21. 4. (Marzo 2005) Borges y tres paradojas matemáticas

(Extracto de una conferencia dictada en la Universidad de Boston y en la Universidad Armstrong Atlantic, en Savannah, octubre y noviembre de 2001) Hay un fenómeno de apropiación del nombre de Borges, que a esta altura hace sonreír, y que permite la multiplicación de toda clase de libros cuyos títulos son Borges y... casi cualquier cosa que se quiera escribir al lado.Es verdad que Borges escribió sobre unacantidad imponente de temas: estos autores hacen un salto al infinito y se proponen demostrarnos que no dejó nada de lado. Tanto mejor cuanto más lejana y débil es la conexión, porque entonces pueden intentar libros más “sorprendentes” y “sagaces”.Hay una excepción interesante a esta maquinaria, en una colecciónde ensayos que se llama Borges y la ciencia. Es un libro hecho por científicos argentinos: incluye un ensayo sobre Borges y la física, dos o tres irreprochables sobre Borges y la matemática... pero mi favorito fue uno que se llama “Borges y la biología”. Luego de algunos rodeos, y algo desolado, casi como disculpándose, el autor se decide a escribir que después de haber leído la obra completa de Borges tiene que decir que no hay ninguna vinculación entre Borges y la biología. ¡Ninguna! El hombre había descubierto con terror algo en este mundo –la biología- que Borges no había tocado... Pero afortunadamente, para la buena definición de esta charla, como dirían los matemáticos, sí podemos decir que existe una conexión sólida, indudable, entre Borges y la matemática. Borges estudió matemática durante varios años, principalmente a través de la visión logicista de Bertrand Russell, quien trataba de reducir la matemática asus métodos de demostración, a una “vasta tautología”, un propósito, como se comprobaría luego, condenado al fracaso. Fue seguramente también a través de Russell que conoció las arenas movedizas de las paradojas lógicas, los infinitos matemáticos y las discusiones sobre los lenguajes formales que transformaría con el tiempo en piezas literarias. Hay una cantidad realmente asombrosa de rastros matemáticos, e incluso pequeñas lecciones de lógica y matemática a través de su obra, desde “El idioma analítico de John Wilkins” al “Examen de la obra de Herbert Quain”, desde “La biblioteca de Babel” y “La lotería de Babilonia”, hasta “La esfera de Pascal” y “Avatares de la tortuga”, desde “La doctrina de los ciclos” y “Argumentum Ornithologicum”, hasta “El disco” o “La muerte y la brújula”, con múltiples ecos que llegan también a su obra poética. Pero a poco que uno relee estos textos, se advierte que hay un ejercicio de repeticiónyvariaciones sobre lo que son en el fondo tres ideas principales. Estas tres ideas aparecen reunidas en el cuento “El Aleph” y podemos examinarlas desde allí. La primera está vinculada a la elección del nombre del Aleph. “Para la Mengenlehre”, dice Borges, “es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”. La Mengenlehre es el nombre alemán de la teoría matemática de las cantidades;Borges encontraba particularmente curioso y perturbador este quiebre del antiguo postulado aristotélico según el cual el todo debe ser mayor que cualquiera de las partes. “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros”, dice en “Avatares de la tortuga”: “No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito”. En el infinito matemático, en efecto, el todo no es necesariamentemayor que cualquiera de las partes. Para entender esto, pensemos primero en un niño que tiene un mazo de cartas pero sólo sabe contar hasta diez. El niño reparte las cartas con su padre, le da la primera, se queda con la segunda, le da la tercera, se queda con la cuarta, etc. Cuando termina de repartir el mazo, no podría decir cuántas cartas tiene en la mano, porque sólo sabe contar hasta diez, pero sí puede decir algo de lo que todavía estáseguro, y es que él y su padre tienen la misma cantidad de cartas. De una manera parecida, en un desfile militar difícilmente podamos contar a golpe de vista la cantidad de jinetes, pero sí podemos decir algo, quizá no muy brillante, pero cierto, y es que hay la misma cantidad de jinetes que de caballos. Y bien, esta es la idea que encontraron los matemáticos para “contar” conjuntos infinitos. Dicen que un conjunto tiene “tantos elementos” como los números naturales si se puede asignar un número distinto a cada elemento, usando en esta asignación todos los números que empleamos para contar. Pero, y aquí viene el quiebre queintriga tanto a Borges, el conjunto de los números pares tiene de este modo “tantos elementos” comolos números naturales, ya que se puede asignar el 1 al primer número par 2, el 2 al 4, el 3 el 6, etc.Tenemos así una parte propia de los números naturales, digamos, una “mitad”, los pares, que es “tan grande” como el todo. La segunda idea es más bien geométrica y la encontramos un poco antes, cuando Borges intenta, con distintas analogías, describir el Aleph, el punto que concentra y guarda todas las imágenes. “Los místicos, en análogo trance”, escribe, “prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna.” Esta imagen puede parecer oscura, o un juego de palabras, pero es una metáfora magnífica, singularmente precisa, una vez que se conoce la explicación matemática: pensemos primeramente en el plano, por ejemplo, la superficie de este pizarrón. Yo pedí especialmente un pizarrón, ¡ahora tengo que usarlo!Dibujemos, a partir de un punto cualquiera, círculos con radio cada vez más grande. Estos círculos cubren más y más puntos del pizarrón, y por lejano que se encuentre un punto, es evidente que, eligiendo un radio suficientemente grande, puedo “enlazarlo” dentro de uno de miscírculos. Más aún, no importa dónde haya fijado en principio el centro de estos círculos, con radios suficientemente grandes llego desde cualquier centro tan lejos como quiera. Pero entonces, dando un pequeño salto con la imaginación, podemos reemplazar la idea de plano por la de un círculo cuyo centro está en todas partes y cuya circunferencia...¿dónde dibujar la línea de la circunferencia? No llegamos a dibujarla porque el radio es infinito, la circunferencia está siempre más allá, como el horizonte, “en ninguna parte”. Exactamente lo mismo podemos hacer en el espacio tridimensional, reemplazando los círculos por esferas.Así, la totalidad del espacio, o el universo visible que muestra el Aleph, puede considerarse una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna. Pero entonces -y aquí la analogía muestra su eficacia- uno puede imaginar una contracción de esta esfera gigantesca original, de modo que todas las imágenes aparezcan concentradas en la esferita minúscula que ve Borges al pie de la escalera: el Aleph como el universo en su inicio, antes del bigbang, una pequeña esfera que aprisiona en un solo punto todas las imágenes. La tercera idea es lo que yo llamaría la paradoja de autoreferencia, y aparece cada vez que Borges construye o alude a un mundo ficcional muy vasto y abarcatorio, que acaba por incluir a ese mismo mundo como un elemento,y a veces al narrador, o al lector, en sus reglas de juego. En “El Aleph” esto ocurre durante la célebre enumeración de imágenes: “...vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez otra vez el Aleph..., vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara...”. Esta clase de paradojas, que provienen de postular objetos o mundos demasiado vastos, fueron letales en la fundamentación de la matemática y no hay duda de que Borges debía conocer la más famosa, debida a Russell, que muestra que no puede postularse la existencia de un conjunto universal, digamos, un aleph de conjuntos, que contenga en sí, como elementos, a todos los conjuntos imaginables. El mismo Bertrand Russell dio esta popularización de la paradoja: supongamos que exista un barbero que afeite únicamente a los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos. Esto no parece en principio tan raro, se supone que esto es lo que hacen en general los barberos. Ahora bien, ¿debe este barbero afeitarse a sí mismo? Si se afeitara a sí mismo, estaría excluido de la clase de hombres a los que puede afeitar, por lo tanto no puede afeitarse a sí mismo. Pero si no se afeita a sí mismo, pasa a integrar la clase de hombres a los que sí debe afeitar, por lo tanto, debe afeitarse a sí mismo. En definitiva, el barbero está condenado a un limbo lógico, ¡en el que no puede afeitarse ni no afeitarse a sí mismo! Dije antes que hay una multitud de rastros matemáticos en la obra de Borges. Esto es cierto, pero aún si no hubiera ninguno, aún en los textos que nada tienen que ver con la matemática, hay algo, un elemento de estilo en la escritura, que es particularmente grato a la estética matemática. Creo que la clave de ese elemento está expresada, inadvertidamente,en este pasaje extraordinario de “Historia de la Eternidad”: “No quiero despedirme del platonismo (que parece glacial) sin comunicar esta observación, con esperanza de que la prosigan y justifiquen: lo genérico puede ser más intenso que lo concreto. Casos ilustrativos no faltan. De chico, veraneando en el norte de la provincia, la llanura redonda y los hombres que mateaban en la cocina me interesaron, pero mi felicidad fue terrible cuando supe que ese redondel era “pampa” y esos varones “gauchos”. Lo genérico... prima sobre los rasgos individuales.” Cuando Borges escribe, típicamente acumula ejemplos, analogías, historias afines, variaciones de lo que se propone contar. De esta manera la ficción principal que desarrolla es a la vez particular y genérica, y sus textos resuenan como si el ejemplo particular llevara en sí y aludiera permanentemente a una forma universal. Del mismo modo proceden los matemáticos. Cuando estudian un ejemplo, un caso particular, lo examinan con la esperanza de descubrir en él un rasgo más intenso, y general, que puedan abstraer en un teorema. Borges, les gusta creer a los matemáticos, escribe exactamente como lo harían ellos si los pusieran a la prueba: con un orgulloso platonismo, como si existiera un cielo de ficciones perfectas y una noción de verdad para la literatura.

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22. 3. (Febrero 2005) El cuento como sistema lógico

Hay elementos en la estructura del cuento -posiblemente la brevedad, la rigurosidad- que llevan fácilmente a la tentación de enunciar reglas para el género y a imaginar posibles clasificaciones y decálogos. La suerte común que corren estos intentos es que o bien son demasiado vagos y generales como para tener algún interés o bien dejan escapar, cualquiera sea la cantidad de axiomas considerados y de precauciones tomadas, un exponente de cuento perfectamente legítimo y admirable que se burla de la ley. Y de la misma manera que en el libro "Las cien formas de decir NO a la prueba de amor", la respuesta número cien es SI, en todo decálogo del cuento la máxima número diez parece condenada a ser, como sugirió Abelardo Castillo: no tomen las nueve anteriores demasiado en serio. Esta insuficiencia de todos los intentos de formalización puede conducir a la opinión teórica rápida y aliviada de que no hay en realidad preceptos a tener en cuenta a la hora de acometer un cuento. Y sin embargo, y esto lo sabe cualquiera que se haya puesto seriamente a la prueba, a poco de empezar se descubre que las leyes que uno creyó haber echado por la puerta volvieron por la ventana. Son leyes escurridizas, intangibles, que se reconocen en ejemplos particulares pero no se dejan abstraer con mucha generalidad ni enunciar fácilmente. Menciono dos que me parecen particularmente profundas. La primera la sugiere Borges por oposición en un párrafo en el que trata de establecer la distinción entre cuento y novela. Borges pasa por alto la diferencia más inmediata y superficial de la extensión y observa que lo que caracteriza a la novela es que la atención está centrada en los personajes, que lo que importa en una novela, por sobre todo, es la evolución de los personajes. En los cuentos lo primordial es la trama, los personajes sólo tienen importancia como nodos de esa trama y pierden, por lo tanto, grados de libertad. La segunda la enuncia Ricardo Piglia en sus "Tesis sobre el cuento", en un artículo aparecido en "Clarín" hace algunos años. Dice allí que todo cuento es la articulación de dos historias, una que se cuenta sobre la superficie y otra subterránea, secreta, que el escritor hace emerger de a poco durante el transcurso del cuento y sólo termina de revelar por completo en el final. Esta idea coincide con la imagen más frecuente que tengo yo del cuentista: un ilusionista que desvía la atención del público con una de sus manos mientras realiza su acto de magia con la otra. Un mérito adicional de esta aproximación es que permite mirar al cuento no como un objeto terminado, listo para los desarmaderos de los críticos, sino como un proceso vivo, desde su formación. Una ligera variación sobre esta idea permite pensar al cuento como un sistema lógico. La palabra "lógica", deslizada en un contexto artístico, no debería provocar necesariamente sobresaltos: la lógica -que no debe confundirse con los rígidos silogismos del secundario ni con el fragmento binario que usa la matema'tica- ha probado ser una materia muy maleable. Desde el momento histórico en que el joven estudiante Lobachevsky, a principios de 1800, niega el quinto postulado de la geometría euclidiana creyendo que llegará a un absurdo y se asoma en cambio a un nuevo mundo geométrico, perfectamente extraño, pero perfectamente consistente, una revolución silenciosa estalla en el pensamiento humano. Desde entonces diferentes disciplinas y ramas del pensamiento se han dado su propia lógica. Así, el Derecho formaliza y trata de automatizar sus criterios de evidencia y validez, la matemática empieza a razonar con lógicas polivalentes, la psiquiatría hace ensayos para modelar la lógica de la esquizofrenia y los lavarropas incorporan la lógica difusa. Qué es en definitiva un sistema lógico? Es un conjunto de presupuestos iniciales y una serie de reglas de deducción -pueden pensarse como reglas de juego- que permiten pasar con "legitimidad" de los presupuestos iniciales a enunciados nuevos. La variedad y diversidad de las lógicas depende fundamentalmente de las reglas de deducción elegida. En la lógica intuicionista, por ejemplo, no se admiten las demostraciones por reducción al absurdo y en la lógica trivalente se puede afirmar y negar a la vez sin escándalo una misma proposición. Mirados de cerca, también los cuentos operan y proceden dentro de este esquema. En efecto, todo cuento empieza, igual que las películas de terror, creando una ilusión de cierta normalidad, en el estado -digamos- del sentido común. Pero desde el principio, por definición, este estado está amenazado veladamente, dentro del pacto tácito entre el autor y el lector de que "algo va a pasar". Las primeras informaciones, que pueden parecer casuales, son aceptadas dentro de ese contexto de normalidad. Es decir, al principio del cuento la lógica de la ficción coincide -o quizá deba decir se disimula- bajo la lógica usual del sentido común. En nuestro esquema los presupuestos iniciales son estas primeras informaciones que se disponen como las piezas de ajedrez sobre un tablero al principio de la partida. Pero por supuesto estos datos iniciales, que para el lector pueden aparecer más o menos intercambiables o aleatorios, no son cualesquiera para el escritor: lo que es contingente en la lógica inicial es necesario en la lógica de la ficción; le hacen falta al escritor en uno u otro sentido para un segundo orden que por el momento sólo él conoce. Este segundo orden está regido por otra lógica y todo el acto de prestidigitación, el juego de manos del cuentista, consiste en la transmutación y en la sustitución de la lógica inicial de la normalidad por esta segunda lógica ficcional que se va adueñando poco a poco de la escena y a partir de la cual debe deducirse el final -si las cosas han salido bien- como una fatalidad y no como una sorpresa. De este modo la idea de Piglia de las dos historias puede sustituirse por la idea -menos exigente y por eso, más general- de dos órdenes lógicos posibles, o más precisamente, de una lógica única que se desdobla en dos en el transcurso del cuento*. Hablé hasta aquí del escritor como un manipulador de lógicas más o menos astuto; pero también -a veces- el escritor es un artista. No hace mucho -y para volver a la imagen del ilusionista- vi en un programa de televisión a un viejo mago argentino al que le falta una mano, haciendo un show con cartas en Las Vegas. Estaba sentado en una mesa, con su única mano desnuda extendida sobre el tapete verde y rodeado completamente de personas que vigilaban desde todos los ángulos su rutina. La prueba era simple. Arrojaba de a una, boca arriba, seis cartas sobre la mesa, con los colores intercalados: rojo negro, rojo negro, rojo negro. Las recogía tal como habían quedado y cuando volvía a arrojarlas los colores se habían juntado: rojo rojo rojo, negro negro negro. No puede hacerse más lento, decía entonces. O quizá sí... quizá pueda hacerse más lento. Arrojaba entonces otra vez las cartas, más despaciosamente: rojo, negro, rojo, negro, rojo, negro. Las recogía, y los colores habían vuelto a juntarse: rojo rojo rojo, negro negro negro. Y entonces se sonreía para sí y repetía otra vez esa frase: No puede hacerse más lento... o quizá sí, quizá pueda hacerse más lento. Este sería entre los escritores el artista: un ilusionista con una sola mano que siempre puede decir, bajo todos los ojos: o quizá sí, quizá pueda hacerse más lento. Guillermo Martínez Publicado en V de Vian (No 32) Febrero de 1998. * (Footnote) Pensar al cuento de este modo, como un sistema lógico, permite también imaginar unaexplicación para la insuficiencia crónica de todas las reglas propuestas para el género. Es sabido que a los sistemas lógicos con un mínimo de complejidad les alcanza el teorema de incompletitud de Gödel. Este teorema, cuyo enunciado es matemático, pero cuyas consecuencias son filosóficas, dice justamente que los ejemplos generados a a partir de un conjunto finito de reglas -por más larga que sea la lista propuesta- no alcanzarán a agotar nunca el universo total de casos posibles. Esto muestra que pueden convivir perfectamente la idea de que los cuentos están regidos por leyes con la idea de que es inútil intentar enunciar estas leyes de una manera general y definitiva.

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23. 2. (Enero 2005) Original libro sobre geometría clásica: Estética de la razón matemática

LEYENDO A EUCLIDES de Beppo Levi (Libros del zorzal, 2000) 223 páginas A fines de los años 30, perseguido por Mussolini, llegó a la Universidad del Litoral un hombre diminuto, de aspecto frágil y frente ancha. Era Beppo Levi, uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. Se lo había contratado como investigador en uno de los primeros institutos especializados que tuvo el país, pero por una de las clásicas paradojas argentinas, pronto sobrevino una intervención arrasadora y Levi acabó dando clases rutinarias para alumnos de primer año. Fue también en Rosario donde se publicó por primera vez Leyendo a Euclides. Casi 50 años después, un grupo de discípulos reedita esta incursión casi detectivesca en el pensamiento socrático. Para entender la importancia de este libro suyo hay que tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son aún en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática, sino que cristalizaron también una estética casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta hoy: la estética del balance delicado entre simplicidad y alcance, entre un mínimo de presupuestos y un máximo de consecuencias derivables. En efecto, la atracción y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo y que Kant creyó la única posible: la que se corresponde con la forma en que vemos al mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios. La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, cuyo subtítulo es "Demostrada según el orden geométrico", y también en la búsqueda de Descartes de una verdad a partir de la cual construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto. De los cinco axiomas éste era, aun para Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. En 1826, un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió que era posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas, pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría era tan legítima y sólida como la euclideana, en tanto que si llevaba a alguna contradicción lógica, la "culpa" de esta contradicción no podría atribuirse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica. Gauss, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones, observó que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco del todo euclideana, de Helmholtz. El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática. Algunas paradojas lógicas señaladas por Rusell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. Hilbert sostenía que debía dotarse a la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los postulados de Euclides, de modo que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero pudiera corroborarse y reobtenerse a partir de estos axiomas en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la de demostrable. Pero ya en la vida real estamos acostumbrados a que estas dos nociones no siempre son equivalentes. Basta pensar en cualquier crimen con dos sospechosos. Cualquiera de los dos involucrados sabe la verdad sobre su culpabilidad o inocencia. Pero la Justicia debe reunir evidencias para decidir sobre esta cuestión y demasiadas veces los indicios no son suficientes para alcanzar la verdad. En 1930 Kurt Gödel mostró -en lo que fue un golpe de efecto inesperado- que lo mismo ocurre en la matemática. Su célebre teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aun en el fragmento elemental de la aritmética -los números naturales, con la suma y la multiplicación- es imposible dar una cantidad finita de postulados que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. La aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático. El teorema de Gödel, convertido demasiado ligeramente en fetiche de la postmodernidad, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos y, en general, sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática, dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos que la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia humana es irremplazable: no puede modelarse una computadora que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano insustituible es la facultad de interpretar y asignar sentido. A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance tan asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética y otros fragmentos de la matemática no pueden axiomatizarse sin perder en el camino parte de su alcance. En una investigación anterior, el matemático francés Henri Poicaré había vuelto sobre los axiomas de Euclides para evidenciar los presupuestos ocultos detrás de los cinco axiomas: por ejemplo, la admisión tácita de que las figuras son indeformables por rotaciones y traslaciones. En un mundo de fluidos no tendría sentido la geometría euclideana. Este modo de atender a lo no dicho, y poner en evidencia lo que cada época convierte en verdad inconsciente, anticipaba en la matemática lo que fueron luego las técnicas arqueológicas de Foucault en las ciencias sociales. Leyendo a Euclides se inscribe más bien en esta segunda línea, y puede considerarse una revisión bajo la lupa poderosa de los siglos para entender el corpus de conocimientos y el modo de razonar geométrico de la época de Euclides. En el prólogo, Levi dice que su esfuerzo al escribir este libro estaría completamente perdido sin no pudiera cautivar la atención de lectores no matemáticos. Estos lectores tendrán hoy la oportunidad única de reaprender la geometría de la mano de un matemático verdaderamente célebre (hay un teorema ya clásico del análisis que lleva su nombre). ¿Qué hay -podría preguntarse uno al terminar- detrás de esta estética que atravesó los siglos, de este afán de apresar con unas pocas propiedades, todas las consecuencias de un sistema? Los axiomas, quizá, expresan la finitud humana. Desde siempre el hombre se ha debatido con su finitud y en la matemática logró a veces con astucia derrotarla: nadie puede contar todos los números, pero sabemos escribir cualquiera de ellos y podemos hacerlo con sólo diez símbolos. Nadie puede escribir los infinitos teoremas de la geometría, pero Euclides enseñó que con suficiente paciencia podríamos derivar cada uno a partir de sólo cinco axiomas. Otras veces, sin embargo, ninguna astucia es suficiente. El ser humano es una criatura limitada, pero echa a andar hijos cuyos pasos no puede seguir, dioses que lo suceden eternamente y objetos cuya complejidad se le escapa. (Publicado en Clarín) TEXTO ORIGINAL A fines de los años 30, perseguido por Mussolini, llegó a la Universidad del Litoral un hombre diminuto, de aspecto frágil y frente ancha. Era Beppo Levi, uno de los matemáticos más importantes de este siglo. Se lo había contratado como investigador en uno de los primeros institutos especializados que tuvo el país pero por una de las clásicas paradojas argentinas, pronto sobrevino una intervención arrasadora, y Levi acabó dando clases rutinarias de análisis para los alumnos de primer año. Fue también en Rosario donde se publicó por primera vez Leyendo a Euclides. Casi cincuenta años después, un grupo de discípulos acaba de reeditar esta incursión casi detectivesca en el pensamiento socrático. Para entender la importancia de este libro se debe tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son todavía en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática sino que cristalizaron también una estética profunda y casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta la época contemporánea. Esa estética es la del balance delicado entre simplicidad y alcance, entre la mínima cantidad de presupuestos y la máxima cantidad de consecuencias derivables. En efecto, la atracción y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones muy elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones entre sí, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo atrás y que Kant creyó la única posible: la geometría que se corresponde con la forma en que vemos el mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios. La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, que lleva como subtítulo "Demostrada según el orden geométrico" y también en la búsqueda de Descartes de una verdad "a salvo de toda duda razonable" que pudiera servir como primer principio y punto de apoyo para construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto. De los cinco axiomas este último era, incluso para el propio Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. Finalmente un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió en 1826 que era enteramente posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría, por extraña que pudiera parecer a la intuición, era tan legítima y sólida como la euclideana, en el sentido de que si llevaba a alguna contradicción lógica, la "culpa" de esta contradicción no podría atribuírse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica. Gauss, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones, fue uno de los primeros en observar que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron luego los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco enteramente euclideana, debidos a Helmholtz. El programa de Hilbert y la incompletitud El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática. Algunas paradojas lógicas señaladas por Russell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir por primera vez el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios y métodos de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. La idea detrás del programa de Hilbert era que debía dotarse a toda la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los cinco postulados de Euclides, de manera que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero -utilizando cualquier método- pudiera corrobarse y reobtenerse a partir de estos axiomas por medio de un procedimiento puramente mecánico, en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la noción de demostrable. Pero ya en la vida real estamos acostumbrados a que estas dos nociones no son necesariamente equivalentes. Basta pensar en cualquier crimen con dos únicos sospechosos. Cualquiera de los dos involucrados sabe la verdad sobre su culpabilidad o inocencia: yo fui o yo no fui. Sin embargo la justicia debe reunir por otros caminos evidencias -huellas, colillas, verificación de horarios- para decidir sobre esta cuestión y demasiadas veces los indicios no son suficientes para alcanzar esa verdad. Más aún, puede ocurrir incluso que ni la culpabilidad de uno ni la inocencia del otro sean demostrables. En 1930 Kurt Gödel mostró -en lo que fue un golpe de efecto dramático e inesperado- que exactamente lo mismo ocurre en la matemática. Su célebre teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aún en el fragmento elemental de la aritmética -los números naturales, con la suma y la multiplicación- es imposible dar una cantidad finita de postulados, a la manera de Euclides, que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. Es decir, la aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático. El teorema de Gödel, convertido demasiado ligeramente en fetiche de la postmodernidad y de los psicólogos lacanianos, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos, y en general, como un resultado sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos de la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia y el discernimiento humano es irremplazable: no puede modelarse una computadora que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano insustituible es la facultad de interpretar y asignar sentido. A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance profundamente asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética, y muchos otros fragmentos de la matemática, no pueden axiomatizarse sin perder en el camino una parte de su alcance. El libro de Beppo Levi En una investigación anterior y quizá menos conocida, el matemático francés Henri Poincaré había vuelto sobre los axiomas de Euclides para poner en evidencia los presupuestos ocultos detrás de los cinco axiomas: por ejemplo, la admisión tácita de que las figuras son indeformables por rotaciones y traslaciones. En un mundo de fluidos no tendría sentido la geometría euclideana. Este modo de prestar atención a lo no dicho, y de poner en evidencia lo que cada época convierte en verdad inconciente, anticipaba en el campo de la matemática lo que fueron luego las técnicas arqueológicas de Foucault en las ciencias sociales. Leyendo a Euclides se inscribe más bien en esta segunda línea, y puede considerarse una revisión bajo la lupa poderosa de los siglos para entender el corpus de conocimientos y el modo de razonar geométrico de la época de Euclides. En el prólogo Levi dice que su esfuerzo al escribir este libro estaría completamente perdido si no pudiera cautivar la atención de lectores no matemáticos. Estos lectores tendrán la oportunidad única de reaprender la geometría de la mano de un matemático verdaderamente célebre (hay un teorema ya clásico del análisis que lleva su nombre) y al mismo tiempo -como dice Mario Bunge en las palabras finales- de tener con los muertos una conversación inteligente, sin recurrir a trucos espiritistas. ¿Qué hay en todo caso -podría preguntarse uno al terminar- detrás de esta estética que atravesó los siglos, detrás de este afán de apresar con unas pocas propiedades, todas las consecuencias de un sistema? Los axiomas, quizá, expresan la finitud humana. Desde siempre el hombre se ha debatido con su finitud y en la matemática ha logrado a veces con astucia derrotarla: nadie puede contar todos los números, pero sabemos escribir cualquiera de ellos y podemos hacerlo con sólo diez símbolos. Nadie puede escribir los infinitos teoremas de la geometría, pero Euclides enseñó que con suficiente paciencia podríamos derivar uno cualquiera a partir de sólo cinco axiomas. Otras veces, sin embargo, ninguna astucia es suficiente. El ser humano es una criatura limitada, pero echa a andar hijos cuyos pasos no puede seguir, dioses que lo suceden eternamente y objetos cuya complejidad se le escapa.

Sábado, 01 de Enero de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

24. 1. (Enero 2005) El amor correspondido y el experimento de la habitación china

En la novela Galatea 2:2 el escritor norteamericano Richard Powers vuelve al mito de Pigmalión en una versión computacional: el protagonista, bajo el desafío de una apuesta, se propone educar a una computadora en el gusto literario, para que pueda emitir un comentario crítico articulado ante cada libro que se le presente. Y de la misma manera que en la obra de Bernard Shaw la piedra de toque del éxito de la educación era conseguir que la florista de los suburbios fuera por una noche, durante una recepción, indistinguible de las damas de la alta sociedad, se pacta que la computadora deberá ser capaz de dar un examen de apreciación literaria que pueda confundirse con el de otro alumno universitario cualquiera. Detrás de una puerta cerrada estará la computadora, detrás de una segunda puerta un alumno brillante de carne y hueso. A la hora señalada las hojas de los dos exámenes se deslizarán hacia afuera. Si un examinador externo no logra discriminar por las respuestas a quién pertenece cada examen, el científico de Powers habrá ganado la apuesta. La recepción de Bernard Shaw y el examen de Powers son dos versiones de lo que se llama el Test de Turing. El test fue propuesto en 1950 por el matemático y fundador de la computación Alan Turing en un famoso artículo llamado “Computing Machinery and Intelligence” e intentaba convertirse en un método que permitiera decidir, razonablemente, si una máquina había llegado a “pensar”. De acuerdo con el test, la computadora, junto con un voluntario humano, quedan ocultos de la vista de algún interrogador, que tiene que decidir quién es quién en una sesión de preguntas dirigidas a ambos. Si el interrogador no es capaz de distinguir por las respuestas al ser humano, la computadora habrá pasado la prueba. El test de Turing está más presente en nuestras vidas de lo que suponemos: el paso al frente en la escuela para “dar lección”, el detector de mentiras, el interrogatorio que pone al descubierto al replicante en la película Blade Runner, o las pruebas psiquiátricas que deciden si un asesino es o no inimputable son, bien mirados, todas variantes del test. El libro Los anormales, de Michel Foucault, deja ver que un test de Turing psiquiátrico decide en cada época la “normalidad” y muchas veces la libertad o prisión de un ser humano. Pero también, todo el tiempo, hacemos nuestros pequeños tests de Turing al estudiar en los otros la serie de palabras, gestos, miradas -el conjunto de exteriorizaciones- por el que decidimos si nos mienten, o nos quieren, o si todavía nos quieren. Vale la pena entonces revisar algunas de las objeciones que se le han hecho al test. La primera se debe a John Searle y se conoce con el nombre del “Experimento de la Habitación China”. En una habitación cerrada un hombre recibe debajo de la puerta una lista de preguntas en caracteres chinos. El hombre no sabe una palabra del idioma chino pero tiene un manual de instrucciones, digamos, chino-castellano, castellano-chino, que le dice cómo proceder para responder las preguntas. El hombre sigue las intrucciones mecánicamente y pasa sus respuestas transcriptas en esos caracteres que desconoce debajo de la puerta. Un observador externo podría jurar que el hombre sabe chino, pero por supuesto no hay ninguna genuina comprensión del idioma. La analogía es clara: la computadora es como el hombre de la habitación china: puede simular entendimiento para un observador externo pero no tiene “comprensión” de lo que está haciendo. ¿Puede haber acaso inteligencia sin comprensión? Una segunda objeción al test tiene que ver con la cuestión del tiempo. La sucesión de preguntas dirigidas a la computadora tiene como propósito principal descubrir una impostura, la distancia que hay entre “simular inteligencia” y “ser inteligente”, pero una cantidad finita de preguntas sólo permite decir que la impostura, hasta ese momento, no ha sido descubierta. Si el interrogatorio de Blade Runner hubiera terminado con una pregunta menos el replicante no se hubiera puesto al descubierto. Si la maestra no le hace al alumno la única pregunta que ignora, creerá que lo sabe todo. El test ideal debería ser entonces infinito, o perpetuo, pero ésto claramente lo vuelve impracticable para todos los propósitos humanos. La tercera objeción involucra lo que podría llamarse “la estética de los razonamientos”. Es bien sabido que la computadora Deep Blue llegó a derrotar en un match de ajedrez al campeón mundial de los seres humanos. Vistos “desde afuera” los dos juegan el mismo juego. Pero la computadora - que toma ventaja de su velocidad de cálculo- procede en sus análisis de la manera más burda, con pura fuerza bruta: examina en cada jugada todos los casos, persigue todas las alternativas posibles. El ajedrecista, en cambio, sólo deja filtrar unas pocas variantes “interesantes” o potencialmente promisorias. Su árbol de búsqueda tiene menos ramas, pero más profundas. En esta economía de recursos, en sus pocas y certeras intuiciones, hay algo que nos parece grato, difícil, admirable. No juegan, en el fondo, al mismo juego. En cada uno de los casos que examinamos la dificultad está en saber qué hay verdaderamente detrás de una puerta cerrada. Pero también las personas somos habitaciones cerradas, o en el mejor de los casos, como en el título de Saer, sombras detrás de un vidrio esmerilado. Quizá la atracción y la perduración de las novelas tenga que ver con la ilusión que nos dan de que podemos conocer “por dentro” a los personajes. En un largo ensayo titulado “Conciencia y la novela”, David Lodge demuestra que gran parte de la literatura moderna y contemporánea a partir de Jane Austen y Henry James,  se desarrolló en base a una confianza o un escepticismo filosófico sobre la posibilidad de penetrar la conciencia y saber realmente qué piensan y qué sienten los otros. Quise decir algo de esto en la última de mis novelas. En uno de los capítulos el protagonista recibe debajo de la puerta una carta de amor. Acaba de estudiar el Experimento de la Habitación China y se da cuenta, con alguna desesperación, de que ha perdido confianza en el puente de las palabras. ¿Cómo saber si hay verdadera correspondencia entre los sentimientos? ¿Cómo saber si el amor de la otra persona es tan intenso como el de uno? Mucho antes de Searle y de Turing, un poeta árabe, Qais bin-al-Mulawah, sintió la misma clase de incertidumbre y sólo le quedó un ruego desesperado a un Tercero que pudiera mirar por adentro a los dos: Oh Dios, haz que el amor entre ella y yo sea parejo que ninguno rebase al otro Haz que nuestros amores sean idénticos, como ambos lados de una ecuación. Sí: somos habitaciones cerradas que intercambiamos hojas bajo la puerta en idiomas extranjeros, precarios, tentativos, con la esperanza -como otro ruego- de que no todo se pierda en la traducción.

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25. 128. (Enero 2019) Conjunto vacío, de Verónica Gerber Bicecci

Presentación de la editorial Pepitas de calabaza (2017) Conjunto vacío, primera novela de Verónica Gerber Bicecci, es una historia construida con una dura e infinita belleza; un relato en el que la escritura va de la saturación al vacío, y en el que la prosa experimenta un viaje que parte de la normalidad y se mueve hacia la extrañeza. Estamos ante un libro tremendamente original en su manera de contar, en el que se utilizan tanto recursos narrativos (párrafos cada vez más cortos, capítulos cada vez más sintéticos) como lingüísticos (escrituras ilegibles, disgrafías, lenguajes infantiles, idiomas inventados) o gráficos (los diagramas de Venn que se utilizan en la teoría de conjuntos) con el fin de completar una historia que conquista al lector desde la primera línea. Conjunto vacío narra la desaparición de la madre del personaje principal, y su historia reconstruye la generación de hijos del exilio, la relación entre imagen y palabra, el desdoblamiento y el juego de espejos que produce el silencio y lo «no dicho». Conjunto Vacío cuenta la historia de una artista gráfica, Verónica, hija de exiliados argentinos en México. Tras ser abandonada por su pareja, que se ha enamorado de otra persona, la protagonista regresa a la casa de su madre. Me niego rotundamente a formar parte de esa configuración triangular que ellos me impusieron. Prefiero pensarme como un cono, algunos dicen que un cono es un triángulo que gira, tanto mejor. Un cono también puede ser una serie de círculos que resuenan, de pequeño a grande, el más pequeño solo un punto. O una viruta perfecta del tiempo. Conjunto Vacío, página 48 Allí rememora el momento en el que su madre desapareció, dejándola sola con su hermano Alejandro. El niño y la niña la buscaban, sin conseguir encontrarla. Ahora, de regreso a casa –el búnker–, el fantasma de la madre sigue rondando. La escucha, habla con ella, pero no la ve. Sigue fingiendo, como de pequeña, que la madre sigue en la vivienda familiar. Un secreto es como un subconjunto invisible. Conjunto Vacío, página 104 Verónica encuentra un trabajo archivando las pertenencias de la recién fallecida escritora –también exiliada argentina– Marisa Chubut por encargo de su hijo Alonso. Tras una breve relación amorosa con la protagonista, Alonso también desaparece de su vida. Los diferentes abandonos –el desamor, la orfandad, el exilio– producen un tremendo vacío en la vida de Verónica que cuenta su historia haciendo que las palabras desaparezcan poco a poco: mensajes en clave, misivas escritas del revés o diagramas de Venn la ayudan a expresar aquellas situaciones que no consigue reflejar con vocablos. Cada personaje se identifica con una letra (ella es Y –de yo–, M es su madre, A es su hermano, etc.) y con un diagrama de Venn. Y cada encuentro, cada abandono, cada acción con uno u otro personaje lo expresa con diferentes cambios en esos diagramas de Venn: intersecciones, recortes, etc. En el video de debajo pueden verse algunos ejemplos. En la época de la dictadura argentina –que forma parte de esta historia–, la enseñanza de la teoría de conjuntos se prohibió en las escuelas por ‘subversiva’. Entiendo que, de manera reivindicativa, la protagonista cuenta justamente su historia con la teoría de conjuntos como herramienta esencial. Sabemos, por ejemplo, que un jitomate pertenece al conjunto de jitomates (JI) y no al de cebollas (C) ni al de chiles (CH) ni al de cilantro (CI). ¿Dónde está la amenaza en un razonamiento como este? Conjunto Vacío, página 84 Una bella propuesta en la que los vacíos cotidianos pasan a expresarse con imágenes, con metáforas matemáticas… El reflejo se hace infinito. Y el infinito es un conjunto eternamente vacío. Conjunto Vacío, página 181 Más información Conjunto vacío, página web de Verónica Gerber Bicecci. En este enlace aparece un video en el que se hojea el libro. Nidia Rosales Moreno, Conjunto vacío. Verónica Gerber, A tierra adentro Carlos Pardo, Estrategias del ermitaño. 'Conjunto vacío' es reconocida como una de las novelas más imaginativas de la literatura latinoamericana reciente, Babelia, 26 julio 2017 Vivian Murcia G., Verónica Gerber Bicecci, la mujer del 'Conjunto Vacío', Ibe.tv, 8 marzo 2018

Viernes, 04 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

26. 127. (Mayo 2018) Las sextinas son un caso particular de queninas

Según el diccionario de la RAE, una sextina es: Composición poética que consta de seis estrofas de seis versos endecasílabos cada una, y de otra que sólo se compone de tres. En todas, menos en esta, acaban los versos con las mismas palabras, bien que no ordenadas de igual manera, por haber de concluir con la voz final del último verso de una estrofa el primero de la siguiente. En cada uno de los tres con que se da remate a esta composición entran dos de los seis vocablos repetidos de las estrofas anteriores. Arnaut Daniel, "Lo ferm voler", manuscrito conservado en la Bilbioteca Ambrosiana de Milán (http://www.filmod.unina.it/cdg/G.htm) El trovador provenzal Arnaut Daniel fue el creador de esta forma poética; la primera sextina de la historia de la literatura es su Lo ferm voler qu'el cor m'intra. Lo ferm voler qu'el cor m'intra no'm pot ges becs escoissendre ni ongla de lauzengier qui pert per mal dir s'arma; e pus no l'aus batr'ab ram ni verja, sivals a frau, lai on non aurai oncle, jauzirai joi, en vergier o dins cambra. Quan mi sove de la cambra on a mon dan sai que nulhs om non intra -ans me son tug plus que fraire ni oncle- non ai membre no'm fremisca, neis l'ongla, aissi cum fai l'enfas devant la verja: tal paor ai no'l sia prop de l'arma. Del cor li fos, non de l'arma, e cossentis m'a celat dins sa cambra, que plus mi nafra'l cor que colp de verja qu'ar lo sieus sers lai ont ilh es non intra: de lieis serai aisi cum carn e ongla e non creirai castic d'amic ni d'oncle. Anc la seror de mon oncle non amei plus ni tan, per aquest'arma, qu'aitan vezis cum es lo detz de l'ongla, s'a lieis plagues, volgr'esser de sa cambra: de me pot far l'amors qu'ins el cor m'intra miels a son vol c'om fortz de frevol verja. Pus floric la seca verja ni de n'Adam foron nebot e oncle tan fin'amors cum selha qu'el cor m'intra non cug fos anc en cors no neis en arma: on qu'eu estei, fors en plan o dins cambra, mos cors no's part de lieis tan cum ten l'ongla. Aissi s'empren e s'enongla mos cors en lieis cum l'escors'en la verja, qu'ilh m'es de joi tors e palais e cambra; e non am tan paren, fraire ni oncle, qu'en Paradis n'aura doble joi m'arma, si ja nulhs hom per ben amar lai intra. Arnaut tramet son chantar d'ongl'e d'oncle a Grant Desiei, qui de sa verj'a l'arma, son cledisat qu'apres dins cambra intra. Como puede observarse, sólo hay seis palabras que generan la rima –son 1=intra, 2=ongla, 3=arma, 4=verja, 5=oncle y 6=cambra en el poema de Arnaut Daniel– que van cambiando de lugar de acuerdo con el siguiente esquema: 123456 – 615243 – 364125 – 532614 – 451362 – 246531 – 531. En la sextina de Arnaut Daniel, aparecen las seis palabras en los tres versos finales, aunque no sucede siempre en estas composiciones poéticas. Observad que cada una de las seis palabras que riman pasan por todas las posiciones al cambiar de estrofa. El anterior esquema describe lo que en matemáticas se denomina una permutación –se alternan las seis palabras al cambiar de estrofa–; pero se trata además de una permutación de orden 6, es decir, cuando se hacen seis iteraciones –y no antes– se reencuentran las palabras de rima en su forma original. Si llamamos σ a esta permutación –e id a la ordenación natural (1, 2, 3, 4, 5, 6)– se escribe del modo: y es σ6=id, pero σ≠id, σ2≠id, σ3≠id, σ4≠id y σ5≠id. En cada cambio de estrofa, la palabra que ocupaba el sexto lugar pasa a ocupar el primero, la que se situaba en el primero va a parar al segundo lugar, la que iba en el quinto puesto se traslada al tercero, la que ocupaba la segunda posición pasa a la cuarta, la que estaba en la cuarta va a parar a la quinta y, finalmente, la palabra situada en tercer lugar pasa a ocupar el sexto lugar de la estrofa. De otra manera, podemos colocar los números del 1 al 6 sobre una recta, y pensar σ como una permutación en espiral que, además –como ya hemos comentado–, es una permutación de orden 6: El escritor y cofundador del grupo OuLiPo Raymond Queneau [1] se preguntó si era posible generalizar la estructura de la sextina, reemplazando 6 por n, para escribir un poema de n estrofas, cada una formada por n versos, todos terminados por las mismas n palabras, intercambiadas por la permutación espiral, es decir, por la permutación definida por: La anterior permutación generaliza la estructura de las sextinas de Arnaut Daniel. Por cierto, existen recopilaciones de sextinas ‘modernas’, como el bello texto [3], que contiene sextinas en varias lenguas. Si os animáis a leer algunas de ellas, comprobaréis que son poemas de gran belleza y complejidad. Volviendo a las queninas, podemos preguntarnos: ¿es posible generalizar las sextinas para cualquier valor de n? Dicho de otra manera, ¿la permutación espiral σ definida por Queneau (y citada arriba) es siempre una permutación de orden n? La respuesta es negativa: por ejemplo, para n=4, la permutación espiral definida por Queneau es σ(1)=2, σ(2)=4, σ(3)=3 y σ(4)=1. Pero σ es de orden 3, y no 4 como debería ser (σ≠id, σ2≠id y σ3=id), al quedar el número 3 fijo por la permutación. En honor a Queneau, las permutaciones espirales de orden n –las que permiten crear un poema generalizando a una sextina– se denominan queninas de orden n o n-ninas. Y se dice en tal caso que n es un número de Queneau. No existen queninas de cualquier orden: acabamos de ver que no existen las de orden n=4. Tampoco existen 10-ninas: en este caso la permutación es de orden 7, no de orden 10. Es posible caracterizar los números de Queneau en términos combinatorios. En [2] se enuncia el siguiente teorema –cuyos términos se aclaran después–: Teorema: Si n es un número de Queneau, entonces 2n+1 es un número primo. Además, si 2n+1 es primo, entonces existe una n-nina si y sólo si 2 es de orden 2n módulo 2n+1 o n es impar y 2 es de orden n módulo 2n+1. La prueba es sencilla y preciosa a la vez. En este enunciado, los términos aludidos son: Un número es primo si sólo es divisible por sí mismo y por 1. 2 es de orden p módulo m si 2p-1 es divisible por m, pero 2k-1 no es divisible por m para k < p (estamos trabajando con enteros positivos). Observad que cuando se dice en el enunciado «2 es de orden 2n módulo 2n+1 », n también puede ser impar. Veamos unos ejemplos de números de Queneau para aclarar dudas, si las hubiera : n=1 es un número de Queneau, ya que 2n+1=3 es primo y 22n-1 = 22-1 = 3 es divisible por 3 (y 2k-1 no es divisible por 3 para k < 2). n=2 es un número de Queneau, ya que 2n+1=5 es primo y 22n-1 = 24-1 = 15 es divisible por 5 (y 2k-1 no es divisible por 5 para k < 4). n=3 es un número de Queneau, ya que 2n+1=7 es primo y 2n-1 = 23-1 = 7 es divisible por 7 (y 2k-1 no es divisible por 7 para k < 3). Fijaos que en este caso 2 es de orden n módulo 2n+1 (y no de orden 2n módulo 2n+1). n=4 no es un número de Queneau, ya que 2n+1=9 que no es primo. n=5 es un número de Queneau, ya que 2n+1=11 es primo y 22n-1 = 210-1 = 1023 es divisible por 11 (y 2k-1 no es divisible por 11 para k < 10). n=6 es un número de Queneau –¡las sextinas existen!–, ya que 2n+1=13 es primo y 22n-1 = 212-1 = 4095 es divisible por 13 (y 2k-1 no es divisible por 13 para k < 12). n=7 no es un número de Queneau, ya que 2n+1=15 no es primo. n=8 no es un número de Queneau, ya que aunque 2n+1=17 es primo, el número 28-1 = 255 es divisible por 17.  El teorema dice que –si 8 fuera un número de Queneau– 216-1 debería ser divisible por 17 (que lo es), pero 2k-1 no debería ser divisible por 17 para k < 16. n=9 es un número de Queneau, ya que 2n+1=19 es primo y 22n-1 = 218-1 = 262143 es divisible por 19 (y 2k-1 no es divisible por 19 para k < 18). n=10 no es un número de Queneau, ya que 2n+1=21 que no es primo. De hecho, los números de Queneau menores que 1000 son estos: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 39, 41, 50, 51, 53, 65, 69, 74, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 98, 99, 105, 113, 119, 131, 134, 135, 146, 155, 158, 173, 174, 179, 183, 186, 189, 191, 194, 209, 210, 221, 230, 231, 233, 239, 243, 245, 251, 254, 261, 270, 273, 278, 281, 293, 299, 303, 306, 309, 323, 326, 329, 330, 338, 350, 354, 359, 371, 375, 378, 386, 393, 398, 410, 411, 413, 414, 419, 426, 429, 431, 438, 441, 443, 453, 470, 473, 483, 491, 495, 509, 515, 519, 530, 531, 543, 545, 554, 558, 561, 575, 585, 593, 606, 611, 614, 615, 618, 629, 638, 639, 641, 645, 650, 651, 653, 659, 683, 686, 690, 713, 719, 723, 725, 726, 741, 743, 746, 749, 755, 761, 765, 771, 774, 779, 783, 785, 791, 803, 809, 810, 818, 831, 833, 834, 846, 866, 870, 873, 879, 891, 893, 911, 923, 930, 933, 935, 938, 939, 950, 953, 965, 974, 975, 986, 989, 993, 998. Se conjetura que existen infinitos números de Queneau… ¿Te apetece ponerte a pensar en esta conjetura literario-combinatoria? Referencias [1] Jacques Roubaud, N-ine, autrement dit quenine (encore) en La bibliothèque oulipienne VI, Paris, Le Castor Astral, 2003 [2] Jean-Guillaume Dumas, Caractérisation des quenines et leur représentation spirale, Mathematics and Social Sciences 184 (4), 9-23, 2008 [3] Chús Arellano, Jesús Munárriz y Sofía Rhei, Sextinas. Pasado y presente de una forma poética, Hiperión, 2011 [4] Marta Macho Stadler, Los números de Queneau, Cuaderno de Cultura Científica, 7 agosto 2013

Lunes, 28 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

27. 126. (Marzo 2018) “La invención matemática. Cómo se inventa: el trabajo del inconsciente” (edición de Francisco González Fernández), de Henri Poincaré

En abril de 2017 hablábamos en esta sección de DivulgaMAT de la publicación Las ciencias y las humanidades (edición de Francisco González Fernández) de Henri Poincaré. En este ensayo, el matemático francés defendía la traducción de las lenguas clásicas como un modo de ‘dominar los matices que puede expresar el lenguaje’, un modo de aprehender sutilezas en los escritos, de estimular el espíritu creativo, ése tan necesario para cualquier persona que se dedica a la ciencia. Francisco González Fernández, traductor del texto, realizaba un magnífico prólogo en el que comentaba numerosos e interesantes matices del ensayo de Poincaré. Menos de un año más tarde, KRK Ediciones vuelve a publicar un nuevo texto de Poincaré, titulado La invención matemática. Cómo se inventa: el trabajo del inconsciente, de nuevo traducido y prologado por Francisco González Fernández. L’invention mathématique es el título de una conferencia impartida por Henri Poincaré en el Institut général psychologique de París el 23 de mayo de 1908. Fue publicada ese mismo año, entre otras, en la revista L’Enseignement Mathématique. Además, el científico francés publicó Comment on invente. Le travail de l’Inconscient en el periódico Le Matin a finales del año 1908. En esta edición en castellano publicada en febrero de 2018, el profesor Francisco González Fernández, gran estudioso de la obra de Poincaré, traduce los dos textos originales y los analiza en una magnífica introducción, que da grandes claves sobre el posterior discurso del científico. En la contraportada, la editorial presenta el libro de esta manera: ¿Cómo surgen las ideas? ¿Qué caminos conducen a la resolución de un problema? ¿Cuáles son los procesos mentales que intervienen en un acto creativo? En 1908, a petición de la Sociedad Psicológica de París, el gran matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) impartió una conferencia en la que quiso responder a estas preguntas contando y elucidando cómo se le había ocurrido una de sus teorías primordiales. Al dar carta de naturaleza a la intuición, a la belleza y al inconsciente en el acto creativo, La invención matemática se convirtió en un modelo explicativo ineludible, no sólo en el ámbito matemático, vigente aún hoy en su esencia y que ha sido refrendado por los datos de la psicología moderna. La conferencia impartida en 1908 por Henri Poincaré (1854-1912) se centraba en la teoría de funciones fuchsianas (forma parte de sus primeras creaciones matemáticas, realizada en los años 1880) y en la manera en la que la había “inventado”. Describe detalles aparentemente insignificantes, pero que él cree relevantes en todo el proceso, desde físicos hasta mentales: ciertos viajes realizados, la memoria, la inspiración, los trabajos consciente e inconsciente… Como comenta en la introducción González Fernández: “Para el matemático francés no se trata de referir el momento en el que se enciende la luz del genio, sino de comprender la naturaleza de esa súbita inspiración”; recordemos que su conferencia estaba dirigida a especialistas en psicología, no a personas entendidas en matemáticas. Poincaré distingue en su texto entre la invención y el descubrimiento, critica la excesiva axiomatización de las matemáticas, y cita el papel fundamental del inconsciente en su proceso creativo, entre otros. Por cierto, su discurso ha sido avalado posteriormente por numerosos neurocientíficos. Termino con una cita Cómo se inventa: el trabajo del inconsciente: Desde que publiqué mi conferencia, he recibido muchas cartas de poetas y de músicos. Tales fenómenos, me decían ellos, no son específicos de la invención matemática: exactamente en estas mismas condiciones actúa la inspiración poética o hacen los músicos sus hallazgos. Finalmente, la creatividad no depende tanto de las disciplinas; ¿quizás lo que las diferencia son los momentos de conclusión en los que se confecciona el producto final? Francisco González Fernández proporciona algunas claves sobre este tema en su exquisita introducción.

Lunes, 19 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

28. 125. (Febrero 2018) Poemas para Flash Gordon, de Luís Pousa

Mi amigo Pablo González Sequeiros me regaló hace unas semanas el poemario Poemas para Flash Gordon (Reino de Cordelia, 2017) del matemático, escritor y periodista Luís Pousa. La editorial lo presenta del siguiente modo: Desde la madurez de la edad, Luís Pousa regresa al mundo de la infancia y de la juventud, a aquella etapa de su vida donde todas las puertas estaban abiertas y apenas había comenzado a elegir cómo cerrar alguna de ellas. Poemas para Flash Gordon es un homenaje a la cultura pop que le formó como ser humano, a los tebeos clásicos norteamericanos, al cine del Oeste, a la televisión…; pero también a Franz Kafka, a Bukowski, Rimbaud, Lorca, Walt Whitman o el bosón de Higgs… Nombres y ciudades, paisajes y personas se entrelazan en este poemario que despide un mundo irrepetible, pero definitivamente instalado en la memoria. El poemario consta de dieciséis poemas: Para Flash Gordon, El otro lado de las cosas, Rimbaud, Sobre un tema de Charles Bukowski, Poema de la UCI, Umbral, El lugar de los hechos, Deseo de ser piel roja, Todavía, Felicidad, Rosalía, El bar de O’Malley, Autorretrato en el espejo convexo, Canción para Liberty Balance, Algunas cosas que debería hacer en cualquier caso antes de morir, y El blues del bosón de Higgs. Las referencias a la ciencia y a las matemáticas se cruzan en estos versos de Luís Pousa dedicados al superhéroe de la famosa historieta de ciencia ficción estadounidense. En El lugar de los hechos, el autor alude a ‘[…] ese yo infinitesimal / que somos a cada paso.’ En Autorretrato en el espejo convexo, la geometría aparece como elemento fundamental: ‘[…] Ya sé que es un efecto visual / del espejo convexo, una deformación geométrica / de la imagen que se curva / sobre la superficie esférica, […]’. El poema Algunas cosas que debería hacer en cualquier caso antes de morir comienza aludiendo a Georges Perec y su afición por las listas –recordemos su impresionante La vida instrucciones de uso, y todas las listas que elaboró en su Cahier des charges de La vie mode d’emploi para poder aplicar las trabas impuestas a su texto–, y alude más adelante a dos geniales matemáticos: ‘[…] Y escuchar de viva voz los pensamientos / de Kurt Gödel y Georg Cantor. […]’. Cantor vuelve a aparecer en el poema final El blues del bosón de Higgs: ‘[…] con el palacio de cristal / que llamamos álgebra, / con los números transfinitos / de Georg Cantor, […]’. Son exquisitas las matemáticas que atraviesan este poemario, también exquisito, que os recomiendo no dejéis pasar. Por cierto, ¡gracias, Pablo!

Lunes, 19 de Febrero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

29. 124. (Enero 2018) Las razones del agua, de Francisco Javier Guerrero

A mediados de noviembre del año pasado, mi amiga Esperanza López García me mandó un mensaje comentándome: “Un amigo publica un poemario y quizás te interese para tu sección de literatura y matemáticas”, y me envió la referencia de Las razones del agua. Lo compré pero, por falta de tiempo, tardé un poco en poder hojearlo, ojearlo y leerlo. El poemario se divide en tres partes –Valle en V, Vega y Estuario– y estructura sus versos siguiendo los quince primeros números de la sucesión de Fibonacci: en la página 13, el 0 preside una hoja en blanco, y siguen las páginas 15 y 17 con un único verso impreso sobre cada una de ellas, la 19 con dos versos, la 21 con tres, y así sucesivamente. La primera parte –Valle– se organiza a partir de los once primeros números de la sucesión de Fibonacci, es decir, sus estrofas contienen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 y 55 versos respectivamente. La segunda parte –Vega– continúa con los tres números 89, 144 y 233 de esta sucesión; ellos dictan la cantidad de versos que constituyen los tres poemas de Vega. Los 377 versos de Estuario son los que cierran el poemario, y nos transportan a una página desplegable que revela una bellísima ilustración de Lola Castillo. Las alusiones a la sucesión de Fibonacci no sólo aparecen en la estructura del texto.  También se nombra expresamente la manera de construirla, y algunos términos relacionados con ella, como espirales, caracoles logarítmicos, matemática azul, la divina proporción, el número phi, girasoles, algoritmos de cálculo, funciones generadoras, octógonos, el infinito… y las ilustraciones de Lola Castillo incorporan también este concepto matemático en sus trazos. Volveré a hojear, ojear y leer Las razones del agua, porque aun me queda mucho por saborear y sentir sobre lo escrito… y la manera en que está escrito. Información editorial Titulo: Las razones del agua Autor: Francisco Javier Guerrero Ilustradora: Lola Castillo Editorial: Adeshoras Género: Poesía Formato: 13,5 x 21 cm Encuadernación: Rústica con solapas Páginas: 92 ISBN: 978-84-946848-6-9 Las razones del agua es un único poema, escrito sin puntuación y sin mayúsculas, dividido en tres partes que aluden al curso de un río: valle, vega y estuario. La unidad, la aspiración totalizadora, ese anhelo por decirlo todo, está presente desde el principio del volumen: voy a escribir la vida / que yace con nosotros o el lenguaje la ciencia / hoy me voy a morir escribiendo la historia. Con ese propósito, Francisco Javier Guerrero articula quince secuencias que coinciden con los primeros términos de la sucesión de Fibonacci. Así, la matemática es uno de los ejes vertebradores de esta obra, que gravita también alrededor de reflexiones metapoéticas, el compromiso comunitario y la memoria personal. Acompañan al texto ocho ilustraciones de Lola Castillo, que interpreta con su singular universo de imágenes algunos de los aspectos fundamentales de este vasto caudal de versos.

Martes, 16 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

30. 123. (Diciembre 2017) El jardín de Babaï, de Mandana Sadat

Un cuento puede empezar por el principio, llegar al final y luego regresar sobre sus pasos para contarse de una forma distinta. Para poder disfrutar de este ida y vuelta sólo hay que seguir a Babaï, el corderito que, aburrido, decidió un buen día hacer un jardín en el desierto de Irán. Editorial Kókinos El pasado mes de julio participé en el curso de verano del Escorial De las matemáticas a la sociedad: el camino de la divulgación organizado por los profesores José M. Arrieta Algarra y Roberto Rodríguez del Río. Allí hablé –entre otras– sobre matemáticas y literatura, y de algunas propuestas en las que las matemáticas aparecen en la estructura del texto –simetrías, combinatoria, etc.–. Eduardo Saénz de Cabezón, que también participaba en el curso, me recomendó un par de libros cuya organización podía mirarse desde las matemáticas. Uno de ellos era este precioso cuento, El jardín de Babaï, con magníficas ilustraciones, y en el que la historia de Babaï, el corderito, se puede leer en dos sentidos opuestos. El jardín de Babaï es una adaptación de un cuento oriental, que propone dos formas de lectura: una de izquierda a derecha en castellano, y otra en sentido inverso, en persa, en una narración complementaria. El cuento en castellano comienza en la página 4, ocupa las páginas pares hasta la 28 y, en la página 32, ofrece la traducción del cuento completo en persa. Este último, a su vez, comienza en la página 27, evoluciona en las páginas impares –en sentido inverso– hasta la página 5, y ofrece en la página 1 una traducción al persa del cuento narrado en castellano. La historia es la misma, pero contada de diferente manera, en orden temporal –en castellano– o en el contrario –en persa, rememorando lo sucedido– y utilizando ambas versiones las mismas ilustraciones. Las imágenes crecen en complejidad en la historia en castellano, hasta terminar tejiendo una majestuosa alfombra oriental, que representa el jardín del protagonista. Referencia Mandana Sadat (traducido por Esther Rubio Muñoz), El jardín de Babaï, Kókinos, 2007

Domingo, 31 de Diciembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico