la desaparición de Richard Brunton –el mayordomo– y de Rachel Howells –la segunda doncella–. Musgrave había encontrado unos días antes al mayordomo fisgando unos papeles en la biblioteca y le había despedido, dándole el plazo de una semana para irse de la casa. Pero Brunton desaparece y poco más tarde la doncella enamorada del mayordomo, que la ha abandonado por otra. El papel que el mayordomo leía en la biblioteca era el conocido como Ritual de los Musgrave, que decía lo siguiente: – ¿De quién era? – Del que se ha marchado. – ¿Quién la tendrá? – El que vendrá. – ¿Dónde estaba el sol? – Sobre el roble. – ¿Dónde estaba la sombra? – Bajo el olmo. – ¿Con qué pasos se medía? – Al norte por diez y por diez, al este por cinco y por cinco, al sur por dos y por dos, al oeste por uno y por uno, y por debajo. – ¿Qué daremos por ella? – Todo lo que poseemos. – ¿Por qué deberíamos darlo? – Para responder a la confianza. El detective –con gran acierto– piensa que en el ritual debe estar la clave del misterio, y que Brunton –un hombre inteligente– debía haberse empeñado en encontrar el secreto escondido entre aquellas extrañas palabras: Fue perfectamente obvio para mí, al leer el Ritual de los Musgrave, que las medidas habían de referirse sin duda a algún punto al que aludía el resto del documento, y que si podíamos encontrar ese punto estaríamos en buen camino para saber cuál era aquel secreto que los antiguos Musgrave habían juzgado necesario enmascarar de un modo tan curioso y peculiar. Para comenzar se nos daban dos guías: un roble y un olmo. En cuanto al roble, no podía haber la menor duda. Directamente ante la casa, a la izquierda del camino que llevaba a la misma, se alzaba un patriarca entre los robles, uno de los árboles más magníficos que yo haya visto jamás. – ¿Ya estaba aquí cuando se redactó vuestro Ritual? –pregunté al pasar delante de él. – Según todas las probabilidades, ya lo estaba cuando se produjo la conquista normanda –me respondió–. Tiene una circunferencia de veintitrés pies. Así quedaba asegurado uno de mis puntos de partida. – ¿Tenéis algún olmo viejo? –inquirí. – Antes había uno muy viejo, pero hace diez años cayó sobre él un rayo y sólo quedó el tocón. – ¿Puedes enseñarme dónde estaba? – Ya lo creo. – ¿Y no hay más olmos? – Viejos no, pero abundan las hayas. – Me gustaría ver dónde crecía. Habíamos llegado en un dog-cart, y mi cliente me condujo en seguida, sin entrar en la casa, a una cicatriz en la hierba que marcaba donde se había alzado el olmo. Estaba casi a mitad de camino entre el roble y la casa. Mi investigación parecía progresar. – Supongo que es imposible averiguar qué altura tenía el olmo –quise saber. – Puedo decírtelo en seguida. Medía sesenta y cuatro pies. – ¿Cómo lo sabes? –pregunté sorprendido. – Cuando mi viejo profesor me planteaba un problema de trigonometría, siempre consistía en una medición de alturas. Cuando era un mozalbete calculé las de todos los árboles y edificios de la propiedad. Había sido un inesperado golpe de suerte y mis datos acudían a mí con mayor rapidez de la que yo hubiera podido esperar razonablemente. ¿Un olmo que ya no existe, pero del que Holmes –y también el mayordomo– conoce su altura, además de las indicaciones dadas por el ritual? Las deducciones continúan: Miré el sol. Estaba bajo en el cielo, y calculé que en menos de una hora se situaría exactamente sobre las ramas más altas del viejo roble, y se cumpliría entonces una condición mencionada en el Ritual. Y la sombra del olmo había de referirse al extremo distante de la sombra, pues de lo contrario se habría elegido como guía el tronco. Por consiguiente, había de averiguar dónde se encontraba el extremo distante de la sombra cuando el sol estuviera exactamente fuera del árbol. – Esto debió de ser difícil, Holmes, dado que el olmo ya no estaba allí – Pero al menos sabía que, si Brunton pudo hacerlo, yo también podría. Además, de hecho, no había dificultad. Fui con Musgrave a su estudio y me confeccioné esta clavija, a la que até este largo cordel, con un nudo en cada yarda. Cogí después dos tramos de caña de pescar, que representaban exactamente seis pies, y volví con mi cliente allí donde había estado el olmo. El sol rozaba ya la copa del roble. Aseguré la caña de pescar en el suelo, marqué la dirección de la sombra y la medí. Su longitud era de nueve pies. Desde luego, el cálculo era ahora de lo más sencillo. Si una caña de seis pies proyectaba una sombra de nueve, un árbol de sesenta y cuatro pies proyectaría una de noventa y seis, y ambas tendrían la misma dirección. Medí la distancia, lo que me llevó casi hasta la pared de la casa, y fijé una clavija en aquel punto. Imagen realizada por Marta Macho Stadler. Tras encontrar el punto definido por la sombra –gracias al teorema de proporcionalidad de triángulos de Tales, perfectamente descrito por Holmes–queda por utilizar la última parte del ritual: Al norte por diez y por diez, al este por cinco y por cinco, al sur por dos y por dos, al oeste por uno y por uno, y por debajo. Siguiendo estas instrucciones, Holmes y Musgrave descubren una cava bajo la casa… y allí el cadáver del mayordomo –probablemente asesinado por la agraviada sirvienta, celosa de la nueva amante de Brunton– y la corona de los reyes de Inglaterra confiada a la custodia de la familia, y que por alguna razón el heredero del trono no había recuperado… – ¿De quién era? – Del que se ha marchado. – ¿Quién la tendrá? – El que vendrá. Nota Una primera versión de este artículo se publicó el 15 de mayo de 2013 en el Cuaderno de Cultura Científica bajo el título de Thales.

Miércoles, 09 de Junio de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

3. 134. (Febrero 2021) La Jangada, de Jules Verne

La Jangada. Ochocientas leguas por el Amazonas es una novela de aventuras y suspense de Jules Verne. La escribió por entregas en la revista Magasin d’éducation et de récréation entre el 1 de enero y el 1 de diciembre de 1881. Posteriormente fue publicada en formato de libro en dos partes, una primera describiendo un viaje por el Amazonas, y la segunda centrada en el proceso de resolución de un criptograma. Portada de La Jangada (Léon Benett). Wikimedia Commons. Resumen de La Jangada Estamos en 1852. Joam Garral es un hombre de origen brasileño y propietario de una próspera hacienda en Iquitos (Perú). Es padre de Benito, de 21 años, y Minha, de 17. La hija va a casarse con el mejor amigo de Benito, el médico brasileño Manuel Valdez. Para ello, la familia debe viajar a Belém (Brasil). Garral decide transportar al séquito de familiares y criados a bordo de una enorme jangada, una balsa de grandes dimensiones que navega hacia el litoral atlántico de Brasil a través del río Amazonas. Deben recorrer ochocientas leguas a lo largo del río para celebrar el matrimonio. Mapa fluvial del Amazonas, marcadas Iquitos, Manaos y Belém. Wikimedia Commons. Garral esconde un terrible secreto: es un prófugo de la justicia brasileña. Muchos años antes había sido falsamente acusado de robo y asesinato. Debió huir de Brasil para evitar un castigo injusto: la condena a muerte por un delito que no había cometido. Al llegar a Manaos, Torres, un siniestro personaje, chantajea a Garral: no le delatará a cambio de casarse con Minha. Garral no accede a someterse a Torres, es detenido por la justicia y condenado a muerte. Torres posee un documento cifrado con la confesión del verdadero asesino. El objetivo de los familiares y amigos de Garral es recuperar ese manuscrito y lograr descifrarlo antes de que se cumpla la sentencia. El cifrado de Gronsfeld En un cifrado por sustitución simple cada carácter del texto original se sustituye por otro elegido en el escrito codificado. Además, es polialfabético cuando cada símbolo no se reemplaza siempre por el mismo carácter. En este sistema de cifrado, distintos alfabetos y diferentes métodos pueden ser utilizados para realizar en encriptado. El cifrado de Gronsfeld es un cifrado polialfabético que utiliza una clave numérica para codificar y decodificar. Para explicar cómo funciona vamos a ver un ejemplo. Fijemos en primer lugar el alfabeto original de 26 letras con el que vamos a trabajar: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ. Supongamos que el mensaje que queremos enviar es: CÁTEDRA DE CULTURA CIENTÍFICA, con la clave 12345. El mensaje encriptado sería: DCWIISC GI HVNWYWB ELISUKIMHB ¿Cómo se obtiene? Bajo el texto a encriptar se coloca la clave (un dígito por cada letra), repetida tantas veces como haga falta. Para obtener el mensaje encriptado, cada letra original se reemplaza por la que corresponde al desplazarse (hacia la derecha) en el alfabeto tantas posiciones como indica el dígito bajo esa letra: Cifrado del mensaje a enviar. Es decir, como se indica en la tabla, C+1=D, A+2=C, T+3=W, etc. Para descifrar el mensaje, se realiza el proceso inverso. Es decir, dado el mensaje codificado, cada letra se reemplaza por la que corresponde al desplazarse (hacia la izquierda) en el alfabeto tantas posiciones como el dígito bajo esa letra: Por ejemplo, D-1=C, C-2=A, W-3=T, etc. Observar que, con este método y la misma clave, el mensaje WWWWW se encriptaría como XYZAB, ya que: W+1=X, W+2=Y, W+3=Z, W+4=A (volveríamos a comenzar el alfabeto) y W+5=B. El criptograma de La Jangada La novela de Verne comienza con el siguiente mensaje cifrado: Phyjslyddqfdzxgasgzzqqehxgkfndrxujugiocytdxvksbxhhuypo hdvyrymhuhpuydkjoxphetozsletnpmvffovpdpajxhyynojyggayme qynfuqlnmvlyfgsuzmqiztlbqgyugsqeubvnrcredgruzblrmxyuhqhp zdrrgcrohepqxufivvrplphonthvddqfhqsntzhhhnfepmqkyuuexktog zgkyuumfvijdqdpzjqsykrplxhxqrymvklohhhotozvdksppsuvjhd. Se trata del último párrafo de un texto en clave de cien líneas (que no se incluye en el texto) que esconde la confesión de un hombre llamado Ortega, el verdadero autor del delito del que se acusaba a Garral. Cuando Joam Garral es apresado en Manaos, el juez Jarríquez, encargado de su defensa, intenta descifrar el contenido del mensaje por diferentes métodos. Jarríquez alude a El escarabajo de oro de Edgar Allan Poe como sistema en el que se basa para intentar encontrar la clave. Pero sus intentos son infructuosos. Casi en el último momento, un nombre le llega, el de «Ortega», como posible firmante del mensaje en clave. Gracias a ese descubrimiento, el juez consigue encontrar la clave: si SUVJHD (última parte del mensaje cifrado) corresponde a ORTEGA, la clave debe ser «432513». Y utiliza el método Gronsfeld (aunque sin nombrarlo, tan solo lo describe) para descifrar el mensaje escondido. En este caso, el alfabeto empleado es (elimina la letra W): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ. Primeras palabras del mensaje descifradas La última parte del mensaje dice: Le véritable auteur du vol des diamants et de l’assassinat des soldats qui escortaient le convoi, commis dans la nuit du vingt-deux janvier mil huit cent vingt-six, n’est donc pas Joam Dacosta, injustement condamné à mort; c’est moi, le misérable employé de l’administration du district diamantin; oui, moi seul, qui signe de mon vrai nom, Ortega. [El verdadero autor del robo de los diamantes y del asesinato de los soldados que escoltaban el convoy, cometido la noche del 22 de enero de mil ochocientos veintiséis, no es pues Joam Dacosta, injustamente condenado a muerte; soy yo, el miserable empleado de la Administración del Distrito de Diamantes; sí, solo yo, que firma con mi nombre real, Ortega]. Gracias al descubrimiento, Garrall (cuyo verdadero apellido era Dacosta) se libra de la horca, y la historia termina con final feliz. Nota final En el artículo de Frederick Gass indicado en las referencias, el matemático explica de qué manera enfoca Verne este problema y la manera en la que él mismo lo solucionaría utilizando métodos criptográficos. Y finaliza su texto con la siguiente frase: By virtue of this solution, Jules Verne is credited with the first published exposition of the probable word method for Gronsfeld ciphers. [En virtud de esta solución, se atribuye a Jules Verne la primera exposición publicada del método de la palabra probable para los cifrados de Gronsfeld]. En la página DCode.fr puede realizarse de manera automática cualquier codificación/decodificación por el método Gronsfeld, usando el alfabeto y las claves que se deseen. El criptograma contenido en La Jangada es, efectivamente, el indicado en el texto de Verne: Comprobando el mensaje cifrado de La Jangada. Captura de pantalla en DCode.fr. Referencias Jules Verne, La jangada. Huit cents lieues sur l’Amazone, Project Gutenberg Another first, Futility Closet, 18 noviembre 2020 Frederick Gass, Solving a Jules Verne Cryptogram, Mathematics Magazine 59:1 (1986), 3-11 Nota: Esta reseña fue publicada previamente en el Cuaderno de Cultura Científica

Miércoles, 17 de Febrero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

4. 133. (Septiembre 2020) Tareas de un matemático loco, de Antón Chéjov

Antón Chéjov publicó en 1882 Tareas de un matemático loco bajo el seudónimo de “Antosha Chejonté”. Se trata de una hilarante parodia del quehacer matemático a través de ocho absurdas cuestiones planteadas por un matemático “loco”. Se reproduce debajo el cuento completo. Antón Pávlovich Chéjov (Wikimedia Commons). Tareas de un matemático loco Me perseguían 30 perros, de los cuales 7 eran blancos, 8 grises y los restantes negros. Se pregunta: ¿en qué pierna me mordieron los perros, en la derecha o en la izquierda? Autolimioi nació en el 223, y murió tras vivir 84 años. Una mitad de la vida la pasó en viajes, un tercio lo gastó en placeres. ¿Cuánto vale una libra de clavos y estuvo acaso casado Autolimio? En el año nuevo, de la mascarada del teatro Bolshói fueron sacados 200 hombres por pelea. Si los que peleaban eran doscientos pues, ¿cuántos eran los injuriosos, los borrachos, los levemente borrachos y los que deseaban, pero no hallaban ocasión de pelear? ¿Qué se obtiene tras la suma de esas cifras? Se compraron 20 cajas de té. En cada caja había 5 pudsii, cada pud tenía 40 libras. De los caballos que cargaban el té, dos se cayeron en el camino, uno de los cocheros se enfermó y 18 libras se derramaron. La libra tiene 96 zolotniksiii de té. Se pregunta, ¿qué diferencia hay entre el pepino en salmuera y la perplejidad? La lengua inglesa tiene 137 856 738 palabras, la francesa 0,7 más. Los ingleses se juntaron con los franceses y unieron ambas lenguas en una. Se pregunta, ¿qué vale el tercer papagayo y cuánto tiempo se necesitó para subyugar a esos pueblos? El miércoles 17 de junio de 1881, a las 3 de la madrugada, debió salir el tren de la estación A por la vía férrea, para llegar a la estación B a las 11 de la noche pero, antes de la misma partida del tren, se recibió la orden de que el tren llegara a la estación В a las 7 de la noche. ¿Quién ama más prolongado, el hombre o la mujer? Mi suegra tiene 75 años y mi esposa 42. ¿Qué hora es? Informó Antosha Chejonté Si alguien conoce la respuesta a alguna de estas cuestiones… ¿sería tan amable de compartirla? Gracias. Referencias [1] Antón Chéjov, Cuentos completos (1880-1885), Edición de Paul Viejo, Titivillus, 2013 Nota Esta breve reseña es parte del artículo Tareas de un matemático loco publicado en Cuaderno de Cultura Científica el 19 de agosto de 2020.   i Autolimio es un nombre inventado por Chéjov. ii El pud es una unidad de masa equivalente 40 libras rusas, unos 16,38 kilogramos. iii El zolotnik es una antigua unidad de masa rusa equivalente a unos 4,26 gramos.

Lunes, 07 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

5. 132. (Julio 2020) La Leyenda de Sissa (o el viaje a la luna doblando un papel) de Roberto Muñoz

La Leyenda de Sissa es una reflexión matemática y artística de nuestro compañero y amigo Roberto Muñoz (Universidad Rey Juan Carlos). La ha escrito durante los pasados días de confinamiento debidos a la pandemia provocada por el coronavirus SARS-CoV-2. El título alude a la famosa leyenda de Sissa, la del sirviente del brahmán Rai Bhalit que creó la chaturanga -el ajedrez- para entretener a su caprichoso y aburrido señor. El brahmán dejó elegir a Sissa su recompensa por tan entretenido juego. El inteligente sirviente solicitó como pago algo estrechamente relacionado con el tablero en el que se jugaba la chaturanga: pidió un grano de trigo por el primer cuadrado, dos por el segundo, cuatro en el tercero, dieciséis en el cuarto, etc. El brahmán aceptó lo que pensaba que era una modesta recompensa, hasta que fue consciente de que no había trigo suficiente en el país para pagar semejante petición… Sissa según un dibujo de Thiago Cruz (2007). Imagen: Wikimedia Commons. NOTA: Este texto fue publicado previamente en la revista de educación InkSpace, en su número de junio de 2020 dedicado a la educación y el arte. -OoO- Aplanar una curva, una maldita curva. Una curva que nace exponencial, dos elevado al tiempo que pasa, o quizás tres elevado al número de días, o cuatro. Cada uno contagiando a tantos, dando una mano o un beso, compartiendo un vaso, la saliva, la barandilla del autobús, cama. Diseminando un virus lejano, de pangolines y murciélagos. Un caso en La Rioja, o en Madrid, o en Igualada, qué importa, quién se acuerda, que contagia a dos, estos dos a otros dos y estos a otros: en comidas, en fiestas, en el metro, en el médico. Y sólo así, en veinte unidades de tiempo, dos elevado a la veinte, más de un millón (1.048.576 es el valor exacto de 2^20). En diez unidades de tiempo más, 2^30, esto es 1.073.741.824, imposible, increíble. 2^40= 1.099.511.627.776 2^50= 1.125.899.906.842.624 2^60= 1.152.921.504.606.846.976 Nos habían contado eso de llegar a la luna doblando un papel. Nos habían contado aquella leyenda del premio al creador del juego del ajedrez: granos de arroz que se duplican en cada casilla del tablero y que convertían aquel regalo en impagable pero no, no acabábamos de entender, no, no lo comprendíamos. Y sí. Aunque nosotros no éramos como los chinos -aquí seguro que no, aquí no existe la exponencial, aquí no-, lo somos. Aplanar la curva. Hacer que la segunda derivada sea negativa, que se decelere la función, que crezca más despacio, asfixian los datos, que deje de crecer, cuánto dolor, que deje de crecer, que deje, que empiece a decrecer, sentir alivio. Aplanar la curva para salir a la calle, para respirar árboles y dejar de oler enchufes, para quitarnos el chándal y comprar chisteras. Para producir vitamina D y deseo, para no beber solos, para gritar larga vida al rock and roll. La derivada ya no es un ejercicio académico de rutina, la del cuadrado de x es dos x, la del logaritmo de x es 1/x, ya no es sólo la velocidad, la pendiente de la recta tangente, la tasa de variación instantánea. Es ahora la derivada un deseo y es una expectativa, que la curva deje de ser exponencial y que se convierta en otra cosa, todavía no, todavía no lo ha hecho, unos plazos, no sé qué índice de contagio. Por favor que cambie de signo, que deje de ser positiva y cada vez más grande y empiece por aumentar cada vez más despacio para terminar siendo negativa. Pendiente positiva, crece, pendiente negativa, decrece. Que decrezca. Que decrezca. Un punto de inflexión y luego un máximo y luego para abajo. Si crece a esta velocidad, si la curva tiene esta forma, no podremos atender a todos, no seremos suficientes, no tendremos energía y será peor, nos contagiaremos más; los que cuidan todavía más. Ha de crecer más despacio, todos a casa, todos separados, profilácticos todos, aplausos a las ocho, series y bizcochos. Números en pantallas, números pronunciados, números que no son clases de equivalencia de conjuntos finitos módulo biyección, no. Son cincuentas que duelen, setecientos cincuenta y sietes que te dejan exhausto, o cientos de miles. Millones. Porcentajes. Novecientos cincuenta, dos de abril, 2020. Cero era un punto de equilibrio, las cosas no variaban, cuando no había contagiados nadie se podía contagiar. Se alteró ligeramente el equilibrio -una temperatura media ligeramente superior, unas emisiones que subieron un poco, un mar apenas unas décimas más caliente-, no mucho, epsilon, dos o tres infectados, quizás quince, unos que venían de aquí y de allá, que se movían, y el sistema se activó, se puso a buscar otro punto de equilibrio, ojalá el mismo punto de contagiados cero, en el que detenerse, estabilizarse. Aquella movida del comportamiento asintótico de una función (de un sistema dinámico), aquello de que la exponencial tiende a infinito, pero más rápido que cualquier polinomio, y que 1/x tiende a 0, y que si calcule usted las asíntotas horizontales de la siguiente función, es ahora un horizonte sin metáforas. El de los contagiados que habrá, el de los repuntes, el de las caídas a cero, el de la comparación entre los que podemos y los que debemos cuidar, el de la vida cotidiana que será igual, o no. Una curva que se aplanará, la gráfica de una función: en un eje el tiempo, en el otro los contagiados (o los fallecidos, o los ingresados en unidades especiales, o lo que vayan poniendo). Que se aplanará, al fin y al cabo el conjunto de personas es finito, pero que ni idea, los epidemiólogos algo esperan, pero con prudencia: mesetas, caídas, subidas, periodos. Ciencia. La que destruirá este texto cuando todo se entienda. Y mientras tanto, una cacofonía de enterados, de iluminados, de iracundos, de tontilanes, de toreros de salón. Y muchas dificultades para contar: uno, dos, tres, cuatro, para homogeneizar datos, para comparar, y pocas ganas de hacerlo. O mala intención. Una curva, en unos meses, una curva. -OoO-

Lunes, 06 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

6. 131. (Enero 2020) Composición nº1, de Marc Saporta

Una tirada de dados jamás abolirá el azar. Stéphane Mallarmé Un Coup de Dés jamais n’abolira le Hasard –Una tirada de dados jamás abolirá el azar– es el título de un poema de Stéphane Mallarmé (1842-1898) publicado en 1897. Compuesto en forma de versos libres, es uno de los primeros poemas tipográficos de la literatura francesa. El título de este poema, junto a su autor, aparece en el colofón del libro Composición n01 de Marc Saporta (1923-2009) en su traducción al castellano publicada por la editorial Capitán Swing en 2012. La primera versión, en francés, fue publicada en 1962 por la editorial Le Seuil. Composición n01 es una novela compuesta por 150 hojas no encuadernadas, no numeradas, escritas por una única cara e introducidas al azar en una caja. Fotografía de Marta Macho Stadler. En el prefacio, el autor explica las ‘instrucciones de uso’ de su novela y proporciona algunas claves sobre la lectura: Se ruega al lector que mezcle estas páginas como una baraja. Que las corte, si lo desea, con la mano izquierda, igual que una echadora de cartas. El orden en el que salgan las hojas después de hacerlo orientará el destino de X. Porque el tiempo y el orden de los acontecimientos regulan la vida más que la naturaleza de estos acontecimientos. Sin duda, la Historia impone un marco: la pertenencia de un hombre al maquis y su paso por las tropas de ocupación en Alemania pertenecen a una época determinada. Asimismo, los hechos que marcaron su infancia no pueden presentarse como vividos en la edad adulta. No obstante, no es indiferente saber si conoció a su amante, Dagmar, antes o después de su matrimonio; si abusó de la pequeña Helga durante su adolescencia o su madurez; si el robo que cometió tuvo lugar bajo el abrigo de la Resistencia o en tiempos menos turbulentos; si el accidente del que fue víctima carece de relación con el robo (o la violación) o si tuvo lugar durante la huida. Del encadenamiento de las circunstancias depende que la historia acabe bien o mal. Una vida se compone de elementos múltiples. Pero el número de composiciones posibles es infinito. El libro de Marc Saporta ‘cuenta’ una historia de un personaje misterioso. Una, y no la historia, porque el relato transcurre dependiendo del orden en el que se colocan las hojas tras barajarlas, como indica el autor en el prefacio. Cada página corresponde a un episodio procedente de los recuerdos del personaje X. Este narrador aparece como un ladrón y un violador. De hecho, dos de las páginas de Composición n01 se dedican a citar algunos artículos –entiendo que eran los que estaban vigentes en Francia cuando Saporta publicó su texto, en 1962– relativos a los delitos de robo y violación. Al recorrer las páginas de esta singular novela, la historia va incorporando diferentes personajes, algunos de los cuales son recurrentes: Marianne –la esposa de X–, Dagmar –su amante– o Helga –una joven a la que X viola– aparecen en numerosas ocasiones, mientras que otros personajes solo son citados en una de las páginas. Cada una de las hojas corresponde a un marco espacio-temporal que cambia continuamente. El lugar elegido –una ciudad ocupada por el ejército alemán, el patio de una escuela o el apartamento de alguno de los personajes– depende de lo que el azar dispone tras barajar las páginas del libro. Aunque pienses que estoy intentando ‘destripar’ la versión de Composición n01 que he leído, no pasa nada; es bastante improbable que, tras barajar las páginas del libro, la versión que tú vas a leer sea la misma que la mía… Fotografía de Marta Macho Stadler. El prefacio de Marc Saporta termina con la frase: Pero el número de composiciones posibles es infinito. En realidad, Composición n01 no contiene infinitas versiones de la historia de X. Aunque es cierto que contiene “muchas”. De hecho, al haber 150 páginas que pueden ordenarse de manera aleatoria, el número de novelas distintas que podemos leer es la factorial de 150 –son las permutaciones sin repetición de 150 elementos–. Para hacernos una idea de esa cantidad de versiones, la factorial de 150 es el número: 571338395644585459047893286526105400318955357860112641825483758331798291248453983931265744886753111453771078787468542041626662501986845044 66355949195922066574942592095735778929325357290444962472405416790722118445437122269675520000000000000000000000000000000000000, número que está formado por 263 cifras y finaliza con 37 ceros. Redondeando, la factorial de 150 es aproximadamente 5,7 x 10262. Y, efectivamente, es un número muy, muy grande… pero no infinito. Referencias Una tirada de dados jamás abolirá el azar de Stéphane Mallarmé (Una propuesta estético-filosófica de Juan David García Bacca, incluida en su obra "Necesidad y Azar. Parménides y Mallarmé", Editorial Antrophos, Barcelona, 1985), Revista aesthethika 12 (2), septiembre 2016. Caos e invención, pág. 53-54 Marc Saporta, Composición no1, Capitán Swing, 2012 Nota: Esta reseña se ha publicado previamente (25 de diciembre de 2019) en el blog Cuaderno de Cultura Científica de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU con el título Composición nº1, la historia de X gobernada por el azar.

Miércoles, 01 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

7. 130. (Julio 2019) "Otto. El hombre reescrito" por Marc-Antoine Mathieu

Otto. L’homme réécrit (Éditions Delcourt, 2016) es una de las últimas novelas gráficas del guionista y dibujante Marc-Antoine Mathieu. Aunque ha sido traducida a otros idiomas, lamentablemente aun no se dispone de su versión en castellano. Esperemos que no tarde demasiado. Portada de Otto. L’homme réécrit. Como muchas de las propuestas de Mathieu, Otto contiene numerosas referencias matemáticas. En este caso la simetría y la teoría del caos conducen la trama de la historia,… historia cuyas seis primeras viñetas coinciden con las seis últimas del libro, pero colocadas en orden inverso. En efecto, el autor está recorriendo el tiempo en sentido inverso para situarse en el principio real de esta historia, que comenzó varios años antes, en el museo Guggenheim Bilbao, «el museo-espejo de Bilbao», según Mathieu en el texto. Estamos en la parte trasera del museo. Una gran multitud espera la actuación de Otto Spiegeli, un artista de fama mundial que realiza performances jugando con los reflejos de su cuerpo sobre diferentes espejos. A la izquierda de la viñeta que inaugura el inicio del relato se alza la bella araña Maman de Louise Bourgeois. A la derecha, una escultura en forma de banda de Möbius flota sobre uno de los estanques del museo. Parte trasera del Museo Guggenheim Bilbao. Imagen: Wikimedia Commons. Otto observa su imagen sobre un gran espejo que manipula, gira y termina rompiendo al lanzarlo súbitamente hacia el suelo. El público le aplaude con entusiasmo pensando que forma parte del espectáculo, pero Spiegel ha sentido durante un instante un profundo vacío que le ha inmovilizado; por ello ha dejado caer el espejo. El artista decide dejar sus espectáculos durante una temporada. Poco tiempo después, Spiegel se entera de que su madre y su padre han fallecido en un accidente de tráfico. Dejan como legado a su hijo su vieja casa y un gran baúl abandonado en el desván. El cofre contiene cuadernos, notas, dibujos, documentos fotográficos, audios y videos. Todos ellos son detalles de los siete primeros años de la vida de Otto Spiegel. Cada día, cada hora, cada instante de la existencia de Otto había sido examinado y registrado por sus padres sin que él fuera consciente de ello. De hecho, el artista no recuerda nada de sus siete primeros años de vida. Aquel baúl encierra su propia historia durante ese tiempo, su historia olvidada. Tras un tiempo reflexionando sobre qué hacer con aquella información, Otto alquila un gran estudio y se encierra allí para leer, ver y escuchar todos aquellos apuntes y grabaciones. Piensa que toda esa información puede ayudarle a encontrarse a sí mismo, a reescribirse. Y empieza su especial indagación comenzando por el día 365 de su séptimo año de vida, es decir, investiga su yo infantil en sentido inverso. Cada día registrado de su vida en aquel baúl le lleva veinticuatro horas de indagación para revivir hasta el menor detalle.  A lo largo de los años de inspección del contenido de ese cofre, Otto recuerda hechos banales, detalles insignificantes, todo está grabado. Trozos de tela de pijamas, hojas de árbol, fotografías anodinas le ayudan a recordar su infancia. Otto percibe nuevas verdades, pierde ilusiones, se aísla cada vez más en este obsesivo proceso de reescribirse… Mientras lee en sentido inverso cada día de sus primeros siete años de vida, Otto realiza su propia labor de investigación. En el amplio espacio del estudio que ocupa, al artista organiza los recuerdos y las relaciones entre ellos. Utiliza para ello una inmensa red de cuerdas entrelazadas en las que va colgando –como si se tratara de ropa tendida– notas con detalles que han sido importantes y han influenciado en otros sucesos. A estos hechos conectados los relaciona en el mismo trozo de cuerda. De este modo, traza una inmensa red de vértices –los recuerdos– y aristas –que unen vivencias relacionadas– con la que invade el gran espacio del estudio que anteriormente estaba vacíoii. Y aparece entonces la teoría del caos. Mathieu alude en el texto una cita del ingeniero químico Julio Ottino: «La característica común de todos los sistemas complejos es que muestran organización sin que se aplique realmente ningún principio externo de organización. Del mismo modo, la extrema complejidad de organización del cerebro humano no posee ninguna instancia superior, no hay ningún homúnculo que lleve las riendas.»iii A medida que Otto reescribe su historia, esa gran red de relaciones –entre los hechos, los actos y los pensamientos– que está construyendo va adquiriendo una forma singular que recuerda – así se dice en la novela– a un atractor extraño. Otto piensa que ese conjunto esconde la realidad de su ser, su síntesis, su verdad. Esta forma «… solo le pertenecía a él, solo a él. Un especialista en teoría del caosiv podría haber determinado su dimensión exacta: algo entre la tercera y la cuarta dimensión…»v. La última caja, la caja 0, contiene los 9 meses de su gestación: «Era como esos ocho años de existencia, todo y nada. Era como este objeto con una sola caravi, a la vez finito e infinito.»vii… Nota 1 La novela contiene numerosas referencias gráficas a la simetría a través de espejos, de espejos reflejándose en otros espejos, etc. Mathieu dibuja arborescencias –con cadenas de causalidad–, vórtices –aludiendo a su propio ombligo, galaxias, sistemas dinámicos, el infinito–, bandas de Möbius –sugiriendo la presencia simultánea de lo real y lo irreal, la fusión del pasado y el presente, …–, simetrías, atractores extraños –aludiendo al cerebro humano, al caos, a la fusión del pasado con el presente, al abismo, …–. Es imposible expresar solo con palabras la enorme riqueza que transmiten las imágenes, en las que se descubren detalles en cada nueva mirada. Nota 2 Esta es una versión ampliada del texto Otto Spiegel, de la simetría a la teoría del caos (Cuaderno de cultura científica, 5 junio 2019).   i Spiegel significa ‘espejo’ en alemán. Observar, además, que el nombre Otto es un palíndromo, una palabra obtenida por simetría especular. ii Otto está trazando un grafo que relaciona los sucesos de su infancia. iii Traducción del texto (en francés) que aparece en la novela gráfica. iv Recordemos que un atractor es un conjunto de valores numéricos hacia los cuales tiende un sistema dinámico cuando evoluciona. En los sistemas caóticos, pequeñas perturbaciones pueden llevar a cambios inesperados. A pesar del aparente azar involucrado, la dinámica del sistema caótico es determinista y tiende hacia estas complejas formas, los atractores extraños, que tienen dimensión de Hausdorff no entera; son objetos fractales. v Traducción del texto (en francés) que aparece en la novela gráfica. vi Se refiere a la banda de Möbius. vii Traducción del texto (en francés) que aparece en la novela gráfica.

Martes, 16 de Julio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

8. 129. (Abril 2019) La extraordinaria…, la ingeniosa… y la incansable…

El Núcleo Milenio Modelos Estocásticos de Sistemas Complejos y Desordenados es un centro de investigación dedicado al estudio de la teoría matemática de probabilidades. Está integrado fundamentalmente por investigadoras e investigadores procedentes de la Pontificia Universidad Católica de Chile y de la Universidad de Chile. Desde el año 2016 este centro ha lanzado una serie de cuentos que buscan “sensibilizar a la sociedad sobre aspectos relevantes de las matemáticas, reducir los efectos de estereotipos negativos hacia el desempeño de las mujeres en la ciencia y, por último, fomentar la cultura científica y la lectura desde edades tempranas”. De momento, esta serie consta de tres títulos, pensados para edades comprendidas entre los 6 y los 10 años. Pueden verse online o descargarse gratuitamente en formato pdf en este enlace. Debajo se dan unas breves pinceladas sobre los tres libritos. La extraordinaria Emmy Noether: con dibujos y textos de la ilustradora y autora de libros para niñas y niños Paloma Valdivia. Además de las dificultades en su vida –fundamentalmente por ser mujer y judía en la Alemania de principios del siglo XX– el cuento repasa algunas de las aportaciones matemáticas de Emmy Noether (1882-1935). El cuento alude, por ejemplo, a su colaboración con los matemáticos David Hilbert y Felix Klein en problemas relacionados con la teoría de la relatividad de Albert Einstein o a que sus matemáticas, aunque abstractas, tuvieron repercusiones muy relevantes en fisica. La ingeniosa Maryam Mirzakhani: con dibujos de Paloma Valdivia, textos del escritor y periodista Matías Celedón, y revisión de los contenidos científicos del matemático Gregorio Moreno. La narración comienza cuando Maryam Mirzakhani (1977-2017) era una niña que leía con pasión y soñaba con ser escritora. Al principio no se le daban demasiado bien las matemáticas, pero gracias a una profesora que confío en ella y a su amiga Roya, se enamoró de esta materia. El cuento alude a su trabajo en superficies hiperbólicas en los comienzos de su investigación, a su costumbre de ‘dibujar garabatos’ para centrarse en el problema en el que estaba pensando, y en los problemas de billares en los que también investigó. Por supuesto también se alude al galardón que recibió en 2014: la Medalla Fields, siendo Maryam la primera mujer en obtenerlo. La incansable Olga Oleinik: con dibujos de las ilustradoras Magdalena Pérez y Paloma Valdivia y los textos de la profesora de literatura Mónica Bombal y el matemático Gregorio Moreno. La narración comienza hablando de la situación de guerra en Ucrania, en el momento en el que nació Olga Arsenievna Oleinik (1925-2001). Cuando el ejército alemán invadió el lugar en el que vivía, la familia tuvo que huir para trasladarse a los Urales. También evacuaron a esa zona al Departamento de Física y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú y así, de manera totalmente inesperada, Olga pudo estudiar con los más destacados científicos rusos. En la época de la Guerra Fría, ya en Moscú, pudo completar su tesis doctoral sobre ecuaciones en derivadas parciales: su director fue Ivan Georgevic Petrovsky. Escribió más de 350 artículos de investigación y tutorizó más de 50 tesis doctorales, además de colaborar con científicas y científicos de otros muchos países.   Nota 1: Parece que llegarán al menos otros dos cuentos dedicados a las matemáticas Sofia Kovalévskaya y Sophie Germain… ¡Los esperamos con muchas ganas! Nota 2: Este artículo se ha elaborado a partir de los contenidos del blog “Mujeres con ciencia”: La extraordinaria Emmy Noether La ingeniosa Maryam Mirzakhani La incansable Olga Oleinik

Martes, 16 de Abril de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

9. 68. (Septiembre 2012) Series lógicas y crímenes en serie (versión abreviada)

Uno de los cuentos más famosos de Borges, “La muerte y la brújula”, plantea como enigma una serie de muertes, concertadas de acuerdo a un patrón que se revela de a poco. “El primer crimen”, se declara, “ocurrió en el Hôtel du Nord –ese alto prisma que domina el estuario cuyas aguas tienen el color del desierto.” En una primera lectura, el nombre del hotel podría pasar inadvertido, como un dato intercambiable, una elección casi arbitraria. Sin embargo, es la primera referencia a una de las claves de la solución. El Hôtel du Nord representará el punto cardinal norte. La otra referencia oculta de la frase es la mención al estuario, que invita a identificar la ciudad con Buenos Aires. A este hotel arriba el día 3 de diciembre el delegado a un Congreso Talmúdico, de apellido Yarmolinsky, sólo para morir asesinado esa noche. En una máquina de escribir junto al cadáver hay una hoja con una frase inconclusa; “La primera letra del Nombre ha sido articulada”. También aquí, a primera vista, la fecha del 3 parece un número cualquiera elegido al azar. Pero muy pronto, el número 3 reaparece. “El segundo crimen”, se nos dice, “ocurrió la noche del 3 de enero, en el más desamparado y vacío de los huecos suburbios occidentales de la capital”. En una pared junto al cadáver quedan escritas unas palabras en tiza: “La segunda letra del Nombre ha sido articulada”. La tercera muerte, ahora más previsiblemente, ocurre la noche del 3 de febrero. Se establece así la aparente firmeza del número 3 como patrón en la regularidad de un muerto por mes, pero se vela más la clave geográfica. El crimen habría ocurrido, se dice al pasar, “en la dársena inmediata, de agua rectangular”, una mención oblicua al punto cardinal este. La sentencia, en una de las pizarras de la recova, dice esta vez “La última de las letras del Nombre ha sido articulada”. El comisario a cargo de la investigación, que representa el orden de lo prosaico y del sentido común, recibe pocos días antes del 3 de marzo un sobre con un plano de la ciudad y una carta en la que se profetiza que el 3 de marzo no habría otro crimen, porque “la pinturería del Oeste, la taberna de la Rue de Toulon y el Hôtel du Nord eran los vértices perfectos de un triángulo equilátero y místico”. El comisario envía la carta y el plano a Erik Lönnrot, el detective paralelo del relato, el detective del orden ficcional. Lönnrot, que está detrás de una solución “puramente rabínica”, o al menos “interesante”, ha descubierto que el día hebreo empieza al anochecer. Como todos los crímenes fueron cometidos de noche, la fecha 3 debe leerse en realidad como 4. Así, los tres primeros crímenes apuntan en realidad a uno todavía por cometerse, en el punto sur que completa el rombo de los puntos cardinales. El número 4 está también sugerido por los rombos de la pinturería, y el traje de los arlequines en la tercera de las muertes (que finalmente, se sabrá, ha sido fraguada) y, sobre todo, por la palabra Tetragrámaton, que da la clave de los mensajes, las cuatro letras del Nombre secreto de Dios. Lönnrot ubica en el plano de la ciudad el cuarto punto y acude a ese lugar en el sur, la quinta de Triste-le-Roy. Pero lo que no alcanza a prever es que en realidad la serie es un laberinto, una trampa que ha preparado su archienemigo Red Scharlach, para atraerlo hasta allí. Y que la cuarta víctima será él. Llegado el encuentro, hay algo así como un doble final en que detective y asesino tienen un último diálogo. En este diálogo Lönnrot dice: “En su laberinto sobran tres líneas. Yo sé de un laberinto griego que es una línea única, recta. En esa línea se han perdido tantos filósofos que bien puede perderse un mero detective. Scharlach, cuando en otro avatar usted me dé caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen en B, a 8 kilómetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilómetros de A y de B, a mitad de camino entre los dos. Aguárdeme después en D, a 2 kilómetros de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Máteme en D, como ahora va a matarme en Triste-le-Roy.” En un cuaderno de anotaciones de Borges aparece un diagrama, dibujado por él mismo, con los puntos situados de acuerdo a esta explicación, que corresponde, por supuesto, a la paradoja de Zenón de Elea. Evidentemente Borges pensaba que si se comete un primer crimen en A, un segundo crimen en B, y un tercer crimen en C, a mitad de camino entre los dos, el cuarto punto queda determinado en D, con la misma claridad que los puntos norte, oeste y este apuntan al sur como cuarto término. Es decir, que la serie A, B, C señala a D, a mitad de camino entre A y C, como la solución lógica correspondiente que podría inferir un detective para esta variante en línea recta de la trampa. Sin embargo, esta segunda serie no es de ningún modo tan clara. Es muy fácil pensar otras soluciones posibles, y también perfectamente “razonables” para la serie A, B, C tal como está planteada. Por ejemplo, puede pensarse que el asesino camina primero 8 kilómetros desde A hasta B para cometer el segundo crimen. Luego retrocede 4 kilómetros para cometer el tercer crimen en C. Y a continuación vuelve a avanzar 2 kilómetros para cometer el cuarto crimen en un punto intermedio entre C y B. En esta segunda solución, el movimiento es de avances y retrocesos. En la primera solución el movimiento es únicamente de regreso al punto A. ¿Por qué una sería preferible a la otra? En realidad, en la historia principal, lo que le da “obviedad” al punto ubicado en el sur es una información de contexto: el hecho de que los tres puntos anteriores corresponden a lugares situados en el norte, oeste y este. Esta información, recordemos, la suministra el propio criminal en una carta, junto con un plano que le envía al comisario. Si el mismo problema se planteara sin esta clave adicional, tendríamos como datos únicamente la ubicación de tres puntos de la siguiente manera: Y entonces, visto así el problema, también aparecen otras continuaciones “razonables” posibles: por ejemplo, podríamos pensar en un movimiento de rotación alrededor del punto A. Tenemos entonces que la continuación de una serie de símbolos lógicos no necesariamente es única. Si los símbolos están dados de una manera “desnuda”, sin otras claves de contexto, pueden admitir distintas continuaciones. Aún así, al comparar soluciones propuestas para una misma serie, algunas podrían parecernos más nítidas o “naturales”, más precisas, más obvias. Uno podría suponer: si bien las series lógicas no tienen solución única, quizá sí pueden diferenciarse las distintas soluciones de acuerdo a criterios estéticos, o de algún otro tipo. Establecer algo así como la mejor solución, la más elegante, la más económica, la más elemental, la más evidente. Esto tampoco puede hacerse. Veamos este ejemplo: Si yo doy los números 2, 4, 8, 16 y pregunto por el número que debería escribir a continuación, es muy probable que la contestación inmediata sea 32, y que se considere un error imperdonable, y hasta risible, que alguien sugiera, por ejemplo, 31. Sin embargo, pensemos las cosas de este modo: Dibujamos un círculo, fijamos 2 puntos en la circunferencia y trazamos la línea que une esos puntos. El círculo ha quedado dividido en dos sectores. Así obtenemos el número 2: Fijamos ahora, sucesivamente, 3, 4, y 5 puntos en la circunferencia, y trazamos las líneas que unen a cada punto con los demás. Al contar los sectores obtenemos los números 4, 8, y 16. Observemos que hasta aquí las dos series coinciden perfectamente, aunque la regla que utilizamos para obtener los números es distinta en cada caso. Los que han pensado en la solución 32 utilizaron la regla “multiplicar por dos el número anterior para obtener el siguiente”. Mientras que la regla que estamos usando ahora para obtener la serie 2, 4, 8, 16 es “fijar puntos sobre la circunferencia, trazar las líneas que unen a cada punto con los demás, y contar los sectores en que queda dividido el círculo”. Veamos qué ocurre en el quinto paso. Fijamos 6 puntos sobre la circunferencia y, una vez más, trazamos las líneas que unen a cada punto con los restantes. Al contar los sectores en que ha quedado dividido el círculo obtenemos, no el número 32, ¡sino 31! De manera que 31 es una continuación también perfectamente razonable para la serie 2, 4, 8, 16. Más aún, bien mirada, es incluso más “elemental” que la solución 32, que requiere saber la tabla del 2, algo que los chicos no aprenden hasta segundo grado. Mientras que cualquier chico a partir de los cuatro años puede en cambio trazar estas líneas que unen entre sí los puntos y contar los sectores. Esto muestra que no hay demasiadas esperanzas de poder diferenciar diferentes soluciones de acuerdo a criterios como economía, elegancia, etcétera. Algunas consecuencias de esta discusión 1. Novelas sobre crímenes en serie: Hay un largo equívoco, propagado por innumerables novelas y películas sobre crímenes en serie, según el cual, si el asesino deja un símbolo junto a cada cadáver, un detective con la suficiente inteligencia podrá dar con la continuación correcta de la serie y anticipar el crimen siguiente. Sin embargo, tal como vimos, el detective no puede en general aspirar a acertar con la continuación de una serie de crímenes, sino sólo a tener la suficiente empatía con el modo de pensar del asesino, para coincidir con él en una de las continuaciones posibles. Si Scharlach no hubiera enviado la carta que señala para las primeras tres muertes la interpretación de puntos cardinales, Lönnrot no hubiera podido “leer” unívocamente la continuación del punto sur, del mismo modo que la continuación D en la que pensaba Borges para la serie sobre la línea recta no queda unívocamente determinada por los primeros tres puntos. 2. Tests de inteligencia En alguna época los tests de inteligencia y de personalidad incluían también series lógicas, en general de tres símbolos o figuras, que el examinado debía prolongar en un casillero en blanco. Pero otra vez aquí, lo único que el examinador podría evaluar es el amoldamiento del examinado a la continuación “media esperable” de acuerdo a cierta edad, a cierta educación, a cierto medio social, a cierto entrenamiento previo. En definitiva, se evalúa la coincidencia o desviación del pensamiento del examinado respecto de la solución prevista a priori como única correcta por el examinador. 3. Paradoja de Wittgenstein sobre las reglas finitas En realidad, el que reflexionó de una forma más amplia y general sobre este problema de las diferentes continuaciones posibles de una serie fue Ludwig Wittgenstein en Investigaciones filosóficas y también en Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. En la formulación quizá más precisa de la paradoja, la establece de este modo: Nuestra paradoja era ésta: Una regla no podía determinar ningún curso de acción porque todo curso de acción puede hacerse concordar con la regla. Es decir, la mera aplicación de una regla no permite inferir cuál es realmente la regla que se está siguiendo, no importa cuántas veces se haya aplicado. En efecto, si volvemos al ejemplo de la serie 2, 4, 8, 16, yo puedo creer que infiero correctamente la regla de “multiplicar por dos el término anterior” y mi curso de acción será entonces escribir el número 32 como continuación. Pero en realidad la regla utilizada para obtener estos cuatro números podría haber sido la de los círculos y sectores, que coincide de manera parcial con la mía en los primeros cuatro pasos. En general, si obtuvimos un número n cualquiera de resultados con una cierta regla R, no podemos inferir de esta aplicación parcial que es verdaderamente la regla R la que tenemos que usar en el paso siguiente, y no por ejemplo, otra regla R´ que coincide con la nuestra en esos primeros n resultados, pero difiere en el paso siguiente n + 1. 4. Educación Pero ¿cómo podemos entonces aprender? ¿Cómo podemos estar seguros si aprendimos o no una regla, cuando la cantidad de ejemplos que nos pueden dar, o que podamos exhibir en respuesta como prueba de que verdaderamente entendimos, no permite inferir cuál es en realidad la regla? Y sin embargo, por otro lado, es un hecho que aprendemos algunas reglas, a pesar de la paradoja de Wittgenstein. Aprendemos, por ejemplo, la regla de multiplicar por dos (aunque Wittgenstein logra convencernos de que ni siquiera podemos estar seguros de que sepamos verdaderamente multiplicar por dos). Wittgenstein explica el aprendizaje de una regla como un juego del lenguaje, es decir un juego que sale del plano sintáctico donde están escritos los ejemplos, (y que es insuficiente por sí solo para decidir la interpretación correcta) y pasa al terreno del intercambio social a través del lenguaje, donde se da a las reglas una interpretación privilegiada, que tiene que ver con una norma. “Seguir una regla es análogo a obedecer una orden. Se nos adiestra para ello y se reacciona a ella de determinada manera.” La educación en la regla es así una calibración sucesiva entre alguien que ensaya y una figura de aprobador-reprobador, que juzga los ensayos de la regla, hasta que se logra una sincronía lo bastante perdurable, de manera que la regla-norma parece haber sido aprendida, porque la concordancia se ha puesto a prueba suficiente cantidad de veces. 5. Diferencia entre letra y espíritu de la ley en la justicia La letra de la ley conserva la forma en que se ha aplicado la norma hacia atrás en el pasado, pero la sucesión de ejemplos en que se aplicó la ley no alcanza para determinar unívocamente la interpretación que debe regir en el presente, o en el futuro. La sociedad, o los jueces dentro de la sociedad, pueden reinterpretar la ley de maneras diferentes en cada instancia. Así, el presente histórico ocupa el rol de aprobador-desaprobador respecto al curso de acción para la ley escrita hasta ese momento. 6. Búsqueda de una lengua universal En el libro La búsqueda de la lengua perfecta, de Umberto Eco, se analizan distintos intentos históricos de crear una lengua que sea capaz de generar mecánicamente, a partir de la sintaxis, notaciones inequívocas no sólo para las palabras existentes sino también para las que puedan surgir en el futuro. En el fondo, lo que está detrás del fracaso de cada uno de estos intentos es, otra vez, la paradoja de Wittgenstein sobre reglas finitas; en este caso, la imposibilidad de que la sintaxis de una lengua proporcione por sí misma una interpretación inequívoca para sus símbolos y reglas, que permita nombrar a futuro. Un caso particularmente interesante que se menciona en el libro es el de los lenguajes espaciales, por ejemplo, el diseño de Lincos, una lengua elaborada por el matemático Hans A. Freudental “para poder interactuar con eventuales habitantes de otras galaxias”. La idea es lanzar al espacio señales con regularidad, ondas de distinta duración y longitud, de modo que “al intentar comprender la lógica que sigue la forma de la expresión que les es trasmitida, los alienígenas deberían ser capaces de extrapolar una forma del contenido”. En una primera fase deberían reconocer los números, y luego, con nuevas señales, las operaciones aritméticas y lógicas básicas. Pero como el propio Eco observa con agudeza, esto presupone que los habitantes del espacio deberían seguir algunos criterios lógicos y matemáticos similares a los nuestros, por ejemplo el principio de identidad, o “el hábito de considerar constante la regla que se ha inferido por inducción de una multiplicidad de casos”. Otra vez está aquí por detrás la paradoja de Wittgenstein: aún si recibimos la clase de respuestas esperadas, en el fondo no podremos estar seguros, por la mera lectura de las señales de respuesta, si las operaciones o los números que infieren los extraterrestres, coinciden realmente con nuestros conceptos. Sintaxis versus interpretación ¿Cuál es el leit motiv que recorre por detrás estos ejemplos, desde la imposibilidad de fijar una única continuación para una serie hasta la de transmitir un lenguaje, desde la paradoja de Wittgenstein hasta la tensión entre letra y espíritu en la aplicación de la ley? En el fondo, todos los casos que consideramos pueden verse como parte de una cuestión más general, que es la insuficiencia de la sintaxis respecto de la interpretación: ningún conjunto de operaciones sintácticas, de reglas escritas, puede dotarse a sí mismo de una interpretación única e inequívoca. El matemático esforzado propone sus series en un lenguaje lo más ceñido  y riguroso posible y el escritor optimista dispone las suyas (las narraciones son también series en busca de sentido) con metáforas lujosas, con gradaciones en la trama, con giros dramáticos, en un lenguaje que cree lo suficientemente expresivo. Pero ni uno ni el otro están a salvo de un Pierre Menard que al recorrer los símbolos decida interpretar lo mismo como absolutamente distinto. Reconocimientos Este artículo es, esencialmente, la transcripción abreviada de una charla que repetí con variaciones en ámbitos muy diversos. Algunas de las ideas están contenidas en Una lectura matemática del pensamiento postmoderno, un libro excelente de Vladimir Tasic, donde leí por primera vez sobre la paradoja de Wittgenstein. El ejemplo tan ingenioso de los círculos para la serie 2, 4, 8, 16, 31 lo tomé prestado para siempre de una reseña literaria de Marcus Du Sautoy.   Referencias Borges, Jorge Luis. “La muerte y la brújula” en Ficciones (1944), Obras completas, vol. 5, Sudamericana, 2011, pp. 123-138. du Sautoy, Marcus, Murder by numbers, The Guardian, 2005, http://www.guardian.co.uk/books/2005/feb/05/featuresreviews.guardianreview13 Eco, Umberto. La búsqueda de la lengua perfecta, Crítica, 1999, Capítulo 15, pp. 258-260. Tasic, Vladimir. Una lectura matemática del pensamiento postmoderno, Colihue, 2001, Capítulo 9, pp. 183-199. Wittgenstein, Ludwig. Investigaciones filosóficas, Crítica, 2004, pp. 199-213. Wittgenstein, Ludwig. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática, Alianza, 1978, Parte VI, pp. 255-297.

Viernes, 21 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

10. 61. (Febrero 2012) El I Ching y el hombre de los papeles

Sobre El I Ching y el hombre de los papeles Este cuento fue el primero que escribí después de varios años de pensar únicamente en novelas. Recuerdo que lo empecé en marzo de 2002, poco después de la muerte de mi padre, y que, con mi lentitud desesperante, no lo pude terminar sino casi un año después. Fue como el retorno a un lugar todavía familiar, pero donde no era demasiado bienvenido, y escribirlo, poner el punto final, tuvo para mí algo de reconquista. Aparece aquí por primera vez una idea sobre la que pensaría mucho en los años siguientes, tanto bajo la forma literaria (en mi novela La muerte lenta de Luciana B.) como en un ensayo matemático sobre el lanzamiento de monedas que todavía escribo, bajo el título provisorio Las formas del azar. Esa idea tiene que ver, justamente, con los patrones y figuras embrionarias del azar, sus recurrencias, y la tentación humana, inevitable, de darle sentido a las rachas, de la misma manera que se atribuyen figuras a las estrellas del cielo. Sobre el cuento en sí, me gusta la soledad encapsulada de los personajes, esa pareja a punto de separarse, inclinada sobre una cama de hospital. Me gusta la tristeza, como una nota baja de fondo, y la lucha íntima y desesperada de una mente racionalista, que no se resigna a ninguna clase de fe, frente a la más difícil de las pruebas. Me gusta la unión de lo milagroso con la indiferencia de las estadísticas. El cuento sucede en esas horas inciertas, el limbo intolerable entre la vida y la muerte que se abre cuando nos devuelven a un ser querido de la cripta del quirófano con la frase “ahora hay que esperar”.   EL I CHING Y EL HOMBRE DE LOS PAPELES El hombre despierta en un sobresalto, con la espalda entumecida. Se ha quedado dormido en la silla y tarda un instante en recordar dónde está, pero es la segunda noche, y también la sala con la hilera de camas y las cabecitas conectadas a las sondas empieza a resultarle familiar. Hay un olor pesado a desinfectante y agua de colonia, y desde lo alto llega el sigiloso zumbido de aletas del ventilador. Una de sus piernas está acalambrada y al refregarse los ojos siente en la palma el roce áspero de la barba crecida. Trata de recordar la pesadilla que lo sobresaltó pero el último vestigio no se deja alcanzar y piensa que quizá es mejor así. Se pone de pie y se inclina en la oscuridad sobre la primera de las camas. Nada ha cambiado. La sábana amortaja hasta el cuello el cuerpo breve y delgado, una mata de pelo rubio se pega a la cara transpirada y la cabeza se mantiene quieta, en el mismo ángulo algo forzado, como si estuviese tironeada cruelmente hacia arriba por la sonda que sale de la nariz. Alguien repuso durante la noche la botella de suero y también el pañuelo húmedo sobre la frente. Él, que había escuchado hasta dormirse el llanto desgarrante de la  nenita en la tercera de las camas y luego, entre sueños, el fuerte ronquido asmático, como un nadador a punto de ahogarse, del chico del pulmotor, se pregunta por las diferentes estrategias del cuerpo contra la muerte y si el sopor profundo de su hija, esa quietud impenetrable, será todavía una forma de resistencia ensimismada o el signo del abandono final. Escucha pasos por el corredor y mira la hora: su esposa viene a reemplazarlo. La puerta se abre y el abanico de luz le deja ver por un instante las otras camas. La tercera, la cama de la otra nenita, está ahora vacía. Piensa que es peligroso dormirse: hay durante la noche desapariciones silenciosas, sustituciones imprevisibles. Siente la mano de su mujer en el hombro y el roce rápido de sus labios en la mejilla. Se quedan de pie como dos extraños, inmóviles, mirando un espectáculo también inmóvil y extraño. --Nada, ¿no? -dice ella. Extiende el brazo y comprueba con la palma el pañuelo sobre la frente-. Hay que cambiarlo otra vez. Sale de la habitación y él escucha a través del corredor el ruido de la canilla que se abre en la cocinita donde dormitan las enfermeras. Cuando ella vuelve y toca  la frente él ve en sus ojos agrandados por el miedo lo que todavía ninguno de los dos ha dicho. --¿Cuándo va a pasar otra vez el doctor? --En dos horas. --¿Dijo algo más? Él niega con la cabeza. --Sólo que hay que esperar. --Algo salió mal, ¿no es cierto? Tendría que haber salido del quirófano en media hora. Es lo que nos habían dicho. Tal vez no era una apendicitis, tal vez hubo una complicación. --Yo le pregunté y me dijo que no, pero a la noche vino a verla con otro médico. Dijeron que había que esperar otras veinticuatro horas. --¿Vas a ir a dormir antes de dar tu clase? --Voy a tratar de acostarme un rato, sí. --¿Te vas a acordar de buscar el I Ching? La voz suena con un tono angustiado de imploración, y él ve en sus ojos la misma mirada desvalida, como el brazo en alto de un náufrago, de cuando habían perdido el primer hijo, como si todo se hundiera a su alrededor y ya no le importara lo que él pudiera pensar. Le dice que revisó una por una todas las cajas pero que volverá a buscarlo. --Y las monedas -dice ella-, no te olvides de las monedas. Tienen que tener una imagen masculina y una femenina. Yo usaba las inglesas de diez centavos, con el león y la reina. Deben estar en la alcancía roja, en la colección de ella. El hombre asiente y se inclina para besarla. Ella lo abraza imprevistamente y rompe a llorar, un llanto quebrado con espasmos y un quejido ronco y desesperado. Él siente que las lágrimas de ella le humedecen la cara y el cuello. Hace mucho tiempo que no se abrazan. Ella se separa, vuelve a mirarlo y le endereza con un gesto automático el cuello de la camisa. --¿Te vas a acordar? El hombre hace girar la llave y entra en la casa. Hay un olor levemente distinto, el olor de una casa abandonada. Escucha un rasqueteo de uñas contra la puerta del patio y ve asomar en el vidrio el hocico húmedo de su perro. Su mujer le ha dejado en la cocina unas tostadas y jugo de naranja. El hombre abre la puerta del patio y comparte con el perro una de las tostadas. Todavía no amaneció. Avanza a tientas en la penumbra de un pasillo, entra en el cuarto de su hija y enciende una de las lámparas. Su mujer, advierte, estuvo durante el día allí. Todo está ordenado, como si ella hubiera alzado y tocado cada juguete antes de devolverlos a los estantes, y la cama de donde arrancaron a su hija en la mitad de la noche está ahora otra vez tendida, con el cobertor  de Winnie The Pooh prolijamente estirado. Ve sobre la mesa de luz una foto de él y su mujer juntos, sonrientes, muy quemados por el sol,  tumbados en la arena, una foto que su hija sacó durante un verano en el mar, cuando sólo tenía cuatro o cinco años. Encuentra la alcancía dentro de un baúl de juguetes, un buzón rojo de lata que él le trajo de uno de sus viajes. La da vuelta sobre la cama y en el tesoro de monedas de todos los países separa los tres cuartos y los guarda en su bolsillo. Apaga la luz y sube las escaleras hacia su estudio. Sembradas en el piso, con las tapas levantadas, tal como las había dejado la noche anterior, están las decenas de cajas con libros de la mudanza que habían llegado por barco. Esta casa no tenía bibliotecas; había al principio siempre alguna otra cosa más urgente para resolver, y desde hacía un tiempo habían dejado de pensar en eso, como si los dos supieran que ya no importaba, porque de todos modos él se iba a ir. El hombre se pone en cuclillas, abre la primera caja y saca en altas pilas los libros hasta vaciarla. Trata de calcular mentalmente el espacio que ocuparán los libros en el cuarto. Está decidido a revisar todas las cajas otra vez. El libro que busca es negro, muy grueso, con el título escrito en caracteres chinos y el lomo descosido en uno de los extremos. Está seguro de que no pudo habérsele pasado por alto. Probablemente estuviera en una de las cajas que nunca habían llegado. La recuerda a ella sobre el libro, en los primeros años del matrimonio, cuando no podía dormirse por las noches. Recuerda sobre todo el ligero redoble de monedas, despertarse en la oscuridad con su costado de la cama frío, bajar la escalera guiado por ese ruido en rítmicas cascadas y encontrarla en salto de cama con el pelo suelto, el I Ching abierto en la mesa de la cocina y un papel doblado en dos al costado, con sucesiones interminables de rayitas que parecían un pedido repetido de auxilio en un extraño código Morse. La recuerda hablándole largamente, mientras él prepara un café, del  hombre del Samurai rojo, de los ejércitos en retirada, de la mujer virtuosa y la mujer anciana, del duque de Chou, del cuidado de la vaca, de la mordedura tajante y las lágrimas de sangre que se derraman. Recuerda las mil pequeñas burlas que él le hacía y la respuesta que ella le daba, con una sonrisa imperturbable, como una carta de triunfo permanente: el I Ching le había predicho que llegaría él a su vida, el hombre de los papeles. Así lo llamaba antes ella en los arrebatos de ternura: mi hombre de los papeles. El hombre abre la segunda caja y un borde de sol entra por la ventana, como una mano inesperadamente tibia sobre la cara. Un fuerte dolor le sube desde la cintura por la espalda. Se echa hacia atrás por un instante, hasta acostarse enteramente sobre el piso de parquet y mira con los ojos entornados el cono de polvo movedizo y brillante suspendido en la luz del sol. Se duerme profundamente, sin escuchar que su perro sube con sigilo la escalera, quebrando una regla, y se ovilla a su lado. Suena el teléfono en la planta baja. Una, dos veces. El hombre se despierta y logra llegar al pie de la escalera antes de que se accione el contestador automático. --Pensé que podías quedarte dormido –dice su mujer. La voz le llega con ruidos detrás, como si estuviera en un teléfono público-. ¿A qué hora tenías tu clase? El hombre mira su reloj. --Todavía tengo tiempo de ducharme. ¿Alguna novedad? --Acaban de llevarla a Rayos y el médico encargó otros análisis. Dijo que hay que esperar a que pase el día, pero no quiso decirme qué harían si no reacciona -su voz parece quebrarse y luego, como si se esforzara por recomponerse, le pregunta si irá al hospital directamente después de la clase. --Sí, claro que sí. --No te olvides entonces de llevar el I Ching con tus libros a la facultad. Ella siempre le recordaba las cosas que debía hacer. Él no creía tener la mala memoria que a ella le gustaba atribuirle, pero había sido al principio casi un juego entre los dos y sabía que ahora era quizá la única forma en que ella podía conectarse con él en las épocas más tormentosas. Su memoria tenía en todo caso un elemento errático, pero también algunos recuerdos duros e inamovibles. Podía recordar cada noche de la agonía de su hijo, podía recordarla a ella, todavía muy joven, murmurando para sí mientras arrojaba las monedas, atrapada en el tintineo hipnótico, tratando fanáticamente de arrancar al libro una respuesta distinta. Podía recordar el día, después del entierro, en que desapareció el I Ching de la repisa del comedor, sin que él se atreviera a preguntarle nada, y también el día en que ella empezó a tomar las pastillas con las que ahora dormía toda la noche. El hombre abre la canilla de la ducha y se desviste rápidamente. Tiene un cuerpo largo y musculoso, que conserva intacto desde la época en que integraba el equipo universitario de natación. Todavía ahora puede nadar, sin sentir el esfuerzo, los cien largos de espalda que eran su rutina diaria. En ese pacto secreto con su cuerpo la parte que presiente que él cumplió es no haberle prestado nunca mucha atención. Sale del baño y se echa encima una camisa de manga corta, vuelve a mirar su reloj y decide que no tiene tiempo para afeitarse. Sube una vez más a su estudio, recoge un libro de Estadística y unas hojas de apuntes y arrastra del cuello a su perro escaleras abajo para sacarlo otra vez al patio. Se asegura de que tiene todavía en el bolsillo las tres monedas y busca sobre la mesa de la entrada las llaves del auto. Arranca en dirección a la Universidad, pero se desvía en una de las avenidas y estaciona frente a una librería. El empleado que lo atiende lo escucha hasta el final y mueve en una lenta negación la cabeza. Solamente tienen una edición resumida del I Ching. El libro grueso de tapas negras con prólogo de Jung que él menciona está agotado desde hace mucho tiempo, no cree que pueda conseguirlo en ninguna librería de la ciudad. El hombre camina de regreso al auto. Mira su reloj y acelera en la avenida un poco más allá del límite de velocidad. Cuando entra en el aula sus alumnos ya están sentados y escucha un pequeño murmullo de resignación. Nunca antes había llegado tarde, y posiblemente, piensa, todos creían que ya no iría. El hombre cruza el aula con sus pasos largos, se sube a la tarima y empieza a hablar de patologías médicas, de enfermedades extrañas, de monstruosidades. ¿Nunca les llamó la atención, pregunta, que los primeros ejemplos siempre se hayan descripto en China? ¿Serán acaso los chinos más proclives a las aberraciones, a lo monstruoso? ¿O será simplemente que son muchos? ¿Qué es finalmente una enfermedad rara? Una enfermedad de la que se manifiesta un caso entre diez millones, digamos. Pero los chinos son más de mil millones; una enfermedad rara en un país cualquiera ya no es tan rara en China. Pensemos ahora, dice el hombre, en los sueños premonitorios. Todos hemos soñado alguna noche que un familiar cercano muere, podemos suponer que cada persona tiene al menos una vez en su vida un sueño así. Se detiene, como si hubiera perdido el hilo; acaba de recordar, en su claridad devastadora, la pesadilla que tuvo en el hospital a la madrugada. Se da vuelta contra el pizarrón por un instante, finge que busca una tiza y vuelve a girar para enfrentar la clase. Lo que no es tan frecuente, dice, es que al día siguiente el familiar, efectivamente, muera. Pero de nuevo, ¿qué significa “no tan frecuente”? Nuestro familiar cercano, como todo ser humano, debe morir algún día. El hombre escribe en el pizarrón un número de cinco cifras. Éste es el número en días de la vida máxima de una persona. Nuestro familiar puede morir en uno cualquiera de estos días. El sueño premonitorio ocurre también una noche cualquiera, en otro cualquiera de estos días. Pero entonces, la probabilidad de que el sueño premonitorio se concrete es la probabilidad de que coincidan estos dos sucesos independientes: la noche del sueño con el día de la muerte. Y este número sabemos calcularlo. El hombre escribe una ecuación, se detiene un instante en el signo de igualdad, como si estuviera haciendo una larga cuenta mentalmente, y anota un segundo número de casi el doble de longitud. Es un número grande, pero no tan grande, dice. En Tokio, en Buenos Aires, en Nueva York, rutinariamente, cada noche alguien mata a un ser querido en sus sueños. Por supuesto esa persona quedará absolutamente impresionada y no la convenceremos con esta cuenta, no la convenceremos con ningún razonamiento, de que no hubo nada misterioso, ninguna premonición, sino apenas la verificación trivial de una estadística, casi tan fatal como que haya un ganador en cada jugada de la lotería. Borra el  pizarrón con un modo enérgico y de a poco, con el mismo tono algo indiferente e irónico, demuele en su lección de estadística las martingalas, la astrología, el tarot. Sus alumnos apenas hubieran podido notar la diferencia con otro día cualquiera de clases. Está sólo un poco más abstraído que de costumbre y no ha intentado todavía ninguno de sus chistes suaves, casi secretos. Hace el primer intervalo pero no se aparta del escritorio mientras el aula se vacía lentamente. Una de sus alumnas de las primeras filas se acerca con una sonrisa dubitativa. --Pero todo lo que usted dijo y la ley de los grandes números no se aplica al I Ching ¿no es cierto? El I Ching predice acontecimientos del futuro... es otro plano, no puede reducirse a una tirada de dados. Cada cuatrimestre, cuando llega a esta clase sobre el azar, hay alguien que se le acerca con este mismo aire alarmado, como si él hubiera desafiado una fe íntima, mucho más protegida que cualquier religión. Casi siempre es la astrología y tiene que escuchar defensas candorosas y encendidas y largas explicaciones sobre coordenadas astronómicas y casas astrales. Otras veces es el tarot. En general no puede hacer nada para que entiendan que sí, lo lamento mucho, es todo lo mismo, la ciega indeterminación de las cosas. Pero nadie hasta ahora había mencionado el I Ching. --¿Tu libro nunca falla? –pregunta el hombre y su alumna no parece advertir el rastro de ironía. --Nunca –dice con seriedad-. Todo lo que me predijo siempre se cumplió. Pero sólo hay que consultarlo para las cosas verdaderamente importantes. --Tal vez tengas un ejemplar milagroso. --No me cree, ¿no es cierto? –dice la chica, dolida. El hombre la mira. La chica tiene una mirada clara, despejada, y hay en su cara algo radiante y terriblemente joven, como si no hubiera sido todavía expuesta a la vida. Se da cuenta de que sí, de que esta única vez, quisiera creer. --El ejemplar milagroso –se escucha decir- es como la moneda milagrosa, un caso bien estudiado en la estadística. Imaginá por un momento que todos los habitantes de esta ciudad arrojen al aire una moneda veinte veces seguidas. Es perfectamente posible que la moneda de uno, de uno entre todos, caiga del mismo lado las veinte veces. Veinte caras seguidas. Ese hombre creerá que su moneda es milagrosa, pero por supuesto, no es nada intrínseco de la moneda, no es  más que una de las configuraciones posibles del azar. Imaginate del mismo modo ahora a todas las personas que tienen un ejemplar del I Ching. Imaginá que después de cada consulta los que fueron defraudados por el oráculo abandonen el libro y sólo sigan consultando aquellos a los que el oráculo acertó en la predicción. Digamos, una mitad. Y luego de la segunda consulta, la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Aún si el I Ching es tan ciego como una moneda, en una ciudad grande es perfectamente posible que exista un ejemplar que nunca se equivoque. Quizá ése sea el ejemplar tuyo. ¿Cómo es la edición? –pregunta el hombre de pronto. --¿La edición? Pero eso no tiene nada que ver, ¿no es cierto? Es una edición común, de tapas negras. --¿Con unas letras chinas doradas? --Sí, es ésa. --¿Podría pedírtelo prestado? Sólo por hoy. --¿Hoy? Pero el libro está en mi casa. --Lo preciso hoy, sí; podría acercarte después de la clase. Por la cara de la chica cruza una expresión de desconcierto y algo de alarma,  como si tuviera que reacomodarse a otra conversación o empezara a preguntarse si debe entender algo más detrás de sus palabras. Pero vacila todavía, seguramente porque no ve en la expresión de él los otros indicios, una media sonrisa, un cambio en el tono, una segunda intención en la mirada, que le permita estar segura de cuál es el verdadero ofrecimiento. Se pasa una mano nerviosa por el pelo, y sonríe débilmente. --Pero usted no cree en el I Ching, ¿no es cierto? –La sonrisa se acentúa con un destello de frivolidad. O quizá fuera la manera de animarlo a cruzar ese límite invisible, para estar segura de qué era exactamente lo que estaba por aceptar o rechazar. El hombre hace un gesto cansado. --No, en general no; pero no es para mí. Es... –Se detiene, como si hubiera elegido un camino equivocado-. Es largo de explicar –dice-. Pero es una consulta importante, como dijiste antes. Me gustaría que fuera con tu ejemplar. ¿Puedo pedirte ese pequeño favor? Te lo devolvería mañana mismo. --Claro, claro que sí –dice la chica y retrocede confundida a su banco. --Gracias –dice el hombre-; nos encontramos entonces después de la clase. La casa de su alumna está en el nuevo barrio estudiantil, detrás del parque. Durante el breve trayecto apenas conversan. Él se entera del nombre de la chica. La chica se entera de que tiene una hija por los juguetes en el asiento de atrás. Cuando estaciona frente a uno de los monoblocks ella le ofrece  tímidamente que baje, y ahora él, desde la puerta, mientras ella se disculpa por el desorden y busca el libro en una biblioteca de caña, siente que vuelve por un instante a su pasado estudiantil, a su propio cuarto caótico, y que podría saberlo todo sobre ella si sólo dejara fijar la mirada en cada detalle. La chica regresa con el libro y se lo extiende. Él pasa un dedo por los caracteres dorados de la tapa y siente el peso al girarlo para mirar el lomo. Se da cuenta de que es la primera vez que tiene el libro en sus manos. --Es la edición común –dice ella, como si fuera algo de lo que ya le había advertido antes, pero aún así temiera que el libro lo decepcionara. --Es absolutamente perfecto –dice el hombre- : el ejemplar milagroso es un ejemplar común de la edición común. El hombre sube las escalinatas del hospital; en cada peldaño impar las monedas suenan en su bolsillo. Cruza un patio y busca en el laberinto de pabellones la sala de su hija. Una enfermera que conoce lo intercepta en el pasillo antes de que abra la puerta y le pone una mano sobre el brazo. Su hija, le dice, fue llevada al quirófano: van a operarla por segunda vez, su esposa lo está esperando allí. El hombre camina hasta el final de una galería y sube otro tramo de escalones, unos escalones desgastados de mármol, con los bordes dentados, que desembocan en la salita de espera. Su esposa se levanta de su silla y lo abraza. Al separarse él ve en su cara las huellas de las lágrimas. --Acaba de entrar –le dice-. Está detrás de esa puerta. No saben qué tiene. La van a operar otra vez pero no pudieron decirme qué tiene –Fija la mirada extraviada en el libro que el hombre aún tiene en su mano y cuando él se lo extiende lo lleva por un momento contra el pecho-. Lo encontraste, entonces. --No es el tuyo –dice el hombre-. Volví a buscarlo y no estaba. Es uno que me prestaron. --¿Y las monedas? ¿Te acordaste de las monedas? Están solos en la sala de espera. El hombre saca del bolsillo las tres monedas y se las alcanza. La mujer se refugia con el libro en el primero de los escalones. Él se da vuelta hacia la hilera de sillas vacías: no quiere verla así, inclinada otra vez sobre el libro como si fuera un dios oscuro y terrible, como si el pasado, intacto, retornara. Pero su hijo y su hija, piensa, son sucesos independientes. Escucha el repiqueteo de las monedas arrojadas sobre el mármol. Una, dos, tres veces. Cuatro. Cinco. Seis. Las seis tiradas que determinan el número del hexagrama. Alza la cabeza sin poder evitarlo y mira, aterrado, la mano que abre el libro infalible en una de las páginas. Marzo 2002 – Febrero 2003

Miércoles, 01 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico