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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La educación entre los 0 y 3 años En el artículo de este mes querría tratar un tema que es totalmente pertinente a esta columna: Las matemáticas y la música en los niños de 0 a 3 años. El lector desprevenido quizás se sonría escéptico y ello no me extrañaría. Hay muchos errores de concepto y prejuicios alrededor de la educación en la etapa de infantil, en especial, en la que va de 0 a 3 años. Llevo muchos años oyendo a padres decir que tienen que buscar "guardería", ante lo cual les pregunto con suavidad: "¿Quieres decir guardería o escuela infantil?". La respuesta en la mayor parte de los casos es: "¡Ah!, ¿pero hay alguna diferencia?" Sí, sí la hay. En la guardería, salvo excepciones, te cuidan a los niños, te los vigilan más bien, te los entretienen, intentan que den el menor número posible de problemas, pero eso es todo. En cambio, en una escuela infantil el personal tiene una cierta cualificación, hay una programación hecha en base a unos objetivos, se realizan actividades durante el curso para cubrir esos objetivos, se acuerda una metodología, se evalúan los resultados, entre otras muchas diferencias. Algunos padres que han tenido la paciencia de escucharme, se quedan boquiabiertos. No se les había ocurrido pensar que hubiese tal diferencia. Por supuesto, la diferencia radica en el concepto mismo del niño y su educación. Cada vez más estudios demuestran cuán crucial es la estimulación y el aprendizaje en los tres primeros años de vida. Por ejemplo, se sabe que el oído absoluto se forma en esa etapa, por no hablar del lenguaje, las habilidades psicomotrices y otras. Sin embargo, la educación infantil, al menos en España, tiene una bajísima consideración social, tanto fuera como dentro del sistema educativo. He oído a profesores de primaria calificar el trabajo de sus compañeros de educación infantil de "fácil, ya que solo tienen que pintar fichas". Durante varios años actué con un grupo de teatro para niños de esas edades, La farándula musical. Hacíamos teatro en el aula y tras las actuaciones las profesoras departían relajadamente con nosotros en el comedor. Siempre les hacía la misma pregunta que me torturaba: ¿Cómo creían ellas que la sociedad y en particular el mundo de la educación veía su trabajo? La mayoría de las veces recibía una mirada descreída, con un punto de amargor, seguida de una media sonrisa compasiva (por mi ingenua pregunta). Recuerdo una profesora muy joven, con seguridad no tenía 30 años, quien sin molestarse en levantar la cabeza del plato de fruta que estaba comiendo me dijo que "la educación infantil es el culo de la educación". Elocuente. En este artículo vamos a examinar qué matemáticas y qué música pueden absorber, aprender, percibir niños de entre 0 y 3 años de edad. Veremos que incluso hay puntos comunes entre esas dos disciplinas también en este contexto tan especial.   2. Las matemáticas Las investigaciones llevadas a cabo en las dos últimas décadas del siglo XX sobre las matemáticas y su aprendizaje a edades tempranas llevó a muchos países a replantearse los contenidos del primer ciclo de educación infantil (0 a 3 años). En particular, la prestigiosa National Council of Teachers of Matematics (NCTM) americana decidió en 2000 reformar la programación de la etapa de infantil. Tal decisión se tomó en vista de los resultados de los investigadores, los cuales demostraban que había efectivamente aprendizaje de las matemáticas en esas edades, si bien a través de mecanismos distintos a los que usan adultos o niños mayores. El NCTM no solo reformó la programación, sino que hizo una serie de reflexiones y recomendaciones acerca de la metodología para enseñar esas matemáticas. Según la investigadora Rosalind Charlesworth [Ch05], los niños de esta etapa construyen las matemáticas a través de actividades cotidianas de carácter exploratorio, siguiendo su natural curiosidad, en respuesta a las preguntas de otros niños, a través del juego y a partir de experiencas de narración oral. Algunos autores enfatizan el papel del juego [S03] como forma vivencial de las matemáticas. Otros autores, como Diane Tiessen [Tie04], han estudiado el papel de la narración oral en la asimilación de conceptos matemáticos. Dado que el lenguaje se está formando en esta etapa y que es uno de los principales medios por los que el niño recibe información, está asociación matemática-lenguaje necesita poca justificación. Los niños de estas edades no han desarrollado aún una fuerte capacidad de abstracción y, en consecuencia, las matemáticas que practican son fundamentalmente sensoriales; las absorben a través de sus sentidos. Tampoco su memoria y su sentido del tiempo son fuertes; requieren repetición y una fuerte implicación por parte del niño en el descubrimiento matemático. De ahí el carácter exploratorio de su aprendizaje del que habla Charlesworth en su artículo. Los niños adquieren conceptos a través de tres formas de aprendizaje [Ch04]: por aprendizaje espontáneo, en las que el niño toma la iniciativa de aprender algo bajo su control; por aprendizaje informal, como consecuencia de la interacción con sus iguales; y por aprendizaje estructurado, que es el que ocurre cuando el niño está en el aula haciendo una actividad planificada. Cualquiera que sea la forma de aprendizaje, el niño ha de estar inmerso en un ambiente que le dé seguridad emocional. En [SKW04] se estudia la relación entre status social y aprendizaje de las matemáticas a estas edades, relación que se revela estrecha y fundamental. Este estudio sorprende porque llega a predecir con bastante fiabilidad el fracaso en los últimos cursos de primaria y primeros de la educación secundaria en base a la calidad del aprendizaje de las matemáticas en edades tempranas. El libro Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education[CSDD03] contiene un resumen bastante completo de las investigaciones de los últimos años sobre las matemáticas y su aprendizaje en estas edades. Se trata de un libro que recoge artículos de expertos que van desde diseñar la programación (capítulos 2 y 3), pasando por los aspectos cognitivos (capítulos 5 y 6) hasta las técnicas particulares para enseñar las matemáticas. Nos llama la atención, y mucho, el constante énfasis que hacen todo tipo de autores en el uso de las artes para enseñar matemáticas. Es curioso que tal integración curricular se vaya erosionando en etapas superiores de la educación hasta llegar a una total separación en la educación universitaria. Más información sobre el diseño de la programación se puede encontrar en [NCTM], con su definición de puntos clave de la programación. Como libro que desarrolla muchos conceptos matemáticos y da formas efectivas de ponerlas en práctica en el aula, recomendamos el de Richardson, O'Neill y Starr [ROS08]. En la página web de recursos educativos IXL aparecen recogidos contenidos matemáticos que se pueden trabajar entre 0 y 3 años. Un extracto de dicha página web está abajo. Formas: Identificar círculos, cuadrados y triángulos. Identificar rectángulos y cuadrados. Identificar cubos y pirámides. Posiciones: Dentro y fuera. Izquierda y derecha. Izquierda, medio y derecha. Encima y debajo. Abajo y arriba. Contar hasta 3: Contar hasta 3 puntos. Contar hasta 3 formas. Contar hasta 3 objetos. Clasificación: Mismo. Distinto. Mismo y diferente. Clasificación por color. Comparaciones: Comparar grupos en términos de menos y más. Comparar cuántos objetos hay en un gráfico. Comparar en un grupo de objetos mixto. Tamaño: Largo y corto. Alto y bajo. Pesado y ligero. Ancho y estrecho. Contiene más o menos. Tabla 1: Conceptos matemáticos que pueden experimentar niños entre 0 y 3 años. Un matemático profesional probablemente no calificaría alguno de estos contenidos como "matemáticos"; y, sin embargo, lo son. Estas son matemáticas de raigambre sensorial, si se quiere, pero siguen siendo matemáticas tan dignas como el teorema de Bolzano. Y han de enseñarse igualmente.   3. La música Una de las investigadoras que más activas se ha mostrado en el estudio de la percepción y cognición musical en niños entre 0 y 3 años es Beatriz Ilari, de la Universidad de McGill (Canadá). En su artículo de 2002 Music and Babies: A Review of Research with Implications for Music Educators [Ila02], estudia los factores más importantes en la percepción musical en niños durante su primer año de vida. El artículo es bastante exhaustivo, no solo por el número de variables musicales que tiene en cuenta, sino porque sus hallazgos científicos están basados en estudios psicológicos llevados a cabo de unos 15 años (entre 1984 y 2000 aproximadamente). Vamos, de la mano de Ilari, a revisar qué pueden percibir musicalmente los niños de edad temprana. 3.1. Percepción de la altura Los niños empiezan a reaccionar a los estímulos sonoros a partir del tercer mes de gestación y, de hecho, hay estudios que prueban que niños a los que se les ha sometido a estimulación musical en el útero muestran mejores aptitudes para la música. Centrándonos en los niños una vez fuera de la placenta, la percepción de la altura presenta un curioso comportamiento. Los niños de entre 3 meses de gestación hasta 3 meses después de nacer son capaces de discriminar sonidos graves mejor que los agudos; aún más, muestran preferencia por los sonidos graves. Alrededor de los 6 meses, ese comportamiento se invierte y discriminan mejor los sonidos agudos y además los prefieren a los graves. 3.2 Percepción de melodía y contorno melódico Niños de entre 6 y 8 meses de edad ya son capaces de detectar un cambio de una sola nota en una corta melodía de 6 notas, incluso aunque el cambio sea sutil. Además, el contorno melódico parece ser incluso más importante que la propia melodía. El contorno melódico se refiere a los cambios de dirección, ascendente y descendente, en la melodía. Trehub y sus coautores [Tie04] presentaron a niños de entre 8 y 11 meses de edad 5 versiones de una misma melodía de 6 notas. Esas 5 versiones incluían la original, una transposición, una donde se conservaba el contorno melódico con unos pocos cambios en las notas, una con cambios de octava con el mismo contorno y una con cambio de contorno. Los niños no distinguieron entre las versiones original y las que tenían el mismo contorno, pero discriminaron enseguida aquellas en que el contorno se había cambiado. Estos hallazgos son realmente importantes porque la melodía y el contorno melódico son variables que intervienen en la adquisición del lenguaje. 3.3 Enculturación musical La enculturación es el proceso por el cual se transmite la cultura a la nueva generación. Una pregunta a la que los investigadores llevan tiempo intentando dar respuesta es la de qué aptitudes musicales son innatas y cuáles son producto de la enculturación musical. En un interesante estudio [LEOU90] Lynch y sus coautores compararon la habilidad de niños de 6 meses y adultos (músicos y no músicos) para detectar notas ligeramente desafinadas en melodías basadas en la escala mayor, la escala menor y la escala pelog de Java. Una versión temperada de esta última escala sería: do-reb-mib-fa#-sol-lab-sib. Los niños detectaron las notas desafinadas en todas las escalas, mientras que los adultos solo en las occidentales. Este estudio y otros posteriores de los mismo autores prueban que la enculturación musical desempeña un importante papel en la percepción musical. 3.4 Percepción de la armonía La armonía es un fenómeno más complejo pues implica la clasificación de intervalos así como la percepción simultánea de sonidos. Las investigaciones mostraron que los niños tienen preferencia por las consonancias que por las disonancias. Aquí consonancia se refiere a los intervalos unísono, terceras, cuarta, quinta, sextas y octavas. También se constató que los niños perciben con mayor dificultad los intervalos y acordes complejos que los simples. Las melodías simples con acompañamientos repetitivos y claros son, en general, mejor procesadas por los niños de estas edades. 3.5 Percepción del timbre Hay algunos estudios sobre la percepción del timbre musical, pero este es un campo que todavía ha de investigarse con mayor profundidad. Se sabe que los niños de estas edades tienen memoria para el timbres de ciertos instrumentos. El timbre de la voz humana, especialmente el de la madre, sí ha sido estudiado exhaustivamente. 3.6 Forma musical Niños de un año de edad ya pueden reconocer frases musicales. Ello no es de extrañar ya que la habilidad de segmentar el sonido es importante en el habla también. Los estudios han demostrado que los niños detectan los finales de frase, incluyendo las pausas, las desviaciones expresivas de tiempo o las líneas descendentes en la melodía. Aún más, son capaces de reconocer motivos, memorizarlos y, cuando ciertas características rítmicas y melódicas se dejaban intactas, pueden detectar variaciones. 3.7 Percepción de eventos temporales El reconocimiento de eventos temporales (patrones rítmicos, tempo y métrica) ocurre casi desde el principio. Por ejemplo, Winkler y sus coautores [WHLSH09] han demostrado que recién nacidos pueden reconocer un pulso. La capacidad de reconocer patrones rítmicos basados en similitud de las figuras rítmicas y en la proximidad temporal de las figuras. Esta estrategia, por cierto, es la que usan adultos sin formación musical. También se ha comprobado, hablando de métrica, que hay una preferencia por las métricas binarias ante las métricas ternarias. Respecto a la parte acentual de la métrica, todavía faltan por llevarse a cabo estudios. 3.8 Memoria musical a largo plazo Hay estudios que han investigado la memoria musical a largo plazo (se toca una melodía y se comprueba si se recuerda dos semanas después, por ejemplo). Los niños de menos de un año de edad son capaces de recordar melodías después de dos semanas de haberla oído por primera vez. No obstante, esa memoria está muy relacionada al estímulo. Los niños no la podían recordar si la melodía se tocaba con otros instrumentos o con otro tempo.   4. Conclusiones ¿Qué decir ante todo lo anterior? No cabe duda de que la sociedad no es consciente de todos hechos y de que los redactores de la programación para la etapa de infantil, tampoco. ¿Qué podemos decir de una educación que ignora una etapa tan fundamental en la formación de una persona y que tanto la condicionará en el futuro?   Referencias [CSDD03] Editores: Clements, D.H.; Sarama, J.; DiBiase E.; DiBiase, A.-M. Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education.Studies in Mathematical Thinking and Learning Series.Routledge. 2003. [Ch04] Charlesworth, Rosalind. Experiences in math for young children. Clifton Park. Delmar Learning. 2004. [Ch05] Charlesworth, Rosalind. Prekindergarten Mathematics: Connecting with National Standards. Early Childhood Education Journal, v. 32, nº 4, 229-236, 2005. [Ila02] Ilari, B. Music and Babies: A Review of Research with Implications for Music Educators. Applications of Research in Music Education. 21: 17-26. 2002. [IXL] Página web IXL Pre-k. Consultada entre los meses de noviembre de 2011 y mayo de 2012. [Korn] Barry Kornhauser. Baby Maybe. Artículo que se encuentra en la bitácora HowlRound. Consultado en marzo de 2012. [LEOU90] Lynch, M. P.; Eilers, R. E.; Oller, D. K.; Urbano, R. C. Innateness, experience and music perception. Psychological Science, 1, 272–276. 1990. [NCTM] Página web del National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade eight. Consultado en diciembre de 2011. [ROS08] Kathy Richardson (autora), Lucinda O'Neill (editora), Linda Starr (ilustradora). Developing Math Concepts in Pre-Kindergarten. Maths Perspectives. 2008. [S03] SEO, K. What children's play tells us about teaching mathematics. Young Children, 58(1), 28-33. 2003. [SKW04] Starkey, P.; Klein, A. y Wakeley, A. Enhancing young children’s mathematical knowledge through a pre-kindergarten mathematics intervention. Early Childhood Research Quarterly. Volumen 19, nº 1, primer trimestre, páginas 99-120. 2004. [Tie04] Thiessen, Diane. Exploring Mathematics Through Literature: Articles and Lessons for Prekindergarten Through Grade 8. National Council of Teachers of Mathematics. 2004. [TBT84] Trehub, S. E;, Bull, D.; Thorpe, L. A. Infants’ perception of melodies: The role of melodic contour. Child Development, 55, 821–830. 1984. [WHLSH09] Winkler, I.; Hádena, G.; Ladinig, O.; Sziller, I.; Honing, H. Newborn infants detect the beat in music. Proceeding of the National Academy of Sciences of USA. 106/(7) 2468-2471. 2009.
Martes, 26 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Rotaciones matemáticas Las rotaciones son transformaciones que desde siempre han suscitado mucho interés y, por ello, se han estudiado con profundidad y de modo exhaustivo. Una rotación se define como un movimiento rígido alrededor de un punto fijo. Ese movimiento tiene lugar en algún espacio, que puede ser todo lo abstracto que queramos, pero las rotaciones en el plano están entre las más estudiadas. En la figura de abajo tenemos la rotación de un objeto plano alrededor del punto O = (0,0). La rotación es de 180 grados y se muestran varios pasos intermedios. Figura 1: Rotaciones en el plano. Las ecuaciones que transforman el punto (x1,y1) del plano mediante una rotación de ángulo θ [0,2π) alrededor del origen O = (0,0) son las siguientes: (He escrito las ecuaciones porque viene al caso, pero también por su belleza.) Las rotaciones pertenecen a la clase de las isometrías, que son las transformaciones que no cambian la distancias entre los puntos. Esto viene a decir que si la distancia entre dos puntos antes y después de aplicar la rotación es la misma. Una pregunta inmediata es por qué las rotaciones en el plano se han investigado tanto. Ciertamente, nos resultan familiares. Nuestras extremidades pueden rotarse en cierto grado, la cabeza, los ojos; manipulamos muchos objetos con las manos y les aplicamos rotaciones; también las usamos para cambiar el sentido de la marcha. La psicología de la forma o psicología Gestalt puede explicar esa familiaridad. Esta teoría psicológica surgió para explicar los mecanismos de la percepción. La teoría se articula en torno a una serie de leyes o principios que explican los procesos organizativos de la percepción. Entre esos principios se cuentan el de invariancia, que establece que elementos geométricos simples se perciben como iguales o semejantes si son el producto de rotaciones, traslaciones o simetrías. También está el principio de semejanza, que agrupa objetos semejantes si son similares. Estos principios explican la importancia perceptual de las rotaciones. Las matemáticas se encargaron más tarde de formalizar el concepto de rotación. Dado que la percepción es fundamental, la teoría de la forma ha ejercido una gran influencia en el arte. Véanse [WBS92], [DMM10] y [Lem97] para saber más sobre las relaciones de la psicología de la forma y las artes en general. 2. Rotaciones musicales Lo que nos interesa en este artículo es profundizar en el significado de las rotaciones aplicadas a la música, en particular, a los ritmos. De entre los ritmos nos quedaremos con los llamados ritmos de clave. Los ritmos de clave son ritmos que se repiten a lo largo de toda una pieza y cuyas funciones musicales incluyen la estabilización rítmica, la organización del fraseo o la referencia temporal [Uri96], [Ort95]. Esa repetición en el tiempo los hace muy adecuados para estudiar sus rotaciones. Además muchas de esas claves son características de ciertos géneros. Por ejemplo, el son cubano se toca con la clave son, que escrita en notación de caja es [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Se puede tocar esta versión, la llamada 3-2 o la versión [. . x . x . . . x . . x . . x . ], llamada 2-3, pero es esencialmente la misma versión (una es la rotación de la otra en ocho posiciones). Y es raro encontrar el son cubano tocado con otro tipo de clave, sobre todo en el son tradicional. Los ritmos de clave, o sencillamente claves, aparecen en muchísimas tradiciones musicales tales como la afro-cubana, brasileña, africana, asiática, el flamenco, etc. Véanse para más información [Tou02], [DBFG+04]. En el vídeo siguiente tenemos un bembé tocado por el grupo Isla Percusión. Un músico, el de la camiseta amarilla, toca una clave ternaria, conocida como clave bembé o patrón estándar. Su partitura es [x . x . x x . x . x . x]. Obsérvese como el fraseo y las entradas se estructuran alrededor de la clave. Figura 2: Bembé tocado por Isla Percusión. Vamos a estudiar las rotaciones en las claves ternarias, esto es, las que están formadas por 12 o 6 pulsos normalmente agrupados en 4 o 2 partes de tres pulsos cada una. En el siguiente vídeo aparece un percusionista tocando varias claves ternarias. Veámoslo y luego analizamos las más relevantes (en el vídeo se toca un pulso de referencia con una caja china que no se ve). Figura 3: Claves ternarias. En la tabla de abajo están las claves más importantes de las que han aparecido en el vídeo. Algunos patrones rítmicos no se considerarían musicalmente claves, a pesar de que cumplen algunas de sus características. Por ejemplo, el ritmo del Kenkeni [. x x . x x . x x . x x] no es característico ni mucho menos de África. Aparece en muchísimos géneros musicales; algunos musicólogos incluso lo llamarían referente de densidad en lugar de clave (un referente de densidad es un ritmo que marca la velocidad de las figuras más rápidas de una pieza). Normalmente, una clave suele tener un factor de tensión rítmica, bien sea en forma de síncopa, de estructura de pregunta y respuesta, de ambigüedad métrica o acentual, o similares. Se han elegido las claves más importantes, como digo, pero además con el mismo número de notas, siete, hecho que nos permitirá un análisis más ágil en términos de las rotaciones. Figura 4: Partituras de algunas claves africanas para campanas. El lector atento -es decir, cualquier lector de Divulgamat- habrá visto que la tabla anterior está divida en tres partes. Cada parte corresponde a aquellos ritmos que se obtienen unos de otros a partir de una rotación. Si los representamos sobre un círculo, para reforzar más la idea de ciclo y de rotación, se visualiza mejor la situación. En primer lugar, vamos a estudiar los ritmos generados por la clave bembé. En la figura 5 tenemos el círculo dividido en 12 partes y en el centro la clave bembé. Alrededor y en sentido antihorario las rotaciones del bembé que dan lugar a otros ritmos. Las rotaciones de los ritmos se han tomado en sentido horario. Así, tenemos que la bemba es una rotación del bembé de 60 grados; el tambú, de 150; el yoruba, de 210; el ashanti, de 270; y el bembé-2, de 330. Figura 5: Rotaciones de las claves asociadas al bembé. La clave de bembé es un ritmo importantísimo en la música africana, tanto que recibe el nombre de patrón estándar. Se encuentra en muchísimas culturas africanas bajo distintos nombres y tocado de muy diversas maneras. En el análisis musical ha despertado mucho interés y se ha estudiado desde muchos puntos de vista. Toussaint [Tou02] ha aplicado técnicas geométricas y de matemática discreta para analizarlo. Por ejemplo, la clave del bembé es un ritmo euclídeo [DGMM+08]. Un ritmo euclídeo es un ritmo de máxima regularidad en el sentido en que la elección de las notas sobre los pulsos están distribuidos de la manera más regular posible; véase también [GPT09] para más información. Pressing [Pre83] llega a hablar -más como metáfora que como correspondencia estricta- de un isomorfismo cognitivo entre la escala diatónica y la clave estándar. Si consideramos la octava dividida en 12 semitonos, entonces la sucesión de distancias entre las notas de la escala diatónica se escribe como (2212221). Si ahora interpretamos esta sucesión en el dominio temporal, rítmico, obtenemos exactamente la clave del bembé. El autor que ha prestado una atención especial a la clave estándar es el musicólogo Agawu [Aga06]. En su artículo Structural Analysis or Cultural Analysis? Competing Perspectives on the“Standard Pattern” of West African Rhythm analiza aspectos culturales y estructurales de este singular patrón rítmico. Por ejemplo, observa que el patrón admite varias lecturas y todas ellas son rítmicamente interesantes. Se puede pensar con estructura aditivamente, como una sucesión de negras y corcheas, de eventos de duración 2 y 1. Argumenta, no obstante, que la música africana no es, en general, aditiva. También investiga este autor la relación de este patrón con la danza así como una interpretación métrica -sobreponiendo el patrón en una malla de pulsos con ciertos acentos recurrentes-. Por último, Agawu se acerca también al análisis generativo [LJ83] de este patrón. La clave del soli genera a su vez las del asaadua, con una rotación de 60 grados, y la tonada, con una de 180 grados, como vemos en al figura 6. Figura 6: Rotaciones de las claves asociadas al soli. Para hacernos una idea de cómo suena el soli en una grabación en directo, aquí tenemos el siguiente vídeo: Figura 7: Toque de soli. En principio, el soli tiene menos posibilidades rotacionales que el bembé. Su sucesión de distancias es (2222121). Las tres primeras notas, las tres negras, crean una sensación de regularidad que se rompe en la segunda mitad con las corcheas quinta y séptima. En este último vídeo presentamos claves binarias sobre 16 pulsos. No obstante, no las analizaremos en este artículo. Figura 8: Claves binarias. 3. ¿Hasta qué punto son semejantes? Hemos visto que las leyes de la psicología de la forma consideran objetos rotados como similares o equivalentes. ¿Es eso cierto en la música? ¿Dos ritmos que difieren en una rotación se los puede considerar como similares? No, no ocurre como en el mundo visual; el oído funciona de manera diferente. El propio Agawu[Aga06], página 29, dice: La “permutación de elementos” (un procedimiento por el cual los mismos elementos se someten a reordenamientos) tiene tales consecuencias musicales radicales -incluyendo desafíos básicos de percepción- que parece poco probable que sea un auténtico modo de estructuración temporal. En efecto, el mismo Pressing reconoce que la permutación de los elementos produce un “trastorno estructural” más drástico que el que se produce con otras técnicas de transformación. Agawu proporciona una lista de recursos de transformación musical que son propios de la música africana, entre los que se cuenta la estructura de llamada y respuesta, la complementación y la competición y los cambios de alineación de segmentos musicales, pero no incluye las rotaciones. Para poner un ejemplo de esto, tomemos el bembé y el bembé-2. Este último es una rotación de una nota hacia adelante del bembé, una mera rotación de 30 grados en sentido horario (véase la figura 5). Pero perceptual y musicalmente son muy diferentes. Pinchando en las partituras de más abajo se puede escuchar cada uno y apreciar las diferencias entre ambos. [x . x . x x . x . x . x] BEMBÉ [x x . x . x x . x . x .] BEMBÉ-2   Bibliografía [Aga06] K. Agawu. Structural analysis or cultural analysis? competing perspectives on the “standard pattern” of west african rhythm. Journal of the American Musicological Society, 59(1):1–46, 2006. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, July 30 - August 1 2004. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [DMM10] A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel. From Gestalt Theory to Image Analysis: A Probabilistic Approach. Springer, 2010. Reprint of the first 2008 edition. [GPT09] F. Gómez, Talaskian P., and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3:1–14, 2009. [Lem97] M. Leman. Music, Gestalt, and Computing: Studies in Cognitive and Systematic Musicology. Springer, 1997. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Ort95] Fernando Ortiz. La Clave. Editorial Letras Cubanas, La Habana, Cuba, 1995. [Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38–61, 1983. [Tou02] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, Maryland, U.S.A., July 27-29 2002. [Uri96] Ed Uribe. The Essence of Afro-Cuban Persussion and Drum Set. Warner Brothers Publications, Miami, Florida, 1996. [WBS92] C. Wallschlaeger and C. Busic-Snyder. Basic Visual Concepts And Principles For Artists, Architects And Designers Time Exposures. McGraw-Hill Humanities/Social Sciences/Languages, 1992.
Miércoles, 30 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Los ritmos de sombra En la columna de este mes voy a ilustrar lo que he descrito como muchas veces como hacer matemáticas a partir de una excusa musical. Esto es perfectamente lícito siempre y cuando no se engañe al lector -y el autor mismo- respecto a su significado musical. No hay nada malo en tomar un fenómeno musical y extraer de él una estructura matematizable y, a partir de ella, hacer matemáticas. El problema es cuando se recorre el camino contrario y se afirma que las matemáticas que se han obtenido explican o rigen la música. En muchos instrumentos de percusión, la dinámica (el volumen al que tocas) se controla con la altura de la baqueta o de la mano. Lo hemos visto muchas veces en las orquestas clásicas, cuando un redoble del timbalero empieza muy bajito y luego sube el volumen. Al principio, las mazas suben un poquito, pero más tarde el recorrido es mucho mayor. Esta técnica, que aparece igualmente en la percusión africana, en el flamenco o en el jazz, aprovecha la caída de la maza para controlar la dinámica. En el vídeo de más abajo, podemos apreciar esa técnica. Esto produce una asociación entre la actividad motriz de golpear la piel del timbal y el propio ritmo. Para autores como el musicólogo Jay Rahn [Rah96] el punto álgido al que llega la maza antes de volver a la piel forma otro ritmo, silencioso, pero igualmente importante, que ayuda a mantener la precisión rítmica del ritmo que se oye. Rahn lo llama la la sombra del ritmo. En ritmos de clave, esto es, ritmos que se repiten a lo largo de toda una obra (la clave son, por ejemplo, en la música cubana), es especialmente frecuente encontrar este modo de tocar. Pensemos en el ritmo del tresillo cubano, que escrito en notación de caja es[x . . . . . x . . . . . x . . .], tiene como sombra al ritmo [. . . x . . . . . x . . . . x .], ritmo que a su vez tiene como sombra a [x . . . . . x . . . . x . . . .]. En la figura 1 se ve el tresillo con los puntos negros y su primera sombra con puntos azules. Figura 1: El tresillo cubano y sus sombras. En lo que sigue trabajaremos con ritmos que representaremos sobre el círculo unidad. Además, supondremos que una nota puede estar en cualquier punto del círculo y no en una serie de pulsos como en el ejemplo del tresillo cubano. 2. ¿Hacia dónde van las sombras de un ritmo? La operación de tomar la sombra de un ritmo aumenta su regularidad. ¿En qué sentido hablamos aquí de regularidad? Si se permite que las notas estén en cualquier punto del círculo, entonces el ritmo más regular está formado por duraciones iguales. Esa duración común es 1/n, donde n es el número de notas del ritmo. Interpretando el ritmo como un polígono, el ritmo más regular corresponde con el polígono regular inscrito en la circunferencia unidad. Si ante este objeto matemático, producido a partir de la excusa musical de las sombras de un ritmo, nos ponemos en actitud matemática, la pregunta que viene enseguida a la cabeza es qué pasa si aplicamos infinitas veces (¡el infinito!) la operación de la sombra. ¿A qué convergerá el ritmo final, eso suponiendo que converja a algo (no sea que oscile entre un conjunto de polígonos)? El estudio de las propiedades de sucesiones de polígonos generadas a través de procesos iterativos a partir de un polígono inicial P0 ha despertado mucho interés en la bibliografía matemática. El ritmo de una sombra es solo una de las muchas operaciones que se han investigado. Schoenberg [Sch82] ha estudiado las sucesiones de sombras de polígonos tomando puntos entre dos vértices consecutivos que no son los puntos medios. Hitt y Zhang [HZ01] probaron que la sucesión de sombras de un ritmo converge a un polígono regular. En  [GTT08] aparece una demostración muy elegante que es la que vamos a reproducir a continuación. La prueba es algo probabilística. Sea P0 el polígono inicial y la sucesión de sombras. Detengámonos en el paso del polígono Pk al Pk+1 y sea las duraciones consecutivas del polígono Pi. Consideraremos esas duraciones aj,j = 1,,n como variables aleatorias que toman valores en [0,1]. La media μk de las duraciones es la misma para cualquier polígono: En cuanto a la varianza Vk en el paso k, esta es: Las duraciones del polígono Pk+1 son ai' = y la media sigue de ai' sigue inmutable en 1∕n. Entonces, tenemos lo siguiente: Fijemos nuestra atención en el término ∑ni=1 aiai+1. Se puede considerar como una función de n variables a1,,an. Para poder acotar la última expresión obtenida nos interesa encontrar su máximo valor sujeta a la restricción ∑ni=1 ai = 1. Si usamos multiplicadores de Lagrange, encontraremos que ese máximo se alcanza en cuando todas las ai son iguales, esto es, cuando ai = 1∕n. Aún más, el máximo se alcanza si y solo si ai = 1∕n para todo i = 1,,n. Por tanto, el valor del máximo es ∑ni=1 (1∕n)⋅(1∕n) = 1∕n. Siguiendo con las cuentas anteriores: Esta igualdad significa que la varianza tiende a cero. El polígono regular es el único polígono que tiene esa propiedad, que su varianza es precisamente cero. 3. Conclusiones Y hemos hecho matemáticas divertidas a partir de una excusa musical, el recorrido de la baqueta o la mano que hacen los percusionistas para controlar la dinámica. A partir de ahí, hemos probado de una manera elegante que la sucesión de sombras converge al polígono regular. Y esto es todo. Es incorrecto extraer conclusiones como que los ritmos dados por el polígono regular son importantes o bellos musicalmente. Eso no se sigue de las matemáticas que hemos hecho. De hecho, la división en partes iguales de un compás, como ritmo, es bastante aburrido. Este tipo de excesos se ven con más frecuencia de la deseada en textos sobre matemáticas y música.   Bibliografía [GTT08] F. Gómez, T. Taslakian, and G.T. Toussaint. Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons. In Proceedings of the 18th Fall Workshop on Computational Geometry, pages 10–11, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, October 31st 2008. [HZ01] Richard Hitt and Xin-Min Zhang. Dynamic geometry of polygons. Elemente der Mathematik, 56:21–37, 2001. [Rah96] J. Rahn. Turning the analysis around: African-derived rhythms and europe-derived music theory. Black Music Research Journal, 16(1):71–89, 1996. [Sch82] I. J. Schoenberg. Mathematical Time Exposures. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1982.
Miércoles, 11 de Abril de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción La historia de la música es con frecuencia la historia de las reacciones humanas a la música misma1. Un buen ejemplo de ello se puede observar en el minimalismo. Desde la Segunda Guerra Mundial, el panorama en la música clásica estuvo dominado principalmente por compositores como Boulez, Berio, Cage, Ligete y Stockhausen, entre otros. Estos compositores representan el modernismo de posguerra. Tal modernismo se puede entender bien como postserialismo, siendo Boulez una de sus figuras más prominentes, o bien como el indeterminismo, donde Cage se convierte en una de sus figuras más notables. Aunque el término minimalismo se usó en principio en las artes visuales, más tarde se aplicó a un estilo de música caracterizado por un vocabulario rítmico, melódico y armónico simplificado (véase [15]). En efecto, Timothy Johnson sostiene que el término minimalismo se puede definir de modo más fructífero si se concibe como una técnica en lugar de una estética o un estilo [7]. Los principales representantes del minimalismo son LaMonte Young, Philip Glass, Terry Riley y Steve Reich. Su música e ideas se convirtieron en la mayor reacción al modernismo personificado por los compositores antes mencionados. En efecto, allí donde el modernismo es resueltamente atonal, el minimalismo es claramente modal o tonal; allí donde el modernismo se muestra aperiódico, fragmentario, el minimalismo se caracteriza por una gran regularidad rítmica; y allí donde el modernismo se presenta con una gran complejidad de estructura y de textura, el minimalismo es simplemente transparente. El minimalismo tiene diferentes materializaciones dependiendo del compositor, pero las obras minimalistas comparten una preocupación por la tonalidad no funcional y repetición de frases musicales, frecuentemente pequeños motivos o células que evolucionan gradualmente. Por ejemplo, Young usa notas bordón, al estilo de las isocrátimas, sostenidas durante largos periodos de tiempo, Glass selecciona arpegios de un acorde que se repiten recurrentemente, y Riley y Reich incorporan melodías que se repiten con armonías de pulso rápido. No menos significante es el hecho de que la música minimalista no posea casi ninguna de las características de la música occidental (al menos desde el periodo romántico), esto es, movimiento armónico, modulación tonal, desarrollo temático, texturas complejas o formas musicales con estructuras diseñadas cuidadosamente. Por el contrario, esta música evita cualquier sentido o consciencia de clímax o desarrollo, y parece ignorar la dialéctica de tensión y reposo, al menos tal cual se manifiesta en la música clásica occidental. En palabras de Roger Sutherland [19]2 : “(...) al oyente se le invita, no a seguir un argumento musical complejo, sino a concentrarse en el sonido que cambia lentamente y a centrarse con consciencia microscópica en diferentes aspectos del mismo”. Es probablemente Reich el compositor minimalista que más abiertamente repudio la tradición clásica occidental. Reich se opone a la vez al serialismo europeo y al indeterminismo americano porque en estos dos estilos los procesos por los cuales se construye la música no se pueden oír y discernir claramente por el oyente. Antes que él, el crítico musical Pousseur [13], así como Xenakis [24], había señalado ya que “donde las más abstractas construcciones se emplean... uno tiene la impresión de encontrarse en presencia de las consecuencias de un libre juego aleatorio”. Este rechazo, formulado no solo por Reich, sino por otros compositores minimalistas, bien puede ser la razón por la que la música minimalista ha sido tan incomprensiblemente ignorada por críticos y estudiosos. Algunos estudios hay, más bien recientes; véase [13, 8, 19, 12] y, evidentemente, los ensayos de Reich [16, 17]. En su ensayo Music as a Gradual Process, incluido en [16], Reich establece sus principios como sigue: “Estoy interesado en los procesos perceptibles. Quiero ser capaz de oír el proceso en desarrollo según suena la música”. Para que tales procesos sean accesibles al oyente, estos tienen que fluir de manera extremadamente gradual. El proceso mismo tiene que estar relacionado con la idea de cambio de fase. Primero, dos o tres intérpretes tocan una melodía y después de un tiempo uno de ellos cambia de fase. Al principio del cambio de fase se produce una especie de ondulación en forma de acorde arpegiado; más tarde, según el proceso de cambio de fase continúa, la segunda melodía se encuentra a una distancia de corchea y una nueva melodía entrelazada surge. El proceso continúa hasta que las dos melodías están en fase, en unísono, otra vez. Estas ideas se realizan en muchas de las obras de Reich compuestas entre 1965 y 1973  [11]. Toda esta experimentación empieza con It’s Gonna Rain y Come out (ambas compuestas en 1966), donde usa el cambio de fase con música en cinta; continúa con Piano Phase (1967) y Violin Phase (1967), donde experimenta dentro de un contexto acústico, sin instrumentos eléctricos; y finalmente Reich alcanza el punto de máximo desarrollo con Drumming (1970-71), Clapping Music (1972) y Music for Mallet Instruments, Voices and Organ (1973), donde incorpora cambios graduales de timbre y aumentación rítmica, entre otros recursos musicales. A finales de 1972, abandona los cambios graduales de fase, porque “ya era la hora de algo nuevo” [16]. En la columna de este mes vamos a analizar una pieza emblemática de esta época de Steve Reich: Clapping Music. En [2], Colaninno y sus coautores contemplan la hipótesis de que esta pieza le fuese inspirada a Reich en África. En efecto, en el verano de 1970 Reich viajó a Ghana, donde estudió percusión africana [9]. Aprendió gahu, agdabza y otros estilos musicales, los cuales sin duda influyeron en su música (más tarde llegó a estudiar gamelán). La influencia de la música africana se puede percibir en obras tales como Drumming y Clapping Music, donde el cambio de fase es discreto, pero esa influencia es incluso perceptible en piezas de cambio de fase continuo, como en Phase Patterns, Violin Phase y New York Counterpoint. Sin embargo, en un vídeo reciente, de 2011, Reich explica que la inspiración para la pieza le vino de la música flamenca; en particular, de un espectáculo que vio en un tablao flamenco en Bruselas. El vídeo se puede ver en la siguiente sección. 2. Clapping Music Clapping Music es una pieza de cambio de fase para dos intérpretes que tocan únicamente las palmas. Cada uno de ellos toca el mismo patrón a lo largo de toda la pieza. El cambio de fase es discreto, con un intérprete que empieza el patrón desde un punto distinto, el cual va avanzando después de unas cuantas repeticiones del patrón. El otro intérprete permanece imperturbable tocando el patrón sin cambio alguno. En la figura 7 se ha reproducido la partitura de Clapping Music. Las variaciones que se producen en cada cambio de fase se han numerado en orden ascendente , donde V0 = V12 indica que los dos intérpretes tocan al unísono. Figura 1: La partitura de Clapping Music. Para mejor apreciar y comprender Clapping Music, vamos a comentar unos cuantos vídeos de la obra. En primer lugar, tenemos un vídeo de Steve Reich en la época en que compuso Clapping Music; él mismo es uno de los intérpretes. A continuación, tenemos un vídeo de Reich, más moderno, en que explica los principios compositivos de la obra. Aquí revela el origen de la inspiración, como mencionamos más arriba. El siguiente vídeo muestra una animación gráfica de Clapping Music, que por su excelente visualización hemos querido incluir aquí. Seguimos con otra versión de Clapping Music, esta vez con un solo intérprete sobre dos cajas. Toca cada patrón en una mano y supone un delicado ejercicio de coordinación. Y por último, traemos una original coreografía de Anne Teresa De Keersmaeker sobre la música de Clapping Music bailada por la coreógrafa misma y Michèle Anne De Mey. Es muy interesante ver los movimientos elegidos para recrear el patrón de Clapping Music y cómo el patrón corporal sufre también los cambios de fase. Esta pieza, a pesar de su aparente simplicidad, no esta desposeída de interés musical. En primer lugar, Clapping Music consiste en una síntesis y estilización de las ideas de Reich a través de una pieza con unos pocos elementos muy bien combinados. En segundo lugar, Clapping Music muestra una profunda ambigüedad métrica -algo muy común en las piezas de Reich- así como una gran cantidad de ritmos entrelazados. En el análisis siguiente profundizaremos en estas ideas. 3. Análisis de Clapping Music Cuando uno oye Clapping Music, la pregunta que surge de manera natural es cómo llegó Reich a elegir este patrón. Según el patrón rota, cambia de fase, una serie de ritmos entrelazados emergen, creando una gran variedad rítmica. Aún más, en la pieza hay un gran sentido del equilibrio entre las variaciones resultantes. Una vez que el patrón se define, sin embargo, las reglas aplicadas a esta composición no permiten cambiarlo. Por tanto, el patrón tiene que elegirse con extremo cuidado. A continuación, vamos a analizar unos cuantos aspectos musicales de Clapping Music para entender cómo funciona esta música proceso (música en que el proceso se oye claramente, música en que la elección de un patrón y unas reglas de juego ya determinan la composición entera). 3.1 Análisis musical de Clapping Music Usaremos las etiquetas dadas en la figura 7 para referirnos a las variaciones V0,V1,...,V11,V12 = V0. Clapping Music tiene una estructura global muy definida. En cierto sentido que vamos a explicar enseguida, se tiene que la variación Vi es igual a la variación V12-i, para cualquier i = 0,1,...,12. Véamos por qué. V0 = V12. Esto es trivial por cómo está construida la pieza. V1 = V11. En principio, mirando la partitura al menos, vemos que la variación V1 no es igual a la V11. Sin embargo, cuando se tocan unas cuantas veces seguidas, las percibimos como iguales. Estas dos variaciones no tienen ningún silencio común; están constituidas, por tanto, por un patrón continuo, sin roturas por silencios. Esa falta de reposo, esa ausencia de silencios, confiere una extraordinaria energía y agitación a la variación. Además, la variación V1 es igual a la variación V11, salvo que los intérpretes están intercambiados. Si los dos intérpretes pudieran sacar exactamente el mismo sonido de las palmas, ambas variaciones serían virtualmente indistinguibles. Reich juega de modo fundamental con el timbre en esta pieza como elemento que genera variedad ante otros elementos ausentes (armonía o melodía) u otros que son muy estables (el patrón de la primera voz). Figura 2: Las variaciones V1 y V11. V2 = V10. En la variación V2 encontramos una posición con un silencio común, en la séptima posición. Cuando se oyen las primeras repeticiones de la variación, el oído no comprende la estructura de la variación. Después, percibe el silencio como el final de la variación y en realidad concibe la variación empezando en la posición 8; véase la figura más abajo. Esta variación está formada por una única célula que acaba en un silencio. Las variaciones V2 y V10 son iguales, salvo que las partes de los intérpretes están intercambiadas; de nuevo, el juego del timbre. Además, si miramos la variación desde la posición 8, que es el principio perceptual de la variación, encontramos que la sucesión de notas para la primera voz es 1 - 2 - 3 - 2 y para la segunda 2 - 3 - 2 - 1, esto es, una es la otra leída en sentido contrario. De nuevo, la variación V10 es simétrica de la V2. Figura 3: Las variaciones V2 y V10. V3 = V9. En la variación V3 encontramos dos posiciones con silencios en común, lo que da lugar a dos frases. La variación tiene, pues, una estructura de pregunta-respuesta. La pregunta estaría formada desde la posición 10 hasta la 3 y la respuesta, de la 5 a la 8. La simetría es muy fuerte en esta variación. La primera voz de la pregunta tiene como sucesión de notas a 2 - 3 y la voz de abajo, 3 - 2. La respuesta tiene sucesión 1-2 y 2-1. La variación es V9 es simétrica de V3. Figura 4: Las variaciones V3 y V9. V4 = V8. La variación V4 está constituida por una única frase con un solo silencio en la última posición, en la 12. De nuevo, se produce la simetría en la sucesión de notas: 3 - 2 - 1 - 2 en la voz primera y 2 - 1 - 2 - 3 en la segunda. La variación V8 es la correspondiente simétrica. Figura 5: Las variaciones V4 y V8. V5 = V7. La variación V5 tiene otra vez estructura de pregunta-respuesta. La pregunta empieza en la posición 8 y se extiende hasta la posición 3; la respuesta está compuesta por dos corcheas seguidas que empiezan en la posición 5. Una vez más, tenemos la simetría en la sucesión de notas en la pregunta, 1 - 2 - 3 para la primera voz y 3 - 2 - 1 para la segunda. La respuesta es un unísono de dos corcheas en ambas voces. La variación V7 es la simétrica de V5. Figura 6: Las variaciones V5 y V7. La variación central V6. La variación V6 es muy interesante. Estamos en la mitad exacta de la pieza. Han pasado 6 rotaciones del patrón en la segunda voz. El patrón global resultante es continuo, es decir, no hay ningún silencio que corte este tren rítmico. Existe una simetría en las voces. La primera mitad de la variación es igual a la segunda pero con las voces intercambiadas; véase la figura de abajo. Figura 7: La variación V6. 3.2 Análisis con grafos filogenéticos Los grafos filogenéticos, originalmente una herramienta de la Bioinformática, se han usado para analizar ritmos. En [20] se usaron para estudiar las claves binarias de Brasil, Cuba y África. Una clave es un patrón rítmico que se repite a lo largo de una pieza y que sirve como referencia temporal [10, 23]. También se han empleado para el análisis de los ritmos flamencos [3]. Estos grafos se usan en biología para determinar la proximidad y evolución entre especies. Los biólogos miden el grado de proximidad entre dos especies comparando sus genes. En nuestro contexto, los ritmos desempeñarán el papel de los genes, y emplearemos medidas especialmente diseñadas para ritmos. La cuestión de cómo definir esas medidas ha sido estudiada en varios trabajos [20, 21, 22, 3]. Entre las distancias existentes la más satisfactoria resulta ser la distancia de permutación dirigida [3]. La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones: Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. Por ejemplo, la distancia de permutación dirigida (DPD) entre la primera voz y la segunda en la variación V1 es 4 puesto que hay que realizar cuatro permutaciones en la primera voz en las posiciones 3,6,8 y 11 para convertirla en la voz segunda; véase la figura 8. Así, tendríamos d(V0,V1) = 4. Observando el ejemplo de la figura, tendríamos que d(V0,V2) = 8 y d(V0,V3) = 12 Figura 8: La distancia de permutación dirigida. La matriz de distancias correspondiente a todas las variaciones de Clapping Music se puede ver en la figura 9. Se ha usado notación de caja para las variaciones. Variations V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V0=xxx.xx.x.xx. 0 V1=xx.xx.x.xx.x 4 0 V2=x.xx.x.xx.xx 8 4 0 V3=.xx.x.xx.xxx 12 8 4 0 V4=xx.x.xx.xxx. 4 2 4 8 0 V5=x.x.xx.xxx.x 8 4 2 4 4 0 V6=.x.xx.xxx.xx 12 8 4 2 8 4 0 V7=x.xx.xxx.xx. 4 4 4 8 2 4 8 0 V8=.xx.xxx.xx.x 8 4 4 4 4 2 4 4 0 V9=xx.xxx.xx.x. 2 4 8 12 4 8 12 4 8 0 V10=x.xxx.xx.x.x 4 2 4 8 4 4 8 2 4 4 0 V11=.xxx.xx.x.xx 8 4 2 4 4 4 4 4 2 8 4 0 ∑ 74 48 48 74 48 48 74 48 48 74 48 48 Figura 9: La matriz de distancias para las variaciones de Clapping Music. En la figura 10 se muestra el grafo filogenético asociado a la matriz de arriba. En este grafo la distancia entre nodos se corresponde exactamente con la distancia en la matriz. Esto permite visualizar más fácilmente propiedades de la distancia -en particular, agrupamientos- que de otro modo en la matriz de distancias no se perciben; véase [6] para obtener más información sobre grafos filogenéticos. En la figura los puntos negros pertenecen a las variaciones.   Figura 10: El grafo filogenético de Clapping Music pattern. El grafo filogenético tiene cuatro grupos distinguibles a simple vista en la figura 10, a saber, C1, C2, C3 y C4. Si los disponemos en orden de aparición en la pieza, resulta la tabla 11: Clusters C1 C2 C3 C4 V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 Figura 11: Agrupación en Clapping Music. A partir de esta sucesión de grupos podemos observar la evolución de las variaciones a través del tiempo según la DPD. Hay una primera sección formada por las variaciones V0 a V3; aquí las variaciones se alejan lo más posible de V0. En la segunda sección, que va de V4 a V6, las variaciones están todavía alejadas de V0. En la tercera sección, las variaciones V7 y V8 se quedan alrededor del centro del grafo, lo que representa un punto de retorno a partir del cual las siguientes variaciones volverán a V0. Las variaciones de la sección cuatro, consistentes en V9, V10 y V11, tienden a V0. Por último, Clapping Music se cierra volviendo al patrón del principio (V0 = V12). 4. Para saber más Richard Cohn [1] fue pionero en el análisis de la música de Reich desde el punto de vista rítmico; véase también [14] para otros enfoques formalistas. Colaninno y sus coautores [2] estudiaron Clapping Music desde el punto de vista de la tensión rítmica y también en comparación con claves africanas. En los trabajos [4, 1, 5, 20] se pueden encontrar análisis de la música de Reich desde un punto de vista maemático.   Notas 1 Esta introducción está inspirada en el artículo [2], del que es coautor este mismo columnista. 2 Todas las traducciones de citas de este artículo son del autor.   Referencias [1] Cohn, R. Transpositional Combination of Beat-Class Sets in Steve Reich’s Phase-Shifting Music. Perspectives of New Music, 30:2:146-176, 1992. [2] Colannino, J., Gómez, F., and Toussaint, G.T. Analysis of Emergent Beat-Class Sets in Steve Reich’s Clapping Music and the Yoruba Bell Timeline. Perspectives of New Music, 47:1:111–134, 2009. [3] Díaz-Báñez, J. M.; Farigu, G.; Gómez, F.; Rappaport, D.; Toussaint, G. T. El Compás Flamenco: A Phylogenetic Analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Winfield, Kansas, 61-70, July, 2004. [4] Haack, J. K. Clapping Music – a Combinatorial Problem. The College Mathematical Journal, 22:224-227, May, 1991. [5] Haack, J. K.; ”Mathematics of Steve Reich’s Clapping Music. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 87-92, Winfield, Kansas, 1998. [6] Huson, D. H. SplitsTree: Analyzing and visualizing evolutionary data. Bioinformatics, 14:68-73, 1998. [7] Johnson, T.A. Minimalism: Aesthetic, Style or Technique? The Music Quarterly, 78:4:742-773, Winter 1994. [8] Mertens, W. American Minimal Music. Kahn and Averill, London, 1983. [9] Nyman, M. Steve Reich. The Musical Times, 112:1537:229–231, March, 1971. [10] Ortiz, F. La Clave. Editorial Letras Cubanas. La Habana, Cuba, 1995. [11] Potter, K. Steve Reich: Thoughts for his 50th-Birthday Year. The Musical Times, 127:1715:13–17, January, 1986. [12] Potter, K. Four Musical Minimalists: LaMonte Young, Terry Riley, Steve Reich and Philip Glass. Cambridge University Press, 2000. [13] Pousseur, H. The Question of Order in the New Music. Perspectives in New Music, volumen 1, 1966. [14] Quinn, I. Minimal Challenges: Process Music and the Uses of Formalist Analysis. Contemporary Music Review, 9:2:283–294, June, 2006. [15] Randel, D. (editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, 1986. [16] Reich, S. Writings about Music. The Press of the Nova Scotia College of Art and Design, New York, 1974. [17] Reich, S.; Writings about Music 1965-2000, Oxford University Press, 2002. [18] Roeder, J. Beat-Class Modulation in Steve Reich’s Music. Music Theory Spectrum, 25:2:275–304, Autumn 2003. [19] Sutherland, R. New Perspectives in Music. Sun Tavern Fields, 1994. The quotation cited in the paper also can be found on an on-line paper at http://media.hyperreal.org/zines/est/articles/reich.html [20] Toussaint, G. T. A Mathematical Analysis of African, Brazilian, and Cuban Clave Rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 157-168, Towson University, Towson, MD, 2002. [21] Toussaint, G. T. Classification and Phylogenetic Analysis of African Ternary Rhythm Timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 25-36, Universidad de Granada, Granada, 2003. [22] Toussaint, G.T. A Comparison of Rhythmic Similarity Measures. In Proceedings of the Fifth International Conference on Music Information Retrieval, pages 10-14, Barcelona, Spain, October, 2004. [23] Uribe, E. The Essence of Afro-Cuban Percussion and Drum Set. Warner Bros., Miami, 1996. [24] Xenakis, I. The Crisis in Serial Music. Gravesaner Blatter, No. 1, 1965.
Viernes, 09 de Marzo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Leticia, colaboradora de la bitácora ConCIENCIA musical, escribió una breve entrada titulada Música, poesía, danza... ¿matemáticas?, que reza así: “Haberlas... las habrá, no digo yo que no, pero después de ver este vídeo no me habléis de matemáticas, por favor”. El vídeo al que se refiere es este: Al leer la entrada de Leticia me di cuenta de que tenía que tratar -casi diría con cierta urgencia- el asunto de la belleza en la música y en las matemáticas. Debajo del comentario breve, casual, de Leticia subyace una concepción muy común de qué es la belleza, su tipología y en qué campos se encuentra. En estas por fuerza breves notas quiero ahondar en el concepto de belleza y cómo esta se percibe desde las dos ricas áreas que nos ocupan aquí: la música y las matemáticas. Leticia, si no te importa, te trataré de tú. Podemos discutir el tipo de belleza que hay en la música o en las matemáticas, pero no podemos discutir la necesidad de la belleza. ¿Y por qué necesitamos la belleza? Para mí, desde luego, para comprender; no concibo la comprensión no ya artística, sino científica sin la mediación de la belleza. La experiencia estética interior descubre caminos a la comprensión que de otra manera pasarían completamente inadvertidos o a los cuales arribaría dando un largo y penoso rodeo. La experiencia estética es como un fogonazo súbito que nos alumbra senderos ocultos conducentes a tierras ignotas. En realidad, no sabemos que hay al final del camino, pero hace tiempo que comprendimos que es el tránsito por el camino lo importante. -Bien -me dirás, Leticia-, pero ¿qué es la belleza? La belleza se encuentra en multitud de campos del saber y en multitud de estados. Hay belleza en toda construcción que muestre unidad orgánica, coherencia formal, afán de indagación, visión profunda y original y, sobre todo, autenticidad. Y esto lo puedes encontrar en la novena sinfonía de Beethoven o en teoremas de la teoría de números. -Hum... -hace un gesto de incredulidad Leticia. -Veo que no te convenzo. -Hum..., no mucho -Leticia se sincera. Déjame que te hable más a fondo de la belleza en las matemáticas y en la música y, después de ello, examinemos sus puntos comunes (si crees que los tienen, claro). Leticia, escucha, el hombre es poca cosa, muy poquita cosa. Pero mientras vivimos nos es dado ser inmortales. Sí, porque comprender lo que te trasciende te hace, siquiera momentáneamente, inmortal. Aprehender el infinito, lo infinito, es un buen ejemplo de ello. Cuando un niño aprende a contar asocia cada número a un dedo, tú lo sabes mejor que yo. Cuando más tarde alcanza a contar números grandes, se da cuenta de que ni siquiera en el lenguaje existen palabras para cada número. De hecho, más tarde en su formación descubrirá algo perturbado que en realidad no se nombran todos los números porque algunos se usen poco, no, ¡es porque hay infinitos! No podemos tener infinitas palabras. Sí, el infinito: el niño descubre que hay infinitos números porque dado cualquier número, al sumarle 1, nos da un nuevo número, tan legítimo y elegante como el anterior. Y así podemos repetir esto hasta el infinito, que es como decir hasta la eternidad. Comprendemos entonces lo aparentemente inasible. Y aquí hay belleza. ¿He dicho comprendemos? Comprender es otro placer, coincidirás conmigo Leticia, ¿no? Las leyes del pensamiento, el ejercicio del razonamiento, la ordenación lógica en un sistema autocontenido, la confrontación de ese sistema lógico con el mundo real, en todo esto hay también belleza. A través del razonamiento percibimos belleza. Vuelvo a los números, esta vez a los números primos; sí, aquellos que solo son divisibles por sí mismos y la unidad. ¿Cuántos hay? ¿Pocos, muchos o infinitos? Si hay infinitos, ¿cómo contarlos! Los griegos, mediante una bella (← fíjate en este adjetivo) técnica de demostración llamada reducción al absurdo, probaron que los primos eran infinitos en número. El argumento funciona como sigue (atenta, Leticia). Si hubiese solo un número finito de números primos, podría probar el siguiente truco: los multiplico todos y al resultado le añado 1. Este nuevo número, ¿es primo o no es primo? Supongamos que el nuevo número no es primo. Alguno de los números primos originales tendría que dividirlo. Por su construcción, eso es imposible. Por tanto, ha de ser primo. Esto quiere decir que hay infinitos primos, pues este proceso lo puedo repetir siempre ad infinitum. Leticia, escucha, este razonamiento es bello. A veces los matemáticos nos emocionamos ante fórmulas porque encierran tanta verdad, tanta inteligencia, tanto afán de comprensión, tanta abstracción (de algún modo tanta humanidad), porque son capaces de unir mundos de tan dispares universos. Una de mis fórmulas favoritas es la fórmula de Euler: eπi + 1 = 0 Te juro que encierra belleza; no, mal dicho, irradia belleza. Esta fórmula, una vez que la has comprendido, te embriaga. Volviendo a las leyes del pensamiento, las pruebas o demostraciones nos llenan de gozo con frecuencia. Las hay de muchas clases: pruebas directas, por casos, por reducción al absurdo, por contraposición, por construcción, por inducción, etc. A mí me gustan mucho las pruebas por inducción. Se aplican a propiedades que dependen de números naturales. Por ejemplo, la fórmula es cierta, donde n = 1,2,... (Leticia, una fórmula enunciada para infinitos números: ¡de nuevo, el infinito!). Constan de dos pasos: en el primero buscan un número n0 para el cual la propiedad sea cierta; en el segundo pruebas que si la propiedad es cierta para un número natural n, entonces es cierta también para n + 1. Una vez hecho esto, habrás probado la propiedad para cualquier número mayor o igual que n0. ¿No hay algo de inmortalidad en todo esto y, por tanto, de belleza? Vamos a hacer la prueba por inducción de esta última fórmula. ¿Es cierta la fórmula para n = 1? Sí, porque Supongamos que es cierta para n y probemos que es cierta para n + 1 y probemos entonces que es cierta para n + 1: La expresión que ha salido en último lugar, , es la correspondiente fórmula de sustituyendo n por n + 1. Y esto completa la prueba. Leticia, esto es bello. Hay otro tipo de belleza que está íntimamente ligada a la actividad matemática. Me refiero a la belleza que se encuentra al resolver problemas de matemáticas, sobre todo si es un problema abierto. En primer lugar, no sabes muy por qué te prendaste del problema. ¿No es un poco loco todo esto, Leticia? Quizás fue que presentías que la solución de ese problema completaría tu conocimiento del asunto; sí, a veces nos enamoramos de los problemas por afán de completitud. Acaso fuese porque querías probar tus fuerzas intelectuales; eso también ocurre, las ganas de sentirnos vivos por el ejercicio del pensamiento. Sea cual sea la razón el problema está delante de ti, quietecito, modoso, esperando algo indolentemente no sabemos muy bien qué. Al principio, le haces poco caso; le dedicas algún pensamiento suelto aquí y acá. Lo miras con ojos benévolos e indulgentes. Sin embargo, un día te levantas con un extraño nivel de conciencia, a veces acompañado de un aguzamiento de los sentidos, y entonces abordas el problema. En los primeros acercamientos, todo es vano y ridículo. Todas tus hipótesis iniciales son falsas o se aplican a casos muy particulares exentos de interés. Sabes que esto no es comprender todavía. Pero sigues. En esto consiste la mentalidad del matemático: tesón. Miras al problema desde otro punto de vista, imaginas que fuera parte de un objeto mayor, de una estructura superior, y si así fuese, ¿cómo lo entenderías entonces? Avanzas en el mejor de los casos, pero el avance es minúsculo. En el peor caso, das vueltas sobre ti mismo. Y ahora viene lo que llamo la travesía del desierto. Si no te pierdes, la solución está al final del desierto. Pero, Leticia, ¡cuidado!, el desierto está lleno de espejismos. Recuerda que el Sol de tu orgullo te calentará hasta la extenuación. Ahora la convivencia con el problema es constante. Sueñas con él, te acompaña en el pensamiento por doquier, la realidad la ves teñida del color del problema, todo se interpreta en función de él. En ocasiones, desesperas. A veces desearías que ya estuviese resuelto y acabar con esto. Quizás construyas una bonita teoría solo para descubrir al cabo de unos días que era incorrecta. O aún peor, quizás hayas dado con la solución correcta del problema, pero no sabes cómo probarlo. ¿Recuerdas, Leticia, que en matemáticas todo ha de ser probado según las leyes de la lógica y con demostraciones? A lo peor es la prueba lo que se escapa entre los resquicios de la inteligencia. Sí, porque las matemáticas, si se practican con honestidad, te dan la medida de ti mismo. Y eso es una profunda y constante lección de humildad. En cuanto estás una temporada resolviendo problemas sabes inmediatamente cuáles son tus límites. Lo extraordinario de las matemáticas es que te muestran cómo romperlos. Poco a poco vas progresando. Descompones el problema en otro más pequeños, y con tesón y creatividad los vas resolviendo. Empero, notas que falta una idea que unifique todo lo que has descubierto hasta ahora. Un día, probablemente de una manera casual, te llegará la idea. Pero escucha, Leticia, solo te llegará si tu espíritu está abierto. Probablemente, la idea pasó antes delante de ti, pero no la viste, es decir, no la comprendiste, no estabas preparado. La travesía del desierto te prepara para esa comprensión. En efecto, habrás pasado la fase de obsesión por el problema y estarás en la de comprensión lúcida. Y viste la idea feliz. En los primeros momentos te mostrarás incluso incrédula, tanto has fracasado en el pasado. Luego, sonreirás, y también te maldecirás por lo ciega que estuviste. Finalmente, llorarás de alegría. Los matemáticos apreciamos la belleza en las matemáticas según varios criterios. Antes que nada, en los resultados. Resultados bellos en matemáticas hay muchos. Recuerda la fórmula de Euler eπi + 1 = 0, o también el teorema de Pitágoras, o el teorema de Abel-Ruffini, o el teorema fundamental del cálculo, o el algoritmo de Euclides, o el teorema de Fermat... Leticia, podría seguir así a riesgo de emborracharme. En las pruebas se encuentra otra fuente de belleza. Nos gustan las pruebas que usen el menor número de hipótesis; es una especie de austeridad intelectual. Asimismo, nos gustan que sean cortas y concisas, que estén libres de notación farragosa (que es una forma de pedantería); es una preferencia de estilo, digamos. En el vídeo que hay abajo un matemático contemporáneo muy famoso, Michael Atiyah, habla de la belleza de las matemáticas como de la densidad de significado, lo cual es una hermosa forma de resumir lo que acabo de decir. Figura 1: Vídeo de Atiyah hablando sobre la belleza de las matemáticas. Quizás las pruebas que más nos gustan son las inesperadas. Recuerdo una prueba de un resultado geométrico que un colega probó con una ingeniosa demostración probabilística. Al leerla, los ojos se me quedaron en blanco, empecé a tartamudear y finalmente rompí a reír a carcajada limpia. Las pruebas inesperadas lo son por la conexión que establecen entre áreas aparentemente alejadas o por la profunda comprensión del problema. También se aprecian mucho las pruebas que demuestran el resultado en situaciones muy generales (¡ah!, el famoso afán de generalidad de los matemáticos). Y hasta aquí, querida Leticia, la belleza en las matemáticas. Vamos a ver qué pasa en esa actividad misteriosa y vivífica que es la música. La música puede cumplir muchas funciones, entre ellas, entretenimiento, validación social, refuerzo de la sensación de pertenencia al grupo, comunicación, venta de productos, etc. Sin embargo, yo te voy a hablar primero de la música como instrumento de comprensión. Sí, Leticia, otra vez la comprensión asociada a la belleza. Ahora es una comprensión algo distinta a la dada por las matemáticas. Creo que me explicaré mejor si te pongo ejemplos. Te voy a hablar de una obra que a mí me hizo comprender algo tan importante como la necesidad de consuelo del ser humano. Yo era un joven atolondrado e ignorante del mundo, que rondaba los veintipocos años. Un viernes por la noche quedé con unos amigos. Muy probablemente, acabaríamos emborrachándonos en algún garito de la zona de copas donde habíamos acordado encontrarnos; nada fuera de lo normal en la sociedad alienante en que vivimos. Un amigo me pidió que lo acompañase a su piso a coger algo que se le había olvidado. Al entrar, su compañero de piso estaba escuchando El cuarteto para el final de los tiempos, de Olivier Messian. Me quedé petrificado. Era música de una expresividad desbordante, de una verdad musical absoluta. Pero esa música no hablaba de lo placentero, no era música que solo halagase los sentidos. En absoluto. Hablaba del horror de la condición humana, sin ninguna justificación ni ambigüedad, con absoluta desnudez; y al mismo tiempo esa música hablaba aún más elocuentemente de esperanza. Estaba llena de esperanza y consuelo para el ser humano. Despedí a mi compañero de juerga de modo un poco cortante y rogué a su compañero de piso que pusiese el cuarteto desde el principio. Lo escuché con fruición, con vehemencia, absorbiendo cada detalle del argumento musical y emocional. ¿De dónde había salido esa música? Busqué información sobre la obra y me enteré de que había sido compuesta en unas circunstancias terribles, en un campo de concentración durante la Segunda Guerra Mundial. Ese cuarteto me había cambiado la vida al hacerme comprender que existe el horror de lo humano -más de lo que yo habría podido suponer-, que necesitamos consuelo ante ese horror, y que hay esperanza para nuestra condición. Musicalmente, aprendí muchas otras cosas: la teoría rítmica de Messian, su lenguaje armónico, su sistema de modos de transposición limitada, sus procedimientos formales, el tratamiento de la dinámica (llegué a estudiarme al piano algunos movimientos del cuarteto). Sin embargo, lo más importante radicaba en la parte emocional y estética. La música de Messian me había explicado emociones que antes solo comprendía de modo artificial, como resultado de un frío análisis intelectual o como mucho de una lectura histórica. Con este cuarteto había vivido el horror, había vivido la posibilidad del consuelo y había vivido en mi propia piel la esperanza. Fíjate en el último movimiento del cuarteto; lo puedes escuchar en el siguiente vídeo. Figura 2: Último movimiento del Cuarteto para el final de los tiempos, de Messian. Es un movimiento lento, de un gran estatismo, escrito solo para piano y violín. El piano toca la misma figuración rítmica, dos notas, una muy corta y otra larga, y durante gran parte del movimiento se queda en el registro medio. El violín sigue una línea melódica que en esencia está compuesta por una subida hasta un si agudo, seguida de una bajada, todo ello repetidos dos veces, para en último lugar emprender la poderosa subida a un mi sobreagudo tocado con armónicos artificiales. Tomo prestado de la excelente página web [LU] del Conservatorio de Lawrence University un gráfico (figura 3) que muestra la evolución de la línea melódica. Figura 3: Último movimiento del Cuarteto para el final de los tiempos, de Messian. La subida final del violín es acompañada por el piano en el registro sobreagudo, con acordes de séptima en tercera inversión. Tanto el violín como el piano tocan notas muy agudas, con apenas armónicos. Oímos, pues, tonos de gran pureza, limpios, que nos transmiten esa sensación de esperanza, de recogimiento, de ascetismo. Eso es todo lo que vemos en este movimiento. Sobriedad extrema de medios para conseguir máxima expresividad. Sin vivirlo en persona, me pregunto de qué otra forma podría haber comprendido con esa profundidad el horror de la condición humana y la posibilidad de esperanza. Otro aspecto muy importante para mí es el análisis de la obra, análisis que presta atención a aspectos como la perfección formal, la originalidad, la técnica compositiva, el contexto musical e histórico y otros factores. De nuevo, otro ejemplo, Leticia. Seguro que conoces la Rapsodia sobre un tema de Paganini, de Rachmaninov, una obra para piano y orquesta. Hace un tiempo escribí un análisis sobre esa obra. Formalmente, es un tema con variaciones. Para que me comprendas mejor, te transcribo el análisis del tema y las dos primeras variaciones. (...) Como dijimos antes, la Rapsodia consiste en un tema y 24 variaciones. Muy juguetonamente, Rachmaninov no expone el tema en primer lugar, sino que presenta la primera variación antes que el tema. Esta variación la llama precedente. He aquí una descripción de las variaciones. Introducción: Allegro vivace. La introducción tiene como misión crear una gran expectación en el oyente, expectación que se resolverá más adelante cuando aparezca el tema principal. La introducción presenta el tema de Paganini, la-do-si-la-mi, escrito en semicorcheas; lo llamaremos motivo X. Dicho motivo no es más que el acorde de la menor (la-do-mi) en una forma arpegiada. Figura 4: Motivo de la introducción. Aparecen también acordes de séptima sin resolver así como quintas paralelas; todo esto contribuye a la tensión musical. ¿Qué es esto de los acordes sin resolver? Los acordes de séptima tienen intervalos que se consideran disonantes, al menos en el periodo de la práctica común, y es norma que esas disonancias se resuelvan. Rachmaninov hace lo siguiente en su introducción (pínchese en la figura para oír una versión midi): Figura 5: Introducción de la Rapsodia. Es claro que la introducción acumula mucha tensión a causa de esos acordes. Compárese con la siguiente versión en que no aparecen esas séptimas (pínchese en la figura para oír una versión midi). Figura 6: Versión de la introducción sin séptimas. Es, sin duda, una versión mucho más débil, que no crea tanta expectación; no es desde luego la llamada a las armas que produce la versión de Rachamaninov. En cuanto a las quintas paralelas, son voces que están a una distancia de quinta (5 notas) una de otra. Tienen una sonoridad muy peculiar, que era considerada como desagradable desde el Barroco al Romanticismo. Aquí Rachmaninov la usa sin preocupaciones. La introducción termina en el compás 9 con el acorde de séptima de dominante de la, de nuevo con disonancias sin resolver, que nos deja expectantes. Variación I (Precedente): Allegro vivace. Rachmaninov continúa con su duende juguetón y una vez más rompe las expectativas que nos había creado. Tras la tensión, esperábamos la exposición del tema, pero no es así. La variación I no es más que una presentación del esqueleto armónico del tema de Paganini, con entradas más o menos inesperadas de los instrumentos y con muy poco material melódico. Armónicamente, es una alternancia entre la tónica y la dominante, hasta el compás 8, seguida de una caída de quintas que se repite dos veces. Aquí están los acordes de esta variación (pínchese en la figura para oír una versión midi). Figura 7: Acordes del tema de Paganini. De nuevo hay que descubrirse ante el sentido de la tensión musical de Rachmaninov. En la variación 1 no aparecen los acordes anteriores tocados con todas las notas. He mostrado la armonía completa en la figura 7 más bien para referencias futuras, pero Rachmaninov hace tocar a la orquesta solo las notas fundamentales de cada acorde, esto es, la primera, la más grave, de cada acorde. Así, los acordes quedan indefinidos al faltar el resto de las notas. Aparece la nota la, por ejemplo, pero ¿es la del acorde de la mayor, de la menor, de la séptima u otro? Esta variación fue añadida en el último momento a tenor de lo que se deduce del cuaderno de bocetos de Rachmaninov. El compositor la añadió, se cree, para crear una atmósfera más sugerente antes de la introducción del tema. Tema: L’istesso tempo (sin variar el tempo), en la menor. La orquesta toca el tema original de Paganini y el piano la acompaña con un patrón similar al de la variación anterior. El tema consiste en un antecedente de 8 compases, seguido de un consecuente de 16 compases. ¿Qué significan estas dos palabrejas? En música, una frase es una unidad que posee sentido musical completo. En nuestro caso, el tema de Paganini está formado por dos frases, la primera que actúa de antecedente, o de pregunta si queréis, y la segunda, el consecuente, que tiene carácter concluyente; también se le conoce como la respuesta. En la figura 8 tenéis la división en antecedente y consecuente del tema de Paganini. Figura 8: Antecedente y consecuente en el tema de Paganini. El antecedente está armonizado con una alternancia de tónica-dominante (grado I y grado V de la escala). El consecuente sigue la armonización de arriba, compases 9 a 24 de la figura 4, aunque cambia algunos acordes en la cadencia final. ¿Más palabrejas? Tranquilidad, son solo términos técnicos, palabras como otras cualquiera. Una cadencia en una serie de acordes que marcan el final de una frase; sirven para reforzar el sentido conclusivo de la frase. Muy sutilmente el piano enuncia un motivo que, sometido a diversas transformaciones melódicas y rítmicas, aparecerá con mucha frecuencia. Es uno de los motivos melódicos principales de la Rapsodia. Lo llamaremos Y; está formado por una cuarta descendente. Figura 9: Antecedente y consecuente en el tema de Paganini. (...) Leticia, conocer todo estos detalles aumenta el nivel de consciencia de la obra y, en consecuencia, se percibe la belleza derivada de la perfección formal de la obra. Aclaro que la complejidad compositiva no equivale a perfección formal. Eso es rematadamente falso. Recordemos el motivo de la quinta sinfonía de Beethoven: sol-mi♭-mi♭-mi♭; más simple, imposible. Llegados a este punto nos preguntamos, Leticia, que si ambas son bellas, ¿qué diferencia a la música y a las matemáticas? Para mí, tienen mucho en común, pero una gran diferencia es el tratamiento del tiempo. La potencia emocional de la música está fuertemente asociada a una periodo fijo de tiempo. En el corto tiempo que dura la escucha musical, todo se transforma. Nuestros sentidos se ponen a prueba, se crean conexiones emocionales antes desconocidas, la sensibilidad se aventura por tierras ignotas y de resultas la comprensión vital se ensancha. Hay una gran densidad de significado comprimido en un corto espacio de tiempo. En cuanto a la densidad, matemáticas y música son muy parejas. Los objetos matemáticos son también densos en significados, pero no tienen las ataduras temporales de la música. Un problema de matemáticas nos puede acompañar a todas partes durante las veinticuatro horas del día: La música tiene su clímax durante la escucha; fuera de ella, su intensidad mengua, pues falta la estimulación sensorial. Leticia, ha sido un placer charlar contigo sobre la belleza, sea matemática o musical. Gracias. PARA SABER MÁS Para informarse sobre aspectos cognitivos de la música de una manera divulgativa recomiendo el libro Musicofilia, de Oliver Sack [Sac09]. Para aquellos que quieran profundizar de verdad está el libro Psychological Foundations of Musical Behaviors [RB03]. Para ahondar en los aspectos sociales y antropológicos de la música, recomiendo el libro clásico de Merriam [Me64]. En la sección Mis conciertos de mi página web se encuentran análisis de obras clásicas. La demostración de un resultado siempre viene después de su concepción siquiera sea intuitiva. A veces hay demostraciones visuales que muestran, a veces de modo inesperado, resultados que normalmente se prueban con árida manipulación algebraica. En la página Proofs without words [Wik-a] hay unas cuantas. Este tipo de pruebas se encuentran también en el campo de la matemagia. El famoso libro de Imre Lakatos Proofs and refutations [Lak76] es una buena referencia para entender qué es el arte de las prueba matemática. Para estudiar la estética de la música el libro de Scruton [Scr-97] es muy riguroso y completo. Una divertidísima historia de la crítica musical es el Lexicon of musical invective, de Slonimsky [Slo-00]. En ese libro relata las críticas feroces y se aprecia lo subjetivo que es el concepto de belleza, tan sujeto a modas, a tirrias personales, a prejuicios. Bibliografía [Gom11] Página web de Paco Gómez. Rapsodia sobre un tema de Paganini,, de Rachmaninov. Sección Mis conciertos. Mayo de 2010. [Lak76] Lakatos, I. Proofs and refutations. Cambridge University Press. 1976. [LU] Lawrence University, Conservatory of Music. Quatour por la find de temps, de Olivier Messian. Consultado en enero de 2012. [Me64] Merriam, A.P. The anthropology of music. Northwestern University Press. 1964. [Sac09] Sack, O. Musicofilia. Anagrama. 2009. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas. 2003. [Scr-97] Scruton, R. The Aesthetics of Music. Oxford University Press. 1997. [Slo-00] Slonimsky, N. Lexicon of musical invective. Norton and Company. 2000. [Wik-a] Wikipedia. Proof without words. Consultado en enero de 2012.
Viernes, 17 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
En este primer artículo del año vamos a recopilar material que puede ser interesante para el aficionado a las matemáticas y a la música (tenía que poner esa y en cursiva). Parte de ese material tiene un evidente sentido humorístico y otra parte es más serio. Con frecuencia, cuando le preguntas a alguien cuál es la relación entre matemáticas y música te encuentras con que te canta una canción cuya letra es un enunciado matemático. Bueno, es cierto, hay una tradición de entender la relación entre las matemáticas y la música de esta manera. Aquí van unos cuantos vídeos al respecto (la mayor parte sacados de la divertida e instructiva página Division by Zero): Este primer vídeo es una canción muy graciosa sobre los grupos finitos simples de orden 2: Grupos finitos simples de orden 2. En el siguiente vídeo tenemos una parodia de I will survive, de Gloria Gaynor, ahora transformada en I will derive: I will derive Ahora nos encontramos con el típico cantante de voz vaga, sin mucha proyección, un poco en plan canción protesta, narrando las dificultades que se encontraron los matemáticos con la irracionalidad del número pi. ¿Adivina el lector de quién tomó la música? Basta esperar al estribillo: Mathematical Pi Miramos a continuación al género del rap, donde también se encuentran canciones que glosan las bondades de las matemáticas: Rhythm of Structure: The Math Graffiti Wall En español y con mucha conciencia, Tote-King, un grupo de rap, enumera reflexiones, una tras otra: Tote-King: Matemáticas. Para acabar esta sección, no podíamos dejar sin mencionar el famoso teorema de Tales de Les Luthier: Les Luthier: El teorema de Tales. Pero aún más sorpresas para el audaz lector: rock matemático. Sí, ha leído bien el amable lector. Se trata de una tendencia rock que usa compases irregulares -como 7/8, 11/8 y similares-, disonancias más atrevidas y preocupación por el uso de las texturas. Ciertamente, llamarlo rock matemático por el uso de esos compases es un poco exagerado, pero nada se puede hacer ya al respecto. El caso es que las percusiones de estos grupos son más interesantes que la de los grupos de rock clásicos, donde el uso de los compases binarios llega a resultar cansino. Para más información, véase la entrada de la Wikipedia Math Rock. Del rock matemático se pasó al metal matemático. Sí, ello es posible. Si el lector está interesado en adquirir una visión de conjunto de los géneros del metal, recomiendo que vaya a Map of Metal, página que los contiene todos, con información muy completa, tanto histórica como musical, y que permite escucharlos según se pasea uno por el mapa de los géneros. En la figura de abajo, hemos sacado un pantallazo de la parte del mathcore. Detalle del mathcore del mapa del metal. En el vídeo de abajo, tenemos un ejemplo de este metal matemático, del grupo The Dillinger Escape Plan, el tema 43% Burnt sacado en el album con el elocuente título Calculating Infinity (pincha en la imagen para ver el vídeo): The Dillinger Escape Plan - 43% Burnt Otro enfoque interesante, en la misma línea de cantar las matemáticas pero con propósitos didáctics, es la de Educational Rap, un sitio web que ofrece canciones rap para enseñar una gran variedad de materias, las duras matemáticas entre ellos. En el apartado de música, tienen un album con pistas que versan sobre gráficas de funciones, números negativos, fracciones, superficies, el sistema métrico decimal y otros temas. Siguiendo este enfoque, la página Songs for Teaching tiene un amplio repertorio de canciones, muy bien compuestas y grabadas, para enseñar numerosos conceptos matemáticos, principalmente para educación primaria. Los conceptos van desde los números en educación infantil hasta media, moda y mediana que se ven en sexto de primaria. Las canciones forman parte del material pedagógico que ofrecen y por el cual hay que pagar. En español, quitando las canciones populares que incluyen números (la famosa Un elefante se balanceaba...), no he encontrado referencias que ofrezcan canciones en la línea de Songs for Teaching. A veces, cuando un conocido se entera de que mi labor investigadora versa sobre las matemáticas y la música, me dicen cosas peregrinas, que me llevan a preguntarme qué idea tienen de ambas disciplinas. He oído cosas como:"están muy relacionadas, ¿no? Al principio de cada pieza hay una fracción", o también "en ambas materias se cuenta", o "¿qué es la música sino duración?, ¿y las matemáticas?: pues lo mismo. ¿no?". Huelga decir que las cejas se me fruncen de sorpresa. La relación entre las matemáticas y la música no se reduce al símil entre la disciplina métrica de la música y el rigor lógico de las matemáticas, o a que ambas inspiran belleza. Hay otros muchos aspectos, que pasan desapercibidos al observador ocasional, que unen a las matemáticas y a la música, como pueden ser las estructuras matemáticas que se encuentran en la música o el nivel de abstracción que comparten. Para ahondar en esa relación y hacerlo de manera gozosa y relevante, vamos a recomendar al lector un libro. La mayor parte de los libros sobre matemáticas y música se quedan en la descripción física del sonido, en la afinación pitagórica y como mucho mencionan la sucesión de Fibonacci. Como digo, hay mucha más matemática detrás de la música. Una referencia inmejorable es el libro de David Benson Music: a Mathematical Offering. Music: a Mathematical Offering, de David Benson. Este libro creció a partir de unos apuntes de un curso que Benson empezó a impartir hace algunos años y se ha convertido ya en un clásico, por la exposición, clara y concisa, y por el material que cubre. Para que el lector aprecie el libro en su justa medida mostramos más abajo el índice (en inglés). Puede verse que aborda, sí, los clásicos fundamentos físicos, pero también cuestiones de forma (capítulo 9), de afinación incluyendo temperamentos modernos (capítulos 5 y 6), organología (capítulo 3), etc. No menos meritoria es la cantidad y la calidad de las referencias que se encuentra en el libro. Y hasta aquí ha sido el artículo de este mes. Se pueden cantar las matemáticas y eso las relaciona con la música -al menos, en su práctica-, pero si lees el libro de Benson, entonces esa relación se hace más profunda y patente. REFERENCIAS David Benson. Music: A mathematical offering. Existe una versión impresa publicada por Cambridge University Press en 2006. ISBN: 0521853877 Division by Zero. Página web con puzzles, recursos académicos y tecnología aplicada a la enseñanza. Educational Rap. Página web con canciones rap para aprender diversos conceptos matemáticos. Música y matemáticas. Web creada bajo la dirección de Rafael Losada. Map of metal. Página web donde se muestran los géneros del metal. Wikipedia. Artículo Math Rock. Artículo consultado en diciembre de 2011. Songs for Teaching. Página con material para enseñar conceptos matemáticos a través de canciones.     Índice (versión en línea): 1. Waves and harmonics 1.1 What is sound? 1.2 The human ear 1.3 Limitations of the ear 1.4 Why sine waves? 1.5 Harmonic motion 1.6 Vibrating strings 1.7 Sine waves and frequency spectrum 1.8 Trigonometric identities and beats 1.9 Superposition 1.10 Damped harmonic motion 1.11 Resonance 2. Fourier theory 2.1 Introduction 2.2 Fourier coefficients 2.3 Even and odd functions 2.4 Conditions for convergence 2.5 The Gibbs phenomenon 2.6 Complex coefficients 2.7 Proof of Fejér's theorem 2.8 Bessel functions 2.9 Properties of Bessel functions 2.10 Bessel's equation and power series 2.11 Fourier series for FM synthesis and planetary motion 2.12 Pulse streams 2.13 The Fourier transform 2.14 Proof of the inversion formula 2.15 Spectrum 2.16 The Poisson summation formula 2.17 The Dirac delta function 2.18 Convolution 2.19 Cepstrum 2.20 The Hilbert transform and instantaneous frequency 2.21 Wavelets 3. A mathematician's guide to the orchestra 3.1 Introduction 3.2 The wave equation for strings 3.3 Initial conditions 3.4 The bowed string 3.5 Wind instruments 3.6 The drum 3.7 Eigenvalues of the Laplace operator 3.8 The horn 3.9 Xylophones and tubular bells 3.10 The mbira 3.11 The gong 3.12 The bell 3.13 Acoustics 4. Consonance and dissonance 4.1 Harmonics 4.2 Simple integer ratios 4.3 Historical explanations of consonance 4.4 Critical bandwidth 4.5 Complex tones 4.6 Artificial spectra 4.7 Combination tones 4.8 Musical paradoxes 5. Scales and temperaments: the fivefold way 5.1 Introduction 5.2 Pythagorean scale 5.3 The cycle of fifths 5.4 Cents 5.5 Just intonation 5.6 Major and minor 5.7 The dominant seventh 5.8 Commas and schismas 5.9 Eitz's notation 5.10 Examples of just scales 5.11 Classical harmony 5.12 Meantone scale 5.13 Irregular temparaments 5.14 Equal temperament 5.15 Historical remarks 6. More scales and temperaments 6.1 Harry Partch's 43 tone and other super just scales 6.2 Continued fractions 6.3 Fifty-three tone scale 6.4 Other equal tempered scales 6.5 Thirty-one tone scale 6.6 The scales of Wendy Carlos 6.7 The Bohlen-Pierce scale 6.8 Unison vectors and periodicity blocks 6.9 Septimal harmony 7. Digital music 7.1 Digital signals 7.2 Dithering 7.3 WAV and MP3 files 7.4 MIDI 7.5 Delta functions and sampling 7.6 Nyquist's theorem 7.7 The z-transform 7.8 Digital filters 7.9 The discrete Fourier transform 7.10 The fast Fourier transform 8. Synthesis 8.1 Introduction 8.2 Envelopes and LFOs 8.3 Additive synthesis 8.4 Physical modeling 8.5 The Karplus-Strong algorithm 8.6 Filter analysis for the Karplus-Strong algorithm 8.7 Amplitude and frequency modulation 8.8 The Yamaha DX7 and FM synthesis 8.9 Feedback, or self-modulation 8.10 CSound 8.11 FM synthesis using CSound 8.12 Simple FM instruments 8.13 Further techniques in CSound 8.14 Other methods of synthesis 8.15 The phase vocoder 8.16 Chebychev polynomials 9. Symmetry in music 9.1 Symmetries 9.2 The harp of the Nzakara 9.3 Sets and groups 9.4 Change ringing 9.5 Cayley's theorem 9.6 Clock arithmetic and octave equivalence 9.7 Generators 9.8 Tone rows 9.9 Cartesian products 9.10 Dihedral groups 9.11 Normal subgroups and quotients 9.12 Orbits and cosets 9.13 Burnside's lemma 9.14 Pitch class sets 9.15 Pólya's enumeration theorem 9.16 The Mathieu group M12 Appendices Appendix A: Answers to Almost All Exercices Appendix B: Bessel functions Appendix C: Complex numbers Appendix D: Dictionary Appendix E: Equal tempered scales Appendix F: Frequency and MIDI chart Appendix G: Getting stuff from the internet Appendix I: Intervals Appendix J: Just, equal and meantone scales compared Appendix L: Logarithms Appendix M: Music theory Appendix O: Online papers Appendix P: Partial derivatives Appendix R: Recordings Appendix W: The wave equation Green's identities Gauss' formula Green's functions Hilbert space The Fredholm alternative Solving Laplace's equation Conservation of energy Uniqueness of solutions Eigenvalues are nonnegative and real Orthogonality Inverting the Laplace operator Compact operators The inverse of the Laplace operator is compact Eigenvalue stripping Solving the wave equation Polyhedra and finite groups An example Bibliography Index
Lunes, 02 de Enero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez, Andrew Melvin, David Rappaport y Godfried Toussaint
Esta es la última entrega de la serie de tres artículos sobre la medida matemática de síncopa. En el primer artículo estudiamos el fenómeno de la síncopa desde el punto de vista puramente musical; en el segundo, revisamos las principales medidas matemáticas de síncopa y propusimos la nuestra propia; y en este artículo comparamos la efectividad de varias medidas sobre ritmos de clave tomados de tradiciones de música étnica. 1. Medición de la síncopas en ritmos En esta sección examinamos y comparamos las medidas de síncopa introducidas en los dos artículos anteriores probándolas con varios ritmos. Ciertamente, parece difícil seleccionar una familia de ritmos que uno pudiese calificar como representativa para semejante tarea. Una primera idea sería seleccionar ritmos que formen parte esencial de un género musical. En la llamada música étnica o música del mundo se pueden encontrar abundantes ejemplos de esto. En [3, 4], Toussaint recoge los principales ritmos de clave (o simplemente claves) de las tradiciones africana, cubana y brasileña, y lleva a cabo un estudio rítmico de dichas claves. En estas tradiciones hay un ritmo, que con frecuencia se toca en una campana de metal o en un par de claves de madera o en una caja china, y que se mantiene a lo largo de toda la pieza y cuyas funciones incluyen la estabilización rítmica y la organización del fraseo [2, 5]; este ritmo se llama de clave. En música clásica, el concepto más cercano al de clave es el de ostinato, como podemos apreciar, por ejemplo, en Purcell (Dido y Aeneas), Marin Marais (Sonnerie de Sainte Geneviève du Mont de Paris), Beethoven (la sonata para piano La tempestad opus 31, no 2), Ravel (Bolero), Holst (Marte en los Los planetas) y otros muchos casos. Las claves se pueden dividir en dos grupos atendiendo a su estructura métrica: claves binarias y ternarias, que se estudiarán separadamente. Ya que las claves se tocan en campanas o en claves de madera, que dan lugar a ataques más bien que a notas sostenidas, la medida de Keith se ha calculado teniendo en cuenta simplemente si D divide a S para determinar si una nota está a contratiempo o no; véase el anterior artículo de esta serie. 1.1. Ritmos binarios Las seis claves binarias fundamentales son: shiko, son, rumba, soukous, bossa-nova y gahu. Refiérase el lector a [3] y a la bibliografía contenida en ese artículo para una completa información sobre ritmos de clave. En la figura 1 podemos ver que la partitura musical y las correspondientes medidas de síncopa calculadas con la medida de Keith, el índice de contratiempo y la medida DPNP. Ritmos Partitura Medida de Keith Índice contratiempo ∑ xD(x) DPNP Clásico-1 0 3 18 18/10 = 1’8 Clásico-2 3 3 12 12/7 = 1’71 Shiko 1 0 6 6/5 = 1’2 Son 2 1 14 14/5 = 2’8 Rumba 2 2 18 18/5 = 3’6 Soukous 3 2 18 18/5 = 3’6 Gahu 3 1 18 18/5 = 3’6 Bossa-Nova 3 2 20 20/5 = 4 Figura 1: Ritmos binarios. Claramente, shiko es la menos sincopada; la clave son es más sincopada que la shiko, y la rumba más sincopada que la son. Sin embargo, no está claro qué ritmo entre la rumba, el soukous y el gahu es el más sincopado. Bossa-nova es ciertamente la más sincopada. En general, las tres medidas apoyan estas conclusiones, aunque hay algunas divergencias que nos permiten extraer conclusiones interesantes acerca de su utilidad. La medida de Keith en la mayoría de los casos devuelve valores razonables para la medida de la síncopa, aunque no entra en detalles sutiles. Por ejemplo, la bossa-nova se siente más sincopada que cualquier otro ritmo, pero la medida de Keith le asigna los mismos valores que al soukous y el gahu. Sorprendentemente también, asigna la misma cantidad de síncopa a la rumba y el son. Es algo extraño que esta medida devuelva un valor de 3 para el motivo rítmico clásico-2, poniéndolo al mismo nivel que la bossa-nova o el gahu. El índice de contratiempo parece estar más cerca de la percepción humana de la síncopa que la medida de Keith, aunque también da lugar a conclusiones dignas de debate. Por ejemplo, gahu recibe valor 1, pero se siente más sincopado que el son, que también tiene valor 1. Es desconcertante que los dos motivos clásicos obtengan una puntuación mayor que cualquiera de las restantes claves, incluida la bossa-nova. La medida DPNP sugiere conclusiones razonables y en general muestra una mayor coincidencia con la percepción humana de la síncopa. La bossa-nova alcanza la mayor puntuación en el grupo. La medida pone a la rumba, el soukous y el gahu en la misma categoría. En un nivel inferior, encontramos al son, y debajo de este, el shiko, el ritmo menos sincopado; véase la figura 3. Nótese que sin la corrección del número de notas un ritmo con tan poco nivel de síncopa como el motivo rítmico clásico-1 obtendría una puntuación tan alta como la clave gahu, que es mucho más sincopada. Véase la columna que contiene la suma ∑ xD(x) en la figura 1. Volvamos al delicado asunto de elegir los pesos para la medida DPNP. En la definición de of D(x), cuando una nota x cruza una parte fuerte y termina antes de la siguiente parte fuerte, entonces la distancia es  . ¿Por qué ? Podría ser o , por ejemplo. De manera general, supongamos que la distancia D(x) en el caso descrito está dada por , donde a es un peso arbitrario con a > 1. Entonces, la tabla de la figura 2 contiene la clasificación de las claves binarias en función de a. Rhythms Weights Shiko 2a + 2 Son 6a + 2 Soukous 6a + 6 Gahu 8a + 2 Rumba 8a + 2 Boss-Nova 8a + 4 Figura 2: Pesos para las claves binarias Figura 3: Ordenación de las claves binarias según a. Considérese el grafo que se muestra en la figura 3. Ahí cada nivel designa una medida de síncopa. No importa qué valores de a,a > 1, se elijan, el orden se preservará, excepto por soukous. Unas pocas operaciones algebraicas con desigualdades muestran enseguida que esta afirmación es cierta. Con respecto al soukous, si 1 < a < 2, entonces soukous sería más sincopado que el gahu y la rumba (esta situación se muestra en la figura 3 con la línea a puntos); si a = 2, entonces los tres serían igualmente sincopados; finalmente, si a > 2, entonces soukous sale como el menos sincopado (véase la otra línea de puntos en la figura  3). 1.2. Ritmos ternarios En el artículo anterior introdujimos las diez claves fundamentales son: soli, tambú, bembé, bembé-2, yoruba, tonada, asaadua, sorsonet, bemba y ashanti. Véase [4] y sus referencias para una descripción completa de estos ritmos. Las partituras y los correspondientes valores del índice de contratiempo y de la medida DPNP se muestran en la figura 4. Ritmos Partitura Índice de ∑ xD(x) DPNP contratiempo Clasico-1 2 12 12/8=1’5 Clasico-2 2 12 12/8=1’5 Soli 1 15 15/7=2’142 Tambú 2 15 15/7=2’142 Bembé 3 21 21/7=3 Bembé-2 2 15 15/7=2’142 Yoruba 2 21 21/7=3 Tonada 1 15 15/7=2’142 Asaadua 1 15 15/7=2’142 Sorsonet 1 21 21/7=3 Bemba 2 15 15/7=2’142 Ashanti 2 21 21/7=3 Figura 4: Ritmos ternarios. De nuevo, ambas medidas parecen tener sentido de manera global para estos ritmos. En el caso del índice de contratiempo solo el bembé obtiene la máxima puntuación, mientras que la medida DPNP tiene al bembé, al yoruba, al sorsonet y al ashanti como los ritmos más sincopados. Los diez ritmos de clave pertenecen a tres collares (patrones) canónicos distintos [1, 4]. El patrón canónico I corresponde al sorsonet solo; el patrón canónico II genera soli, tonada y asaadua; el patrón canónico III incluye el bembé, el bembé-2, el tambú, la tonada, el yoruba, la bemba y el ashanti. El índice de contratiempo clasifica los ritmos originados por los patrones canónicos I y II como los menos sincopados. Todos los ritmos de clave generados por el patrón canónico III, excepto el bembé, cuyo índice de contratiempo es el más alto, irían en segundo lugar. La medida DPNP agrupa los ritmos de diferente manera. El grupo con el mayor valor está constituido por el bembé, el yoruba, el ashanti y el sorsonet; en el siguiente grupo encontramos el tambú, el bembé-2, la bemba, el soli, la tonada y la asaadua. Esto último grupo comprende todos los ritmos del patrón canónico II más el tambú, el bembé-2 y la bemba. La pregunta que surge de modo natural es cómo construye la medida DPNP esta clasificación. Observemos que todos los ritmos en el grupo menos sincopados tienen tres notas en parte fuerte y solo una nota que cruza la parte fuerte restante. Por el contrario, los ritmos más sincopados tienen dos notas en parte fuerte y otras dos notas que cruzan una parte fuerte. Sin embargo, el índice de contratiempo no detecta esta situación y lleva al tambú, al bembé-2 y a la bemba del grupo menos sincopado al más sincopado. Por el contrario, el índice de contratiempo lleva el sorsonet, que es considerado por la medida DPNP como sincopado, al grupo menos sincopado. La comparación entre los ritmos de clave y mótivos rítmicos de la música clásica produce resultados más consistentes que en el caso de las claves binarias (véase la columna que contiene la suma ∑ xD(x) en la figura 4). El índice de contratiempo considera los dos motivos tan sincopados como el yoruba o el ashanti, pero esto parece erróneo. La medida DPNP detecta correctamente que son menos sincopados que los ritmos de clave. Los pesos en la medida DPNP no tiene influencia en el orden relativo de los ritmos ternarios, porque todas las medidas son de la forma 3a + ci, donde ci es una constante aditiva para el ritmo i. 2. Conclusiones finales Vamos a extraer conclusiones de los resultados empíricos obtenidos en la sección anterior; empezaremos por los puntos débiles de cada medida. Los mayores inconvenientes de la medida de Keith son: (1) No se puede medir ritmos cuyas métricas no tengan un número de notas que no sea una potencia de 2; (2) No se puede usar para medir ritmos irregulares; (3) La elección de los pesos es subjetiva; (4) Muestra una coincidencia limitada con la percepción humana de la síncopa. Con respecto al índice de contratiempo, encontramos los siguientes inconvenientes: (1) Es limitada en su aplicación, ya que para métricas con un número primo de notas todas las notas están a contratiempo; (2) No se puede usar para medir ritmos irregulares; (3) No mide la síncopa en toda su generalidad. Por ejemplo, en un compás de 12/8, las posiciones a contratiempo son 1,5,7,11. Sin embargo, un ritmo puede ser muy sincopado sin tener notas en esas posiciones; (4) Es independiente del número de notas. Por ejemplo, el bembé y [x x . . . x . x . . . x] tienen contratiempo 3, pero un número diferente de notas; (5) Aunque muestra más coincidencia con la percepción humana de la síncopa que la medida de Keith, esa coincidencia es todavía limitada. El único inconveniente que la medida DPNP parece tener es la ambigüedad en la elección de los pesos. Sin embargo, la elección de los pesos no parece tener un efecto en los resultados finales tan dramático como en el caso de la medida de Keith. Un algoritmo mejor para elegir los pesos sería altamente deseable. Finalmente, concluimos que la medida DPNP tiene mayor coincidencia con la percepción humana de la síncopas que el resto de las medidas y también un mayor grado de aplicación. Cerramos este artículo con unos cuantos problemas abiertos. Sería interesante generalizar la medida de Keith de manera que admitiese métricas más generales. Otra dirección de investigación sería la generalización del índice de contratiempo para que contemplase satisfactoriamente el caso de los números primos. Con respecto a la medida DPNP, nos gustaría obtener resultados empíricos adicionales -quizás en forma de experimentos con sujetos- de manera que los pesos se obtuviesen de manera más precisa. Agradecimientos Los resultados de este artículo se obtuvieron en el Second International Workshop on Computational Music Theory organizado por el Departamento de Matemática Aplicada en la Escuela Universitaria de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid en junio de 2004. Nos gustaría dar las gracias a Giovanna Farigu y Shima Kobayashi por sus clarividentes discusiones sobre el problema de la síncopa. Bibliografía [1] Keith, M.; From Polychords to Pólya: Adventures in Music Combinatorics, Vinculum Press, Princeton, 1991. [2] Ortiz, F.; La Clave, Editorial Letras Cubanas, La Habana, Cuba, 1995. [3] Toussaint, G. T.; A Mathematical Analysis of African, Brazilian, and Cuban Clave Rhythms, Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 157-168, Towson University, Towson, MD, 2002. [4] Toussaint, G. T.; Classification and Phylogenetic Analysis of African Ternary Rhythm Timelines, Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 25-36, Universidad de Granada, Granada, 2003. [5] Uribe, E.; The Essence of Afro-Cuban Percussion and Drum Set, Warner Bros., Miami, 1996.
Viernes, 02 de Diciembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez, Andrew Melvin, David Rappaport y Godfried Toussaint
Este artículo es la segunda parte de la serie sobre medidas matemáticas de síncopa. Esta serie proviene del trabajo Mathematical measures of syncopation, presentado en el congreso BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science de 2005. Los autores son Andrew Melvin (Buckinghamshire Music Service, Inglaterra), David Rappaport (School of Computing, Queen's University), Godfried Toussaint (School of Computer Science, McGill University) y el autor de esta columna. 1. Medidas de síncopa Desde el punto de vista matemático, la música se ha formalizado y estudiado mucho, pero parece que han despertado más interés los fenómenos relacionados con la altura del sonido, tales como escalas, acordes y melodía  [17, 12, 16, 15, 2, 3, 9], que los relacionados con fenómenos rítmicos. Varios autores han puesto remedio a esta situación con el estudio de fascinantes cuestiones abiertas sobre el ritmo (véase, por ejemplo, [18, 13, 1, 12, 19, 6, 20, 21, 22, 23, 4]). Muy pocos autores, sin embargo, han abordado los muchos problemas que surgen alrededor de la síncopa (véase [11, 14, 8]). Por ejemplo, dados dos ritmos con la misma métrica, ¿cuál es más sincopado? ¿Existe una medida que pueda ordenar un conjunto de ritmos según su grado de síncopa? O ¿existe una medida matemática de síncopa que coincida con la medida humana de la síncopa? En [11], dentro del contexto de una teoría sobre el ritmo y la métrica, Johnson-Laird estudia la síncopa desde un punto de vista cualitativo, pero no describe una medida de síncopa para ritmos. La síncopa se ha estudiado en el contexto de los modelos de inducción de pulsos [8]. En el capítulo final de [12], Keith considera el problema de definir una medida matemática de síncopa y da una definición basada en combinatoria. Asimismo, en [23] se presenta una medida de preferencia para música africana del área subsahariana, la llamada medida de contratiempo, que se basa en teoría de grupos. La medida de contratiempo no solo parece ser una buena medida de preferencia, sino que también puede servir como medida de síncopa. El índice de asimetría rítmica [1, 5, 6] puede considerarse también como una aproximación a un medida de síncopa. Se basa en la partición de ritmos con ciertas propiedades. En este trabajo definimos una nueva medida de síncopa que no está basada ni en combinatoria ni en teoría de grupos, sino en el concepto de duración de distancia entre notas. En las siguientes secciones revisaremos medidas de síncopa definidas por otros autores e introduciremos la medida de la distancia ponderada de nota a parte. 1.1. Índice de asimetría rítmica Simha Arom [1] descubrió que los pigmeos aka usan ritmos que tienen lo que él llama la propiedad de asimetría rítmica [6, 5]. Un ritmo con un tramo temporal consistente en un número par de unidades de tiempo tiene la propiedad de asimetría rítmica si no hay dos notas que partan el ciclo (el tramo temporal entero) en dos subintervalos de igual longitud. Tal partición se llama un bipartición igual. Nótese que la propiedad de asimetría rítmica se define solo para tramos temporales de longitud par. Para tramos de longitud impar todos los ritmos tiene esa propiedad, lo que desprovee a la medida de todo interés. Aunque limitada, esta propiedad es un primer paso hacia una definición matemática de síncopa. Desafortunadamente, la capacidad de esta propiedad de discriminar ritmos según la síncopa es su mayor limitación. Considérese, por ejemplo, las diez ritmos de clave de campana de la música del África del Oeste y del Sur; estas claves están formadas por siete notas en un tramo temporal de doce unidades, con cinco intervalos de longitud dos y dos intervalos de longitud uno (véase [21] para más detalles). Los diez ritmos y sus vectores de intervalos son: Ritmo Vector de intervalos Partitura Soli (2 2 2 2 1 2 1) Tambú (2 2 2 1 2 2 1) Bembé (2 2 1 2 2 2 1) Bembé-2 (1 2 2 1 2 2 2) Yoruba (2 2 1 2 2 1 2) Tonada (2 1 2 1 2 2 2) Asaadua (2 2 2 1 2 1 2) Sorsonet (1 1 2 2 2 2 2) Bemba (2 1 2 2 2 1 2) Ashanti (2 1 2 2 1 2 2) Figura 1: Vector de intervalos para algunas claves africanas para campanas. Estos diez ritmos se obtienen a partir de rotaciones adecuadas de tres patrones canónicos (de nuevo, véase [21]) . Estos ritmos pertenecen a un conjunto más general de ritmos, que en total son veintiuno. La propiedad de asimetría no aparece en ninguno de ellos. Aún más, entre los diez ritmos usados aquí, algunos son más sincopados que otros, pero la propiedad de asimetría rítmica no capta esa diferencia. Toussaint [21] propuso una generalización de esta propiedad que tenía más capacidad de discriminación. Originalmente, Simha Arom [1] definió la propiedad de asimetría rítmica de una manera estrictamente dicotómica, blanco o negro, todo o nada, esto es, el ritmo o tiene la propiedad o no la tiene. Este concepto se puede generalizar a una variable que tome más valores y que mida la cantidad de asimetría rítmica que un ritmo posee. Esta variable de asimetría rítmica se define como el número de biparticiones iguales que admite un ritmo. Cuantas menos biparticiones un ritmo admita, más asimetría rítmica tendrá. 1.2. La medida de contratiempo Consideremos en primer lugar los ritmos definidos sobre un tramo temporal de 12 unidades de tiempo. Un intervalo de 12 unidades se puede dividir de manera exacta, sin resto, por cuatro números mayores estrictamente que 1 y menores que 12. Estos números son 6, 4, 3 y 2. Dividir el círculo de 12 unidades por estos números da lugar a un segmento, un triángulo, un cuadrado y un hexágono, respectivamente. Normalmente, la música africana incorpora un tambor u otro instrumento de percusión que toca al menos una porción de estos patrones. A veces la música se acompaña con ritmos de palmas que usan alguno de estos patrones. Por ejemplo, la musica funeral neporo del noroeste de Ghana emplea el triángulo, el cuadrado y el hexágono en sus ritmos de palmas [24]. En cualquier caso, el ritmo tiene un pulso que podemos asociar con la posición “cero” en el ciclo. En la música polirrítmica estos cuatro subpatrones forman los posibles patrones métricos. Dos de estos patrones, el segmento y el cuadrado, son binarios y dos, el triángulo y el hexágono, ternarios. Por tanto, las notas que se tocan en otras posiciones están en posiciones de contratiempo en un sentido fuertemente polirrítmico. Hay cuatro posiciones que no aparecen en ninguno de estos cuatro patrones. Esas posiciones son 1, 5, 7 y 11. Las notas en esas posiciones se llamarán notas a contratiempo. Un ritmo que contenga al menos una nota en una de esas posiciones se dirá que tiene la propiedad del contratiempo. La medida de contratiempo es el número de notas a contratiempo que contiene. Estas notas a contratiempo (1, 5, 7, y 11) tienen una interpretación en términos de teoría de grupos. Las 12 posiciones para las 12 posibles notas forman un grupo cíclico de orden 12 designado por C12. Los valores de las posiciones de las notas a contratiempo corresponden a los tamaños de los intervalos que tienen la propiedad de que, si se recorre el ciclo empezando en “cero” en sentido horario en saltos de tamaño igual al tamaño de uno de estos intervalos, entonces en algún momento se vuelve al punto de inicio tras haber visitado todas las 12 posiciones. Recíprocamente, si las longitudes de los saltos se toman del conjunto complementario , entonces el punto de inicio se alcanzará sin haber visitado las 12 posiciones del ciclo. Por esta razón, los elementos 1, 5, 7 y 11 se llaman generadores del grupo C12. Los números que indican la posición de las notas a contratiempo en el ciclo también tienen una interpretación desde el punto de vista de la teoría de números. Consideremos un tramo temporal de n unidades. Las posiciones de las notas a contratiempo se conocen como coprimos1 de n (véase [7]) . Los coprimos de n son los enteros positivos menores que n que son primos relativos con n. Dos números son primos relativos si el único divisor que tienen en común es 1. La función indicatriz de Euler2, designada por φ(n), es el número de coprimos de n, y es por tanto el valor máximo que la medida de contratiempo puede tomar para un ritmo con un tramo temporal de n unidades. Volviendo a los diez ritmos de campanas de África del Oeste en 12/8 que introdujimos antes, la medida de contratiempo no solo discrimina mejor que el índice de asimetría rítmica en términos de síncopa, sino que muestra que un valor más alto de la medida de contratiempo tiene una correlación más alta con la aceptación popular del ritmo. El ritmo del bembé es el patrón que se usa más frecuentemente. Entre estos diez ritmos, el valor más alto para la medida de contratiempo es 3 y solo el bembé alcanza dicho valor. Ya que cada grupo cíclico Cn tiene un conjunto de generadores, la medida de contratiempo descrita se puede generalizar a ritmos definidos sobre tramos temporales de n unidades, donde n puede tomar otros valores distintos a 12. Aunque la medida funciona mejor con valores pares de n, tiene alguna aplicabilidad para valores impares de n. Por otra parte, si n es un número primo p, entonces todos los números entre 1 y p - 1 son coprimos con p. En tal caso la medida es infructuosa, ya que todas las posiciones entre 1 y p - 1 serían notas a contratiempo bajo la presente definición de contratiempo. 1.3. La medida de Keith En [12] Keith examina varios fenómenos de naturaleza rítmica y lleva a cabo un análisis matemático de ellos. Como ejemplo ilustrativo, Keith aborda el problema de medir el grado de síncopa de un ritmo dado. Su definición se apoya en la distinción de tres eventos: retardo, cuando una nota empieza en parte fuerte3 y termina fuera de ella; anticipación, cuando la nota empieza fuera de parte y termina sobre parte; y síncopa, que se concibe como una combinación de los dos eventos previos (véase la figura 2; de izquierda a derecha: retardo, anticipación y síncopa). Figura 2: Retardo, anticipación y síncopa. De manera algo arbitraria, Keith asigna valores de 1 al retardo, de 2 a la anticipación y de 3 a la síncopa. Esta asignación parece, por lo menos, subjetiva y el propio Keith reconoce que “el problema de decidir la “fuerza” rítmica relativa del retardo, la anticipación y la síncopa es un interesante problema filosófico”. La medida de Keith se limita a métricas compuesta de n pulsos, donde n es una potencia de 2. Vamos a dar su definición detallada con el fin de entender esta limitación. Su idea principal es que, dadoa un evento musical (una nota), para saber si está en parte fuerte o no hay que compararla con una plantilla métrica, que indica las partes fuertes y débiles según el tamaño (duraciones) del evento. Por ejemplo, si la potencia de 2 es 3, entonces habrá 23 = 8 corcheas y las plantillas de partes fuertes y débiles se ilustra en la tabla abajo (F es para la parte fuerte y D para la débil). F D D D D D D D F D D D F D D D F D F D F D F D F F F F F F F F Figura 3: Diferentes niveles métricos en la definición de síncopa de Keith. Un evento de tamaño 8 se compara con la primera plantilla (léase de arriba abajo). Los eventos de tamaño entre 4 y 7 se comparan con la segunda plantilla; los que van de 2 a 3, con la tercera plantilla; y finalmente, las corcheas, de tamaño 1, con la última plantilla, que solo está formada por partes fuertes. Podemos representar un ritmo de n notas por una sucesión circular (s0,s1,…,sn-1). Usaremos también la sucesión de intervalos entre notas (δ0,δ1,…,δn-1), donde δi = si+1 - si, para 0 ≤ i < n. El número δn es igual a L - sn-1, siendo L la longitud del ritmo completo. La localización de las partes fuertes es una función de la longitud del intervalo entre notas consecutivas. Una hipótesis implícita es que la métrica es siempre binaria y que las partes fuertes ocurren en algún múltiplo de una potencia de dos. Para cualquier nota dada si, la partes fuertes adyacentes se pueden describir como j2k y (j + 1)2k, donde k es el entero tal que 2k ≤ δi < 2k+1, y j es el entero tal que j2k ≤ si < (j + 1)2k. Ahora expresamos este método más precisamente mediante un algoritmo (figura 4). Figura 4: Algoritmo para la medida de síncopa de Keith. Hagamos un ejemplo que ilustre cómo se calcula la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova; véase la figura 5. La bossa-nova tiene la sucesión de notas (0,3,6,10,13,16) y la sucesión de intervalos entre notas (3,3,4,3,3). Nótese que la sucesión que damos para la bossa-nova tiene una nota de más para enfatizar el carácter circular de la sucesión. La siguiente tabla muestra los cálculos para obtener 9, el valor de la medida de síncopa, que está dado por la suma de los pesos wi. 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 δi 3 3 4 3 3 wi 1 2 3 1 2 j × p 0 × 2 2 × 2 1 × 4 5 × 2 6 × 2 Figura 5: Anotación de los cálculos de la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova. 1.4. La medida ponderada de nota a parte En la definición de nuestra medida centramos nuestra atención en los ataques de las notas entre partes fuertes en lugar de la estructura métrica, como hace Keith, o en el número de generadores de Cn, como ocurre en el caso de la medida de contratiempo. Nuestra definición se basa en el concepto de distancia y es más flexible en cuanto que nos permite cuantificar el nivel de síncopa de un amplio abanico de ritmos. Por ejemplo, consideremos los ritmos que se muestran en la figura 6; ni la medida de Keith ni la medida de contratiempo son adecuadas para medir ritmos de esta complejidad. Figura 6: Ritmos que no pueden medirse con la medida de contratiempo o con la medida de Keith. Sin embargo, con la medida ponderada de nota a parte sí es posible medirlo; de hecho, tiene valor igual a 41∕8. Otro ejemplo más radical se puede encontrar en la obra Aïs, de Iannis Xenakis (figura 7). Figura 7: Ritmos complejos de medir en la obra Aïs, de Iannis Xenakis. La distancia ponderada de nota a parte (a partir de ahora DPNP) se define como sigue. En primer lugar, supondremos que cada nota termina donde empieza la siguiente. Sean pi,pi+1 dos partes fuertes de la métrica. Sea sj una nota que empieza después o sobre la parte fuerte pi pero antes de la parte fuerte pi+1; primero definimos T(sj) = mín, donde d es la distancia entre notas en términos de duraciones. Aquí la distancia entre dos partes fuertes se toma como la unidad, y, por tanto, la distancia d es siempre una fracción. Por ejemplo, las negras en un compás de 4/4 son partes fuertes, y, si las notas de la figura 8 se refieren a la parte fuerte más cercana: Figura 8: Síncopa medida con la DPNP measure. entonces, las distancias respectivas T(sj) son ,,,,,. En la medida de síncopa de Keith la parte fuerte más cercana a una nota estaba implícita. Para permitir una mayor variedad de ritmo la medida DPNP exige especificar cuales son las partes fuertes. En el ejemplo anterior las partes fuertes están dadas por el compás. Así, en el ejemplo de la figura 6 las partes fuertes se encuentran a intervalos de negra. La medida DPNP está especialmente diseñada para entradas en notación estándar, ya que las partes fuertes se deducen del compás. La medida DPNP D(sj) de una nota sj se define entonces como sigue: 0, si sj = pi; , si la nota sj ≠ pi termina antes o en pi+1; , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+1 pero antes de o en pi+2; y , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+2. Sea n el número de notas de un ritmo. Entonces la medida DPNP de un ritmo es la suma D(sj), para todas las notas sj, dividida por n. La tabla de la figura 11 proporciona una lista de los valores DPNP para varios ritmos. Usaremos la notación que introdujimos antes para representar un ritmo como una sucesión circular, junto con una sucesión de intervalos entre notas y las partes fuertes dadas por el compás para escribir el algoritmo de la medida DPNP. Consideremos una nota si. Esta nota puede empezar en una parte fuerte pj o puede caer entre dos partes fuertes consecutivas. Definimos di como Ahora asignamos un peso wi a una nota si como sigue: si si = pj entonces wi ← 0 si pj < si < si+1 ≤ pj+1 entonces wi ← 1∕di si pj < si < pj+1 < si+1 < pj+2 entonces wi ← 2∕di si pj < si < pj+1 < pj+2 ≤ si+1 entonces wi ← 1∕di Nótese que asignamos el mayor valor de síncopa a una nota si en el caso en que si y si+1 caigan entre dos partes fuertes consecutivas. Detallamos a continuación el algoritmo para calcular la medida DPNP. Figura 9: Algoritmo para la medida DPNP. En la figura 10 hemos registrado los cálculos para determinar la medida DPNP para el ritmo de la bossa-nova. Nótese que el compás implica que las partes fuertes son las blancas. Esto se traduce en un vector de partes fuertes igual a (0,4,8,12,16). 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 di 0 1/4 1/2 1/2 1/4 wi 0 2 × 4 2 × 2 2 × 2 1 × 4 Figura 10: Anotación de los cálculos de la medida DPNP para el ritmo de bossa-nova. Nótese que si n no se introduce en la definición de DPNP, entonces la medida crece según lo hace el número de notas del ritmo. Eso daría como resultado una medida incorrecta. En la tabla 11 hay una columna que muestra la suma de las distancias D(x). Se puede apreciar cómo se comporta tal suma en términos de n y la influencia del número de notas en la medida. Rhythm Musical Scores ∑ xD(x) DPNP Hesitation 2 1/2 Anticipation 2 1/2 Syncopation 6 6∕5 = 1.2 Triplet 6 6/6=1 Quintuplet 15 15/8=1.875 Bembé 21 21/7=3 Son 14 14/5=2.8 Bossa-Nova 20 20/5=4 Irregular Rhythm 35 35/7=5 Figura 11: Ejemplos de la medida DPNP. Los pesos que aparecen en la definición de la medida merecen una explicación. Es razonable dar un peso a una nota que se toca fuera de una parte fuerte. Nuestra medida da menos peso cuando la nota aparece entre dos partes fuertes consecutivas y, según se aproxima la nota a la siguiente parte fuerte, gana más peso. Sin embargo, hay una gran diferencia si la nota cruza una parte fuerte o sencillamente termina antes o en la siguiente parte fuerte. En el primer caso hay una sensación de síncopa más fuerte que en el segundo. Por tanto, recibe más peso con el fin de reflejar este hecho musical. Se puede ver que, según una nota x se aproxima a una parte fuerte, su distancia T(x) decrece, y en consecuencia, su medida de síncopa D(x) crece. Parece que si T(x) tiende a cero, entonces D(x) tiende a infinito. Sin embargo, debe establecerse un límite inferior de manera que si una nota x está a cierta distancia de una parte fuerte su distancia se toma como cero. Considérese el ejemplo de la figura 12. Ritmo DPNP Measure Rhythm DPNP Measure 2 8 4 0 Figura 12: Límite inferior para la medida WNBD. En este ejemplo, excepto en el último ritmo, la medida de síncopa de cada ritmo crece ya que la nota se aproxima a la nota blanca. El último ritmo tiene distancia cero porque la segunda nota es de adorno. La cuestión de cómo elegir ese límite inferior a partir del cual se considera una nota como de adorno es difícil. Es razonable suponer que dependa de la velocidad a la que se toquen los ritmos (con tempi rápido el límite debería ser inferior que en tempi lentos). Para ritmos que comparten una unidad mínima de duración, la medida DPNP funciona bastante bien, ya que el tempo no es importante para comparar los ritmos. 2. Conclusiones En este artículo hemos definido las principales medidas de síncopa. En el próximo compararemos las medidas entre sí midiendo varios conjuntos de ritmos, tanto binarios como ternarios. Analizaremos también la robustez de las medidas en términos de sus pesos.   Notas: 1 Totatives se llaman en inglés. 2 En inglés, totient function. 3 La terminología española es parte fuerte para lo que en inglés llaman strong beat o sencillamente beat; a veces el término pulse se usa como equivalente a parte fuerte. Bibliografía [1] Arom, S.; African Polyphony and Polyrhythm, Cambridge University Press, England, 1991. [2] Assayag, G.; Fiechtinger, H-G.; Rodrigues, J. F. (editors); Mathematics and Music, Springer-Verlag, 2002. [3] Benson, D.; Mathematics and Music. Book published on the web. See the site http://www.math.uga.edu/∽ djb/html/math-music.html [4] Díaz-Báñez, J. M.; Farigu, G.; Gómez, F.; Rappaport, D.; G. T. Toussaint; El Compás Flamenco: A Phylogenetic Analysis, Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Winfield, Kansas, 61-70, July, 2004. [5] Chemillier, M.; Ethnomusicology, ethnomathematics. The logic underlying orally transmitted artistic practices, in G. Assayag, H. G. Feichtinger and J. F. Rodrigues, editors of Mathematics and Music, pp. 161-183, Springer-Verlag, 2002. [6] Chemillier, M. and Truchet, C.; Computation of words satisfying the ‘rhythmic oddity property’ (after Simha Arom’s work), Information Processing Letters, 86:255-261, 2003. [7] Conway, J. H. and Guy, R. K.; Euler’s Totient Numbers, The Book of Numbers, pp. 154–156, New York, 1996. [8] Desain, P. and Honing, H. (1994). Advanced issues in beat induction modeling: syncopation, tempo and timing, Proceedings of the 1994 International Computer Music Conference,San Francisco, 92-94. , 1995. [9] Fauvel, J.; Flood, R.; Wilson; R. 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Miércoles, 02 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez, Andrew Melvin, David Rappaport y Godfried Toussaint
Los tres siguientes artículos de esta sección provienen del trabajo Mathematical measures of syncopation, presentado en el congreso BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science de 2005. Los autores son Andrew Melvin (Buckinghamshire Music Service, Inglaterra), David Rappaport (School of Computing, Queen's University), Godfried Toussaint (School of Computer Science, McGill University) y el autor de esta columna. 1. Introducción La música es emoción y tiene el poder de crear complejos mundos de sentimientos psicológicos. Psicólogos, críticos, musicólogos, compositores, intérpretes y oyentes en general se han interrogado sobre la importante cuestión de cómo la música hace aflorar las emociones, esto es, cuáles son los procesos específicos por los cuales el material sonoro se transforma en emoción. En las últimas décadas investigadores de varias disciplinas han mostrado un creciente interés por esta cuestión así como otras no menos fascinantes, a saber, el problema del significado en la música (significado designativo versus significado no referencial), el papel del aprendizaje en la experiencia musical, la descripción de los cambios propiciados por la música, por nombrar solo unos cuantos ejemplos (véase [7, 2, 4, 5]). Los psicólogos de la música han descubierto que la emoción causada por la música puede tener sus orígenes en un proceso de creación y relajación de tensión [7, 8, 3]. Este proceso comprende los estímulos mismos, las expectativas que la música genera en los oyentes (que indudablemente están determinadas por su familiaridad con el estilo musical en cuestión y la experiencia adquirida en el pasado, entre otros factores), y, finalmente, la tensión creada entre esas expectativas y su resolución final en la pieza musical. La presencia de la tensión/resolución ocurre a todos los niveles del fenómeno musical. Se puede encontrar en la melodía, la armonía y en los elementos rítmicos así como en el timbre y la forma musical. Normalmente, la tensión está equilibrada entre todos estos elementos musicales. Este trabajo se centra en los mecanismos rítmicos que crean tensión en una pieza musical. En particular, nos interesa la síncopa, uno de los mecanismos más sorprendentes y transgresores para producir tensión rítmica. La síncopa es fácil de percibir pero difícil de definir con acierto, pues sus manifestaciones con numerosas y de distinta naturaleza. En la siguiente sección, definiremos formalmente la síncopa dentro un marco abstracto. En la siguiente entrega de esta serie abordaremos el problema de formalizar matemáticamente la síncopa; revisaremos trabajos previos e introduciremos nuestra medida de síncopa, la llamada distancia ponderada de nota a parte. En la tercera entrega se probará la bondad de esta medida con varios ritmos (básicamente ritmos de clave) tomados de diversas tradiciones musicales. 2. Definición de síncopa El fidedigno Harvard Dictionary of Music [9] contiene la siguiente definición de síncopa, la cual creemos que captura su esencia: “Síncopa: una contradicción momentánea de la métrica o pulso predominante”. Otras definiciones, similares a esta en términos de perspicacia, se pueden encontrar en [10] y [6]. Ese mismo diccionario detalla aún más la definición y añade que “la síncopa se puede crear por los los valores de las notas mismos o por la acentuación, la articulación, el contorno melódico o el cambio armónico en el contexto por otro lado de una sucesión de notas no sincopadas”. Esto clarifica dos extremos sutiles, a saber: primero, para que exista una contradicción tiene que haber un patrón de regularidad con el que contrastar; segundo, esa contradicción se puede revelar a través de varios elementos musicales, no sola y puramente de elementos rítmicos. Más aún, la síncopa puede materializarse bien por un cambio del carácter principal de la métrica o como una contradicción entre las notas en parte fuerte y débil contra otras partes de la textura musical cuyo contexto métrico está fijo. El primer tipo de síncopa, el cambio de métrica, puede producirse a través de una transformación de tiempo binario a ternario (hemiola) u otras de similar clase. Este recurso rítmico se usó mucho en las progresiones cadenciales de compositores hasta el Barroco inclusive; también se encuentra con frecuencia en la música de Beethoven. En la figura 1 tenemos una reducción del Concerto Grosso no 4, compases de 97 a 99, de Haendel. En este ejemplo se aprecia un agrupamiento ternario en las voces superiores contra un agrupamiento binario en las voces inferiores. Esto crea un tensión entre dos métricas en conflicto, cuya resolución se alcanza en el la menor final. Figura 1: Hemiola como una forma de síncopa. El mismo recurso se puede apreciar en la sonata opus 53, no 1, compases 82-86, de Beethoven, en un pasaje en que la hemiola aparece en un nivel submétrico, en este caso, un tresillo de semicorcheas contra dos semicorcheas en un compás de 2/4; véase la figura 2. Figura 2: Una hemiola en un nivel submétrico. El otro tipo de síncopa implica ataques de notas entre partes fuertes en lugar de sobre ellas como forma principal de contradicción. Como se dijo arriba, tiene que haber un contexto métrico fijo, un patrón fijo de partes fuertes y débiles encima del cual la síncopa destaca. Estos complejos recursos rítmicos que usaron los compositores del periodo barroco y clásico tienen su evolución lógica en periodos anteriores de la música occidentales, retrocediendo hasta las primeras formas de notación rítmica precisa en la Edad Media. Según la música coral religiosa se fue desarrollando a partir de la monodia del canto gregoriano hasta llegar a varias voces cantando simultánea e independientemente, los compositores sintieron la necesidad de sincronizar esas voces usando una pulsación métrica fija y unas relaciones temporales entre las voces precisas. Esto dio lugar a conceptos como hoquetus. El hoquetus consiste en una única línea melódica que es compartida por dos voces, una que va a tiempo y otra a contratiempo: Figura 3: Ejemplo tomado de la música mediaval. Aunque el ritmo resultante en su conjunto quizás no se considere como sincopado, la particularidad de la voz superior, que siempre cae en mitad de dos partes fuertes, sí dota de un carácter sincopado a la melodía y le impregna de su peculiar vitalidad rítmica. Este recurso también se puede observar en la música del Barroco y en concreto en la música de Bach: Figura 4: Invención no 1, compases 1-4, de Bach. Se puede apreciar que, aunque el efecto de la síncopa está presente, el efecto final es de equilibrio entre las notas a tiempo y a contratiempo, lo cual es un reflejo de las preocupaciones compositivas de Bach con respecto a la creación de una visión equilibrada y ordenada del universo. Otra característica del concepto de contratiempo es que no necesariamente tiene que producirse a la mitad exacta de dos partes fuertes consecutivas, como ocurría en los ejemplos anteriores. Beethoven ponía las notas a contratiempo a tres cuartos de distancia, más cerca de la siguiente parte fuerte que de la parte fuerte de la propia nota. Este recurso se conoce como anticipación, y en el ejemplo de abajo (figura 5) produce un efecto como dislocado, algo jazzístico, que se puede considerar incluso humorístico: Figura 5: La sonata para piano sonata opus 31, no 1, de Beethoven. Esta ubicación dislocada de la nota a contratiempo produce un efecto de desequilibrio que dota al pasaje de un sentido del drama y de la tensión característicos de Beethoven. Aquí se puede ver al compositor explotando y estirando las nociones de a tiempo y a contratiempo para producir un agudo sentido de síncopa e impredictibilidad rítmica. Sin embargo, esa experimentación rítmica se puede considerar tímida comparada con las técnicas revolucionarias usadas por el compositor ruso Igor Stravinsky en su ballet de 1912 La consagración de la primavera, por ejemplo, en los Augurios de la primavera (la danza de las jóvenes). Aunque se puede ver un ritmo constante de 2/4 con un patrón constante de corcheas, el patrón de acentos (de volumen) cambian sin cesar y de modo impredecible. En la música clásica de las generaciones anteriores la línea melódica era esencial. En este ejemplo, la línea melódica se reduce a una sola nota y las síncopas acaparan toda la atención. Los patrones de acentos de las corcheas se producen según la secuencia (10,2,6,3,4,5,3); véase la figura 6, que muestra los 8 primeros compases de esa sección en una reducción para piano. Stravinsky afirmaba que La consagración de la primavera fue un producto de su intuición y que la pieza se le presento a él en un sueño. En efecto, a pesar de que se ha analizado la obra extensamente, no hay pruebas contundentes de que haya un sistema racional detrás de esta música. Figura 6: Síncopas en La consagración de la primavera. No obstante, el patrón de acentos nos sugiera ciertas observaciones. Primero, incluso aunque las posiciones cambien sin cesar, el número total de partes en el ciclo se encuentra con mucha frecuencia en la música clásica: 32. En un vals de Johann Strauss, por ejemplo, una frase musical puede durar 32 partes o una sección puede durar en total 32 compases. Sin embargo, en un vals se esperaría que una sección de 32 se dividiese en dos mitades iguales de 16, mientras que el ejemplo de Stravinsky no tiene semejante división. Al contrario, el resultado es dos partes de 17 y 15, y la propensión natural de los compositores a subdividir en 16, 8, 4 y 2 partes (o compases) se reemplaza por una sucesión irregular de 7 números, de los cuales solo dos son divisores de 32. Por esta razón, algunos teóricos encuentran más adecuado analizar esta y otras obras de Stravinsky tomando una unidad mínima de duración y descomponer el resto de las notas en términos de esa unidad a diferencia del enfoque de tomar un número más grande de partes (que forman el compás o la frase) y subdividirlas; esta última manera de proceder es característica de la composición clásica de periodos anteriores. El concepto de trabajar desde la unidad más pequeña se llama ritmo aditivo, mientras que el de las métricas divisibles regulares se llama ritmo divisivo. La propensión a crear estructuras rítmicas irregulares se extendió entre los compositores de principios del siglo XX, incluido el compositor húngaro Bela Bartok, cuya pieza para piano Síncopa es un laberinto de distorsiones y giros rítmicos, silencios inesperados y patrones interrumpidos que, como en el ejemplo de Stravinsky, tienen prioridad sobre las preocupaciones melódicas. Para un análisis en profundidad de esa pieza, véase  [11]. En modo alguno fue Stravinsky el primer músico en usar ritmos aditivos en música. En las tradiciones de música folklórica del mundo esta manera de crear ritmos existía hacía mucho, como en las canciones folklóricas de Rusia, Bulgaria y en la música de los pigmeos aka de África Central, cuya música ha sido investigada en profundidad por Simha Arom [1]. La música de percusión de los pigmeos aka, como la de la samba brasileña, por ejemplo, consiste en una malla de patrones rítmicos cíclicos que forman una urdimbre con varios hilos individuales. Sin embargo, como en el siguiente ejemplo (figura 7), se puede ver que incluso un solo hilo tiene una estructura rítmica interna muy compleja: Figura 7: Música de los pigmeos aka. Los pigmeos aka no tienen tradición de música escrita y este ejemplo se ha transcrito a notación occidental. La música se acomoda fácilmente a 4 compases en 6/8, dando un total de 24 corcheas. Sin embargo, inspeccionando el agrupamiento interno de las corcheas, vemos que las 24 corcheas no se dividen en partes iguales -más bien se obtiene una sucesión irregular como sigue: 3,3,3,2,3,3,3,3,2-. En términos de notación, el ejemplo se configura con un alto grado de síncopa, aunque, en verdad, puede ser confuso representar esta música con la notación occidental con su sistema de partes fuertes y débiles, sistema que no está presente en la tradición musical de los pigmeos aka. Es posible representar el mismo ritmo tomando compases irregulares como los que Stravinsky usó para sus estructuras rítmicas aditivas: Figura 8: Música de los pigmeos aka transcrita con una métrica diferente. Una vez más, a partir de este agrupamiento podemos ver que el ciclo no está dividido en partes iguales (12+12), sino en dos partes no iguales de 11 y 13. Este principio de un ciclo rítmico consistente en dos partes no iguales se encuentra en mucha de la música aka, lo cual da como resultado un forma única de tensión rítmica de gran complejidad. La cuestión de si Stravinsky y los ejemplos de la música aka son síncopas se hace más compleja de contestar debido a la naturaleza aditiva de los ritmos. Ya que los ritmos divisivos crean nociones predecibles de las partes a tiempo y a contratiempo, la música se puede percibir como yendo a tiempo (no sincopada) o a contratiempo (sincopada). Sin embargo, dado que en los ejemplos de Stravinsky y la música de los pigmeos aka esas relaciones binarias de estar a tiempo o a contratiempo no existen, ese patrón de partes no existe para el oyente y así en lugar de escuchar partes a tiempo o a contratiempo percibirá el ritmo en el sentido aditivo de agrupar unidades mínimas de duración para crear notas de mayor duración. En este sentido se podría mantener que la síncopa es en su naturaleza más una característica de los ritmos divisivos que de los aditivos. Otro tipo de música del siglo XX que hace un uso explícito de la síncopa es el jazz. Aquí la música en la mayoría de los casos se basa en un pulso firme dado por la percusión y el bajista contra el cual el resto de los músicos reaccionan tocando a contratiempo. Estos es característico del swing de Duke Ellington, cuya famosa composición It Don’t Mean a Thing (if it Ain’t Got that Swing) sobresale por esta particularidad. El swing en jazz consiste en una nota a contratiempo que se mueve ligeramente un poco más allá de la mitad justa hacia la siguiente parte fuerte (la distancia precisa es difícil de medir, lo cual da lugar a la máxima de que el swing se siente y no se puede medir). En la notación musical esta nota a contratiempo se representa bien por una nota a mitad de parte o a tres cuartos de parte, aunque hablando estrictamente es inexacto. Como la notación occidental no puede representar con precisión el swing, la palabra se pone arriba de la partitura para que el músico traduzca las aproximaciones de la notación al lenguaje del jazz. Según fueron surgiendo los distintos estilos del jazz, los compositores de jazz progresivo llevaron al límite las fronteras de la irregularidad rítmica como antes había hecho Stravinsky con la música clásica. Sin embargo, normalmente incluso estos compositores se mantuvieron dentro del marco de frases de 12 o 16 compases. Este marco proporciona al oyente una plantilla con la que medir la síncopa, no importa cuán complejos sean los ritmos internos. Como un buen ejemplo de esto se puede pensar en la pieza de Thelonious Monk Evidence. Más recientemente, el compositor de música contemporánea Brian Ferneyhough, quien compuso Carceri d’Invenzione, llevo el nivel de síncopa a tal extremo que pervirtió su misma naturaleza. Es indudable de que el nivel de síncopa es muy alto en esta pieza (figura 9). De hecho, diríamos que, sin la partitura, sería imposible decir dónde están las partes fuertes. Figura 9: Música de Ferneyhough. Como apuntábamos al principio de este trabajo, la síncopa puede ser compleja y numerosas sus manifestaciones, como hemos visto en esta breve revisión de ejemplos musicales. Por tanto, un intento de medir la síncopa siempre implica ciertos riesgos. En este artículo nos restringiremos al segundo tipo de síncopa, esto es, la contradicción entre partes fuertes y débiles con respecto a un contexto métrico fijo. Bibliografía [1] Arom, S.; African Polyphony and Polyrhythm, Cambridge University Press, Inglaterra, 1991. [2] Cooper, G. and Meyer, L.B. ; The Rhythmic Structure of Music, University of Chicago Press, Chicago, 1963. [3] Deutsch, D.; The Psychology of Music, Academic Press, 1998. [4] Fubini, E.; History of Music Aesthetics, Macmillan Press, Londres, 1991. 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Viernes, 07 de Octubre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Hace algún tiempo cayó en mis manos un disco de La liga de compositores de música automática, cuya portada se puede ver en la imagen de la izquierda. Fueron los pioneros de la música algorítmica, en particular, de la música generada por ordenadores que se comunican entre sí y reaccionan ante la música de otros ordenadores (en inglés es conocida por network computer music). No cabe duda de que los presupuestos estéticos que fundamentan la música algorítmica difieren notablemente de otras corrientes musicales y, por ello, merece la pena analizarlos, más aún si tenemos en cuenta la vigencia de la música electrónica tanto en la música culta como en la música popular. Tras la canícula, especialmente severa este año, en este mes de septiembre de carácter fugaz, analizaremos la obra de La liga de compositores de música automática. Al calor de ese análisis, reflexionaremos sobre la relación entre la música y la algorítmica. Pocas veces me he encontrado con unas notas tan completas, bien documentadas y sinceras en un CD de música. En muchos casos las notas consisten en un relleno más o menos sucinto de unas pocas páginas, a veces refritos de una enciclopedia o una obra de referencia, pero en general nada especialmente original. Aquí, en cambio, nos encontramos con notas escritas por Tim Perkins y John Bischoff, nada menos que dos miembros de La liga, en las que nos presentan un estudio completo de la obra, los protagonistas y el contexto histórico, escrito con sinceridad y apasionamiento. Es aún más raro contar con el testimonio de los compositores en las mismas notas del CD. Dada la calidad de las notas, he decidido traducirlas y dejar que ellas sean la base de mis reflexiones finales. Pido perdón desde ahora mismo por los posibles errores de traducción. 2. Notas del CD La liga de los compositores de música automática (1978-1983) Notas escritas por Tim Perkins y John Bischoff. Agosto de 2007 La liga de los compositores de música automática fue una banda/colectivo de experimentadores de música electrónica muy activos en el área de la bahía de San Francisco entre 1977 y 1983. Considerados por muchos como los primeros músicos en incorporar los nuevos microordenadores disponibles entonces en la ejecución musical en vivo, La liga creó redes de ordenadores que interactuaban entre sí y con otros dispositivos electrónicos, con especial empeño en la gestación de "inteligencias artificiales musicales" nuevas y sorprendentes. Concebimos las redes de ordenadores como un gran instrumento interactivo compuesto por máquinas programadas independientemente que hacían música automática, la cual se podía calificar de ruidosa, difícil de escuchar, con frecuencia impredecible y ocasionalmente bella. Contexto cultural: California del norte en los 70 El trabajo de La liga formó parte de la singular atmósfera cultural del área de la bahía de San Francisco en los 70 y 80, una mescolanza de ideologías comunales, cultura radical, innovación tecnológica, efervescencia intelectual y una actitud pragmática que ha sido el sello característico de la vida californiana desde los días de los primeros pioneros. Flotaba en el aire de entonces una sensación de nuevas posibilidades así como el sentimiento de la necesidad de construir la cultura desde el suelo hacia arriba. En concreto, para la música esto significaba redefinir todo tal y como se había hecho hasta ahora, desde los instrumentos y los sistemas de afinación hasta las formas musicales, los locales para los conciertos y las relaciones sociales entre intérpretes y público. Aunque todavía no era conocido por ese nombre, Silicon Valley bullía de actividad; el anuncio casi diario de nuevos circuitos integrados hacían posible el nacimiento de una nueva subcultura, y aficionados y entusiastas de la informática , muchos relacionados marginalmente con las industrias tecnológicas, o bien directamente de fuera de ellas, estaban creando la revolución del microordenador. En la bahía de San Francisco el acceso a las nuevas tecnologías digitales y a la gente que las desarrollaba fue quizás el más expedito en el mundo. En esos emocionantes primeros días muchos informáticos se centraban menos en las riquezas potenciales que se derivaban de la tecnología que en su potencial revolucionario -esto es, en el sueño de una nueva sociedad construida sobre los cimientos de la inteligencia artificial y del acceso a la información libre y abierto. A partir de la tradición americana de música experimental, representada por los californianos John Cage (1912-1992), Henry Cowel (1897-1965), Harry Partch (1901-1974) y Lou Harrison (1917-2003), se instaló una sensación de lejanía estética respecto a Europa, demasiado distante, y de que nuestra cultura musical podía nutrirse perfectamente de cualquier tradición del mundo -musical y de cualquier otra clase- como fuente de inspiración e influencia. Estos compositores formaron también la base de una tradición de construcción de instrumentos asentada en la costa oeste, que incluía desde el Rhythmicon (1930) de Cowell, una máquina para explorar relaciones rítmicas de alta complejidad, pasando por las orquestas de latas y tambores de freno dirigidas por Harrison y Cage, hasta los instrumentos caseros de afinación microtonal de Partch. En la mescolanza cultural de la época había también una viva tradición de música improvisada de carácter ruidoso. Dicha tradición, que vivía sin respaldo comercial e institucional y que la practicaban músicos provenientes de las sesiones de improvisación hippies, el free jazz, la música clásica o el punk rock, encarnaba una sensibilidad de exuberancia, disonancia, ritmo libre y composición en colaboración. No menos importantes fueron las corrientes intelectuales de la época. Una floreciente corriente de pensamiento más o menos científico sobre la naturaleza de los sistemas complejos y su comportamiento proclamó con fuerza que un nuevo nivel de entendimiento de la física, la biología y la cultura estaba a la vuelta de la esquina. Cibernética (Norbert Wiener), teoría de los sistemas complejos (Prigogine), algoritmos genéticos (John Holland), sinergética (Buckminster Fuller), teoría de las catástrofes (Rene Theom), redes neuronales (McCollough), teoría del caos (Crutchfield y sus colaboradores), ecología cultural (Bateson), eran temas cuyos autores respaldaban la creencia del momento de que los fenómenos complejos pueden entenderse analizando las interacciones dinámicas de componentes relativamente simples conectados entre sí. (El salto que hay desde afirmar que podemos analizar los procesos complejos, aquellos capaces de emular la vida, en términos de componentes simples en mutua interacción hasta imaginar que podemos crear comportamientos complejos, también capaces de emular la vida, conectando componentes simples -y hacerlo dentro de un contexto musical- no parece demasiado arriesgado.) Finalmente, el hecho de que había una falta de oportunidades reales en la costa oeste para conseguir apoyo y publicidad para la música culta hizo que los compositores de la zona de la bahía de San Francisco abrazaran con más facilidad las estéticas experimentales. Ya que el público interesado era escaso y las oportunidades para una carrera seria infructuosas, ¿por qué no gastar los esfuerzos de uno explorando el potencial de fantásticas ideas en lugar de preocuparse de aplicaciones prácticas de esas ideas dentro de los tradicionales dominios musicales? ¿Por qué no extender las ideas experimentales sobre composición comunal, música algorítmica y comportamiento en red a las nuevas tecnologías electrónicas? ¿Por qué no arriesgarse a crear música que puede que no tenga éxito alguno en su misión de ser inteligible? Center for Contemporary Music and League Beginnings El Center for Contemporary Music (CCM) en Mills College en Oakland proporcionó un centro de reunión único para el encuentro de todas estas corrientes culturales. En esa época la universidad albergaba la sede del CCM , pero este tenía su identidad propia y única, y ofrecía estudios para los músicos de fuera de la comunidad universitaria. Allí había una oportunidad para que experimentadores de la universidad, improvisadores, entusiastas de la electrónica, músicos de rock y otras variedades de heterodoxos se encontraran y crearan algo nuevo. En la mitad de los años 70 el ambiente en Mills College estaba fuertemente enraizado en una tradición de experimentalismo y los músicos estaban absortos fabricando circuitos caseros para su uso en los conciertos en vivo de música electrónica; de hecho, el diseño y construcción de los circuitos específicos se veía como una parte inseparable del proceso compositivo. Para muchos compositores una nueva pieza significaba diseñar nuevos circuitos: como una partitura gráfica, un esquema de un circuito determinaba la actividad musical de una pieza. La idea de usar el sistema electrónico mismo como un actor musical, en oposición a su consideración como una mera herramienta, había empezado ya con compositores como David Tudor (1926-1996) y Gordon Mumma (n. en 1935). Por ejemplo, en el trabajo de Tudor Untitled (1972), el compositor interconectaba una mesa llena de cajas pequeñas, la mayor parte de fabricación casera, que contenía circuitos analógicos: amplificadores, atenuadores, filtros, desfasadores. El comportamiento autónomo de estos circuitos -solo con los ajustes ocasionales y menores del intérprete- definían el carácter de la música. A partir de Tudor -quien estuvo en Mills como compositor visitante durante este periodo- surgió una poderosa noción que pronto fue aceptada allí: el trabajo principal de un intérprete/compositor de música durante el concierto era la de escuchar antes que determinar y crear cada sonido que se produce durante la ejecución. Su estilo de música exige de nosotros, ya desempeñemos el papel de compositor, intérprete o público, que escuchemos una representación sonora del comportamiento de una sistema autónomo. El interés de la obra no reside en ninguna otra cosa que en percibir y disfrutar el comportamiento complejo del sistema. A mitad de los 70 los primeros ordenadores personales se lanzaron al mercado de consumo. Estas máquinas, llamadas microordenadores porque su tamaño era pequeño comparado con los grandes servidores de la universidad y la industria, ahora podían comprarse por 250 dólares. Su disponibilidad marcó la primera vez en la historia que personas corrientes y molientes podían poseer y programar ordenadores fuera de las grandes instituciones. Para los compositores de esta comunidad fue un verdadero hito: había un componente radicalmente más flexible y potente que tenían que incorporar rápidamente a los equipo electrónicos con que trabajaban hasta entonces. Horton y La orquesta de silicio El compositor que comprendió el potencial de los microordenadores más claramente fue Jim Horton (1944-1998). Horton fue un músico pionero de la música electrónica y un intelectual radical; fue además quien en primer lugar compró una de las nuevas máquinas: una KIM-1 en 1976. El incontenible entusiasmo de Horton por la KIM pronto contagió al resto de la comunidad. En poco tiempo muchos compraron máquinas KIM y empezaron a estudiar de modo autodidacta cómo programarlas en lenguaje máquina 6502. Las máquinas eran bastante primitivas; los programas se metían directamente en la memoria de un kilobyte del KIM a través de un teclado hexadecimal, y se grababan en una cinta de audio (de cassette), y esto da una idea de cuán rudimentaria era la forma de trabajo. Había un fuerte sentimiento de comunidad entre los compositores que estaban aprendiendo a programar estos minúsculos ordenadores, un espíritu compartido que fue particularmente útil cuando había que adentrarse en los esotéricos, intrincados y a veces engorrosos modos de operaciones del KIM. Horton improvisaba con la flauta y el sintetizador analógico. Anteriormente había trabajado construyendo sistemas de sintetizadores analógicos con cierta interactividad; a veces conectaba su sintetizador con los de sus amigos para construir el sistema más grande y complejo posible, el cual dejaba que tocase durante ocho horas en conciertos que duraban la noche entera. Rich Gold (1950-2003), uno de los fundadores de La liga recuerda: "Jim Horton fue un genio... brillante, agudo, lleno de complicidad, un artista tocado por la pobreza que vivía en un apartamento cutre, lleno de libros, que olía a tabaco Buggler. Sufría dolores atroces a causa de una artritis paralizante, y fue de ese dolor del que pienso que finalmente murió. Lo conocí porque fue uno de los primeros compradores del sintetizador Serge (había ahorrado dinero de las prestaciones sociales quedándose sin comer). Fue la primera persona en hacer música seria con el KIM-1 y también la fuerza motriz que empujaba a La liga de los compositores de música automática." Tim Perkins: "Conocer a Jim Horton fue inmediatamente una experiencia liberadora para mí. Horton aparecía en un concierto con una maraña de cables sueltos y componentes electrónicos metidos en una cómoda que usaba circunstancialmente para transportar su equipo. Con mi cabeza llena de dudas, pues mis conocimientos sobre circuitos eran escasos y estaban mal asimilados, asombraba ver a alguien sencillamente yendo al fondo de la cuestión, retorciendo cables pelados, conectando todo con todo, y trabajando la música de manera conceptualmente profunda, con una motivación fortísima, y todo ello sin esperar a que el equipo adecuado apareciera. Vivía en una pobreza que nunca le pareció una limitación, y trabajó con cualesquiera medios que estuviesen a su alcance." En 1977 fue Horton quien introdujo la idea de una banda formada por una red de microordenadores. John Bischoff: "Unos cuantos de nosotros se reunían regularmente para escuchar la música que estábamos creando; alguna música estaba hecha con nuestros KIM y otra con circuitos analógicos en conjunción con otros instrumentos. Recuerdo una discusión una tarde en la que Horton hablaba con excitación sobre la posibilidad de construir una "orquesta de silicio" -una orquesta de microordenadores unidos por una matriz interactiva. El concepto me sonaba alucinante e imposible en aquel tiempo." Más tarde en ese año, Horton y Gold colaboraron en una pieza en la cual unían sus KIM por primera vez en una actuación en Mills College. Gold interactuaba con un programa de inteligencia artificial de su propia creación mientras Horton ejecutaba una precursora pieza algorítmica basada en la teoría armónica del matemático del siglo XVIII Leonhard Euler. A principios de 1978 Horton y Bischoff desarrollaron una pieza a dúo para dos KIM donde los tonos que sonaban ocasionalmente en la máquina de Bischoff provocaban en la máquina de Horton una transposición de la actividad melódica acorde a la nota "principal" de Bischoff. En la primavera de 1978, Horton, Bischoff y Gold actuaron como un trío en red en el Blind Lemon, un espacio gestionado por artistas en Berkley. Al trío pronto se unió David Behrman (nacido en 1937), quien se había mudado al oeste para desempeñar el puesto de co-director del CCM en Mills. (Gold y Bischoff fueron estudiantes en Mills; Horton nunca estudió allí oficialmente.) Behrman fue quien proporcionó una de las técnicas clave para darle forma al trabajo de La liga en los siguientes años. Anteriormente Behrman había compuesto piezas en que los circuitos electrónicos "escuchaban" la música que tocaban los intérpretes en vivo y acompañaban o remarcaban determinadas combinaciones de alturas (On the Other Ocean, de 1977). Muchos de las posteriores configuraciones en las interconexiones entre máquinas seguirían este principio, el de que máquinas detectaban y enfatizaban una combinación armónica producida por uno o más de los restante intérpretes. Fue este cuarteto el que primero actuó bajo el nombre de La liga de los compositores de música automática en noviembre de 1978. El nombre del nuevo grupo era en parte una referencia a la histórica Liga de compositores creada por Aaron Copland y otros en los años 20. Se buscaba también transmitir el predominio de la inteligencia artificial en las actividades de La liga, ya que empezaban a ver la mitad del grupo como "humano" (los compositores) y la otra mitad como "artificial" (las máquinas). Como se afirmaba en los programas de aquellos conciertos "La liga es una organización que busca inventar nuevos miembros a través de sus proyectos... SE SIMULAN Y SE PONEN AL DESCUBIERTO VALORES MUSICALES". Antes de acabar 1980 Gold y Behrman habían dejado ya el grupo para dedicarse a otros proyectos, y entonces el compositor Tim Perkins se unió al grupo. Tim tenía una licenciatura en vídeo por la California College of Arts and Crafts en Oakland. Era un activo intérprete de gamelán, un entusiasta de la entonación justa, además de haber recogido docenas de sistemas de afinación de todo el mundo y haber creado instrumentos con que tocarlos. El trío continúo con esta nueva incorporación, dando conciertos regularmente en el área de la bahía de San Francisco durante los siguientes cuatro años. Siguiendo las prácticas musicales habituales en el área de la bahía, muchas sesiones se celebraban en colaboración con otros músicos acústicos y electrónicos de la zona, incluyendo el artisto de vídeo Donald Day, el trombonista Ron Heglin y los músicos electrónicos Brian Reinbolt y Kenneth Atchley. Bischoff: "Cada dos domingos, después de comer, empleábamos unas cuantas horas en configurar nuestra red de ordenadores en el Finnish Hall en Berkley, y los dejamos sonar, haciendo pequeños ajustes aquí y allá, durante un par de horas. El público podía ir y venir a su gusto, hacer preguntar, o sencillamente sentarse y escuchar. Esto era una especie de evento comunitario, pues otros compositores aparecían por allí y tocaban o compartían circuitos electrónicos que habían diseñado y construido. Un interés por construir instrumentos electrónicos de todo tipo parecía flotar "en el ambiente". Los eventos del Finnish Hall constituían una escena típica en Berkley, ya que los paisajes sonoros generados por los ordenadores se mezclaban con los sonidos de los grupos de danzas folclóricas que ensayaban en el piso de arriba, y también con las reuniones del partido comunista, que se celebraban en la habitación de detrás en el venerable y viejo edificio." La estética de La liga y sus métodos de trabajo Es quizás confuso para los oídos modernos incluso llamar a estos primeros microordenadores que estábamos usando "ordenadores" en algún sentido. Con menos capacidad de procesamiento que una cafetera o un ratón del siglo XXI, comparten muy poquito con los ordenadores de hoy en día, y los programas que escribían los miembros de La liga no eran nada comparados con la vasta infraestructura de software que conforma la actual producción musical profesional. El uso del ordenador en la producción musical en el siglo XXI tiene sus descendientes principalmente en la práctica y la estética de la música por ordenador de los años 70 y 80. Mundos musicales enteros, consistentes en crear sonidos y simulaciones de sonidos reales, se manipulaban y reproducían dentro del ordenador. El énfasis se pone en el control, la perfección y en la domesticación de la complejidad. El enfoque de La liga no podía ser más alejado de la tradición de música por ordenador sobre cinta de aquella época. Como Perkins escribió por aquel entonces: "Veo la estética que influye este trabajo quizás como una reacción a las otras tendencias en música por ordenador: en lugar de intentar lograr un control absoluto sobre cada aspecto de la música, buscamos más sorpresa a través de la respuesta viva e impredecible de estos sistemas, y esperamos generar una respuesta activa a esa sorpresa en la ejecución musical. Y en lugar de intentar eliminar al ejecutante humano imperfecto, tratamos de usar las herramientas electrónicas disponibles para mejorar el aspecto social de la composición musical." Para nosotros, la música nunca estuvo "en el ordenador". Los microordenadores fueron siempre solo componentes con un comportamiento particularmente interesante que incorporar en nuestras redes, las cuales incluían otros circuitos electrónicos así como seres humanos. El núcleo de nuestro trabajo consistía en bricolaje o ensamblaje físico, esencialmente una práctica de escultura musical. Aunque a veces los microordenadores se usaban como dispositivos de audio, generalmente se empleaban como dispositivos de control sobre unidades de producción de sonido, bien analógicas o digitales. (No tenían suficiente capacidad de procesamiento como para crear otra cosa que no fuera sonidos digitales caracterizados por el ruido y la aspereza, los cuales se usaban a veces para crear buenos efectos viscerales, pero que tenían limitaciones materiales.) Sentíamos que nuestro trabajo era más afín al de nuestro mentores y amigos que construían gamelanes (Lou Harrison y Bill Colvig) o instrumentos mecánicos o electro-mecánicos (Tom Nunn y Chris Brown), o bien a los músicos que incorporaban juguetes musicales electrónicos a los que habían modificados los circuitos, que a la música por ordenador que se presentaba en los circuitos institucionales de música contemporánea. Siempre había una sensación de que la música salía de la situación material, de la idiosincrasia individual de los intérpretes y de sus arreglos anárquicos y ad hoc. La música era siempre en directo, sin ninguna secuencia planeada de antemano. Cada estación de un intérprete tocaba su propia composición, tenía su propia unidad de producción de sonido y recibía y enviaba información desde otras estaciones. El significado de esta información podía cambiar completamente de una estación a otra: una indicación de altura de sonido de un intérprete podía ser un control de ritmo en otro intérprete, por ejemplo. Ninguna estación tenía funciones ejecutivas o algo parecido a una partitura de director. Cualquier forma musical que emergía lo hacía de manera muy misteriosa, a partir de las interacciones y la influencia mutua de las diferentes estaciones. Una típica sesión de La liga consistía en configurar los ordenadores en una habitación y conectarlos entre sí tras mucho esfuerzo. Con los cables por todos sitios y con los ordenadores conectados en red ya libres de errores de programación, tras varias horas finalmente se iniciaba el sistema y empezaba la sesión musical. Los poníamos a funcionar, los afinábamos y escuchábamos muy atentamente cómo interactuaban entre sí las máquinas. Cuando nuevas formas de musicalidad aparecían, tomábamos notas de los parámetros de configuración de los programas individuales con la esperanza de reconstruir esos parámetros en un concierto y que diesen resultados similares. La forma estructural de nuestros conciertos era esencialmente una serie de parámetros acordada antes, donde los detalles momento a momento, claro es, siempre quedaban en un interactivo estado de cambio continuo. [Nota: Se puede ver un ensayo del grupo en un raro vídeo que se encuentra en Youtube.] Conclusión Para 1983 la artritis reumatoide de Horton lo había paralizado en grado sumo y hacer conciertos se había vuelto complicado. Las actividades de La liga se fueron ralentizando hasta que se interrumpieron y a finales de ese año el grupo se disolvió. Durante todos los años de actividades de La liga había aspiraciones grandiosas y utópicas, así como una juvenil sensación de que estábamos en el umbral de una nueva consciencia hombre-máquina, una fase completamente nueva de la cultura humana. Concebíamos el grupo no como una banda de músicos con miembros fijos, sino como la vanguardia de un nuevo estilo, una nueva práctica social, una nueva manera de hacer música: quizás un cibernético y revolucionario primo del jazz. Cuando muchos compositores en nuestra comunidad y fuera de ella empezaron a trabajar en vivo con ordenadores pensamos que esta práctica se extendería finalmente fuera de nuestro círculo. Bob Gonsalves, un compositor y estudiante del Mills College a finales de los 70 que escribía en EAR, una revista local sobre música experimental, expresó muy bien el sueño de la época: "Un silencio cae sobre el público cuando los músicos suben al escenario. Los intérpretes toman sus instrumentos y los conectan en las líneas de datos, 8 por 8, hasta que todos los controles indican que están listos. El Robomaster afina el Master Oscillator, todos los circuitos están en sincronía, las memorias de escrituras están habilitadas, las luces se apagan... ¿Te suena familiar? Si es así, ¡estás viviendo en el futuro, tío!" Tras la desaparición de La liga, nosotros (Perkis y Bischoff) continuamos el trabajo; intentamos normalizar el lioso y complicado proceso de interconectar los sistemas construyendo una interfaz estándar para los sistemas de ordenadores que llamamos el concentrador (the hub). La intención en ese momento fue hacer más fácil la implicación de otros intérpretes en este tipo de práctica musical; y de nuevo no teníamos en mente crear un grupo con un número fijo de intérpretes, sino promocionar el desarrollo de esta nueva práctica musical y que otros intérpretes se uniesen. Sin embargo, este trabajo condujo a la formación de un nuevo grupo, llamado The Hub, al cual se unieron Chris Brown, Scot Gresham-Lancaster, Phil Stone y Mark Trayle, grupo que ha trabajado de modo intermitente durante los últimos 20 años. Solo recientemente la noción de una práctica general de música por ordenadores conectados en red ha adquirido cierta aceptación (véase la bibliografía). Aunque el espíritu revolucionario de aquellos primeros días se ha atemperado y nuestros objetivos se han hecho más modestos, a veces es bonito soñar que la visión medio irónica de Jim Horton se ha hecho realidad: "Cuando los programas se ejecutan autónomamente, ligeramente más allá de mi comprensión, interpretando música que probablemente no se me habría ocurrido, música producida por mis propios dispositivos, me gusta imaginar que somos los precursores de una edificante inteligencia artificial (IA) musical, algo extraña, del siglo XXI. ¡Oh, cuánto espero y deseo que la cibercultura contemporánea conduzca a un utópico mundo de Bondad, bello y compasivo!" 3. Reflexiones En lo que sigue haremos unas breves reflexiones a partir de las notas del CD traducidas más arriba. En La liga confluyen varios factores que explican su génesis y su estética. Son herederos de la tradición anclada en una fascinación por la tecnología. Esta no es nueva y se remonta a principios de siglo con el futurismo de Marinetti. Cuando Marinetti afirma, muy provocadoramente, que "Un automóvil de carreras es más hermoso que la Victoria de Samotracia" está renunciando a la belleza según el canon clásico y en este sentido es equivalente a la afirmación de La liga de que su música es "ruidosa, difícil de escuchar, con frecuencia impredecible y ocasionalmente bella". Pero desde la época de Marinetti la ciencia y la tecnología han avanzado de modo impensable, desde la física cuántica o la lógica probabilista hasta la inteligencia artificial o los fractales. La Segunda Escuela de Viena entona el réquiem por los principios musicales que rigieron el periodo de la práctica comúny en la estética de La liga, por su parte, ignoran la forma musical en el sentido clásico, las reglas de armonía o contrapuntoy ciertas convenciones melódicas. La liga trasciende todo esto, como hicieron antes otros, y propone un cambio radical: el público va a un concierto a escuchar una "representación sonora de un sistema autónomo", una sonificación. No importa la cantidad de disonancias, y si estas se resuelven; no importa el sentido de propincuidad tan necesario en la música melódica; no importa la función de la armonía; no importa la forma musical con sus repeticiones, con sus codas y con sus reexposiciones; lo que importa es el seguimiento de ese comportamiento musical, que básicamente se expresa a través de la textura, de un acusado sentido de lo impredecible y de la exposición de pequeñas células melódicas, a modo de estrellas fugaces. Desde un punto de vista social La liga pone un fuerte acento en la composición en colaboración y en la repercusión de la obra en la comunidad. En las notas de CD Perkins y Bishcoff nos explican en detalle el contexto histórico y social. Por un lado, está el ambiente liberal reinante en la bahía de San Francisco, consecuencia de la posguerra de Vietnam, pero también de la nueva efervescencia tecnológica de la costa oeste. Por otro lado, está la reacción estética hacia el modernismo según lo encarna Boulez y Xenakis, pero también hay un rechazo de los presupuestos estéticos del minimalismo según lo encarna Reich. La liga comparte con Xenakis su fascinación por la ciencia, pero las consecuencias musicales son muy diferentes. Xenakis busca emular procesos físicos y matemáticos con su música, como por ejemplo en su obra Pithoprakta. Sin embargo, la música de La liga es el proceso físico mismo producido por los dispositivos de audio y sus interconexiones; son máquinas musicales que comunican entre sí y el público tiene la misión de escuchar los resultados de esa comunicación. De la estética minimalista La liga rechaza el ansia de eliminar al "intérprete humano imperfecto" de que habla Reich en sus obras para cinta. La liga tiene una idiosincrasia social muy pronunciada y antes que rechazar al intérprete lo sustituye por máquinas que colaboran entre sí. Hay más énfasis en la composición que en la interpretación. La interpretación la llevan a cabo las máquinas, pero estas máquinas llevan las ideas de los compositores escritas en sus líneas de código. La parte social de la composición consiste en la interacción entre esas máquinas. Otra característica de la música de La liga fue la de explorar nuevos instrumentos y afinaciones, hecho que concuerda con la importancia que dan a la textura. La tecnología que surgía poderosa en esa zona, la futura Silicon Valley, fue asimismo de importancia, en especial, la inteligencia artificial. Esta disciplina estaba en un estado incipiente, pero sus partidarios prometían niveles de comprensión y resultados que lamentablemente no han llegado. Ciertamente, la inteligencia artificial ha avanzado mucho, pero no ha dado el salto conceptual que soñaban los miembros de La liga. Incluso hoy en día muchos de los objetivos que se marcaron los pioneros de esta disciplina aparecen como inalcanzables a medio plazo. En el campo de la música hace falta construir modelos muy complejos, basados en principios psicológicos, en conocimientos musicológicos, con fuerte componente computacional. No es válida la premisa simple de que "los fenómenos complejos pueden entenderse analizando las interacciones dinámicas de componentes relativamente simples conectados entre sí". Sin embargo, parte del encanto de la música de La liga puede encontrarse en esta inocencia. 4. Bibliografía Bischoff, J., Gold, R. and Horton, J. 1985. Microcomputer Network Music (Cambridge, MA: Foundations of Computer Music, editor: Curtis Roads, MIT Press). Bischoff, J. 1991. Software as Sculpture: Building Music from the Ground Up (Oxford: Leonardo Music Journal Vol.1 No. 1, Pergamon Press). Brown, C. and Bischoff, J. 2005. Computer Network Music Bands: A History of the League of Automatic Music Composers and The Hub (Cambridge, MA: At A Distance: Precursors to Art and Activism on the Internet, pp. 372-390, MIT Press). http://crossfade.walkerart.org/brownbischoff/ Collins, N., McLean, A., Rohrhuber, J. and Ward, A. 2003. Live Coding in Laptop Performance (Organised Sound 8 (3):pp. 321-330, Cambridge University Press). Kahn, D. 2004. A Musical Technography of John Bischoff (Cambridge, MA: Leonardo Music Journal Vol. 14, pp. 74-79, MIT Press). Perkis, T. 1996. Bringing Digital Music to Life. 1996. ( Cambridge, MA: Computer Music Journal 20:3, MIT Press). Perkis, T. 2003. Complexity and Emergence in the Experimental Music Tradition (Amsterdam: Art and Complexity, editor: J. Casti, Elsevier). 5. Discografía Lovely Little Records, John Bischoff, with the League. Lovely Music Ltd. EP 101-06 (1980) The Hub: Computer Network Music, Artifact Recordings ART1002 (1989) Artificial Horizon, Tim Perkis and John Bischoff, Artifact Recordings CD ART1003 (1990) Wreckin' Ball, The Hub, Artifact Recordings CD ART1008 (1994) Simulated Winds and Cries, Jim Horton, Artifact Recordings CD ART1013 (1996) On the Other Ocean, David Behrman, Lovely Music CD 1041 (1996) The Glass Hand, John Bischoff, Artifact Recordings CD ART1014 (1996) Fuzzybunny, Tim Perkis, Chris Brown, Scot Gresham-Lancaster, Sonore (2000) Motive, Tim Perkis, Praemedia CD praecd002 (2002) Luminous Axis, Wadada Leo Smith, with Bischoff, Perkis et al. Tzadik CD 7083 (2002) Aperture, John Bischoff, 23Five Inc. CD 006 (2003) Boundary Layer, the Hub, upcoming release Tzadik (2008)
Miércoles, 07 de Septiembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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