55. LA SERIE ARMONICA

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55. LA SERIE ARMONICA

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55. LA SERIE ARMONICA
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Esta es una de las desigualdades numéricas más importantes, con la cual se puede demostrar la divergencia de la famosa serie armónica.

Se trata de demostrar la siguiente desigualdad

Realicemos la demostración por el método de inducción matemática. Es claro que es cierto para n= 1 ya que 1>1/2 Supongamos que la desigualdad .

se verifica con n= k, por tanto se cumplirá: .

Demostremos que, en tal caso la desigualdad es también válida con n=k+1, o sea: .

Ahora bien podemos poner: .

haciendo operaciones tenemos también la siguiente desigualdad..

Por tanto se cumple la desigualdad con n=k+1 .

De acuerdo al principio de inducción matemática tenemos que la desigualdad es válida para cualquier n natural.

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