78. LA SUCESIÓN DE FIBONACCI - Página 2: Solución
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Si estudiamos la sucesión formada por los residuos bajo la división por 9 de la
sucesión de Fibonacci. Es decir, consideremos la reducción módulo 9 de la sucesión
de Fibonacci. Observemos que se puede construir ésta tomando los dos primeros
términos iguales a 1 y, a partir del tercero, sumando los dos residuos anteriores y
considerando su residuo; Por tanto podemos construir la sucesión de residuos utilizando
la misma regla que para construir la sucesión de Fibonacci, pero haciendo las
operaciones módulo 9.
Así la sucesión que nos sale es :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4 ,1, 5, 6, 2, 8, 1, 0,...; a partir de aquí se repite todo (pues
1 + 0 = 1 y 0 + 1 = 1) entonces en esta sucesión aparecen una infinidad de 0s; pero
cada vez que aparezca 0 es porque 9 dividía al término correspondiente en la
sucesión de Fibonacci. Por tanto esto termina la demostración.
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