61. 10. ¿Y qué hay del cine español? (II)

Retomamos dos ejemplos en nuestro cine con breves referencias a las matemáticas, resolvemos las cuestiones planteadas en Navidades y se proponen otras, asequibles, como siempre, a niveles elementales. En Diciembre avisaba del inminente estreno de Proof (estaba previsto para el 7 de Enero) dedicando la reseña a esta película que en Estados Unidos ya se estrenó el 14 de Septiembre. La productora ha decidido posponer su estreno en nuestro país hasta el 31 de marzo de 2006, quizá para aprovechar el tirón del oscar que hipotéticamente lograría, según los pronósticos de los expertos, Gwyneth Paltrow por su trabajo en esta película. En el momento de redactar estas líneas no iba demasiado bien colocada en la lista de candidatas (las nominaciones se hacen en base a unos puntos conseguidos por las entregas de premios en festivales, sindicatos de la industria del cine, asociaciones de críticos, etc.), pero nunca se sabe. En cualquier caso, queda comentada hasta que podamos verla. No siendo nuestro país precisamente un referente histórico en lo que a las matemáticas se refiere, no es de sorprender que el cine pase de puntillas en cuanto al tratamiento de las mismas, o lo haga de la manera más trivial posible, en escenas escolares (siendo ecuánimes, tampoco países con una tradición matemática mayor, lo hacen). Sin embargo, hay algunos rara avis que por serlo, merecen cierta atención. Es el caso de las producciones que proponemos este mes. Se ha definido, de un modo un tanto simple, a Tu nombre envenena mis sueños (Pilar Miró, 1996) como un drama policiaco en el Madrid de la posguerra. La película está basada en una novela de Joaquín Leguina, motivada, según se dice, por un comentario realizado por la propia realizadora: “en la literatura predominan las venganzas masculinas”. El escritor recogió el encargo y dicho y hecho, una novela en la que la protagonista sea la que “corte el bacalao”. Sin embargo, bajo mi punto de vista, la obra es algo más que una sencilla historia negra. He de reconocer que la primera vez que vi la película no me causó ninguna emoción, una de tantas, con la impresión además de ser un tanto farragosa de seguir. Pero casualmente tuve la oportunidad de volver a verla una segunda vez en unas condiciones bastante mejores. Mi opinión cambió, y lo hizo mucho más cuando leí la novela (el famoso tópico de que la película nunca es mejor que la obra original, aunque afirmo que hay excepciones). Y vista una tercera vez, después de la lectura del libro, mi juicio sobre la película mejoró muchísimo, lamentando sin embargo que ésta no hubiera incidido más en ciertos detalles presentes en el texto. Desde la óptica matemática de esta sección, la película tiene una escena destacable y algún que otro comentario aislado y breve. En esa escena, el protagonista, el policía Ángel Barciela (Carmelo Gómez), estudiante de exactas antes de la guerra con algunas asignaturas pendientes para acabar la carrera, explica a Julia Buendía (Emma Suárez) qué es una banda de Möebius. El diálogo es el siguiente: (Barciela y Julia están tomando una copa en un salón de baile) Barciela: Coges así los extremos de la cinta y giras uno de ellos de manera que hagas coincidir A con C y B con D. El resultado es un lazo que aparentemente tiene dos superficies. Pero si pasas el dedo por un solo lado de la cinta, al dar una vuelta entera, te encuentras en el otro lado, ¿comprendes? Luego ese lado sólo tiene una superficie, y a eso se le llama la banda de Moebius. (Risas de ambos, por la sensación de estar dando/recibiendo una clase más que charlando) Julia: Nunca se me dieron bien las matemáticas. Yo estudié Filología Inglesa e Historia en la Universidad de Berlín. Y me parece absurdo algo que pueda demostrar que un lazo, que obviamente tiene dos caras, sólo tiene una. Barciela: Eso no es una demostración. Por hoy quédate con una idea que no es matemáticas, sino científica: De una proposición científica, sólo puede demostrarse que es falsa, nunca que es verdadera. Julia: (sonriendo) ¡Qué raro eres, Barciela! Barciela: (sonriendo también) ¿Yo? ¿Por qué? Julia: No sé. No tienes pinta de que te gusten las matemáticas, ni la ciencia. Claro que tampoco tienes pinta de policía. ¿Y te gusta tu trabajo? (Él niega con la cabeza mientras bebe de la copa de coñac) ¿Y porqué lo haces? Barciela: Es un oficio como otro cualquiera y yo lo sé hacer bien. Además es uno de esos trabajos que hacemos mejor los que no nos gusta, que los que les gusta demasiado, ¿no te parece? Antes pensaba que se podía arreglar un poco el mundo. Julia: ¿Y ahora no? Barciela: Ahora pienso que con que cada uno mantenga un poco limpio lo que tiene a su alrededor, es más que suficiente. ¿Qué tiene de especial esta secuencia? Aparte de describir cómo se construye la banda de Moebius y certificar la incredulidad acerca de sus propiedades de una persona que no la conozca (Julia, en este caso), nos permite introducir los teoremas de indecibilidad de Kurt Gödel (1931): existen enunciados expresados correctamente, incluso verdaderos, que son indecidibles, es decir, que ni se pueden demostrar ni se pueden refutar a partir de ciertos axiomas. Después de los trabajos de Gödel se tardó bastante tiempo en encontrar ejemplos concretos de proposiciones indecidibles; Paul Cohen fue el primero en lograrlo en 1963. Durante ese periodo el resto de la comunidad matemática trabajaba sin ningún tipo de problemas de conciencia. A estos resultados son a los que Barciela se refiere, muy puesto al día en asuntos que acontecían casi contemporáneamente. Y ya sabemos que a España en esa época no se puede decir que llegara mucha información, y menos en asuntos tan específicos y que sólo importaban a unos pocos. La novela, no obstante, es más precisa respecto a estos resultados que el diálogo anterior: “....La matemática moderna considera que la sola adecuación a la realidad como criterio de verdad está superada. En buena lógica, la frase “si dos más dos igual a cinco entonces el Ebro pasa por Badajoz” no sólo tiene sentido, sino que además es una proposición verdadera, cosa difícil de tragar. En su época, Leibniz sostenía que todo lo que es verdadero es demostrable. Leibniz pensaba incluso que todas las verdades son demostrables. He aquí un optimista desgraciadamente pasado de moda. Ya lo dije: sólo puede demostrarse el error. Sólo Dios podría demostrar las verdades. Gödel con su teorema de la incompletitud redujo a basura el sueño de Leibniz. Fue una pena. Quizá a partir de estos modernos pensamientos, los matemáticos avancen en pocos años más de lo que han avanzado desde Tales de Mileto hasta este momento .....”. Al final de la película, Barciela vuelve sobre la escena precedente, meditando para sí mismo: “Anduvimos juntos sobre una cinta de Moebius y pasamos al otro lado de la cinta, al vacío. Como en matemáticas, ¿recuerdas?” En la novela, este comentario y la descripción de qué es la cinta de Moebius, la hace el protagonista en una carta dirigida a Julia. Por cierto, en la novela (que incluye unas cuantas referencias matemáticas más). se cita al matemático Julio Rey Pastor en varios párrafos, refiriéndose a uno de los textos en los que el protagonista estudiaba. (pág. 128, “me acosté pronto y me eché el Rey Pastor a la cara. Me di cuenta, una vez más, de que no podía estudiar matemáticas sin papel, pluma y mesa, así que lo dejé”) ¡Qué lástima no haber incluido este nombre en una escena en la que Julia se asombra de la cantidad de libros que tiene Barciela! Hubiera sido la primera vez (que yo sepa) que se cita a un matemático español en una película. Si alguien tiene la osadía de mostrar esta película a sus alumnos (sería en Vídeo o grabada de la televisión, porque increíblemente aún no se ha editado en DVD), se aconseja que sea, como siempre, en transversalidad con otras asignaturas, principalmente, historia (posguerra, quinta columna, estraperlo), literatura (el título Tu nombre envenena mis sueños hace referencia a unos versos que Luis Cernuda escribió en el exilio refiriéndose a España, del poema Un español habla de su tierra, perteneciente a la sección Las nubes del poemario La realidad y el deseo), realidad social (en palabras de Pilar Miró, “se trata de una parábola sobre los desastres de la guerra y sobre todo, una historia de amor entre dos personajes perdedores”), etc. Y por supuesto a alumnos de Bachillerato, con posibilidades de no aburrirse, de entender mínimamente el argumento y de no cachondearse de las escenas de amor presentes en la película. Pero por supuesto, los profesores deben visionarla previamente y valorar su adecuación o no a sus enseñanzas. En una clase de matemáticas, lo mejor, insisto una vez más, es mostrar exclusivamente las escenas de interés trabajando un guión previamente leído y situado. En el número 50 de la revista SUMA (enhorabuena, por cierto, a los responsables por esa preciosa edición) nuestro compañero Fernando Corbalán nos habla (pp. 126-127) de otra novela del mismo autor, El rescoldo, con otro matemático en su argumento. Joaquín Leguina es doctor en Ciencias Económicas por la Universidad Complutense de Madrid y en Demografía por la Sorbona de París. El público en general le conoce más por su trayectoria política (concejal, diputado por Madrid y Presidente de esta Comunidad entre 1983 y 1995, entre otros cargos), que por su labor investigadora (varios estudios sobre economía y demografía) o literaria (libros de relatos, ensayos y novelas). Suponemos además que le gustan las matemáticas, por sus continuas referencias. Desde aquí le animo a que siga en esa línea divulgadora respecto a nuestra asignatura. Lo que no se puede negar es que la lectura de sus novelas es bastante ágil, es entretenida, está bien documentada y no está exenta de cierta calidad literaria, lo cual es siempre de agradecer a tenor de los tiempos que corren (me refiero al abusivo monopolio de las historias de usar y tirar, sin ninguna profundidad argumental, léase “best-sellers”). Aunque al principio habréis leído que se iban a comentar dos películas, la longitud que va tomando esta reseña aconseja no excederse para no aburrir al personal más de la cuenta. Así pues, propongo que averigüéis el título de la segunda (hablaremos de ella en la próxima entrega) a partir de las siguientes pistas: 1.- Como en Tu nombre envenena mis sueños, las matemáticas se muestran como un excelente argumento para “meterse en el bote” a la chica de turno. 2.- Su título inicial iba a ser El número de oro, ya que parte del argumento gira en torno a las propiedades de dicho valor. 3.- Como Tu nombre envenena mis sueños, aún no se ha editado en DVD. 4.- Es la ópera prima de un director castellano-leonés. Con estos datos, está bastante fácil, ¿no os parece? Chascarrillos cinematemáticos Casi todo el mundo sabe que Groucho Marx, además de ser el buque insignia de los célebres hermanos, era un tipo bastante ingenioso. En su autobiografía, Groucho y yo (publicada en castellano por Tusquets, 7ª Edición, 2002), en una de las innumerables anécdotas que incluye, cuenta que (pp. 182-184), tras la exhibición de El conflicto de los Marx (1928), un individuo llamado Evans le ofreció pagarle 1500 dólares si se prestaba a recomendar la marca de cigarrillos de la empresa para la que trabajaba. Groucho se negó rotundamente. El hombre fue aumentando la oferta varias veces ofreciéndole sucesivamente 2500, 5000, pero el actor, incorruptible, se negó otras tantas. A la mención de 7500 dólares (ya se sabe que Groucho tampoco hacía ascos al dinero) aceptó el trato. Automáticamente su interlocutor extrajo de su chaqueta un contrato y un cheque en los que ya figuraba escrita la cantidad acordada. “¿Cómo podía saber que iba a rechazar las ofertas de 1500, 2500 y 5000 dólares, para aceptar por fin la de 7500?”, se pregunta Groucho en el libro. “Un momento antes de decirme adiós” – prosigue el libro –, “se metió una mano en el bolsillo y sacó otro cheque. Me lo enseñó. Estaba extendido a mi nombre por un importe de 10000 dólares. Nunca olvidaré sus últimas palabras mientras lo rompía en pedazos. Dijo: “Señor Marx, si hubiese usted resistido un poco más, habría podido cobrar los diez mil. Aquella noche, en el escenario, no estuve muy gracioso. Esta anécdota nos permite introducir una conocida cuestión (aunque espero que el lector no la conozca y la piense un poco): supongamos que el personaje está dispuesto a pagar desde 1000 hasta 31000 dólares, siempre en cantidades enteras de miles. ¿Cuál es la mínima cantidad de cheques que debe tener preparados para poder ofrecer cualquiera de esas cantidades? ¿Hasta que cantidad se puede llegar con un solo talón más? A modo de pista, y sin querer inmiscuirme dentro de la sección matemágica, el asunto tiene que ver con la siguiente “tabla de adivinación del pensamiento” El que conozca “el secreto” de esta tabla puede adivinar el número que haya pensado otra persona sin más que saber en qué columnas se encuentra dicho número, y por supuesto sin necesidad de mirar la tabla ni aparentemente efectuar operación alguna. ¿Cómo? Por otra parte, si os fijáis, los números están colocados en orden creciente según se desciende por las columnas; esto facilita la localización en las columnas del que busca el número pensado, pero se puede dar un mayor toque de misterio si les desordenamos cada columna al azar, tomando eso sí una pequeña precaución. ¿Cuál? Soluciones a las cuestiones planteadas en Diciembre El pasado diciembre José Manuel Rodríguez Parrondo, responsable desde hace cuatro años de la sección Juegos Matemáticos en la revista Investigación y Ciencia en su edición española, se lamentaba en una conferencia de la escasa interacción con los lectores de sus artículos. Mi experiencia respecto al libro en el que participé en 1999 y los escasos diez meses al frente de esta sección de DivulgaMAT es idéntica. En lo que respecta a un libro o una revista, el número de ventas despeja la duda sobre si alguien alguna vez leerá su contenido, pero en un apartado virtual como éste, la incógnita persiste. Y no se trata del hecho de que los posibles lectores resuelvan o no las cuestiones, sino de conocer si éstas, o la sección entera, interesa, resulta trivial o es completamente inútil. Os animo por ello nuevamente a que me hagáis llegar vuestras opiniones y sugerencias al respecto en alfonso@mat.uva.es. El juego de las Escenas Eliminadas En este caso, la película no tenía el más mínimo interés, una de tantas dedicadas a las fiestas navideñas: Un padre en apuros (Jingle All the Way, Brian Levant, EE.UU., 1996), que servía únicamente como pretexto para situar el criptograma SANTA - CLAUS = XMAS. Normalmente, en los lugares en los que aparecen este tipo de cuestiones, se da la solución, sin indicar, aunque sea esquemáticamente, cómo se llega a dicha respuesta. La razón es el engorro que supone ir detallando un proceso basado normalmente en un razonamiento de reducción al absurdo combinado con una serie de intentos ensayo – error, descartando posibilidades hasta llegar al buscado si la solución es única, que a veces no lo es. En nuestro caso, a simple vista, se ve que S, C≠0, S = C+1 y A=2S, luego A es par y sólo puede ser 4, 6, 8 (no puede ser 2 porque S≠1). Podemos ir probando con los diferentes valores posibles de A, y llegar a imposibles salvo que A=4. Al final, la solución resulta ser 24974 - 18432 = 6542. Si alguien desea mayores detalles, gustosamente se los envío por e-mail. A continuación se proponía FELIZ & AÑO & NUEVO = 2006, con F = N y “&” una suma o una resta. La solución a la que yo llego es 27486 + 310 - 25790 = 2006, pero como ya indiqué puede haber más al ser una propuesta inventada. Finalmente, un paciente análisis de frecuencias junto a pruebas de ensayo-error, nos lleva a que el mensaje oculto era DESDE DIVULGAMAT OS DESEAMOS UNAS FELICES MATE-FIESTAS Y UN PROSPERO Y CINEMATOGRAFICO AÑO NUEVO. Sobre la denominación de estos pasatiempos, la enciclopedia Wikipedia establece que “Un criptograma es el resultado del cifrado de un mensaje. En general, puede decirse que es un nuevo mensaje, sin significado aparente o cuyo contenido es difícil de descifrar”. En este sentido el segundo es un criptograma, mientras que el primero (el reemplazar letras por cifras en una operación de aritmética clásica o en una ecuación; en ocasiones las letras se sustituyen por interrogaciones o asteriscos para complicar más el asunto) entra dentro de la criptaritmética, que constituiría un caso particular (cifrado por sustitución con clave una operación matemática) dentro de los criptogramas. En http://platea.pntic.mec.es/jescuder/criptogr.htm, sección de la página web del profesor Jesús Escudero Martín, podéis entreteneros más con este tipo de juegos y/o en los libros Ludopatía Matemática (Mariano Mataix, Alianza Editorial, Madrid, 1991) o en Juegos para devanarse los sesos (Eric Emmet, Gedisa, Barcelona, 1992), dedicados ambos casi exclusivamente a los criptogramas.

Domingo, 01 de Enero de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

62. 11. NUM3ROS

Este mes damos noticia de un serial con matemáticos como protagonistas, se lanzan al aire algunas propuestas a partir del mismo, y se resuelven algunas de las cuestiones planteadas el mes pasado, además de proponer otras nuevas. ¿Qué os parecería si os contara que existe una serie de televisión de corte policiaco, en la que los casos se resuelven en gran medida gracias a las matemáticas? Sin duda pensareis, “eso me suena de alguna película o telefilme”; vuestro segundo pensamiento sería sin lugar a dudas, “y me pareció de lo más inverosímil y rebuscado”. Si a continuación os comento que se está emitiendo en la actualidad una serie de estas características, de gran éxito de audiencia, basada escrupulosamente en casos reales documentados, en los que de verdad las matemáticas sirvieron para capturar a los delincuentes, y que además, aprovechando su emisión, una gran cantidad de centros educativos y profesores están realizando con sus alumnos unas actividades relacionadas con las matemáticas presentes en cada capítulo que la productora de la serie está patrocinando, y que encima, los alumnos están encantados y parece que además hasta aprenden algo, sin duda pensareis, “este hombre ha soñado, o ha esnifado algo raro, o va de farol”. Pues no, tales circunstancias existen y os las detallo a continuación. El domingo 23 de enero de 2005, se emitía en Estados Unidos y Canadá el primer episodio de la serie NUMB3RS, producida por la CBS. Las condiciones iniciales del argumento son sencillas: un agente del FBI, Don Eppes (interpretado por el actor Rob Morrow, conocido en nuestro país por encarnar al popular doctor en Alaska, Joel Fleishman) coincide por casualidad en casa de su padre con su hermano pequeño Charlie Eppes (David Krumholtz), profesor de matemáticas en la Universidad de Southern California (USC, una de las más antiguas universidades privadas norteamericanas, situada en pleno centro de Los Angeles). Éste se muestra interesado por las circunstancias de un caso que su hermano investiga, un violador en serie que finalmente asesina a sus víctimas: “13 crímenes determinan una zona concreta. ¿Estás analizando la trascendencia de los lugares en que suceden?” Por supuesto, Don se mostrará muy escéptico con los comentarios de su hermano que se tomará la molestia de trabajar en ello, mostrando argumentos y explicando en una pizarra fórmulas que deducidas a partir de los datos que la policía va consiguiendo. La crítica, en sus (usuales y aparentemente) sesudos análisis, valoraron el alto índice de audiencia (25 millones de espectadores) de este episodio piloto (apostillando que quizá tuviera que ver que su emisión fuera inmediatamente posterior a un importante partido televisado de la Super Bowl) y la calidad del guión y del trabajo de los actores, pero colocaron la resolución del caso gracias a las matemáticas prácticamente en el terreno de la ciencia ficción. Salieron entonces publicados los datos del caso real en el que se basó el guión: a finales de los noventa, un detective canadiense, doctor en matemáticas, leyó en un periódico la noticia de las violaciones y asesinatos, y ofreció su ayuda a la policía local indicando que había desarrollado una fórmula para determinar la posible residencia del homicida a partir de los lugares donde cometió sus actos. Sin nada que perder, ya que estaban bastante despistados, aceptaron su ofrecimiento. Completando los datos con muestras de ADN de colillas de cigarrillos y otras pruebas realizadas a los vecinos de la zona acotada por el matemático, trataron de localizarlo. Pero nada concordaba; hasta que a alguien se le ocurrió que quizá el individuo se había cambiado recientemente de domicilio (¡hasta en eso el episodio es fiel a la realidad, a pesar de que parece el manido recurso peliculero!). Esto disminuyó tanto las posibilidades que finalmente el criminal fue localizado y detenido. La fórmula que se muestra en el episodio en una pizarra es la que realmente utilizó el detective. El personal fijo de la serie se completa con (las fotos van en orden) el padre de los protagonistas, Alan Eppes (el actor Judd Hirsch); David Sinclair (Alimi Ballard), un compañero del FBI de Don; Amita Ramanujan (Navi Rawat), una alumna aventajada de Charlie; Larry Fleinhardt (Peter MacNicol), un físico, amigo y colega de Charlie. Como suele ocurrir en este tipo de producciones, cada episodio tiene guionistas y directores distintos. La productora ha tratado de hacer justicia a las matemáticas y a los matemáticos. Por ello, después de tener listo el episodio piloto, envió cientos de cartas a universidades y matemáticos buscando ideas y colaboraciones. Por otro lado, el actor que interpreta al matemático Charlie Eppes asistió en repetidas ocasiones a clases de matemáticas del California Institute of Technology (también conocido como Caltech), universidad en la que se rodaron varias escenas del primer episodio, para observar las reacciones y el comportamiento de los matemáticos. Aprovechando el tirón de los primeros capítulos, Texas Instruments junto a la productora CBS, con la ayuda y el asesoramiento del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (una asociación norteamericana de profesores de matemáticas) pusieron en marcha un programa educativo a través de la red con actividades basadas en los aspectos matemáticos que aparecen en los sucesivos episodios. Esta experiencia ha sido bautizada como “We all use Math everyday” (algo así como “Todos utilizamos las matemáticas diariamente”) y comenzó con un programa de presentación de una hora de duración el 23 de septiembre de 2005 en la propia cadena CBS. En dicho espacio se trataba de mostrar a alumnos y padres de la importancia que las matemáticas tienen en nuestra vida cotidiana y están orientadas a los grados 7 a 12, que corresponderían aproximadamente con nuestro primer curso de la ESO hasta segundo de bachillerato (de 12 a 18 años). Cada actividad trabaja un tema concreto, e indica entre otros asuntos, los objetivos, materiales a utilizar, curso al que va destinado, duración aproximada de la práctica y el guión para el alumno y otro para el profesor con las respuestas a los ejercicios y cuestiones planteadas. Ni que decir tiene que (algo tienen que sacar) entre los materiales a utilizar destaca siempre la calculadoras de Texas Instruments. Entre los temas que tratan están las probabilidades, interpolación, números primos, teoría del caos, diagramas de Voronoi, fracciones continuas, teoría de la información, entropía, criptografía, teoría de juegos, etc. Si queréis echar un vistazo a estas actividades están disponibles en http://www.cbs.com/primetime/numb3ers/ti/activities.shtml. Los profesores y/o centros que se apuntan a seguir el programa reciben posters para las aulas y otros artilugios más o menos publicitarios, y disponen de los guiones de las prácticas una semana antes de la emisión del episodio en el que se van a poner en práctica los conceptos que se supone ellos han manejado y con los que deben estar familiarizados. Se insiste a los padres que vean los capítulos junto a sus hijos para potenciar entre ellos el diálogo sobre el uso de las matemáticas en nuestra vida cotidiana. Paralelamente a estas actividades, se han organizado conferencias por todo el país, encuentros con los actores, todo este tipo de cosas que los norteamericanos saben montar muy bien. Dejando a un lado la valoración de intereses de cada uno (además, no hay porque criticarlo, es lógico, aquí lo sabemos bastante bien: las instituciones públicas no suelen aportar un céntimo a iniciativas de este tipo por muy maravillosas que sean, así que hay que buscarse la financiación por donde sea, y todos sabemos que nadie da duros a tres pesetas), creo que la idea es muy aprovechable. A nuestro país esta serie llegará tarde o temprano; cuando llegue ese momento, ¿por qué no tener preparado algo similar? Nos guste o no, la televisión, el cine, la radio, los videojuegos, las consolas, los móviles, etc., están ahí, y gozan de una envidiable adicción por parte de nuestros alumnos. ¿Por qué no aprovecharlos sutilmente para que además de pasar el rato aprendan algo? Algunos datos reveladores: en los sesenta muchos estudiantes eligieron la inteligencia artificial y la informática como carreras a las que dedicarse en el futuro. Una encuesta (norteamericana claro, aquí ni se hacían encuestas ni importaban mucho las tendencias sociales; ahora se hacen, pero tampoco parece que sirvan para nada) revelaba en un amplio porcentaje que la motivación para elegir dicha profesión fue el haber visto 2001, una odisea en el espacio. ¿Se acuerdan de aquella serie que tenía por protagonista a un tal profesor Kingsfield (el actor John Houseman, la película Vida de un estudiante, (The Paper Chase, 1973) que dio origen a una serie del mismo título entre 1978 – 1986)? Pues las facultades de Derecho se llenaron por aquellos años en los países en los que la serie fue pasada por televisión. También alcanzaron gran popularidad otras materias como la paleontología merced a la dinosauriomania que entró a muchos, niños sobre todo, a partir de Parque Jurásico, la astronomía con Carl Sagan y su magnífica Cosmos, y la medicina científica forense más recientemente con la serie C.S.I. Ya sé que esto no indica nada, pero no deja de ser curiosa la coincidencia. No es que nadie quiera que aparezcan matemáticos por todas partes, pero estaría bien tratar de eliminar esa fama de rareza e inutilidad que muchos siguen potenciando, y sobre todo que nuestros chicos la estudien con más agrado. Pero para esto último, todos tendríamos que poner un poco de nuestra parte. También relacionada con pesquisas policiaco-matemáticas me llega la noticia de que el director Alex de la Iglesia va a llevar al cine la novela Los crímenes de Oxford, del escritor y matemático argentino Guillermo Martínez (en este mismo portal, concretamente en http://www.divulgamat.net/..., tenéis amplia información sobre su contenido). Está producida por Gerardo Herrero, los actores protagonistas serán británicos, y está previsto que comience a rodarse este verano en Oxford. Esperemos que la presencia de las matemáticas y matemáticos sea rigurosa (los crímenes se suceden mediante acertijos y dilemas lógicos) y en la medida de lo posible, exenta de los habituales clichés y estereotipos. Es probable que así sea ya que este director, independientemente de que nos guste o no su cine, suele ser bastante metódico en la preparación de sus películas. Recientemente ha estrenado también un corto, El código, en el que hace una entrevista en clave de humor a Leonardo da Vinci. El juego de los doblajes penosos Prosiguiendo con nuestras indagaciones desde un enfoque lúdico-matemático de las películas, esta vez os propongo averiguar a qué película corresponde el siguiente diálogo. Para situaros, se trata de una escena entre el protagonista (que además da título a la película) y su novia. Él va a buscarla a su lugar de trabajo: Él: ¿Es esta la nueva fuente? Ella: ¿Fuente? Ese cliente sólo puede permitirse el lujo de un grifo. Él: Pensé que el dinero no tenía importancia para los artistas. Ella: Los artistas también comen. (En ese momento, él comienza a leer un libro que ella está utilizando) Él: Fricción pérdida de agua en pies por cien pies de largo en cada cañería. Fórmula utilizando constantemente medidas entre cañería estándar de cien pulgadas. Ella: Para dos mil litros de agua por minuto, ¿cuál es la velocidad por segundo de una cañería de cinco pulgadas? (Espera la respuesta de Él, que no se produce). ¡Ah! Mira el lado derecho, fíjate en las cifras hasta que llegues a seiscientos (¿????). Él: Ya está. Ella: Ahora ve a la izquierda hasta la columna de cañería de cinco pulgadas. ¿Qué dice? Él: Nueve punto ocho. Ella: Ahora quiero la pérdida en pies (espera un poco) ¿Y bien? Él: Me he perdido. Lo siento mucho. (Ella se acerca, comprensiva, y le da un beso). En este diálogo, ininteligible en algunos momentos para el espectador español un poco atento, se han producido unas traducciones bastante lamentables. En la versión original, se dice: “Friction loss of water in feet per hundred feet. Length of pipe. Formula using constant one hundred size of standard pipe in inches”. Además de averiguar el título, podéis tratar de responder a las siguientes cuestiones: ¿Cómo debería haber sido la traducción correcta? ¿De donde sale la cantidad 600 (marcada con interrogación anteriormente) cuando ella habla de 2000 litros de agua? ¿Es correcto el cálculo que aparece en la tabla?¿Cómo se ha hecho?   Es llamativo que al inteligente protagonista le cueste tanto localizar unos datos en una tabla (ver foto). Bien, ya sabéis, si conocéis alguna de las respuestas, mandadme un e-mail a alfonso@mat.uva.es. Respuesta a los Chascarrillos matemáticos de la reseña anterior Gracias a la pista de la tabla se respondía fácilmente a cuál es el mínimo número de talones necesarios para sumar cualquier cantidad entera en miles entre 1000 y 31000 dólares: Cinco cheques, con las cantidades 1000, 2000, 4000, 8000 y 16000. Estos valores se pueden combinar para obtener todas las cantidades requeridas. Si os fijáis, no son más que las sucesivas potencias de dos: 20, 21, 22, 23, 24. Cualquier número entero puede escribirse como combinación lineal (con coeficientes ) de sucesivas potencias de un número primo p. Esto se llama descomposición p-ádica y tiene mucho que ver con la expresión de los números en diferentes bases de numeración. Así, con el ejemplo anterior, el desarrollo 2-ádico o la expansión binaria de 25 se escribiría como 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20, y en notación más breve: 110012. Para cada número primo, los números p-ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales. Fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897 y se emplean en la resolución de problemas de Teoría de números, Existen muchas propiedades y resultados con estos números, pero por mucho que a uno le gustaría, describirlas excedería los objetivos de esta sección (pero por supuesto el lector interesado podrá ahondar más por su cuenta). Con una potencia más (un talón más), 25, llegaríamos hasta 63 (63000 dólares). No olvidar que en base dos, los coeficientes de la combinación lineal sólo pueden ser ceros o unos. Manejo de la tabla mágica Para “alucinar” un poco a los que no sepan demasiadas matemáticas, se muestra a dicha persona la tabla de adivinación que se incluía en la reseña anterior, se le pide que elija un número de la tabla, y que nos diga en que columnas se encuentra. Nosotros, previa memorización de que la columna A comienza por 2, la B por 16, etc. (es la única fila que no se puede cambiar de orden si queremos que nos salga bien el truco), no tenemos más que sumar dichos valores según las columnas que nos digan, para adivinarlo. Así, el único número presente en las columnas A, C y D, por ejemplo, será el 2 + 1 + 8, es decir, el 11. Podéis construir vosotros mismos tablas similares con más números (y por tanto más columnas) y otros sistemas de numeración (bases tres, cinco, etc.) Queda aún pendiente la respuesta al título de la película española sobre El número de oro. Tenéis un mes más para encontrarla. Hasta la próxima.

Miércoles, 01 de Febrero de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

63. 12. Las personas mienten; los núm3ros, no

El martes 7 de marzo comienza la emisión en España de la serie Numb3rs. Sepamos un poco más sobre ella. Antena 3 televisión ha comprado los derechos de emisión de la serie que el pasado mes presentábamos en esta misma sección, NUMB3RS. La emisión del episodio piloto está prevista en principio para el martes 7 de marzo a las 23:15 (horario que se me antoja poco adecuado si se quiere llegar a la mayor cantidad posible de espectadores, pero ya se sabe que las cadenas televisivas de nuestro país sólo miran por su propios intereses, y deben además pensar que la gente no madruga para trabajar al día siguiente; afortunadamente aún hay aparatos de vídeo). Por otro lado, a pesar de que en su propia publicidad destaquen el producto como precedido de cierta calidad, buenos resultados de audiencia y unos prestigiosos productores, da la impresión de que no se atreven a colocarlo en un horario prime time como se dice ahora. Tampoco sabemos si emitirán la primera temporada entera (13 capítulos), o si no alcanza el share que la cadena se haya marcado, la irán relegando a otras latitudes de la noche, o la hagan desaparecer a los tres episodios (ejemplos hay no muy lejanos en el tiempo y en el dial televisivo, y además de producción propia). En todo caso y mientras dure, vamos a ir adelantando algunos de los aspectos más destacados de cada episodio, siempre desde el punto de vista de las matemáticas involucradas, por si alguno quiere aprovechar su emisión para ilustrar a sus alumnos algunos aspectos de la matemática aplicada a la vida cotidiana, ya que está claro que a nivel de la cadena o de otras instituciones no se va a hacer nada similar a lo que os contaba el mes pasado que se está llevando a cabo en los EE.UU., con bastante aceptación, por cierto. Es una pena, pero ya se sabe que mientras Aquí no haya quien viva y tengamos Grandes hermanos, cocineros infernales y otros profesionales tomateros, no habrá sitio para matemáticos, docentes, ni nada con cierto calado intelectual. Pero eso sí, los telediarios seguirán mostrando lo incontrolados que tenemos a los pobres adolescentes que ellos mismos moldean diariamente. Como toda serie yanqui que se precie, a lo largo de los diferentes capítulos, irán teniendo lugar distintas componendas (léanse líos) entre los personajes principales (romances, peleas, etc.). Como queda dicho anteriormente, pasaré de describir este tipo de asuntos centrándome únicamente en los aspectos fisico-matemáticos. Advertencia Final: Que nadie piense encontrarse, a raíz de los comentarios precedentes, con una serie excepcional. Está bien hecha, es llamativa en algunos aspectos, pero peca de los mismos defectos que la mayor parte de las producciones cinematográficas y televisivas en las que los matemáticos aparecen. Así, Charlie se nos presenta con unas cuantas manías y tics característicos (parece que hay que dotar como sea al matemático de una identidad especial, algo con lo que simplemente con verlo aparecer, cualquiera piense, “ese es matemático”), parte de las resoluciones están algo mitificadas en aras de la espectacularidad, matemáticas explícitas hay las justas, sólo comentarios para no “cansar” demasiado al espectador medio (lo cual a veces produce un cierto halo de misterio e inverosimilitud), etc. Desde estas líneas únicamente pretendemos mostrar lo que de aprovechable para nuestros intereses pueda tener un producto como éste, aunque no nos convenza más que al veinticinco por ciento. Para empezar hagamos una breve sinopsis argumental de cada episodio, en la que procuraremos no desvelar nada trascendental. Para conocer un poco más a los personajes, ver el artículo del mes pasado. Si todo sigue los cauces normales (emisión semanal), en marzo se emitirán cuatro episodios, pero como nunca se sabe, incluiremos esta vez los seis primeros. Ignoro el título que han dado a cada capítulo, por lo que se incluye el título original entre paréntesis. Guía de Episodios de NUMB3RS Episodio 1.- Piloto (Pilot) Para capturar a un violador y asesino en serie, el agente especial del FBI Don Eppes contará (no sin ciertas reticencias) con la ayuda de su hermano Charlie, profesor de matemáticas de la Universidad de California. Éste deduce una ecuación a partir de los datos obtenidos en los lugares donde se cometieron los crímenes mediante la cual acotan la zona en la que presumiblemente se encuentra el domicilio del criminal. Episodio 2.- Principio de Incertidumbre (Uncertainty Principle) Charlie predice con exactitud el lugar en el que una banda de ladrones de bancos dará su próximo golpe. Don y su equipo se apostan allí teniendo lugar un tiroteo en el que mueren cuatro personas. Este resultado disgusta a Charlie que se retira a un garaje familiar para trabajar en un problema matemático que había abandonado un año antes como consecuencia de la enfermedad de su madre. Sin embargo Don necesita su ayuda e intentará que vuelva al caso. Episodio 3.- Vector (Vector) Varias personas residentes en Los Ángeles, sin ninguna relación aparente entre ellos, comienzan a ponerse gravemente enfermos falleciendo todos el mismo día. Don teme que terroristas biológicos hayan desarrollado un virus mortal y lo hayan propagado por el medio ambiente. Mientras investiga quien puede estar detrás de los hechos, Charlie intentará localizar el punto de inicio del brote. Episodio 4.- Daños Estructurales (Structural Corruption) Un estudiante de ingeniería aparece muerto en lo que parece un suicidio. Charlie trata de convencer a su hermano para que lleve a cabo una investigación, sobre todo después de constatar en la tesis doctoral del fallecido el descubrimiento de que un flamante edificio de Los Ángeles es estructuralmente inestable. Aunque en un principio se muestra reticente, Don y sus agentes descubren que el estudiante tenía razón y que detrás de su muerte se encuentra una sorprendente e inesperada conspiración. Episodio 5.- Primo Sospechoso (Prime Suspect) Los agentes Don y Terry comienzan una investigación para esclarecer el rapto de una niña de cinco años en una fiesta de cumpleaños. Cuando se percatan de que el padre de la niña, Ethan, es un matemático, piden a Charlie su colaboración. Charlie entiende el motivo del rapto cuando descubre que el padre está cerca de demostrar la hipótesis de Riemann, un célebre problema matemático sin resolver. Si lo lograra, su solución no solamente le haría ganar un millón de dólares, sino que estaría en condiciones de romper cualquier código de seguridad, en particular, los utilizados en internet para las transacciones seguras o los utilizados por las más poderosas empresas financieras mundiales. Episodio 6.- Sabotaje (Sabotage) Mientras trabaja con la NTSB (Nacional Transportation Safety Board.- agencia norteamericana federal que investiga los siniestros ocurridos en cualquier medio de transporte: aéreos, marítimos, ferroviarios, por carretera, etc.) en el lugar de un accidente ferroviario, Don constata que no es sino uno más de una serie provocada por algún tipo de negligencia. Al descubrir que en estos lugares se ha ido dejado un código numérico indescifrable, llama a su hermano. Al decodificar los números, Charlie descubre que el accidente no es sino una recreación de otro que ocurrió años atrás en el que hubo un único superviviente. Sus investigaciones les llevan a algo mucho más peligroso de lo que sospechaban relacionado con el complejo sistema ferroviario. Comentarios Varios El procedimiento que utiliza Charlie, el matemático protagonista, a lo largo de los diferentes capítulos es muy similar: formula unos modelos a partir de los datos de los que dispone y estima cómo cree que van a derivar. En bastantes ocasiones sus conjeturas iniciales fallarán (no es un adivino), y a partir de nuevos datos y/o la reflexión pertinente, irá ajustando esas estimaciones a las nuevas situaciones. Con ayuda de un ordenador, cotejará visual y numéricamente esos modelos. Frecuentemente se ayudará de análisis estadísticos. Desde el punto de vista del espectador da la impresión de que Charlie siempre hace lo mismo (comentario de un internauta en un blog sobre la serie: “He visto 3 o 4 capítulos, y la verdad es que acaban cansando. Usan casi siempre un “patrón de probabilidades” para calcular el origen del crimen, y cuando se tiran por otro tipo de teoría se enredan tanto que acabas sin tener ni idea de qué están hablando, por no mencionar lo cansino que resulta el matemático con histerias y paranoias que van y vienen y su hiperactividad tan infantil”). Lo que este y la mayor parte de los espectadores no sabe es que el modelo que, por ejemplo, sigue la difusión de un virus, es completamente diferente del que aparece en la elección de los lugares en que un violador ataca a sus víctimas, o del que surge cuando una banda de atracadores de banco pretende que sus fechorías parezcan lo más aleatorias posible. Por eso, entre otras razones, sería interesante realizar nosotros mismos las modelizaciones (dentro de las posibilidades de cada uno, claro) a partir de unos ejercicios dirigidos. Cada uno de los patrones nos lleva a resolver un tipo diferente de ecuaciones o de sistemas de ecuaciones. O a emplear métodos gráficos, numéricos o estadísticos según el caso. (Que conste que el resto de opiniones del blog anterior son más positivas; la anterior es con diferencia la más negativa que he encontrado). En cualquier caso, como se dijo el mes pasado, por muy inverosímil que pudieran parecer los dos primeros capítulos (los que presentan la serie), ambos están basados escrupulosamente en casos reales. En el episodio tercero, Charlie construye una gráfica de una función a partir de los lugares en los que la gente ha ido enfermando. Aunque en principio hace una estimación errónea, pronto se da cuenta de que una propagación aleatoria de un virus provoca una dispersión similar en todas las direcciones; sin embargo en este caso sólo se produce de norte a sur. Una cámara de seguridad demuestra que el villano tomó dos autobuses: uno al norte y otro al sur, y en ellos propagó el virus. Por cierto, después de ver el episodio uno se pregunta, ¿cómo es que el malhechor no enferma?¿será inmune al virus? En este capítulo hay bastantes errores, no desde el punto de vista de las matemáticas, sino de la biología. En el caso del estudiante que cae desde un puente, Charlie tiene claro que no se trata de un suicidio, y comienza su particular investigación. Se cuela en el edificio supuestamente mal diseñado (¿cómo?) y utiliza un sencillo péndulo para refutar o confirmar las afirmaciones del estudiante Lo coloca en el techo de uno de los pisos superiores y se sienta a esperar. ¿A esperar qué, pensará el espectador medio? Un péndulo suspendido se mueve hacia delante y hacia atrás siguiendo una línea recta. Su movimiento depende únicamente de la atracción de la gravedad y del hilo del que cuelga. Su movimiento puede determinarse de un modo sencillo utilizando ecuaciones diferenciales y cálculo elemental. Sin embargo en este caso Charlie se percata de que el péndulo no describe una línea recta, sino una elipse. A lo largo del tiempo, el péndulo, en ausencia de otras fuerzas, va moviéndose según los radios de una rueda (ver comportamiento del Péndulo de Foucault) volviendo finalmente a la línea original. Y pasando de norte a sur al cabo de veinticuatro horas por el movimiento de rotación de la Tierra alrededor de su eje. El que el péndulo de Charlie describa una elipse se explica por la presencia de otro tipo de fuerzas, en este caso, la oscilación del propio edificio. Muchos edificios oscilan por culpa del viento (de hecho hay estudios y casos muy curiosos: edificios a los que inexplicablemente se les rompían los cristales de un determinado lado, puertas que no se pueden abrir porque las corrientes de aire provocan un efecto embudo, etc., y no debido a causas paranormales como muchos podrían pensar, pero en fin, eso es otra historia), pero no con la intensidad que el péndulo describe en este caso. Conclusión: el edificio tiene un grave problema constructivo. Hacia el final del episodio un empleado de la empresa constructora enseña a Charlie una lista de los números de identificación de los obreros que han trabajado en el edificio. Al instante se percata de que hay ciertas repeticiones que no pueden ser aleatorias. En esto los matemáticos sí tenemos cierta deformación al mirar listas de números, lo que nos permite como en este caso inferir que algo puede no ser aleatorio (dentro de que algo lo sea). Del episodio quinto, os podéis imaginar simplemente leyendo la sinopsis: hipótesis de Riemann, uno de los siete problemas del milenio, para el que el Instituto Clay de Matemáticas, institución privada de Cambridge, Massachussets (EE.UU.), ha ofrecido de verdad un millón de dólares al que lo resuelva. Como todos sabréis este problema versa sobre si las partes reales de los ceros (expresados como números complejos) de la función zeta (descrita en el siglo XVIII por Euler) están o no alineados. Y en relación con esto se encuentran los números primos, y su factorización, y los sistemas criptográficos de clave pública, etc., etc., tema del que no os canso porque hay una superabundante bibliografía e información. Por cierto, atentos a los gazapos: en una escena aparece lista de números de muchas cifras que se suponen primos; uno de ellos acaba en 10, que evidentemente no es primo. En el episodio sexto, se habla de otro famoso enigma matemático, el problema P (difícil de encontrar) contra NP (fácil de verificar). Este problema, planteado de modo independiente en 1971 por Stephen Cook y Leonid Levin está considerado como el problema central de la computación teórica. Trataré de explicar en qué consiste de un modo asequible. Hay problemas que se resuelven de un modo determinista mediante algoritmos polinómicos (resolución de ecuaciones, aproximaciones polinómicas a funciones más complicadas, etc.). El tiempo que tardamos en resolver estos problemas puede determinarse también de un modo, digamos, aceptable (polinómico). Estos son los problemas P. Existen también problemas para los que no tenemos una forma cerrada y completa de resolución, sino que tenemos que ir haciendo pruebas con soluciones posibles (casi tanteando, vaya). Son los problemas NP que como sólo requieren una comprobación, se verifican de un modo más rápido, aunque sin la solución completa y redonda de los otros. Claramente todo problema P es también NP, pero ¿existen problemas NP que no sean P? Quizá un ejemplo sea más clarificador: supongamos que se quieren colocar 7000 objetos en 300 estantes, pero de modo que se cumplan ciertas condiciones. El número de alternativas posibles podría ser un número inmanejable, incluso para los superordenadores actuales, por lo que no es posible hallarlas todas (problema P). Sin embargo comprobar si una de las posibilidades es correcta (problema NP) es inmediato. En estos ejemplos, en los que el problema NP es fácilmente comprobable, pero el P parece no existir, ¿será porque éste no se puede resolver o porque aún no disponemos de los medios adecuados? En responder a esta pregunta es en lo que consiste este asunto. Si esto lo relacionamos con los infinitos números primos y la criptografía del anterior episodio, veremos que el tema no es en absoluto estrictamente teórico. En el capítulo del accidente ferroviario vuelven a aparecer los análisis estadísticos, y además la sucesión de Fibonacci y la razón áurea, tema también muy recurrente en la literatura no sólo matemática, sino también en la de evasión (El Código Da Vinci) o en la de usar y tirar (esoterismos que proponen que las Pirámides no se pueden construir hoy con nuestra tecnología y que guardan mágicos poderes; para certificarlos sus constructores las dotaron de unas dimensiones inimaginables en la época, el número de oro y bla, bla, bla). Bien, el próximo mes más, y veremos si seguimos hablando de esta serie o no. Si os parece bien, podemos incluir un espacio dedicado a vuestras opiniones sobre esta serie o detalles de los que queráis conocer más información, en fin algo tipo blog, pero más modesto. Como siempre podéis enviarlos a la dirección alfonso@mat.uva.es. Cuando terminaba estas líneas recibí un correo electrónico de Alberto Castaño, un internauta seguidor de esta sección, con algunas de las respuestas de El juego de los doblajes penosos planteado el mes pasado. Hola, ¿qué tal? A ver si consigo acertar alguna (...). Primero la película. No tengo ni pajolera idea, la verdad, así que a la siguiente. La traducción. Yo habría dicho: "Pérdida de agua por fricción en pies por cada cien pies de longitud de cañería. Se supone un tamaño estándar de cañería de cien pulgadas." O algo así. El 600, diría que viene de 600 galones, y aunque no me convence, es lo que veo más probable al tratarse de una película estadounidense (realmente no sé esto último, pero es lo más probable); pero ya podrían haber traducido ambas cifras. No me termina de convencer porque, según la wikipedia (lo que más a mano tenía), "en Estados Unidos, un galón equivale a 3,785411784 litros, y ese valor de galón es el que predomina en uso actualmente". Y ahí viene el problema. Según ese número, 600 galones son 2271,24707 litros, no 2000. Por último, el cálculo. Mis conocimientos de ingeniería son más bien escasitos (excusa que también sirve para la traducción), así que no lo sé, aunque visto el nivel, diría que no. Pues nada más. Un saludo. En efecto, en la versión original se dicen 600 galones, que no se sabe porqué en los doblajes al castellano se pasan en muchos casos a litros. Deben creerse que el espectador español sólo sabe de los galones militares. Claro, no iban a decir 2271 litros, sonaría extraño, y se redondea a 2000 y en paz. Tu traducción es exacta, y no la chapuza que hicieron de nuevo en el doblaje. Muy bien, Alberto. Respecto a la película, sigamos el juego con alguna pista más. El protagonista, fallecido bastante joven, ha interpretado varios títulos en los que los adjetivos son, digamos, muy ostentosos; también ha tenido que ir a la carrera en bastantes ocasiones, y ha formado parte de un grupo definido por un número primo. Su compañera en la película que buscamos, un atractiva actriz aun en activo, se encuentra diseñando como se deduce de la escena una fuente, y las iniciales de su nombre recuerdan una marca de una bebida muy conocida en nuestro país. Respecto al año de producción de la película podemos decir que ese número dividido entre la suma de sus cifras es una cantidad entera de dos dígitos que resulta ser el doble del mayor de los factores primos del número completo (el del año). Con estas pistas, a ver si dais con su título.

Miércoles, 01 de Marzo de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

64. 13. Todo es número

Adelantamos unos días nuestra cita mensual para avanzar a tiempo los contenidos de los capítulos finales de Numb3rs. Vistos ya algunos, es un buen momento para incluir una pequeña crítica sobre la serie y cómo se está emitiendo, la visión de algunos medios de comunicación sobre la misma, y los comentarios que vosotros nos habéis hecho llegar. Dada la extensión del artículo, posponemos de nuevo las soluciones a los concursos que tenemos pendientes. Como ya se habrá percatado el seguidor de esta serie, Antena 3 decidió emitir los capítulos de Numb3rs a pares. El mes pasado se comentaron los seis primeros capítulos, de los trece de que consta la primera temporada, con lo que este artículo no debería tener sentido hasta dentro de una semana, pero, inexplicablemente, la cadena emitió el pasado martes 14 de marzo los episodios 3 y 5, con lo que en teoría los próximos serán el 6 y 7, o quizá el 4 y el 13, o vaya usted a saber cuáles (el caso es que aquí las reordenaciones no sirven porque las series televisivas solo convergen absolutamente cuando argumentos y protagonistas son independientes de un capítulo a otro, y en este caso los segundos tienen una vida que no se puede alterar con discontinuidades, aunque sean de tipo finito), o si se emitirán más o en qué horario, porque las televisiones han hecho suyo uno de los lemas de la serie (Todo es número), pero aplicado al número de espectadores, porque no entienden ni atienden a otra cosa. Así que, redacto a toda prisa algunas de las “pistas” de tipo matemático de los capítulos 7 al 13 y acabamos antes. Pero antes permitidme algunas consideraciones personales. Qué me parece la serie La CBS produjo Numb3rs con la intención de contrarrestar el éxito de Lost de la cadena rival ABC. Con el antecedente de C.S.I., la verdad es que no se devanaron demasiado los sesos, sólo cambiaron la medicina forense por las matemáticas; los argumentos, similares. No obstante debieron suponer que no era suficiente, y que como el espectador medio no iba a captar ciertos detalles, sería mejor que no se distrajese demasiado no fuera a ser que le diera por cambiar de canal, así que decidieron no dar un minuto de respiro a la imagen e impusieron un ritmo desquiciantemente frenético, con estética de videojuego (sobre todo el primer capítulo; el resto parecen más normales). Lo cual no deja de ser paradójico: se preocupan de contratar asesores matemáticos cualificados para presentar problemas matemáticos reales y luego no nos dejan reflexionar sobre lo planteado. Incluso a personas que trabajan a diario con algunos de los temas que aparecen, les cuesta seguir los desarrollos. Para el espectador medio, todo esto, desgraciadamente, remarca el carácter seudo-esotérico de nuestra disciplina. Desde el punto de vista de la puesta en escena de las matemáticas, pocas novedades. En algunos momentos se fusilan escenas de otras películas (luego se dirá que son homenajes). Por ejemplo, la estudiante a la que dirige Charlie la tesis, en el episodio piloto, admira una pizarra repleta de expresiones matemáticas escritas. Entonces coge un post-it en el que escribe “Do not erase” (No borrar) y lo pega en el encerado. Revisad Ultimátum a la Tierra (The day the Earth stood still, Robert Wise, EE. UU., 1961) y comparad. O los fogonazos que muestran como trabaja la mente de Charlie (idea falsa a mi entender de cómo un matemático encuentra su, llamémosla “inspiración”, consecuencia normalmente de muchas horas de trabajo), similares a los que pone en escena Ron Howard en Una mente maravillosa. Pero quizá sea porque uno no ha conocido a ninguno de esos brillantes genios que proponen las películas. Tampoco me gustó esa frenética reacción de Charlie en el segundo episodio colocando en el garaje de su casa pizarras en posiciones absurdamente inverosímiles y escribiendo en ellas a una velocidad más propia de un “freaky” que de lo que pretende ser. Y que decir del físico amigo de Charlie (“Bizcochito” de Ally McBeal), lo más ñoño, arquetípico e infumable de la serie, con diferencia. Respecto a lo que atañe a la emisión en nuestro país, vuelvo a quedar un tanto decepcionado con el doblaje. Sé que en España se hacen muy buenos doblajes, y es verificable en la mayor parte de los casos. Pero yo no sé qué pasa en las cuestiones técnicas, sobre todo científicas, que no se molestan en consultar algunas expresiones más especializadas. Señores del doblaje, Graph Theory es Teoría de GRAFOS, no teoría de Gráficos, que aparte de no existir, correspondería a Graphic Theory (episodio 3).Y Number Theory es Teoría de NÚMEROS, no teoría Numérica (episodio 5). No quiero ni pensar cómo se habrán traducido otras frases que no den tanto al ojo. En cuanto a la emisión propiamente dicha por Antena 3, qué quieren que les diga que no sea evidente. Que dicen a una hora y empieza a otra (el martes pasado se anunció a las 23:00, y a las 22:45 ya había empezado), que como se dijo anteriormente el orden de los episodios no es el original (se han “comido” el cuarto), que nos abrasan a anuncios sin haber acabado los títulos de crédito o quedando dos minutos para finalizar (no son dos anuncios, son casi veinte minutos; el que graba quitándolos lo sabe muy bien), que uno no sabe cuando empieza el segundo capítulo de la noche porque ni siquiera meten el título. Pero en fin esto pasa con casi cualquier programa de cualquier cadena. Y luego pretenderán enganchar a la audiencia. Un colega, comentando aquello de que con una serie así podría aumentar la vocación matemática, me dijo el otro día: No, lo que puede aumentar es la vocación por ser policía,…., y tener un hermano matemático que le resuelva los problemas. Qué ha dicho la prensa Tratando de ser ecuánime, he ido mirando la opinión de críticos de periódicos de diferentes tendencias e ideologías (los pongo por orden alfabético, para que nadie se enfade: ABC, El Mundo, El Norte de Castilla, El País y La Razón). Es esperanzador que al menos en un tema coincidan: serie de calidad, monopolio temático de las series norteamericanas de investigación variando la destreza técnica aplicada, y alguna que otra puyita a esta disciplina. Os lo resumo y que cada uno saque sus propias conclusiones. José Javier Esparza (ABC y El Norte de Castilla) es, para mi gusto, el único que se ha molestado en razonar algo medianamente. Califica el producto de original en su planteamiento, pero cuestiona que se puedan enseñar las matemáticas de forma precisa debido a su propia naturaleza: Es un ejercicio inútil. Todo lo más el narrador podrá emplear metáforas concretas para expresar el planteamiento inicial del cálculo matemático, [..] (de ahí hasta) la fórmula matemática [..] se requieren pasos lógicos [..] que no se pueden explicar en una serie de ficción (9/3/2006). Critica que la cadena emita la serie coincidiendo con otras de otras cadenas también de interés (10/3/2006). Sergi Pámies (Sección A la Parrilla, en El País) define a Charlie como una especie de Iker Jiménez de las mates, [..], matemático en trance que resuelve incógnitas asesinas basadas en pautas variables. Acaba preguntando, ¿resultaría igual de interesante una serie de matemáticos en la que un policía resolviera los grandes interrogantes del universo? Responde negativamente ya que predecir el próximo crimen de un psicópata es más emocionante. Y cita a Ionesco: sólo se puede predecir lo que ya ha sucedido. (9/3/2006). El 16/3/2006 en la misma sección, escribe: Parece el enunciado de uno de los viejos problemas de la escuela: si dos cepas del mismo virus viajan en direcciones distintas, ¿a cuántas personas son capaces de matar? Javier Pérez de Albéniz (Sección El descodificador, en El Mundo) dice que Numb3rs es el ejemplo perfecto de serie policíaca especializada hasta la locura, [..] porque utiliza algo tan concreto como las ecuaciones matemáticas. (el subrayado es mío).Como lo oyen. Unas sumas y restas, unas raíces cuadradas, pizarras abarrotadas de números y… los polis pueden llegar a saber el día, la hora y el lugar en que se va a cometer un atraco. Esta claro que este señor ni sabe lo que son las matemáticas, ni se ha enterado del argumento del episodio ¿2?. El segundo capítulo dejó ver algunas debilidades en la columna vertebral de la serie. Por ejemplo que el verdadero protagonista es el matemático, un tipo triste que ni siquiera está en nómina del FBI (ahora el subrayado lo pone el periodista). Menos mal que acaba en positivo: una producción mucho más que aceptable que resulta perfecta para desconectar de la telebasura nuestra de cada día. (9/3/2006). Finalmente, Cecilia García (La Razón), empieza, Odio las matemáticas, pesadilla recurrente desde aquella infancia de sumas y restas que no cuadraban (otra que se quedó en que aritmética = matemáticas). Sin embargo dice que Numb3rs la ha reconciliado con esta asignatura, quizá porque el protagonista es Rob Morrow[..] o lo más probable es que los productores la hayan engatusado con su vistosa forma de rodar las tramas. Coincido con ella en su comentario final respecto a la confusión en el rodaje entre movimiento y prisas. (9/3/2006) Las audiencias En la primera emisión (7/3/2006), Numb3rs fue el octavo programa más visto con una audiencia media de 2.664.000 espectadores y una cuota media del 17.3 % (lejos de los 4.673.000 espectadores de El comisario). En su segunda emisión (capítulos 3 y 5), el primer episodio tuvo una audiencia media de 2.584.000 televidentes y una cuota media del 14.5 %, mientras que el segundo tuvo 2.118.000 y un 18 %. La Razón (14/3/2006) hace una radiografía de este segundo capítulo situando su audiencia máxima en 3.104.000 espectadores (20.3 %). Asimismo establece que Canarias fue la comunidad que más siguió este episodio (18.6 %) seguida de Cataluña (17.7 %). Por sexo parece que atrajo a más mujeres (57.6 %) que hombres (42.4 %). Vuestra opinión Luis M. Pardo, un compañero de la Universidad de Cantabria es la única persona que me ha escrito un correo por el momento. En dos atentos mensajes me pega un pequeño tirón de orejas, porque en el comentario del segundo capítulo no detallé demasiado la conjetura de Cook (problema P contra NP) y su relación con el juego del buscaminas, y sin embargo conté algo estrictamente de la Física (el problema de indeterminación de Heisenberg). Esta conjetura la abordé después en otro capítulo, ya que Charlie siempre que se deprime, se refugiará en tratar de resolver este problema, por lo que aparecerá varias veces. Pero ciertamente, la relación del asunto con el juego del buscaminas es interesante y debería de haberla tratado, pero ese capítulo en concreto no lo había visto previamente, así que desconocía que saldría. Noticia El viernes 17 se estrena por fin Proof (ver reseña de Diciembre y Enero) con el alucinante título de La verdad oculta. Os paso la valoración de Teófilo el Necrófilo del equipo de Lo que yo te diga en la Cadena Ser: LA VERDAD OCULTA Director: John Madden Intérpretes: Gwineth Paltrow, Jake Gyllenhaal, Anthony Hopkins, Hope Davis Nacionalidad: USA Catherine acaba de perder a su padre, un prestigioso matemático del que ella tiene la sensación que nunca llegó a conocer. En su vida entra un antiguo alumno de su padre con el que comienza una relación, mientras los dos intentan buscar todos los apuntes y documentos que dejó el prestigioso matemático. La aparición de una hermana de Catherine provocará que la ausencia del padre sea más dolorosa. Gwineth Paltrow vuelve a trabajar bajo las ordenes de John Madden, con el que ganó el Oscar a la mejor actriz por "Shakespeare enamorado". La Paltrow consiguió la nominación en los pasados Globos de Oro por este papel. Con un 7, es una de las Favoritas de Teo. Guía de episodios de Numb3rs (2ª parte).- Capítulos 7 al 13. Como hicimos en la reseña anterior, daremos una breve sinopsis del episodio procurando no revelar nada trascendental, junto a los aspectos matemático-físicos incluidos en el argumento. Dado que describir éstos con detalle nos ocuparía mucho espacio, y seguramente no serían todo lo precisos que debieran, se incluyen en algunos momentos enlaces a lugares en los que están perfectamente descritos, procurando dentro de lo posible que sean en español, y que cada cual explore lo que más le interese. Episodio 7.- Realidad Falsificada (Counterfeit Reality) Sinopsis: El FBI investiga la aparición de unos billetes falsos de pequeño valor. Don averigua que los falsificadores retienen a una artista para que les haga los dibujos de estos billetes. Enseguida se percatan de que, si no les localizan pronto, se desharán de ella cuando haya terminado su trabajo. Saben que han asesinado hasta el momento al menos a cinco personas, dos de las cuales les habían robado parte del dinero falso. Los modelos Guilloché son diseños de tipo espirográfico (ver imagen) formados al entrelazar dos o más curvas dentro de otra curva interior y otra exterior. Se utilizan en billetes de banco, pasaportes y otros documentos de seguridad para evitar falsificaciones. Para los billetes, las técnicas empleadas por cada país son diferentes. La imagen es una serie de sumas y productos de varias sinusoides con periodos diferentes y representada en coordenadas polares. Charlie hace el siguiente razonamiento en este capítulo: “Piensa en el artista como si fuera un corredor por la playa. Éste deja sus huellas en la arena, que indican cualquier decisión que toma. Más rápido, más lento, más cerca del agua,.. Un segundo artista quiere copiar el original, un segundo corredor. Si intentara seguir exactamente el mismo recorrido que el primero, no podría, es imposible, por muy cuidadoso que sea. No puede casar sus huellas, dejando rastros de su acción. Diferentes tamaños de pie, diferente zancada,…, así es como hay que coger al falsificador”. Este razonamiento le sirve para justificar el análisis de los dibujos de los billetes mediante wavelets. La transformada wavelet consiste en comparar una señal con ciertas funciones wavelet, las cuales se obtienen a partir de las wavelet madre. La comparación permite obtener unos coeficientes que son susceptibles de interpretación y posterior manipulación. Un requisito básico es la posibilidad de invertir la transformada, recuperando la señal a partir de esos coeficientes wavelet calculados. El análisis wavelet es capaz de mostrar aspectos de la señal que otras técnicas no logran encontrar. El cálculo de la transformada wavelet para todas las posibles escalas supone una gran cantidad de información. Escoger solo aquellas escalas y posiciones que resulten interesantes para ciertos estudios es una tarea difícil. Si se escogen aquellas escalas y posiciones basadas en potencias de dos, los resultados serán más eficaces. Este análisis se denomina DWT. También en este capítulo conoceremos algo del pasado de Don, veremos a Larry desaparecer de una compañera (profesora de historia de la Ciencia) con la que ha tenido una relación sentimental (se esconde en el departamento de matemáticas porque según él es el lugar menos libidinoso de todo el campus) y comprobaremos lo audaz que es Don entrando en el cubil de la banda sin casco de protección al revés de todos los que le acompañan (¡hay que lucirse un poco!) Episodio 8.- Crisis de Identidad (Identity Crisis) Sinopsis: Un hombre buscado por fraude es encontrado muerto en su apartamento. El crimen es muy similar a otro cometido un año antes en el que Don cerró el caso gracias a la confesión de un ex convicto. Para asegurarse que en aquella situación no mandó a la cárcel a un inocente, decide volver a investigar aquel caso. Pide ayuda a su hermano para comprobar si en aquel momento se dejó alguna evidencia sin considerar. En este episodio encontramos varios tópicos de interés: el análisis de probabilidades en el póker, los esquemas de venta piramidales, el doblado de papel, las huellas dactilares y el gato de Schrödinger. En http://www.poquer.com.es/probabilidades-poker.html, podéis ver la importancia de las probabilidades en este juego desde el punto de vista de un jugador sin conocimientos matemáticos. Luego, si deseáis profundizar un poco más, cualquier libro de calculo de probabilidades elemental os puede dar las pistas necesarias para echar unas cuentas. Todo el mundo conoce en qué consiste la venta piramidal (actualmente prohibida en nuestro país debido a los fraudes y estafas a los que ha dado lugar) y algunos hasta habrán sufrido las consecuencias. Básicamente se trata de reclutar gente que ayude y contribuya a vender un producto comprometiéndose a su vez a enganchar a otros tantos. El gancho es grandes beneficios con poca inversión económica (que no en tiempo, que muchas veces es más valorable). El problema es que a partir de un momento, el promotor no tiene suficiente dinero para pagar a los nuevos inversores; entonces la gente pierde el dinero y el sistema se colapsa. El “inventor” de este tipo de modelos fue el emigrante italiano Carlo Ponzi que en 1920 pretendió ganar mucho dinero (y al principio lo logró) a cuenta de la venta de bonos por correo aprovechando los ventajosos cambios de moneda de diferentes países. El estafador del episodio resultará un poco más sofisticado y cuidadoso. Suponiendo que fuera posible doblar un papel a la mitad las veces que quisiéramos, la altura del trozo de papel se iría multiplicando por dos con cada doblez. Un folio DIN A-4, por ejemplo, de un grosor aproximado de 0.1 mm., doblado 50 veces (si ello fuera físicamente posible) nos proporcionaría un trocito cuya altura sería de 2.25 x 1011 metros (calculadlo si queréis), es decir, 2.25 x 108 km., y esto es un grosor mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol que es del orden de 1.5 x 108 km. La función L(n) = (1/6) π d (2n + 4)(2n - 1) (donde d es el grosor del papel y n el número de dobleces que se realizan en una dirección dada), nos da la cantidad de papel que se va perdiendo al ir doblando el trozo del que se parta a la mitad, y establece un límite al número de veces que un objeto de espesor finito puede ser doblado en una misma dirección. La fórmula fue deducida por la estudiante de secundaria Britney Gallivan en Diciembre de 2001(nombrada por Charlie en el capítulo; en la foto podemos verla). En enero de 2002 estableció un nuevo record en el doblado de papel a la mitad (12 veces) echando por tierra las afirmaciones que aseguraban que no era posible lograrlo más de 8 veces. Hay muchos problemas matemáticos propuestos sobre el doblado de papel (y no sólo dentro de la matemática recreativa). Dejando a un lado la creación de figuras más o menos vistosas (el Origami japonés o la papiroflexia para nosotros), la construcción de polígonos regulares por estos procedimientos está sólo parcialmente resuelta (triángulo, pentágono, hexágono, heptágono, octógono y decágono por el momento). Se desconoce el número mínimo necesario de dobleces para construir un n-ágono, para n ≥ 4. Sólo se conocen cotas de este valor. Respecto a las huellas dactilares, ¿pueden dos personas diferentes tener las mismas huellas? No hay indicios de que esto haya sucedido nunca, pero teóricamente no es imposible. En la web hay montones de artículos relacionados con este tema. En la comparación de huellas se cotejan una serie de detalles de acuerdo con diferentes sistemas de clasificación. Si nos fijáramos en 10 puntos, y cada uno pudiera tener 10 valores distintos, tendríamos 1010 posibilidades diferentes. Es poco probable que dos personas coincidieran. Lo que no es tan raro, como apunta Charlie, es que un fragmento de una huella coincida en dos personas distintas. Cuanto menor sea el fragmento de huella disponible, más posibilidades hay de que coincidan. Es el caso presentado en este episodio (no desvelaré quien es el “malo”, pero lo sé, que conste). Finalmente aparece una referencia a la paradoja conocida como “el gato de Schrödinger”. Edwin Schrödinger (1887 – 1961) fue uno de los más importantes físicos del siglo XX, particularmente por sus trabajos en el desarrollo de la mecánica cuántica. En la página http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-31/RC-31.htm, podéis leer de un modo muy asequible la descripción de esta famosa paradoja. Episodio 9.- Francotirador Cero (Sniper Zero) Sinopsis: La ciudad está conmocionada por culpa de un francotirador emboscado que dispara aparentemente de forma aleatoria, y mata a la gente por la calle, entre ellos, a un empleado de correos. La investigación revela que hay más de un sujeto disparando. Charlie se siente un poco incomodo con un colaborador de Don, especialista en casos de este tipo. Los expertos estiman entre 5 y 6 días el periodo de tiempo mínimo necesario para que un francotirador se prepare para ejecutar su acción (fundamentalmente, elegir el lugar idóneo tanto para alcanzar su objetivo como para asegurar su pronta escapada). Suponiendo que fueran 6, tardaría 12 días en preparar dos atentados, 18 para tres, …., 42 días para siete objetivos distintos. Si fueran dos los tiradores, comportándose cada uno de acuerdo con ese modelo, podrían llevar a cabo 13 ataques en esos 42 días (suponiendo que no actúan el mismo día; si no, 14). Aparece entonces el posible imitador: si un francotirador logra imbuir miedo a la gente y que aparezcan noticias sobre sus acciones en los medios de comunicación, puede “animar” a otros potenciales asesinos (en una población grande, hay una cierta cantidad de desequilibrados) a seguir sus pasos. Y las fechorías de todos estos copiones, anima a su vez a otros, incrementando el número de maniacos, siguiendo ¿qué modelo? Parece claro que el número de ataques va a ser proporcional al número de individuos, los cuales aumentan proporcionalmente al número de los ya existentes. Claramente esto sigue una pauta exponencial. Si llamamos y(t) al número de francotiradores que hay en el instante t, la variación en su número, y’(t) = k·y(t), es decir, es proporcional a los que ya hay. Resolviendo esta sencilla ecuación diferencial, tenemos que y(t) = c0·ekt, siendo c0 una constante. En nuestra vida cotidiana, el crecimiento exponencial se presenta en aquellas situaciones que escapan a nuestro control creciendo muy deprisa: propagación de epidemias, enfermedades (las células se reproducen de forma exponencial en nuestro organismo; el cáncer por tanto se extiende de ese modo), el dinero puesto a interés compuesto (el pago continuado de intereses en un periodo muy largo de tiempo es prácticamente imposible de afrontar; esto explica porque los bancos ofrecen intervalos de tiempo relativamente pequeños), las listas de correo (el conocido sistema de re-enviar un mensaje a seis personas, y éstas a su vez a otras seis), etc. También se mencionan algunos procedimientos relacionados con la balística. Episodio 10.- Bomba Sucia (Dirty Bomb) Sinopsis: Una banda roba un camión cargado con material radiactivo, amenazando con lanzar sobre Los Ángeles una “bomba sucia” si no se les paga veinte millones de dólares en las próximas doce horas. Mientras Don intenta localizar el camión robado, Charlie especula con el lugar más probable en el que tirarían la bomba para tratar de minimizar el daño producido a la población. El dilema del prisionero es el tópico sobre el que gira en esta ocasión la parte matemática del capítulo (la teoría de juegos es la rama de las matemáticas que analiza este tipo de cuestiones). Charlie explica en que consiste a algunos de los miembros de la banda para que inculpen a los demás y a su jefe. El dilema del prisionero a grandes rasgos se explica así: dos personas son sospechosas de haber cometido un delito. Se las mantiene incomunicadas en todo momento. En el interrogatorio se les informa de que hay evidencias de que ambos son culpables, aunque no hay pruebas por lo que la policía necesita una confesión. Se ofrece a cada uno la posibilidad de elegir entre confesar la autoría del crimen involucrando a su compañero o de no hacerlo, teniendo en cuenta lo siguiente: si ninguno de los dos confiesa, ambos estarán un año en la cárcel; si uno confiesa y el otro no, el colaborador sale libre y el delatado “disfrutará” de tres años “a la sombra”; si los dos confiesan, ambos tendrán dos años de cárcel. Analizando la situación aparentemente lo más rentable parece colaborar (la pena estaría entre 0 y 2 años, mientras que el no hacerlo podría llevarnos hasta los 3 años, dependiendo de lo que hiciera el otro). Sin embargo, si ambos razonaran con lógica, prescindiendo de egoísmos personales, lo mejor para ambos es no colaborar (sólo un año para cada uno: equilibrio de Nash, ya sabéis el de Una mente maravillosa (Ron Howard, EE. UU., 2001)). ¿Qué hacer? De lo dicho se sigue que en realidad lo que aparece en el capítulo no es el dilema del prisionero porque los individuos se encuentran en la misma habitación y Charlie malmete a unos en contra del resto, táctica opuesta en realidad a la sugerida por el dilema del prisionero. Charlie trata de convencer para que colaboren a los que más tienen que perder. En internet puede encontrarse un montón de información sobre el dilema del prisionero. Episodio 11.- Sacrificio (Sacrifice) Sinopsis: Un investigador de ciencias de la computación que se encuentra trabajando en un proyecto clasificado del Gobierno es hallado muerto en su casa teniéndose la certeza de que algunos datos de su ordenador han sido robados. La investigación revela además que la víctima se encontraba en trámites de divorcio y estaba intentando que su esposa no recibiera cantidad económica alguna. Lo más relevante del capítulo tiene que ver con los algoritmos. Un algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema en tiempo finito. En nuestra vida cotidiana, no sólo en matemáticas o en informática, utilizamos algoritmos constantemente. Por ejemplo, el manejo de una lavadora o cualquier otro aparato eléctrico (siguiendo las instrucciones del fabricante) o cocinando una comida (seguimos los pasos de la receta en un determinado orden). En matemáticas, por supuesto, se utilizan algoritmos casi continuamente: al dividir dos números (algoritmo de la división), al calcular el máximo común divisor de dos números (algoritmo de Euclides), al resolver sistemas de ecuaciones lineales (algoritmo de Gauss), para localizar aproximaciones numéricas a las raíces de una ecuación (bisección, regula falsi, secante, newton, punto fijo), etc. La palabra algoritmo proviene de una mala pronunciación (“algorismi”) del nombre del matemático persa del siglo IX, Al-Khowarizmi, al que se considera “el padre del álgebra” (al.jabr, reemplazar). Charlie habla en una escena de Sabermetrics (no he encontrado traducción al castellano; a saber con que nos sorprenden en esta ocasión). En sus propias palabras, “Sabermetrics es el análisis del juego del béisbol a partir de datos objetivos, normalmente estadísticos. El término proviene del acrónimo SABR” (Society for American Baseball Research). Por otro lado se incluyen referencias a la ingeniería y a la física (relacionándolas también con la estadística) más que con las matemáticas propiamente dichas. Hacia el final, se hace una reflexión sobre la ética de la investigación matemática (y científica, en general). Charlie dice: “Siempre he pensado que es mi deber desarrollar herramientas matemáticas para que alguien las utilice sabiamente. ¿Estoy equivocado?” Su amigo, Larry, el físico (“Bizcochito”), le planta el archi conocido ejemplo de la investigación nuclear, contraponiendo los efectos de la bomba atómica de Hiroshima frente a los avances en ese campo contra enfermedades como el cáncer. En fin, un asunto muy manido (que Charlie no debería a su edad ni plantear, pero ya se sabe como son los guiones de este tipo de series). También parece un poco excesivo afirmar que “Todo es número” sería un buen lema para Las aventuras de Sherlock Holmes. En fin, afrontemos comentarios así con una disimulada sonrisa. Episodio 12.- Borde Ruidoso (Noisy Edge) Sinopsis: Don y el agente Weston de la NTSB (ver resumen del capítulo 6) investigan los testimonios de varios testigos que dicen haber visto un misterioso objeto volando peligrosamente cerca de un barrio de Los Ángeles, relacionándolo con un ataque terrorista. Charlie descubre que el citado objeto es parte de una nueva tecnología que podría revolucionar el transporte aéreo. Sin embargo la investigación dará un giro inesperado cuando descubren que el ingeniero encargado del desarrollo de estos prototipos está muerto. En esta ocasión las matemáticas presentadas se relacionan con el tema del procesado de señales, en concreto con la obtención de determinados datos a partir de la recepción de ondas electromagnéticas. Un transmisor de radar envía ondas en una frecuencia concreta. Al golpear un objeto son devueltas (en ambos casos a la velocidad de la luz) y procesadas por un detector de radar. Midiendo el tiempo que tarda es posible estimar electrónicamente a qué distancia se encuentra dicho objeto. Como el ángulo del transmisor también es conocido, es posible además saber la dirección en la que se encuentra el objeto, e incluso si el objeto se mueve, la velocidad a la que lo hace. Hasta aquí todo perfecto. El problema surge al aparecer el “ruido”, perturbaciones diversas provocadas por múltiples factores: la irregularidad del objeto, interferencias diversas durante el recorrido de la onda, detecciones de otras señales extraviadas que se confunden con la nuestra, etc. Es como cuando a veces sintonizando la radio oímos “algo” que no esperamos (ruido estático). Por otra parte si el objeto al que enviamos la señal es grande (un avión) el eco que refleja es tan fuerte que el ruido es despreciable en comparación; si fuera un avioncito teledirigido, el ruido puede ser, en cambio, mayor que la señal del dicho avión. ¿Cómo distinguir entonces ese ruido de la onda que deseamos? Una forma es mediante filtros (recuérdese una escena de la película Contact (Robert Zemeckis, EE. UU., 1997) en la que se trata de captar un posible mensaje enviado desde una estrella). El ruido suele proceder de frecuencias altas, mientras que las ondas reflejadas por un objeto lo son de baja. Para señales electrónicas se utiliza un detector, para las digitales, el ordenador, que emplea potentes algoritmos numéricos de análisis de Fourier. En el capítulo, Charlie se enfrenta al ruido provocado por una sala llena de gente aplaudiendo; una de esas personas, justo la que se quiere detectar, lo hace más lentamente. El método no es infalible porque puede aparecer algún sonido similar al que se busca (fenómeno conocido como aliasing). En estos casos, cuando la señal es tan débil que el filtrado no puede aplicarse, se recurre a técnicas estadísticas, tratando de identificar esa señal con otras “similares” (correlación de datos). Esto entraría dentro de la llamada Física Estadística (en concreto en el Procesado Estocástico de Señales). Episodio 13.- La caza del Hombre (Man Hunt) Sinopsis: Un peligroso individuo escapa de prisión cuando el autobús que lo traslada tiene un accidente. El FBI teme que intente vengarse del testigo cuya declaración lo envió entre rejas. Sin embargo, descubren que atrapar al escurridizo asesino no va a ser tarea sencilla. Don forma equipo en esta ocasión con el agente Billy Cooper, su anterior compañero de la Sección especializada en fugitivos del FBI, lo cual le hará recordar momentos no especialmente gratos, que comienzan a afectarle en su comportamiento. En un momento del capítulo, Charlie aparece dando una conferencia dentro de un curso denominado “Matemáticas para no matemáticos”, presentando el conocido como problema de Monte Hall. La tal Monte Hall era la presentadora de un popular concurso televisivo en el que se le ofrecía al concursante elegir una de tres puertas. Una de éstas guarda un flamante automóvil y las otras dos cabras, una para cada puerta. La presentadora sabe donde está el coche, y propone al concursante que elija una puerta. A continuación, la presentadora abre una de las otras dos puertas, una de las que contiene una cabra, y entonces le ofrece la posibilidad de cambiar su elección inicial. ¿Debe hacerlo? O dicho de otro modo, ¿Cuál es la probabilidad de ganar el coche si cambia de opinión y cuál si la mantiene? Aunque parezca trivial, la cosa tiene su miga (de hecho ha dado origen a la llamada paradoja de Monte Hall). Muchos (incluso algunos matemáticos) dirán que la respuesta a ambas cuestiones es idéntica, dado que el nuevo espacio muestral sólo contiene ahora dos opciones. Pero analicemos un poco más detalladamente la situación. Designemos por A el lugar en el que está el automóvil y C1, C2 donde están las cabras. Inicialmente tenemos tres posibilidades: (A, C1, C2), (C1, A, C2) y (C1, C2, A), de modo que al elegir una cualquiera de las puertas, la probabilidad de acertar es 1/3 (y 2/3 la de fallar). Pero al abrir una de ellas, una de las de la cabra, el concursante se encuentra en la siguiente situación: 1.- Si ha acertado en su elección, y la mantiene, gana; si cambia, pierde. 2.- Si ha elegido la correspondiente a C1, gana si cambia de opinión; si no, pierde. 3.- Si ha elegido la correspondiente a C2, gana si cambia de opinión; si no, pierde. De estas tres opciones, si cambia de opinión tiene probabilidad 2/3 de ganar, mientras que siendo fiel a su elección inicial, sólo 1/3. Aunque parezca poco intuitivo, si uno hace una simulación con un amigo (que hace de presentador que sabe donde se encuentra el premio), y repite varias veces, primero sin cambiar de opción y luego el mismo número de veces (doce veces de cada puede ser suficiente) cambiando, comprobará que, en efecto, uno acierta más veces cuando cambia que cuando se mantiene en la primera opción. En http://www.shodor.org/interactivate/activities/monty3, podemos hacer dicha simulación (la opción why? contiene material escrito para trabajar en clase y generalizaciones discutidas del problema; what? presenta el problema, y how? indica cómo se juega). En todo caso, no estaría de más que uno recordara los conceptos de esperanza matemática y probabilidad condicional para echar una pequeña cuenta que le despeje cualquier tipo de duda al respecto. El segundo tópico aludido en el capítulo es el de procesos de Markov y el teorema de Chapman-Kolmogorov. Un proceso de Markov es un modelo probabilístico adecuado para describir el comportamiento de unos determinados sistemas. En el episodio que nos ocupa, el sistema está formado por tres vehículos (un camión, una furgoneta de reparto y el furgón de los presos) que en un momento dado interaccionan. Charlie utiliza una matriz en la que se describen las probabilidades que cada uno de los tres tiene de comportarse de un modo determinado (seguir por su carril o invadir el contrario) en diferentes intervalos de tiempo. El teorema de Chapman-Kolmogorov es un conocido resultado (normalmente se utiliza sin darle el nombre) que establece que la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la potencia n-ésima de la matriz de transición de un paso. Discutiendo con su amigo Larry deducen a partir de la matriz resultante que el accidente ha tenido poco de aleatorio (cosa evidente para el espectador que ve las imágenes del mismo o para cualquier investigador medianamente despierto). Los procesos de Markov son una herramienta utilizada, entre otros campos, en el del modelado de sistemas de computación.

Sábado, 01 de Abril de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

65. 14. ¿Y qué hay del cine español? (III)

Este mes proseguimos con nuestra mirada al cine español respecto a las matemáticas, valoramos la desaparición de Numb3rs de la programación televisiva, y se responde a otras cuestiones pendientes. Entre medias otras sorpresas. En la reseña del mes de Enero, proponíamos averiguar el título de una película española de la que se daban cuatro pistas, entre ellas que las matemáticas además de ser determinantes en la resolución del enigma planteado en el argumento, facilitaban al protagonista el “ligarse” a su compañera de penurias, como también sucedía en la película reseñada entonces, Tu nombre envenena mis sueños. Se trataba de Leyenda de fuego, película producida en 2001 y dirigida por el director soriano Roberto Lázaro. El argumento es el siguiente: Hacia el año 1725 un sacerdote (Javier Gurruchaga) asesina a un anciano proyectista para apoderarse de un manuscrito en el que se detalla la forma de acceder a una legendaria cueva en la que vivió siglos atrás una mujer llamada Cecilia dedicada a hacer el bien a la gente. El cura pretende construir un retablo dedicado a esta mujer a la que considera una santa. Encarga la construcción de la obra a un artesano, Don Plácido (Fernando Hilbeck), que tiene a sueldo a un grupo de trabajadores, uno de los cuales, Francisco (Carlos Fuentes), se queda un tanto colgado de la hija del patrón (Angie Cepeda) también llamada Cecilia (casualidades de la vida), y que es una excelente dibujante. De camino al lugar donde se encuentra la iglesia de la que la mítica Cecilia era devota, irá apareciéndose un extraño personaje al que llaman el santero (Pepe Martín, ex-conde de Montecristo) que los ayudará en los momentos en los que las circunstancias se compliquen (que no se complican demasiado la verdad). La película sinceramente no da para mucho. Todo es muy previsible, los diálogos entre los jóvenes amantes son de juzgado de guardia, y sobre todo, la interpretación de Gurruchaga es, a mi juicio, penosa y tan histriónica y exagerada que en cualquier momento esperamos que aparezca a su lado algún miembro de la famosa Orquesta Mondragón; la de Carlos Fuentes no se queda atrás pareciendo que estamos ante un pipiolo de los que ya no se veían desde los años treinta. ¿Y porqué traigo a colación esta película? Sencillamente porque es de las que más referencias a la Geometría contiene (aunque tampoco sea para tirar cohetes) de las producciones españolas más recientes. Echemos un vistazo. En una escena, Francisco explica a Cecilia el famoso canon de las proporciones humanas propuesto por Leonardo da Vinci en el dibujo El hombre de Vitrubio (aquí mujer, ver foto). El diálogo es el siguiente: Francisco: Tu cuerpo debe contener diez rostros (mide con un pañuelo su cara, y va contando desde los pies de uno a diez). Cecilia: ¿Dudabas? F: Yo no, ¿Y tú? (Ella se va a incorporar, pero él se lo impide cortésmente). Todavía falta una medida. Estira tu brazo. Si marcamos una línea recta desde tus pies hasta tu dedo corazón y un arco con centro en la frente, nos quedarás partida en dos, y esta nueva medida debe marcar, sin lugar a dudas, tu ombligo. El ombligo es la unión con la vida, el nexo que comunica al feto con el exterior, por donde recibe los alimentos, el vínculo de la comunicación,… y del conocimiento… Como os imaginareis la cosa se va poniendo un tanto complicadilla…En fin, vayamos a un segundo momento en el que están reunidas varias personas (Francisco, Cecilia, Don Plácido, y el capataz de la obra). Don Plácido, padre de Cecilia y jefe de obra, ilustra a los demás con un poco de geometría: Es el segmento de oro aplicado a la circunferencia. En una circunferencia, con dos diámetros perpendiculares, se toma el punto medio de uno de los radios y se traza por él la perpendicular al otro diámetro (ver foto). Este punto (ver segunda foto) es el segmento de oro del radio. Y conociendo este punto construimos por ejemplo el pentágono, el triángulo, y cualquier otro polígono. Francisco: Yo también tengo algo que enseñaros. Mirad. Todo coincide. El que construyó esta iglesia quiso decirnos algo. Capataz: ¿A nosotros? F: A nosotros o a cualquier persona que viniese a trabajar aquí. Pero por supuesto que conociese las leyes de la Geometría. ¿Qué veis aquí? (Les enseña el plano de la planta de la iglesia, ver siguiente imagen). Capataz: El número de oro. El cuadrado que genera su rectángulo áureo. Don P: La proporción infinita. F: Por lo tanto en la construcción de esta iglesia se aplicó el segmento de oro. C: ¿Pero dónde quieres llegar con eso? F: Tal vez al lugar donde vivió esa Cecilia del que nos habló el santero. Salvo matices, como confundir un punto con un segmento (achacable a una mala memorización por parte del actor) o afirmar que con tal medida se puede construir cualquier polígono regular (esto ya sí es problema de guión), la conversación responde más o menos a la idea clásica de la razón áurea en arquitectura. Le película iba a titularse en un principio El segmento de oro, aunque finalmente se cambió por el de Leyenda de fuego (peor elección porque delata el desenlace de la película, aunque más comercial). También el cura va detrás de la localización de la tal cueva, pero éste al contrario que Francisco que trata de averiguarlo a partir de argumentos geométricos, cual mitómano moderno, se empieza a obsesionar con buscar una imagen que represente a su santa. Claro la más guapa a tiro es la Cecilia actual, así que pretende a toda costa mantenerla vigilada y virginal. Algunas críticas han calificado a la película de ataque a la Iglesia, porque aparece ridiculizada y en todo momento denostada. Respetando esa opinión que no comparto, tomarse en serio esta película es reproducir el comportamiento del cura protagonista con lo cual, a lo mejor nos encontramos con la paradoja de que en el fondo si se está criticando a algunos que sinceramente no creía que existieran por estas fechas y con lo que ha llovido desde ese 1725. Volviendo a Francisco, en una conversación con Cecilia comenta que “la vida es una espiral de dolor y de amor, me lo ha dicho el santero, y que sólo juntos lo encontraremos”. Pues total que en la espiral va a estar la clave. “Si dibujamos una espiral en el plano de la iglesia, en este punto tiene que estar la entrada de la cueva”. Pues manos a la obra. Su primer intento no alcanzará el éxito, pero tomando la espiral exterior a la iglesia acaban localizando la cueva, que al final no sabemos para qué demonios (perdón por la expresión) la quieren, salvo para salvarse de la quema final y darse un chapuzón reparador después de la ardua tarea realizada (y no me refiero sólo a la búsqueda de la cueva). En fin que es una pena que una película bien rodada, con unos escenarios naturales en la provincia de Soria elegidos y fotografiados espléndidamente, haya quedado en una aventurilla tan previsible. De haber dispuesto de un guión un poco más trabajado y sobre todo de unos actores más centrados, el resultado podía haber sido más satisfactorio. Tuve la ocasión de conocer y charlar con su joven y amable director en unas jornadas que tuvieron lugar en Valladolid sobre el cine hecho en Castilla y León previas a la pasada edición de la SEMINCI. Le pregunté sobre la interpretación de los actores, y me comentó que habían tenido dificultades porque a última hora Juan Echanove (que originalmente iba a hacer de pérfido sacerdote) no pudo incorporarse al rodaje por otros compromisos y tuvieron que ofrecer a Javier Gurruchaga el papel sin casi tiempo para prepararlo y trabajarlo. Sea por lo que sea lo cierto es que la película no ha tenido demasiada difusión: no se ha editado en vídeo ni DVD y sólo ha podido verse una vez por televisión. Siguiendo con el cine español, os planteo una nueva cuestión para que os comáis un poco el coco y además pongáis a prueba vuestros conocimientos cinematográficos. Unos cuantos años atrás, un director europeo que alcanzó un notable éxito en nuestro país y fue autor de alguna de las mejores películas de nuestro cine, rodó una película, en este caso no tan buena, en la que se dan clases particulares a un jovencito de nombre no muy común ya que le han quedado las matemáticas para septiembre, según el chaval, injustamente. En una primera toma de contacto, su “profesor” le propone que resuelva el siguiente ejercicio para ver su nivel: Una liebre da tres saltos, mientras que un galgo da dos. Cada salto de la liebre es 2/3 de uno del galgo. Si la liebre lleva 25 saltos de ventaja, ¿cuántos saltos tendrá que dar el galgo para alcanzarla? Las preguntas son: resolver este ejercicio y averiguar al menos uno de los dos títulos con que la película se conoce (aunque sólo uno de ellos es con el que oficialmente se estrenó). Último Comentario (por ahora) sobre Numb3rs Califique el lector por sí mismo la situación: Se anuncia a bombo y platillo mediante unas cortinillas bastante sugerentes una nueva serie “de culto”, se decía, avalada por el éxito en los países en los que se ha emitido, y por sus productores, los hermanos Scott. Se estrenan dos capítulos (7/3/2006) a las 23:30 de un día no festivo (hay que madrugar para ir a trabajar o a clase al día siguiente). Al martes siguiente (14/3/2006) se emiten otros dos capítulos, el tercero y el quinto, “comiéndose” el cuarto que, por cierto, las revistas de información televisiva también anuncian. El 21/3/2006 se emite sólo el episodio sexto y el 28/3/2006, el séptimo. Llega la Semana Santa y se aprovecha para emitir miniseries o películas “de más tirón”. Desde entonces, nunca más se supo de la serie. Situados en el contexto, ¿cómo se emiten los capítulos? Día 21 de Marzo. Anunciada a las 23:00, empieza a las 23:35. Doce minutos de capítulo y primera tanda de publicidad: 14 minutos. Son las 00:01. Otros veintidós minutos de capítulo y segunda tanda de anuncios: 9 minutos. Sólo quedan 3 minutos de episodio. Acaba a las 00:35. Resumen: 37 minutos de película, 23 minutos de anuncios. Día 28 de Marzo. Empieza a las 00:03. Catorce minutos de capítulo y tanda de anuncios: 10 minutos. Otros dieciocho minutos de serie, y otros 7 minutos de anuncios. Emiten los ocho minutillos finales. Son las 00:58. Total: 39 minutos de capítulo, 17 de anuncios. Audiencias: Día 21/3: 2.004.000 (Share: 16.4%). Día 28/3: 1.729.000 (19.3%). Dia 25 de Abril, película Hombres de Honor: 2.424.000 (15.7%) y eso que empieza a las 22:00, y bajando. ¿Qué quieren que les diga que no digan los Núm3ros? ¿Es coherente la cadena? Una serie, sea buena o un bodrio, si se programa y tiene un público, poco o mucho, no se le puede despreciar de esa manera. Pero hablando con la gente, en la calle, nadie se extraña. De sobra conocemos cómo se comporta Antena 3 desde hace tiempo. Tengan cuidado: cualquier día les cortarán una película a la mitad, porque no llega a los índices que esperan. Señores de Antena 3, aprendan un poco, tómense tres tilas si les hace falta, y miren a sus vecinos de dial: el doctor House empezó con una audiencia muchísimo menor, y miren donde está hoy. A ver si empiezan a corregir esas actitudes tan impresentables. A otra cosa. Os recomiendo encarecidamente el blog http://malaciencia.blogspot.com. Allí se comentan con bastante detalle y rigor, disparates, barbaridades y patadas a la ciencia en noticias, películas e incluso en el saber popular. De Numb3rs podéis ver los artículos del día 23 de Marzo (Numb3rs, una de cal y otra de arena) y del día 11 de Abril (Ampliando Imágenes). El apartado ciencia vs ficción también está bastante bien. Respuesta a otras cuestiones pendientes En la reseña de Febrero se propusieron algunas cuestiones parcialmente resueltas por un internauta. Faltaba el título de la película. Facilité entonces pistas sobre sus protagonistas y un problema sobre el año de producción. Recordemos: el actor había fallecido relativamente joven y había protagonizado películas de título ostentoso y en no pocas había tenido que salir a la carrera. Nos referíamos claro está a Steve McQueen (La gran evasión, Los siete magníficos, El coloso en llamas, etc.); con las iniciales de la actriz, aún en activo, teníamos una popular bebida: Jacqueline Bisset, y el año de producción, 1968 (salen más resultados posibles, pero sólo ese se adecua a película a color, etc., etc.). Obviamente entonces la película era Bullitt.

Lunes, 01 de Mayo de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

66. 15. CONCURSO DEL VERANO DE 2006

Cercano el periodo estival, época con mucho tiempo para relajarse y, porqué no, cavilar en algún ratillo, se proponen a tal efecto tres cuestiones matemáticas y la búsqueda de los respectivos títulos de las películas de donde se han tomado prestadas. El juego de las escenas eliminadas I.- Ya sabéis que a veces las amistades pueden volverse un tanto peligrosas, y más cuando hay una buena cantidad en juego. En nuestra primera escena, nos encontramos a dos compinches (llamémosles R y T) que por diversas vicisitudes han acabado a tortas, a tal punto que uno de ellos está dejando morir al otro sin prestarle socorro alguno. En esas están cuando de pronto aparece un carromato tirado por seis preciosos caballos negros. T se lanza a detenerlos. Vemos en el carromato las siglas C.S.A. y dentro una carnicería, un montón de muertos con moscas revoloteando incluidas. Como la ocasión la pintan calva, T registra sus bolsillos en busca de dinero y otros objetos de valor. Uno de los ocupantes, aún vivo, delira hablando de 200.000 dólares y suplicando agua: B.C.: Me llamo B.C…..Nos sorprendieron …. Agua …. T.: Si, te llamas C. Mucho gusto en conocerte. Y yo soy el tío de Lincoln, pero volvamos a lo de los dólares. B.C.: 200.000. La caja del 4º Regimiento. Yo la escondí. T. (impaciente): ¿Dónde? ¿Dónde? ¿Aquí? ¡¡¡HABLA!!! B.C.: En el cementerio. T.: ¿Qué cementerio? B.C.: El de S. Aquí tengo un plano. Tienes que buscar dos árboles y una tumba. Desde la tumba caminas hasta el árbol seco, giras 60º a la izquierda, caminas en esa dirección una distancia igual a la anterior y clavas allí una estaca….Agua… T.: ¡Déjate de agua ahora! ¿Qué más? B.C.: Luego vuelves a la tumba, vas hacia el otro árbol, una encina, giras allí 120ª a la derecha y caminas en esa dirección una distancia igual a la recorrida de la tumba a este segundo árbol. Allí clavas otra estaca….. Agua. T.: ¡Qué pesado! ¿Y después qué, desgraciado? B.C. (agotándose): … en el punto medio entre las dos estacas….., allí está el botín…. T.: ¡Sí, ya veo! (mirando el papel) ¿Y qué nombre pone en la tumba? ¡No te mueras, eh! No me hagas esta faena. Espera que te traigo el agua. Cuando vuelve, ve como su malherido amigo del que se había olvidado por completo, está en el suelo al lado de B.C. que ya ha muerto. T.: ¡Te voy a matar! R.: Yo no lo haría si fuera tú. Si me matas ahora te quedas tan harapiento como has sido toda tu vida. T.: ¿Qué te ha dicho? R.: Ha dicho un nombre sobre una tumba (se desvanece) T.: ¿Pero qué nombre? R.: …. Un giro … dos simetrías…(se desmaya definitivamente) A R. le vale que T. no tiene ni idea de geometría, porque si hubiera sabido algo, podría haber ido solo a por el botín, aún sin conocer de qué tumba debía partir. En la siguiente imagen podemos verle echando un último vistazo al plano que le ha dado B.C. Aquí podemos verle ante una difícil situación: ¿por dónde empezar? ¿cuál será la tumba? Son varias las cuestiones a resolver (como siempre algunas de carácter exclusivamente cinéfilo y otras de tipo matemático, y no siempre las segundas más difíciles que las primeras; de hecho hasta ahora en los juegos que llevamos proponiendo habéis ido acertando las de carácter matemático, pero nunca las relacionadas con las películas propiamente dichas). 1.- Título de la película, esta vez muy, pero que muy conocida. 2.- Significado de las siglas que aparecen en el enunciado anterior, C.S.A., R., T., B.C., S. 3.- ¿Cómo podría hallar T. el botín sin saber el nombre de la tumba? 4.- Lugar donde se rodaron las escenas del largo y recordado desenlace de la película (las de las fotos también pertenecen a ese lugar) II.- Ahora nos encontramos en una situación muy difundida en las películas norteamericanas durante una época. No son ejemplos demasiado ejemplarizantes pero las matemáticas son esenciales, imprescindibles, por diferentes motivos. Estamos en alta mar a unas millas de la línea de la costa. Asistimos a las vivencias y reflexiones de los tripulantes de dos submarinos, uno alemán y otro norteamericano, en plena Segunda Guerra Mundial, que a pesar de ser de bandos opuestos, son muy similares en cuanto al rechazo y amargura frente a la Guerra, aunque no por ello dejan de ser leales a sus países. Capitán del Submarino Alemán (en adelante S.A.): Mantenga rumbo fijo hacia el Este. Velocidad máxima, 25 nudos. Soldado S.A.: ¡A la orden, Herr Schwaffer! En ese momento un destructor yanqui los descubre (ver imagen) Capitán Submarino Norteamericano (en adelante S.N.): ¡Todos a sus puestos! ¡Zafarrancho de combate! ¿Posición? Soldado S.N: ¡Diez millas al Sur de objetivo, Señor! Capitán S.N.(a suboficial): Ordene avante a toda, 20 nudos. Suboficial S.N.: Nuestro rango efectivo es de 7 millas, Señor, y parece llevar mayor velocidad que nosotros. No podremos alcanzarle. Capitán S.N.: Cambie a rumbo Noreste. Si mis cálculos no son erróneos, podemos tenerle a tiro durante unos minutos. ¡Cifrador! Cifrador: ¡A sus órdenes, Señor! Capitán S.N.: Envíe este radio cifrado al Estado Mayor: He seguido al submarino. Demora 1,4,0. Inicio el ataque. Y dé nuestra posición. Las cosas no serán tan sencillas porque obviamente el sónar del barco alemán los detecta, descubre la táctica del enemigo, baja al fondo, para motores para pasar desapercibido, etc., etc., toda la parafernalia de este tipo de películas. Pero nos basta con lo que sabemos para plantear las siguientes cuestiones: 1.- Encontrar el rumbo que debe seguir el submarino americano para acercarse lo más posible al alemán (suponiendo que no hay variación alguna en el rumbo ni en la velocidad de éste). Calcular, si existe, el intervalo de tiempo durante el cual el submarino alemán queda al alcance del norteamericano. 2.- Título de la película. Como pista, ahí van unas fotos de cada uno de los submarinos, el norteamericano en la superficie Y el alemán, en plena inmersión 3.- Y una cuestión un tanto desconcertante. ¿Qué error se ha cometido desde el inicio del planteamiento de este segundo problema (que obviamente no influye en la resolución del mismo)? III.- La cuestión planteada el mes pasado y que nadie ha respondido hasta ahora. Recordemos: Unos cuantos años atrás, un director europeo que alcanzó un notable éxito en nuestro país y fue autor de alguna de las mejores películas de nuestro cine, rodó una película, en este caso no tan buena, en la que se dan clases particulares a un jovencito (de nombre no muy común) ya que le han quedado las matemáticas para septiembre, según el chaval, injustamente. En una primera toma de contacto, su “profesor” le propone que resuelva el siguiente ejercicio para ver su nivel: Una liebre da tres saltos, mientras que un galgo da dos. Cada salto de la liebre es 2/3 de uno del galgo. Si la liebre lleva 25 saltos de ventaja, ¿cuántos saltos tendrá que dar el galgo para alcanzarla? 1.- Resolver el ejercicio 2.- Alguno de los dos títulos con que esta película se conoce (aunque sólo uno de ellos es con el que oficialmente se estrenó). Cada una de las nueve cuestiones planteadas se baremará sobre 10 puntos. El lector que mayor puntuación logre ganará alguno de los fantásticos libros que DivulgaMAT nos proporcionará como recompensa a vuestro esfuerzo. Las soluciones podéis enviarlas a la dirección alfonso@mat.uva.es antes del 30 de Septiembre de 2006, indicando en el título del mensaje “Verano 2006”. Ánimo a tod@s y buen verano. Nos vemos de nuevo en Octubre.

Jueves, 01 de Junio de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

67. 16. ¡JO, QUÉ CORTO!

En la presente reseña de este nuevo curso, de entrante, un poco de matemáticas en los cortometrajes indicando unas direcciones donde podéis ver algunos, luego un primer plato ligero con la noticia de la aparición de un interesante libro sobre el tema que da nombre a la sección (modestias aparte) y un segundo fuerte para ir afrontando el rigor del invierno con las soluciones al concurso del verano. El presupuesto no nos llega esta vez para el postre Esperemos que os guste el menú. Cuando hablamos de cine parece darse por supuesto que nos referiremos a películas de cierta difusión comercial, como si no cupieran o no fueran interesantes ni relevantes otras propuestas audiovisuales diferentes (en esta sección ya hemos hablado también de telefilmes o series de televisión). Hoy vamos a centrarnos en los cortometrajes. La difusión de las nuevas tecnologías y el éxito de algunos cortos españoles internacionalmente, entre otros factores, han popularizado últimamente este medio entre los espectadores, en especial, entre los jóvenes. Esta moda no significa que el cortometraje sea algo novedoso, de hecho, lo que los pioneros del cine presentaron fueron escenas de un minuto de duración (recordemos, La salida de la fábrica y La llegada de un tren a la estación, Louis Lumière, 1895). Tradicionalmente el metraje de una película se clasifica según los metros de celuloide que emplee: los cortometrajes llegarían hasta los 600 o 1000 metros (en tiempo desde unos segundos hasta media hora, dependiendo de la época: antes la velocidad era de 15 o 16 fotogramas por minuto, luego pasó a 24 y esto modifica los tiempos), los mediometrajes entre 1000 y 1600 metros (hasta una hora) y los largometrajes más de 1600 metros (más de una hora). Esta clasificación no es universal, puede haber variaciones dependiendo de los países de producción. En todo caso una extendida idea de esas no escritas en ningún sitio pero que todo el mundo tiene en la cabeza es que un cortometraje no debería sobrepasar los 20 minutos de duración. Históricamente, el corto venía a ser la carta de presentación de un futuro realizador, que intenta captar el interés de algún productor que financie sus abundantes y renovadoras ideas (cuanto más vanguardista se fuera, mejor), además de, por supuesto, mostrar éstas al mayor público posible y a ser posible impactarle (medios de comunicación y críticos indispensables) ajustándose a un escaso presupuesto. Todo ello, difícil de compaginar, obliga al esforzado cortometrajista, normalmente autodidacta, a trabajar concienzudamente el guión. Todas esas características continúan salvo que hoy en día, el abaratamiento de las nuevas tecnologías digitales ha revolucionado este sector, y los jóvenes realizadores pueden comenzar eludiendo aquellos pretéritos grandes gastos. El mayor problema al que se enfrentan estor directores en ciernes es la ausencia de un mercado establecido para la difusión de sus trabajos. Ciclos en festivales de renombre, nacimiento de otros centrados exclusivamente en este medio, concursos en revistas y televisiones, ediciones en DVD, programaciones especiales en algunas salas, y la difusión en internet, son algunos de los canales de exhibición del corto, que sin embargo sigue considerándose para las grandes audiencias como minoritario. Y eso a pesar de que a veces un corto encierra mucha más calidad que una docena de películas mediocres. Venimos mostrando en estas páginas cómo las referencias a las matemáticas en los largometrajes es muy reducida. Aparte de la falta de formación matemática de la sociedad en general y de los hombres de cine en particular (y que no suele ser un tema de su interés) nos encontramos con que es difícil plasmar en pantalla temas matemáticos sino es en la forma de la media docena de secuencias estandarizadas continuamente reiteradas. En un corto, a priori, los profesores podríamos sacar más partido a una proyección realizada en clase para tratar un tema que queramos motivar. Pero dejémonos de palabras y pasemos a lo práctico. A continuación van tres cortometrajes que pueden servir como primera piedra de toque de lo que estamos diciendo (hay que tener instalado en el ordenador Windows Media Player para poder verlos). 1.- Matemáticas, de Ernesto López. 2º premio en el VI Certamen de Cortometrajes Videominuto de la Universidad de Zaragoza. ¿Quién dice que en los momentos más íntimos no aparezcan las matemáticas? Aquí lo comprobamos con la idea de infinito. Puede servir para introducir los números transfinitos (el cardinal de los naturales, N0, y que N0 + N0 = N0), Georg Cantor, y demás asuntos relacionados que a uno se le ocurran. (Curiosidad: el chico protagonista es Carlos Fierro, director de los dos cortos de más abajo) 2.- El joven escaleno, de Carlos Fierro. Están de moda las operaciones estéticas para ponerse o quitarse cosas. Aquí un triángulo quiere un trasplante de ángulos. 3.- La fórmula, también de Carlos Fierro. Mención Especial en Málaga Crea 2006. ¿Sabíais que todos tenemos una fórmula que marca nuestra vida? Los protagonistas de este corto nos explican cómo han descubierto la suya. (En realidad este corto es para que os echéis unas risas, nada más). Cuando descubramos más perlas de este estilo, ya os las detallaremos. Cualquiera de vosotros también podéis sugerirnos más. Por cierto, ¿no os parece que estaría bien proponer nuestros propios cortos matemáticos con aquellos temas que nos gustaría proponer en nuestras clases, mostrados como los precedentes, con cierto gracejo? A lo mejor no es tan difícil. Seguro que habéis recibido por correo electrónico montones de presentaciones con Power Point, algunas dotadas de animación, con múltiples asuntos (bromas, chistes, problemas en el mundo, pasar la cadena, etc.). Eso no parece tan difícil. Ahí lanzamos el reto para los más intrépidos. Mientras, seguiremos madurando ese futuro I Certamen de Cortos Matemáticos DivulgaMAT. NOTICIAS BREVES Es probable que hayáis visto la noticia de la publicación del libro Las matemáticas en el cine. Si no, os recomiendo que le echéis un vistazo a la reseña en  http://www.divulgamat.net/... y leáis un pequeño extracto. Lo cierto es que aún no aparece a la venta en librerías. La editorial nos indica que estará en breve, si bien se puede pedir encargar en nuestra librería habitual indicando el título, la editorial y el autor (o el ISBN), o directamente a la editorial, aunque en su página web tampoco aparece aun. Ya se sabe, las cosas de palacio, …. Por supuesto que desde aquí, incluiremos cualquier petición, consulta, crítica feroz, ampliaciones, fe de erratas u otros aspectos relacionados con el mismo. SOLUCIONES AL CONCURSO DEL VERANO 2006 Los tres problemas planteados tenían diferente nivel de dificultad para motivar a todo el mundo (a los que estos concursos les parecen muy fáciles, y a los que les parecen difíciles). Las preguntas de cine eran, muy sencilla la de la primera escena, y más difíciles las de las otras dos. En cambio en los problemas, el de la escena tercera era muy sencillo, el de la primera de un nivel de bachillerato decente y la de la segunda de un nivel universitario de primeros cursos. En todo caso no se puede decir que la participación haya sido demasiado alta (igual que sucedió el año pasado) así que para el próximo intentaremos que sea más fácil y el premio más atrayente (aunque la mayor motivación es acertar la solución. Ya se sabe, los profesores siempre decimos lo mismo, ¿verdad?). Bueno ahí van las soluciones. Escena I 1.- De las imágenes y diálogos se reconoce bastante fácilmente que la película es EL BUENO, EL FEO Y EL MALO 2.- Significado de las siglas C.S.A.: Confederal States Army (Ejército de los Estados Confederados) R.: Rubio (Clint Eastwood, el protagonista principal) T.: Tuco (Eli Wallach, el “feo”) B.C.: Bill Carson (Antonio Casale, el moribundo del carromato; el mismo figurante repite en la misma película haciendo otro personaje, Jackson) S.: Sad Hill (localidad donde está el cementerio) 3.- El nombre de la tumba no hace falta para nada. Eligiendo cualquiera de ellas se llega al lugar donde está enterrado el botín. En la figura se muestra un ejemplo.   ¿Por qué sucede esto? La razón es que una estaca se transforma en la otra mediante dos giros sucesivos: uno de 60º alrededor del árbol seco, y el otro de 120º alrededor de la encina. O bien por uno de 180º alrededor del punto donde está el botín. Es decir que para encontrar dónde está enterrado éste, realizamos dos giros, de 60º y de 120º. Si pudiéramos sustituir ambos giros por uno solo, de 180º, el centro sería el lugar que buscamos. Y esto podemos hacerlo porque sustituimos el giro de 60º por dos simetrías (últimas palabras de Rubio antes de desmayarse, que a Tuco le dan igual porque no tiene ni idea de geometría) con respecto a las rectas r y s (ver segundo gráfico), y el giro de 120º por dos simetrías respecto a las rectas s y t. Estas cuatro simetrías terminan siendo equivalentes a un único giro de 180º en torno al punto donde está el botín. 4.- Las escenas finales de la película (y la escena de la batalla de la Guerra Civil) se rodaron en Burgos. Esas escenas del cementerio corresponden al lugar conocido como Carazo, en pleno Valle del Arlanza. Escena II 1.- Llamaremos A al submarino alemán que avanza hacia el Este en línea recta y B el submarino norteamericano. B se encuentra 10 millas hacia el Sur de A (en la gráfica se han fijado las coordenadas del origen para B y (0, 10) para A). Lo primero que se pide es el rumbo que debe seguir el submarino americano para que A esté a tiro el mayor tiempo posible (recordemos que A navega a una velocidad máxima de 25 nudos (esa es una posible errata que se pide localizar en otro apartado; deberían ser millas por hora ya que la distancia se da en millas, aunque tampoco es imprescindible porque se pueden convertir una unidad a la otra), y B a sólo 20 nudos. La obtención gráfica de la trayectoria se realiza mediante los círculos de Apolunio. Sin entrar en muchos detalles, marcamos el punto G 25 millas al oeste de B (o sea en (-25, 0)). Tomando G como centro, trazamos un arco de radio 20 y dibujamos la recta tangente desde B a dicho arco. Llamaremos C al punto se tangencia (que en nuestro caso resulta ser el punto (-9, 12). Comprobadlo). Entonces GC marca el rumbo que debe tomar B (recta y = 3x/4). El triángulo BCG es semejante al triángulo rectángulo 3, 4, 5, por lo que el ángulo que forma el eje de ordenadas con la recta anterior (o sea el rumbo NE) es = arc tag (4/3). La velocidad relativa de B respecto de A se calcularía del siguiente modo (no está de más recordar un poco de Física): VBx = VB sen  = 20 • sen (arc tag(4/3)) = 20 • 4/5 = 16 m.p.h. VBy = VB cos = 20 • cos (arc tag(4/3)) = 20 • 3/5 = 12 m.p.h. Velocidad relativa V´Bx = VBx - Varrastre = 16 - 25 = - 9 m.p.h. V´By = VBy = 12 m.p.h. luego V´ = - 9 i + 12 j, de donde |V´|=  = 15 m.p.h. Así pues la velocidad de B relativa a A es de 15 m.p.h. en la dirección indicada. El problema preguntaba a continuación el intervalo de tiempo durante el cual el submarino alemán queda al alcance del americano. Construyamos un vector de longitud 10 desde B hasta A. Tomando centro en A dibujemos una circunferencia de radio 7 que corta a BC en los puntos D y E. Sea F el punto medio de DE. Como los triángulos AFB y BCG son semejantes, se tiene que Como AB = 10, de la igualdad anterior se sigue que AF = 6. Como AD = 7, FD será  (sin más que aplicar el teorema de Pitágoras), por lo que DE = 2.   La distancia bajo dentro del alcance será entonces 2 millas, y el tiempo (suponemos movimiento rectilíneo y uniforme sin contar rozamientos varios debidos a corrientes submarinas, choques con bichos, etc.) será 2 /15 horas, es decir 8 minutos = 28.85 minutos. En la realidad es poco razonable que el comandante norteamericano continuara con ese rumbo hasta que A estuviera fuera de su alcance. Variando el rumbo sobre la marcha un poco más al Este, B podría incrementar el tiempo hasta 39.5 minutos, pero demostrar esto nos complica excesivamente los cálculos así que no lo detallaremos. 2.- Se trata de la película DUELO EN EL ATLÁNTICO (The Enemy Below, Dick Powell, EE. UU., 1957), interpretada por Robert Mitchum (Capitán Murrell) y Curt Jurgens (Von Stolberg). Lo más fácil para haberlo adivinado es fijarse en la foto tercera en la que aparece claramente el actor alemán Curt Jurgens (otra cosa es que le recordéis o sepáis quien es; hizo una versión muy famosa de Miguel Strogoff). 3.- El error al que me refería tiene que ver con las fotografías. Cuando se dice “un destructor yanqui los descubre (ver imagen)” en realidad la fotografía que aparece es la del propio destructor norteamericano no la del alemán que nunca salvo al final de la película emerge. Escena III 1.- En realidad el galgo no alcanza nunca a la liebre. Se nos dice que 3 saltos de la liebre coinciden con 2 del galgo. Si dividimos al segmento AB en 6 partes y a esta unidad la llamamos u, se tiene que 1 salto del galgo = 3 u 1 salto de la liebre = 2 u   Como el galgo da dos saltos y la liebre da tres, el galgo recorre 2 x 3u = 6u, y la liebre 3 x 2u = 6u. Así que como van al mismo “ritmo”, el galgo nunca la alcanza. 2.- La película es MARÍA, MATRÍCULA DE BILBAO (Ladislao Vajda, España, 1960), también conocida como EL ALEVÍN. Ganadores del concurso: Hasta última hora del sábado 30 de Septiembre hemos estado recibiendo respuestas, lo cual pone de manifiesto que hasta el último momento los participantes han tratado de completar sus respuestas. El problema más fácil, como así era, ha resultado ser el de la liebre, seguido del del botín. Por el contrario la película más difícil era en efecto la tercera, y la más sencilla, la primera. Entre todas las respuestas, hay una que me gustaría reproducir (el lugar del rodaje de la escena del duelo de El bueno, el feo y el malo) por lo completa que me ha parecido y la información que proporciona para los amantes de esta película, que somos muchos, por si algún día queréis daros una vuelta por allí y tratar de identificar paisajes. La respuesta nos la dio Carlos Fernández, y es la siguiente: El cementerio de Sad Hill esta situado en el Valle de Mirandilla, por el camino que va desde el pueblo de Contreras hacia Santo Domingo de Silos, en la provincia de Burgos. Para la Batalla del puente de Langstone, se situó el set de rodaje en el valle de Arlanza, entre Hortigüela y el Monasterio de San Pedro de Arlanza, sobre el rio Arlanza. Para la Misión de San Antonio, el set de rodaje se situó en las dependencias que había en el Monasterio de Arlanza. El campo de prisioneros de Betterville estuvo situado en el término municipal del pueblo de Carazo. El resto del Rodaje en España tuvo lugar en el “desierto de Tabernasen”, Almería, una de las localizaciones más habituales  de los más famosos “Spaghetti Westerns”. Aunque sólo se pedía el lugar del cementerio, esta detallada información completa nuestra pregunta. Gracias Carlos. Los participantes que más puntuación obtuvieron, de un total de 90 puntos posibles, fueron Alberto Castaño Domínguez, 51 puntos. Pablo González Arias, 42 puntos. Nuestra más cordial enhorabuena a ambos.

Domingo, 01 de Octubre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

68. 17. Matemáticas Televisivas

Repasamos en esta ocasión algunos momentos recientes en los que la tele se ha acordado de las matemáticas, y retomamos la guía de la segunda temporada de Numb3rs que el canal temático Calle 13 emite cada lunes de manera regular. Aunque siguen mostrándonos en general como bichos raros, o en el mejor de los casos, repelentes (cada vez menos afortunadamente, gracias a los esfuerzos de muchos compañeros, dentro y fuera de las aulas), lo cierto es que las matemáticas aparecen de una u otra manera en la televisión con bastante frecuencia. Es algo normal, lógico, diría yo, a tenor de lo que los matemáticos siempre decimos: las matemáticas están presentes en todas y cada una de las actividades que realizamos habitualmente; y no sólo eso, sino que el mundo que nos rodea, aunque nunca se hubiese formalizado esta disciplina, tiene una estructura y un comportamiento matemático (y físico, químico, biológico, etc., pero también matemático, aunque haya quien no le guste admitirlo). En diferentes encuestas, los ciudadanos europeos responden que en cuestiones de divulgación científica, los máximos referentes en sus países donde encontrar información son la televisión, seguida de cerca por periódicos y revistas, y a más distanciada, la radio. Está bastante claro que aquí en nuestro país, ese no sería el orden. Quizá las encuestas nos estén engañando. Trataremos en próximas reseñas de averiguar el tipo de programación divulgativa de los países de nuestro entorno y comprobaremos que hay de cierto en todo ello, con especial atención en nuestras matemáticas. Hoy veremos algunas pinceladas de lo que hay por aquí. El que esto suscribe no ve demasiada televisión (desistí hace tiempo hasta de ver cine por televisión: eso sí diariamente me programo yo mismo una película en DVD, comprada o alquilada, y soy yo quien decide qué ver, cuando ir al baño, cuando empieza y termina la proyección, o el idioma en que quiero disfrutarla, sin tener que aguantar el pertinaz bombardeo publicitario, de mayor duración normalmente que la propia película; en fin, rarezas que tiene uno), aunque los amigos, familiares o lectores de esta sección siempre acaban comentándome alguna anécdota o apunte que haya aparecido en tal o cual programa. Hace unas semanas sin embargo y para variar, en el episodio 122 de la serie Cuéntame cómo pasó (de título Mucho calor, muchas risitas y un ataque de flebitis) yo mismo pude ver una escena de las típicas en las que nos encasillan. Les cuento: Como Carlitos ha suspendido algunas asignaturas, su maestro, Don Severiano, se acerca a su casa a tomarle las lecciones y obligarle a estudiar y trabajar un poco (cosa que parece un tanto extraña, puesto que eso de que el propio profesor que le va a examinar en Septiembre le de clases particulares, fomenta mil y una suspicacias; además que a Don Severiano no le vendrían tampoco mal unas vacaciones para afrontar el nuevo curso más descansado y de paso no chafar el trabajo de alguna academia o estudiante universitario que necesitara unas pesetillas). Pues bien, Carlitos está con cara de aburrido y de fastidio mirando el cuaderno, mientras el maestro lee el periódico, sin hacerle tampoco mucho caso. Entonces Carlitos pregunta: Carlitos: ¿Las ecuaciones de segundo grado sirven para algo? Don Severiano medita unos segundos con cara de póquer y responde: Don Severiano: Sirven para un montón de cosas. Carlitos (incrédulo): ¿Para qué? D. Severiano: Pues, …., ¡para desasnar borregos como tú, por ejemplo! ¡Venga ya, y termina!¡ Como ven, lo de siempre. Cierto que en esa época (verano de 1974) todos tenemos en mente a algunos maestros, más o menos así, pero la serie, que idealiza lo que le da la gana, bien podría haber propuesto un maestro un poco menos “carca”, o al menos haber dado un ejemplo más positivo de las aplicaciones de una ecuación de segundo grado, aunque sólo fuera uno, y luego la conversación siguiera por los mismos derroteros, bien porque el niño no lo entendiera o porque no le valiera la respuesta. Quien sabe, a lo mejor los guionistas pretenden enseñarnos el tipo de maestros que hemos sufrido, y justificar el grado de conocimiento de la generación que hoy rige nuestro país (lean el acertado comentario de un compañero en las Cartas al director de EL PAIS del martes 24 de octubre, en el que uno de los D. Pablo actuales identificaba el 11% de una cantidad con la onceava parte). Probablemente habréis oído hablar de Youtube. Según la Wikipedia, YouTube es un portal de internet que permite a los usuarios subir, ver y compartir vídeos. Fue fundado en febrero de 2005 por tres antiguos empleados de la empresa PayPal: Chad Hurley, Steve Chen, Jawed Karim. YouTube usa un formato Adobe Flash para servir su contenido. Es popular de la misma manera que lo es Google Video debido a la posibilidad de alojar vídeos personales de manera sencilla. YouTube aloja una variedad de clips de películas y programas de televisión, videos musicales, y vídeos caseros (a pesar de las reglas de YouTube contra subir vídeos con copyright, este material existe en abundancia). Youtube es propiedad de Google, desde su compra, 10 de octubre de 2006 por 1.650 millones de dólares. Para evitar copias de los archivos de vídeo, éstos están distribuidos en formato Macromedia Flash, que impide a los usuarios hacer copias digitales fácilmente. Como otros sitios de vídeos, la calidad de imagen y sonido suele ser pobre, pero a nosotros nos pueden ayudar a recordar algunos momentos televisivos ciertamente curiosos. A continuación, enlazo algunos de esos vídeos sobre el tema que nos ocupa, para que saquéis vuestras propias conclusiones sobre como nos ven desde la televisión: 1.- Proyecto Estalmat en Andalucía. Noticia difundida por Canal Sur Noticias. 2.- ICM 2006 de Madrid. Un buen reportaje emitido en las noticias de Televisión Española. 3.- Mas ICM. La misma noticia vista por los informativos de Tele 5. 4.- El calculista Alberto Coto en Crónicas Marcianas. 5.- El mismo calculista en Ver para creer (Antena 3). Como en el anterior, operaciones aritméticas (que no matemáticas) tratadas como espectáculo circense. 6.- Más de lo mismo en España Directo. Al menos aquí se le entrevista. 7.- Y también en Canal Sur Televisión (Shalakabula). En la web personal del protagonista (www.albertocoto.com) hay más apariciones televisivas, todas similares. 8.- El culebrón mejicano Rebeldes también tiene sus incursiones en las clases de matemáticas, (más que nada por su profesor). Recomiendo a las personas de cierta sensibilidad que obvien la visión tanto de éste como del siguiente vídeo. 9.- Parodia aberrante de una alumna superdotada en matemáticas. El esperpento debió obtener gran audiencia porque el Sr. Buenafuente la ha ido sacando más veces repitiendo gags y (con perdón) gilipolleces. Bien podemos hacernos una ligera idea de lo que vende, matemáticamente hablando (excepción lógica de los informativos). Quizá por eso, la ínclita Antena 3 suprimió Numb3rs de un plumazo. Seguramente piensan que el premio Carl Sagan a la mejor serie divulgativa de este año es cosa baladí ya que a ellos sólo les importan los niveles de audiencia de su ¿Dónde estás corazón? que además educa e instruye más (fíjense en los vídeos anteriores, a qué cadena corresponde cada uno). En efecto, el pasado 7 de Mayo, los creadores de la serie y productores ejecutivos, Cheryl Heuton y Nicolas Falacci recibieron este premio que valora la popularización de la Ciencia. Este premio le otorga la CSSP (Council of Scientific Society Presidents), organización fundada en 1973, dedicada al desarrollo y difusión de la Ciencia. Por otro lado las actividades propuestas a los institutos en el programa We all use Math everyday, organizadas por Texas Instruments y The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), incluyen en esta tercera temporada versiones de las mismas EN ESPAÑOL (un español de allí, pero entendible a fin de cuentas). Pero afortunadamente para unos pocos (los que estén apuntados al canal Calle 13), esta cadena está ofreciendo los lunes la segunda temporada y además en unas condiciones aceptables (horario respetado y asequible, capítulos en orden, sin contraprogramación, etc.). Pues bien, tratando de dar respuesta un poco a todos, mientras dure su emisión, trataré de hacer una breve guía matemática de los capítulos que se verán mes a mes. Por cierto la primera temporada de la serie ya se vende en España desde Octubre. Para abrir boca, ¿recordáis el problema de Monte Hall (descrito en la reseña de abril de 2006 del episodio 13, Man Hunt? Pues aquí podéis ver la escena en castellano, escena que creo que se eliminó finalmente del capítulo. Y un montaje musical de un fan de la serie que me ha gustado. Disfrutadlos. NUMB3RS.- SEGUNDA TEMPORADA- En Estados Unidos la segunda temporada comenzó el 23 de Septiembre de 2005 y terminó el 19 de Mayo de 2006 (24 episodios). En ella hay algunos cambios argumentales: Terry Lake vuelve a reincorporarse a su trabajo en Washington DC y dos nuevos miembros se unen al equipo del FBI de Don: Megan Reeves y Colby Granger. Charlie, el hermano matemático, tiene nuevos retos matemáticos entre los que se encuentra la puesta en marcha de una nueva teoría que bautiza con el exótico nombre de Teoría de Emergencia Cognitiva. Capítulos programados para el mes de Noviembre En las páginas oficiales de la productora de la serie, los capítulos se numeran al estilo de los resultados y teoremas de los libros de matemáticas. El primer número indica la temporada y las dos cifras después del punto, el número del capítulo. Mes a mes iremos describiendo brevemente los contenidos matemáticos que irán apareciendo en cada episodio, precedidos de un sucinto resumen del argumento. En paréntesis se indica el título original. 2.05.- El sicario (Assissin) (6 – 11 – 2006) Argumento: Los agentes Don y Megan entran en el apartamento de Henry, un experto falsificador de documentos, aunque éste logra escapar. Henry había ayudado a un peligroso asesino a cometer un crimen. En el apartamento, Don descubre un texto encriptado que Charlie descifrará fácilmente. En el texto se indica la siguiente víctima: en exiliado colombiano que reside en Los Ángeles. Aspectos Matemáticos: Teoría de juegos, criptografía y construcción de aviones de papel. Charlie, el hermano matemático intenta descubrir los próximos movimientos del asesino sabiendo quien será la víctima. Es un ejemplo de teoría de juegos aplicado al comportamiento humano, donde los objetivos de cada jugador (asesino y víctima) son opuestos, y el comportamiento de uno afecta al del contrario. Construir la matriz de pagos de juegos sencillos (dilema del prisionero, juego de piedra, papel y tijera, o una simplificación de la situación que se plantea en el telefilme) o decidir que juegos son de suma cero, pueden ser actividades apropiadas para ilustrar esta rama matemática. En otro momento, Charlie descifra “sin ayuda del ordenador” un mensaje escrito en clave. Ésta consistía en sustituir unas letras por otras. Un burdo intento de esconder información con un procedimiento que una persona con mínimos conocimientos de criptoanálisis es capaz de descifrar sin más que observar la frecuencia con que aparecen cada letra en el texto para encontrar el patrón empleado. Un buen motivo para describir a nuestros alumnos la importancia de la criptografía a lo largo de la Historia o proponerles algún ejercicio de cifrado/descifrado de códigos sencillos (códigos de César, Tabla de Vigénere, RSA en Bachillerato, etc.). Es obligada la cita al magnífico libro de Simon Singh (Los códigos secretos, publicada en castellano por Editorial Debate) o una visita a su magnífica página web (en inglés), que además permite practicar con simulaciones interactivas. Finalmente, el capítulo explora algunos aspectos de Aerodinámica, en una escena en la que Charlie y su colega Larry discuten sobre los factores que intervienen en el vuelo de una avioncito de papel. Hablan por ejemplo del número de Reynolds que mide cómo la “viscosidad” del aire afecta al vuelo. Los aviones de papel tiene un número de Reynolds bajo mientras que el de un avión real es mucho mayor. Cuanto mayor sea esta constante, menos afecta al aire a su vuelo. Los alumnos pueden experimentar como pequeños cambios en el diseño o en los materiales empleados en la construcción de un avión (de papel, de cartón, etc.) modifican su comportamiento. Hay muchas webs dedicadas a este tema, si bien una de las más asequibles puede ser www.paperplane.org. 2.06.- Objetivo Final (Soft Target) (13 – 11 – 2006) Argumento: Unos hombres con mochilas entran en una estación de metro. Al saltar las alarmas empieza una persecución. Al cabo de un rato, las mochilas comienzan e emitir un gas letal. Aspectos Matemáticos: Percolación, Cálculo de probabilidades. La teoría de la percolación consiste en la búsqueda y el análisis de modelos matemáticos para explicar el comportamiento aleatorio de un fluido en un medio poroso. Fue introducida por Broadbent y Hammersley en 1957. La percolación es el modelo más sencillo para un número considerable de fenómenos físicos, en los cuales el desorden está presente. Por ejemplo, cómo se extiende el fuego en un bosque, el agua a través de una esponja (o del propio suelo), el desplazamiento de animales de un hábitat a otro, etc. En Objetivo Final, Chalie tratará de averiguar cómo se ha comportado un criminal para lograr burlar los controles de seguridad del Metro. El modelo más sencillo para simular este tipo de fenómenos es considerar un retículo cuadrado infinito en el plano, dividido en rectas paralelas horizontales y verticales (una malla). Una molécula se desplaza en cada paso con una determinada probabilidad p; si no, no se mueve. Se estudia entonces la posibilidad de que partiendo del origen se tenga una trayectoria infinita. Ese comportamiento depende del valor de p, para el que existe un valor crítico (llamado de transición de fase). Esta teoría, de creciente interés en la actualidad, emplea conceptos geométricos y de cálculo de probabilidades. Tiene mucho que ver con los paseos aleatorios (cadenas de Markov) que los alumnos de Estadística conocen muy bien. Aunque su desarrollo teórico sea de nivel universitario, las actividades que proponen en We all use Math everyday son sencillas, muy ilustrativas y asequibles para cualquier alumno de Secundaria con unos conocimientos mínimos de cálculo de probabilidades. Previo al desarrollo de la teoría de la percolación, para simular movimientos aleatorios se utilizó un modelo llamada la caja de Galton (también conocido como Quincunx). Sir Francis Galton (1822- 1911) fue un estadístico británico que diseñó este modelo, que recuerda al triángulo de Pascal en su forma, en el que los coeficientes binomiales se reemplazan por pequeños topes que forman un enrejado o celosía, en los que choca una bola lanzada desde la parte superior. Existen diferentes juguetes para niños basados en este modelo. En el telefilme Charlie utiliza también un método de regresión múltiple llamado Análisis Lineal del Discriminante (LDA) para tratar de predecir cuál seré el próximo ataque terrorista. Este método utiliza diagramas de árbol para visualizar todas las posibilidades. El campo más conocido en el que se emplean diagramas de árbol es de nuevo el cálculo de probabilidades. Normalmente para calcular las probabilidades de, por ejemplo, obtener dos caras al lanzar dos veces una moneda, no se emplea este tipo de diagramas ya que al ser sucesos independientes, asumimos que con el producto de las probabilidades de cada suceso lo tenemos resuelto. Pero cuando trabajamos con probabilidades condicionadas, no viene nada mal tener al lado un esquema de árbol. En el episodio, Charlie explica a su hermano Don el uso de estos esquemas mediante un ejercicio con naipes: de una pila de 16 cartas (4 jotas, 4 reinas, 4 reyes y 4 ases), toma 3 cartas anotando en cada descarte si la carta es un as o no. La probabilidad de obtener un as cambia después de cada descarte. El diagrama de árbol que se muestra en el dibujo (complétense los círculos es blanco y las interrogaciones) modeliza esta situación. La pregunta a resolver es hallar la probabilidad de obtener al menos dos ases en tres descartes (draws). Este tipo de esquemas no sólo se emplea en el cálculo de probabilidades sino que también son frecuentes en inteligencia artificial. Hay muchos algoritmos utilizados para crear árboles de decisión lo más precisos posible. La mayoría utilizan técnicas de entropía como base para decidir el orden en el que se deben disponer los nodos. Finalmente el padre de los protagonistas está agobiado pensando la cantidad de formas diferentes en que puede disponer en una mesa a los invitados a una boda. Charlie le explica que aunque en efecto hay muchas posibilidades, éstas se reducen bastante si primero decide quien se sienta al lado de quien (parejas, amigos, separación de personas que no se llevan bien, etc.). Los ejercicios de Combinatoria sobre este tema son muy conocidos y las variaciones (mesa redonda, mesa cuadrada, por ejemplo) son múltiples. Lo interesante de estas cuestiones es evidentemente hallar un modelo general. En resumen, un capítulo que no pueden perderse los amigos del cálculo de probabilidades y la estadística. 2.07.- Convergencia (Convergence) (20 – 11 – 2006) Argumento: Don investiga una serie de asaltos a casas en las que los ladrones roban únicamente cosas de alto valor (joyas, objetos de arte). En una de ellas, la dueña y su hijo adolescente han sido heridos. Su marido aparece muerto en la piscina de la casa atado de pies y manos. Por otro lado, el profesor Marshall Penfield (Colin Hanks) demuestra en una conferencia que una de las teorías en las que Charlie trabaja está equivocada. Aspectos Matemáticos: Dinámica de proyectiles, Teoría de Grupos, Calendarios, GPS. En uno de los asaltos, los delincuentes dispararon al aire un disparo para asustar a los dueños de la casa. Los agentes David y Colby tratan de localizar la bala consultando a Charlie sobre dónde empezar la búsqueda. A partir de datos como el tipo de bala, el ángulo estimado en el que la pistola se encontraba, la velocidad inicial de salida, etc., Charlie modeliza mediante coordenadas paramétricas la posible trayectoria (tipo parabólico) para acotar la zona sobre la que buscar. Una buena ocasión para, a partir de la visualización de la escena, describir este tipo de movimiento, las características de una parábola y las expresiones en coordenadas cartesianas y paramétricas (las paramétricas tiene mucho más sentido para otro tipo de curvas, que también pueden introducirse para alumnos de Bachillerato). En otro momento Charlie escribe en una pizarra “1 + 1 = 2”, preguntando a sus alumnos sobre situaciones concretas en las que esta igualdad sea correcta y otras en las que no. (A Russell y Whitehead les lleva 362 páginas de su Principia Matemática probar que para la axiomática clásica la igualdad es cierta). Es claro que hay sistemas (el binario el más obvio) en el que la igualdad es falsa. Buen momento para introducir el concepto de grupo y practicar con operaciones diferentes a las usuales. Posteriormente el matemático define los calendarios como herramientas matemáticas. La medida del tiempo ha sido un tema muy estudiado por diferentes civilizaciones desde los principios de la Historia. Cada cultura de hecho tiene modelos diferentes según se basen como referencia en el Sol, la Luna o los planetas. La evolución histórica del calendario (juliano, gregoriano, etc.) es un tema curioso, atractivo para los alumnos y que plantea diferentes cálculos matemáticos, en el que además puede que aún no se haya dicho la última palabra. La actividad sugerida por el equipo de Texas Instruments y el NCTM tiene otro enfoque: analizar y entender un calendario perpetuo de los que vienen en las agendas. Finalmente en el episodio también aparecen las matrices en un momento determinado. Éstas son una herramienta básica en temas que van desde el álgebra lineal (aplicaciones lineales, resolución de sistemas lineales, etc.), el almacenamiento de datos (algoritmos informáticos en programación), la teoría de juegos (matrices de pago) y cálculo de probabilidades, hasta el análisis de complejas redes de comunicación. El visionado del capítulo sería un buen momento tanto para describirlas (a través de un juego elemental) como para explicar las operaciones de suma y producto. Sin embargo la cuestión que trae de cabeza al equipo de Don en este episodio tiene que ver con el hecho de que los asaltantes parecen conocer a la perfección las localizaciones exactas de sus víctimas. Charlie sospecha que emplean algún mecanismo basado en la tecnología GPS (Sistemas de Posicionamiento Global, de sobra conocidos por todos gracias a los de los automóviles). En el capítulo explica cómo funciona el proceso trilateral de los receptores GPS. A grandes rasgos, un receptor de GPS calcula la distancia a la que se encuentra de un satélite, conocida la cantidad de tiempo que tarda en recibir una transmisión y la velocidad de ésta. Como la posición del satélite es conocida, puede determinarse que el receptor de GPS se encuentra sobre una esfera de radio igual a la distancia entre el receptor de GPS y el satélite. Estos cálculos se repiten con tres satélites más. ¿Porqué? Porque la intersección de las cuatro esferas es un único punto, justamente el que marca la posición exacta del GPS, y por tanto del que lo lleva. 2.09.- A la vista de todos (In Plain Sight) (27 – 11 – 2006) Argumento: Megan se siente culpable de la muerte de un compañero del FBI por una explosión en una clínica en la que se sospecha que se están elaborando drogas ilegalmente. Aspectos Matemáticos: Comportamiento de manadas animales, Esteganografía. La modelización de fenómenos en la Naturaleza es uno de los campos de aplicación en los que las matemáticas han trabajado durante mucho tiempo. El comportamiento de las manadas de animales en sus migraciones, por ejemplo, parecen obedecer ciertas reglas: evitar colisiones tanto entre los miembros de la manada como ante los obstáculos del recorrido, el grupo que los dirige nunca se despista de la dirección correcta, etc. La simulación de estos comportamientos es complicada entre otros factores porque la propia estructura de la manada no es fija y el campo de operaciones es tridimensional. Sin embargo las aplicaciones son variadas: la estructura de una red criminal al cambiar de jefe (el ejemplo del telefilme), los movimientos de los luchadores o el desplazamiento de los ejércitos de los videojuegos, y ya que estamos en una sección de cine, en los efectos especiales (recordemos como ejemplos la simulación del movimiento de los enjambres de escarabajos en las dos entregas de La Momia (The Mummy, 1999 y The Mummy Returns, 2001 ambas dirigidas por Stephen Sommers), los murciélagos y pingüinos de Batman Returns (Tim Burton, 1992) o la estampida de El rey León (The Lion King, Roger Allers y Rob Minkoff, 1994). Compárense estos efectos con los de Los pájaros (The Birds, Alfred Hitchcock, 1963) para hacerse una idea de cómo han evolucionado estas técnicas. Sobre las matemáticas que requieren estos modelos pueden consultarse esta dirección (en inglés). El capítulo vuelve a tocar el tema de los mensajes ocultos, en este caso con la Esteganografia. En este caso no sólo es el contenido del mensaje el que está oculto (criptografía), sino que trata de ocultarse también la existencia de tal mensaje. Por lo general un mensaje de este tipo parece ser otra cosa, como una lista de compras, un artículo, una foto, etc. El origen de este nombre proviene de un tratado de Johannes Trithemius (1462-1516), monje alemán fundador de la sociedad secreta Sodalitas Celtica (Cofradía Céltica), dedicada al estudio de las lenguas, las matemáticas, la astrología y la magia de los números, titulado Steganographia del griego "escritura secreta". Este tratado habla de la criptografía y de la esteganografía y está disfrazado como un libro de magia negra. Los mensajes en la esteganografía muchas veces son cifrados primero por medios tradicionales, para posteriormente ser ocultados por ejemplo en un texto que pueda contener dicho mensaje cifrado, resultando el mensaje esteganográfico. Un texto puede ser manipulado en el tamaño de letra, espaciado, tipo y otras características para ocultar un mensaje, sólo el que lo recibe, quien sabe la técnica usada, puede extraer el mensaje y luego descifrarlo. Algunos ejemplos de técnicas de esteganografía que han sido usados en la historia son: Mensajes ocultos en tabletas de cera en la antigua Grecia (la gente escribía mensajes en una tabla de madera y después la cubrían con cera para que pareciera que no había sido usada); mensajes secretos en papel, escritos con tintas invisibles entre líneas o en las partes en blanco de los mensajes; micro-puntos utilizados por agentes de espionaje durante la segunda guerra mundial para mandar información; mensajes escritos en un cinturón enrollado en un bastón, de forma que sólo el diámetro adecuado revela el mensaje; mensajes escritos en el cuero cabelludo, que tras crecer el pelo de nuevo, oculta el mensaje; etc. Los ejemplos que aparecen en el capítulo que Charlie descubre son bastante complicados. Comentario Final: Como podéis observar, Numb3rs introduce siempre aplicaciones prácticas en donde las matemáticas se utilizan de forma positiva, un buen ejemplo de divulgación en el los guionistas han hecho caso a sus asesores matemáticos. Compárese ahora con la introducción del típico ejercicio de escuela (como el descrito al principio de esta reseña de la serie Cuéntame cómo pasó) presente en la mayor parte de las películas de producción española y siempre en el sentido más negativo, como de castigo hacia los pobrecillos alumnos. Sólo cabe un calificativo, al menos para mí: penoso. Es decir que si se quiere se puede introducir una matemática coherente y a la vez entretenida. Como igualmente penosa ha sido (no me cansaré de repetirlo) la actitud de Antena 3 televisión de eliminar la serie privando a una gran mayoría de espectadores de su visionado. Así pues, afortunados abonados al Canal 13, disfrutad mientras podáis. Y a los demás, os recuerdo de nuevo que la primera temporada ya está comercializada en nuestro país en DVD. Y también os recuerdo que cualquier comentario, discrepancia, colaboración o sugerencia podéis hacérnosla llegar. También os recuerdo dos direcciones web que deberíais visitar. Otra dedicada como ésta a las matemáticas en el cine, la de nuestro compañero José María Sorando, y escuchar el programa semanal de Radio Euskadi de Raúl Ibáñez, los jueves de 19:35 a 20:00 aproximadamente. Un saludo y hasta el mes que viene.

Miércoles, 01 de Noviembre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

69. 18. Perdidos con los números

En esta ocasión además de anticipar el contenido matemático de los episodios de Numb3rs que Calle 13 tiene previsto para este mes, damos cumplida respuesta a algunas cuestiones que nuestros lectores nos plantean (¡por fin os vais animando!), entre ellas las que tienen que ver con una cadena de números que aparece en otra serie de éxito, Perdidos (Lost) que Tve1 ha emitido de vez en cuando. Vamos primero con lo más sencillo. Algunos de vosotros tenéis alguna dificultad para conseguir el libro Las Matemáticas en el cine, coeditado por Proyecto Sur de Ediciones y la RSME. En efecto hay algunas zonas del país en las que la distribuidora de libros no sirve los pedidos demasiado bien o los libreros no desean entrar en conflicto con otras distribuidoras de la propia región. En ese caso hay varias librerías que sin ningún problema y con bastante rapidez sirven el libro pedido por internet. Se trata de Casa del libro, Librería Catalonia (Barcelona) o Librerías Proteo y Prometeo (Madrid). También la propia editorial Proyecto Sur lo envía aunque no lo tenga anunciado en su página web. Un regalo original para estas Navidades. Otra cuestión planteada es la “queja” acerca del espacio que se dedica a la serie Numb3rs que no todos pueden ver (el canal Calle 13 es de pago). Ciertamente es una lástima que la serie no la emita una cadena generalista, pero no es menos cierto que lo importante son los aspectos matemáticos que contempla, los cuales se describen de manera que no haga falta ver los capítulos para entenderlos (aunque si se siguen, obviamente, mejor), y sobre todo, que sirvan para darnos ideas de cara a elaborar nuestras propias actividades sobre aplicaciones a la vida cotidiana de campos matemáticos que no entran en los currículos de nuestras asignaturas pero que pueden describirse de un modo sencillo. Ese es para mí el aspecto más destacable de la serie (argumentalmente es una de tantas), el esfuerzo por mostrar aplicaciones reales de las matemáticas. El mes pasado un compañero del IES Sant Quirze del Vallés, Josep Mª Aguadé, nos envió un mensaje indicándonos otra serie televisiva de culto, Perdidos, que en su segunda temporada plantea algunos enigmas con la secuencia  4, 8, 15, 16, 23, 42. Para situar al lector no familiarizado con la serie (mi caso por ejemplo hasta comenzar a redactar esta reseña) hagamos un breve resumen del argumento tomado de una de las abundantes páginas dedicadas a la serie que circulan por internet El vuelo 815 de una compañía aérea se estrella en una remota isla en medio del océano Pacífico. Los 48 supervivientes se dan cuenta enseguida de que están realmente perdidos a miles de kilómetros de su ruta prevista por lo que es poco probable que sean rescatados. Pronto serán conscientes de que en aquel lugar suceden extraños fenómenos que provocarán en ellos diferentes reacciones y respuestas. Obviamente no faltan las típicas filias y fobias de la convivencia diaria que junto a misteriosas situaciones irán crispando el ambiente hasta extremos inaguantables. (¿No os suena a Cube (Vincenzo Natali, Canadá, 1997)? ¿O a El señor de las moscas (Lord of the Flies, dos versiones una británica de 1963 y otra norteamericana de 1990)?). Uno de los aciertos de los guionistas ha sido sin duda el no desvelar en los primeros capítulos el trasfondo fantástico de la serie (¿no os suena esto a Twin Peaks (David Lynch, EE. UU., 1990)?) lo que ha servido para enganchar a muchos aficionados tanto a la ciencia ficción como al misterio y a algún otro que pasaba por el canal correspondiente en ese momento. Y por supuesto el boca a boca junto a una brillante puesta en escena, todo hay que decirlo, ha convertido a esta serie en una más de culto con muchos seguidores en todo el mundo. Para aderezar un poco más el guiso argumental cada superviviente, como si de los reality tipo Gran Hermano se tratara, tiene un pasado cercano a lo surrealista que los realizadores de la serie nos van introduciendo en pequeñas dosis para que la cosa se alargue ad infinitum (no me gustaría parecer demasiado negativo, pero según voy escribiendo estas líneas me lo voy pareciendo; esto seguramente es fruto de que uno ha visto ya tantas películas y series que seguramente pocas me parecen realmente originales). Además se han ido difundiendo datos en internet sobre elementos ficticios de la serie que se han hecho pasar por reales, como una web de la inexistente compañía aérea del vuelo accidentado, la fundación Hanso o el proyecto Dharma que explica parte de la serie a partir de la segunda temporada. Es en este instante donde surge la citada sucesión (episodio titulado Números) a partir de la cual los protagonistas y los televidentes comienzan a asociarla a todo tipo de sucesos tanto de su pasado como de su futuro. Y aquí es donde los guionistas juegan con todos, haciendo aparecer esos números,  combinaciones y operaciones con ellos en todas partes, dando a entender que éstos esconden más de lo que parece, algo así como “la sucesión que rige el destino del mundo”. Como casi siempre en este tipo de películas, la persona que los descubre acaba recluido en un sanatorio mental. Y no me extraña. En la película Pi (Fe en el Caos) (Darren Aronofsky, EE. UU., 1998) el matemático Max Cohen cree haber encontrado un patrón universal que rige cualquier aspecto sobre la Tierra. Este patrón se basa en una cadena de 216 números que aparecen en los decimales de π, que explicarían las fluctuaciones de la Bolsa ya que su ordenador los obtiene también estudiando ese asunto, que describirían la esencia de Dios según una secta judía y que aparece en la Torah, su libro sagrado, etc. Al hablarlo con su profesor, éste le explica: “Si te empeñas en encontrar el 216, lo encontrarás por todas partes. Habrá 216 pasos desde la esquina hasta la puerta de tu casa y el ascensor tardará 216 segundos en llegar a tu piso. Cuando tu mente se obsesiona con cualquier cosa, deshechas todo lo demás y sólo eres capaz de ver esa cosa. 320, 450, 22 o 10. Tú has elegido el 216 y lo encontrarás por toda la Naturaleza. Escucha: en el momento que descartas el rigor científico dejas de ser un matemático para convertirte en un numerólogo”. En el libro de Martin Gardner, Los mágicos números del Dr. Matrix, editado en nuestro país por Gedisa, podemos encontrar el número 666, por ejemplo, ya sabéis, el número de la Bestia, aparece por todas partes, pero eso no es lo importante. Lo importante es que aunque no aparezca, lo podemos hacer surgir sin más que elegir convenientemente el sistema sobre el que contar. Y no sólo el 666, sino CUALQUIER número. Y hay muchos personajes que se ganan la vida engañando con este tipo de cosas a los demás con fantasías bastante burdas. ¿Por qué siempre se molestan en buscar el 666? ¿Por qué no tratan de buscar algún procedimiento para generar los números primos, que esos sí aparecen “misteriosamente” en todas partes (teorema fundamental de la aritmética)? ¿O la ley que rija la aparición de los primos gemelos? No, eso no interesa, ¿verdad? No es fácil, y sobre todo, no da dinero. Pues eso quizá nos aportara claves más trascendentes que toda la bazofia que nos largan. Me viene a la cabeza un reportaje de este pasado mes de noviembre, en el programa Cuarto Milenio, en el que se iba a hablar del otrora popular Triángulo de las Bermudas. A todos nos llaman la atención los misterios, y me dispuse a verlo tratando de ponerme al día sobre el tema, a ver si siguen desapareciendo barcos y aviones. El presentador introdujo el asunto mostrando algunos de los libros que fueron éxitos de venta en los pasados setenta. Yo mismo he leído algunos. ¿Y qué se comentó en el reportaje? Los mismos casos que contaban esos libros antiguos acompañados de alguna que otra afirmación (más bien preguntas) un tanto demenciales. Sólo faltó decir que no es casualidad que la zona describa un triángulo, el polígono más sencillo, el símbolo de Dios, la Santísima Trinidad, (los tres mosqueteros y las tres mellizas, añado yo) y bla, bla, bla. Al final se explicaba todo. Aquello era una excusa para presentar la enésima serie sobre el tema que la cadena iba a programar la semana siguiente. Habiendo dejado clara por tanto mi postura (y creo que la de cualquiera con dos dedos de frente) sobre cualquier interpretación seudo-para-normal, volvamos a la sucesión de Perdidos. Las sucesiones numéricas constituyen una mina en la generación de juegos y problemas (incluso aparecen en tests elaborados por sesudos psicólogos). Uno de estos juegos consiste en continuar una sucesión numérica, encontrar el patrón que la genera. Desde el punto de vista matemático, sin ningún dato adicional que convierta a la sucesión en única, esto no tiene ningún sentido, ya que aunque conozcamos cinco, veinte o tres mil términos de una sucesión, ésta no tiene por qué continuar como aparentemente se deduce de una cantidad finita de ellos. Por ejemplo si nos preguntan sobre qué número sigue a los siguientes 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 probablemente digamos que 89 porque cada número parece ser la suma de los dos precedentes (sucesión de Fibonacci). ¿Qué diría el psicólogo encargado de evaluar un test en el que no se dé ninguna posible respuesta a un señor que responda 91? Diría que está mal cuando en realidad, la persona habría respondido conforme a otro modelo, el del menor entero mayor o igual que en/2−1 (o dicho de otro modo, [e(x-1)/2], donde [x] es la parte entera de x). Calculándolo con DERIVE tendremos que  VECTOR(CEILING(SQRT(e^(n−2))), n, 1, 12) se simplifica a  [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 91, 149] (sucesión A005181 de Sloane). Y no es un caso patológico, habría centenares de sucesiones. Esto está indicado en un resultado conocido como Ley fuerte de los pequeños números (Strong Law of Small Numbers, Gardner 1980, Guy 1990), que indica que no hay suficientes números pequeños para cumplir los muchos requisitos que se les impongan, por lo que aparentes regularidades con números pequeños no son más que meras coincidencias. Por cierto he citado a Neil J. A. Sloane. Este matemático e informático comenzó en 1993 la publicación de una notable Enciclopedia de Sucesiones de números Enteros en la que incluía unas 5500 sucesiones diferentes. Desde entonces ha ido incrementando exponencialmente su número gracias a colaboraciones de amigos, compañeros y cualquier persona que quiera enviarle alguna nueva con algún motivo justificado. En la red tiene un enlace a The On-Line Enciclopedia of Integer Sequences. Si escribimos nuestra sucesión, aparecen dos resultados: Sucesión A104101.- Los Números de  “Perdidos” Estos números son el argumento central de la serie de televisión “Perdidos” en los episodios 18 y 101. Otro numero de la sucesión, quizá el siguiente, es el 540: el número de días que dos personas están en la estación 3: 4+8+15+16+23+42 = 108 x 5 = 540.. De acuerdo con el guión de la serie, 108 no es parte de la sucesión, sólo es la suma de los términos conocidos. Y después hay varios enlaces a otras páginas en los que se vuelve a elucubrar sobre la serie, y otras sucesiones con las que tiene relación. Sucesión A122115.-  a(n) = a(n−1) + a(n−3) + a(n−5) para n > 2. -3, -1, 4, 8, 15, 16, 23, 42, 66, 104, 162, 251, 397, 625, 980, 1539, 2415, 3792, 5956, 9351, … Yo no me he resistido a meter el lápiz (bueno el ordenador) y he calculado el polinomio interpolador que tiene como datos los valores, 4, 8, 15, 16, 23, 42, para los nodos 1, 2, 3 ,4, 5, 6, respectivamente. Esto nos da un polinomio de grado 5: Con él, el siguiente término sería el 46, y a partir de ahí todos valores negativos, pero podemos tomar el polinomio en valor absoluto y arreglado. Seguiría entonces con 52, 426, 1364, 3295, 6816, … Lo único que me ha llamado la atención es que cualquier valor que le dé al polinomio me devuelve siempre un valor entero (atención otra vez a los amantes de lo oculto, esto es curioso, pero no excepcional; hay muchos polinomios racionales tales que al sustituir valores enteros, nos devuelve siempre un entero). ¿Os animáis a demostrar que o bien esto es cierto en general, o a buscar un contraejemplo que lo contradiga? ¡Hala, ejercicio para las Navidades! En todo caso, estoy completamente de acuerdo con Josep: ejemplos como éste pueden motivar a los alumnos a trabajar con conceptos matemáticos de interés, pero eso sí, sin que nos acaben obsesionando. EPISODIOS DE NUMB3RS PROGRAMADOS ESTE MES EN CALLE 13 Os recordamos que la fecha de emisión son los lunes que se indican en cada episodio a las 22:20, pero que cada uno se vuelve a emitir tres veces más: los martes de la misma semana a las 17:45, y los sábados a la 21:30 y los domingos a las 15:30, éstos de la semana siguiente. 2.10.- Tóxicos (Toxin) (4 – 12 – 2006) Argumento: Después de que dos personas estuvieran a punto de morir envenenados, Don descubre que alguien está adulterando medicamentos. Don piensa que podría ser un ex-empleado de la compañía farmacéutica. Aspectos Matemáticos: Criptoanálisis (descifrado de códigos) y teoría de la información, entropía, el problema de los puentes de Königsberg (teoría de grafos), árboles de Steiner. El FBI encuentra un bloc de notas del sospechoso con algunos mensajes escritos en clave, aunque sin especificar ésta. Inicialmente los agentes conjeturan que podrían contener algún número de teléfono (aparecen diez dígitos en uno de los mensajes) que pudiera llevarles a descubrir a un misterioso cómplice del envenenador. Don sugiere poner a trabajar los ordenadores del departamento para descifrar el texto, mientras que su hermano Charlie propone un análisis basado en conceptos de teoría de la información. Charlie explica que para descifrar un texto en clave como el que han encontrado (basado en el método de sustitución: desplazar las letras del mensaje original una cantidad constante sustituyendo cada una por la que corresponda según esa cantidad) conviene tener un buen conocimiento del idioma (en este caso del inglés). Esto es debido a que en cada idioma hay letras que aparecen con más frecuencia que otras (por ejemplo, “a”, “o”, “s”, se utilizan más que “x”, “q”, “z”). Del mismo modo hay palabras que se utilizan más (artículos, preposiciones) que otras, o parejas de letras (diptongos, por ejemplo) que se combinan mucho más que otras. Un análisis de las frecuencias de aparición puede ser determinante. En concreto el mensaje encontrado es XJEW EMF WJFKF UQGGK WJEW ZQGG? y posteriormente se intercepta XJC QK WJF QAWFASFS HQIWQP? Charlie propone utilizar la misma clave en ambos casos. Tratad de descifrarlo antes de ver el capítulo. Como pista puede utilizarse algo tan obvio como es que ambas son preguntas y por tanto las frases empiezan con alguno de los típicos pronombres interrogativos del inglés. La verdad es que descifrar las frases anteriores para personas que tienen cierta soltura (en algunos periódicos aparecen cifrados como éstos en la sección de pasatiempos) no es demasiado complicado. Estos malhechores son un tanto ingenuos si pretenden que estas instrucciones permanezcan ocultas con un cifrado como el que utilizan. Una vez conocida la clave, los agentes escribirán un mensaje trampa para tratar de descubrir al cómplice que aún no conocen. La teoría de la información, desarrollada por el ingeniero y matemático Claude Elwood Shannon  (1916-2001), es la base del encriptado y descifrado de códigos. Basándose en las leyes de Boole y las leyes de la lógica, diseñó circuitos digitales. Trabajo en los laboratorios Bell y posteriormente en el MIT (Instituto Tecnológico de Massachussets, puntera y emblemática universidad privada norteamericana), siendo uno de los primeros en utilizar los bits como unidad de información así como técnicas de Inteligencia Artificial. En este enlace podéis encontrar más datos sobre su vida y su trabajo. Charlie también sugiere utilizar el concepto de entropía esperada (concepto definido precisamente por Shannon en 1948) para hacer una estimación de la dificultad que podría tener descifrar esos mensajes. En criptografía la entropía mide la cantidad de “incertidumbre” utilizando distribuciones de probabilidad. A mayor entropía, más difícil resultará la tarea. Si todos los elementos tienen la misma probabilidad de aparecer, la entropía es máxima, mientras que si unos tiene más probabilidad que otros (como en el caso de las letras de un texto de un idioma como se comentó anteriormente) la entropía se hace menor, y las posibilidades de descifrarlo aumentan. En general la entropía esperada de que un determinado dígito aparezca dentro de un conjunto de cifras viene dada por la expresión p(n) (−log2 p(n)), siendo p(n) la probabilidad de que ese dígito aparezca. Si lo que se analizan son varios códigos, la entropía es la suma de cada uno de ellos. Se utiliza habitualmente el logaritmo en base 2, y entonces la entropía se mide en bits. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda al aire para ver si sale cara o cruz (dos estados con probabilidad 0.5), tiene una entropía: H = 0.5 (−log2(0.5)) + 0.5 (−log2(0.5)) = 0.5 log2(2) + 0.5 log2(2) = 0.5 + 0.5 = 1 bit. La entropía tiene mucha importancia en la ciencia en campos como la biología, la física, la química, etc. Charlie también menciona el famoso problema de los siete puentes de Köningsberg como ejemplo para indicar cómo seguir el rastro del envenenador. Como es sabido el problema lo resolvió Leonhard Euler (1707 – 1783) con un argumento que originó el posterior desarrollo de la teoría de grafos, teoría aplicable a la resolución de multitud de problemas y situaciones reales en los más diversos campos. En la red uno puede encontrar infinidad de páginas dedicadas a la teoría de grafos, incluso apuntes completos para seguir cursos tanto de introducción como avanzados. A modo de resumen, el problema consistía en lo siguiente. La ciudad de Köningsberg estaba dividida en cuatro zonas por el río Pregel. Estas zonas se conectaban en la época de Euler por siete puentes tal y como aparecen en el dibujo. Los ciudadanos se preguntaron si sería posible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo punto y acabando el recorrido en el mismo punto de partida. Euler utilizó el esquema adjunto para representar la situación, donde los puntos (nodos o vértices del grafo) simbolizan las cuatro zonas de la ciudad, y los segmentos que las unen (aristas o lados del grafo) los siete puentes. A partir de este grafo, Euler demostró la imposibilidad de la existencia de tal recorrido. Posteriormente otros problemas influyeron en el desarrollo de la teoría de grafos como el estudio de las redes eléctricas, la enumeración de isómeros de hidrocarburos, etc. Hoy en día es rara la disciplina científica o humanística que no utiliza la teoría de grafos. Como ejemplos podemos citar la psicología en dinámica de grupos, la sociología en los sociogramas, la física teórica que usa los diagramas de Feynmann donde se representan las partículas elementales mediante líneas, el estudio de flujos en redes en programación lineal e investigación operativa, el recorrido óptimo de los camiones de basura en una ciudad, el trazado de carreteras, o los típicos pasatiempos de trazar un dibujo de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel. Finalmente el episodio nos depara aún otro concepto matemático de interés. El envenenador ha hecho acto de presencia en tres lugares diferentes de las montañas de San Gabriel. Charlie conjetura que su escondite debe estar en algún lugar próximo a esas tres localizaciones. ¿Por qué no en las inmediaciones del punto geométrico que sea la distancia más corta a esos tres sitios? Ese punto de distancia mínima es conocido como punto de Steiner. Por otra parte, existe un tipo  especial de grafo conocido con el nombre de árbol. Se trata de grafos conexos y sin ciclos (ver dibujo adjunto). Dados  N puntos en el plano, construir un árbol de modo que su longitud total sea la mínima posible y cuyos nodos sean los puntos dados se denomina árbol recubridor euclídeo mínimo (en inglés, EMST, Euclidean Minimum Spanning Tree). El EMST puede no ser la solución optima al problema, es decir, que pueden existir otros árboles que conteniendo a los vértices del problema original su longitud sea menor que la del EMST. Estos árboles se denominan árboles de Steiner (Steiner Trees), y son el resultado de añadir al conjunto original algunos vértices nuevos. La computación de los árboles de Steiner resulta ser un problema difícil como demostraron en 1976 Garey, Graham y Johnson. Con la tecnología actual no somos capaces de afrontar problemas de árboles de Steiner con más de 25 puntos. Es superfluo apuntar las muchas aplicaciones de gran interés correspondientes a los árboles EMST y los de Steiner: Sistemas de Telecomunicaciones de Datos, Diseño de Redes de Sistema Eléctrico, Planificación de Transporte Urbano, todos ellos con coste de la instalación mínimo, ya que se exige que el recorrido sea mínimo. El primero en utilizar el concepto de árbol fue Gustavo Kirchhoff (1824 – 1887) en sus trabajos sobre redes eléctricas Más tarde la teoría de árboles fue desarrollada (y bautizada así) por Arthur Cayley (1821 – 1895) en el estudio de determinados isómeros de los carburos saturados. El matemático suizo Jacob Steiner (1796 – 1863) trabajó en problemas de caminos mínimos, de ahí que el árbol óptimo descrito con anterioridad se bautizase con su nombre. Con la aparición de los computadores, los árboles se utilizan en el estudio de las estructuras de datos, clasificación, teoría de la codificación y problemas de optimización. 2.11.- El legado de la tribu (Bones of Contention) (11 – 12 – 2006) Argumento: Una investigadora especializada en antigüedades nativas americanas es asaltada y asesinada en el museo en el que trabaja. El equipo de Don tratará de averiguar quien lo hizo y porqué. Mientras el padre de los hermanos protagonistas lo está pasando mal recordando algo del pasado. Aspectos Matemáticos: Función exponencial, Diagramas de Voronoi. En este episodio Charlie explica a su hermano el fundamento matemático de la datación de un objeto mediante la técnica del Carbono 14, una aplicación que reúne conceptos de química, biología y física y que permitió a Willard F. Lobby obtener el premio Nobel en 1960. Esta técnica se basa en el hecho de que cualquier organismo vivo mantiene una cantidad constante del isótopo radiactivo denominado carbono 14 (14C, en lo sucesivo, descubierto en 1940 por Martin Kamen y Sam Ruben) que va decreciendo de forma exponencial (como cualquier sustancia radiactiva) después de la muerte del citado organismo. El 14C es producido de un modo continuo en la atmósfera como consecuencia del bombardeo de átomos de nitrógeno por neutrones cósmicos. Este isótopo creado es inestable, por lo que, espontáneamente, se transmuta en nitrógeno-14 (14N). Estos procesos de generación-degradación de 14C se encuentran prácticamente equilibrados, de manera que el isótopo se encuentra homogéneamente mezclado con los átomos no radiactivos en el dióxido de carbono de la atmósfera. El proceso de fotosíntesis incorpora el átomo radiactivo en las plantas de manera que la proporción 14C / 12C en éstas es similar a la atmosférica. Los animales incorporan, por ingestión, el carbono de las plantas. Tras la muerte del organismo vivo no se incorporan nuevos átomos de 14C a los tejidos y la concentración del isótopo va decreciendo conforme va transformándose en 14N. La vida media del 14C es de 5730 años. Cada 5730 años la cantidad de 14C en el organismo (ahora muerto) se reduce a la mitad (se trata de resolver una sencilla ecuación diferencial, y´(t) = k y(t), de primer orden en variables separadas). De este modo puede ser datado el momento de la muerte de dicho organismo. Se conoce por edad radiocarbónica y se expresa en años BP (Before Present). Esta escala equivale a los años transcurridos desde la muerte del ejemplar hasta el año 1950 de nuestro calendario, fecha elegida por convenio por ser en la segunda mitad del siglo XX cuando los ensayos nucleares (la política y la guerra siempre jo…, perdón, fastidiándolo todo) provocaron severas anomalías en las curvas de concentración relativa de los isótopos radiactivos en la atmósfera. Al comparar las concentraciones teóricas de 14C con las de muestras de maderas de edades conocidas se descubrió que existían diferencias con los resultados esperados. Esas diferencias se deben a que la concentración de carbono radiactivo en la atmósfera también ha variado respecto al tiempo. Hoy se conoce con precisión la evolución de la concentración de 14C en los últimos 25000 años, por lo que puede corregirse esa estimación de edad comparándolo con curvas obtenidas mediante interpolación de datos conocidos. La edad así hallada se denomina edad calibrada y se expresa en años Cal BP. Otro concepto que Charlie menciona en este capítulo a propósito de los restaurantes de comida rápida es el de los diagramas de Voronoi. Estos diagramas se basan en la representación de información mediante estructuras poligonales. Éstas aportan mayor información que las rectangulares ya que podemos observar de un vistazo conexiones entre más elementos. Pongamos un ejemplo. En algunas tiendas que reparten a domicilio se describe mediante un mapa las zonas de la ciudad a las que esa tienda suministra sus productos. Si se trata de una cadena de tiendas aparecen también las zonas de las que se encargan el resto de las “sucursales”. Esos mapas pueden describirse mediante un diagrama de Voronoi en el que se representan con diferentes colores las zonas de influencia (de reparto) de cada una de las tiendas. En el dibujo, un ejemplo de este tipo de diagramas, en el que los puntos son el lugar donde se encuentra la tienda y cada zona poligonal convexa, sus áreas de influencia. Construir un diagrama de este tipo con 3 o 4 zonas de influencia tiene su interés. Para determinar los bordes de cada región es preciso obtener la mediatriz de cada segmento. Otro ejemplo, más atrayente seguramente para los alumnos, es la descripción de la defensa en zona de un equipo de baloncesto (o sea cómo hacer el reparto para cada jugador de una zona del campo). Aquí puede verse esta actividad (en inglés). Por supuesto que los diagramas de Voronoi se aplican a otros campos científicos como la arqueología, la astronomía, la biología o el marketing. Hay un modo de dividir el mapa en triángulos que está relacionado con los diagramas de Voronoi: la triangulación de Delaunay. De hecho, es el dual geométrico de los diagramas de Voronoi. Tal y como nos enseñaron en la escuela, para cualquier triángulo puede construirse un único círculo que pasa por los tres vértices (el círculo circunscrito). Su centro se denomina circuncentro y es la intersección de las tres mediatrices del triángulo (en la literatura anglosajona las mediatrices se denominan bisectores perpendiculares). Esta triangulación/teselación se caracteriza por la propiedad de que para cada triángulo, su círculo circunscrito no tiene que contener ningún otro vértice del resto de triángulos. Parece complicado pero no lo es; de hecho hay varios algoritmos programables para que los ordenadores nos hagan el trabajo sucio. Una de las aplicaciones de la triangulación de Delaunay es la interpolación de datos. Por poner un ejemplo asequible, supongamos que medimos la profundidad de un lago en diferentes puntos. Si éstos están uniformemente espaciados en filas y columnas, podemos dibujar un mapa del fondo del lago con cierta precisión. Sin embargo es bastante improbable que desde una barca se puedan obtener las medidas donde uno desea. Así que se toman medidas donde se puede que posteriormente se interpolan. Un procedimiento es tomar las mediciones como puntos base y construir una triangulación de Delaunay. Luego se superpone una malla uniforme. Cada punto de esa malla aparece en alguno de los triángulos de Delaunay y de nuevo interpolando los valores que quedan dentro de los triángulos calculamos los valores de los vértices de la malla que nos interesan (se dan diferentes pesos a los valores dependiendo de la distancia a los vértices). Resulta bastante instructivo para alumnos de Bachillerato proponer unas actividades sencillas (simplificadas) tanto sobre los diagramas de Voronoi como de Triangulación de Delaunay, ya que pueden constatar que conceptos como circuncentro, mediatriz, pendiente, etc., no son conceptos exclusivamente abstractos y por tanto ociosos, sino aplicables y mucho a problemas reales. 2.12.- El pirómano (Scorched) (18 – 12 - 2006) Argumento: Un pirómano que cree formar parte de un grupo terrorista extremista provoca un incendio en un coche mediante un cóctel Molotov, muriendo un hombre. El nombre del supuesto grupo aparece en el lugar pintado con un spray y es el cuarto que sucede, aunque el primero que causa víctimas. Aspectos Matemáticos: Gráficas en tres dimensiones, sistemas dinámicos. En el análisis de las causas que pueden haber provocado un incendio se estudian diferentes elementos, como restos de objetos quemados o de gasolina u otros productos inflamables que puedan determinar si ha sido casual o provocado. Charlie afirma analizar un total de 600 variables diferentes para resolver la cuestión. A partir de este número de características se obtienen sin embargo un número mucho mayor de posibilidades (si se considera por ejemplo la variable “rastros de gasolina”, dando el valor 0 si no los hay y el valor 1 si se encuentran, se tienen dos posibilidades distintas. Con dos variables obtenemos cuatro respuestas posibles. Con 600, tantas como 2600). Charlie está convencido de que los cinco incendios que han tenido lugar son obra de la misma persona. Trata entonces de encontrar características comunes en ellos, algo así como las huellas pirománticas del incendiario. Para ello, trata de interpolar diferentes datos recogidos en los lugares donde se han cometido, con un procedimiento que los guionistas han llamado algo así como Análisis de los Componentes Principales (PCA). En realidad se trata de encontrar el plano que mejor se ajuste a los datos que ha ido recogiendo (una especie de ajuste pero en tres dimensiones). En este enlace se describe el procedimiento (basado en conceptos de álgebra lineal). Por otra parte la evolución de un incendio puede ser estudiada como un proceso dinámico. El problema es que modelizar un fuego incluye considerar muchas variables (humedad, velocidad del viento, dirección del viento, densidad del combustible, temperatura inicial, etc.). Una modelización de la evolución de un incendio en un bosque en el que podemos introducir algunos parámetros puede verse aquí (está en inglés, pero es muy sencillo). 2.13.- Bandas Callejeras (The O.G.) (25 – 12 – 2006) Argumento: Don y su equipo necesitan atrapar a un hombre llamado Travis Grant que parece ser la última persona que ha visto vivo a su compañero el agente Rhimes. Rhimes estaba infiltrado en una banda a la que pertenece Grant. Al parecer Rhimes no llegó a ser descubierto por nadie de la banda por lo que no está claro el motivo de su muerte. Entretanto, Charlie y Amita (recuerden: la alumna a la que dirige la tesis) se enfrentan con el departamento de Geología en un torneo de dardos. NOTA: Las siglas O.G. del título original son el acrónimo de Original Gangota, término que designa a ciertas bandas juveniles callejeras. La canción de hip-hop Remember the Name, interpretada por el grupo rapero Fort T que presenta el capítulo es una referencia que trata de situar al espectador en este ambiente. Aspectos Matemáticos: Distribución de Poisson, Análisis de redes. En esta ocasión, El FBI investiga una serie de asesinatos realizados por bandas callejeras. Basándose en cómo se relacionan los miembros de las bandas, Charlie crea una red que modelice esas informaciones. A través de esa red espera averiguar quien será la próxima víctima. El análisis de redes es una aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales. Para analizar matemáticamente una red, estudiamos los distintos nodos que aparecen en la misma y tenemos en cuenta que el flujo que entra en cada uno tiene que ser igual al flujo que sale. A partir de ahí, planteamos un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, el gráfico adjunto podría representar el flujo de tráfico en una ciudad, o la cantidad de agua que pasa por una tubería (los nodos serían plazas en un caso o uniones de tuberías en el otro) con valores constantes en algunos de los bordes (medidos según el caso en litros por segundo, o miles de litros por hora, o número de coches por hora). Los distintos hilos (o bordes) serán las calles de la ciudad en el caso del flujo de tráfico, o las canalizaciones de agua. Debajo, en la tabla, tendríamos la descripción de cómo se obtiene el sistema de ecuaciones lineales. Resolviendo el sistema obtenemos infinitas soluciones (x1 = 20 λ, x2 = 60 λ, x3 = 20 λ, x4 = 20 + λ, x5 = λ). Variando el flujo que se hace pasar por el hilo x5 podemos controlar y ver como varía el flujo en el resto de hilos y nodos de la red. Estos modelos son bastante útiles en la realidad. En el caso de una red de comportamiento social como la que plantea Charlie, los nodos (o vértices) serían los individuos de la banda, y los hilos mostrarían cómo la información llega de uno a otro miembro del grupo. De un esquema como el anterior es posible obtener la matriz del camino más corto que ilustraría el menor número de enlaces entre dos nodos cualesquiera. De este modo podemos conocer el tipo de rol que cada miembro de la banda desempeña en la misma. Se pueden definir muchos más conceptos sobre una red que no detallamos por no extendernos demasiado. Por otra parte se alude a la distribución de Poisson para calcular la probabilidad de que ocurran unos sucesos en un tiempo fijo conocida una tasa media de los mismos y siendo independientes del tiempo. Por ejemplo, supongamos que en cierto aparcamiento una persona es robada de media cada dos días. La policía utilizaría ese dato para estimar la probabilidad de que una persona cualquiera sea robada en ese parking en un día concreto, o en el periodo de tres semanas. Matemáticamente, la probabilidad de que un determinado suceso ocurra exactamente k veces viene dada por donde m es el número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si  el 2 % de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas, tendríamos, k = 5, m = 400 (0.02) = 8, luego p(5, 8) = 0.092. La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) que la publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838. A todo esto,  ¡¡¡¡¡FELICES FIESTAS A TODOS !!!!!

Viernes, 01 de Diciembre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

70. 19. Seguimos Perdidos

El presente mes están programados cinco episodios de Numb3rs que incluyen mucha información matemática (que por cuestiones de espacio no está descrita totalmente). El lector que no pueda ver la serie no se encontrará, sin embargo, perdido ya que se procura que todo el mundo pueda seguir estas reseñas. A propósito de Perdidos, seguimos respondiendo enigmas…. Entiéndase bien el título de este mes. No es que hayamos perdido el rumbo, es que estamos visionando los capítulos de esta serie desde la primera temporada, rastreando afanosamente si hay alguna clave que ayude a resolver la génesis de la misteriosa sucesión que determina (según el argumento de la serie) el destino de la Humanidad (ecuación de Valenzetti la han llamado). Por cierto, que en el fondo no hay sucesión que valga, por lo que no se entiende ese afán por saber el siguiente término. Son seis números sin más. Nadie por el momento me ha enviado la prueba de que dado P(x), polinomio interpolador de esos números, P(n)∈Ζ, para cada n∈Ζ. Os dejaremos pensarlo otro mes más. P(x) =  (– 9 x5 + 170 x4 – 1175 x3 + 3670 x2 – 4896 x + 2400) Hay otro polinomio que se cita en la Red sobre estos números, el llamado polinomio de Shaw-Basho (le bautizo como SB(x)), que alguien propuso (ni Shaw ni Basho, al parecer, existen), SB(x) =  (42 x5 – 305 x4 + 1100 x3 – 895 x2 + 1018 x + 480) que verifica que al sustituir x por 0, 1, 2, 3, etc. devuelve 4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, …, respectivamente. En la página http://www.dougshaw.com/lost/ se indica que lo curioso de esta sucesión es que al ir haciendo sucesivas diferencias entre esos números, se van obteniendo los siguientes resultados: 1ª Sucesión: 4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, 5346, 10150, 18093, ... 2ª Sucesión: 8, 23, 54, 124, 298, 683, 1428, 2624, 4804, 7943, 12458, ... 3ª Sucesión: 15, 31, 70, 174, 385, 745, 1296, 2080, 3139, 4515, 6250, ... 4ª Sucesión: 16, 39, 104, 211, 360, 551, 784, 1059, 1376, 1735, ... 5ª Sucesión: 23, 65, 107, 149, 191, 233, 275, 317, 359,  ... 6ª Sucesión: 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, ... 7ª Sucesión: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, .. 8ª Sucesión: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, … Obsérvese que los primeros términos de las sucesivas sucesiones (en rojo) son los famosos números. Nada que decir, ya que el polinomio se ha construido precisamente para que cumpla esa condición (ver abajo). Luego se afirma, como si fuera algo increíble, que la sucesión se autodestruye. Desde luego, ¡se ve cada cosa por ahí escrita¡. La página pertenece al parecer a un profesor, doctor en Matemáticas en la Universidad de Iowa. Pues bien, señores míos (me voy a tomar la molestia de mandar al autor de la página un e-mail a ver si se pone a estudiar algo de Cálculo Numérico), para CUALQUIER conjunto de  valores numéricos que verifique un cierto polinomio de grado menor o igual que N, TODAS sus diferencias divididas de grado mayor o igual que N+1 se anulan. Aquí no son exactamente diferencias divididas, pero funcionan igual. Si se quiere obtener un tal polinomio, basta con construir una tabla del siguiente modo: Necesitamos para ello disponer de las imágenes de los nodos (los nodos son los valores de la primera columna, 0, 1, 2, 3, 4, 5), y calcular el polinomio interpolador. Para el que sepa cómo se construye el polinomio interpolador mediante diferencias divididas, una tabla similar a ésta, quizá piense que ya podríamos construir el polinomio así: L(x) = 4 + 8 (x − 0) + 15 x(x − 1) + 16 x(x − 1) (x − 2) +23 x(x − 1) (x − 2)(x − 3) + 42 x(x −1) (x − 2)(x −3) (x − 4) = 42 x5 − 397 x4 + 1348 x3 − 1880 x2 + 895 x + 4 Pero si calcula las sucesiones de diferencias descritas con anterioridad, verá que no se cumplen. ¿Por qué? Porque la forma anterior de componer el polinomio interpolador está basado en diferencias divididas (para calcular la tercera columna se restan los valores consecutivos de la columna anterior pero hay que dividirlos por 2, para la cuarta hay que dividirlos por 3, etc. la diferencia entre los nodos). Lo que buscamos nosotros es ligeramente distinto: queremos que los valores de TODAS las columnas sean los valores de rojo, pero sin dividir por ningún valor. Es decir queremos una tabla en diferencias SIN DIVIDIR. Entonces vamos calculando, desde el final al principio los valores de los asteriscos, hasta que tengamos las imágenes de cada nodo (es decir, la segunda columna completa). Es sencillo, sólo hay que sumar. (42 + 23 = 65, etc.). Se tiene entonces la tabla Véase que por columnas son justamente los valores de las sucesiones que aparecen arriba. Bien, se calcula entonces el polinomio interpolador que pasa por los puntos (0,4), (1, 12), (2, 35), (3, 89), (4, 213) y (5, 511), y se obtiene obviamente el polinomio ÚNICO SB(x), el polinomio de Shaw-Basho cuya obtención no tiene nada de misteriosa, ni tiene ninguna propiedad especial que no tenga cualquier otro polinomio así construido. Los números estos se han elegido completamente al azar. Sin embargo algunos seguidores de la serie, parece que por no tener una ocupación mejor, se empeñan en cientos de blogs en buscarles tres pies al gato. En 1959 el neuropsicólogo Klaus Conrad (1905−1961) definió la apofenia como la experiencia (esto es un eufemismo; debería decir el trastorno) consistente en ver patrones, conexiones o ambos en sucesos aleatorios o datos sin sentido alguno. Conrad describió originalmente este fenómeno en relación con la distorsión de la realidad presente en la psicosis, pero se  utiliza en un sentido más amplio para describir esta tendencia en individuos sanos sin que esto implique necesariamente la presencia de enfermedades neurológicas o mentales (espero que este último sea el caso de los lectores de estas páginas). La apofenia se usa a menudo como explicación de afirmaciones paranormales o religiosas. Otros estudios describen la apofenia como un vínculo entre la psicosis y la creatividad. ¿A qué viene este apunte? Pues porque les voy a deleitar con las casualidades que más me han llamado la atención sobre estos números, para que observen cómo hila de fino el personal y para advertirles que estas cosas no deben tenerlas más que como curiosidades. 1.- Si sumamos cualquiera de los seis números de tres en tres, el resultado es siempre un múltiplo de 3. (¿Y qué?  Esto se logra de infinitas maneras) 2.- Tomando las diferencias entre pares consecutivos de los números y sumándolas, se obtiene la diferencia entre el último y el penúltimo número (que como se ve en el fotograma de la lotería de uno de los protagonistas, está separado del resto, es el número complementario): (8 − 4) + (15 − 8) + (16 −15) + (23 −16) = (42 − 23) 4 + 7 + 1 + 7 = 19 3.- Una combinación lineal de cinco de los números genera el sexto. Además siempre son tres sumas y dos diferencias de factor unidad: 15 + 16 + 23 − 42 − 8 = 4 15 + 16 + 23 − 42 − 4 = 8 4 + 8 + 42 − 16 − 23 = 15 4 + 8 + 42 − 15 − 23 = 16 4 + 8 + 42 − 15 − 16 = 23 15 + 16 + 23 − 4 − 8 = 42 4.- La suma de los números (108; recordemos, cada 108 minutos los sufridos supervivientes deben introducir los números en un ordenador), su producto (7418880) y su media aritmética (18) tienen como suma de dígitos el valor 9. Normal, ocurre para cualquier múltiplo de 9, y esos tres valores son múltiplos todos de 9 (véase, por otro lado, la descomposición de los números en factores primos). 5.- En la mitología budista e hindú, el número 108 es muy importante. Observan 108 pecados en el Ser Humano, por lo que en las celebraciones de Año Nuevo, tañen una campana 108 veces. Además se dice que los dioses hindúes tienen 108 nombres. 6.- Esos dorsales de los Yankees de béisbol están retirados en memoria de los grandes jugadores que los llevaron: 4.- Lou Gehrig (recuerden la peli de Gary Cooper, El orgullo de los Yankees), 8.- Yogi Berra y Hill Dickney, 15.- Thurman Munson (que murió en un accidente de avión, precisamente), 16.- Whitey Ford, 23.- Don Mattingly, 42.-Mariano Rivera. Sabiendo lo pesados que se ponen los norteamericanos con este deporte, no diría yo que  no fuera ésta la causa más plausible de elección de estos números. Y muchas más peregrinas coincidencias y apariciones (véase el número de placa policial de Catwoman en la imagen) ….. Viendo toda la parafernalia generada por unas simples cifras que nos pueden dar pie hasta para explicar cómo se calcula un polinomio interpolador, por favor, señores guionistas, introduzcan más cosillas de este tipo en sus producciones, aunque si fuera posible, que nos dieran más juego, algo así como lo que sucede en NUMB3RS, de la que ya me ocupo. Coincide que este mes el día 1 de Enero es lunes, es decir que hay capítulo nuevo de Numb3rs. Entenderéis (espero) los cientos de seguidores de estas humildes reseñas que esta vez no esté colgada de la red a tiempo, aunque se procurará que esté lo antes posible. No os preocupéis, que se re-emiten varios días. Episodio 2.13.- Doble o Nada (Double Down). Fechas de emisión: Lunes 1 de Enero (22:20), Martes 2 de Enero (17:45), Sábado 13 de Enero (21:30), Domingo 14 (15:30). Argumento: Un joven ruso es asesinado después de ganar al Blackjack en el Club de Naipes de Los Ángeles. En los pasados seis meses tuvieron lugar cuatro robos en este casino. En la mochila de la víctima aparecen libros repletos de ecuaciones, por lo que Don pide a su hermano que las examine. A Larry no le resultan del todo desconocidas. Aspectos Matemáticos: Probabilidad, Números aleatorios y seudo-aleatorios, Combinatoria, Series Temporales. Muy apropiada la emisión de este capítulo en periodo navideño en el que tradicionalmente jugamos alguna que otra partida a las cartas. Y un buen episodio para aprender algunas cosas sobre casas de juego y probabilidades que ojalá hagan recapacitar a más de uno sobre un conocido dicho: La Banca nunca pierde. En el episodio se juega al Blackjack. Comencemos describiendo las reglas de este juego, muy similar a nuestras Siete y Media. Usualmente se juega entre dos personas, el que juega y el croupier (puede haber hasta 7 jugadores; no obstante el resto sólo pueden apostar sobre la mano del que juega, siempre que éste lo permita, y sin poder dar consejos ni instrucciones a los demás. En la imagen, mesa típica del juego). A cada jugador se le dan dos cartas, una se muestra sobre la mesa; la otra sólo la ve el jugador. Se pueden pedir más cartas, pero sólo una puede estar oculta. Gana el jugador que tiene el valor más cercano a 21 sin pasarse. Los ases pueden valer 1 u 11 (a discreción del jugador; si decide que valga 1 o si no aparecen ases, se denomina “mano fuerte”; si elige 11, es una “mano floja”); dieces, jotas, reinas y reyes valen 10, y el resto de cartas toman su valor facial. El término “blackjack” hace referencia a conseguir 21 con sólo dos cartas. Se trata de un juego tipo chemin de fer (esta expresión significa ferrocarril). Se originó en los casinos franceses en torno al 1700 y ha derivado en un conjunto de variantes que incluyen el Baccarat, Vingt-Et-Un (conocido como el 21 en Norteamérica y como Pontoon en Australia). Como ya hemos dicho, en nuestro país la variante más popular de este tipo son las Siete y Media. En el blackjack el jugador (no la banca) tiene más opciones: ♣ Doblar su apuesta (título del capítulo, double down): si las dos primeras cartas del jugador suman 9, 10 u 11, puede doblar su apuesta. En este caso, le será servida una sola carta. ♣ Separar parejas (Splitting Pairs): Si las dos primeras cartas del jugador son del mismo valor, podrá separarlas depositando una apuesta igual a la inicial y jugando dos manos independientes. Puede separar tantas manos como cartas del mismo valor le sean servidas. Si separa un par de ases, sólo podrá recibir una carta para cada as, y si una de estas cartas fuese un 10 o una figura, su puntuación será de 21, pero no de Blackjack. Es bastante arriesgado separar dos reyes puesto que tienes ya una buena puntuación (20). Es lo que hace Alex Chernov en este episodio. ♣ Seguro (Insurance): Si la primera carta del croupier es un as, los jugadores pueden asegurar sus apuestas contra el posible Blackjack de la banca, depositando una suma igual, como máximo, a la mitad de la apuesta. Si el croupier logra el blackjack, pagará al jugador el seguro a razón de 2 a 1; si no lo consigue, el jugador perderá su apuesta de seguro.   Las reglas del blackjack varían ligeramente entre los diferentes casinos del mundo. Esto es consecuencia directa del descubrimiento por parte de jugadores de mentalidad matemática durante los años sesenta (entre ellos el célebre profesor Edward O. Thorp), de que en el blackjack no sólo era posible jugar en igualdad de condiciones que la Banca, sino también con mayor ventaja. Con ayuda de los ordenadores se ha estudiado cual sería la jugada óptima para cada una de las distintas situaciones que se puede dar en el blackjack. Por ejemplo, la mayor parte de los jugadores de blackjack sabe que la peor carta que pueden recibir es un 5, ya que ofrece posibilidades muy pobres de cara a hacer un buen juego y con frecuencia conduce al «fiambre», lo cual, evidentemente, favorece a la banca. Después del 5 y por orden de importancia, las peores cartas son 4, 3, 2 y 6. No es sorprendente, por tanto, que los gerentes de los casinos efectuaran modificaciones en las reglas del juego que les favorecieran. Para aquéllos que dominan la complejidad del juego y se dedican lo suficiente a aplicar los descubrimientos de los expertos, el blackjack puede representar una profesión de la que poder vivir, aunque en realidad pocos lo hacen, ya que cuando un casino descubre a un profesional, con toda seguridad, le impiden jugar. Recuérdese por ejemplo el caso de la familia Pelayo y sus ganancias en la ruleta. La página http://www.bjmath.com/bjmath/toc.htm contiene gran cantidad de artículos matemáticos (para seguir algunos es necesario conocer bastante a fondo ciertos temas de estadística e investigación operativa) aplicados a este juego. A menos que se tenga una súper memoria y uno sea capaz de hacer cálculos con mucha rapidez, es muy difícil saber si se tiene ventaja sobre el croupier. Todos los sistemas se basan en recordar las cartas que han salido, aunque en ningún caso se puede saber con certeza cuando se va a ganar. Los tres estudiantes del capítulo han analizado sin embargo otra faceta del juego. Los casinos suelen utilizar un barajador automático para mezclar las cartas. Estos artilugios utilizan un algoritmo para simular aleatoriedad, pero los informáticos y los matemáticos saben que cualquier máquina (ordenadores incluidos) nunca genera números aleatorios, sino seudo-aleatorios. Por definición un número seudo-aleatorio es un número generado por un proceso algorítmico o una fórmula. A pesar de no mostrar ningún patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, al generarse por un procedimiento determinista, las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado. En cambio un número aleatorio como su propio nombre indica no debe estar sujeto a ningún proceso, sólo a variables al azar. Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro comportamiento lo es también. No podemos conocer de antemano el momento en que se fundirá una bombilla, o cuando empieza o deja de llover, la cantidad de palabras que decimos en una hora, incluso la longitud de nuestra vida, Todo lo que nos sucede depende de muchísimos factores. A cada instante, con cada paso que se da y con cada decisión que se toma (incluso las inconscientes reflejas), se opta por una de entre infinitas posibilidades. Para cualquier inicio de día existen incontables posibles finales. Por eso para generar números aleatorios se emplean procedimientos tomados de la Naturaleza (que nos garantiza entropía máxima); los más usuales, el ruido eléctrico generado por  la agitación y movimiento de los electrones o la desintegración de elementos radiactivos. La generación de números aleatorios es importante en diversas áreas, especialmente en todo lo referido a la criptografía (que como venimos indicando en estos artículos es  indispensable para garantizar la seguridad en las comunicaciones, en las trasferencias bancarias, el uso de tarjetas de crédito, etc.). El número de posibilidades de colocar un mazo de 52 cartas es de 52! (un número del orden de 8 x 1067) y en teoría cada una de esas posiciones de las cartas tiene la misma probabilidad. La magnitud del número anterior hace prácticamente imposible la posibilidad de que dos mazos seleccionados aleatoriamente tengan, o hayan tenido jamás la misma distribución de sus naipes. Sin embargo si que es posible hacer predicciones de tipo probabilística en un mazo que no esté barajado de una forma puramente aleatoria. Los protagonistas del capítulo al parecer han logrado determinar, a partir de datos experimentales, generar una simulación del algoritmo que tiene implementado el barajador. El mago y matemático Persi Diaconis es un experto en el barajado de cartas de forma teórica y práctica (es también profesor de Estadística, ¡como no!, en la Universidad de Stanford). En un estudio de años ha concluido que se necesitan al menos cinco barajamientos “perfectos” para empezar a hablar de aleatoriedad y más de siete para garantizarla. Y eso barajando correctamente, porque si la técnica no es correcta se necesitan muchos más. De formas de barajar las cartas saben mucho los magos e ilusionistas. Existen muchas formas (para ellos son técnicas) de barajar. El barajado perfecto anteriormente citado (lo hemos visto en las películas muchas veces) consiste en dividir la baraja en dos mitades e ir hojeándolas con los pulgares para que se vayan intercalando las cartas de ambas mitades. Si en lugar de eso, cortamos la baraja a la mitad y colocamos la parte inferior sobre la superior, sería necesario hacer 2500 veces esa operación para lograr el mismo grado de aleatoriedad que la de las 7 veces del modo “perfecto”. Este modo de barajar se llama en inglés “Riffle” del cual no sé si hay una traducción al castellano. En este enlace podéis haceros una idea de la gran variedad de formas distintas de barajado que podemos realizar. Finalmente, en el capítulo Charlie y Amita citan las series temporales como herramienta de apoyo en la reconstrucción del juego y el intercambio de dinero que los jóvenes realizaron antes del asesinato de uno de ellos, y así tratar de reproducir cuales fueron los pasos que siguieron el, o los, asesinos. Brevemente, se define una serie temporal (también llamada histórica, cronológica o de tiempo) como un conjunto de datos correspondientes a un determinado fenómeno, ordenados respecto al tiempo. Por ejemplo, las ventas de una empresa en los últimos cinco años, o la cantidad de lluvia caída al día en el último trimestre. Aunque entre más dentro del campo de la computación, en el episodio también se muestra la identificación de personas a partir de dos fotografías tomadas en diferentes épocas (en el capítulo, una foto de un carné de conducir y una foto escolar). Hoy en día hay software muy potente que realiza este tipo de pruebas (lo hemos visto en muchas películas). Sin embargo no todo es tan “bonito” como suele presentarse, hay bastantes limitaciones. Por ejemplo, las fotos deben haberse tomado en unas condiciones determinadas de luz, con una buena resolución y a ser posible en una postura similar. Quizá en otro momento, expliquemos este asunto con un poco más de detalle. Episodio 2.14 – Tráfico Sangriento (Harvest) Fechas de emisión: Lunes, 8 de Enero (22:20), Martes 9 de Enero (17:45), Sábado 20 de Enero (21:30), Domingo 21 (15:30). Argumento: Alan, Amita, Larry y Charlie están presentes en la última conferencia de un Simposio Matemático. Charlie, ganador del premio Pascal en una edición anterior, es invitado a entregar el premio al ganador de este año, alguien al que conoce muy bien. Mientras, cuatro mujeres viajaban hacia Los Ángeles para vender uno de sus riñones. Una de ellas es encontrada muerta, dos están desaparecidas y la última está bajo la vigilancia del FBI. Don y sus compañeros tratarán de localizar a las que están desaparecidas. Aspectos Matemáticos: Relación entre el radio y el área de un círculo, Modelos ocultos de Markov, Elipses. Don y su equipo localizan un laboratorio oculto en los sótanos de un viejo motel en el que se están llevando a cabo transplantes ilegales de órganos. Encuentran restos de sangre y un bloque de hielo en un rincón. Cuando Charlie observa el charco formado por el hielo, pide las fotografías que ha tomado el FBI para tratar de estimar, a partir del ritmo de deshielo del bloque, del tamaño del charco (superficie que abarca) y suponiendo que la temperatura del lugar se mantiene constante, el momento en el que el lugar fue utilizado por última vez. Se trata de una cuestión elemental de razones de cambio (derivadas) relacionadas. En la discusión para resolver el asunto, Charlie y Amita exponen también algunas de las propiedades del agua sobre diferentes superficies. Hablan de conceptos físicos como la adhesión (atracción molecular a las superficies), la cohesión (atracción de las moléculas entre sí) y la tensión superficial. En un fluido cada molécula  interacciona con las que le rodean. El radio de acción de las fuerzas moleculares es relativamente pequeño, abarca a las moléculas vecinas más cercanas. Como todo sistema tiende a adoptar espontáneamente el estado de energía potencial más baja, los líquidos tienen tendencia a presentar al exterior la superficie más pequeña posible. Otro tema que se plantea es el de tratar de identificar los posibles destinos de la ambulancia que transporta los órganos a partir de rutas no determinadas. Para ello, el matemático expone que se puede utilizar un modelo oculto de Markov que permita disminuir el amplio número de posibilidades que se les presentan. Este tipo de modelos  permiten caracterizar procesos estocásticos para los que no se cuenta con demasiadas observaciones. La idea consiste, a grandes rasgos, en modelizar un proceso doble, para el que se supone que los datos observados son producto de hacer pasar el proceso real (el que está oculto) a través de un medio cuyo resultado sea el proceso que sí es observable. Viene a ser como una caja negra en la que la secuencia de símbolos de salida generados con respecto, por ejemplo, al tiempo, es visible, pero la secuencia de estados por los que se ha pasado es desconocida. Algunas de las aplicaciones en las que se utilizan estos modelos es la de determinar cambios meteorológicos, reconocimiento automático de la voz, clasificación de los estados del sueño, configuración de procedimientos para segmentar eficazmente las direcciones postales de interés para una empresa, etc. Estos métodos se desarrollaron a partir de la década de los  cincuenta del siglo pasado, y deben su nombre al matemático Andrei Markov (1856 – 1922), uno de cuyos trabajos consistió precisamente en ilustrar gráficamente la probabilidad de un suceso que afectara a probabilidades futuras, información almacenada en una matriz a partir de la cual se establecen los diferentes cálculos. Finalmente, tras analizar los recorridos de la ambulancia, Charlie aventura, a partir de diferentes medidas de distancias, que es probable que los lugares que buscan se encuentren en los focos de una elipse. En este capítulo se hace referencia al apellido de Amita, Ramanujan, que como todos sabemos, corresponde al mejor matemático indio de todos los tiempos, Srinivasa Ramanujan (1887  – 1920). La familia de Amita es de procedencia Tamil (una de las culturas e idiomas más extendidos de la India), natural de Chennai, una de las mayores ciudades costeras de la India, con unos 7 millones de habitantes, antes conocida (antes de 1996) como Madrás. Srinivasa Ramanujan también provenía de la cultura Tamil, aunque era natural de un pequeño pueblo llamado Kumbakonam, y como es sabido fue un genio autodidacta. Sobre su vida podéis encontrar abundante información en la red. Episodio 2.15 – El Corredor (The Running Man) Fechas de emisión: Lunes 15 de Enero (22:20), Martes 16 de Enero (17:45), Sábado 27 de Enero (21:30), Domingo 28 (15:30). Argumento: Un sintetizador de ADN capaz de crear enfermedades “a la carta” desaparece de la facultad donde Charlie es profesor. Don y su equipo se hacen cargo del caso. Aspectos Matemáticos: Fracciones Continuas, Ley de Benford. Desde los Pitagóricos sabemos de las relaciones entre la música y las matemáticas. La diferente longitud de cuerdas tensas o distintos diámetros de tubos producen notas musicales diferentes. Por ejemplo, si la longitud de una cuerda es doble que la de otra, la más corta produce un sonido una octava más alto que el más largo. Este es el intervalo que separa un Do del Do de la escala siguiente. Las notas de la escala no guardan igual espacio entre sí. La distancia mayor entre una nota y otra se llama tono, y la distancia menor se llama semitono. La escala más conocida y utilizada es la formada normalmente por siete notas, Do, Re, Mi, Fa, Sol, La Si, aunque las hay también de seis u ocho. Si a esas notas le añadimos el siguiente Do, obtenemos la escala diatónica. La proporción de mayor interés es la de 3/2. Si una cuerda tiene una longitud de 3 unidades y otra de 2, la más corta proporciona la distancia exacta entre Do y Sol. Otras proporciones son la de 4/3, una cuarta perfecta (distancia de Do a Fa), o 81/64, una tercera mayor (distancia de Do a Mi). Sabemos que los sonidos se producen mediante una sencilla vibración. El número de vibraciones por unidad de tiempo se denomina frecuencia. Si dos cuerdas o tubos tienen longitudes o diámetros, respectivamente, proporcionales, entonces las frecuencias que producen están en una proporción inversa, es decir, a menor longitud, mayor frecuencia. Si un Do tiene una frecuencia de 256, entonces el Sol correspondiente tiene una frecuencia de 256 por 3/2, es decir, 384. Una quinta (una proporción de 3/2) puede utilizarse para obtener todas las notas de la escala que utilicemos. Tomemos un Do y saltemos por quintas, obtendremos Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do# llegando a Do#, en el llamado “ciclo de quintas”. Si reordenamos las cinco primeras notas de la forma Do, Re, Mi, Sol, La, se obtiene la escala pentatónica mayor. Estas escalas son las más simples de todas y probablemente las más utilizadas en estilos como el blues, el heavy metal y el rock. (la escala de Blues contiene una nota adicional, la llamada nota de blues (blue note), que se sitúa entre la cuarta y la quinta). Ocurre que hay bastantes problemas para crear todas las notas de la escala usual a partir del ciclo de quintas, ya que no volvemos exactamente al Do en el que empezamos (ver la sucesión anterior) y algunas de las notas intermedias que deberían estar a una quinta, no lo están. Esto creó muchos problemas con diferentes instrumentos a lo largo de la historia. A principios del s. XVIII se solucionó con una correcta afinación de los instrumentos. La idea es, básicamente, dividir la proporción 2 a 1 (la octava) en 12 partes iguales, 12 porque hay 12 semitonos en una octava: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si (después de Si vuelve a Do). La proporción de las frecuencias entre notas sucesivas en la escala cromática (la de 12 tonos) es la misma. Esto equivale a que el producto de las 12 proporciones debe ser igual a la de 2/1 de la octava, es decir, numéricamente, 2. Luego cada proporción es la raíz doceava de 2,  21/12 (1.059463094). Para ir de Do a Sol, un espacio de siete semitonos, hay que multiplicar la frecuencia de Do por 21/12 siete veces, es decir 27/12 (aproximadamente 1.4983, muy próximo a 3/2 = 1.5, aunque no exacto). Charlie habla en este capítulo una flauta pentatónica (ver foto). Estas flautas son ideales para explorar la escala pentatónica. (Él se construye otro tipo de flauta, sin agujeros para los dedos, que sigue la escala armónica y cuyos sonidos se producen únicamente soplando a diferentes longitudes). Charlie explica que para poder construir una flauta pentatónica (es decir, para situar los agujeros correctamente) es necesario aproximar un número irracional (el explicado anteriormente) por un número racional. Esto se logra matemáticamente mediante los desarrollos en fracciones continuas. Esta presentación musical puede ser por tanto una buena introducción para esos alumnos de secundaria tan poco receptivos, y de paso quizá aprendan también que sus canciones favoritas existen porque las matemáticas lo han querido. Vayamos a otro asunto. Está extendida entre la gente la idea de que todos los números tienen una distribución uniforme y aleatoria, y que todos son igualmente probables. Basándose en este supuesto, una de las técnicas que utilizan los investigadores (y en este episodio Charlie) para descubrir si ciertos datos han sido falsificados, es acudir a la Ley de Benford, también conocida como ley del primer dígito: en un conjunto de datos numéricos que provengan del “mundo real”, la probabilidad de que el primer dígito en esos datos sea un 1 es mayor que la de que sea un 2, ésta a su vez mayor que la de que sea un 3, y así sucesivamente. Este hecho fue estudiado en 1881 por el astrónomo Simon Newcomb al darse cuenta de que las páginas iniciales de su libro de logaritmos estaban más desgastadas por el uso que las restantes. En 1938, el físico Frank Benford retomó la idea. Durante seis años, analizó cerca de 20000 datos de los más variopintos lugares (constantes científicas, resultados del mercado de valores, profundidades de lagos, números aparecidos en la prensa, etc.). Cuando sus investigaciones corroboraron sus hipótesis, desarrolló el enunciado anterior, junto con la expresión p(d) = log (1 + 1/d), una estimación de la probabilidad de que el dígito d aparezca el primero en un conjunto de datos cualquiera. De esta expresión se obtendría la siguiente tabla d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p(d) en % 30 17.6 12.5 9.7 7.9 6,7 5.8 5.1 4.6 Como vemos, según esta ley, el 1 es más de seis veces más probable de liderar un número que el 9, una diferencia considerable. Hay algunas restricciones a la hora de utilizar esta ley: no se debe aplicar a conjuntos de números prefijados (tales como números de la seguridad social o listas telefónicas), ni a números con una distribución uniforme de dígitos (números de lotería) o a conjuntos de números que presenten valores máximos o mínimos. El trabajo de Benford presupone que los datos puedan seguir una progresión geométrica (por ejemplo, un crecimiento exponencial), por lo que dos ejemplos típicos de aplicación pueden ser el crecimiento de la población o la información financiera. No obstante, en otros tipos de datos como tasas de mortalidad o los números de Fibonacci, la ley de Benford también parece cumplirse. En el siguiente enlace de la revista Matematicalia, podéis ampliar esta información en un magnífico artículo. Episodio 2.16 – Grupos de Protesta (Protest) Fechas de emisión: Lunes 22 de Enero (22:20), Martes 23 de Enero (17:45), Sábado 3 de Febrero (21:30), Domingo 4 de Febrero (15:30). Argumento: Una bomba situada bajo un coche del gobierno aparcado cerca del Centro de Reclutamiento del Ejército Norteamericano explota matando a un hombre y dejando a su mujer en coma. Don y su equipo intentarán encontrar a los artífices del atentado antes de que otro acto de protesta contra la guerra provoque más víctimas. El padre de los Eppes conoce a uno de los hombres involucrados en el atentado. Aspectos Matemáticos: Análisis de Redes, Teoría de Grafos y números de Ramsey, Sucesiones definidas recursivamente. Como sucedía en el capítulo 2.13, Bandas Callejeras, Charlie utiliza análisis social de redes. En este caso examina las relaciones entre miembros de grupos organizados que protestaban durante los años sesenta y setenta contra la guerra de Vietnam (en este episodio es contra la Guerra en Irak). Organizar tantos datos es posible hoy día gracias a la potencia de los ordenadores que tenemos. Veamos un ejemplo. El grafo siguiente representa los contactos entre diferentes personas por teléfono o correo electrónico al menos una vez por semana en un periodo de un año. Este tipo de diagramas son generados automáticamente por un programa informático que ha manejado miles de llamadas telefónicas. Con un diagrama como éste podemos, entre otras cosas, medir el grado de cada nodo (el número de contactos que una persona ha tenido con las demás). En el ejemplo, B, D y E tienen grado 5, mientras que K sólo tiene grado 2. Asimismo puede observarse claramente que F tiene un papel destacado ya que conecta dos bloques diferentes. Si la red anterior representara una organización en la que los segmentos fueran las diferentes líneas de mando y que K fuera el jefe, observaríamos que éste depende en gran medida de F. En la práctica el software de este tipo puede manejar una enorme cantidad de datos e individuos pudiendo presentar distintas clases de conexiones, algunas totalmente insospechadas a simple vista. Como vemos, los grafos pueden ayudarnos a interpretar y analizar toda esa información. Relacionados con ellos están los números de Ramsey, que surgen al responder a cuestiones como la siguiente: en cualquier reunión de 6 personas, ¿cuál es el mínimo número de ellas que no se conocen entre sí? ¿Y el mínimo número de ellas que se conocen? La respuesta es que o bien 3 de ellas se conocen o bien 3 de ellas no se conocen. ¿Por qué? Observemos los grafos siguientes: De todas las posibles conexiones entre todas las personas (dibujo de la izquierda), se puede dibujar como mínimo o un triángulo rojo (personas que se conocen) o uno azul (personas que no se conocen). El teorema de Ramsey establece que para cualquier par de enteros positivos m y n, siempre existe un número de Ramsey R(m, n), aunque no existe una fórmula que nos proporcione tales números (números que son enormes a partir de cierto valor). En el caso del ejercicio anterior R(3, 3) = 6, es decir, 6 es el mínimo número de personas que debe haber en una reunión para que o bien 3 se conozcan o bien 3 no se conozcan. Estos números fueron introducidos por Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930) y han interesado a muchos matemáticos, entre ellos, el célebre Paul Erdös. Los números de Ramsey no sólo se aplican a reuniones de personas, sino también a otros asuntos como determinar el  número mínimo de puntos necesario para construir un polígono convexo. Existen aún muchas incógnitas sobre estos números, así que el que quiera pasar a la posteridad, aquí tiene un tema al que dedicarse. En una de las pizarras de Charlie aparece la conjetura de Collatz (también conocida como conjetura 3n+1), un problema en el que Charlie trabaja en sus ratos libres. Para formar una sucesión de Collatz, se parte de un número natural cualquiera. Si es par, se divide por 2; si es impar se multiplica por 3 y se le suma 1. Se repite el proceso varias veces, y siempre se acaba en el bucle 1, 4, 2, sea cual sea el valor inicial. Esta conjetura, no demostrada aún rigurosamente, fue propuesta por Lothar Collatz en 1937. Más formalmente, el proceso es el siguiente: Existen diversos grupos de computación que se dedican a comprobar la conjetura para números cada vez más grandes. A fecha de 12 de Diciembre de 2006, se había comprobado hasta el valor 12 x 258. En este enlace, podéis leer más sobre esta cuestión y actualizar datos. Como ocurría con el último teorema de Fermat o la conjetura de Goldbach es una evidencia intuitiva fuerte a favor de la veracidad del resultado, aunque matemáticamente no demuestra absolutamente nada. Es un ejemplo de sucesión definida recursivamente (para calcular algunos términos se necesitan uno o más de los anteriores). La famosa sucesión de Fibonacci (Fn = Fn−1 + Fn−2 , para n>2, con F1 = F2 = 1) es otro ejemplo de sucesión de este tipo. Otro ejemplo es el de los llamados números felices: aquellos en los que al elevar sus dígitos al cuadrado y sumarles, al cabo de un número finito de pasos, obtenemos el número 1. Por ejemplo, el número 19 es un número feliz porque 12 + 92 = 1 + 81 = 82 82 + 22 = 64 + 4 = 68 62 + 82 = 36 + 64 = 100 12 + 02 + 02 = 1 + 0 + 0 = 1 Los números que no verifican esta condición se les llama infelices o tristes. Un entretenimiento para nuestros alumnos: ¿será el 2007 un año feliz? Episodio 2.17 – Juegos Mentales (Mind Games) Fechas de emisión: Lunes 29 de Enero (22:20), Martes 30 de Enero (17:45), Sábado 10 de Febrero (21:30), Domingo 11 de Febrero (15:30). Argumento: El FBI contrata los servicios de un vidente que les ayude a resolver una serie de asesinatos. Éste los manda a un inhóspito lugar en el medio de ninguna parte y descubren la escena de un crimen. Don y su equipo se hacen cargo de la investigación. Charlie y el vidente tendrán violentas discusiones sobre los procedimientos aplicados al caso. Aspectos Matemáticos: probabilidad, movimiento browniano. Para probar los poderes del vidente, los agentes le muestran 25 naipes tapados y le piden que prediga el color de cada carta. Como el porcentaje de fallo es del 50%, si fuera de verdad vidente es esperable que acierte en algo más de la mitad de los naipes. Larry apunta: “la probabilidad de acertarlos todos es la misma que la de fallarlos todos”. Los videntes afirman poseer lo que se ha dado en llamar percepción extrasensorial (ESP, en inglés), un poder a partir del cual pueden conocer, visualizar o percibir, según los casos, situaciones que escapan a los sentidos de una persona normal. Se puede dejar un mínimo margen de confianza, pero lo que es realmente constatable es que desde hace décadas, la CSICOP (organización norteamericana que estudia científicamente hechos paranormales) realiza tests a cientos de personas que afirman tener ESP y por ahora nadie ha pasado ninguna de esas pruebas. El ex mago James Randi (el que descubrió el truco de los dobleces de cucharas de Uri Géller) ofrece UN MILLÓN DE DÓLARES a quien pueda demostrar y realizar repetidamente algún acto de este tipo y que él mismo sea incapaz de repetir. Hasta ahora nadie ha ganado el premio, así que anímense señores tarotistas, brujos y sanadores que hay por ahí, que la fortuna les espera sin necesidad de engañar a nadie. Por otro lado, Charlie emplea la ecuación de Fokker-Planck (se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, cuya descripción supera los contenidos esperables de una sección como ésta; el lector interesado puede buscarla no obstante en Google y allí localizará cientos de artículos detallados) para predecir el flujo de inmigrantes ilegales. Esta ecuación fue originalmente desarrollada para estudiar el movimiento browniano, es decir, el aparentemente aleatorio movimiento de una partícula nanoscópica que se halla en un medio fluido (por ejemplo polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor a Robert Brown que lo describe en 1827. La descripción matemática del fenómeno fue elaborada por Albert Einstein y constituye el primero de sus artículos del "año mirabilis" 1905. La teoría de Einstein demostraba la teoría atómica, todavía en disputa a principios del siglo XX, e iniciaba el campo de la física estadística. Posteriormente Norbert Wiener y Paul Levy elaboraron el modelo que describe una partícula que en cada instante se desplaza de manera independiente de su pasado: es como si la partícula “olvidara” de donde viene y decidiese continuamente y mediante un procedimiento al azar hacia adonde ir. En definitiva, que este movimiento, a pesar de ser continuo, cambia en todo punto de dirección y de velocidad. Tiene trayectoria continua, pero no tiene tangente en ningún punto. Un refinamiento de los cálculos de Einstein fue realizado por el físico Paul Langevin que diferenció dentro del movimiento browniano una fuerza externa (gravedad, magnetismo u otras fuerzas deterministas), una fuerza viscosa (causada por el rozamiento entre moléculas) y un “ruido” aleatorio (imprevisible). La ecuación de Langevin describe, estadísticamente, la fuerza total sobre una partícula. Este modelo se ajusta mejor al análisis que hace Charlie: la fuerza externa es la atracción que los inmigrantes sienten hacia las ofertas de empleo y casa ofrecidas por ranchos y granjeros; la fuerza viscosa (negativa) es el control policial ejercido en los puestos fronterizos; y el “ruido” aleatorio viene determinado por la confusión de los inmigrantes sobre las decisiones a tomar. Los valores numéricos que Charlie asigna a cada una de estas fuerzas no aparecen justificados, son apreciaciones suyas. Este esquema no parece demasiado realista, pero ciertamente los guionistas también deben explayarse de vez en cuando…

Lunes, 01 de Enero de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico