62. (Junio 2009) Cocientes de Fibonacci
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
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Lunes 01 de Junio de 2009 |
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Como continuación del tema iniciado en la entrega anterior, mostraremos con un juego de magia una de las propiedades de la sucesión de Fibonacci, concretamente la que relaciona dicha sucesión con el número áureo, famoso por haberse utilizado como modelo de proporciones en diferentes manifestaciones artísticas. El número áureo, descrito con la letra griega Φ, es la raíz positiva de la ecuación de segundo grado x2 = x + 1.
Para realizar el juego, sigue las siguientes instrucciones:
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- En una hoja de papel escribe un número cualquiera.
- Debajo de él escribe otro número arbitrario.
- Bajo ellos escribe la suma de los dos números anteriores.
- Escribe un cuarto número que sea la suma de los dos últimos números escritos.
- Sigue este proceso hasta que hayas escrito 10 números (cada uno de ellos será la suma de los dos números inmediatamente anteriores).
- Para finalizar, divide entre sí los dos últimos números escritos, el último entre el penúltimo o viceversa.
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Ejemplo:
4
7
11
18
29
47
76
123
199
322 |
Lo creas o no, puedo adivinar las primeras cifras de la parte decimal del resultado: son un 6, un 1, un 8, un 0, quizá un 3.
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La explicación es sencilla: si has dividido el último entre el penúltimo, el cociente es una buena aproximación del número áureo Φ = 1,61803...; si has dividido el penúltimo entre el último, el resultado se aproxima a 1/Φ = Φ - 1 = 0,61803...
La propiedad descrita también es cierta si los dos términos iniciales de la sucesión son arbitrarios, como en el ejemplo anterior.
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