Benito Bails y la implantación de los logaritmos

A finales del siglo XVIII los logaritmos se pueden considerar bien introducidos en las matemáticas españolas. Benito Bails que fue el matemático más importante de esta época les dio mucha importancia. Bails estudió matemáticas en Francia. De vuelta en España fue profesor de matemáticas en la Academia de Bellas Artes de San Fernando de Madrid durante muchos años y estuvo muy bien relacionado con los círculos científicos madrileños. Entre otras obras publicó unos Principios de matemáticas (Madrid, 1776) en 3 volúmenes y unos Elementos de Matemáticas (Madrid, 1772-1783) en 10 volúmenes. En los dos tratados se estudia la aritmética, la geometría, el álgebra y el cálculo diferencial e integral, junto a la mecánica, hidrología, arquitectura y otras ramas de lo que se entendía por matemáticas aplicadas en aquella época.

El último tomo de los Elementos, titulado Tabla de logaritmos de todos los numeros naturales desde 1 hasta 20000, y de los logaritmos de los senos, tangentes de todos los grados y minutos del quadrante de círculo (Madrid, 1787) trata exclusivamente de los logaritmos. A pesar de su título esta obra no se limita como Practicas de geometria y trigonometría de Giannini a contener unas tablas de logaritmos con una explicación de su utilización y de sus aplicaciones. El libro se divide en dos partes bien diferenciadas. La primera, con 183 páginas, está dedicada a definir los logaritmos y a demostrar sus propiedades. En la segunda parte se presentan las tablas.

Los logaritmos se introducen de cuatro formas diferentes. La primera es la que Bails denomina “Doctrina de los logaritmos por Arismetica” [p. 37], en la que se definen como los términos de una progresión aritmética puestos en correspondencia con los términos de una progresión geométrica. La segunda forma de introducirlos se deriva de la llamada curva logarítmica. Para obtenerla Bails propone tomar en una recta puntos que disten entre sí una unidad y, sobre cada uno de dichos puntos, trazar segmentos perpendiculares que midan 1, en el origen, a, a²... para los puntos situados a su derecha, y a^-1, a^-2, etc... para los puntos situados a su izquierda. Luego se va incluyendo en los puntos medios, otros segmentos cuya longitud sea la media geométrica de las longitudes situadas en los extremos. Este proceso se continúa indefinidamente hasta que se obtenga uniendo las puntas de los segmentos “un polígono de infinito número de lados, todos infinitamente pequeños” que recibe el nombre de curva logarítmica. La tercera forma utilizada por Bails para introducir los logaritmos la llama “Doctrina de los logaritmos por la logarítmica y la hipérbola” [p. 119]. En ella se parte de que los logaritmos “traen su origen de la quadratura de la hipérbola” [p. 120]. La cuarta forma de definir los logaritmos se expone en el apartado titulado “Aplicación del análisis a la doctrina de los logaritmos” [p. 124]. En este apartado se define el logaritmo como la función inversa de la función exponencial y se plantea la obtención del logaritmo de un número por medio de series.

En la segunda parte se incluyen las tablas. Las tres primeras sirven para conocer el valor de un ángulo en radianes con veintisiete decimales o lograr el logaritmo de un número con una precisión de veinte decimales. A continuación va la tabla de los logaritmos de los números desde el 1 al 20.000, dados con seis decimales. Más adelante, otra tabla proporciona los logaritmos hiperbólicos con siete decimales de los números comprendidos entre el 1,01 y el 10,00. Finalmente se encuentra la “Tabla de los senos y tangentes del quadrante de círculo de minuto en minuto” [p. 439], que se complementa con dos tablas más de diferencias de logaritmos de senos o de tangentes [p. 530 y 531].

Pág. 2	Pág. 3	Pág. 50 y 51
	Tabla de logaritmos de todos los numeros naturales desde 1 hasta 20000, y de los logaritmos de los senos, tangentes de todos los grados y minutos del quadrante de círculo
Pág. 125		Pág. 136 y 137
Pág. 202	Pág. 428 y 429	Pág. 530 y 531

En otros libros de los Elementos se expone la relación de los logaritmos con las integrales y diferenciales. En conjunto en los libros de Bails se ofrece una información muy completa sobre la materia, aunque no sea muy original. Además se muestra bien informado de los avances habidos en otros países. Sin embargo, no deja de tener algunos desaciertos. Por ejemplo, Bails afirma que “el logaritmos de toda cantidad negativa ha de ser el mismo que el de la cantidad positiva igual con ella” (Elementos, v. X, p. 127) afirmación muy problemática, que se puede superar aceptando como proponía Euler que:

e^z = e^x+iy = e^x (cos y + i sen y)

y recíprocamente que ln(–1) = i (π + 2kπ), k ∈ Z.

Pero para aceptar esas igualdades se necesitaba tener una visión amplia de los números complejos, que no se encuentra en los textos españoles hasta bien entrado el siglo XIX, tal vez hasta la Teoría trascendental de las cantidades imaginarias (1865) del filósofo cordobés J. Mª. Rey Heredia.

Pese a esos aspectos, los logaritmos pasaron a ser un apartado habitual de los libros españoles de matemáticas. Tuvieron, incluso, bastante éxito. El libro de matemáticas más reeditado en la Península Ibérica es Tablas de logaritmos vulgares de los números desde 1 hasta 20000 del matemático y político gallego Vicente Vázquez Queipo, que se editó por primera vez en Madrid en 1853 y posteriormente se ha ido reimprimiendo hasta 1974, al menos. Aunque en la portada de esta última figura que es la 45ª edición probablemente fueron muchas más pues una reimpresión de 1964 se anunciaba como la 50ª.

Vicente Vázquez Queipo	Tablas de logaritmos vulgares de los números desde 1 hasta 20000