Los logaritmos como objeto del análisis matemático en los libros en castellano

A mediados del siglo XVIII, gracias a los contactos con matemáticos de otros países y a los jóvenes que habían salido a estudiar al extranjero, el cálculo diferencial e integral comenzó a ser conocido en España y con él los logaritmos comenzaron a considerarse como algo más que un auxiliar para el cálculo. Por ejemplo, el jesuita Tomás Cerdá en Liciones de Matemáticas (Barcelona, 1758) introduce los logaritmos utilizando series. En su libro primero se definen como una correspondencia entre progresiones aritméticas y geométricas, pero indicando entre sus propiedades la relación existente entre los logaritmos y el área del recinto comprendido entre la hipérbola y su asíntota, También se menciona la existencia de la curva logarítmica. Posteriormente en un capítulo titulado “De los Logaritmos hiperbólicos” [p. 296] se estudian los logaritmos neperianos, introduciéndolos como aquellos en los que la progresión geométrica tiene una razón muy próxima a la unidad, 1 + e, y al término (1+e)ⁿ de ella le corresponde en la progresión aritmética el valor n·e, que es su logaritmo. Para hallar un número del que se conoce su logaritmo L, se considera en el libro el desarrollo indefinido del binomio:

Como n es muy grande, se pueden despreciar las cantidades, -1, -2 etc... que se restan a n en los numeradores, quedando:

Dado que n·e = L, el número que se quiere conocer es el resultado de la serie:

Por otra parte, para encontrar el logaritmo L si se conoce el número se halla la serie:

donde x = N – 1

"De los Logaritmos hiperbólicos"
p.296-297	p.298-299	p.308-309

Esta forma de obtener los logaritmos neperianos, parecida a la desarrollada por Euler en Introductio in Analysin Infinitorum, (t. I, 85–93, Lausane 1748), resultaba novedosa en las matemáticas en español. Además Cerdá incluye en su libro una tabla de logaritmos hiperbólicos por “ser breve, de suma utilidad y que no se suele encontrar en lo común de las Tablas Logarítmicas pondré aquí para los aficionados al cálculo integral o al método inverso de la fluxiones”.

Por esa época empezó también a explicarse en los libros en español la relación entre los logaritmos y el cálculo diferencial. Así, Juan Justo García, catedrático de matemáticas de la Universidad de Salamanca, publicó unos Elementos de aritmética, álgebra y geometría (Madrid, 1782) en los que se explica el cálculo diferencial e integral y las series. En él se introducen primero los logaritmos, en la parte dedicada a la aritmética, dando preferencia a los logaritmos decimales y a las aplicaciones al cálculo. Más adelante, en la parte dedicada al análisis, se introducen los logaritmos hiperbólicos, o neperianos, presentándolos como la expresión cuya diferencial verifica que dy = . Se expone la curva logarítmica y se obtiene el desarrollo en serie de L(a+x) integrando el desarrollo en serie de .

Elementos de aritmética, álgebra y geometría
p.153	tablas

También por esta época se comenzaron a relacionar los logaritmos con el análisis diferencial en las enseñanzas impartidas en las escuelas militares. Así el italiano Pedro Giannini, que fue profesor de matemáticas en la Academia de Artillería de Segovia desde 1776 hasta 1796 publicó un Curso Matemático (Madrid, 1779), en el que, como en los libros anteriores, primero se estudian los logaritmos como una correspondencia entre una progresión geométrica y una progresión aritmética, explicando cómo simplificar los cálculos aritméticos con los logaritmos decimales. A continuación se expone como se encuentran los logaritmos neperianos utilizando series y se dice que son muy útiles en el cálculo diferencial. En el tomo III dedicado al cálculo diferencial e integral, se obtiene la diferencial de un logaritmo y se utilizan los logaritmos en varias cuestiones de análisis. Giannini les dedicó también mucho espacio en su libro Practicas de geometria y trigonometría (Segovia, 1784), pero en ese volumen sólo se utilizan para facilitar los cálculos.

Tablas de Giannini
Logaritmos para senos y tangentes	Logaritmos hiperbólicos