La aparición de los logaritmos

Los logaritmos surgieron a comienzos del siglo XVII como una manera de simplificar los cálculos matemáticos (1). Su principal promotor fue el escocés John Napier, a quien en español se le suele llamar Neper, que los expuso en sus libros Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614) y Mirifici logarithmorum canonis constructio (1619). La idea en la que se basaban era conocida desde la Antigüedad. Ya Arquímedes decía en El Arenario:

“Si los números son continuamente proporcionales a partir de la unidad y se multiplican dos términos de esta progresión, el producto será también un término de la misma alejado del mayor factor tanto como de la unidad lo está el menor, y el mismo producto distará de la unidad tantos términos menos uno como los dos términos juntos” (Vera, 1970, Científicos griegos, v. 2 p. 215)

La definición que daba Neper era más general pues valía para magnitudes continuas:

“El logaritmo de un seno dado es el número que aumenta uniformemente con la misma velocidad a la que el seno ha comenzado a disminuir con una aceleración proporcional a su longitud desde el seno dado” (Descriptio Definición 6)

	John Napier

Pero la generalidad de esta definición no se valoró tanto como las tablas detalladas que incluía Neper en sus libros con las que se podían simplificar considerablemente los cálculos trigonométricos sin perder mucha precisión. Para calcularlas relacionó una progresión aritmética - que empieza en cero y cuya diferencia es uno- con una progresión geométrica -cuyo primer término es 10.000.000 y cuya razón es r = 0,9999999, casi uno- obteniendo:

Progresión Aritmética

Progresión Geométrica

Con esta definición lo que se obtiene no es lo que ahora se llaman logaritmos neperianos (ln) sino otros (LogNeper) decrecientes que se relacionan con los neperianos de esta forma:

LogNeper x = 10^7.ln(10⁷/x)

Si se definen los logaritmos como una correspondencia cualquiera entre progresiones aritméticas y geométricas, como decía Arquímedes, se verifica que:

log (A·B) = logA + logB – log1

Con los logaritmos los productos y divisiones se convierten en sumas y restas; pero sólo si se verifica que log 1 = 0. Con la definición de Neper en los cálculos se debía arrastrar la constante log1. Además en sus logaritmos a mayor número le correspondía menor logaritmo. Una solución a ambos problemas, sin alejarse mucho de la definición de Neper, era tomar una progresión geométrica comenzando en 1 y con razón algo mayor que 1, 1,000001 por ejemplo, y una progresión aritmética que empezara en 0 y con una diferencia que fuera lo que pasaba de uno la razón de la geométrica, 0,000001. De esa forma saldrían, aproximadamente los logaritmos que ahora se llaman neperianos:

Pero Henry Briggs propuso un sistema que facilitaba mucho más los cálculos aritméticos o trigonométricos. En él la progresión geométrica tiene de primer término 1 y de razón 10 y la aritmética empieza en 0 y de diferencia tiene 1. De esa forma se obtienen los logaritmos decimales en los que la parte entera del logaritmo de un número, la característica, indica el orden de magnitud de dicho número y la parte decimal, la mantisa, sólo depende de los dígitos que representan dicha cantidad en base diez. Por ejemplo, en los logaritmos de Briggs log₁₀121= 2,082785 ; log₁₀12,1= 1,082785; log₁₀1,21= 0,082785 etc. Briggs publicó las primeras tablas de logaritmos decimales Logarithmorum chilias prima en 1618.