53. (Septiembre 2008) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2008 |
Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) | ||||||||||||||||
Lunes 01 de Septiembre de 2008 | ||||||||||||||||
SOBRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN En esta ocasión, daremos la respuesta al problema planteado en el número anterior de este rincón. Recordaremos el juego de Jesús García sobre adivinación de un número basándose en el sistema de numeración en base factorial. El problema consistía en numerar correctamente las diferentes secciones de la "cartulina clave" para que funcionase el juego. Describimos nuevamente el juego, esta vez incluyendo todos los datos:
Explicaremos brevemente la razón de clasificar el contenido de las cartulinas como indican las imágenes. Para ello, debemos escribir los números 1 a 24 en el sistema de numeración factorial. Recordaremos que NF = an · n! + an-1 · (n-1)! + ... + a1 · 1!, donde ak ≤ k. De este modo, la representación factorial de los 24 primeros números naturales es:
Observamos así que los números pares tienen un cero en la última posición de su representación factorial. Por tanto la última cartulina discriminará entre pares e impares. Los números 1, 6, 7, 12, 13, 18, 19 y 24 tienen un cero en la penúltima posición; los números 2, 3, 8, 9, 14, 15, 20 y 21 tienen un uno en la penúltima posición y los números 4, 5, 10, 11, 16, 17, 22 y 23 tienen un dos en dicha penúltima posición. Por eso distinguimos en la cartulina correspondiente los tres posibles valores. Los números 1, 2, 3, 4, 5 y 24 tienen un cero en la antepenúltima posición de su representación factorial; los números 6, 7, 8, 9, 10 y 11 tienen un uno en dicha posición; los números 12, 13, 14, 15, 16 y 17 tienen un dos y los números 18, 19, 20, 21, 22 y 23 tienen un tres. Así pues, en la cartulina correspondiente se distinguen los cuatro casos citados. Por último, el sistema de ventanas y la colocación de los números en la primera cartulina hace que se transforme al sistema decimal el único número cuyas cifras en el sistema factorial cumplen todos los datos. |
© Real Sociedad Matemática Española. Aviso legal. Desarrollo web |