El Problema de Apolonio y el Problema de Pappus son dos célebres cuestiones geométricas de enorme relevancia histórica que tienen su origen en los trabajos de Apolonio.

En una de las obras perdidas, Tangencias, aparece el famoso «Problema de Apolonio» cuyo enunciado es:

«Dados tres elementos (punto, recta o circunferencia), trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres».

El problema da lugar a diez casos diferentes. Los dos más sencillos son: circunferencia que pasa por tres puntos (Euclides, IV.5) y circunferencia inscrita a un triángulo (Euclides, IV.4). Sobre el más complicado: «Dadas trescircunferencias hállese otra tangente a las tres», durante lo siglos XVI y XVII los eruditos sospecharon que Apolonio no lo había resuelto por lo que algunos matemáticos como Vieta (1540-1603) y Descartes se aplicaron a ello. Los matemáticos árabes Ibrahim ibn Sinan (909-946) y Ibn al-Haytham (965-1041) habían encontrado una solución mediante el Álgebra. Más tarde, Regiomontano (1436-1476) ensayó su resolución recurriendo a las secciones cónicas y Vieta da una solución puramente geométrica en su obra Apollonius Gallus. Después de haber dado la solución general, Vieta da cuatro soluciones particulares según que el cuarto círculo sea tangente en el interior o en el exterior de los otros tres. Descartes retoma el problema con los instrumentos algebraicos de La Geometría en su correspondencia de noviembre de 1643 con la princesa Elisabeth de Bohemia, donde más que resolver un problema geométrico (el problema ya lo habían resuelto otros matemáticos), se plantea un problema estético: ¿Cuál será la solución más hermosa? Newton le dio una solución sólo con regla y compás en el problema XLVII de su Arithmetica Universalis.

En la Dedicatoria de las Cónicas, Apolonio hace alusión a otro problema que con el tiempo se convertiría en uno de las cuestiones más difíciles e importantes, sobre la que se pondrá a prueba la reconocida capacidad de las Geometrías Analítica de Fermat y Descartes para resolver antiguos y nuevos problemas. Se trata del «lugar geométrico determinado por tres o cuatro rectas» –para el caso general, Descartes lo bautiza como «Problema de Pappus»–:

«Dadas tres (resp. cuatro) rectas en un plano, encuéntrese el lugar geométrico de un punto que se mueve de forma que el cuadrado de la distancia a una de las tres rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos (resp. El producto de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos), si las distancias se miden en direcciones tales que formen ángulos dados con las líneas correspondientes.»

Apolonio escribe al respecto (Les Coniques, Ver Eecke, 1963, p.2):

«El tercer libro contiene numerosos y curiosos teoremas que son útiles en la construcción de los lugares sólidos, [...]. La mayor parte y los más bellos de estos teoremas son nuevos, y al concebirlos, me di cuenta de que Euclides sólo había tratado el lugar geométrico con respecto a tres o cuatro líneas [en su obra perdida Los Lugares Sólidos], de una manera accidental y poco adecuada, pues no era posible conseguir su construcción sin mis descubrimientos complementarios.»

Pappus realiza en el Libro VII de la Colección Matemática un estudio exhaustivo del problema, propone la generalización a más de cuatro rectas – para tres o cuatro rectas el lugar resulta ser una cónica– y reconoce que con independenca del número de rectas involucradas en el problema, queda determinada una curva concreta. He aquí la observación más general sobre lugares geométricos de toda la Geometría griega, lo que implica, además, la consideración de infinitos tipos nuevos de curvas planas, algo esencial en un mundo geométrico tan limitado en cuanto a curvas planas. Naturalmente los métodos sintéticos le desbordan a Pappus en el abordaje del problema. El Álgebra sincopada de Diofanto no es aún un Análisis Algebraico. Cuando lo sea, tras la actuación del Arte Analítica de Vieta, el nuevo Álgebra simbólica actuará sobre el Análisis Geométrico de los griegos para dar a luz las Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes como poderosos instrumentos algorítmicos de ataque de los problemas geométricos difíciles como el propio Problema de Pappus.

EL PROBLEMA DE APOLONIO Y EL PROBLEMA DE PAPPUS:

Frontispicio de L'Algèbre nouvelle de Vieta, 1630. Biblioteca Nacional. París.

Esta obra es la traducción al francés de A.Vasset de la obra de Vieta In Artem Analyticem Isagoge.

A la izquierda figura la imagen de Apolonio y a la derecha la del propio Vieta llamado l'Apollonius français, por su interés en la restitución de las obras perdidas de Apolonio (sobre lo que había escrito el opúsculo Apollonius Gallus, publicado en París en 1600), donde resuelve el famoso Problema de Apolonio de los cuatro círculos tangentes, que evoca la figura que está a su pies. Vieta sostiene en su mano izquierda una diadema sobre a cual está escrito B+D, simbolizando su creación del cálculo literal del Álgebra simbólica del Arte Analítica.

El Problema de Pappus en la edición latina de van Schooten de La Geometría de Descartes de 1659.

El Problema de Pappus (llamado en su enunciado más sencillo lugar de tres o cuatro rectas), es una de las cuestiones más importantes de toda la Historia de la Geometría, por ser la piedra de toque de aplicación de los diversos métodos y técnicas geométricos. Planteado por los geómetras griegos a partir de Euclides, estudiado por Apolonio y sobre todo por Pappus, su dificultad desbordaba, siglo tras siglo, las posibilidades del Análisis geométrico griego. El Problema de Pappus campea a lo largo de La Geometría de Descartes, como si fuera su punto de inspiración, casi como un reto a alcanzar. Como un bautismo de fuego que debe pasar su obra geométrica, será Descartes quien lo resuelva de forma brillante y general poniendo de manifiesto la potencia de unos métodos analíticos, que en el curso de los años se convertirán en la esencia de la Geometría Analítica.