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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En esta segunda columna de la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica, vamos a tratar el recuento y la generación de ritmos con técnicas combinatorias.. En la primera columna [Góm], hicimos una breve recensión de los dos primeros capítulos del libro Computational Models of Rhythm and Meter de Boenn [Boe18]. En el primer capítulo se examinaba la definición de ritmo desde un punto de vista abstracto y filosófico; en el segundo, se definió la notación SNMR. 2. Recuento de listas Esta sección tendrá un carácter indagatorio y orgánico. Empezamos considerando un entero positivo n > 1. Este entero representará el número total de pulsos de nuestro ritmo. Asociado a todo ritmo, tenemos k, otro entero positivo con 1 ≤ k ≤ n, que representa las notas del ritmo o ataques. Así, el ritmo lo representamos por la lista R1 = (2,2,2,3). Marcamos en negrita la palabra lista como definición, la cual quiere decir que el orden de los elementos es importante y distingue entre listas (ritmos). Así, el ritmo R2 = (3,2,2,2) tiene un orden distinto de los elementos y es, por tanto, una lista y un ritmo distintos. 2.1. Permutaciones sin y con repetición Investiguemos las listas un poco más en abstracto (el lector se lo merece). Tomemos un conjunto A = de n elementos donde los elementos son distintos entre sí (esto es, ai≠aj si i≠j). ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Este es un argumento clásico. Para el primer elemento de la lista, tenemos n posibilidades, los n elementos de A. Para el segundo elemento, dado que no podemos usar el elemento de la primera posición, hay n - 1 posibilidades. Razonando así hasta completar la lista entera, llegamos a que hay n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ 2 ⋅ 1. El número anterior se llama factorial de n y se escribe Este argumento se puede ilustrar con el siguiente árbol, donde hemos hecho que A = : El número de listas formadas por un conjunto de n elementos no repetidos se llama permutaciones sin repetición y se designa por Pn. Por lo visto antes, Pn = n!. ¿Qué ocurre si a continuación eliminamos la restricción de la repetición? Supongamos que tenemos un conjunto A de n elementos formado como sigue: donde n = k1 + k2 + … + km. ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Si hay repetidos, esto quiere decir que las permutaciones entre los elementos repetidos del mismo tipo dará lugar a la misma selección. Las repeticiones se quitan dividiendo por las permutaciones de la repetición. Por tanto, el número de listas ordenadas formadas con elementos de A, donde hay m grupos de elementos repetidos es: Este número se designa por PRnk1,…,km, donde k1,…,km son los elementos repetidos En el caso del ritmo de arriba R1 = (2,2,2,3), está claro que el conjunto de listas distintas es: de las cuales hay 4. Si calculamos ese número, obtenemos PR43 = = = 4, como era de esperar. 3. Los ritmos aksak Los ritmos aksak son ritmos que tienen solo dos duraciones posibles en términos de distancias, 2 o 3, y han de contener al menos un 2 y al menos un 3. Este tipo de ritmos aparecen en varias tradiciones musicales, entre ellas la música turca o la música búlgara. Autores como Simha Arom [Aro04], Brăiloiu [Bra51], Cler [Cle94], y en conexión con los ritmos euclídeos Demain y coautores [DGMM+09]. Arom clasificó los ritmos aksak para valores del número de pulsos n entre 5 y 29 y proporcionó una clasificación teórica. En su clasificación de ritmos aksak delinea tres categorías: Un ritmo aksak se dice que es auténtico si n es primo. Cuando n es impar pero no es primo, el ritmo aksak es llamado quasi-aksak. En caso de que n sea par, el ritmo aksak se denomina pseudo-aksak. A continuación listamos algunos ritmos aksak junto con sus categorizaciones (los representamos con la notación de notas y silencios, la notación de distancias y la notación SNMR): Ritmos aksak auténticos: [×⋅×⋅ ⋅ ]= (23))=I-, ritmo que se encuentra en la música clásica y en la música de entre otros Grecia, Macedonia, Namibia o Ruanda. [×⋅×⋅×⋅ ] = (223)=II-, ritmo que se encuentra en la música de Bulgaria, Grecia, Sudán y Turquía. [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(3332)=—I, ritmo que puede oír en la música del sur de la India. [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]= (22223), ritmo que se encuentra en Bulgaria, el norte de la India y en Serbia, por nombrar unos pocos ejemplos. Los ritmos [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(32323)=-I-I- y [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(222223)= =IIIII- se encuentran en la música de Macedonia. Otros ritmos aksak auténticos de la tradición búlgara son: (3232322), (22222223), (32232232), o (323232323). Como ejemplos de ritmos quasi-aksak tenemos: [×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2223)=III-, que se pueden escuchar en la música de Grecia, Macedonia, Turquía o Zaire. El ritmo búlgaro [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2222223)=IIIIII-. Por último, los siguientes son ritmos pseudo-aksak: [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(332)=–I, ritmo que se encuentra con frecuencia, por ejemplo, en la música de África central, Grecia, India, Latinoamérica, África del oeste o Sudán. [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ]=(32322)=-I-II, que se encuentra en música de Macedonia o Sudáfrica. Sea R un ritmo aksak de n pulsos con r doses y s tres. El número de ritmos aksak que hay con esos r doses y s treses es: Además, se cumple la siguiente relación entre n,r y s: Esta última relación es una ecuación diofántica y se puede usar para generar y contar ritmos aksak. Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma c = ax + by, donde a,b,c son números enteros. El siguiente teorema determina cuándo hay solución y cuando existen cómo se calculan las soluciones. Cuando hay solución, existen infinitas soluciones como vemos en el enunciado del teorema. Teorema. Resolución de ecuaciones diofánticas. Sean a,b,c tres números enteros, y sea d = mcd(a,b). Se considera la ecuación diofántica c = ax + by. Entonces: (1) Si d no divide a c, entonces la ecuación diofántica no tiene solución. (2) Si d divide a c, entonces la ecuación diofántica tiene infinitas soluciones de la forma x = x0 + m, y = y0 -m donde m ∈ ℤ y x0,y0 son soluciones particulares de la ecuación diofántica. Aplicando el teorema a la relación (1) de arriba, vemos que el máximo común de 2 y 3 es 1 (son primos ambos números) y, por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución por el apartado (2) del teorema. La solución particular es, por ejemplo, x0 = -n,y0 = n, ya que 2x0 + 3y0 = -2n + 3n = n. Se sigue que la solución general es: Fijado n, basta encontrar los valores de m que dan valores positivos de x,y (recuérdese que un ritmo aksak exige que haya al menos un 2 y un 3). Pongamos el ejemplo de los ritmos aksak de n = 17 pulsos. Según el teorema, las soluciones de x e y son, respectivamente, x = -17 + 3m,y = 17 - 2m. El valor m = 6 es el primer valor para el que x e y son positivos. La taba siguiente muestra los resultados: m x = -17 + 3m y = 17 - 2m Ritmo SNMR 4 1 5 (233333) I- - - - - 5 4 3 (2222333) I I I I - - - 7 1 2 (22222223) I I I I I I I - Tabla 1: Ritmos aksak de 17 pulsos 4. Combinaciones sin y con repetición La diferencia entre una lista y un conjunto es que en la primera el orden importa y en el segundo no. En los conjuntos el orden no importa; de hecho, la definición de conjunto habla de una colección no ordenada de elementos. Sea A = un conjunto de n elementos distintos. El número de listas de tamaño n es, como sabemos, Pn = n!. Si ahora queremos contar el número de subconjuntos tenemos que usar argumentos adicionales para contarlos. En primer lugar, vamos a estudiar cómo contar el número de listas de tamaño k, donde 1 ≤ k ≤ n. Usando el argumento de más arriba, tenemos n posibilidades para la primera posición de la lista, n - 1 para la segunda y, siguiendo este proceso, tendremos n - k + 1 para la posición número k. Por tanto, el número final será n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ (n - k + 1). Este número se llama variaciones sin repetición de n tomados de k en k o más corto V n,k. Este número se puede escribir como: Continuemos. Sea L = (ai1,…,aik) una de esas listas. Cuando esta lista se transforma en un subconjunto, cualquier permutación de L da lugar al mismo subconjunto. Hay k! permutaciones de L y, por tanto, el número de subconjuntos de tamaño de k de A, al que llamaremos Cn,k, es: Se llaman combinaciones sin repetición de conjuntos a los subconjuntos de tamaño k formados con los elementos de un conjunto dado, donde se supone que en el conjunto no hay elementos repetidos. Se designarán por Cn,k o por (n k) . Por último, pedimos al lector que trate de resolver la ecuación donde n,k son números enteros no negativos. ¿Alguna idea? He aquí una ingeniosa idea para resolverla. Consideremos el conjunto formado por un palote ∣ y un signo +. Queremos formar todas las listas distintas con n palotes y k - 1 signos más. Como los palotes y los signos más son indistinguibles entre sí, las listas difieren en la posición de los palotes y signos más. Cada lista da lugar a la solución de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n sin más que contar los palotes entre dos signos más consecutivos. Y viceversa, una solución de x1 + x2 + … + xk = n da lugar a una lista de palotes y signos más. Vamos a contar esas listas pues. En vista de lo aprendido arriba, hay Pn+k-1 = (n + k - 1)! listas. Como se repiten los palotes, de los que hay nk, y las signos más, de los que hay k - 1, tendremos que dividir por n! y (k - 1)!. Así que el número de las listas es: que son las combinaciones de n + k - 1 tomadas de k - 1 en k - 1. 5. Particiones de enteros y ritmos Dado un ritmo de n pulsos, las soluciones positivas de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n nos da todos los ritmos de k notas. La sucesión de distancias de ese ritmo sería sencillamente R = (x1,x2,…,xk). La siguiente tabla muestra cómo se generan ritmos a partir de esta ecuación: x1 x2 x3 x4 x5 Ritmo SNMR 5 (5) H˜- 4 1 (41) H- 3 2 (32) - I 3 1 1 (311) - . . 2 2 1 (221) I I . 2 1 1 1 (2111) I . . . 1 1 1 1 1 (11111) . . . . . Tabla 2: Las particiones de 5 y los ritmos asociados Dado un ritmo R = (x1,x2,…,xk), donde los xi son positivos todos, hay ritmos posibles con esa configuración de distancias. Por ejemplo, del cuarto ritmo de la tabla de arriba (3,1,1) hay 3!∕2! = 3 ritmos distintos, que son (3,1,1),(1,3,1),(1,1,3). Obsérvese que aquí k = 3 porque x4 = x5 = 0. Cuando todas las xi son diferentes, el número de ritmos es simplemente k!.   6. Notación SNMR Cuadro con la notación SNMR: Figura 1: La codificación SNMR (figura tomada de [Boe18]   Bibliografía [Aro04] Simha Arom. L?aksak: Principes et typologie polyphony and polyrhythm. Cahiers de Musiques Traditionnelles, pages 12–48, 2004. [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [Bra51] C. Brailoiu. Le rythme aksak. Revue de Musicologie, pages 71–108, 1951. [Cle94] J. Cler. Pour une théorie de l?aksak. Revue de Musicologie, pages 181–210, 1994. [DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009. [Góm] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (I)
Martes, 17 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En las siguientes columnas de matemáticas y músicas vamos a tratar de un tema apasionante: los modelos computacionales del ritmo y la métrica. Este tema ya ha sido tratado en otros artículos de esta columna. Por ejemplo, las medidas matemáticas de la síncopa ([Góm11] y siguientes y también [Góm18b]); medidas de complejidad rítmica ([Góm17] y siguientes); y ritmos euclídeos [Góm18a]. Haremos un examen de esta área a la luz de un libro de 2018, escrito por Georg Boenn, profesor del Departamento de Música de la Universidad de Lethbridge (Alberta, Canadá). Ese libro se llama nada más y nada menos que Computational Models of Rhythm and Meter [Boe18] y la portada se puede ver en la imagen de abajo. Figura 1: Portada del libro Computational Models of Rhythm and Meter [Boe18] Esta serie de artículos sobre el tema en cuestión es a la vez una revisión crítica del libro de Boenn y una exploración en sí misma de los modelos computacionales del ritmo y la métrica. El libro está dividido en varios capítulos que cubren varias áreas de este tema: El capítulo 1 es una introducción en que explica la estructura del libro. El capítulo 2 se titula Phenomenology of rhythm and meter y constituye una reflexión filosófica sobre el fenómeno del ritmo y de la métrica. En el tercer capítulo, el autor sienta las bases de notación para el resto del ritmo. Describe las principales notaciones del ritmo. En este capítulo, ya trata algunas consecuencias cognitivas del ritmo y analiza el fenómeno de la agrupación rítmica. Al final del capítulo, presenta ejemplos musicales reales (cosa que hace a lo largo de todo el libro). Los capítulos 4 a 7 versan sobre los modelos computacionales y matemáticos del ritmo y la métrica. El capítulo 4 trata de la agrupación rítmica; el 5, del uso de la rueda de Burrows-Wheeler como herramienta de análisis rítmico así como de composición; el 6, es un estudio de los ritmos de Cristoffel; el 7, trata las sucesiones de Farey. Los dos últimos capítulos, el 8 y el 9, es un profundo estudio de la métrica, la percepción del tiempo y la cuantización rítmica. Boenn acompaña su libro de un proyecto de código abierto llamado Chunking (https://github.com/gboenn/chunking), donde se pueden encontrar los algoritmos más relevantes presentados en el libro. En esta primera columna glosaremos los capítulos 2 y 3 del libro de Boenn. 2. ¿Qué es el ritmo? “Hay una continuidad causal en la música”. Con esta poderosa afirmación comienza el capítulo 2 del libro de Boenn. En efecto, con una prosa concisa y abstracta, el autor describe cómo el sonido es causa y efecto. Argumenta que un sonido produce un efecto que es a su vez causa del siguiente, cómo el fluir de los sonidos teje una red de relaciones causa-efecto. Todo esto tiene un efecto en nuestra mente en forma de una compleja red de expectativas musicales. Estas expectativas crean entre otras cosas, fuerzas musicales, la tensión y el reposo musicales, en cuya dialéctica se basa mucha de la música existente. Boenn afirma, en referencia a que “si en tiempo de ejecución, esas fuerzas se equilibran por los sonidos durante el paso del tiempo, el fin último de la unidad se habrá alcanzado y la experiencia de la belleza surgirá” (página 7). A continuación, Boenn argumenta que el ritmo está en el centro de esta causalidad y lo hace en su calidad de agente organizador de los eventos musicales. En particular, apela al hecho de que la organización rítmica está relacionada directamente con los modos perceptuales y cognitivos del oyente. Dicha organización temporal de los eventos musicales acaba en última instancia creando significado musical en el oyente. Este autor hace una comparación que me parece particularmente acertada: “el ritmo es a la música lo que la articulación es al lenguaje”. En este capítulo también se aborda el papel del ritmo desde el punto de vista del compositor —como creador de la organización del material musical a través del ritmo—y del intérprete —como transmisor y a la vez oyente también del material musical—. Tras esta introducción de tipo filosófica, el autor se enfrenta a la definición de ritmo. Como muchos otros autores, arranca de la idea de una sucesión ordenada de sonidos en el tiempo. En concreto, Boenn se refiere a pulsaciones quasi-isócronas, haciendo referencia aquí a que lo que se percibe como isócrono, cuando se mide con precisión, resulta no serlo. Se admite el evento isócrono dentro de unos límites temporales y perceptuales. También examina el papel del tempo como elemento que configura la percepción del ritmo, hecho bien conocido. El tempo tiene un papel importante en la percepción del significado musical del ritmo. Si el tempo es demasiado lento, entonces los eventos no se conectan bien entre sí; si es demasiado rápido, los eventos no se perciben como una unidad. Véase el libro de Justin London [Lon04] para un excelente análisis de esta cuestión. Para Boenn, el metro es “la reiteración cíclica de un ritmo simple” (página 8). Como se puede ver, este autor ha optado por una definición abstracta, más bien buscando que sea operativa y aplicable a una gran variedad de situaciones. Imagino que algunos autores se quejarían de una cierta falta de matiz en la definición. Sin duda, para los propósitos de este libro, que son ambiciosos, no obstante, tiene la potencia conceptual suficiente. El autor advierte que los pulsos que constituyen una métrica pueden ser (quasi-)isócronos o no isócronos. Un polirritmo es la superposición de ritmos (página 8). De esta superposición salen patrones musicales que se pueden describir en términos de duración, acento, agrupación, fraseo, timbre, alturas o cambios de armonía. El alineamiento con el metro, que determina las partes fuertes, refuerza la sensación de métrica. En la sección 2.3 de su libro, Boenn se pregunta en qué sentido tiene una pieza forma orgánica. Aquí, tomando una cita de Schoenberg, el autor construye una comparación entre una pieza musical y un organismo vivo (lo apoya incluso etimológicamente). Un organismo vivo nace, vive y muere; una pieza musical tiene una introducción, un desarrollo y una conclusión o cierre. Como ocurre en la biología, donde hay órganos pequeños que contribuyen a crear órganos mayores, una pieza musical está formada por partes pequeñas que contribuyen a un todo musical. 3. La notación del ritmo En el capítulo 3, Boenn estudia la notación del ritmo, tanto desde un punto de vista teórico como práctico, aplicándolo a diversas tradiciones musicales. Presenta el llamado SNMR o notación abreviada de ritmos musicales (shorthand notation for musical rhythms en sus siglas inglesas). Es una forma simple y operativa de anotar ritmos y métricas; el autor presenta una extensión del sistema estándar de SNMR (que está basado en el trabajo del percusionista suizo Giger). El SNMR está basado en la presencia de un pulso y no en las convenciones habituales de la notación musical occidental. Otra ventaja de esta notación es que se puede escribir en texto y en ASCII con suma facilidad. En la sección 3.2, el autor hace una revisión bibliográfica de las principales notaciones que se encuentran en la práctica musical. Lo hace desde un punto de vista histórico, comenzando con la notación de la música árabe y acabando con las notaciones modernas (notación de caja, círculo, etc.). Para describir su sistema SNMR, Boenn empieza por la siguiente codificación de ritmos (tomada del trabajo de Giger), llamada ritmoglifos: Figura 2: Los ritmoglifos de Giger donde los unos representan ataques de notas y los ceros silencios. Estos elementos básicos o primitivas del ritmo son llamados grupos (Boenn usa la palabra inglesa chunk). A continuación, vemos patrones más complejos como consecuencia de la combinación de diferentes ritmoglifos. Figura 3: Combinación de ritmoglifos Originalmente, los ritmoglifos contienen los símbolos de un triángulo y un cuadrado, que no son imprimibles por el código ASCII. Con el fin de hacer el sistema de notación accessible en modo texto, Boenn sustituye estos dos símbolos por otros y amplía el catálogo de símbolos para recoger combinaciones complejas de ritmos. La tabla final es: Figura 4: La codificación SNMR Obsérvese que se supone que la unidad mínima del pulso es la corchea. Posteriormente, incluye divisiones rítmicas de la corchea. En otra tabla, se muestran tales subdivisiones rítmicas. El sistema consiste en poner el número que marca la subdivisión delante de la codificación SNMR. Figura 5: La codificación SNMR de subdivisiones rítmicas En el resto del capítulo, el autor ilustra la potencia del sistema de notación SNMR en varias músicas y compositores, que van desde la música Ewe, la música latinoamericana, los ritmos de la poesía griega, Messian, Beethoven, Mussorgsky, o Debussy. En la figura de abajo, vemos la notación SNMR aplicada a claves de la tradición africana y latinoamericana. La segunda columna marca las distancias entre ataques de notas en un compás de 16 semicorcheas (o equivalentes). Figura 6: La codificación SNMR Como se puede ver, el sistema SNMR es muy práctico para la transcripción, para el procesamiento computacional, para la visualización de los grupos dentro del ritmo, pero no tanto para la interpretación.   Bibliografía [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [Góm11] P. Gómez. Medidas matemáticas de la síncopa - I, octubre de 2011. [Góm17] P. Gómez. Medidas de complejidad rítmica - I, octubre de 2017. [Góm18a] P. Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. [Góm18b] P. Gómez. Más sobre medidas de síncopas, mayo de 2018. [Lon04] Justin London. Hearing in Time. Oxford University Press, Oxford, England, 2004.
Miércoles, 13 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. El infinito Con frecuencia reflexiono sobre las similitudes y las diferencias entre las matemáticas y la música. Creo que una de las diferencias más notables es la presencia del infinito. El infinito está omnipresente en las matemáticas. Todo se puede llevar a extremos infinitos. El infinito lo encontramos en los números naturales, en los enteros, en los racionales; por supuesto, en los reales y en los complejos. Cualquier espacio de funciones va a ser infinito así como muchas estructuras discretas. Por ejemplo, en computación se estudia la complejidad de los algoritmos en función del tamaño n de la entrada (el número de datos de entrada). Esto podría parecer que es finito y, aunque lo es, es necesario estudiar la complejidad cuando n tiende a infinito, la llamada complejidad asintótica. Más ejemplos de la presencia del infinito en las matemáticas se pueden encontrar fácilmente. Así, pues, el infinito es ubicuo en las matemáticas. ¿Y en la música? Parece que no, que la música tiene una naturaleza esencialmente finita. Para empezar, el universo de frecuencias es finito. El oído humano puede captar frecuencias entre 20 Hz y 20.000 Hz. Fuera de este rango la música, sencillamente, no ocurre. En cuanto al ritmo, algo similar ocurre. Las duraciones que podemos percibir son finitas, aunque es asombroso que el oído humano, especialmente el de un músico experto, pueda detectar diferencias en ritmos del orden de milisegundos. La memoria melódica es corta también así como la armónica. Véanse [Deu07, Deu12, Ben06] para más información sobre los mecanismos perceptuales de la música en humanos. El ser humano parece ser en su vertiente perceptual un ser finito, de capacidad perceptual finita, pero en cambio es capaz de trabajar y concebir el infinito cuando contempla este desde un punto de vista matemático, como abstracción o como concepto. Creo que esta es una diferencia fundamental entre las matemáticas y la música. 2. Belleza Hay algo que une a las matemáticas y a la música: su capacidad para generar belleza. Ambas disciplinas producen bellezas de diversas formas, que algunas veces son coincidentes y otras claramente no. Una de las principales formas en las matemáticas viene dada por la belleza que produce el entendimiento. Cuando un problema matemático se resuelve con claridad y profundidad, genera belleza. La prueba de Euclides de que hay infinitos números primos es bella sin lugar a discusión. Hay una estética, un sentido de la belleza, en la producción de resultados matemáticos. Con frecuencia los matemáticos hablamos de la belleza y la elegancia de una prueba, que es a la vez una combinación de la originalidad de las ideas y la elocuencia de la forma. En la música, la belleza viene dada por la propia estructura de la música y por su efecto cognitivo, perceptual, emocional y cultural. 3. La belleza de las matemáticas y la música - Charla TED de Marcus Miller En la columna de hoy queremos glosar la charla de Marcus Miller titulada The beauty of mathematics and music (La belleza de las matemáticas y la música) y que está disponible más abajo. La razón de nuestro interés es que habla de los temas de esta columna: las matemáticas, la música, el infinito y la belleza. Marcus Miller es músico talentoso, virtuoso del saxofón, que empezó a tocar a los nueve años de edad y a los trece ya estaba en el circuito profesional del jazz. Además, de eso fue a la Universidad de Harvard donde obtuvo un grado en matemáticas. Véase su página web [Mil22] para más información sobre su fascinante biografía. Figura 1: The beauty of mathematics and music - Marcus Miller En los primeros minutos, Miller dice lo siguiente (en inglés original y luego mi traducción): Hello I’m here today to talk to you about beauty in music and in mathematics. However, in order to get to the big takeaway, we are going to have to take two cold showers together, that is to say, we are going to have to address two sticking points that typically arise in this discussion. First cold shower is that most people are terrified of mathematics. For many of you at some point someone pointed a finger at you and told you that you weren’t smart enough to understand it or perhaps that you didn’t really need math in the real world so you were fine not knowing it. Often, that person was you. (Hola, estoy aquí hoy para hablaros sobre la belleza en la música y las matemáticas. Sin embargo, antes de llegar a esa gran cuestión, vamos a tener que darnos dos duchas de agua fría juntos; es decir, vamos a tener que superar dos escollos que típicamente aparecen en esta discusión. La primera ducha de agua fría es que la mayor parte de la gente se horroriza ante las matemáticas. Para muchos de vosotros en algún momento alguien os señaló con el dedo y os dijo que no erais los suficientemente listos para entenderlas o quizás que en realidad no necesitabais matemáticas en el mundo real de modo que estaba bien si no las sabíais. Con frecuencia, esa persona eras tú.) Con esta pequeña introducción, Marcus Miller trata el problema de la autoestima matemática y de la enseñanza de las matemáticas. Sin embargo, esta vez no señala como culpables a los profesores (que con frecuencia lo son) o al sistema (que siempre lo es); no, esta vez señala al propio aprendiente. Es este un tema importante y fascinante a la vez, pero la charla no va por ahí. Menciona esto como impedimento para apreciar la belleza en las matemáticas. En la parte central de la charla, Marcus Miller cuenta de una manera divulgativa e instructiva algunos hechos paradójicos sobre el infinito. Cuando estamos tratando con conjuntos finitos, las cosas son lo que esperamos. Por ejemplo, si A es un subconjunto de un conjunto finito B y A es distinto a B, entonces claramente el número de elementos (el cardinal) de A es menor que el de B. ¡Esto no pasa con los conjuntos infinitos! Miller en su charla prueba que: El conjunto de los números pares tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales; El conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números enteros; El conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números racionales; El conjunto de los números reales tiene mayor cardinal que el conjunto de los números naturales. Entre medias de estas pruebas toca música llena de belleza con su saxofón (minuto 10:33, por ejemplo). En el minuto 12 y siguientes Miller hace un elogio de la imaginación y su fuerza como motor de la belleza. De hecho, tras explicar los hechos sobre el infinito pregunta al público cómo se sienten al conocer esos hechos. Más tarde, enumera unos cuantos campos científicos que tienen relación fuerte y directa con las matemáticas (desde teoría de la señal a matemática discreta). De hecho, llega a mencionar ideas matemáticas que han servido para el análisis musical e ideas musicales que han servido de germen a la investigación matemática. Sin embargo, rechaza el lugar común de que las matemáticas son iguales a la música (en el minuto 13:22; yo lo rechazo igualmente). Continúa desmitificando varias de estas relaciones exageradas entre ambos campos, en particular, el llamado efecto Mozart. Miller afirma que “parece que la relación entre el conocimiento matemático y musical es interesante, pero no particularmente fundacional”. Es realmente interesante la posición que mantiene en los minutos15:30 y siguientes sobre la conexión entre matemáticas y música. Mantiene que uno de los puntos de conexión entre ambas disciplinas es el placer que supone su aprendizaje. No puedo estar mas de acuerdo con Marcus Miller. Bibliografía [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Deu07] Diana Deutsch. Music perception. Frontiers In Bioscience, 12:4473–4482, 2007. [Deu12] Diana Deutsch. In Diana Deutsch, editor, The Psychology of Music (Cognition and Perception), pages 183–248. Academy Press, San Diego, 2012. [Mil22] Marcus Miller. Image with Marcus Miller. https://imaginewithmarcus.com/, accedido en marzo de 2022.
Martes, 15 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La función tonal y el tonnetz En esta última entrega de la serie sobre modelos matemáticos de la función tonal vamos a estudiar un modelo de naturaleza geométrica: el tonnetz. Es un modelo que se basa en la clasificación clásica de los acordes en tónica, dominante y subdominante y que proporciona una visualización bella y elegante de la función tonal y de las relaciones entre los acordes. Una de sus visualizaciones es en forma de toro, como muestra la figura 1 (esta visualización es su interpretación moderna en términos de teoría neoriemanniana, que veremos más adelante en este artículo). Figura 1: El tonnetz como un toro geométrico El tonnetz fue definido por primera vez por Euler en 1739 en su obra Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae [Eul22]. Dado un acorde, Euler se fijó en tres relaciones respecto a ese acorde: el movimiento por quintas, el movimiento por terceras mayores y el movimiento por terceras menores. Fijado un acorde, la organización geométrica del tonnetz es entonces como sigue: Los saltos por quintas a partir de ese acorde se representan en línea horizontales; Los acordes a una tercera menor por arriba está en la diagonal superior derecha y los de tercera menor por abajo en la diagonal superior izquierda; Análogamente, los acordes a distancia de tercera mayor están por debajo; los de tercera mayor ascendente se sitúan en la diagonal derecha y los de tercera mayor descendente en la diagonal izquierda. Si fijamos el acorde de do, en la figura de abajo vemos los acordes relacionados con este por el modelo tonnetz. En la línea horizontal vemos un trozo del círculo de quintas, do–sol; en la línea inmediatamente superior están las notas que forman el acorde menor con do, la–do–mi, las cuales a su vez forman otro círculo de quintas; y en la línea inferior a do, vemos los notas a distancia de tercera mayor, también ordenadas por quintas ascendentes hacia la derecha. Las triadas en este modelo forman triángulos. Figura 2: Acordes relacionados entre sí por el modelo tonnetz Las triadas mayores son los triángulos formados por la nota de la diagonal superior derecha y la inmediatamente a la derecha; en la figura do–mi–sol sería el triángulo con la m mayúscula. Las triadas menores son el reflejo respecto al eje x de dicho triángulo; en la figura el triángulo do–mi♭–sol marcado con una m minúscula. El modelo inicial de Euler estaba basado en la entonación justa (véanse las columnas de esta sección sobre afinación, [Góm21a], [Góm21b], [Lie04]). Por tanto, las quintas eran justas y el modelo se extendía hasta el infinito. De hecho, todos los intervalos del tonnetz en el modelo de Euler eran puros (las terceras y los demás intervalos también). Más de un siglo después, el modelo de Euler llama la atención del físico y teórico de la música Arthur von Oettingen. El trabajo de este teórico a su vez llama la atención de Hugo Riemann, quien lo sistematiza y usa en sus análisis de las conducciones de voces y las progresiones armónicas. El cambio que se produce en el uso moderno del tonnetz es que se hace finito al establecer el sistema temperado como sistema de afinación. Esto es, al dividir la octava en 12 partes iguales, el tonnetz pierde su carácter infinito (de ahí la representación finita en forma de toro que vimos más arriba). A la luz de la teoría neoriemanniana, el tonnetz se usa como modelo matemático de los acordes y las funciones tonales, donde las notas del tonnetz son ahora clases de alturas. En dicha teoría se definen tres tipos de operaciones o transformaciones: La operación P, de paralelo, donde un acorde mayor se transforma en su versión menor y viceversa. Esto ocurre por el movimiento de la tercera bien ascendente o descendente. La transformación R, donde un acorde mayor se transforma en su relativo menor y viceversa. En el acorde mayor la quinta sube un tono y en el acorde menor la fundamental baja medio tono. La operación L (de leading-tone exchange en sus siglas inglesas) transforma un acorde mayor en el acorde menor a distancia de una tercera mayor bajando la fundamental medio tono. Así, por ejemplo, do mayor se transforma en mi menor bajando do a si. A la inversa, un acorde menor, como do menor, se transforma en mi♭ mayor bajando do a si♭. En el tonnetz, estas operaciones se identifican con cuadrados como se muestra en la figura de abajo. Figura 3: Versión moderna del modelo del tonnetz (figura tomada de [Wik22]) El tonnetz ha servido para modelizar música de la práctica común extendida y el jazz. Para una ilustración muy clara del uso del tonnetz en la música de jazz, véase [Wel20]. En los vídeos que se muestran a continuación, se muestran explicaciones más detalladas y visuales sobre el tonnetz. En el primero, se explica el tonnetz con ejemplos musicales en el piano. Figura 4: Tonnetz explicado por Daniel Lewis En el siguiente vídeo se oye un preludio de Chopin y se visualiza cómo evolucionan los acordes en el tonnetz. Figura 5: Tonnetz explicado por Daniel Lewis En el último vídeo se visualiza la Gimnopédie número 1 de Satie en el tonnetz. Figura 6: Tonnetz explicado por Daniel Lewis Por ultimo, recomendamos al lector la visita a la página de Imaginary [Ima22], donde puede encontrar una versión interactiva del tonnetz.   Bibliografía [Eul22] Leonard Euler. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae. http://eulerarchive.maa.org/backup/E033.html, Accedido en enero de 2022. Published on Euler archive. [Góm21a] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (I). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18644&directory=67, accedido el 20 de julio de 2021. [Góm21b] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (II). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18645&directory=67, accedido en agosto de 2021. [Ima22] Imaginary.org. Tonnetz. https://www.imaginary.org/es/node/1523, accedido en enero de 2022. [Lie04] Vicente Liern. Afinación. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=8747&directory=67, enero de 2004. [Wel20] John Welsh. Using Tonnetz Tone Mesh To Understand Jazz Harmony. https://jazz-library.com/articles/tonnetz/, Abril de 2020. [Wik22] Wikipedia. Tonnetz. https://en.wikipedia.org/wiki/Tonnetz, accedido en enero de 2022.
Lunes, 14 de Febrero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La función tonal La nueva serie de artículos de esta columna versan sobre los modelos matemáticos de la función tonal. Este primer artículo se dedica a examinar las diferentes definiciones de función tonal en la música clásica y en el jazz. Walter Piston en su libro Armonía4 define función tonal como siguiente (página 50, sus cursivas): La tonalidad no es simplemente una manera de utilizar las notas de una escala particular. Es más bien un proceso de establecimiento de relaciones de estas notas con la nota que representa el centro tonal. Cada grado de la escala tiene su parte en el esquema de la tonalidad, su función tonal. Esta definición resulta demasiado general o incluso vaga. La expresión “una manera de utilizar las notas” necesita más concreción. De hecho, nos resulta sorprendente que muchos manuales de armonía no definan la función tonal con más formalidad (el libro de Piston ha sido una clásica referencia durante largo tiempo). A continuación vamos a revisar las definiciones más comunes; para el lector interesado daremos referencias a los trabajos que profundizan más en el concepto de función tonal. La definición más operativa y a la vez menos ambigua la hemos encontrado en el libro en línea Open Music Theory1, que es la base de un proyecto pedagógico basado fuertemente en el aprendizaje por indagación implementado con clase invertida y discusiones en clase. Este proyecto fue iniciado por un grupo de profesores de música formado por Kris Shaffer, Bryn Hughes y Brian Moseley. Esta definición tiene en cuenta la historia del acorde, esto es, su pasado —los acordes que lo precedieron —, el presente —las notas que forman el acorde y el orden en que se presentan —, y el futuro —las notas que suelen suceder a este acorde—. Las notas que siguen a un acorde dependen fuertemente del estilo y un cierto conjunto de notas son más probables que sucedan a un acorde dado en un estilo que en otro. En vista de lo anterior, el concepto de función tonal se basa en tres principios: (1) Los acordes son conjuntos de grados de escala. (2) Cada grado de la escala tiene sus propias tendencias. (3) La combinación de tendencias de los grados de la escala de las notas de un acorde constituye la función del acorde. Vamos a examinar los conceptos incluidos en esta definición de función tonal para su mejor entendimiento. Fijada una escala (do mayor, mi frigio, etc.), el grado de la escala es la posición de una nota en la escala. Como es sabido, los grados de la escala en orden ascendente son: tónica (I), supertónica (II), mediante (III), subdominante (IV), dominante (V), superdominante (VI) (también submediante), y sensible (VII). Los grados de la escala se suelen designar con números romanos, como aparece en la figura de abajo. Figura 1: Los grados de la escala La ausencia de los conceptos raíz del acorde y calidad del acorde no es casualidad; estos conceptos se discutirán más adelante. Dado que la tendencia de un acorde es función del estilo, empezaremos estudiando la función tonal en la llamada práctica común (el periodo de la música clásica comprendido aproximadamente desde 1600 hasta el principio del siglo XX) y luego seguiremos con otros estilos (pop, rock, la práctica común extendida). Un estudio del estilo y sus leyes se puede acometer a partir del trabajo de Meyer, empezando por sus libro Emoción y significado de la música2 y Style and Music3. Meyer usa tres conceptos para explicar el estilo musical: ley, regla y estrategia. Las leyes son características de orden biológico y cognitivo y tienen una naturaleza universal (muchas de esas leyes se explican a través de la psicología de la forma); la ley de la continuación, por ejemplo, es un ejemplo de leyes. Las reglas son características de tipo cultural y están asociadas a una cultura y a un tiempo histórico particulares; por ejemplo, las reglas de conducción de voces es una regla. Por último, las estrategias son las características propias de la obra de un compositor dado; considérese el lenguaje armónico de Chopin en particular. La función tonal se puede considerar como una clasificación de los acordes en términos de su relación a un centro tonal o tónica. Estos dos últimos términos son equivalentes, pero hay alguna pequeña diferencia de matiz. Fijada una escala, la tónica es la primera nota de la escala. Nótese que la escala es una sucesión ordenada de notas y, por tanto, la tónica siempre está bien definida. La tónica implica estabilidad y resolución de las tensiones armónicas. Cuando hablamos de centro tonal esto comprende la noción de tónica, pero también se puede referir a una nota que se ha convertido en una referencia tonal (bien por medio de dominantes secundarias, cambios de modo, u otros mecanismos) y que no necesariamente tiene que ser la primera nota de la escala. Nosotros usaremos ambos términos de manera equivalente. La teoría de la función tonal surgió de la combinación de dos teorías previas sobre la armonía, la teoría de Hugo Riemann (la llamada teoría alemana) y la teoría de Schenker y otros (la llamada teoría vienesa). Hugo Riemann presentó su teoría en su libro Vereinfachte Harmonielehre en 1893. En él, define los conceptos de tónica, subdominante y dominante y comienza la clasificación de acordes según dicha función. En la teoría vienesa, fueron teóricos como Schenker, Sechter, o el propio Schoenberg quienes la construyeron. Esta teoría se basa en los grados de la escala y se centra en el contexto de las progresiones armónicas. La teoría moderna es una síntesis de ambas escuelas de pensamiento. 2. Las tres funciones tonales de la práctica común En la práctica común se han usado tradicionalmente tres funciones tonales: función de tónica, función de subdominante y función de dominante. Se les designa por T, SD y D, respectivamente. La función de subdominante también recibe el nombre de predominante. Los grados de la escala asociados a estas funciones son: Función de tónica: grados I, III y VI; las triadas formadas sobre estos grados contienen todas al grado I. Función de subdominante: grados II y IV; todas las triadas de esta función contienen el grado IV Función de dominante: grados V y VII. Fijando la escala de do mayor, por ejemplo, si ponemos los grados de la escala por terceras, veremos la relación entre dichos grados y las funciones tonales, como ilustra la figura siguiente: Figura 2: Las tres funciones tonales Una característica de la música clásica del periodo de la práctica común es que las notas del acorde determinan por sí solas la función del acorde, circunstancia que no es cierta en otros estilos musicales, como veremos más adelante en esta serie. En la música pop o rock, por ejemplo, el acorde sobre IV puede tener distintas funciones de acuerdo al contexto en que se encuentre. Otros autores, como Ian Quinn5, dan definiciones más profundas y operativas, que permiten clasificar la función tonal de una variedad más amplia de acordes en un número mayor de contextos. La definición de Quinn se basa en clasificar las notas de un acorde según tres categorías, que aquí llamaremos primarias, secundarias y disonancias (en el inglés original, son llamadas triggers, associates y dissonnace). La tabla siguiente muestra las notas asociadas a cada función tonal: FUNCIÓN NOTAS NOTAS NOTAS PRIMARIAS SECUNDARIAS DISONANTES Tónica Notas I y III Notas V y VI V si VI está presente y 7 Subdominante Notas IV y VI Notas I y II I si II está presente y 3 Dominante Notas V y VII Nota II IV y VI Tabla 1: Funciones tonales según Quinn5 Quinn introduce una excepción en el esquema anterior. Un acorde con los grados VI, I, III lo considera un tipo especial de acorde de tónica, al que llama tónica inestable (destabilized tonic). Para este acorde usa el símbolo especial Tx en lugar de simplemente T. Volveremos a esta cuestión más adelante en esta serie. There is one exception to this (for now): a chord with scale degrees 6, 1, and 3 is a special kind of tonic chord, called a destabilized tonic. Quinn uses the special functional label is Tx, rather than simply T, for this chord. En la siguiente figura vemos un esquema del propio Quinn en que se ilustra la clasificación de las notas por sus funciones tonales. Figura 3: Las funciones tonales definidas por Quinn5 En el próximo artículo veremos modelos de función tonal más avanzados y empezaremos a examinar sus primeros modelos matemáticos. Bibliografía [1] Bry Hughes et al. Harmonic function. http://openmusictheory.com/harmonicFunctions.html. web page. accedido el 1 de noviembre de 2021. url: https://viva.pressbooks.pub/openmusictheory. [2] Leonard Meyer. Emoción y significado de la música. Madrid: Alianza Música, 1956/2000. [3] Leonard Meyer. Style and Music. Nueva York: University of Chicago Press, 1997. [4] Walter Piston. Harmony. London: Gollancz, 1950. [5] Ian Quinn. Harmonic Function without Primary Triads. web page. Artículo presentado en la reunión anual de la Society for Music Theory en Boston. 2005.
Martes, 16 de Noviembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Luis Nuño (Universidad Politécnica de Valencia)
Una vez más tengo el placer de contar como autor invitado a Luis Nuño, catedrático de universidad en la Universidad Politécnica de Valencia y autor de la Rueda Armónica, página web que presenta herramientas para el aprendizaje de la teoría de la música con una base matemática. Esta vez nos trae un fascinante artículo sobre grafos parsimónicos en triadas y tetracordos. Estamos ante un artículo profundo y bello a la vez. Espero que los lectores de esta columna lo disfruten tanto como lo he hecho al leerlo. Paco Gómez Martín 1. Introducción La prestigiosa revista internacional Journal of Mathematics and Music ha publicado este año 2021 un número especial titulado “Pattern in Music” (Patrones en Música), que incluye ocho artículos. A continuación se va a explicar resumidamente uno de ellos, titulado “Parsimonious graphs of the most common trichords and tetrachords” (Nuño, 2021b). La referencia completa de este artículo se encuentra en la Sección 6. Con el objetivo de que esta exposición sea de la máxima utilidad y para una variedad de lectores lo más amplia posible, se ha simplificado sustancialmente la parte teórica, pero se ha mantenido íntegramente la parte práctica. Así mismo, los acordes se han representado mediante la notación inglesa y con los símbolos más comúnmente utilizados. Entre las estructuras que se repiten de manera recurrente en las composiciones musicales tenemos las denominadas “transformaciones parsimónicas”, las cuales han sido ampliamente utilizadas en épocas y estilos musicales tan diferentes como el período Clásico, el Romanticismo, la música Latina o el Jazz, siendo por tanto unos patrones musicales perfectamente establecidos. Su análisis puede llevarse a cabo mediante la “teoría neo-riemanniana”, que surgió en la década de los años 1980 para analizar ciertos pasajes cromáticos de determinados compositores del s. XIX y está todavía en proceso de evolución gracias a las aportaciones del álgebra y la geometría. Según Gollin (2005), esta teoría se caracteriza por tres elementos: grupos matemáticos de transformaciones, conducción parsimónica de las voces y sus representaciones gráficas. El ejemplo por excelencia lo constituyen el grupo “PLR” y el Tonnetz, aunque se limitan únicamente a las tríadas mayores y menores. P, L y R son las operaciones básicas “Paralelo”, “Cambio de Sensible” (en inglés, Leading-tone exchange) y “Relativo”, las cuales transforman, respectivamente, por ejemplo, C mayor en C menor, C mayor en E menor y C mayor en A menor; y viceversa. Como punto de partida podemos tomar una regla básica en Armonía para conectar unos acordes con otros, que es la “ley del camino más corto” (Schönberg 1983, p. 39, citando a Bruckner). Esto significa mantener las notas comunes y mover las demás según los mínimos intervalos posibles. A este respecto, Douthett y Steinbach (1998) establecen que dos acordes de la misma “cardinalidad” (es decir, con el mismo número de notas) guardan entre sí una relación “Pm,n” si uno de ellos puede transformarse en el otro manteniendo las notas comunes y, en cuanto a las demás, moviendo m notas un semitono y n notas un tono. Entonces, diremos que dicha relación es “parsimónica” si los valores de m y n son bajos, generalmente m + 2n ≤ 2. El caso más simple es, lógicamente, P1,0, que denominaremos “monosemitonal” (en inglés, single-semitonal). Además, Douthett y Steinbach (1998) aportan también varios grafos parsimónicos de especial relevancia, como el “Chicken-Wire Torus” (grafo dual del Tonnetz) y el “Cube Dance” para los tricordos “más uniformes” (es decir, en los que los intervalos entre cada dos notas consecutivas son similares) o el “Towers Torus” y el “Power Towers” para los tetracordos más uniformes. Veinte años antes, sin embargo, Waller (1978) ya publicó un toroide equivalente al Chicken-Wire, pero que, además, mostraba claramente su división en hexágonos, así como los ciclos PL, PR y – aunque algo más difíciles de visualizar – los LR. Estas y otras relaciones PLR compuestas han sido estudiadas exhaustivamente por Cohn (2012). Por su parte, Tymoczko (2006) hace un planteamiento diferente, desarrollando una teoría para representar los acordes de n notas en una especie de banda de Möbius generalizada, que llamaremos “n-orbifold”. Además, proporciona las figuras del 2-orbifold y parte del 3-orbifold, antes de “torcerlos y doblarlos” para obtener los verdaderos orbifolds. Callender, Quinn y Tymoczko (2008) aportan nuevas representaciones de este tipo, aunque, en la práctica, dada su especial complejidad, solo se suelen representar las regiones centrales de los orbifolds. En este trabajo se presentan unos nuevos grafos circulares cíclicos, que he denominado “Cíclopes”, que incluyen un mayor número de tricordos y tetracordos que las representaciones anteriores, donde estos están conectados entre sí mediante transformaciones monosemitonales. Así mismo, proporcionan una visión más amplia de las regiones centrales de los correspondientes orbifolds. Por consiguiente, permiten representar un mayor número de obras musicales de una forma práctica y pueden utilizarse tanto para el análisis musical como para la composición. Se asume que el lector está familiarizado con los “nombres de Forte” (Forte 1973) y las “clases de conjuntos”, también llamadas “clases de acordes”. En este trabajo, las clases de acordes “no inversionalmente simétricas” se dividen en dos “tipos de acordes” relacionados entre sí por “inversión”, llamados “a” y “b”, de acuerdo con las definiciones dadas por Nuño (2020a). Todos estos conceptos pueden, de forma alternativa, consultarse en español en Nuño (2020b) y Nuño (2021a). Por otra parte, este estudio trata también, en gran medida, sobre la “geometría de los acordes” (Tymoczko 2011) y las “transformaciones de los acordes más uniformes” (Cohn 2012), aunque los principales conceptos se explican también aquí. 2. Selección de los Tricordos y Tetracordos Tal como se explica en las anteriores referencias, hay 12 clases diferentes de acordes de 3 notas, los tricordos, 5 de los cuales son inversionalmente simétricos, mientras que cada uno de los restantes 7 se puede dividir en dos tipos de acordes relacionados por inversión, lo que hace un total de 19 tipos de acordes. Y hay 29 clases diferentes de acordes de 4 notas, los tetracordos, 15 de los cuales son inversionalmente simétricos; y, dividiendo en dos los restantes 14, obtenemos un total de 43 tipos de acordes. En ambos casos, el número de tipos de acordes es demasiado elevado como para poder relacionarlos en unos grafos que sean visualmente sencillos y de utilidad práctica. Por tanto, nos centraremos únicamente en los tricordos y tetracordos “más comunes”. Veamos cómo podemos seleccionarlos. En el período de la práctica común (aproximadamente, 1650-1900), las armonías se forman mediante superposición de terceras sobre los siete grados de las escalas mayor, menor armónica y menor melódica (veáse, por ejemplo, Schönberg 1983 o Piston 1988). De aquí resultan las 4 tríadas y los 7 acordes de séptima básicos, cuyos nombres de Forte son 3-10, 3-11a, 3-11b, 3-12 y 4-19a, 4-19b, 4-20, 4-26, 4-27a, 4-27b, 4-28, respectivamente. A estos hay que añadir los acordes de sexta aumentada 3-8a (italiana) y 4-25 (francesa). Todos estos tipos de acordes son, por tanto, predominantes en la música occidental. Para una cardinalidad dada (3 o 4 notas en nuestro caso), las clases de acordes están ordenadas desde la que tiene las notas lo más juntas posible, es decir, en secuencia cromática hasta la que las tiene separadas lo más uniformemente posible (tríadas aumentadas y acordes de séptima disminuida, según se trate de acordes de 3 o de 4 notas). Así, el criterio seguido aquí ha sido seleccionar “series completas de tipos de acordes”, desde los “más cromáticos” de los grupos anteriores (3-8 y 4-19) hasta los más uniformes (3-12 y 4-28). Tabla 1. Tipos de tricordos y tetracordos considerados aquí. Un superíndice en los nombres de Forte indica el grado de simetría transposicional, en caso de ser mayor que 1. Un asterisco (*) significa “omit 5” y un doble asterisco (**) “omit b3”. Los acordes mayores (M) se representan, normalmente, mediante su fundamental, sin ningún símbolo adicional. El símbolo “(9)” significa “add 9”, mientras que el símbolo “9” significa añadir tanto la séptima menor como la novena mayor. Las formas interválicas empiezan desde la fundamental. Tricordo Símbolo Forma Int. Tetracordo Símbolo Forma Int. 3-8a 7* 462 4-19a mΔ 3441 3-8b Ø** 642 4-19b Δ#5 4431 3-9 sus4 525 4-20 Δ 4341 3-10 dim 336 4-21 9* 2262 3-11a m 345 4-22a (9) 2235 3-11b M 435 4-22b m4 3225 3-123 + 444 4-23 7sus 5232 4-24 7#5 4422 4-252 7b5 4242 4-26 m7 3432 4-27a Ø 3342 4-27b 7 4332 4-284 O 3333 La Tabla 1 muestra esos tricordos y tetracordos con los símbolos empleados aquí para representarlos y sus “formas interválicas” (Nuño 2020a) empezando desde la fundamental. La forma interválica de un tipo de acorde es la secuencia de intervalos, en semitonos, entre cada dos notas adyacentes, incluyendo el intervalo entre la última nota y la primera; o cualquiera de sus permutaciones circulares. Los acordes añadidos a los grupos anteriores son los siguientes: 3-8b, 3-9, 4-21, 4-22a, 4-22b, 4-23 y 4-24, los cuales se interpretan, en ocasiones, como acordes cromáticos, incompletos o de paso. En otros estilos musicales, como el Pop, la música latina o el Jazz se utilizan con frecuencia todos los tipos de acordes de la tabla (véase, por ejemplo, el listado de acordes proporcionado por Sher 1991, p. iv). Por tanto, la selección realizada de esta manera contiene un número razonable de tipos de acordes, a la vez que incluye, en todo caso, los más relevantes. 3. Grafos Parsimónicos Las Figuras 1 y 2 son unos grafos circulares que he denominado 3-Cíclope y 4-Cíclope, que muestran, respectivamente, los tricordos y tetracordos de la Tabla 1 conectados mediante transformaciones monosemitonales. Así, en cada grafo se pasa de un acorde a otro cambiando una nota un semitono, el cual puede ser ascendente, si giramos en sentido horario, o descendente, si lo hacemos en sentido antihorario. Los números que hay en los extremos de las líneas que conectan los acordes indican las notas inicial y final referidas a las fundamentales de dichos acordes, donde 1, 3, 4 y 5 representan intervalos justos o mayores, que pueden alterarse mediante # y b, mientras que las séptimas mayores, menores y disminuidas se representan mediante Δ, 7 y d7, respectivamente. Haciendo la analogía con la carátula de un reloj, cada acorde se ha colocado en una “zona”, que viene definida por “la suma de sus notas”, módulo 12 (Cohn 2012, p. 102). Así, por ejemplo, el acorde de C mayor está en la zona 0 + 4 + 7 = 11 del 3-Cíclope y el acorde BØ en la zona 11 + 2 + 5 + 9 = 27 = 3 (módulo 12) del 4-Cíclope. De esta manera, si se sube un semitono una nota de un acorde, pasamos a la siguiente zona girando en sentido horario. Además, esto hace que, en el 3-Cíclope, los tricordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 4 semitonos estén situados en la misma zona. Y lo mismo ocurre en el 4-Cíclope con los tetracordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 3 semitonos. Por otra parte, los acordes que tienen un grado de simetría transposicional “s” mayor que uno tienen, lógicamente, conexiones múltiples a acordes del mismo tipo. Este es el caso de las tríadas aumentadas (s = 3), los acordes de sexta aumentada francesa (s = 2) y los acordes de séptima disminuida (s = 4). Entre los grafos parsimónicos desarrollados hasta la fecha cabe destacar, para el caso de los tricordos, el “Cube Dance” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre las tríadas aumentada (3-12), menor (3-11a) y mayor (3-11b), el cual contiene solo un tipo de acorde por zona. Tymoczko (2011, p. 105) representa estos mismos acordes en un cubo. Pero con anterioridad a ambos tenemos el Tonnetz, que es una representación de los acordes mayores y menores conectados mediante transformaciones PLR. Por su parte, el 3-Cíclope puede considerarse como un Cube Dance o un Tonnetz “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 3-8 a 3-10. En total, contiene 7 tipos de acordes frente a los 3 del Cube Dance o los 2 del Tonnetz. Además, en él se visualizan claramente las transformaciones básicas PLR: P y L son líneas “oblicuas” con respecto a las circunferencias centradas en el grafo, y R son líneas que “atraviesan” las tríadas aumentadas, entrando y saliendo por la misma letra (“a”, “b” o “c”). Simbólicamente, P = /, L = \ y R = ^. Figura 1. El 3-Cíclope, con los tricordos considerados en la Tabla 1. Con respecto a los grafos parsimónicos para los tetracordos tenemos el “Power Towers” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre los acordes disminuido (4-28), semidisminuido (4-27a), de séptima de dominante (4-27b) y menor con séptima (4-26), el cual contiene también solo un tipo de acorde por zona. Cannas (2018) añade a ellos los acordes mayores con séptima mayor (4-20), obteniendo el “Clover graph”. En cambio, tanto el “4-Cube Trio” de Douthett (Cohn 2012, p. 158), como la representación de Tymoczko en el 4-orbifold (2011, p. 106), lo que añaden son los acordes de sexta aumentada francesa (4-25), completando de esta manera un hipercubo en cuatro dimensiones o “teseracto” (tipos de acordes 4-25 a 4-28). Por su parte, el 4-Cíclope puede considerarse como un 4-Cube Trio “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 4-19 a 4-24. En total, contiene 13 tipos de acordes frente a los 5 del 4-Cube Trio o el Clover graph, un número bastante alto que hace que este grafo sea más complejo que el 3-Cíclope. Figura 2. El 4-Cíclope, con los tetracordos considerados en la Tabla 1. 4. Patrones de Acordes Tanto el 3-Cíclope como el 4-Cíclope son especialmente adecuados para representar ciertos patrones de acordes que aparecen en determinadas composiciones musicales, los cuales se indican en la Tabla 2. Estos patrones también pueden representarse en el Tonnetz, pero solo hasta cierto punto, ya que este solo contiene las tríadas menores (3-11a) y mayores (3-11b); y, cuando se utilizan acordes de séptima de la clase 4-27, lo normal es reducirlos eliminando la séptima en los acordes “7” y la tónica en los acordes “Ø”. Cohn (2012) y Tymoczko (2011) analizan muchos ejemplos de este tipo, pero incluyen también las tríadas aumentadas (3-12); y, con respecto a los tetracordos, ambos consideran los cinco tipos más uniformes (4-25 a 4-28). Sin embargo, el 3- y el 4-Cíclope incluyen más del doble de tipos de acordes (3-8 a 3-12 y 4-19 a 4-28, respectivamente), por lo que permiten analizar un mayor número de piezas musicales, así como obtener unas representaciones más simples y compactas. Tabla 2. Patrones de acordes idóneos para ser representados en el 3- y el 4-Cíclope.   3-Cíclope   4-Cíclope     Progresiones Parsimónicas de Tricordos   Progresiones Parsimónicas de Tetracordos     Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera mayor   Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera menor   Consideremos, en primer lugar, varios ejemplos basados en tricordos a distancia de tercera mayor, los cuales están situados en la misma zona del 3-Cíclope, y que incluyen también progresiones parsimónicas. En cuanto a los acordes “7” y “Ø”, consideraremos sus formas incompletas, “7*” y “Ø**”, que son mejores aproximaciones a los acordes reales que las utilizadas en el Tonnetz y, lo que es muy ventajoso, conducen a representaciones mucho más compactas. Comencemos por la Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24 de Beethoven. Las armonías en el segundo movimiento, compases 38-54, son las siguientes:         donde cada acorde o cada pareja de acordes unidos por un guión dura un compás y el símbolo “%” significa repetir el compás anterior. Los acordes relacionados con una misma tríada consonante se han agrupado mediante llaves. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 3 en el 3-Cíclope, donde el acorde inicial se ha marcado de manera especial. Los tres acordes menores (Bbm, F#m, Dm) están a distancia de tercera mayor descendente, al igual que los tres acordes mayores relacionados con ellos mediante operaciones L y P (Gb, D, Bb). Estos últimos se afirman mediante cadencias con acordes de séptima de dominante y de subdominante, estando cada uno de estos tipos de acordes situados en una misma zona. Debido a la utilización de los acordes “7” en su forma incompleta, es decir, “7*”, el resultado es muy compacto y solo ocupa tres zonas cercanas entre sí: 4, 5 y 8. Si hubiéramos usado los acordes “7” sin la séptima, como se hace en el Tonnetz, entonces estarían localizados en la zona 2 de la Figura 1. En cuanto a sus formas completas con 4 notas, estarían situadas en zonas diferentes (1, 5, 9) de la Figura 2, dejando de estar agrupados. Analicemos ahora la Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3 de Liszt, compases 23-43, cuyas armonías son         donde algunos acordes se tocan sobre una nota pedal, lo cual se representa mediante una barra seguida de la nota pedal. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 4 en el 3-Cíclope (sin los pedales) y se puede comparar con Cohn (2012, p. 187), quien aporta, además, una animación Web. Ahora los tres acordes mayores (Db, F, A) están a distancia de tercera mayor, pero ascendente, y solo hay dos acordes menores (Fm, Am) relacionados con ellos mediante operaciones L y P, los cuales se afirman mediante cadencias más largas. Hay, además, un acorde “Ø”, cuya forma incompleta (es decir, Ø**), junto con las de los acordes “7” (es decir, 7*), dan lugar a una representación muy compacta, que se extiende únicamente sobre dos zonas consecutivas (1 y 2). De hecho, el 3-Cíclope es también especialmente adecuado para representar las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En particular, el tema de Jazz “Giant Steps” de Coltrane (Sher 1991) está estrechamente relacionado con esto, ya que consta únicamente de cadencias V7–IΔ y IIm7–V7–IΔ a distancia de tercera mayor.   Figura 3. Beethoven, Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24, segundo movimiento, compases 38-54.   Figura 4. Liszt, Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3, compases 23-43. En cuanto a ejemplos con el 4-Cíclope, consideremos el Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18 de Rachmaninoff. En el primer movimiento, compases 1-8, hay una progresión puramente monosemitonal, representada en la Figura 4 en el 4-Cíclope mediante una simple línea: [Fm(5)]  DbΔ  DØ Fm7  F7  Fm7  DØ DbΔ Aquí, una nota entre paréntesis significa añadir dicha nota al acorde. Así, Fm(5) es Fm con la quinta duplicada (C). Este acorde se ha escrito entre corchetes porque no aparece en el 4-Cíclope, pero se ha incluido en la figura para ilustrar mejor el ejemplo. Son precisamente esos dos C los que suben y bajan por semitonos a lo largo de la progresión, excepto al pasar por F7. Hay un pedal F–C (en triple octava), que pertenece a todas las armonías y que da robustez a toda la progresión. También hay otro pedal Ab (en doble octava), excepto en F7. El primer acorde, Fm(5), pasa a DØ a través de DbΔ en lugar de DO, posiblemente porque este último no incluye el pedal C y además contiene dos tritonos, mientras que DbΔ no contiene ninguno. El siguiente ejemplo es Indudable (Bossa Nova) de Nuño (2012), cuyos compases 19-27 constan de los siguientes acordes (algunos de los cuales, en realidad, contienen más tensiones) G#m7  C#Δ  Fm7  BbΔ  Dm7  G6  Bm7  E7sus  G#m7 Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 6 en el 4-Cíclope. Los cuatro acordes menores con séptima (G#m7, Fm7, Dm7, Bm7) están a distancia de tercera menor, por lo que están situados en la misma zona. En cuanto a los demás acordes, sus tónicas están también a distancia de tercera menor, pero en lugar de tener la secuencia homogénea C#Δ, BbΔ, GΔ, EΔ, los dos últimos acordes (marcados con línea discontinua en la Figura 6) se han sustituido por G6 (enarmónico de Em7) y E7sus, respectivamente. En todo caso, la representación es nuevamente simple y compacta.   Figura 5. Rachmaninoff, Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18, primer movimiento, compases 1-8.   Figura 6. Nuño, Indudable (Bossa Nova), compases 19-27. Como último ejemplo tomaremos el Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4 de Chopin, una de las piezas más interesantes analizadas por Tymoczko (2011, pp. 287-293) y Cohn (2012, pp. 160-166), los cuales aportan, además, animaciones Web. La figura 7 es una partitura simplificada con los compases 1-12. Figura 7. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Melodía y estructura armónica. Figura 8. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías de las tres voces inferiores. Como se verá, esta composición se entiende mejor analizando primero las armonías de las tres voces inferiores, representadas en la Figura 8 en el 3-Cíclope, las cuales pasan por todos los tipos de tricordos considerados en este grafo, excepto las tríadas aumentadas (¿quizás son demasiado disonantes?). Chopin incluye, además, los tipos de acordes “m7*” (3-7a) y “Δ*” (3-4a), definidos por las formas interválicas y , que son los acordes tónicos de séptima incompletos de las tonalidades menor natural y mayor, respectivamente. Desde el segundo acorde (F#m7*), las tres voces inferiores realizan estrictamente una progresión monosemitonal (P1,0) descendente, que cubre algo más de una vuelta completa en el grafo. Después, se utilizan otras transformaciones parsimónicas para terminar la frase, las cuales se indican en la partitura. Figura 9. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías completas. Por su parte, la austera melodía describe también una línea descendente, B–A–G#–F#, que completa las armonías y conduce a una representación más compleja en el 4-Cíclope (Figura 9). Aparte de los acordes considerados en este grafo, Chopin también incluye el “(b9)” (4-18a) y el “Δb5” (4-16a), definidos por y , respectivamente. 5. Conclusiones Se han presentado dos nuevos grafos, denominados Cíclopes, que relacionan los tricordos y tetracordos más comunes mediante transformaciones monosemitonales. Ambos incluyen más del doble de tipos de acordes que los grafos publicados hasta la actualidad, por lo que permiten analizar un repertorio más extenso de forma práctica. Estos grafos son especialmente adecuados para representar progresiones de acordes parsimónicas, tricordos a distancia de tercera mayor y tetracordos a distancia de tercera menor, así como las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En todos estos casos, los resultados que se obtienen son simples y compactos, lo que nos permite visualizar claramente las relaciones entre los acordes involucrados y entender mejor los patrones de composición utilizados, a la vez que constituyen un excelente recurso mnemotécnico. Por todo ello, podemos concluir que estos grafos son unas herramientas de gran utilidad tanto para el análisis musical como para la composición. 6. Referencias Callender, Clifton, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. 2008. “Generalized Voice-Leading Spaces.” Science 320 (5874): 346–348. Cannas, Sonia. 2018. “Geometric Representation and Algebraic Formalization of Musical Structures.” Ph.D. dissertation, Université de Strasbourg and Università degli Studi di Pavia e di Milano-Bicocca. Cohn, Richard. 2012. Audacious Euphony: Chromatic Harmony and the Triad’s Second Nature. New York: Oxford University Press. Douthett, Jack, and Peter Steinbach. 1998. “Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition.” Journal of Music Theory 42 (2): 241–263. Forte, Allen. 1973. The Structure of Atonal Music. New Haven: Yale University Press. Gollin, Edward. 2005. “Neo-Riemannian Theory.” Zeitschrift der Gesellschaft für Musiktheorie (ZGMTH) 2 (2–3): 153–155. Nuño, Luis. 2012. Puesta de Sol. Vol. 1. Madrid: Acordes Concert, S.L. Nuño, Luis. 2020a. “A Detailed List and a Periodic Table of Set Classes.” Journal of Mathematics and Music 1–21. https://doi.org/10.1080/17459737.2020.1775902 Nuño, Luis. 2020b. “La Tabla Periódica Musical (1/2).” DIVULGAMAT, Centro virtual de divulgación de las matemáticas, RSME: Real Sociedad Matemática Española, No. 111. Diciembre 2020. http://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=11&category=67&Itemid=67 Nuño, Luis. 2021a. “La Tabla Periódica Musical (2/2).” DIVULGAMAT, Centro virtual de divulgación de las matemáticas, RSME: Real Sociedad Matemática Española, No. 112. Enero 2021. http://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=11&category=67&Itemid=67 Nuño, Luis. 2021b. “Parsimonious Graphs for the Most Common Trichords and Tetrachords.” Journal of Mathematics and Music 15 (2): 125–139. https://doi.org/10.1080/17459737.2021.1923844 Piston, Walter. 1988. Harmony. 5th ed. New York: W. W. Norton and Co. Schönberg, Arnold. 1983. Theory of Harmony. 3rd ed. Berkeley, Calif.: University of California Press. Sher, Chuck. 1991. The New Real Book. Vol. 2. Petaluma, Calif.: Sher Music Co. Tymoczko, Dmitri. 2006. “The Geometry of Musical Chords.” Science 313 (5783): 72–74. Tymoczko, Dmitri. 2011. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. New York: Oxford University Press. Waller, Derek A. 1978. “Some Combinatorial Aspects of the Musical Chords.” The Mathematical Gazette 62 (419): 12–15.
Lunes, 11 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En los dos artículos anteriores [4, 5] hicimos un recorrido por los principales sistemas de afinación y por algunos temperamentos. En el primero, cubrimos los fundamentos físicos de la afinación y la afinación pitagórica; en el segundo, la afinación justa y los sistemas mesotónicos. En este tercer artículo, estudiaremos los temperamentos irregulares y el temperamento igual. 2. Temperamentos irregulares Un temperamento irregular —que también recibe el nombre de temperamentos circulares o buenos temperamentos—son temperamentos que partiendo de los sistemas mesotónicos modifican algunas notas para la quinta del lobo desaparezca o al menos se atenúe. Otra manera de expresarlo es que se modifican notas para que la “espiral” de quintas se convierta en un verdadero círculo de quintas donde sea posible la modulación. De hecho, la aparición de los temperamentos irregulares están fuertemente ligados a la necesidad de modulación que de modo creciente se estableció a partir del siglo XVI. Los temperamentos irregulares coexistieron con los sistemas mesotónicos y al menos estuvieron en uso dos siglos antes de que el temperamento igual se generalizara como sistema de afinación estándar. Hay estudios sobre el Clave bien temperado que defienden la idea de que Bach lo escribió para temperamentos irregulares, ya que musicalmente es más rico que si se toca en el sistema mesotónico. Para una buena revisión histórica breve y concisa, véanse el libro de Benson [2] (páginas 206 y siguientes) y el capítulo 7 del libro de Barbour [1]. La quinta del lobo del sistema mesotónico es 35 cents más aguda de lo que debería ser. En general, los temperamentos irregulares se pueden clasificar en función de cómo tal diferencia se distribuye por el resto de las notas. Uno de los temperamentos irregulares más usados fue el llamado Werckmeister III. Siguiendo la notación de Eitz introducida en el artículo anterior y designando por p la coma pitagórica, su diagrama está en la figura de abajo. mi-p si-p fa#-p do#-p sol#-p do0 sol-p re-p la-p mi-p mi♭0 si♭0 fa♭0 do0 Figura 1: Temperamento irregular de Werckmeister III Si miramos a la segunda fila, observaremos que la coma pitagórica está distribuida a partes iguales entre las quintas do-sol-re-la y si-fa♯. A partir del la, la sucesión de notas sigue por quintas puras (pero partiendo desde la-p hasta el si-p, donde ahora salta a fa#-p. Y desde aquí sigue de nuevo por quintas puras. Estos temperamentos permitían obtener resultados más o menos satisfactorios cuando se modulaba a tonalidades relativamente lejanas de la principal. También dieron lugar a “personalidades” en las tonalidades, con frecuencia asignadas de manera subjetiva. Por ejemplo, Daniel Schubart en su obra Ideen zu einer Aesthetik der Tonkunst asigna las personalidades que se ven en la tabla de abajo (la tabla está tomada de la entrada de Wikipedia Tonalidad [6]). En algunos casos las descripciones de estas personalidades resultan algo excesivas. No es el único autor que confeccionó este tipo de tablas de personalidades o características afectivas (piénsese en la teoría de los afectos del periodo barroco). Tonalidad Personalidad Do mayor Alegre, guerrero, completamente puro. Su carácter es de inocencia y de simplicidad. Do menor Oscuro y triste. Declaración de amor y a la vez lamento de un amor no correspondido. Anhelos y suspiros. Do ♯ mayor Miradas lascivas. Pena y éxtasis. No puede reír, pero puede sonreír. No puede aullar, solo puede hacer una mueca de su llanto, bello. Caracteres y sentimientos inusuales. Do ♯ menor Sentimientos de ansiedad, angustia y dolor profundo en el alma, desesperación, depresión, sentimientos sombríos, miedos, indecisiones, escalofríos. Si los fantasmas hablaran se aproximarían a esta tonalidad. Re mayor Feliz y muy guerrero. El triunfo, aleluyas, júbilo, victoria. Re menor Grave y devoto. Melancolía femenina. El rencor. Mi ♭ mayor Crueldad, dureza, amor, devoción, conversación íntima con Dios. Mi ♭ menor Horrible, espantoso. Mi mayor Querellante, chillón, gritos ruidosos de alegría, placer al reírse. Mi menor Afeminado, amoroso, melancólico. Fa mayor Furioso, arrebatado, nostalgia solemne, maravilloso, dulce. Fa menor Oscuro, doliente, depresivo, lamento funerario, gemidos de miseria. Fa ♯ mayor Triunfo sobre la dificultad, libertad, alivio, superación de obstáculos, el eco de un alma que ferozmente ha lidiado y finalmente conquistó. Fa ♯ menor Pesimista, triste, sombrío, oscuro, terco a la pasión, resentimientos, descontentos. Sol mayor Dulcemente jovial, idílico, lírico, calmado, pasión satisfecha, gratitud por la amistad verdadera y el amor esperanzado, emociones gentiles y pacíficas. Sol menor Serio, magnífico, descontento, preocupado por el rompimiento de los esquemas, mal templado, rechinamiento de dientes, disgusto. La ♭ mayor Gravedad, muerte y putrefacción. La ♭ menor Quejándose todo el tiempo, poco complaciente, insatisfecho, corazón sofocado, lamentos, dificultades. La mayor Alegre, campestre, declaración de amor inocente, satisfacción, la esperanza de volver lo que le pertenece a uno de nuevo al regresar de una partida, juventud, aplausos y creencia en Dios. La menor Tierno, lloroso, piedad femenina. Si ♭ mayor Magnífico, alegría, amor alegre, conciencia limpia, metas y deseos por un mundo mejor. Si ♭ menor Oscuro, terrible, criatura pintoresca y curiosa, ropa de noche, tosco, maleducado, burlesco, descortés, descontento con sí mismo, sonidos del suicidio. Si mayor Duro, doliente, deslumbrante, fuertemente coloreado, anunciando pasiones salvajes, enfado, odios y resentimientos. Si menor Solitario, melancólico, ermitaño, paciencia, fe y sumisión esperando el perdón divino. La idea de concentrar la distribución de la coma en ciertas notas y no en otras es la de hacer ciertas tonalidades más aceptables que otras. Con esta estrategia, las terceras de las tonalidades “buenas” suenan casi como las terceras justas, como es el caso de la triada de do mayor do0-mi0-sol-p∕4 del sistema de Werckmeister III (la diferencia es de 4 cents). Si embargo, las terceras construidas sobre do♯ o fa♯ suenan más agudas (ahora la diferencia es de 22 cents, que es una diferencia notable). Para una lista completa y exhaustiva junto con el contexto histórico, consúltense los libros de Goldáraz [3] y Barbour [1]. 3. Temperamento igual Los temperamentos descritos hasta ahora tienen el problema de que la elección de las notas esencialmente favorecía una tonalidad en particular junto a sus vecinas y dejaba el resto con afinaciones deficientes. Los esfuerzos por distribuir la coma pitagórica o sintónica de algunos temperamentos entre las quintas, como en el caso de los temperamentos irregulares, llega a su punto natural con el temperamento igual, cuyo principio consiste en dividir la octava en 12 partes iguales. O dicho de otro modo, hacer que todas las quintas tengan el mismo tamaño. Históricamente y matemáticamente, esto fue difícil. Históricamente, fueron los constructores e intérpretes de instrumentos de afinación fija (órganos, clavecines, laudes, guitarras, etc.) los que empezaron a explorar el temperamento igual. Según Barbour [1] (página 56), Giovanni Maria Lanfranco en 1533 fue el primero en abogar y sistematizar el temperamento igual. Lanfranco recomienda que “las quintas se achiquen de manera que no sean agradables del todo al oído y que las terceras se puedan soportar”. Matemáticamente, la dificultad era construir de manera geométrica (con regla y compás) el número irracional , que es la proporción con que se construye el temperamento igual. En el temperamento igual, una octava se divide en 12 partes iguales; esto equivale a decir que la proporción entre dos notas consecutivas es 2 : 1 o, si se miden en cents, simplemente 100 cents. La tabla siguiente resume la construcción del temperamento igual. Notas Do Do♯ Re Re♯ Mi Fa Fa♯ Proporción 1/1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 Cents 0 100 200 300 400 500 600 Notas Sol Sol♯ La La♯ Si Do Proporción 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 Cents 700 800 900 1000 1100 1200 Tabla 1: Temperamento igual Las terceras del temperamento igual son 14 cents más agudas que las terceras justas. Y como dice Benson en su libro [2] (página 204), “suenan nerviosas y agitadas” (estoy de acuerdo con esta afirmación). En la siguiente tabla se ven de nuevo las proporciones de la afinación pitagórica y su comparación con el temperamento igual (medido en cents). Notas Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# Proporción 1/1 3/2 9/8 27/16 81/64 243/128 729/512 Cents 0 701.96 203.91 905.87 407.82 1109.78 611.73 113.68 815.64 Notas Do Fa Si♭ Mi♭ La♭ ~Sol# Proporción 1/1 4/3 9/16 32/27 128/81 Cents 0 498.04 996.09 294.13 792.18 Tabla 2: Afinación pitagórica para la escala cromática En general, la afinación justa y el sistema mesotónico producen terceras con más sensación de calma. Los temperamentos irregulares tienen la ventaja de dotar a cada tonalidad de una personalidad y un color distintos, como consecuencia de la distribución irregular de la coma. En el temperamento igual todas las tonalidades tienen esencialmente la misma personalidad. 4. Para saber más A continuación ponemos algunos vídeos con música en el temperamento Werckmeister III. Empezamos con una sonata de Domenico Scarlatti, la sonata en la menor K. 54. Figura 2: Sonata en la menor K. 54 en el temperamento Werckmeister III Figura 3: Preludio en do mayor del Clave bien temperado de Bach en 7 temperamentos (incluido Werckmeister III)   Bibliografía [1] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. New York: Dover Publications, Inc., 1951. [2] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [3] J. Javier Goldáraz. Afinación y temperamentos históricos. Madrid: Alianza Editorial, 2004. [4] Paco Gómez. Afinación y temperamento (I). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18644&directory=67. web page. accedido el 20 de julio de 2021. [5] Paco Gómez. Afinación y temperamento (II). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18645&directory=67. web page. accedido en agosto de 2021. [6] Wikipedia. Tonalidad_(música). https://es.wikipedia.org/wiki/Tonalidad\_(msica). web page. accedido el 10 de julio de 2021.
Jueves, 09 de Septiembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En el artículo anterior [Góm21], presentamos los conceptos básicos de afinación y temperamento (manejo de frecuencias, división de la octava, cents, la serie armónica) y la afinación pitagórica, cuyos generadores son la octava y la quinta. En este artículo vamos a estudiar los siguientes temas: la afinación justa, en su versión diatónica y cromática junto con algunas afinaciones históricas; hablaremos de los problemas armónicos que se derivan del uso de la afinación justa; continuaremos con los sistemas mesotónicos, de los cuales proporcionaremos los ejemplos más sobresalientes; y, por último, sugeriremos al lector vídeos y referencias para seguir ahondando en ambos; y eso sin olvidar sugerencias de música, por supuesto. 2. Afinación justa 2.1. Escala diatónica justa Si consideramos las proporciones de la afinación pitagórica, las cuales reproducimos por completitud en la tabla 1, observaremos que ciertas notas tienen proporciones complicadas, como pueden ser las notas mi, la y si. En la afinación justa se persigue simplificar estas proporciones. Después de la octava y la quinta, la siguiente proporción más simple es la cuarta 4:3. Sin embargo, concatenar cuartas y quintas, o viceversa, no produce nuevos intervalos. En efecto, si añadimos una cuarta justa a una quinta justa, entonces tenemos que ⋅ = 2 y se genera una octava. Tampoco la concatenación de cuartas a partir de la nota do produce proporciones sencillas para las notas mi, la y si. Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1 Cents 0 203.91 407.82 498.04 701.96 905.87 1109.78 1200 Tabla 1: Afinación pitagórica para la escala diatónica Una opción es usar la proporción 5:4, que es la proporción asociada al quinto armónico, como muestra la serie armónica de la figura 1 (encima de cada armónico aparece la diferencia en cents con respecto a la división igual de la octava redondeado al entero más cercano). Figura 1: Serie armónica (figura adaptada de [Wik21a]) La proporción 5:4 genera una tercera mayor más consonante que la tercera pitagórica, que está dada por la proporción 81:64. Para comprobar esta afirmación, pínchese en el vídeo de más abajo, en que se pueden escuchar dos terceras mayores, la primera pitagórica y la segunda justa. Figura 2: Diferencia entre las terceras pitagórica y justa Si tomamos esta nueva proporción como base de la triada mayor, su proporción es 4:5:6, que significa que 5:4 es la proporción para do–mi y 6:4 = 3:2, la del intervalo do–sol. Saltando por quintas hacia arriba a partir de mi, obtenemos la nota si con una proporción de ⋅ = ; y si en cambio saltamos hacia abajo, entonces llegamos a la nota la mediante el siguiente cálculo: Este sistema de generar las notas de la escala diatónica se llama afinación justa o entonación justa. La tabla 2 muestra las proporciones y los valores en cents de la afinación justa, así como las diferencias entre esta y el temperamento igual y la afinación pitagórica. Obsérvese que la diferencia con las notas mi, la y si son grandes. Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1 Cents 0 203.91 386.31 498.04 701.96 884.35 1088.26 1200 Diferencia con el temperamento igual 0 3.91 -13.68 -1.96 1.96 -15.64 -11.73 1200 Diferencia con la afinación pitagórica 0 0 -21.51 0 0 -21.51 -21.51 0 Tabla 2: Afinación justa para la escala diatónica La diferencia entre las quintas justas (que son iguales que las pitagóricas) y las de temperamento igual no es tan pronunciada. Escúchese el vídeo de más abajo para apreciar las diferencias. Figura 3: Diferencia entre las quintas pitagórica y justa La triada mayor es un acorde que aparece en muchas culturas musicales; en particular, en la música occidental es un acorde fundamental de su armonía. Las afinaciones justas ya eran conocidas por los griegos. Dídimo primero alrededor del siglo I a.C. y más tarde Ptolomeo en el siglo II d.C. estudiaron y desarrollaron estas afinaciones en que la proporción 5:4 aparecen como generador de la afinación o de la escala. La tercer pitagórica tiene una proporción de 81:64 y la justa de 5:4. Su diferencia es = = 1.0125 y esta recibe varios nombres: coma sintónica, coma de Dídimo, coma ptolemaica o coma ordinaria. Si la palabra coma en esta serie aparece sin ningún adjetivo, nos estaremos refiriendo a la coma sintónica. En el audio de abajo aparecen la diferencia entre un do (frecuencia de 261.63 hercios) y un do más una coma sintónica (frecuencia de 264.900375 hercios). Figura 4: Diferencia de una coma sintónica entre dos notas 2.2. Escala cromática justa La afinación justa es en esencia un sistema de afinación en que las triadas mayores siguen la proporción 4:5:6. Las variaciones en las afinaciones justas provienen de cómo generan el resto de las notas hasta conseguir la escala cromática. Con el fin de describir mejor las afinaciones justas cromáticas, vamos a presentar la notación de Eitz; para una buena exposición de su origen y manejo, véanse [Bar51] y [Ben06]. La notación Eitz fue desarrollada por el músico y matemático del mismo nombre en 1891. Se basa en la idea de poner superíndices y subíndices a las notas que indiquen la desviación por comas sintónicas de la quintas puras. Así, la afinación pitagórica se escribe como: do0 - re0 - mi0 - fa0 - sol0 - la0 - si0 - do0 El superíndice 0 significa que todas las quintas son puras. Una nota que diga, por ejemplo, do-1 es un do obtenido por quintas menos una coma sintónica; análogamente, ocurre si nos encontramos do+1. Las notas que están a una coma por debajo se colocan en la fila de arriba y las que están una coma por encima se abajo. Entonces, la afinación justa de la escala diatónica aparece como sigue: la-1 mi-1 si-1 fa0 do0 sol0 re0 Figura 5: Afinación justa en la notación de Eitz La idea de colocar las notas con desviaciones de las quintas puras encima y debajo se debe al teórico de la música y compositor Hugo Riemann (no confundir con el matemático Bernhard Riemann de la hipótesis de Riemann). La notación de Eitz se generalizado en varias direcciones, por ejemplo, poniendo notas con diferentes comas (coma pitagórica, coma septimal, etc.). Siguiendo el libro de Barbour [Bar51] por su excelente exposición, vamos a describir algunas de las afinaciones justas más importantes descritas por su notación de Eitz. Empezamos con la afinación de Ramis de Pareja presentada en su libro Musica Practica de 1482. En sentido descendente de Pareja afina por quintas justas las sucesión sol-la♭ y luego partiendo de re-1 sube por quintas hasta el do#-1. Los acordes que quedan “bien afinados” son los correspondientes a las tonalidades do mayor, fa mayor y si♭ mayor. re-1 la-1 mi-1 si-1 fa#-1 do#-1 la♭0 mi♭0 si♭0 fa0 do0 sol0 Figura 6: Afinación justa de Ramis de Pareja Otra afinación justa interesante es la de Mersenne, publicada en 1637 (figura 7), donde se ven tres sucesiones de notas afinadas por quintas justas donde cada sucesión empieza a distancia respectiva de +1 coma, 0 comas y -1 coma contado desde la línea inferior. En realidad, Mersenne divide el círculo de quintas en tres sectores que afina por quintas justas. Ahora se aprecia que hay más triadas con afinación justa. re-1 la-1 mi-1 si-1 si♭0 fa♭0 do0 sol0 sol♭+1 re♭+1 la♭+1 mi♭+1 Figura 7: Afinación justa de Ramis de Pareja Hay muchas otras afinaciones justas, con frecuencia adaptadas al tipo concreto de instrumento (laúd, vihuela, órgano, etc.). De nuevo, recomendamos el libro de Barbour [Bar51] para un tratamiento riguroso e histórico de estas afinaciones. A modo de resumen, presentamos las principales características de las afinaciones justas: Los semitonos cromáticos son más pequeños que los semitonos diatónicos. Así, por ejemplo, sol# es más grave que la♭. Esto obligaba en los instrumentos de tecla a tener dos teclas diferentes, como se puede ver en la figura 8. Figura 8: Teclados con teclas para los semitonos cromáticos (figura adaptada de [Wik21b]) Como hemos visto más arriba, las terceras mayores justas son más pequeñas que las terceras pitagóricas y que las terceras del temperamento igual. Sin embargo, la situación es la contraria cuando se observan las terceras menores justas, que son más pequeñas que las correspondientes pitagóricas y de igual temperamento. La nota sensible es más grave en la afinación justa que en el caso pitagórico y de temperamento igual. Todos los tonos no tienen el mismo tamaño. Hay tonos grandes, como do–re, fa–sol, la–si, y tonos pequeños, como re–mi y sol–la. Los tonos grandes son mayores que los temperados, pero los tonos pequeños son menores. 3. Problemas armónicos de la afinación justa Volvamos a la afinación justa presentada más arriba: la-1 mi-1 si-1 fa0 do0 sol0 re0 Fijemos como tonalidad de referencia do mayor. Las triadas más importantes son las de los grados I, IV y V. En esta afinación esas triadas son do0-mi-1-sol0, sol0-si-1-re0 y fa0-la-1-do0. Las triadas menores vi y iii y vi, en cambio, tienen otra estructura en términos de afinación, a saber la-1-do0-mi-1 y mi-1-sol0-si-1. El problema aparece con la otra triada menor, la de ii, que es re0-fa0-la-1. En realidad, debería ser re-1-fa0-la-1. Si hiciésemos tal cosa, entonces el acorde del quinto grado se convertiría en sol0-si-1-re-1, y no funcionaría como un auténtico acorde de dominante. Para mayor comprensión de los problemas armónicos de la afinación justa, tomemos una progresión armónica muy común en la música occidental: I – vi – ii – V – I Parece razonablemente musicalmente hablando que cuando dos acordes adyacentes compartan una nota, esta no cambie de altura dentro de la afinación. Suponiendo de nuevo que la tonalidad es do mayor, el grado I es do0-mi-1-sol0. Por la regla que acabamos de establecer, el grado vi es la-1-do0-mi-1. Entonces, el grado ii es ahora re-1-fa0-la-1 porque la-1 es una nota en común y para mantener la distancia de quinta entre la primera nota del acorde y la tercera tenemos que establecer el re como re-1. A continuación, estaría el acorde de sol mayor. Como la nota re-1 es común, obtendremos el acorde sol-1- si-2-re-1. Por último, al caer en el primer grado, llegamos al acorde do-1- mi-2-sol-1. Hemos acabado una coma sintónica más bajo que cuando empezó la progresión. Esto en términos musicales no es aceptable. Escúchese de nuevo el audio de la figura 4. Esta situación se repite en secuencias de acordes tan usuales como I–IV–ii–V–I y I–iii–vi–ii–V–I, entre otras. Por último, recomendamos la lectura el libro de Benson [Ben06], páginas 173–176, para una discusión más profunda sobre los problemas armónicas de la afinación justa. 4. Escalas mesotónicas En esta sección entramos ya en las escalas mesotónicas. Este tipo de escalas pueden deducirse bien por una afinación, esto es, usando siempre proporciones enteras, o por temperamento, introduciendo números irracionales. Mostraremos ambos casos y empezaremos por los temperamentos. La idea esencial del temperamento mesotónico es la de afinar por terceras mayores puras a partir de la proporción 5:4. La escala mesotónica más común es la llamada escala mesotónica clásica o escala mesotónica de cuarto de tono. Las notas que se encuentran entre las notas afinadas por terceras justas se toman equidistantes con el siguiente procedimiento. Empezamos por la primera tercera mayor do–mi, de proporción 5∕4. La nota equidistante, la nota re, se afina con la proporción = ∕2. Esto nos deja la secuencia do–re–mi con las proporciones 1:∕2:5∕4. Con estas proporciones se afinan las secuencias fa–sol–la y sol–la–si. Sin embargo, antes de hacer afinar esas dos secuencias hay que decidir donde empiezan el fa. Hay dos semitonos que fijar, mi–fa y si–do. Las secuencias do–re–mi, fa–sol–la y sol–la–si suman 5 tonos de proporción ∕2 cada uno y, por tanto, quedan dos semitonos. Como hay que hacerlos equidistantes, se dividen por la mitad exacta. Eso en términos de proporciones equivale a extraer la raíz cuadrada. El semitono tiene, pues, el valor de: En esta cuenta estamos restando de la octava (el 2) los 5 semitonos (el 5) y la raíz cuadrada exterior aparece por la división en dos partes iguales. Entonces, para calcular la proporción de la nota fa, tenemos ⋅ = . Las proporciones finales del temperamento mesotónico clásico son: Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 ∕2 5/4 2/1 Cents 0 193.15 386.31 503.42 696.57 884.73 1082.89 1200 Tabla 3: Temperamento mesotónico clásico para la escala diatónica Como se aprecia fácilmente en la tabla, las quintas ya no son puras (500 cents) y las terceras mayores son más pequeñas que en el temperamento igual. La nota sensible es más grave que en el temperamento igual. En cambio el semitono diatónico mi–fa es más grande. En la página web teoria.com [JRA21] el lector puede escuchar el Preludio en la bemol mayor BWV 862 de J. S. Bach en temperamento mesotónico. Una afinación mesotónica se puede conseguir a partir de la afinación pitagórica tomando la serie de quintas sucesivas y bajándolas un cuarto de coma sintónica en cada paso. Si empezamos en do, el diagrama de Eitz de una afinación mesotónica es este: mi-1 si-5∕4 do0 sol-1∕4 re-1∕2 la-3∕4 mi-1 fa+1∕4 do0 En general, una escala cromática se puede completar aplicando los principios anteriores, bien del temperamento o de la afinación. A modo de ejemplo, aquí tenemos la afinación mesotónica de Pietro Aaron del siglo XVI. mi-1 si-5∕4 fai#-3∕2 do#-7∕4 do0 sol-1∕4 re-1∕2 la-3∕4 mi-1 la♭+1 mi♭+3∕4 si♭+1∕2 fa♭+1∕4 do0 Figura 9: Afinación mesotónica de Pietro Aaron Se supone que las notas comunes de ambos extremos del diagrama de Eitz son las mismas (el do0 y el mi-1). La quinta del lobo se produce entre do# y la♭. Haciendo un ejercicio de abstracción, se pueden tomar diferentes divisiones de la coma sintónica. En el ejemplo anterior fue 1∕4, pero en general puede ser un número α ∈ (0,1). Cuando se piensa así, el esquema general de las afinaciones mesotónicas queda como sigue: mi-4α si-5α fa#-6α do#-7α sol#-8α doo sol-α re-2α la-3α mi-4α mi♭+3α si♭+2α fa♭α do0 Figura 10: Afinación mesotónica general 5. Para saber más El catedrático Luis Nuño, de la Universidad Politécnica de Valencia, y autor invitado de pasadas columnas, ha sacado varios vídeos ilustrando las afinaciones justas y pitagóricas. Dejamos dos de ellos a continuación. Figura 11: Entonación Justa: Batidos Figura 12: Entonación Justa: Implementación Práctica Desde la perspectiva histórica, dejamos otro vídeo de Elam Rotem, este sobre la afinación justa en el Renacimiento: Figura 13: Afinación justa en el Renacimiento En este vídeo se puede escuchar las suites y transcripciones para clave de Jean-Henry d'Anglebert, interpretadas por Byron Schenkman en un clave afinado con temperamento mesotónico de cuarto de tono. Figura 14: Suites y transcripciones para clave de Jean-Henry d'Anglebert, interpretadas por Byron Schenkman Una opción más sencilla que el programa de Audacity se puede encontrar en esta web: https://onlinetonegenerator.com/binauralbeats.html   Bibliografía [Bar51] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. Dover Publications, Inc., New York, 1951. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Góm21] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (I), accedido el 20 de julio de 2021. [JRA21] José José Rodríguez Alvira. 2,500 años de temperamentos musicales, accedido el 20 de julio de 2021. [Wik21a] Wikipedia. Harmonic serie, accedido el 10 de julio de 2021. [Wik21b] Wikipedia. Split sharp, accedido el 20 de julio de 2021.
Domingo, 01 de Agosto de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo inaugura una serie sobre la afinación y el temperamento. Tras más de diez años de columna nunca habíamos tratado este fascinante e importante tema, cuyas implicaciones matemáticas, como veremos, son notables. Curiosamente, el primer artículo de esta columna, publicado nada menos que en enero de 2004 por Vicente Liern [Lie04], versaba sobre afinaciones y temperamentos. Ha llegado el momento de reparar semejante postergación y zambullirnos con entusiasmo en el fantástico reino de la afinación y el temperamento. Comenzamos aclarando la diferencia entre afinación y temperamento. Un sistema de afinación es la elección de notas en base a proporciones de números enteros entre frecuencias, esto es, en base a números racionales. Por ejemplo, una quinta en el sistema de afinación pitagórico tiene proporción 3:2. Un temperamento es un sistema de afinación en que algunos de los intervalos no se pueden expresar como números racionales. En el temperamento igual una quinta tiene proporción 2, que es claramente un número irracional. Intentar un examen de los sistemas de afinación y temperamento antes de la época de los griegos implica per se una alta cuota de especulación, ya que no han quedado restos escritos, únicamente restos arqueológicos fragmentarios y escasos. Como excepción, un grupo de arqueólogos descubrió en 2008 fragmentos de una flauta hecha perforando huesos de buitre y de mamut la cueva de Hohle Fels, al sur de Alemania [Jon15]. Estas flautas han recibido el nombre de flautas neardentales y su construcción se remontan a una horquilla de 42.000-43.000 años a.C. En el siguiente vídeo se muestra una reconstrucción de la flauta y se ve a un flautista profesional tocarla (véase del minuto 0:50 al 1:32). La flauta tiene 4 agujeros y las notas que emite corresponden aproximadamente a una escala diatónica (como se aprecia en el vídeo). Figura 1: Flauta neardental En este primer artículo vamos a cubrir los conceptos básicos de afinación y temperamento, que requieren solo matemáticas básicas, y a continuación a estudiar la afinación pitagórica. 2. Elementos básicos de la afinación y el temperamento 2.1. Frecuencias Empezaremos a la manera clásica, a partir del monocordio. El monocordio consiste en una cuerda montada sobre una caja de resonancia E como la de una guitarra o un violín. La cuerda está atada en el extremo A. Hay dos puentes movibles, B y C, que se usan para cambiar las frecuencias. D es una rueda movible y W es un peso, el cual se usa para estudiar la relación entre la tensión y la frecuencia; véase la figura 2. Para esta exposición, consideraremos que C está fijo y únicamente moveremos el puente B. El monocordio fue un instrumento con el que se enseñaba teoría de la música, especialmente intervalos y afinación, desde la antigüedad hasta la Edad Media. Figura 2: El monocordo (figura adaptada de [Wik21b]) Si ahora pulsamos la cuerda en algún punto del segmento BC, se producirá un sonido de frecuencia f. Si ahora movemos el puente B hasta la mitad del segmento AC, que es el punto F en la figura 3, y volvemos a pulsar la cuerda, ahora en algún punto intermedio de CF, el sonido producido tendrá frecuencia 2f.   Figura 3: Producción de un sonido una octava más agudo (figura adaptada de [Wik21b]) El sonido de frecuencia 2f lo oiremos como una octava más alto que el sonido de frecuencia f. Este hecho era ya conocido por los griegos y en especial por Pitágoras. Si tomamos la proporción entre la frecuencia del segundo sonido con respecto a la del primero, esta será de 2:1 y se corresponderá también con el cociente . Se pueden explorar otras proporciones, como por ejemplo, 3:2 o 4:3. Si movemos el puente B a un punto F de modo que , el sonido obtenido será el de una quinta perfecta. En general, dados dos sonidos de frecuencias f1,f2 con f1 < f2, el cociente da la diferencia de altura entre ellos. Así, si el cociente es 2, la diferencia es una octava; si el cociente es 3/2, es una quinta perfecta, y así sucesivamente. 2.2. División igual de la octava y cents Para precisar las diferencias entre los intervalos que aparecerán en los distintos sistemas de afinación y temperamento, necesitaremos un método para comparar intervalos. Hay muchos métodos, pero uno que permite una comparación cómoda y precisa es el de los cents. Formalmente, el cent es una unidad de comparación de frecuencias y se basa en la división de una octava en 1.200 partes. Un cent equivale a c = ≈ 1.00057778950655. Nótese que está definición se basa en el hecho de que las diferencias interválicas son factores multiplicativos de las frecuencias, como vimos en la sección anterior. En la escala cromática habitual, un semitono son 100 cents; una quinta, 700; y una octava, 1200. La ventaja de medir las diferencias de frecuencias con cents es que las octavas aparecen igualmente espaciadas y ello es porque los cents es una escala logarítmica. Si esas diferencias de frecuencias se miden en el espacio de las frecuencias, no aparecen igualmente espaciadas y la comparación es mucho más difícil. Dadas dos notas de frecuencias f1,f2, la diferencia en cents entre las dos (suponiendo f1 < f2) es Y, recíprocamente, si la frecuencia de la primera nota f1 es conocida así como el número de cents n hasta la segunda nota es En el temperamento igual, una tercera mayor son 400 cents, mientras que en la afinación pitagórica es de 407.82 cents; esta última cantidad se ha obtenido de introducir en la fórmula anterior la proporción entre las frecuencias, que es de , como veremos más adelante. 2.3. La serie armónica Para terminar esta sección, vamos a tratar la serie armónica, pues tiene importancia notable en los sistema de afinación y temperamentos. Muchos instrumentos musicales están basados en la emisión de frecuencias de una caja de resonancia, como por ejemplo en el caso de las cuerdas o de los instrumentos de viento. El sonido que se oye en esos instrumentos es una combinación de varias frecuencias que suenan a la vez. La frecuencia más grave se llama frecuencia fundamental y el resto de las frecuencias son los armónicos. Los armónicos tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Este conjuntos de armónicos asociados a una frecuencia fundamental se llama serie armónica. En la figura 4 se puede ver los primeros 20 términos de la serie armónica de un sonido de frecuencia 32.70, el do1 en notación científica. Encima de cada armónico aparece la diferencia en cents con respecto a la división igual de la octava redondeado al entero más cercano. Las notas marcadas en azul son resultan demasiado bajas y las notas en rojo, demasiado altas. En el caso del la♭, la diferencia es de +41 cents, que es casi un cuarto de tono, diferencia que es claramente perceptible por un oído normal. Figura 4: Serie armónica (figura adaptada de [Wik21a]) El segundo armónico es la octava, como se ve en la serie; el tercero es la quinta; el cuarto vuelve a ser la octava; el quinto es la tercera mayor (algo más baja que la tercera mayor de la división igual de la octava, unos 14 cents menos); y el sexto es la quinta. 3. Afinación pitagórica Los griegos tenían múltiples sistemas de afinación, que glosamos brevemente en la siguiente sección, pero la afinación que permaneció en la práctica común fue la afinación pitagórica. La afinación pitagórica establece las notas en base a los dos primeros intervalos de la serie armónica, esto es, la octava y la quinta, que tienen proporciones 2:1 y 3:2, respectivamente. Veamos cómo funciona tal construcción. Empecemos por tomar una nota cualquiera, digamos do. Usar la octava no da ningún intervalo nuevo distinto de la octava, de modo que aplicamos la proporción 3:2 para obtener nuevos intervalos. Como 3:2 es una quinta, llegamos a sol. Si multiplicamos la frecuencia de sol por 3:2, obtenemos re en la segunda octava, de proporción 9:4. Como queremos mantener las notas en una sola octava, pasamos este re a la primera octava dividiendo por 2. Esto da como resultado 9:8 como proporción del intervalo do–re; véase la tabla 1. Continuamos con este procedimiento y saltamos otra quinta desde re, multiplicando por 3∕2, y aterrizamos en la nota la, de proporción 27:16, que se mantiene en la octava de referencia. Damos otro salto, ahora a mi, pero salimos de la octava. Dividimos por dos la proporción y obtenemos 81:64. Por último, llegamos a la nota con otro salto de quinta y llegamos a la nota si, que nos da la proporción 243:128. En la tabla 1 se muestran todas las proporciones de la afinación pitagórica así como sus valores en cents. Se puede apreciar que todos los intervalos no son iguales con respecto al temperamento igual. Nótese además que la nota fa ha sido obtenida dan un salto hacia el registro grave en lugar de hacia el registro agudo. Su proporción se ha conseguido multiplicando por 2∕3 para bajar una quinta y por 2 para subir a la octava, lo que da una proporción de 4:3. Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1 Cents 0 203.91 407.82 498.04 701.96 905.87 1109.78 1200 Tabla 1: Afinación pitagórica para la escala diatónica La afinación pitagórica presenta varios problemas. El primero de ellos es el del tamaño de los semitonos. Un tono tiene proporción 9∕8, por ejemplo, do–re. Si tomamos el semitono si–do, que tiene proporción y formamos un tono con estos dos semitonos, obtenemos  ⋅ = ≈ 1.10985715, que claramente no es igual a 9∕8 = 1.125. El segundo problema viene dado por el círculo de quintas (más bien la espiral de quintas, como veremos). La tabla de arriba se puede completar de modo que incluya las 12 notas de la escala cromática. Se puede partir de un do y subir por quintas hasta el sol# y luego completar las notas que faltan, que son de do hasta la♭, descendiendo por quintas. La tabla de proporciones que resulta siguiendo este procedimiento se muestra a continuación: Notas Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# Proporción 1/1 3/2 9/8 27/16 81/64 243/128 729/512 Cents 0 701.96 203.91 905.87 407.82 1109.78 611.73 113.68 815.64 Notas Do Fa Si♭ Mi♭ La♭ ~Sol# Proporción 1/1 4/3 9/16 32/27 128/81 Cents 0 498.04 996.09 294.13 792.18 Tabla 2: Afinación pitagórica para la escala cromática Si la tabla anterior la ponemos en forma de círculo de quintas, se entenderá el problema más claramente. En efecto, cuando se recorre el círculo de quintas en ambos sentidos las notas la♭ y sol# no coinciden, es decir, el círculo de quintas no se cierra. ¡En realidad, es una espiral de quintas! Y una espiral potencialmente infinita. Figura 5: Círculo de quintas con la afinación pitagórica (figura tomada de [Ben06]) La diferencia entre las notas la♭ y sol# se llama coma pitagórica o coma ditónica (el círculo en la figura) y corresponde a Esto significa que la afinación pitagórica funciona sobre el principio de que subir 12 quintas y bajar 7 octavas nos deja casi en el mismo sitio de que partimos. La diferencia es precisamente la coma pitagórica. Entre todas las quintas que produce el sistema pitagórico, la más desafinada es la quinta sol#-mi♭ (notada como una sexta disminuida). Recibe el elocuente nombre de quinta del lobo (se consideraba que se asemejaba al aullido de un lobo). Dado que los saltos de quinta nunca cierran el círculo, aparecen nuevas notas, como se muestra en la figura 6, donde se aprecia las dos primeras vueltas de la espiral. Figura 6: Espiral de quintas con la afinación pitagórica (figura tomada de [Ben06]) 4. Para saber más En música que no requiere cambios de tonalidad, como puede ser la música modal o la monodia, la afinación pitagórica es factible en la práctica musical; de hecho, ha sido así durante siglos y en muchas tradiciones musicales. A continuación, se mencionan varios ejemplos entre muchos posibles. El primero es del grupo Gothic voices, especializado en música antigua. Figura 7: Gothic voices - Il nome del bel fior El siguiente vídeo es un ejemplo en música instrumental, en este caso con un órgano portátil. Figura 8: Catalina Vicens - Audi Pontus, Audi Tellus, del Códice de Las Huelgas Para el lector ávido de profundizar en los sistemas de afinación y temperamento recomendamos el libro de Goldáraz Afinación y temperamentos históricos [Gol04] y con un sabor más matemático, el libro de Benson A mathematical offering [Ben06]. Un libro que brilla por su erudición es el de Barber [Bar51], de título Tuning and temperament: a historical survey. Recomendamos al lector la exposición de los sistemas de afinación griegos, que no han sido incluidos aquí por su excesiva longitud. Por último, no podemos dejar de recomendar los vídeos de Elam Rotem del proyecto Early Music Sources; el vídeo relevante en la columna de este mes es Temperaments - What you need to know [Rot20].   Bibliografía [Bar51] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. Dover Publications, Inc., New York, 1951. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Gol04] J. Javier Goldáraz. Afinación y temperamentos históricos. Alianza Editorial, Madrid, 2004. [Jon15] Josh Jones. Hear the World's Oldest Instrument, the "Neanderthal Flute", Dating Back Over 43,000 Years, 10 de febrero de 2015. [Lie04] Vicente Liern. Afinación, enero de 2004. [Rot20] Elam Rotem. Temperaments - What you need to know, 9 de mayo de 2020. [Wik21a] Wikipedia. Harmonic series, accedido el 10 de julio de 2021. [Wik21b] Wikipedia. Monochord, accedido el 10 de julio de 2021.
Viernes, 16 de Julio de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Tecnología Musical y Musicología Computacional Hoy en día la música se investiga desde muchos puntos de vista, tal es su complejidad por un lado y tal es la variedad y potencia de los métodos de investigación modernos por otro lado. Las siglas de MIR, Music Information Retrieval, vienen del inglés y es el nombre que se le da actualmente al campo de la Computación Musical en un sentido muy amplio. Originalmente, el campo del MIR empezó en los años 60 con un pequeño grupo de ingenieros y músicos intentando resolver problemas prácticos de tratamiento musical, entre los cuales se contaba el de la recuperación de la información. Poco a poco se fueron juntando investigadores y profesionales de este incipiente campo y tras no mucho tiempo explotó como disciplina científica. Aunque los objetivos y métodos pronto engulleron a los problemas de tratamiento de la información musical de los primeros tiempos, por razones que aun hoy en día no alcanzo a comprender, se mantuvo el nombre de MIR. Creo que un nombre más adecuado sería el de Computación Musical (que uso en mis columnas aquí y en otros trabajos). Sea como fuere, el nombre se ha quedado por razones históricas y es el más usado para referirse a esta disciplina. Actualmente, la Computación Musical (MIR) es un campo multidisciplinar que se nutre de la propia Música, la Musicología, Computación —en particular, de la Inteligencia Artificial y la Ciencia de Datos —, Cognición y Psicología, diversas disciplinas de humanidades tales como la Lingüística, la Sociología. Entre los problemas que aborda la Computación Musical están el análisis musical (problemas tales como la similitud melódica, la detección del pulso, el reconocimiento de la estructura musical, las medidas de complejidad rítmica, melódica, armónica, solo por nombrar unos pocos); y a estos se añade, la clasificación de la música, los sistemas de recomendación, la generación automática de música, el estudio de la conexión entre música y emoción por métodos computacionales, la transcripción automática de la música, la separación de fuentes en una señal de audio musical, entre otros. En esta columna se han tratado de manera divulgativa muchos de estos problemas; véanse las siguientes columnas y las referencias que tienen: [Góm12a, Góm11a, Góm12b, Góm13, Góm11b, Góm14, Góm16, Góm18, Góm20b]. Dentro del MIR hay una rama evidentemente tecnológica e industrial y, de hecho, empresas importantes tales como Yamaha, Pandora, Sony, Spotify, por ejemplo, trabajan en las aplicaciones de los conceptos y métodos del MIR (quizás sea el problema de la recomendación musical el más arquetípico). Otra disciplina distinta de la Computación Musical es la Musicología Computacional. Este último campo consiste en el estudio musicológico a través de métodos computacionales. Esta rama de la musicología, de origen moderno cuando se compara con la musicología histórica, por ejemplo, se suele considerar como una parte de la Musicología Sistemática. La Musicología Computacional no llegó sin rechazo e incomprensión en un principio; y, por otra parte, algunos de sus practicantes cometieron excesos que alimentaron tal rechazo. Para un resumen de este debate, véase el artículo de esta columna Alcance y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música [Góm20a]. Por otra parte, la Computacional Musical ha prestado apoyo metodológico e inspirado varios problemas a la Musicología Computacional. 2. La herramienta MIRtoolbox En la columna de este mes nos vamos a centrar en algo más práctico. Es algo que me han pedido algunos lectores, músicos principalmente, y es que describa y comente herramientas de computación musical. En particular, voy a describir la herramienta MIRtoolbox, diseñada y construida por los investigadores Lartillot y Toiviainen (con la intervención de Tuomas en la primera parte) [LT07a, LTE07]. MIRtoolbox es una herramienta escrita en MATLAB y está concebida para la extracción de características musicales de bajo y medio nivel de música dada en formato de audio (y no en formato simbólico como pueda ser el MIDI). Una de sus ventajas es que MIRtoolbox ha sido diseñado con un usuario no experto en programación en mente y, como consecuencia de ello, la sintaxis y la interfaz son muy fáciles de usar. MATLAB es el acrónimo de MATrix LABoratory. Inicialmente, este paquete de cálculo se especializó en el cálculo de matrices. Posteriormente, se convirtió en un paquete de cálculo multi-propósito y hoy en día es el estándar en ingeniería y en buena parte de las matemáticas. MATLAB es multi-plataforma y existen versiones para Windows, macOS, Unix y GNU/Linux. Tiene tanto cálculo simbólico como cálculo numérico y a través de sus toolboxes, módulos especializados, se pueden ampliar sus capacidades de cómputo a campos concretos tales como el procesamiento de la señal, la simulación, la biología computacional, la estadística avanzada, entre otros. La web de este paquete se puede encontrar en [Mat21]. En la figura de abajo se puede ver el interfaz gráfico de MATLAB. Figura 1: Interfaz gráfica de MATLAB MIRtoolbox es una herramienta gratuita y se puede descargar en [LT07b]. Sirve tanto para la investigación como para la docencia. A continuación vamos a describir las principales características de interés para el musicólogo computacional y/o sistemático. 3. Extracción de caracerísticas musicales en MIRtoolbox En la figura 1, tomada del propio artículo [LT07a] de presentación de la herramienta, muestra los distintos niveles de extracción. Todos los procesos empiezan por considerar la señal (a la izquierda) y se van aplicando diversas operaciones según se va hacia la izquierda. Leída de izquierda a derecha, las características musicales van de bajo nivel a medio nivel. Leída en de arriba abajo la figura 1 nos devuelve las principales operaciones del MIRtoolbox en orden creciente de complejidad computacional. Figura 2: Características musicales extraíbles con el MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] He aquí una lista con sucintas explicaciones de las principales características extraíbles desde MIRtoolbox: La tasa de cambios de signo (zero-crossing rate), que se usa en procesamiento musical y del habla y que sirve para identificar sonidos percusivos (por ejemplo, en problemas de separación de fuentes). La energía de la señal, medida como el valor cuadrático medio (RMS). El contorno de una señal, que da importante información sobre su comportamiento desde un punto de vista musical, por ejemplo, sobre el timbre o la finalidad melódica. El espectro de la señal, obtenido a través de la transformada de Fourier, del cual se obtienen medidas relevantes para la identificación de la señal así como la detección de patrones dentro de la misma. Entre esas medidas, encontramos las básicas tales como el centroide, la curtosis o el coeficiente de asimetría; y luego más complejas, el flujo espectral, la disonancia textural (roughness), la escala Mel. A partir de estas medidas se pueden obtener los descriptores de medio nivel tales como tempo, claridad del pulso, altura o fluctuación. Como muestra de la sencillez de uso de MIRtoolbox, en la figura 2 se pueden ver los comandos para obtener algunas de las medidas anteriores. Empezamos por cargar un fichero de audio (1); lo descomponemos en secuencias (2); extraemos el espectro (3); convertimos el espectro del dominio de la frecuencia al dominio de la escala de Mel (4); por último, obtenemos los coeficientes MFCC. Figura 3: Sintaxis de MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] El proceso anterior se puede resumir más gráficamente como se muestra en la figura 4: Figura 4: Cálculo de los coeficientes MCC en MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] Por último, ilustramos el proceso de estimación de la fuerza tonal; véase la figura 4. Esta medida cuantifica cuán predominante es una tonalidad en una pieza de música. El método sigue las ideas de Krumhansl y Kessler; véanse [KK82, Kru90]. En primer lugar, se pasa del dominio de la frecuencia al de las alturas mediante una transformación logarítmica de aquellas. Esta representación es el cromagrama. Este cromagrama se consolida y se ponen en las mismas clases las alturas que están a distancia de un múltiplo de una octava entre sí. Esto da una representación en forma de histograma de las clases de alturas. Se aplica entonces correlación cruzada entre el histograma obtenido y los histogramas de las 12 tonalidades posibles dados en [KK82], los cuales provienen de experimentos hechos con oyentes. Figura 5: Cálculo de los coeficientes MCC en MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] 4. Conclusiones El MIRtoolbox permite muchos más análisis y procesos de computación musical que los brevemente glosados aquí. Por ejemplo, el análisis rítmico, la segmentación a varios niveles, el análisis de grandes volúmenes de datos, el análisis de secuencias. Remitimos al lector al manual de la herramienta, que se puede encontrar en [LT07a]. En este artículo se encontrarán también detalles técnicos de la arquitectura y la representación de datos de la herramienta.   Bibliografía [Góm11a] Paco Gómez. Distancia y similitud musical, mayo de 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Distancia y similitud musical (I), mayo de 2011. [Góm12a] Paco Gómez. El teorema del hexacordo (I), Octubre de 2012. [Góm12b] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), Octubre de 2012. [Góm13] Paco Gómez. COFLA: la música flamenca y su estudio computacional, agosto de 2013. [Góm14] Paco Gómez. Teoría generativa de la música (I), junio de 2014. [Góm16] Paco Gómez. Composición algorítmica (I), junio de 2016. [Góm18] Paco Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. [Góm20a] Paco Gómez. Alcance y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música, julio de 2020. [Góm20b] Paco Gómez. Música y entropía - I, julio de 2020. [KK82] C. L. Krumhansl and E. J. Kessler. Tracing the dynamic changes in perceived tonal organization in a spatial representation of musical keys. Psychological Review, 89:334–368, 1982. [Kru90] C. L. Krumhansl. Cognitive Foundations of Musical Pitch. Oxford University Press, New York, 1990. [LT07a] Olivier Lartillot and Petri Toiviainen. Mir in matlab (ii): A toolbox for musical feature extraction from audio. pages 127–130, 01 2007. [LT07b] Olivier Lartillot and Petri Toiviainen. MIRtoolbox, 2007. [LTE07] Olivier Lartillot, Petri Toiviainen, and Tuomas Eerola. A matlab toolbox for music information retrieval. volume 4, pages 261–268, 01 2007. [Mat21] Mathworks. MATLAB, 1994–2021.
Lunes, 12 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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