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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En esta segunda columna de la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica, vamos a tratar el recuento y la generación de ritmos con técnicas combinatorias.. En la primera columna [Góm], hicimos una breve recensión de los dos primeros capítulos del libro Computational Models of Rhythm and Meter de Boenn [Boe18]. En el primer capítulo se examinaba la definición de ritmo desde un punto de vista abstracto y filosófico; en el segundo, se definió la notación SNMR. 2. Recuento de listas Esta sección tendrá un carácter indagatorio y orgánico. Empezamos considerando un entero positivo n > 1. Este entero representará el número total de pulsos de nuestro ritmo. Asociado a todo ritmo, tenemos k, otro entero positivo con 1 ≤ k ≤ n, que representa las notas del ritmo o ataques. Así, el ritmo lo representamos por la lista R1 = (2,2,2,3). Marcamos en negrita la palabra lista como definición, la cual quiere decir que el orden de los elementos es importante y distingue entre listas (ritmos). Así, el ritmo R2 = (3,2,2,2) tiene un orden distinto de los elementos y es, por tanto, una lista y un ritmo distintos. 2.1. Permutaciones sin y con repetición Investiguemos las listas un poco más en abstracto (el lector se lo merece). Tomemos un conjunto A = de n elementos donde los elementos son distintos entre sí (esto es, ai≠aj si i≠j). ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Este es un argumento clásico. Para el primer elemento de la lista, tenemos n posibilidades, los n elementos de A. Para el segundo elemento, dado que no podemos usar el elemento de la primera posición, hay n - 1 posibilidades. Razonando así hasta completar la lista entera, llegamos a que hay n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ 2 ⋅ 1. El número anterior se llama factorial de n y se escribe Este argumento se puede ilustrar con el siguiente árbol, donde hemos hecho que A = : El número de listas formadas por un conjunto de n elementos no repetidos se llama permutaciones sin repetición y se designa por Pn. Por lo visto antes, Pn = n!. ¿Qué ocurre si a continuación eliminamos la restricción de la repetición? Supongamos que tenemos un conjunto A de n elementos formado como sigue: donde n = k1 + k2 + … + km. ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Si hay repetidos, esto quiere decir que las permutaciones entre los elementos repetidos del mismo tipo dará lugar a la misma selección. Las repeticiones se quitan dividiendo por las permutaciones de la repetición. Por tanto, el número de listas ordenadas formadas con elementos de A, donde hay m grupos de elementos repetidos es: Este número se designa por PRnk1,…,km, donde k1,…,km son los elementos repetidos En el caso del ritmo de arriba R1 = (2,2,2,3), está claro que el conjunto de listas distintas es: de las cuales hay 4. Si calculamos ese número, obtenemos PR43 = = = 4, como era de esperar. 3. Los ritmos aksak Los ritmos aksak son ritmos que tienen solo dos duraciones posibles en términos de distancias, 2 o 3, y han de contener al menos un 2 y al menos un 3. Este tipo de ritmos aparecen en varias tradiciones musicales, entre ellas la música turca o la música búlgara. Autores como Simha Arom [Aro04], Brăiloiu [Bra51], Cler [Cle94], y en conexión con los ritmos euclídeos Demain y coautores [DGMM+09]. Arom clasificó los ritmos aksak para valores del número de pulsos n entre 5 y 29 y proporcionó una clasificación teórica. En su clasificación de ritmos aksak delinea tres categorías: Un ritmo aksak se dice que es auténtico si n es primo. Cuando n es impar pero no es primo, el ritmo aksak es llamado quasi-aksak. En caso de que n sea par, el ritmo aksak se denomina pseudo-aksak. A continuación listamos algunos ritmos aksak junto con sus categorizaciones (los representamos con la notación de notas y silencios, la notación de distancias y la notación SNMR): Ritmos aksak auténticos: [×⋅×⋅ ⋅ ]= (23))=I-, ritmo que se encuentra en la música clásica y en la música de entre otros Grecia, Macedonia, Namibia o Ruanda. [×⋅×⋅×⋅ ] = (223)=II-, ritmo que se encuentra en la música de Bulgaria, Grecia, Sudán y Turquía. [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(3332)=—I, ritmo que puede oír en la música del sur de la India. [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]= (22223), ritmo que se encuentra en Bulgaria, el norte de la India y en Serbia, por nombrar unos pocos ejemplos. Los ritmos [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(32323)=-I-I- y [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(222223)= =IIIII- se encuentran en la música de Macedonia. Otros ritmos aksak auténticos de la tradición búlgara son: (3232322), (22222223), (32232232), o (323232323). Como ejemplos de ritmos quasi-aksak tenemos: [×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2223)=III-, que se pueden escuchar en la música de Grecia, Macedonia, Turquía o Zaire. El ritmo búlgaro [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2222223)=IIIIII-. Por último, los siguientes son ritmos pseudo-aksak: [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(332)=–I, ritmo que se encuentra con frecuencia, por ejemplo, en la música de África central, Grecia, India, Latinoamérica, África del oeste o Sudán. [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ]=(32322)=-I-II, que se encuentra en música de Macedonia o Sudáfrica. Sea R un ritmo aksak de n pulsos con r doses y s tres. El número de ritmos aksak que hay con esos r doses y s treses es: Además, se cumple la siguiente relación entre n,r y s: Esta última relación es una ecuación diofántica y se puede usar para generar y contar ritmos aksak. Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma c = ax + by, donde a,b,c son números enteros. El siguiente teorema determina cuándo hay solución y cuando existen cómo se calculan las soluciones. Cuando hay solución, existen infinitas soluciones como vemos en el enunciado del teorema. Teorema. Resolución de ecuaciones diofánticas. Sean a,b,c tres números enteros, y sea d = mcd(a,b). Se considera la ecuación diofántica c = ax + by. Entonces: (1) Si d no divide a c, entonces la ecuación diofántica no tiene solución. (2) Si d divide a c, entonces la ecuación diofántica tiene infinitas soluciones de la forma x = x0 + m, y = y0 -m donde m ∈ ℤ y x0,y0 son soluciones particulares de la ecuación diofántica. Aplicando el teorema a la relación (1) de arriba, vemos que el máximo común de 2 y 3 es 1 (son primos ambos números) y, por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución por el apartado (2) del teorema. La solución particular es, por ejemplo, x0 = -n,y0 = n, ya que 2x0 + 3y0 = -2n + 3n = n. Se sigue que la solución general es: Fijado n, basta encontrar los valores de m que dan valores positivos de x,y (recuérdese que un ritmo aksak exige que haya al menos un 2 y un 3). Pongamos el ejemplo de los ritmos aksak de n = 17 pulsos. Según el teorema, las soluciones de x e y son, respectivamente, x = -17 + 3m,y = 17 - 2m. El valor m = 6 es el primer valor para el que x e y son positivos. La taba siguiente muestra los resultados: m x = -17 + 3m y = 17 - 2m Ritmo SNMR 4 1 5 (233333) I- - - - - 5 4 3 (2222333) I I I I - - - 7 1 2 (22222223) I I I I I I I - Tabla 1: Ritmos aksak de 17 pulsos 4. Combinaciones sin y con repetición La diferencia entre una lista y un conjunto es que en la primera el orden importa y en el segundo no. En los conjuntos el orden no importa; de hecho, la definición de conjunto habla de una colección no ordenada de elementos. Sea A = un conjunto de n elementos distintos. El número de listas de tamaño n es, como sabemos, Pn = n!. Si ahora queremos contar el número de subconjuntos tenemos que usar argumentos adicionales para contarlos. En primer lugar, vamos a estudiar cómo contar el número de listas de tamaño k, donde 1 ≤ k ≤ n. Usando el argumento de más arriba, tenemos n posibilidades para la primera posición de la lista, n - 1 para la segunda y, siguiendo este proceso, tendremos n - k + 1 para la posición número k. Por tanto, el número final será n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ (n - k + 1). Este número se llama variaciones sin repetición de n tomados de k en k o más corto V n,k. Este número se puede escribir como: Continuemos. Sea L = (ai1,…,aik) una de esas listas. Cuando esta lista se transforma en un subconjunto, cualquier permutación de L da lugar al mismo subconjunto. Hay k! permutaciones de L y, por tanto, el número de subconjuntos de tamaño de k de A, al que llamaremos Cn,k, es: Se llaman combinaciones sin repetición de conjuntos a los subconjuntos de tamaño k formados con los elementos de un conjunto dado, donde se supone que en el conjunto no hay elementos repetidos. Se designarán por Cn,k o por (n k) . Por último, pedimos al lector que trate de resolver la ecuación donde n,k son números enteros no negativos. ¿Alguna idea? He aquí una ingeniosa idea para resolverla. Consideremos el conjunto formado por un palote ∣ y un signo +. Queremos formar todas las listas distintas con n palotes y k - 1 signos más. Como los palotes y los signos más son indistinguibles entre sí, las listas difieren en la posición de los palotes y signos más. Cada lista da lugar a la solución de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n sin más que contar los palotes entre dos signos más consecutivos. Y viceversa, una solución de x1 + x2 + … + xk = n da lugar a una lista de palotes y signos más. Vamos a contar esas listas pues. En vista de lo aprendido arriba, hay Pn+k-1 = (n + k - 1)! listas. Como se repiten los palotes, de los que hay nk, y las signos más, de los que hay k - 1, tendremos que dividir por n! y (k - 1)!. Así que el número de las listas es: que son las combinaciones de n + k - 1 tomadas de k - 1 en k - 1. 5. Particiones de enteros y ritmos Dado un ritmo de n pulsos, las soluciones positivas de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n nos da todos los ritmos de k notas. La sucesión de distancias de ese ritmo sería sencillamente R = (x1,x2,…,xk). La siguiente tabla muestra cómo se generan ritmos a partir de esta ecuación: x1 x2 x3 x4 x5 Ritmo SNMR 5 (5) H˜- 4 1 (41) H- 3 2 (32) - I 3 1 1 (311) - . . 2 2 1 (221) I I . 2 1 1 1 (2111) I . . . 1 1 1 1 1 (11111) . . . . . Tabla 2: Las particiones de 5 y los ritmos asociados Dado un ritmo R = (x1,x2,…,xk), donde los xi son positivos todos, hay ritmos posibles con esa configuración de distancias. Por ejemplo, del cuarto ritmo de la tabla de arriba (3,1,1) hay 3!∕2! = 3 ritmos distintos, que son (3,1,1),(1,3,1),(1,1,3). Obsérvese que aquí k = 3 porque x4 = x5 = 0. Cuando todas las xi son diferentes, el número de ritmos es simplemente k!.   6. Notación SNMR Cuadro con la notación SNMR: Figura 1: La codificación SNMR (figura tomada de [Boe18]   Bibliografía [Aro04] Simha Arom. L?aksak: Principes et typologie polyphony and polyrhythm. Cahiers de Musiques Traditionnelles, pages 12–48, 2004. [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [Bra51] C. Brailoiu. Le rythme aksak. Revue de Musicologie, pages 71–108, 1951. [Cle94] J. Cler. Pour une théorie de l?aksak. Revue de Musicologie, pages 181–210, 1994. [DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009. [Góm] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (I)
Martes, 17 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Reciente producción no estrenada en España sobre el matemático Stanislaw Ulam y su trabajo en el proyecto Manhattan. Ficha Técnica: Título Original: Adventures of a Mathematician. Nacionalidad: Alemania, Polonia y Reino Unido, 2020. Dirección: Thor Klein. Guion: Thor Klein, basada en el libro homónimo del matemático Stanislaw Ulam. Fotografía: Tudor Vladimir Panduru, en Color. Montaje: Agnieszka Liggett y Matthieu Taponier. Música: Antoni Lazarkiewicz. Producción: Nell Green, Joanna Szymanska y Lena Vurma. Duración:  102 min. Ficha artística: Intérpretes: Philippe Tlokinski (Stan Ulam), Esther Garrel (Françoise Aron), Sam Keeley (Jack Calkin), Joel Basman (Edward Teller), Fabian Kociecki (Johnny von Neumann), Ryan Gage (Robert Oppenheimer), Sabin Tambrea (Klaus Fuchs), Mateusz Wieclawek (Adam Ulam), James Sobol Kelly (Norris Bradbury), Alberto Ruano (Carlos), Richard Mason (George Dyson), Camille Moutawakil (Mici Teller), Sally Cowdin (Irene), Anne-Catrin Märzke (Jacky), Philipp Christopher  (Henry Hitchens), Lucy Bromilow (Molly), Martin Müller (Matemático en Los Alamos), Sonia Epstein (Stefania Ulam), Finbar Lynch (G.D. Birkhof). Argumento La emotiva historia del inmigrante y matemático polaco Stan Ulam, que se mudó a los Estados Unidos en la década de 1930. Stan lidia con las difíciles pérdidas de familiares y amigos mientras ayuda a crear la bomba de hidrógeno y la primera computadora. Comentario Australia, Brasil, Francia, Alemania, Indonesia, Italia, Polonia, Rusia, Emiratos Arabes Unidos, Reino Unido, Estados Unidos. Son algunos de los países en los que se ha estrenado esta película. España no, por supuesto. Para no variar. Aquí sólo se apuesta por superhéroes yanquis, comedias casposas con estrellonas en declive que alguna vez fueron alguien y bodrios ZZZ impuestos por las multinacionales para poder adquirir lo más comercial. Ah, perdonen, que no me había enterado: que el cine en sala está en franca desaparición porque el público sólo consume telefilmes y series de plataformas que sólo desean hacer cuanta más caja, mejor, repantingados en un sofa engullendo cervezas y marranadas de plástico, mientras se leen y contestan whatssapps sin parar. Los dramas, el cine reflexivo, el independiente, la historia desde un ángulo crítico, los problemas sociales, etc., todo eso para freakies amargados (una minoria) que se apañen en algún cine club o festival de cine medio marginal, que es lo que merecen. Por supuesto en el lote entra todo lo relativo a la ciencia y otras sesudas disciplinas. Es lo que hay (aunque el cine ya tuvo otras crisis en los cincuenta con la competencia de la televisión, en los ochenta con los videoclubs, y ha ido sobreviviendo; esperemos que la cosa siga así, renqueante pero no extinta). Y las autoridades competentes (política de por medio) no parecen muy por la labor de ilustrar a los niños y ciudadanos en general sobre qué es una imagen, un producto audiovisual, cómo debe verse y analizarse, qué interés tiene sobre otros medios de comunicación, porqué una pantalla de móvil, de tableta o de televisión no sirve como reproductor para según que filmaciones, etc. Ellos sólo obedecen a intereses partidistas y económicos (aunque luego se quejan de que hay pirateria, sin pensar porqué; es verdad, ¡¡qué despiste!! Pensar no es un verbo adecuado en estos contextos). Acabado el infructuoso pataleo por no poder disfrutar de películas de este tipo comercialmente en nuestro país, vayamos a lo nuestro. El libro Como leemos en el cartel promocional, la película se sitúa en el marco de la bomba H (bomba de hidrógeno), y por tanto, el proyecto Manhattan, sobre el que se han hecho otras muchas producciones cinematográficas. En este caso, el eje sobre el que se desarrolla el argumento es el matemático judío de origen polaco Stanislaw Ulam (13 de abril de 1909 – 13 de mayo de 1984; viene muy a cuento por tanto dedicarle esta reseña de mayo), una de las mayores mentes científicas del siglo XX. Un año antes de fallecer, en 1983, publicó una autobiografía que se ha tomado como base para el guion de la película. Aunque creía que no había edición en español, un compañero de la UVa, Miguel M. Panero, fiel seguidor a estas reseñas me ha hecho llegar la referencia de la editorial Nivola publicada en 2001. En el libro, abundan las reflexiones sobre la utilización y aplicaciones de la física nuclear (desgraciadamente a día de hoy de rabiosa y profética actualidad; es curioso que sea una de las películas que más recientemente se hayan estrenado en Polonia y Rusia, y sin embargo no les haya permeado nada de lo que se reflexiona, sobre todo a los rusos), junto a muchas anécdotas personales. Ulam fue miembro del Laboratorio Nacional de Los Álamos desde 1944, desde el que trabajó y motivó la utilización de la energía nuclear aplicada a distintos avances tecnológicos, como la propulsión de vehículos espaciales (el domingo 1 de mayo, La 2 de Televisión Española emitió el documental El reino de Saturno:la épica exploración de la sonda Cassini; en él se explica que la sonda Cassini se lanzó el 15 de octubre de 1997, es decir, lleva 25 años de viaje, más de una decena de los previstos, ha recorrido 4000 millones de kilómetros, viaja a 124000 kilómetros por hora, y sigue enviando fotografías e información: ¿Cómo hubiera sido posible sin la energia nuclear?). Ulam fue también uno de los primeros defensores de la utilización de ordenadores (computadoras se llamaban por entonces) en el trabajo científico y en la vida cotidiana, y sus contribuciones matemáticas están en campos tan diferentes como la teoría de números, la teoría de conjuntos, la teoría ergódica y la topología algebraica. Desarrolló junto con John Von Neumann el método de Montecarlo, y asimismo lo recordamos como creador de la espiral de Ulam. En la última edición del libro, Daniel Hirsch y William Mathews desvelan en una introducción el papel fundamental de Ulam en la creación del Super, en los albores de la era nuclear, al que se añade un epílogo de su esposa, Françoise Ulam, y Jan Mycielski que arroja nueva luz sobre el carácter y la originalidad matemática de Stan. Una lectura absolutamente recomendable. Asimismo la editorial venezolana Monteávila publicó en 1969 Matemáticas y Lógica de Mark Kac y Stanislaw M. Ulam, de modo que sí están en nuestro idioma los trabajos de divulgación de Ulam, aunque seguramente no sea fácil encontrarlos en la actualidad. La película Dirigida por el cineasta alemán Thorsten Klein (es su segundo largometraje después de Lost Place (2013), película de suspense/terror en la que cuatro adolescentes, buscando un tesoro mediante un GPS, encuentran una estación de torre de radio militar estadounidense abandonada que fue parte de un programa militar secreto con horribles efectos secundarios; no se molesten en buscarla: tampoco se ha estrenado por aquí), se proyectó en la sección oficial del último Bergamo Film Meeting. La película comienza en 1935, cuando Ulam es invitado al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton por el matemático húngaro John von Neumann, Johnny, como Ulam lo llamaba. Aparecen intercambiando comentarios ingeniosos, muy del humor de los matemáticos, y bromeando sin ningún pudor con chistes sobre judios (Ulam era judio). Días antes de que estalle la guerra, Ulam se establece como profesor en Harvard, haciendose cargo de su hermano menor Adam. Los dos hermanos están muy preocupados por su hermana Stefania y sus padres en una  Polonia ocupada por los nazis. En su faceta docente, Ulam disfruta mostrándoles a sus alumnos trucos de cartas basados en la teoría de probabilidad. “El Cálculo es la parte aburrida de las matemáticas”, les dice, “pero podéis hacer cosas fascinantes con él, como ir a Las Vegas y ganar en los juegos de cartas”. En la imagen lo vemos con una baraja en la mano (hay más momentos de ese tipo a lo alrgo del metraje; no en vano, a Ulam le apasionaban los juegos de cartas), frente a sus alumnos. En Cambridge, más adelante, Stan conoce a una estudiante francesa de intercambio, Françoise Aron, con la que acabará contrayendo matrimonio para evitar que regrese a un país ocupado y en guerra. La vida de nuestro protagonista toma un giro inesperado cuando Johnny le propone trabajar en la construcción de una bomba atómica. En Los Alamos tendrá ocasión de conocer a científicos que siempre había admirado, como Robert Oppenheimer, coordinador del proyecto Manhattan, o Enrico Fermi. En Los Alamos su contribución fue importante gracias al desarrollo del método Montecarlo, con el que pudieron realizar simulaciones de procesos físicos como una reacción en cadena con el apoyo de unos primitivos ordenadores que utilizaban para generar cadenas de números aleatorios, aunque previamente (no podía faltar el aspecto dramático que “anime” la acción) es increpado por algún compañero para que aporte algo relevante al trabajo del grupo. Grupo que en varias ocasiones se cuestiona la moralidad de lo que están haciendo (por supuesto el propio Ulam es un hervidero de inseguridades, de dudas, de sufrimiento). Sin embargo, la presión acerca de que los alemanes están trabajando también en una bomba nuclear es su principal motivación: lograr su objetivo antes de que lo haga Hitler. El dilema es: ¿acabar la guerra o acabar con la civilización? Cuando los norteamericanos lanzan la bomba sobre Hiroshima y se conocen sus consecuencias, la culpa aumenta. “Somos científicos, no dioses”, medita en un momento de incertidumbre. En fin, no les destripo más. Según las crónicas del festival mencionado anteriormente, la película está realizada de manera impecable, con un destacado diseño de producción y vestuario. De lo segundo podemos hacernos a la idea a partir del trailer, aunque del resto, insisto, deberiamos verla al completo para juzgar con más información, aunque seguramente ahondará más en el drama ético y moral que en el científico (aunque siempre nos quedarán esas pizarras llenas de matemáticas que tanto gustan a los cineastas, …, como decorado). Les recuerdo que la reseña del próximo mes aparecerá a finales de junio, con la clásica propuesta del Concurso del Verano.¡¡Buenos exámenes para quien tenga que hacerlos, proponerlos y/o corregirlos!!
Lunes, 09 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Alegoría de la Geometría. Palacio Ducal, Urbino) La puerta tiene gran valor simbólico. El umbral separa lo divino de lo humano cuando estamos ante el portal de un templo. Una puerta limita lo público de lo privado y muchas veces indicará lo que hay más allá. Las puertas encierran y a la vez protegen la intimidad. Las grandes catedrales góticas de Chartres, Sens, Auxerre, Burgos, Friburgo, Ruan o París son algunas de las iglesias que tienen portales con alegorías matemáticas. La tradición de puertas matemáticas se mantiene como pone de manifiesto el templo de la Sagrada Familia de Gaudí. Aquí vamos a dejar a un lado los pórticos de los templos y nos limitaremos a mostrar algunas puertas menos grandiosas con interés matemático. La puerta con objetos o alegorías matemáticas hacen patente que entramos en un lugar donde se busca la sabiduría. Alegorías matemáticas en el Palazzo dei Priori de Perugia (Alegorías de la Geometría y Aritmética. Palazzo dei Priori, Perugia) Perugia se autodefine como Ciudad del Arte. Quizá con razón. La Galleria Nazionale dell´Umbria conserva obras del Perugino, Pinturiccio y Piero della Francesca que son imprescindibles. La Galleria se encuentra en el Palazzo dei Priori y se accede desde la calle por el Portale de las Virtudes y las Artes Liberales del siglo XIV. La alegoría de la Geometría muestra un compás y un globo terráqueo mientras la Aritmética, debajo de ella en un cuadrifolio, hace operaciones con una mano y sostiene un pergamino con la otra, probablemente con números que se han borrado. (Portal de las Artes Liberales. Palazzo dei Priori, Perugia) La puerta sapiencial de taracea en Urbino La puerta sapiencial de taracea del Palacio Ducal de Federico da Montefeltro en Urbino nos muestra que vamos a adentrarnos en el mundo del conocimiento. Durante el recorrido de la visita programada, la puerta se ve tras el impresionante studiolo, el mejor en su género, pero en su momento fue el acceso desde el cortile a las habitaciones privadas. La representación de las Artes Liberales en la zona externa muestran su intención: Aritmética, Geometría, Astronomía, Música, Gramática y Dialéctica indican al visitante que se interna en una zona de meditación filosófica y científica. (Puerta de las Artes Liberales. Palacio Ducal, Urbino) La taracea de madera se atribuye, como el resto de la intarsia lígnea del studiolo a Baccio Pontelli (1450-1496) pero se trata de una autoría controvertida. Pontelli fue un buen arquitecto con mucha obra realizada, además fue un adelantado de la nueva fortaleza renacentista. La Astronomía (doncella sujetando una esfera) y la Música ocupan el panel alto. La parte central, la más visible, está ocupada por la Geometría (con compás) y la Aritmética (tablilla de cálculo). Abajo se localizan la Gramática y la Dialéctica. Los diseños son deliciosos y parecen florentinos, como los de Pisa, siguiendo dibujos de los talleres de Botticelli o Lippi. La puerta con poliedros de San Domenico en Bolonia La sillería del coro de la Iglesia de San Domenico en Bolonia es una de las cimas de la intarsia prospettiva del Renacimiento. La taracea lígnea era ya un arte en su cenit. Con Fra Damiano Zambelli casi se alcanza la perfección. La colaboración de Fra Damiano con Vignola (y otros artistas) produce a mediados del XVI obras difíciles de superar. Después de disfrutar del coro y del museo no se deben perder de vista las puertas de la sacristía. La puerta muestra dos poliedros, un rombicuboctaedro y un tetraedro vacío, y además una regla y una escuadra. (Puerta de la sacristía. San Domenico, Bolonia) Las puertas de tarace alemana de San Lorenzo de El Escorial Felipe II encargó a los talleres de Bartolomé Weisshaupt de Augsburgo dos puertas monumentales. El encargado de traer los muebles artísticos de Alemania fue Jeremías, hijo de Wentzel Jamnitzer, el orfebre autor de Perspectiva corporum regularium. Las puertas muestran en su friso y sobre las hojas, al modo de lo maestros italianos, las perspectivas de distintos sólidos geométricos. En el Monasterio de San Lorenzo de El Escorial podemos encontrar representados los sólidos platónicos en la biblioteca, la iglesia y el palacio. Las puertas del Salón de Embajadores en la zona palaciega representan sólidos arquimedianos, destacando tres icosidodecaedros sólidos y uno más con las aristas resaltadas. Quien esperara audiencia con Felipe II se encontraba bien guardado por el icosidodecaedro. (Puerta de la antecámara. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) (Icosidodecaedro. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) Alegorías de las artes liberales en la puerta del Juleum de Helmstedt (Alegorías de las artes liberales. Puerta del Juleum. Helmstedt) La Academia Julia, la primera universidad protestante del norte de Alemania, Baja Sajonia, nos enseña una espectacular puerta de filigrana policroma. La universidad de Helmstedt tuvo sus momentos de esplendor desde 1575 hasta 1625, cuando la peste y la guerra de los treinta años diezmaron la población. En sus mejores años Giordano Bruno dio clase en Helmstedt, y cuando fue decadente universidad provinciana tuvo por alumno a Gauss. Nos fijamos en la puerta, finales del XVI, por su decoración con las artes liberales: Aritmética con tablilla y Geometría mostrando figuras. Los números son todavía romanos, mientras que en El Escorial ya eran arábigos. La puerta no es especialmente bella, tiene un aire de pastel, pero el conjunto de la plaza es admirable. Matemáticas en la Puerta de la Cancillería de Sion (Alegoría de la Aritmética. Puerta de la Chancillería. Sion) La Bourgeoisie de Sion es una curiosa entidad separada de la municipalidad que conservó su identidad medieval tras la Constitución Federal Suiza de 1848. El Hotel de Ville es un sobrio edificio renacentista tardío de 1657. Interesa especialmente la puerta de acceso a la Chancellerie, obra de 1668 del ebanista Antoine Zer Kichen. En el marco externo están representadas Minerva y las siete Artes Liberales con un gracioso diseño. En la Cancillería es donde se reúne el Consejo General del Catón del Valais. Las puertas sapienciales son buen reflejo de la preocupación por el saber en la época: las decisiones colectivas hay que tomarlas con conocimiento. La Astronomía lleva un báculo de Jacob y a sus pies yace un  astrolabio. La Aritmética porta una vara de medir y a sus pies la tablilla con  números. Las sobrepuertas matemáticas del Prado en Madrid Los bajorrelieves que pueden visitarse en la segunda plata del Museo del Prado formaban parte del proyecto decorativo encargado por Fernando VI para el Palacio Real Nuevo de Madrid. El padre Martín Sarmiento, que estableció el programa iconográfico, fue quien diseño cuarenta y seis medallones decorativos como sobrepuertas. (Alegoría de la Matemática. Museo del Prado. Madrid) Los trabajos en mármol no se iniciaron hasta 1753 y no todos pudieron acabarse pues a Carlos III le parecieron excesivos, de forma que en 1760 se paralizó el proyecto. Los medallones conservados se reparten hoy entre el Museo del Prado y la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando.Los contenidos incluían como motivos el conocimiento, la religión, el buen gobierno y las batallas. El Prado exhibe siete de los que destacamos dos: las alegorías de las Ciencias Matemáticas y la Filosofía. La Alegoría de la Matemática fue esculpida por Andrés de los Helgueros y pueden verse dos representaciones del teorema de Pitágoras, la tabla de multiplicar y diversos instrumentos. Puerta volteriana en Cirey sur Blaise Voltaire y Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil protagonizaron en el Château de Cirey sur Blaise uno de los episodios más productivos para la extensión de la física newtoniana en el continente. La marquesa ofreció refugio a Voltaire en su castillo próximo a la frontera alemana y durante unos años (1734-1738) tuvieron allí su lugar de residencia. Cirey fue punto de encuentro de sabios y foco de correspondencia con los principales científicos del momento. Una inmensa biblioteca, hoy desaparecida, y un bello teatro, que se puede visitar, dan cuenta de la actividad de una pareja cuya respeto intelectual se mantuvo intacto tras su relación sentimental. (Puerta diseñada por Voltaire. Château de Cirey sur Blaise) Durante su estancia en Cirey, Voltaire diseñó la puerta principal de acceso, decorándola con motivos alegóricos a las ciencias y las artes. Así, en la parte derecha vemos una esfera armilar para la astronomía y un conjunto de regla, transportador y compás para la matemática. El interior tiene motivos marinos para reflejar el origen de la vida y la unidad del conocimiento. (Detalle de la puerta diseñada por Voltaire. Château de Cirey sur Blaise)
Miércoles, 04 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En las siguientes columnas de matemáticas y músicas vamos a tratar de un tema apasionante: los modelos computacionales del ritmo y la métrica. Este tema ya ha sido tratado en otros artículos de esta columna. Por ejemplo, las medidas matemáticas de la síncopa ([Góm11] y siguientes y también [Góm18b]); medidas de complejidad rítmica ([Góm17] y siguientes); y ritmos euclídeos [Góm18a]. Haremos un examen de esta área a la luz de un libro de 2018, escrito por Georg Boenn, profesor del Departamento de Música de la Universidad de Lethbridge (Alberta, Canadá). Ese libro se llama nada más y nada menos que Computational Models of Rhythm and Meter [Boe18] y la portada se puede ver en la imagen de abajo. Figura 1: Portada del libro Computational Models of Rhythm and Meter [Boe18] Esta serie de artículos sobre el tema en cuestión es a la vez una revisión crítica del libro de Boenn y una exploración en sí misma de los modelos computacionales del ritmo y la métrica. El libro está dividido en varios capítulos que cubren varias áreas de este tema: El capítulo 1 es una introducción en que explica la estructura del libro. El capítulo 2 se titula Phenomenology of rhythm and meter y constituye una reflexión filosófica sobre el fenómeno del ritmo y de la métrica. En el tercer capítulo, el autor sienta las bases de notación para el resto del ritmo. Describe las principales notaciones del ritmo. En este capítulo, ya trata algunas consecuencias cognitivas del ritmo y analiza el fenómeno de la agrupación rítmica. Al final del capítulo, presenta ejemplos musicales reales (cosa que hace a lo largo de todo el libro). Los capítulos 4 a 7 versan sobre los modelos computacionales y matemáticos del ritmo y la métrica. El capítulo 4 trata de la agrupación rítmica; el 5, del uso de la rueda de Burrows-Wheeler como herramienta de análisis rítmico así como de composición; el 6, es un estudio de los ritmos de Cristoffel; el 7, trata las sucesiones de Farey. Los dos últimos capítulos, el 8 y el 9, es un profundo estudio de la métrica, la percepción del tiempo y la cuantización rítmica. Boenn acompaña su libro de un proyecto de código abierto llamado Chunking (https://github.com/gboenn/chunking), donde se pueden encontrar los algoritmos más relevantes presentados en el libro. En esta primera columna glosaremos los capítulos 2 y 3 del libro de Boenn. 2. ¿Qué es el ritmo? “Hay una continuidad causal en la música”. Con esta poderosa afirmación comienza el capítulo 2 del libro de Boenn. En efecto, con una prosa concisa y abstracta, el autor describe cómo el sonido es causa y efecto. Argumenta que un sonido produce un efecto que es a su vez causa del siguiente, cómo el fluir de los sonidos teje una red de relaciones causa-efecto. Todo esto tiene un efecto en nuestra mente en forma de una compleja red de expectativas musicales. Estas expectativas crean entre otras cosas, fuerzas musicales, la tensión y el reposo musicales, en cuya dialéctica se basa mucha de la música existente. Boenn afirma, en referencia a que “si en tiempo de ejecución, esas fuerzas se equilibran por los sonidos durante el paso del tiempo, el fin último de la unidad se habrá alcanzado y la experiencia de la belleza surgirá” (página 7). A continuación, Boenn argumenta que el ritmo está en el centro de esta causalidad y lo hace en su calidad de agente organizador de los eventos musicales. En particular, apela al hecho de que la organización rítmica está relacionada directamente con los modos perceptuales y cognitivos del oyente. Dicha organización temporal de los eventos musicales acaba en última instancia creando significado musical en el oyente. Este autor hace una comparación que me parece particularmente acertada: “el ritmo es a la música lo que la articulación es al lenguaje”. En este capítulo también se aborda el papel del ritmo desde el punto de vista del compositor —como creador de la organización del material musical a través del ritmo—y del intérprete —como transmisor y a la vez oyente también del material musical—. Tras esta introducción de tipo filosófica, el autor se enfrenta a la definición de ritmo. Como muchos otros autores, arranca de la idea de una sucesión ordenada de sonidos en el tiempo. En concreto, Boenn se refiere a pulsaciones quasi-isócronas, haciendo referencia aquí a que lo que se percibe como isócrono, cuando se mide con precisión, resulta no serlo. Se admite el evento isócrono dentro de unos límites temporales y perceptuales. También examina el papel del tempo como elemento que configura la percepción del ritmo, hecho bien conocido. El tempo tiene un papel importante en la percepción del significado musical del ritmo. Si el tempo es demasiado lento, entonces los eventos no se conectan bien entre sí; si es demasiado rápido, los eventos no se perciben como una unidad. Véase el libro de Justin London [Lon04] para un excelente análisis de esta cuestión. Para Boenn, el metro es “la reiteración cíclica de un ritmo simple” (página 8). Como se puede ver, este autor ha optado por una definición abstracta, más bien buscando que sea operativa y aplicable a una gran variedad de situaciones. Imagino que algunos autores se quejarían de una cierta falta de matiz en la definición. Sin duda, para los propósitos de este libro, que son ambiciosos, no obstante, tiene la potencia conceptual suficiente. El autor advierte que los pulsos que constituyen una métrica pueden ser (quasi-)isócronos o no isócronos. Un polirritmo es la superposición de ritmos (página 8). De esta superposición salen patrones musicales que se pueden describir en términos de duración, acento, agrupación, fraseo, timbre, alturas o cambios de armonía. El alineamiento con el metro, que determina las partes fuertes, refuerza la sensación de métrica. En la sección 2.3 de su libro, Boenn se pregunta en qué sentido tiene una pieza forma orgánica. Aquí, tomando una cita de Schoenberg, el autor construye una comparación entre una pieza musical y un organismo vivo (lo apoya incluso etimológicamente). Un organismo vivo nace, vive y muere; una pieza musical tiene una introducción, un desarrollo y una conclusión o cierre. Como ocurre en la biología, donde hay órganos pequeños que contribuyen a crear órganos mayores, una pieza musical está formada por partes pequeñas que contribuyen a un todo musical. 3. La notación del ritmo En el capítulo 3, Boenn estudia la notación del ritmo, tanto desde un punto de vista teórico como práctico, aplicándolo a diversas tradiciones musicales. Presenta el llamado SNMR o notación abreviada de ritmos musicales (shorthand notation for musical rhythms en sus siglas inglesas). Es una forma simple y operativa de anotar ritmos y métricas; el autor presenta una extensión del sistema estándar de SNMR (que está basado en el trabajo del percusionista suizo Giger). El SNMR está basado en la presencia de un pulso y no en las convenciones habituales de la notación musical occidental. Otra ventaja de esta notación es que se puede escribir en texto y en ASCII con suma facilidad. En la sección 3.2, el autor hace una revisión bibliográfica de las principales notaciones que se encuentran en la práctica musical. Lo hace desde un punto de vista histórico, comenzando con la notación de la música árabe y acabando con las notaciones modernas (notación de caja, círculo, etc.). Para describir su sistema SNMR, Boenn empieza por la siguiente codificación de ritmos (tomada del trabajo de Giger), llamada ritmoglifos: Figura 2: Los ritmoglifos de Giger donde los unos representan ataques de notas y los ceros silencios. Estos elementos básicos o primitivas del ritmo son llamados grupos (Boenn usa la palabra inglesa chunk). A continuación, vemos patrones más complejos como consecuencia de la combinación de diferentes ritmoglifos. Figura 3: Combinación de ritmoglifos Originalmente, los ritmoglifos contienen los símbolos de un triángulo y un cuadrado, que no son imprimibles por el código ASCII. Con el fin de hacer el sistema de notación accessible en modo texto, Boenn sustituye estos dos símbolos por otros y amplía el catálogo de símbolos para recoger combinaciones complejas de ritmos. La tabla final es: Figura 4: La codificación SNMR Obsérvese que se supone que la unidad mínima del pulso es la corchea. Posteriormente, incluye divisiones rítmicas de la corchea. En otra tabla, se muestran tales subdivisiones rítmicas. El sistema consiste en poner el número que marca la subdivisión delante de la codificación SNMR. Figura 5: La codificación SNMR de subdivisiones rítmicas En el resto del capítulo, el autor ilustra la potencia del sistema de notación SNMR en varias músicas y compositores, que van desde la música Ewe, la música latinoamericana, los ritmos de la poesía griega, Messian, Beethoven, Mussorgsky, o Debussy. En la figura de abajo, vemos la notación SNMR aplicada a claves de la tradición africana y latinoamericana. La segunda columna marca las distancias entre ataques de notas en un compás de 16 semicorcheas (o equivalentes). Figura 6: La codificación SNMR Como se puede ver, el sistema SNMR es muy práctico para la transcripción, para el procesamiento computacional, para la visualización de los grupos dentro del ritmo, pero no tanto para la interpretación.   Bibliografía [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [Góm11] P. Gómez. Medidas matemáticas de la síncopa - I, octubre de 2011. [Góm17] P. Gómez. Medidas de complejidad rítmica - I, octubre de 2017. [Góm18a] P. Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. [Góm18b] P. Gómez. Más sobre medidas de síncopas, mayo de 2018. [Lon04] Justin London. Hearing in Time. Oxford University Press, Oxford, England, 2004.
Miércoles, 13 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Nueva incursión del cine en el tema de los juegos de apuestas, con una clara conclusión: si les gusta perder dinero, allá ustedes, y los doblajes al castellano, en temas matemáticos, la siguen fastidiando. Ficha Técnica: Título: El Contador de cartas. Título Original: The Card Counter. Nacionalidad: Estados Unidos, Reino Unido, China y Suecia, 2021. Dirección: Paul Schrader. Guion: Paul Schrader. Fotografía: Alexander Dynan, en Color. Montaje: Benjamin Rodriguez Jr. Música: Robert Turner y Giancarlo Vulcano. Producción: David M. Wulf, Braxton Pope, Lauren Mann, John Read y Andrea Chung. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Oscar Isaac (William Tell), Tiffany Haddish  (La Linda), Tye Sheridan (Cirk), Willem Dafoe (Gordo), Alexander Babara  (Mr. USA), Bobby C. King (Slippery Joe), Ekaterina Baker (Sara), Bryan Truong (Minnesota), Dylan Flashner (Sargento Hoskins), Adrienne Lau (Crystal), Joel Michaely (Ronnie), Rachel Michiko Whitney (Nancy), Muhsin Fliah (Traductor Civil), Joseph Singletary (Preso), Kirill Sheynerman (Carcelero), Amia Edwards (Secretario del torneo), Britton Webb (Roger Baufort). Argumento William Tell, ex militar que ha pasado un tiempo en prisión, ha aprendido a jugar allí a las cartas, y de eso vive. Su existencia espartana se viene abajo cuando conoce a Cirk, un joven vulnerable y enojado que busca ayuda para ejecutar su plan de venganza contra un comandante militar retirado, que ambos conocen. Tell ve una oportunidad de redención a través de su relación con Cirk. Con el respaldo financiero de una mujer, La Linda, Tell lleva a Cirk de casino en casino, tratando de enderezar su vida. Pero ese propósito se presenta difícil. Comentario El hilo conductor de la película es la narración del protagonista, William. En apenas unos minutos nos resume cómo ha sido su vida hasta su ingreso en la cárcel, que, aparentemente, lejos de resultarle un martirio, da la impresión de que es el lugar en el que ha logrado adquirir algunos principios y ha llegado a aprender algunas cosas útiles (el primer lugar, dice, en el que ha leido un libro entero; vemos que tal libro es Meditaciones, un conjunto de reflexiones del emperador romano Marco Aurelio, adscrito a la corriente estoica, modelo de vida que asume William, y que veremos es su modelo de comportamiento) para rehacer su vida. Nos confiesa que “Me gustaba la rutina, la planificación. Las mismas actividades a la misma hora, todos los días”. Por otra parte, esa actitud metódica y analítica le lleva a aplicarse en lo que constituirá su furturo: “Fue en la cárcel donde aprendí a contar cartas”. Con esa formación autodidacta, y suponemos, leyendo algún texto específico, nos va dando las líneas maestras de lo que él considera útil respecto a diferentes tipos de juegos de apuestas. Su preferencia entre todos parece ser el Blackjack, del que nos indica lo siguiente: “Lo que diferencia el Blackjack de otros juegos es que se basa en sucesos dependientes, es decir, que el pasado condiciona las probabilidades futuras. La banca tiene una ventaja del 1.5%. Si un jugador sabe qué cartas quedan en el sabot, puede volver la ventaja de la banca a su favor. Para conseguirlo debe llevar la cuenta de las cartas que se juegan. El conteo se basa en un sistema de cartas altas y bajas. Las altas, el 10, la J, la reina y el rey, tiene valor de -1. Si se agotan, la ventaja del jugador se reduce. Las cartas bajas, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6 tiene un valor de +1. El 7, el 8 y el 9, no valen nada. El jugador tiene que hacer un seguimiento de las cartas y llevar una cuenta corriente. Así se obtiene la cuenta verdadera, que es la cuenta corriente dividida por las barajas restantes. Por ejemplo, si la cuenta corriente es +9 y quedan cuatro barajas y media, 9 entre 4.5 te da una cuenta verdadera de +2. Según aumenta la cuenta verdadera, aumenta la ventaja del jugador. La idea es apostar poco cuando no llevas ventaja, y mucho cuando si”. En esta sección ya hablamos de este juego a propósito de la película 21 Blackjack. Recordemos brevemente algunos conceptos, para entender este procedimiento de conteo de cartas descrito en la película que nos ocupa. Blackjack y conteo de cartas El Blackjack es un juego de cartas que consiste en obtener 21 mediante la suma de los valores de las cartas. Las cartas numéricas suman su valor, las figuras (J, Q, K) suman 10 y el as puede tomarse como 11 o como 1 si el primero hace al jugador pasarse de 21 en la jugada total. Si se consigue 21 con sólo dos cartas se considera Blackjack (con un As y una K, por ejemplo) y gana automáticamente. Se juega en una mesa semicircular con capacidad normalmente para 7 jugadores, cada uno de los cuales dispone de un casillero marcado en el tapete para realizar su apuesta antes de cada mano. Hay varios sistemas de conteo de cartas. El descrito en la película es el básico. Si la totalidad de la baraja se suma de esta manera, la cuenta final tendrá como resultado 0. Obsérvese que hay cinco cartas por palo que nos dan +1, y otras cinco que nos dan -1 (en la película, tanto en la versión original como en la doblada, falta considerar el As con -1). El total por baraja es entonces +20 para las cartas Bajas, y -20 para las Altas. Este método de conteo de cartas le permite al jugador conocer cuáles cartas quedan (a grandes rasgos) en la baraja, si son cartas Altas o cartas Bajas. Cuando estemos a la mitad de una baraja, si el valor de la cuenta es alto, significa que quedan más cartas Altas que Bajas. Como indica William, esto representa una ventaja para el jugador, mientras que si el valor es bajo, quedan más cartas Bajas por salir, y por lo general le da ventaja al crupier. Sobre la base de este conocimiento el jugador puede doblar la apuesta en el momento justo. Hay muchos sistemas de conteo. Entre los que más alegrías pueden dar al jugador está el Sistema de Conteo de Cartas Uston SS, en el que en vez de establecer sólo tres valores (-1, 0, 1) hay seis (-2, -1, 0, 1, 2). En cualquier caso la dificultad no está en las matemáticas (sólo saber llevar una cuenta), sino en la correcta memorización. El pionero en estos análisis fue, en la década de los sesenta del siglo pasado, Edward Oakley Thorp, un matemático empleado de IBM (el de la foto) que simuló en ordenador millones de manos jugadas, llegando a la conclusión de que cada mano particular tiene una forma única de jugarse correctamente. Thorp publico el libro Beat the Dealer (1962) en el que explicaba sus métodos. Entonces, los casinos se pusieron un poco nerviosos y comenzaron inmediatamente a tomar contramedidas. Antes del libro, se jugaba con una sola baraja repartida a mano. A partir del libro los casinos introdujeron más barajas, que se repartían dispensadas desde un sabot. Aunque esto dificulta algo la labor de los contadores, no fue suficiente, ya que la suma algebraica para determinar la cuenta puede ser válida con una, con seis y aún con más barajas, como nos indica William en la película. Los casinos introdujeron entonces la carta de corte. En el Blackjack repartido con sabot, se introduce una tarjeta coloreada, que cuando aparece marca el momento en el que a la siguiente mano el croupier barajará e iniciará un nuevo sabot, otra vez con todas las cartas en juego. La posición en que se coloque esa tarjeta (sea más cercana o más lejana al final de las seis barajas) determinará el momento en que hay que volver a barajar. Lógicamente en ese momento el contador tiene que abandonar la cuenta y disponerse a comenzar una nueva con el nuevo sabot a repartir. Cuanto antes aparezca la tarjeta de corte, y en consecuencia menos cartas se hayan repartido, al contador le será más difícil obtener cuentas altas. Por si acaso esta medida no fuera suficiente, en muchos casinos cuando sospechan la presencia en una mesa de un contador, le indican al croupier que coloque al barajar la carta de corte más cerca, lo que hará que, aunque se repartan menos manos en cada sabot, será más difícil obtener cuentas altas para los contadores. A pesar de que la estrategia de conteo de cartas no es considerada como ilegal en ninguna parte del mundo, la paranoia de muchos de los casinos a nivel mundial en este tipo de comportamientos, en especial en los casinos de Las Vegas, los ha llevado al punto de expulsar a los jugadores que consideran que están contando cartas, y hasta han aparecido empresas que ofrecen sus servicios a los casinos, especializadas en la detección de los contadores, con generación de archivos, y oferta de estos archivos para identificar a los contadores en la recepción del casino e impedirles el acceso, amparándose en el derecho de admisión. En la narración de William se afirma que La banca tiene una ventaja del 1.5%. El porqué de esta ventaja viene dado por el hecho de que repartidas las cartas, el jugador es el que primero debe tomar una decisión. La banca va a ganar siempre que el jugador sobrepase los 21 puntos, lo que ocurre un 2% de las veces. Una gran ventaja aunque parezca un porcentaje bajo. Los jugadores profesionales intentan reducir al máximo esa ventaja, lo que en el mejor de los casos está entre un 0.2 y un 0.5%. De ahí el comentario. En internet hay muchas páginas que explican formas de paliar esa ventaja, por lo que el lector interesado puede consultarlas sin mucho esfuerzo. Se reproducen a continuación otros momentos de la película, en la que hay algún comentario relacionado con las matemáticas, en algunos casos lejano, pero significativo sobre todo de cómo son las posibilidades de los jugadores frente a este tipo de juegos (recuerden: estos juegos no se diseñaron para que usted gane, sino para que ganen los dueños de los locales). La oferta de La Linda La Linda: Te he visto jugar. Cuentas cartas, ¿verdad? William: No soy tan listo. La Linda: Pero ganas. Así que cuentas cartas. ¿Cómo haces para que no te capen? William: Me ha pasado alguna vez. La Linda: Pero aquí estás. William: Si, bueno, es cuestión de grados. A la banca no le importan los que cuentan cartas. Ni siquiera los que las cuentan y ganan Lo que no soportan es que cuentes cartas y ganes un pastón. Todo depende de cómo y cuánto ganes. Yo no peco de ambicioso. Entonces le propone financiarle el juego, y William razona del siguiente modo William: Hay un problema con los bancadores. Ponen el dinero y las ganacias se reparten. Hasta ahí bien.  Pero si pierdes, tienes que pagar las pérdidas con ganancias futuras, lo cual es lógico. Pero vas cogiendo lastre. Si miras en cualquier página de poker on line, los diez primeros habrán ganado millones, pero la mitad estarán con el agua al cuello. Con una deuda irrecuperable. William: Hay cierto peso que un jugador va acumulando cunado acepta un bancaje. Es igual que el lastre que acumula cualquier persona endeudada. Aumenta y aumenta. Tiene vida propia. Un hombre puede también acumular cierto lastre moral por los actos que cometió en el pasado. Y ese lastre nunca se puede soltar. Sobre el póker William: En el póker, el jugador no juega contra la banca, sino contra otros jugadores. La banca se lleva una parte. Hacen falta dos cosas: conocer las probabilidades matemáticas y conocer a tus rivales. La clave es esperar. Pasan las horas y los días, mano tras mano, cada una igual que la anterior. Hasta que ocurre algo. Sobre la ruleta William: Para un novato lo más seguro es apostar al negro o al rojo en la ruleta. La probabilidad es del 47.4%. Ganas y te largas. Pierdes y te largas. Es la única apuesta inteligente en un casino. ATENCIÓN: El error de siempre de los dobladores de las películas. Una probabilidad es un valor entre 0 y 1, no es un porcentaje. Vamos a la versión orginial, y la frase es: The odds are 47.4 %. Absolutamente correcto. Las GANANCIAS son del 47.4%. ¿A quien hay que quejarse para que en la sala de doblaje se hagan las cosas correctamente? Sobre las apuestas deportivas William (a Cirk): Las apuestas deportivas son un mundo aparte. Pueden llegar a jugarse unos 100 partidos a la vez en todo el mundo, y esa es mucha información. Los algoritmos que tiene aquí son mejores y más rápidos que tú, asi que, a menos que te llegue un soplo, las apuestas deportivas se hacen por diversión. Aquí tienes 200 pavos. Elige a dos equipos, apuesta un poco, y disfruta. Yo voy a jugar al Blackjack. Curiosidades varias 1.- El nombre que adopta el protagonista (que no es su verdadero nombre como descubriremos al final), William Tell, es una referencia al famoso héroe popular suizo (el que ponía la manzana sobre la cabeza de su hijo, ¿recuerdan la historia?). Según la leyenda, Tell fue un experto tirador con la ballesta que mató a Albrecht Gessler, un tiránico juez de los duques austriacos de la Casa de Habsburgo asentado en Altdorf, en el cantón de Uri. El desafío y el tiranicidio de Tell alentaron a la población a rebelarse y a pactar contra los gobernantes extranjeros con los vecinos Schwyz y Unterwalden, lo que marcó la fundación de la Confederación Suiza. 2.- Según el director, Paul Schrader, el nombre de William Tell también es una referencia al término de póquer homónimo: "Tell", es un cambio en el comportamiento de un jugador que algunos afirman que da pistas sobre la evaluación de la mano de ese jugador. Un jugador obtiene una ventaja si observa y comprende el significado de la indicación de otro jugador, particularmente si la indicación es inconsciente y confiable. A veces, un jugador puede fingir una señal, con la esperanza de inducir a sus oponentes a hacer malos juicios en respuesta a la señal falsa. Más a menudo, la gente trata de evitar dar una señal, manteniendo una cara de póquer sin importar cómo sea de fuerte o débil su mano. 3.- El verdadero apellido de William, Tillich, podría ser una referencia a Paul Tillich, un filósofo existencialista cristiano germano-estadounidense y teólogo protestante luterano, considerado uno de los teólogos más influyentes del siglo XX. Tillich es mejor conocido por sus obras The Courage to Be (1952) y Dynamics of Faith (1957), que introdujeron temas de teología y cultura al público general. Es también conocido por su importante obra de tres volúmenes, Teología sistemática (1951-1963), en la que desarrolló su "método de correlación", un enfoque que explora los símbolos de la revelación cristiana como respuestas a los problemas de la humanidad (el comportamiento del protagonista/narrador de la película cuadra con esa personalidad). A diferencia de las principales interpretaciones del existencialismo que enfatizan la prioridad de la existencia sobre la esencia, Tillich consideraba el existencialismo "posible solo como un elemento en un todo más grande, como un elemento en una visión de la estructura del ser en su bondad creada, y luego como una descripción de la existencia del hombre dentro de ese marco”. 4.- La Serie Mundial de Póquer (WSOP) es una serie de torneos de póquer que se celebran anualmente en Las Vegas. A partir de 2020, la WSOP consta de 101 eventos, con la mayoría de las principales variantes de póquer presentadas. Sin embargo, en los últimos años, más de la mitad de los eventos han sido variantes del Texas Hold'em. Los eventos tradicionalmente tienen lugar durante un día o durante varios días consecutivos durante la serie en junio y julio. 5.- Precisamente, la primera habitación de motel en la que se registra Bill es la habitación 101, que a su vez es la notoria cámara de tortura de 1984 de George Orwell. 6.- Hay un personaje en la película que se llama El Gordo de Minnesota (referencia al personaje de la película El buscavidas; ya saben la de Paul Newman del billar) que es el antagonista allí de "Fast Eddie" Felson.  El antagonista de El contador de cartas se llama Major John Gordo. Comentario Final Independientemente de todo esto, siendo una película sobria, de bajo presupuesto, nada espectacular por tanto, sin ser una maravilla, es de lo poco salvable de las producciones últimas norteamericanas, llenas de remakes (historias ya sobradamente conocidas y en general, peores que las versiones previas) y de biopics falseados que poco o nada interesan por estos lares. Pero bueno, para gustos, los colores. Aquí pueden ver el estupendo trailer, que, parece que no cuenta nada, pero que, vista la película, está entera.
Martes, 05 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Alegoría de la Aritmética. Salón de la paz. Münster) Virgilio Solis (1514?-1562) fue un prolífico grabador alemán de Núremberg. Uno de sus creaciones fue una representación de las Artes Liberales (1550) en actitud danzante. La alegoría tuvo gran éxito y podemos encontrarla en cerámica, ebanistería, en taracea o sobre metal. (Virgilio Solis. Alegoría de las Artes Liberales. 1550) Marciano Capella, el escritor tardo-latino que diseña las alegorías las presenta en forma de cortejo. Las figuras alegóricas femeninas danzantes no eran una rareza ya que se encuentran en distintos lugares, valga de muestra Apolo y las musas de Giulio Romano, el discípulo predilecto de Rafael. (Giulio Romano. Apolo y las musas. Copia del XIX) La Aritmética en el centro porta la tablilla y una pluma, le sigue la Música con lira y caramillo, luego la Geometría con compás y tablero y por último la Astronomía globo y señalando el cielo. Vamos a seguir las copias de Virgilio Solis a través de la alegoría de la Geometría. Las jarras renacentista de Mennicken El taller de cerámica de calidad de la familia Mennicken en la ciudad de Roeren tuvo su máximo esplendor en la segunda mitad del siglo XVI. Roeren se localiza en una zona de lengua alemana próxima a Lieja y que hoy forma parte de Bélgica, constituyendo con otros pueblos una pequeña comunidad con parlamento propio. (Baldem Mennicken. Detalle. Alegoría de las Artes Liberales. Rijskmuseum) La Jarra de las Virtudes y las Artes Liberales es una buena muestra del virtuosismo de Baldem Mennicken. Comentamos el ejemplar que se encuentra en el Rijksmuseum de Ámsterdam; podemos encontrar otra similar en el Victoria & Albert de Londres. El molde se utilizó para distintas formas de jarros. Las Artes Liberales aparecen danzando y luciendo sus atributos tal como las representa Solis y con el mismo orden pero con simetría derecha/izquierda en cada figura: el molde se haría con la forma del grabado. (Baldem Mennicken. Alegoría de las Artes Liberales. Rijskmuseum) Las matemáticas danzantes en Pillnitz En el Castillo de Pillnitz, que el crecimiento urbano ha hecho ya parte de Dresde, se encuentra también un jarrón de estaño con la representación de las Artes Liberales según las diseñó Virgilio Solis. El Castillo de Pillnitz, en realidad un palacio con tres pabellones a orillas del Elba, fue la residencia veraniega del Elector de Sajonia desde el siglo XVIII. El Museo de Artes Decorativas (kunstgewerbemuseum) de Sajonia se ha instalado en el interior. La jarra de las artes es un depósito de carpintero en estaño que fue fabricado en 1564 por un artífice anónimo de la ciudad de Schweidnitz, que hoy es la polaca Świdnica. En la parte inferior del recipiente hay un grifo de latón, la altura alcanza el medio metro. El orden de las figuras es el del grabado: astronomía, geometría, música,...La Geometría es la que mejor se aprecia con su compás hacia arriba y una tablilla. (Jarra de carpintero. Alegoría de las Artes Liberales. Pillnitz) Las Alegorías de las Artes en el Salón de la Paz de Münster La Paz de Westfalia, que ponía fin a la Guerra de los treinta años, se acordó en 1648 en el Ayuntamiento de Münster. El lugar donde se firmó es hoy conocido como el Salón de la Paz. (Alegoría de la Geometría. Salón de la paz. Münster) Los negociadores ocuparon un acogedor recinto de escaños de madera decorada con paneles de los santos y la sabiduría de las Artes Liberales. El trabajo de ebanistería es renacentista y está datado de 1577. Una gran chimenea de piedra, presidida por la Justicia, también renacentista, completa la decoración. El Ayuntamiento quedó arrasado por los bombardeos de 1944 y 1945 pero para entonces ya se había puesto a salvo su bella decoración. Tapiz y taracea del Museo Nacional Bávaro en Munich El Bayerische Nationalmuseum, fundado por Maximiliano II en 1855, debe contemplarse en toda visita a Munich. La colección es variada y de gran interés, incluido el matemático. No faltan los instrumentos científicos y objetos con representaciones alegóricas a las matemáticas. (Alegoría de la Geometría. Museo Nacional Bávaro. Munich) Un gran armario decorado en taracea tiene un panel con una alegoría de la Geometría con compás, tablilla y que descansa sobre un globo terráqueo. Se ha seguido a Virgilio Solis pero la esfera inferior resalta que se trata de medir la Tierra. Las actuales ciudades bávaras de Núremberg y Augsburgo fueron los grandes talleres exportadores de manufacturas. Alegorías matemáticas en la Casa Storre de Hildesheim El Renacimiento trajo consecuencias en la mentalidad y percepción del mundo que en muchos casos se plasmaron en las propias fachadas de los edificios. Varios casos singulares de ingenua belleza se encuentran en algunas casonas de los tradicionales entramados de madera de la Baja Sajonia alemana. Una cultura que se debate entre la ciencia y la superstición, entre lo religioso y lo profano, o entre lo clásico y lo moderno. El Wedekindhaus (también Casa Árabe o Storrehaus) era una casa de entramado de madera de estilo renacentista en el lado sur de la histórica Plaza del Mercado en Hildesheim. La plaza está formada por edificios de gran belleza con estilos que se complementan y que han sido reconstruidos completamente ya que el bombardeo de Hildesheim del 22 de marzo de 1945 destruyó todo el recinto. (Alegoría de la Geometría. Casa Storre. Hildesheim) La casa original fue construida en 1598 por el comerciante Hans Storre como sede de su residencia y su tienda almacén. La iconografía pone de manifiesto que los comerciantes eran punta de lanza de las nuevas ideas y que sabiduría y actividad económica podían estar ligadas. La reconstrucción se realizó en los años ochenta para sede de la Caja de Ahorros con la aspiración de ser  fiel a la primitiva. No disponemos de fotos anteriores con detalle suficiente para apreciar si se ha cambiado en algo la representación. En el primer nivel se representan las Virtudes, en el segundo las Artes Liberales y el tercero los Elementos. La alegoría de la Geometría se representa con tablilla y compás. Se trata del dibujo de Virgilio Solis adaptado: tras el baile llega el descanso y la Geometría reposa.
Viernes, 01 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. El infinito Con frecuencia reflexiono sobre las similitudes y las diferencias entre las matemáticas y la música. Creo que una de las diferencias más notables es la presencia del infinito. El infinito está omnipresente en las matemáticas. Todo se puede llevar a extremos infinitos. El infinito lo encontramos en los números naturales, en los enteros, en los racionales; por supuesto, en los reales y en los complejos. Cualquier espacio de funciones va a ser infinito así como muchas estructuras discretas. Por ejemplo, en computación se estudia la complejidad de los algoritmos en función del tamaño n de la entrada (el número de datos de entrada). Esto podría parecer que es finito y, aunque lo es, es necesario estudiar la complejidad cuando n tiende a infinito, la llamada complejidad asintótica. Más ejemplos de la presencia del infinito en las matemáticas se pueden encontrar fácilmente. Así, pues, el infinito es ubicuo en las matemáticas. ¿Y en la música? Parece que no, que la música tiene una naturaleza esencialmente finita. Para empezar, el universo de frecuencias es finito. El oído humano puede captar frecuencias entre 20 Hz y 20.000 Hz. Fuera de este rango la música, sencillamente, no ocurre. En cuanto al ritmo, algo similar ocurre. Las duraciones que podemos percibir son finitas, aunque es asombroso que el oído humano, especialmente el de un músico experto, pueda detectar diferencias en ritmos del orden de milisegundos. La memoria melódica es corta también así como la armónica. Véanse [Deu07, Deu12, Ben06] para más información sobre los mecanismos perceptuales de la música en humanos. El ser humano parece ser en su vertiente perceptual un ser finito, de capacidad perceptual finita, pero en cambio es capaz de trabajar y concebir el infinito cuando contempla este desde un punto de vista matemático, como abstracción o como concepto. Creo que esta es una diferencia fundamental entre las matemáticas y la música. 2. Belleza Hay algo que une a las matemáticas y a la música: su capacidad para generar belleza. Ambas disciplinas producen bellezas de diversas formas, que algunas veces son coincidentes y otras claramente no. Una de las principales formas en las matemáticas viene dada por la belleza que produce el entendimiento. Cuando un problema matemático se resuelve con claridad y profundidad, genera belleza. La prueba de Euclides de que hay infinitos números primos es bella sin lugar a discusión. Hay una estética, un sentido de la belleza, en la producción de resultados matemáticos. Con frecuencia los matemáticos hablamos de la belleza y la elegancia de una prueba, que es a la vez una combinación de la originalidad de las ideas y la elocuencia de la forma. En la música, la belleza viene dada por la propia estructura de la música y por su efecto cognitivo, perceptual, emocional y cultural. 3. La belleza de las matemáticas y la música - Charla TED de Marcus Miller En la columna de hoy queremos glosar la charla de Marcus Miller titulada The beauty of mathematics and music (La belleza de las matemáticas y la música) y que está disponible más abajo. La razón de nuestro interés es que habla de los temas de esta columna: las matemáticas, la música, el infinito y la belleza. Marcus Miller es músico talentoso, virtuoso del saxofón, que empezó a tocar a los nueve años de edad y a los trece ya estaba en el circuito profesional del jazz. Además, de eso fue a la Universidad de Harvard donde obtuvo un grado en matemáticas. Véase su página web [Mil22] para más información sobre su fascinante biografía. Figura 1: The beauty of mathematics and music - Marcus Miller En los primeros minutos, Miller dice lo siguiente (en inglés original y luego mi traducción): Hello I’m here today to talk to you about beauty in music and in mathematics. However, in order to get to the big takeaway, we are going to have to take two cold showers together, that is to say, we are going to have to address two sticking points that typically arise in this discussion. First cold shower is that most people are terrified of mathematics. For many of you at some point someone pointed a finger at you and told you that you weren’t smart enough to understand it or perhaps that you didn’t really need math in the real world so you were fine not knowing it. Often, that person was you. (Hola, estoy aquí hoy para hablaros sobre la belleza en la música y las matemáticas. Sin embargo, antes de llegar a esa gran cuestión, vamos a tener que darnos dos duchas de agua fría juntos; es decir, vamos a tener que superar dos escollos que típicamente aparecen en esta discusión. La primera ducha de agua fría es que la mayor parte de la gente se horroriza ante las matemáticas. Para muchos de vosotros en algún momento alguien os señaló con el dedo y os dijo que no erais los suficientemente listos para entenderlas o quizás que en realidad no necesitabais matemáticas en el mundo real de modo que estaba bien si no las sabíais. Con frecuencia, esa persona eras tú.) Con esta pequeña introducción, Marcus Miller trata el problema de la autoestima matemática y de la enseñanza de las matemáticas. Sin embargo, esta vez no señala como culpables a los profesores (que con frecuencia lo son) o al sistema (que siempre lo es); no, esta vez señala al propio aprendiente. Es este un tema importante y fascinante a la vez, pero la charla no va por ahí. Menciona esto como impedimento para apreciar la belleza en las matemáticas. En la parte central de la charla, Marcus Miller cuenta de una manera divulgativa e instructiva algunos hechos paradójicos sobre el infinito. Cuando estamos tratando con conjuntos finitos, las cosas son lo que esperamos. Por ejemplo, si A es un subconjunto de un conjunto finito B y A es distinto a B, entonces claramente el número de elementos (el cardinal) de A es menor que el de B. ¡Esto no pasa con los conjuntos infinitos! Miller en su charla prueba que: El conjunto de los números pares tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales; El conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números enteros; El conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números racionales; El conjunto de los números reales tiene mayor cardinal que el conjunto de los números naturales. Entre medias de estas pruebas toca música llena de belleza con su saxofón (minuto 10:33, por ejemplo). En el minuto 12 y siguientes Miller hace un elogio de la imaginación y su fuerza como motor de la belleza. De hecho, tras explicar los hechos sobre el infinito pregunta al público cómo se sienten al conocer esos hechos. Más tarde, enumera unos cuantos campos científicos que tienen relación fuerte y directa con las matemáticas (desde teoría de la señal a matemática discreta). De hecho, llega a mencionar ideas matemáticas que han servido para el análisis musical e ideas musicales que han servido de germen a la investigación matemática. Sin embargo, rechaza el lugar común de que las matemáticas son iguales a la música (en el minuto 13:22; yo lo rechazo igualmente). Continúa desmitificando varias de estas relaciones exageradas entre ambos campos, en particular, el llamado efecto Mozart. Miller afirma que “parece que la relación entre el conocimiento matemático y musical es interesante, pero no particularmente fundacional”. Es realmente interesante la posición que mantiene en los minutos15:30 y siguientes sobre la conexión entre matemáticas y música. Mantiene que uno de los puntos de conexión entre ambas disciplinas es el placer que supone su aprendizaje. No puedo estar mas de acuerdo con Marcus Miller. Bibliografía [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Deu07] Diana Deutsch. Music perception. Frontiers In Bioscience, 12:4473–4482, 2007. [Deu12] Diana Deutsch. In Diana Deutsch, editor, The Psychology of Music (Cognition and Perception), pages 183–248. Academy Press, San Diego, 2012. [Mil22] Marcus Miller. Image with Marcus Miller. https://imaginewithmarcus.com/, accedido en marzo de 2022.
Martes, 15 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
En esta ocasión nos acercamos a un cortometraje de gran calidad técnica y muchas más matemáticas que otras películas de renombre. Ficha Técnica: Título Original: The Mathematician. Dirección: Frank Zhao. Guion: Frank Zhao. Fotografía: Yao Xiao, en Color. Montaje: Frank Zhao. Música: Jacky Zhang. Duración: 8 min. Ficha artística: Intérpretes: Frank Zhao (El matemático), Jacky Zhang (El músico), Emilia Bajer (La diseñadora), Josie Dixon (La reina), Harry Butcher y Charlotte Roderick (Los enamorados), Pip Southey (Amigo de amigos),  Ryan Su (Hombre de negocios). Descripción Un joven camina por el pasillo de un edificio que parece un instituto. Se oye hablar a varias personas que hacen cola al lado de una puerta, y él mismo se incorpora a dicha cola. Esperan su turno para entrar a hablar con alguien que quizá pueda resolverles sus problemas. Al traspasar la cámara la pared, vemos a un joven sentado en una mesa escribiendo. Asistimos entonces a un amplio listado de objetos que se encuentran en la habitación: libros de matemáticas (concretamente uno de Cálculo Diferencial, y otros abiertos), una estanteria llena de ellos, una etiqueta de un pedido de regletas geométricas, estuches de tizas de colores, cajas de folios (vemos etiquetada en una de ellas la palabra hipótesis), una cinta de video etiquetada como Matemáticas Especializadas,  cats 2 & 3, gráficas de espirales, un tablero de backgammon con dado y fichas de cierta antigüedad por su estado y su cabecera de madera, folios, diapositivas antiguas,  otra caja etiquetada como Criptografia (material reservado), juegos de espejos, una esfera armilar, ejercicios de geometría, … En todo este despliegue, no deja de sonar la música original de los autores. La cámara nos acerca entonces a un joven que no deja de escribir, apareciendo entonces el título del cortometraje, que es el cartel que tiene a la puerta de su despacho. Entra entonces el primero de la cola que se sienta y le hace una pregunta en chino, que no entendemos ni aparece subtitulada. El matemático le pide que le deje pensar un segundo. Al volver la cámara, ya no está ese personaje, sino que vemos a una chica que pregunta por un diseño de un logo porque a ella no le surgen ideas para hacerlo. Un nuevo movimiento de cámara nos muestra otra joven vestida como la reina de Inglaterra (de hecho se dirigen a ella como Su Majestad) que dice que su reino está enfrentado a un asunto grave sobre qué metodos pueden utilizarse para reducir el uso de plásticos. A continuación el matemático deja de hojear un libro, y con una amplia sonrisa responde: cuatro tercios (4/3). La pantalla se divide entonces en tres partes, cada una con uno de los personajes anteriores (el músico, la diseñadora y la reina) y los tres exclaman extrañados: ¿4/3? Entonces pasa a explicar a cada uno el motivo de su respuesta. En el caso del músico, explica que por 4/3 quiere indicar que por cada cuatro toques de un determinado sonido hay que tres de otro diferente a la vez, y después mezclarlos. El músico entonces comienza a imaginar cómo quedaría (nosotros lo oimos), quedando satisfecho con la respuesta. En el caso de la diseñadora, le pasa una tableta en la que vemos cómo se genera una curva de Lissajous, a la vez que le dice que el punto del círculo de la izquierda se mueve exactamente cuatro tercios más rápido que el inferior, generando así la curva. En efecto, como sabemos, esas curvas se obtienen cuando se superponen dos movimientos armónicos en direcciones perpendiculares. Fueron descritas y analizadas por Nathaniel Bowditch en 1815 (por eso también se conocen como curvas de Bowditch) y después, con mayor profundidad, por Jules Antoine Lissajous. Se suelen expresar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas: donde A y B son las amplitudes, wx y wy son las frecuencias angulares, respectivamente, y δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos. Es cierto también que se utilizan frecuentemente como logotipos, como los de la Australian Broadcasting Corporation (A = 1, B = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT (A = 8, B = 6, δ = 0). Hasta la llegada de aplicaciones informáticas, las curvas de Lissajous se trazaban mecánicamente por medio de un armonógrafo. Finalmente la explicación dada a la reina, es que el volumen de la esfera es, como sabemos, (4/3)πR3 y la esfera es la superficie con el menor área que encierra el mayor volumen. La reina deduce entonces que si fabricaran botellas esféricas, se podría eliminar un montón de plástico. A todos parece satisfacerles la respuesta común del matemático. Aparece entonces un joven angustiado porque la chica que le parece maravillosa, ideal para él, no le hace demasiado caso. Vemos por cierto a la chica en cuestión, según la describe, resolviendo ejercicios de matemáticas. El matemático le explica que, aunque desearía que tuviera el cien por cien de posibilidades de que le hiciera caso, estima que la probabilidad de que una chica empollona como esa se fijara en un horterilla como él es cero. Y sigue diciendo que la media geométrica de su relación será la raíz cuadrada de cero veces cien, lo cual es también cero. El chico asume que el asunto es por tanto imposible. Pero antes de irse, le da un papel en el que aparece escrita una ecuación que podría hacer elevar la probabilidad de que esa chica se fijara en él un 50%, y entonces la media geométrica de su relación sería de 70.71%. No es mala, le dice, pero es lo más que puede hacer. El chico se lleva el papel con la ecuacuión muy contento. Al cabo de un rato una preocupada chica entra preguntando porqué todos sus amigos tienen más amigos que ella. El matemático le responde que la paradoja de la amistad es un tema interesante. Para explicarla porqué sucede recurre una red que vemos sobreimpresionada en la pantalla, como vemos en la imagen. Le va describiendo porqué sucede, y cuando lo precisa,  chasqueando los dedos, van apareciendo al otro lado de la imagen las expresiones matemáticas que lo demuestran, via la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sin ser tan riguroso, una explicación que se entiende bastante bien es que la mayoría de la gente tiene pocos amigos, mientras que una cantidad pequeña de personas tienen muchos amigos. Este pequeño grupo es el que produce la paradoja. Es más probable que quienes tienen muchos amigos se encuentren entre tus amigos, y cuando es así, hacen que aumente significativamente la cifra media de amigos de tus amigos. Por eso, de media, tus amigos tienen más amigos que tú. Después aparece un compatriota chino del matemático que le dice que está interesado en crear un motor de búsqueda chino. Aunque actualmente tenemos a Google, argumenta, nunca se sabe cuánto va a durar. Para eso le pide ayuda. El matemático le va a dar unas indicaciones sobre cómo funciona Page Rank, junto a un ejemplo concreto. Vemos con detalle las explicaciones para el caso de cuatro websites representadas mediante un grafo dirigido de cuatro nodos. Cuando uno de los sitios establece conexión con otro, lo asignamos una arista. En el modelo descrito, cada página transfiere uniformemente su información a las páginas a las que se vincula. El nodo 1 tiene tres aristas salientes, por lo que es relevante para cada uno de los otros tres nodos. El nodo 3 sólo tiene una arista de salida, por lo que le pasará toda su información unicamente al nodo 1. En general, si un nodo tiene k aristas de salida, pasará su importancia a cada uno de los nodos a los que enlaza, y el peso de cada arista se reparte uniformemente como 1/k a cada una (ver imagen). Después se describe la matriz de transición A asociada al grafo y se establece un vector inicial v con todas las  entradas iguales representando que cada web tendría inicialmente las mismas posibilidades de acceso para un hipotetico internauta. Cada enlace entrante aumenta la importancia de una página web, por lo que en un primer paso, se actualizaría el rango de cada página agregando al valor actual la importancia de los enlaces entrantes, lo que se logra con el producto A‧v. Iterando el proceso varias veces, haciendo los productos A2‧v, A3‧v, A4‧v, …, llegariamos a un vector de equilibrio (cuando el resultado de dos iteraciones consecutivas coincida), que en el caso del ejemplo se alcanza a la octava iteración. Ese vector de equilibrio es el Page Rank, o sea, el “impacto” entre los internautas que tiene cada website. Así pues, el matemático va resolviendo todas y cada una de las situaciones que se le van planteando. ¿Todas? ¿Y que pasó con el chico que quería salir con la chica de sus sueños? Vean el corto en este enlace, y de paso sabrán el significado oculto de la ecuación que el matemático le entregó. Comentario final Un cortometraje con más matemáticas en ocho minutos que cualquier película comercial que hayamos visto, con muy buenas explicaciones y referencias. Muestra además varias aplicaciones concretas a situaciones de la vida real de las matemáticas (ciertamente alguna traida muy por los pelos, como la dada a la reina, también es cierto), muy bien descritas y resueltas. Interesante, sin duda. Atentos también a partes del decorado, porque podemos encontrar cosas curiosas, como el encerado de la imagen en el que se desliza una intrigante pregunta: ¿Porqué los ricos son cada vez más ricos? La respuesta (la explicación) se encuentra en el modelo de la urna de Polya, como vemos escrito. La productora del corto, lifEdit, bajo el lema Our world needs math (Nuestro mundo necesita matemáticas) propone al espectador interesado un listado de páginas en los que describe con más detalle todas las situaciones propuestas en la película. Son las siguientes: 1.- Un intrigante patrón, la cadena dorada: https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/fibrab.html 2.- ¿Porqué los ricos se hacen más ricos? Artículos de Mark Holmes, de la Universidad de Melbourne, sobre temas como éste: https://researchers.ms.unimelb.edu.au/~mholmes1@unimelb/#Papers 3.- Musica y teoria de la medida: https://www.youtube.com/watch?v=cyW5z-M2yzw&t=0s 4.- Las matemáticas son el secreto oculto al conocimiento del mundo. Roger Antonsen: https://www.youtube.com/watch?v=ZQElzjCsl9o&t=0s 5.- Curvas de Lissajous: https://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html 6.- El logo de ABC es una curva de Lissajous: https://www.abc.net.au/science/holo/liss.htm 7.- La esfera minimiza el área en proporción a su volumen : https://math.stackexchange.com/questions/1297870/prove-that-the-sphere-is-the-only-closed-surface-in-mathbbr3-that-minimize 8.- El algoritmo PageRank: http://pi.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/RalucaRemus/Lecture3/lecture3.html 9.- ¿Porqué necesitamos matemáticas?: https://www.dcu.ie/maths/why-do-we-need-maths 10.- Más curvas corazón: https://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html Confio en que disfruten con el corto. El subtítulo en inglés es generado automaticamente y muchas veces no tiene mucho sentido (ya saben, a veces pone “for” cuando debería ser “four”, y cosas similares). Pero para eso, se leen este artículo donde aparece todo descrito con corrección (modestia aparte).
Lunes, 07 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Ábaco Salamis. Museo epigráfico. Atenas) El ábaco en sus múltiples formas ha sido el instrumento de computación aritmética más universal. Unas líneas y unas cuentas, guijarros (calculi), bolas o fichas, facilitan las operaciones. La adición y la substracción son los cálculos habituales para el instrumento, además con cierta maestría se puede incluso multiplicar, dividir o extraer raíces. El ábaco decayó en occidente ante el empuje del algoritmo indo-árabe al que se sumaron dispositivos como los huesos de Neper que hacían innecesaria  la memorización de las tablas de multiplicar. En Asía y Europa Oriental se mantuvo hasta la aparición de las calculadoras electrónicas baratas en los años sesenta. Hagamos un rápido recorrido histórico. El Ábaco Salamis en Atenas En 1846 se encontró en la isla de Salamis una gran piedra de mármol con líneas paralelas, marcas y letras que dan testimonio de un primitivo ábaco. En sentido estricto es una tablilla de cuentas. La loseta se encuentra en el recibidor del Museo Epigráfico de Atenas, un lugar adosado al lateral del bullicioso Museo Arqueológico y que tiene pocos visitantes. Las letras se corresponden con los números griegos (penta, deca, hecto,…) y con las unidades de medida o monedas en uso del siglo III a.C. El historiador Herodoto (485–425) ya daba cuenta de la utilización de instrumentos que usaban cuentas: dejó constancia de que los egipcios las movían de derecha a izquierda, al revés que los griegos. Las líneas están poco marcadas y son poco visibles. Una vieja fotografía de alto contraste nos da mejor detalle. El abaquista romano de los Capitolinos en Roma Los Museos Capitolinos de la Piazza del Campidoglio ocupan el Palazzo dei Conservatori y parte del Palazzo Nuovo. Los Capitolinos albergan una pinacoteca y una colección de escultura grecorromana de gran interés, en ella se puede disfrutar del Dálmata herido, la Venus capitolina o el original de la estatua ecuestre de Marco Aurelio. Destacamos el abaquista de una sepultura. (Ábaco de fichas. Museos capitolinos. Roma) Al subir a la planta primera del Palazzo Nuovo, a la derecha (y a media altura) se encuentra empotrado el frontal de una tumba con la representación de un calculista con ábaco de fichas. No conocemos otra reproducción similar. Hay varios museos con pequeños ábacos que se han conservado, pero quizá sea el único bajorrelieve que de cuenta de las operaciones aritméticas con calculi. El ábaco romano del British Museum (Ábaco romano de bronce. British Museum. Londres) El British Museum no se queda atrás respecto a los otros museos de Londres en cuanto a interés matemático. La parte instrumental puede parecer poca cosa si la comparamos con la riqueza arqueológica griega o mesopotámica pero no es nada despreciable: armarios y armarios con estanterías repletas de instrumentos de dibujo, astronómicos, gnomónicos, ábacos, o de laboratorio. Entre los ábacos de bolsillo destacamos uno romano de bronce. Ábacos similares se pueden encontrar en otros lugares como Roma y Aosta. No han sobrevivido muchos pero estar hechos en bronce y el pequeño tamaño facilitan su conservación. El sistema de numeración romano mixto entre quinario y decimal se adapta muy bien al ábaco. Curiosamente el paralelismo con el ábaco japonés (soroban) es casi completo: utiliza cuatro bolas para las unidades y una quinaria en cada decena. Tanto en la Grecia Clásica como en el Imperio Romano los cálculos no formaban parte de la aritmética sino de una disciplina no liberal, la logística.  Los árabes y el ascenso del comercio cambiaron el paradigma. Aritmética con ábaco en la Casa Julius de Helmstedt (Alegoría de la Aritmética. Casa Julius. Helmstedt) La recuperación del comercio en la Europa Medieval necesita calcular. El ábaco era el instrumento útil compitiendo con el algorítmico. Precisamente Leonardo Pisano, Fibonacci, hijo de mercader, llama a su tratado Liber abaci (1202) cuando se trata de uno de los manuales de extensión de las cifras indias. Hay muchas representaciones del ábaco pero no se han conservado los antiguos. Elegimos una bella alegoría de la Aritmética. La residencia de los príncipes obispos de Brunswick-Wolfenbüttel es coherente con la Universidad que fundaron en 1576: el Juleum. La Academia Julia fue la primera universidad protestante del norte de Alemania y tiene una puerta espectacular de filigrana policroma. La universidad de Helmstedt tuvo sus momentos de esplendor desde 1575 hasta 1625, cuando la peste y la guerra de los treinta años diezmaron la población. Giordano Bruno impartió clases en Helmstedt en los años de esplendor, y cuando ya era una decadente universidad provinciana tuvo por alumno a Gauss. La Casa Julius se encuentra en pleno centro al lado del Ayuntamiento. Se trata de una casa renacentista de entramados de madera. La iconografía de la planta superior son las Alegorías de las Artes Liberales y la de la inferior los escudos de los duques. La inscripción de la flecha en números romanos es 1568, anterior al portal de la Academia Julia. Cada disciplina es representada con un niño que la complementa. La Aritmética calcula con  un ábaco pero el erote usa el algoritmo. La Margarita Phylosophica El monje cartujo Gregor Reisch (1467 – 1525) fue un humanista alemán que escribió una enciclopedia de saberes en doce libros llamada Aepitoma Omnis Phylosophiae alias  Margarita Phylosophica (1503). La obra tenía numerosas láminas y alcanzó gran popularidad como manual. Los siete primeros libros de la Margarita estaban dedicadas a las artes liberales, la Aritmética era el cuarto libro. Su conocido grabado se ha convertido e la referencia de la coexistencia del ábaco y el algoritmo. La alegoría de la Aritmética está acompañada de dos personajes, Boecio y Pitágoras, el primero calcula con las cifras árabes y el segundo con el ábaco. Se trata de una recreación inventada pues el latino Boecio no conocía el algoritmo ni el griego Pitágoras dejó constancia del uso del ábaco. Ambos autores son los citados habitualmente en los libros medievales y quizá no sean los representados sino dos mercaderes, el joven se ha pasado al cálculo indo-árabe mientras que el  mayor sigue apegado al ábaco. (Gregor Reisch. Margarita Phylosophica Alegoría de la Aritmética) Un ábaco Ming en Chapel Hill El Ackland Art Museum de la Universidad de Carolina del orte en Chapel Hill exhibe en la zona dedicada a la porcelana de la Dinastía Ming un ábaco tradicional chino del siglo XVI. (Ábaco chino de porcelana Ming. Ackland Art Museum Chapel Hill) El ábaco chino, suanpan, utiliza cinco cuentas de valor unidad y dos quinarías por cada decena, no está optimizado como el romano o el japonés. La época de la Dinastía Ming (siglos XIV – XVII) fue un periodo de prosperidad que se pone de manifiesto en su porcelana azul y blanca. Los ábacos no son ajenos a ella. Nos son extremadamente raros pero no suelen verse en museos. El British Museum tiene uno en almacén sin cuentas pero no se haya expuesto. Los ábacos suelen ser de madera y los pequeños en metal. La porcelana es frágil y aún no siendo el material adecuado sería apreciado por su belleza. Algunos ábacos tenían pequeños cajones, como el que mostramos. (Ilustración de 1820 sobre la práctica del suanpan) Un ábaco singular del Museo Británico El British Museum exhibe un curioso ábaco inglés del siglo XVII que muestra la pervivencia del instrumento. Cada línea tiene nueve cuentas, tres blancas, tres negras y tres blancas. Como el ruso pero ahorrando una ficha. Se trata de una curiosidad. El stchoty, el ábaco ruso (ábaco ruso moderno) Los viajeros por la  Unión Soviética todavía tuvieron la oportunidad de  contemplar el uso generalizado del ábaco de diez bolas sobre marco de madera. Las dos bolas centrales eran más oscuras. El soroban , el ábaco japonés (Ábaco japonés moderno) El soroban japonés es muy similar al chino pero eliminando las fichas superfluas. Con cuatro unidades y una cuenta quinaria es suficiente. El ábaco estaba tan extendido y tenía tantos partidarios que la compañía SHARP de calculadoras vio una oportunidad comercial en la incorporación de uno a sus calculadoras. O fue solo un experimento curioso pues se fabricaron varias series. (Híbrido de calculadora electrónica y ábaco) Ábacos escolares en Huesca El Museo Pedagógico de Aragón quizá albergue la colección de mayor interés dedicada a la institución escolar de la Península Ibérica. El Museo comparte instalación con la Oficina de Turismo de la céntrica Plaza de Luís López Allué de Huesca. La educación de la infancia se remonta a los orígenes de la humanidad. La institución de la Escuela y los principios de Enseñanza General y Obligatoria son muy recientes. La Ley de Instrucción Pública (1857) del Ministro Moyano marcó para España el inicio de la modernidad educativa. (Ábacos escolares. Museo Pedagógico. Huesca) La recuperación de las viejas aulas y los antiguos materiales escolares están en el origen de este museo. Aunque esté muy extendido la idea de que la Escuela es la institución que menos ha cambiado (maestra/o con pizarra y escolares en su pupitre) la realidad es que basta entrar en el museo de Huesca para desmontar el tópico. En Huesca veremos varias aulas con ábacos de diez bolas como material didáctico obligado. ¿Tiene futuro el ábaco? El viejo ábaco se resiste a desaparecer, las posiciones que pierde en oriente intenta ganarlas en occidente. Algunos centros escolares europeos introducen el ábaco para mejor comprensión del concepto de número y para desarrollar el cálculo mental. Quien esto escribe lleva siempre consigo su vieja regla de cálculo logarítmica y entiende a las familias chinas o japonesas que se educaron con el ábaco. En un mundo donde los teléfonos son potentísimas calculadoras de bolsillo puede parecer dudoso que quede sitio para este bastidor con cuentas perforadas. ¿Tras miles de años de prestar buen servicio se convertirán los ábacos en meros objetos de museo? Terminamos con un poema de Jacob Bronowski (1908-1972) – matemático y poeta polaco -  que fue publicado en un diálogo titulado precisamente El ábaco y la rosa: La fuerza que al invierno mueve a dar suaves hexágonos de nieve que lleva a vivir a las abejas en sus bien calculadas colmenas, es ábaco y rosa conjuntamente Una helada dulzura invade mi mente.
Martes, 01 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La función tonal y el tonnetz En esta última entrega de la serie sobre modelos matemáticos de la función tonal vamos a estudiar un modelo de naturaleza geométrica: el tonnetz. Es un modelo que se basa en la clasificación clásica de los acordes en tónica, dominante y subdominante y que proporciona una visualización bella y elegante de la función tonal y de las relaciones entre los acordes. Una de sus visualizaciones es en forma de toro, como muestra la figura 1 (esta visualización es su interpretación moderna en términos de teoría neoriemanniana, que veremos más adelante en este artículo). Figura 1: El tonnetz como un toro geométrico El tonnetz fue definido por primera vez por Euler en 1739 en su obra Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae [Eul22]. Dado un acorde, Euler se fijó en tres relaciones respecto a ese acorde: el movimiento por quintas, el movimiento por terceras mayores y el movimiento por terceras menores. Fijado un acorde, la organización geométrica del tonnetz es entonces como sigue: Los saltos por quintas a partir de ese acorde se representan en línea horizontales; Los acordes a una tercera menor por arriba está en la diagonal superior derecha y los de tercera menor por abajo en la diagonal superior izquierda; Análogamente, los acordes a distancia de tercera mayor están por debajo; los de tercera mayor ascendente se sitúan en la diagonal derecha y los de tercera mayor descendente en la diagonal izquierda. Si fijamos el acorde de do, en la figura de abajo vemos los acordes relacionados con este por el modelo tonnetz. En la línea horizontal vemos un trozo del círculo de quintas, do–sol; en la línea inmediatamente superior están las notas que forman el acorde menor con do, la–do–mi, las cuales a su vez forman otro círculo de quintas; y en la línea inferior a do, vemos los notas a distancia de tercera mayor, también ordenadas por quintas ascendentes hacia la derecha. Las triadas en este modelo forman triángulos. Figura 2: Acordes relacionados entre sí por el modelo tonnetz Las triadas mayores son los triángulos formados por la nota de la diagonal superior derecha y la inmediatamente a la derecha; en la figura do–mi–sol sería el triángulo con la m mayúscula. Las triadas menores son el reflejo respecto al eje x de dicho triángulo; en la figura el triángulo do–mi♭–sol marcado con una m minúscula. El modelo inicial de Euler estaba basado en la entonación justa (véanse las columnas de esta sección sobre afinación, [Góm21a], [Góm21b], [Lie04]). Por tanto, las quintas eran justas y el modelo se extendía hasta el infinito. De hecho, todos los intervalos del tonnetz en el modelo de Euler eran puros (las terceras y los demás intervalos también). Más de un siglo después, el modelo de Euler llama la atención del físico y teórico de la música Arthur von Oettingen. El trabajo de este teórico a su vez llama la atención de Hugo Riemann, quien lo sistematiza y usa en sus análisis de las conducciones de voces y las progresiones armónicas. El cambio que se produce en el uso moderno del tonnetz es que se hace finito al establecer el sistema temperado como sistema de afinación. Esto es, al dividir la octava en 12 partes iguales, el tonnetz pierde su carácter infinito (de ahí la representación finita en forma de toro que vimos más arriba). A la luz de la teoría neoriemanniana, el tonnetz se usa como modelo matemático de los acordes y las funciones tonales, donde las notas del tonnetz son ahora clases de alturas. En dicha teoría se definen tres tipos de operaciones o transformaciones: La operación P, de paralelo, donde un acorde mayor se transforma en su versión menor y viceversa. Esto ocurre por el movimiento de la tercera bien ascendente o descendente. La transformación R, donde un acorde mayor se transforma en su relativo menor y viceversa. En el acorde mayor la quinta sube un tono y en el acorde menor la fundamental baja medio tono. La operación L (de leading-tone exchange en sus siglas inglesas) transforma un acorde mayor en el acorde menor a distancia de una tercera mayor bajando la fundamental medio tono. Así, por ejemplo, do mayor se transforma en mi menor bajando do a si. A la inversa, un acorde menor, como do menor, se transforma en mi♭ mayor bajando do a si♭. En el tonnetz, estas operaciones se identifican con cuadrados como se muestra en la figura de abajo. Figura 3: Versión moderna del modelo del tonnetz (figura tomada de [Wik22]) El tonnetz ha servido para modelizar música de la práctica común extendida y el jazz. Para una ilustración muy clara del uso del tonnetz en la música de jazz, véase [Wel20]. En los vídeos que se muestran a continuación, se muestran explicaciones más detalladas y visuales sobre el tonnetz. En el primero, se explica el tonnetz con ejemplos musicales en el piano. Figura 4: Tonnetz explicado por Daniel Lewis En el siguiente vídeo se oye un preludio de Chopin y se visualiza cómo evolucionan los acordes en el tonnetz. Figura 5: Tonnetz explicado por Daniel Lewis En el último vídeo se visualiza la Gimnopédie número 1 de Satie en el tonnetz. Figura 6: Tonnetz explicado por Daniel Lewis Por ultimo, recomendamos al lector la visita a la página de Imaginary [Ima22], donde puede encontrar una versión interactiva del tonnetz.   Bibliografía [Eul22] Leonard Euler. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae. http://eulerarchive.maa.org/backup/E033.html, Accedido en enero de 2022. Published on Euler archive. [Góm21a] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (I). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18644&directory=67, accedido el 20 de julio de 2021. [Góm21b] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (II). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18645&directory=67, accedido en agosto de 2021. [Ima22] Imaginary.org. Tonnetz. https://www.imaginary.org/es/node/1523, accedido en enero de 2022. [Lie04] Vicente Liern. Afinación. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=8747&directory=67, enero de 2004. [Wel20] John Welsh. Using Tonnetz Tone Mesh To Understand Jazz Harmony. https://jazz-library.com/articles/tonnetz/, Abril de 2020. [Wik22] Wikipedia. Tonnetz. https://en.wikipedia.org/wiki/Tonnetz, accedido en enero de 2022.
Lunes, 14 de Febrero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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